（概率论与数理统计专业论文）正态分布场合下失效概率的多层bayes估计.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 随着科学技术的发展，高可靠性产品日益增多，这就产生了无失效数据。由于 无失效数据出现的情况越来越多，对它的分析也显得越来越重要。 本文利用正态分布函数的凸凹性，分别从p l 到p l 【的方向和p i 【到p l 的方向获得 各观测点失效概率的多层b a y e s 估计 露= 1 ( 1 一等) 椰一( 1 一警) 舭 墨+ 2( s l + 2 ) 2 彳l ，f = l s ，声工l + p 2 l + 1 ( 1 一朋f 1 ) 毛+ 2 一( 1 一m f l ) 而+ 2 邑+ 2( & + 2 ) 24 l 1 ( 1 一警) 2 一( 1 一警) 2 a ，一j + 2 ( & + 2 ) 2 b 七 ，f = 七 1 l 墨多：l + p ：l + l ( 1 一m f 2 ) 毛+ 2 一( 1 一m j 2 ) 而+ 2 ， l s ，+ 2( 而+ 2 ) 2 e ，f = 1 ，七一l 取p i 的两个估计的平均值作为其最终的估计值，并结合实际问题进行了计算。 关键词：无失效数据；正态分布；可靠性；多层b a y e s 估计 a b s t r a c t w i 也t h ed e v e l o p m e n to f t e c b - r 1 0 l o g y ，m o r ea n dm o r ep r o d u c t s 州陆h i g hr e l i a b i l i 够 a p p e a r w ec a l l l 也e s ed a t a z e r 0 - 缸l u r ed a t a n er e s e a r c h0 n 血ez e r 0 - 触1 u r ed a t ag e t m o r ea n dm o r ei 珂岬n a 呲a si ta p p e a ri nt 1 1 er e c e n ty e 躺 u s i i l gc o n v e x 姆c o n c a v i 锣o ft h en 0 n a ld i s t r i b u t i o n 缸而o n ，、eg e tl l i e r a 】枷c a l b a y e s i 妣e s t i i n a t i o n so f 筋l ep r o b a b i l 埘劬mp lt 0p l 【a 1 1 d 筋mp kt 0p l ： f l ( 1 一等) 计2 一( 1 一警) p 2 刍，一j + 2 k + 2 ) 2 反 ，f = 七 川b 氟+ 多：，+ 1 ( 1 一m f 2 ) ) p 2 二( ! 二丝! l 百r( 墨+ 2 ) 2 e ，江l ，j j 一1 i t i se s t 妇a t e dv a l u eo fp if o ra v 锨g ev a l u eo ft w oe s t i n l a t e dv a l u eo fp i a n d c a l c u l a c i o ni sp e r f 6 r m e dt 0p i a 础c a lp r o b l e m k e yw o r d s ：z e r 0 伽l l r ed a t a ；n o m a ld i 嘶b 嘶o n ；r e l i a b i l 时；1 l i e r a r m c a lb a y 。 e s i a ne s t h n a t i o n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：才& 粕 日期：必g 年j 月斗日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：杏爿i 毫 日辄础年j 月卵 导师签名：伤扔马 日期：础夕月狮 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童途童握銮后进盾! 旦堂生；旦二生；旦三生蕉壶! 作者签名：杏豳 日期：瑚年5 月a 乎日 鸟节 1 ， 、乃户驺年 f 螃 名 扔 唧嬲 师期 引言 对于高可靠产品来说，在试验时间内常常所有参试产品均无失效，称这类试验 得到的数据为无失效数据。自80 年代中期，无失效数据问题引起了统计学者的广 泛注意，取得一批成果n 。 设产品的寿命服从正态分布n ( | i ，o2 ) ，其中l l ，d 为未知参数，今从k 个给定观测点t 。，t ：，t 。( t 。 t ： 或( t 。，s 。) 。通过文n 1 知可由以下思路来 解决这个问题： ( 1 ) 在t 。处获得失效概率p 。的估计多，： ( 2 ) 用最小二乘法配一条通过诸点( t 。，多。) 的分布曲线，i = l ，2 ，k ： ( 3 ) 由此分布曲线再作出各可靠性指标的估计。 在以上三步中，失效概率p 。，p 。，p k 的估计好坏将直接影响产品可靠性的 评定。 当相邻的检测时劾t 。，t 十分接近时，相应的失效概率p i ，p 1 。应相差很小， 此时失效概率p i ，p 川的估计a ，a + ，也应十分接近，即，l 嗵p m = a ，称满足上述 i + l 一 性质的失效概率估计具有时间连续性。对于目前获得p 。，p 2 ，p k 估计的常用方 法所得到的产品在各检测时刻的失效概率的估计常常不具有时间连续性。 文璐1 利用母体分布函数的凸凹性给出了无失效数据一种新的b a y e s 处理方法。 在综合失效概率p ，p 2 ，风先验信息时，考虑了各检测时刻的时间间隔对失效 概率先验分布的影响，利用这种估计方法得到的失效概率估计具有时间连续性。但 文陋1 仅仅是由p i 。推出p 。的估计，在这过程中p 。的取值偏大，从而造成后面系列 值偏大。文硒3 从p 。+ 。推出p i 的估计，综合考虑p i 的两个方向的估计，取其平均值为 p l 的最终估计。文聆3 和文陆1 均是用b a y e s 方法进行估计，本文则采用多层b a y e s 方法 计算p 。的两个方向的估计，取其平均值为p 。的最终估计，这样得到的结果会更符合 实际。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节失效概率的多层b a y e s 估计 设母体寿命t 服从正态分布n ( i l ，而，其分布函数为f 咿【( t - 州o 】。由于产 品多次试验均无失效，因此可以判定产品在( o ，k ) 内的失效概率不会很大，特别 当n k 较大时，失效概率p l 【更接近于零。可选取一个适当大的时间t o ( t k ) ，向有关 专家提出闯题“产品的寿命t 超过t o 的可能性至少有多少进行调查。若专家确定 为卜k ，就意味着产品工作到时间t o 的失效概率p 。= p ( t t 。) 不会超过k ，即p o 的上 限为k 。由于t 。的选取通常小于产品的平均寿命，因此，k 一般不会很大，通常有 沁0 5 。本文在规定扎o 5 情况下进行统计分析。 由于当t p 时，f ( t ) 是t 的凹函数，p o k 0 5 ，则t l t 2 t 阿o p ，由 凹函数性质知： o 业 旦型： 垦型 墼，( 1 ) 一，2 一，。k f 2 ；一， 其中， ，l ，p 7 = p o f ) ，见= p ( f ) ，i - l ，j 。当母体分布为正态分布时，失效概 率p 。，p ：，p 。应满足( 1 ) 。因此( 1 ) 包含着失效概率p 。，p 2 ，p k 的部分先 验信息，对失效概率p 。，p 2 ，仇进行估计时应充分利用这一信息。 当只知道失效概率a = ，p f 1 ) 在( 0 ，1 ) 内，其它一无所知时，按b a y e s 假 设取( o ，九1 ) 上的均匀分布作为p l 的先验分布是可以的。但为了使结果更接近实 际情况，这里采用多层b a 弘s 方法，即取 万( 易l 五) = u ( 0 ，五) 其中九l 为超参数，它是p l 取值的一个上界，且九l = t l 沁。h 可根据专家信息来确 定，这个建议是可行的。 但在实际问题中会遇到这种情况，专家手中的信息还不足以确定的具体值， 只能给出b 的一个范围。若此时一定要专家给出的具体值，一旦给出定值与实 际不符就会使最后的估计发生较大的系统偏差。 在我们的问题中，超参数可选( a o ，b o ) 上的均匀分布u ( a o ，b o ) ，即 积厶) = u ( ，) 其中o 口o 6 0s1 ，口。与6 0 的值由专家经验给出。一般说来，专家对厶给出一个 区间要比给出一个具体值容易得多，且把握也较大。 1 1 由p h 的估计推出p ；的估计 2 1 1 1p 1 的多层b a y e s 估计 由于产品多次试验均无失效，因此，当，= o 时，失效概率p 很小，可近似取 为0 。由( 1 ) 可知，p l 满足p 1 t l 栅久l ，即在时刻t l 的失效概率p l 的变化范围 为( o ，九1 ) ，此时取p i 的第一层先验密度为 砌。= 舻鬈- ( 2 ) 由万( 厶) = u ( 口o ，6 0 ) 可得p l 的第二层先验密度为 州一去詈，等 等 万( ) = 6 0 一口。，。 瓦 1 瓦 ( 3 ) l o ，其它 根据( 2 ) 式和( 3 ) 式可得p 。的多层先验密度为： 丛 石( p ) = 垃万( p i ) 石“) 眠 去- 毗， 肚p 等 去，嘶以p 詈，警 p t 等一ll oo 0 ，其它 p l 的这个先验密度仅依赖于a o 和b o ，是p l 的减函数，它将专家经验融于先验 分布中，这是比较合理的。 根据b a y e s 定理，结合p 1 的先验密度兀( p 1 ) 和似然函数三( olp 1 ) = ( 1 一a ) 而， 可得p l 的后验密度 石( p ：毁盟 【石( p 1 ) 三( oip 1 ) 咖1 其中 ( 1 一p i ) 而1 1 1 ( 6 0 口o ) f ( 1 确) 岬o 口o ) 印。+ 区( 1 硇) 泖以孙) 勿。，o p l 警上焉( 1 一死) 岬。口o ) 印i + 垃( 1 一扔) 泖。f i 兀p i ) 勿i u 叩13 百 地 点( 1 一p 1 ) i n ( 6 0 ，口o ) 0 盥 互矗h 蛾 6 而 l + 妊( 1 一p 1 ) 岬o f l ，瓦p 1 ) 勿 而 鱼 ) ( 1 一a ) 而勿t + 盈1 n ( 民，l 瓦p 1 ) ( 1 一a ) 毛 口a ，寺 p i 二f o 等 p ， z = l n ( 6 。口o ) ，j l _ 。【1 一( 1 一等户“】+ 以6 。 瓦) 。击。【( 1 一等) ”l 一( 1 一书叫】 - l n 吣o ) 击+ 晰以) 者( 1 一静州一岍。击- ( 1 警广1= 1 n 口o ) 寿+ 7 瓦者( 1 一扩一7 瓦) 寿( 1 一扩 + 者，h 州卜m 州 蓑一士酋( 1 一扩+ - 上 等”1 等v 门， p = 峨。者一者争叫 = 去鞋喵 = 者| 扣 = 去妻击阶帮川廿书川， 1 一印 记4 = 者嘉击【( 1 一等广1 一( 1 一等广1 】，故p t 的后验密度为 4 ，一 一瓦 一 、，鼽 一 ap n 蓝 一 石c p ；i 岛，= 謦：嚣二竺；：豢 了芝a ， ，o as 等 ，等 a 等 ，等 p i 1 p 1 的这个后验密度是p l 的减函数，即产品失效概率p l 大的可能性小，这是符 合实际情况的。由上述推导过程可知， 4 = 者尊争m 7 肚 = p h l ( 6 0 ) 。( 1 一a ) 毛 丛 l + 垃h 1 ( 6 0 五a ) ( 1 一a ) 1 根据p l 的后验密度，在平方损失下，p i 的多层b a y e s 估计为： f，西山 露= 互矗a 布1 ( 1 一p 1 ) l n 吼口o ) 咖l + 匿p l 4 1h l ( 6 0 r l ，毛p 1 ) ( 1 一p 1 ) 而 4 d 、 = 爿f 1 【f l n ( 6 0 口。) ( 1 一p i ) 丛 l + 监1 n ( 6 0 ，l 瓦a ) ( 1 一p 1 ) 晶 叫【尹l n ( 6 0 概) ( 1 _ p 1 ) j 1 + 1 s l + 2 j l + 2 1 = l 4 ， l = l 4 1 = 1 二 彳l ， l = i 4 勿，】 堂 l + 区h l ，瓦p 1 ) ( 1 一p i ) 1 而 h l ( 6 。) 【l 一( 1 一等) + 2 】+ 赣”m + 2 1 s l + 2 1 五+ 2 1 s l + 2 咖，) 峨慨峙壶 篮篁嘴( 啊) ， 死2 0 区芝( 1 - p 1 ) ， 而舢 “+ 1 ) 4 一者s l + 2 1 岛+ 2 咖，】 ( 1 一a ) p 2 l i l ( 氏瓦p 。) | 未 im l 而 赣帅+ 2 盟。 区( 1 一p i ) 1 矗 ，i ，一4 一 = 1 1 2p 2 ，p i 的多层b a y e s 估计 为了得到失效概率p ：，p k 的多层b a y e s 估计，需要首先确定失效概率 p ：，p 。的多层先验分布。由于t 。氆，则有p 。 p i ，由凹函数性质知，p i 应满 足p i - 。 p i 奴。，其中丑= p h + 争! ( 厶一p h ) 。用p “的估计声。替代p 卜l ，则在 时刻的失效概率b 应在( 越。，暑) 内，互= 乩+ 軎! ( 凡一芘) 。取a 的第 一层先验密度为 一 地m = 髀却厶：箝耶丑 ( 5 ) 由石( 九) = u ( 口。，6 0 ) 可得p ，的第二层先验密度为 碱) - 去等群- + 糍琅1 ) 槲t + 糍( 6 0 - 【- o，其它 ( 6 ) 酬。艰- + 糍( ”乩) ，聊) _ 氟+ 籍( 6 0 啦i ) o- o，l 上o| - 1 由( 5 ) 式和( 6 ) 式可得p ；的多层先验密度为： 砌沪饼嘶，l 五) 似五) 以 1 瓦一，hl 。6 0 p 乙 ，多：- l p f 聊；d i i f 石1 口。一多2 。一f f 一一i口。一2 l l 瓦一f j il 。肘；1 一p 乙，西1 p ，m f l 再= - 再：= 儿1 ；，一乩一口o 一，i 1p f p o l 【o，其它 根据b a y e s 定理，结合n 的先验密度7 【( p ，) 和似然函数三( ol 仍) = ( 1 一a ) 而， 可得p 。的后验密度 6 壶 一一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 石( p 。i 岛) = 万，) - 三( o ia ) r 砌印勿 卜p h 将跏训h 篱 ，藏l 风s 肌p，纠1 p fs 肌 卜p m 糍 o 其中 n 糍 ，+ 踟训k 鬻 ( 1 一p f ) 而勿f + = 上渤必 墨+ i口。一声工l g h 鬻 ( 1 一p 。) 而勿 其它 f - ( 1 一+ 1 枕+ 者l n 删n 一柚t ( 1 鸭广1 杉 一第( 1 柏) ( p ，一p 乙) 也 h 精州一者鬈o o p ：吨s i + l 翻p = 击茹= 一 墨+ l 埘” ( 1 一a ) 再+ 1 p | 一苡五 ( 1 一豇1 ) 卜( 仍一越i ) 】 = 者，第姜( 1 啦广讯l 二柚七，琅1 ) 】勿 = 六第= 一- 毋+ l 州” 嵩击( 1 琅1 ( 1 w - ( 1 柳州】 记4 2 者，粪南( 1 p 矿佤1 一钟y 州一( 1 一m ，) l 】，则p i 的后验密度为： 7 n h 厶脚 p 一 0 o而 、，卜 p q 而脚 裟啪 石( p ，i 墨) = 由上述推导过程可知， 铲( 1 - p 扩也糍虞。 p 却 1 ) 口。一p ，p ；一l p ls m ； 矿户l n 鬻硝 p 删p a 一奶一l ，m ；v 或朋；v o 扣者，$ 砉州帅 ，其它 = 弘精砸鸭帅，+ $ n 鬻 p j 的多层b a y e s 估计为： = 酗枷训精 锄融p h 糍 ( 1 一p 。) 而咖 呶+ 嚣a o 一毛h 笔攀 ，+ 跏训h 等舞圳 卅囊训+ 1h 精 一矗h + 一1 墨+ 2 = 1 4 1 f = 1 一彳f 1 = 1 一 l 一彳f 。 a o 一多 一声；- 。 咖，+ $ ( 1 吧) 州h 1 掣 p i p t 五 【( i 一雠。) 而+ 2 一( 1 一以1 ) 毛+ 2 】 ”p + 2 l n 鬻伊p t p ；- l v + 2 l ( 1 一乩) 忡h 1 罐一 口。一p 山 + 2 l + 2 l s j + 2 s t 、l + 2 瓯+ 2 勿，】 踟鸭广2 。丢铲t ， 跏训伸。却j 第篓c 脚圳州t ( p ，圳】 第萎( 1 一乩) l j _ 舟l ( 1 一只) 7 咖 ( 1 一多0 。) ( 墨+ 1 ) 彳，一彳， 毋p o l + p o l + 1 而+ 2 墨+ 2 ( 1 一朋；1 ) 毛+ 2 一( 1 一肘j 1 ) + 2 “+ 2 ) 2 4 8 ， ( 1 一p ，) 而q 印 f = 2 ，七( 7 ) 1 2 由p ；的估计推出p h 的估计 1 2 1p k 的多层b a y e s 估计 由于产品多次试验均无失效，因此，当f = o 时，失效概率p 很小，可近似取 为o 。由( 1 ) 可知，p i c 满足郧昭胛o ，此时取m 的第一层先验密度为 地= 胪：墓小儿 由石( ) = u ( 口o ，钆) 可得p k 的第二层先验密度为 砌沪 去，詈，等销 等 l 0 ，其它 根据( 8 ) 式和( 9 ) 式可得p k 的多层先验密度为： 业 石( p 七) = 垃疗( p ll 段) 万( 段) 和i 击h ，睾肚p 稿争 击m w 飘，专，警 p 七等一口。 气 l o l o 0 ，其它 根据b a y e s 定理，结合p l 【的先验密度兀( p l 【) 和似然函数己( 0l 仇) = ( 1 一仇) 气， 可得p l 【的后验密度 万( p 。i ) ：蚣型 【万( p i ) 三( o l p t ) 勿i ( 1 一n ) k 纸) ! d t埘i 上矗( 卜p i ) l n ( 6 0 口o ) 印i + 匦( 1 一p i ) m 6 0 ，i 瓦p i ) 勿i 毛 ：j! ! 二丝2 = ：丛缝! 墨丝2 ；业业 l 上瓦( 卜n ) h ( 6 0 口o ) 勿+ 匾( 1 - p ) hl n ( 6 0 ，i 瓦仇) 却i 毛 0 9 肚n 等 ，等 a 等 警 a ， 其中 卫堕 圭毛( 1 一仇) 靠峨口0 ) 呶+ = l n ( 6 0 ) & + 1 业 亟( 1 一a ) 矗h l ( 6 0 气兀仇) 矗 1 一( 1 一等) 叫】+ 岬。气瓦) - 丛 一边( 1 一p 七) 矗1 i l p i 去l n ( 6 0 ，口。) + + + 1 + l + 1 ( 1 一譬) 叫l i l ( 口。，i 瓦) 一 上o ( 1 一p 七) 如l n p t ：j j l n ( 6 0 口。) 一 吼+ l 一 “ 如+ l 1 + 1 + l 筐芝c 茹( 嘞) ， ，2 0 篮芝( 1 嘞) ， 矗户o 啦 o 一 【o 一警) 一( 1 一警) 矗“】 & + l( 1 一净叫h ( 6 剐瓦) 一去| ：o - 叫去 霞( 1 一削i + 1 上 辱”气+ 1 玄 i o 一 七 = 者姜击 ( 1 一等广1 一( 1 一警】 记& = s 女+ l 七 妻击【( 1 一韵一( 1 一警) 】，故取的后验密度为 万( p h 卡搿 1 n ( 6 0 口o ) l n ( 6 0 & 瓦n ) ，o 仇警 ，警 p 。警 ，警 p 量 1 p i 【的这个后验密度是p k 的减函数，即产品失效概率p i 【大的可能性小，这是符 合实际情况的。由上述推导过程可知 以= + l筐艺( 1 一 矗j i o 业 = 点而( 1 一p 1 ) ( 6 0 龟) 皿 t + 匝( 1 一p i ) “h ( 气死p i ) 纸 1 0 雠= 户p 。曰( 1 一p 七) 如l n ( 6 0 ，口。) 勿i + 箧p 七何1 ( 1 一p 。) & l n 瓯气瓦九) 勿七 卫生肚 = 【互死( 1 一p 七) 气峨，口。) 咖七+ 匹( 1 一p i ) 气m 以瓦p 七) 咖七】 一【严( 1 一p 。) 气+ - 1 1 1 ( 6 0 ，口。) c 勿。+ 筐( 1 一p 七) “l n ( 6 0 气瓦p 。) 勿。】 = t 一去t 去卧c t 一警严2 ，h 峨，+ i 毛c ，一p 。广2 抽伐气死p 七) l 萋 一壶孽知咄广2 = l 一去去- 砸。，+ 去壶霉去砸一p + 2 纸 = l 一去壶尊芸c 茹c p 纸 小去去赣瓴 = t 一击壶瓴删。盈一去+ 壶隼c ，一仇广1 呶 ：_ l 一! ! 二塑二：二二塑!( 1 0 ) & + 2( + 2 ) 2 反 1 2 2p 1 ，p 2 陌，的多层b a y e s 估计 为了得到失效概率p 。，k ，的多层b a y e s 估计，需要首先确定失效概率 p ，p k 。的多层先验分布。由于t 。锦l ，则有p 。 脚l ，由凹函数性质知，p - 应 满足“ p i p 。，其中“= p j + l + 导( 厶一p f + 1 ) 。 用p 的估计p ：t 替代p m ， 工o“_ l 则在时刻的失效概率p ，应在( a ，p 二。) 内，a = 多厶+ 导( 厶一多厶) 。取p ， 1 0，“ ，r ( p ，l p ，) = p 。l p j ：垒喜p f p 厶 由万( 九) = u ( 口。，氏) 可得p ，的第二层先验密度为 嗽，= 瓦一“ f f “一 ，多厶+ ，其它 一f j + l 兀一“ ( 6 0 一多二1 ) p ， 多：l + 协p 哦- + 糍( 6 0 氓1 ) ，衅 = p 厶+ 由( 1 1 ) 式和( 1 2 ) 式可得a 的多层先验密度为： 一，f + l 死一f 州 石( p 沪第万( a ) 似砧纸 6 b 一口。 瓦一 ，+ l 一，f 瓦一“ 6 0 一口of “l 一 o 一r j + l 死一，“l ( 口。一p ) 。 ( 1 1 ) ( 口。一p ：1 ) ，m f 2 p f p ：l ，聊；2 p f m ；2 ，其它 ( 1 2 ) 根据b a y e s 定理，结合a 的先验密度兀( 鼽) 和似然函数三( 0l 娥) = ( 1 一鼽) 而， 可得p ，的后验密度 烈训2 一 ( 1 咱) 坠霉 d q p j ；n 嚣帅h l 糍氟+ 跏训镨州2 k a 邓厶 矿h 糕 胁训n 糍 o 嘲+ 簟( 1 咱) 1 2 p ：l 一所；2 多厶一a ，肌；2 p f m f 2 其它 糍 h 苟一 型邢亟以 h 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 其中 露) ( 1 _ 矿h 鞣如+ 筝o 刊糕 【川吧) 叫铷 ( 1 一岛) 毛l i l ( 藏，一p o d p 。 + 击。蛐卜肌f 2 ) ) 【- ( 1 啊广1 】l 箸 卜( 1 一p 坩+ 1 一寿 2 者覃篙嗍柚州氓1 ) 】7 2 者，第砉纠【( 1 哦卜( 忍诫 = 者嚣扣 = 一- ，i 一 s + 1 品p 匀、 = 者嵩击o = 一一i - 墨+ 1 备_ ，+ 1 、 记e = 寿嵩南墨+ l 届j + l 石( p 墨) = 一多品) 吖【( 1 一硝2 ) 7 “一( 1 一m j 2 ) p 1 】 ( 1 一多：1 ) 毛【( 1 一所；2 ) 川一( 1 一m f 2 ) 川】，则p i 的后验密度为： 由上述推导过程可知， 耳1 ( 1 一易) 毛 f ( 1 一a ) 而l i l 0 簟笔( 1 哦吖7 ，；o = 毒h 糍 p i 的多层b a y e s 估计为： 多：，一耐2 ，材f 2 p ， p ：l 多：l p j ，所 2 p j m ；2 ( 1 一a ) 咖 ( 1 一p j ) 再勿f + 1 3 ，其它 謦h 糕 ( 1 一a ) 专勿 糍 h i 州 = 矿m j _ p p 一一 主见 第 糍 血 上州 = 、- ，lp 一 0 而 、jl一“ p 丛乩址旷 h 钟= 墨p ，( 1 咱) 而 卅【嚣”p 矿l l l 糍 ，+ 簟p ，( 1 咱) ，+ 跏训糕 卅【嚣帅“1 i l 糍 = l 一耳1 一1 + 岛+ 2 毛+ 2 = 1 一b f l 【 = l 一耳1 = 1 一耳1 = 1 一耳1 6 0一p ：。 口。一多厶 多：l m ；2 觑】 ，+ 跏w “h 糕 【( 1 一 砰2 ) 毛“一( 1 一声：，) + 2 】 ( 1 嵋广：l n 骅 “一p t 一1 + 2 1 ( 1 一鼬忡h 坠要 8 0 p j n 毛+ 2 s i + 2 l 墨+ 2 第芸咪z 瑚州“ + 2 1 毋+ 2 一p i 咖；】 跏训+ 2 。寺。 跏州“。寿， 卜( 仍一多二。) 】，幽 ( 1 一多厶) 却一。+ 1 ( 1 一p ，) 。 ( 1 一多：。) 0 ，+ 1 ) 岛一曰， _ 多：l + 多二l + 1 s + 2 毛+ 2 ( 1 一所j 2 ) 而“一( 1 一j j l 4 2 ) 而+ 2 ( 以+ 2 ) 2 局 一：一， ( 1 一p ，) 州咖 f = 1 ，2 ，七一l 1 3 取p ，的两个多层b a y e s 估计就与钟的均值作为它的最终估计a 由( 4 ) 、( 7 ) 式得剜= 由( 1 0 ) 、( 1 3 ) 式得 萨暖 l ( 1 一警) 帕一( 1 一警) 舭 j l + 2o l + 2 ) 2 么l s ，p 2 l + p 工。+ 1( 1 一聊j 1 ) 毛+ 2 一( i 一 砰) + 2 岛+ 2 ( 1 一等) ”2 一( 1 一警) ( & + 2 ) 2 b + p ：。+ l( 1 一m ；2 ) + 2 一( 1 ( 而+ 2 ) 2 4 一m j 2 ) + 2 ，f = 露 马+ 2( 毛+ 2 ) 2 丑， ，f = 1 ，后一l ，j = l ，f = 2 ，七 由于两个估计值分别偏大和偏小，故在实际应用中，取多，= 丢( + 声p 1 4 ( 1 3 ) 一“ e 亟地 一一一 九一 h 一 垆 州弦 0 ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节实例分析 某船厂的电机自1 9 9 3 年开始使用，研制单位对已投入使用的四台电机的工作 情况进行调查，这四台电机分别工作到3 7 8 2 2 、4 2 1 2 6 、4 2 1 9 6 、4 4 7 6 2 小时均 还未发生失效。 根据经验，认为该电机的寿命服从正态分布，其平均寿命不小于1 0 0 0 0 小时。 考虑到上述四台电机工作到4 0 0 0 多小时都未发生失效，因此，在设计有关调查问 题时，取t o _ 7 5 0 0 小时( 此时间正好是电机设备的中修时间) 。请设计，生产及使用 单位的有关专家( 共1 0 名) 对问题“该电机设备工作到7 5 0 0 小时还不失效的可能 性至少有多少 进行回答。对问卷进行处理后，可得到最大值为o 8 ，最小值为0 7 。 在处理上述数据时，首先利用文乜3 的经典方法及文嘲中的b a y e s 方法进行处理， 其估计结果见表1 。由于t ：与t 。十分接近，在时刻t 。与t 。的失效概率也应十分接近。 但由表l 结果可以看出，经典方法乜1 及b a y e s 方法d 3 所得到的p ：，p 3 的估计均相差较 大，即这两种估计方法所得到的估计不具有时间连续性。利用本文方法得到的估计 不仅具有时间连续性，而且比文瞄1 和文嘲中的结果更接近实际。 表1p l ，p 2 ，p k 的估计 b a y e s 方法3 1b a y e s 方法5 3b a y e s 方法6 1本文方法 经典 方法2 1 舻0 2舻0 2k = o 2 氕0 - 0 2 5 爻f 0 2 5k = 0 2 5锄= 0 2 b o - o 3 k = 0 3k = 0 3舻0 3 o 0 4 6 9o 0 4 6 90 0 4 2 4 p l o 10 0 5 7 40 0 5 7 40 0 5 2 50 0 5 4 8 0 0 6 7 5 0 0 6 7 5 0 0 6 2 3 o 0 5 2 8o 0 5 5 70 0 5 2 2 p 2 o 1 2 5 o 0 6 4 90 0 6 8 4o 0 6 4 80 0 6 6 4 0 0 7 6 6o 0 8 0 7o 0 7 7 2 o 0 5 4 0o 0 5 5 8o 0 5 2 4 p 3 o 1 6 7o 0 6 6 8o 0 6 8 60 0 6 5 00 0 6 6 6 0 0 7 9 0 0 0 8 0 9 0 0 7 7 5 1 5 硕士学住论文 m a s t e r st h b s l s o 0 5 8 4o 0 6 1 40 0 5 8 4 p l 0 2 5o 0 7 2 60 0 7 5 70 0 7 2 6o 0 7 4 0 o 0 8 6 6o 0 8 9 5o 0 8 6 6 1 6 项士学住论文 m a s t e r st h e s i s 第三节结束语 文中对p l 的估计也适用于其它凹函数，可以用最小二乘法配一条通过诸点( t 。， 多，) 的分布曲线，i = 1 ，2 ，k ，由确定下来的分布曲线求得可靠性参数的估计。 运用b a y e s 理论分析无失效数据时，往往需要借助于历史经验和工程技术对某些参 数作限定，在先验信息比较缺乏的情况下，人为因素的影响较大，因此如何选取先 验信息就变得至关重要。 随着科学技术的进步，高