（概率论与数理统计专业论文）曲线曲面插值模型的研究.pdf

摘要 摘要 在工程设计和科学研究中，常常要对给定数据点进行插值和逼近。插 值和逼近是科学计算中最基本和最重要的研究问题之一，具有特别重要的 理论意义和应用价值。尽管这方面有很多有效的方法，仍然有不足存在。 为了解决实际问题的需要，新的理论方法不断出现。本论文讨论曲线和曲 面的插值和逼近问题，提出一些新的理论方法。 在第二章，论文讨论了样条函数的分段构造，论述了样条函数的计算 方法。对于b 样条基函数，给出了基于h e r m i t e 插值思想的构造方法。这 种b 一样条基函数的构造方法，不同现有b 一样条基函数的定义或计算方法， 具有理论和应用意义。此外，基于线性泛函的表示，讨论了样条函数的最 优逼近性质。 通过使用二次b 一样条，在第二章还给出了时间序列的局部插值模型， 插值曲线是c 1 连续的。由于是局部插值模型，该方法具有不需要解线性 方程组的优点，扩展了b 一样条的应用。该方法应用于股票指数分析，实 验结果表明方法是有效的。对于三维数据，给出了二次b ，样条局部插值 曲面的张量积计算方案。 在第三章，提出了用分段三次h e r m i t e 插值曲线拟合统计直方图的新 方法。先根据统计直方图的特点选取h e r m i t e 插值曲线在插值点处的导数 值和可调整的插值点，然后根据面积约束确定调整值，从而得到拟合曲线。 所得拟合曲线与统计直方图有面积相等的约束，并且拟合曲线是c - 连续 的光滑曲线。所给方法简单使用。 第四章给出了基于径向基函数的近似插值方法。由于大量散乱数据对 应的径向基函数插值的方程组往往是病态的，利用高斯函数，给出了多维 数据的径向基函数近似插值表达式，避免了现有径向基函数插值要解方程 组的缺点。所给近似插值式可以以任何精度逼近单变量或多变量连续函 数。数值例子验证了方法是有效的。 第五章探讨b o x 样条函数用于计算机辅助几何设计的问题。论述了 b o x 样条的表示，对此多元样条，讨论了b o x 样条的多项式性质、微分性 质、凸性、细分性质，以及b o x 样条与张量积b 样条的关系。 关键词：时间序列插值，统计直方图，径向基函数，b o x 样条函数，h e r m i t e 插值，b 样条，曲线曲面，散乱数据插值，张量积b 样条 h i a b s t r a c t i nt h ee n g i n e e r i n gd e s i g na n dt h es c i e n t i f i cr e s e a r c h ，m u s tt oa s s i g nt h e d a t ap o i n tf r e q u e n t l yt oc a r r yo nt h ei n t e r p o l a t i o na n da p p r o x i m a t i o n 耵l e i n t e r p o l a t i o na n da p p r o x i m a t i o na r ei nt h es c i e n c ec o m p u t a t i o nm o s tb a s i ca n d o n eo fm o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hq u e s t i o n s ，h a st h ee s p e c i a l l yi m p o r t a n tt h e o r y s i g n i t i c a n c ea n dt h ea p p l i c a t i o nv a l u e a l t h o u g ht h i sa s p e c th a sm a n ye f f e c t i v e m e t h o d ss t i l lh a dt h ei n s u 伍c i e n te x i s t e n c e i no r d e rt os o l v et h ea c t u a l p r o b l e mn e e d t h en e wt h e o r ym e t h o da p p e a r su n c e a s i n g l y 啊1 ep r e s e n tp a p e r d i s c u s s i o ni sb a s e do nt h ec u r v ea n dt h es u r f a c ei n t e r p o l a t i o na n d a p p r o x i m a t i o np r o b l e m s ，p r o p o s es o m en e wt h e o r ym e t h o d s i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h ep a p e rd i s c u s s e dt h es p l i n ef u n c t i o np a r t i t i o n s t r u c t u r e ，e l a b o r a t e dt h es p l i n ef u n c t i o nc o m p u t a t i o n a lm e t h o d r e g a r d i n gt h e b - s p l i n eb a s i sf u n c t i o n , h a sg i v e nb a s e do nt h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nt h o u g h t s t r u c t u r em e t h o d t i l i sb s p l i n eb a s i sf u n c t i o ns t r u c t u r em e t h o d t h ed i f f e r e n t e x i s t i n gb s p l i n eb a s i sf u n c t i o nd e f i n i t i o no rt h ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d , h a v e t h et h e o r ya n dt h ea p p l i c a t i o ns i g n i f i c a n c e i na d d i t i o n , b a s e do nt h el i n e a r f u n c t i o n a le x p r e s s i o n , d i s c u s s e dt h es p l i n ef u n c t i o nt oa p p r o a c ht h en a t u r e s u p e r i o r l y b yu s i n gq u a d r a t i cb s p l i n e s ，r e t u r n e dt og i v eb a c kt ot h et i m es e r i e s p a r t i a li n t e r p o l a t i o nm o d e li nt h es e c o n dc h a p t e r , t h ei n t e r p o l a t i o nc u r v ei sc 1 c o n t i n u o u s b e c a u s et h eg i v e nm e t h o di st h el o c a li n t e r p o l a t i o nm o d e l t h e m e r i ti st h i sm e t h o dh a sd o n en o tn e e dt os o l v et h es y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s ， a n dt h e ne x p a n d e dt h eb s p l i n ea p p l i c a t i o n t l i sm e t h o da p p l i e si nt h es t o c k i n d e xa n a l y s i s ；t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l ti n d i c a t e dt h em e t h o di se f f e c t i v e r e g a r d i n gt h et h r e ed i m e n s i o n a ld a t a , g a v eq u a d r a t i ct e n s o rp r o d u c tb s p l i n e s l o c a li n t e r p o l a t i o ns u r f a c et oa c c u m u l a t et h en u m e r i c a lp r o c e d u r e i nt h et h i r dc h a p t e r , w ep r o p o s ean e wm e t h o dw i t hp i e c e w i s ec u b i c h e r m i t ei n t e r p o l a t i o nc u r v ef i t t i n gs t a t i s t i c sh i s t o g r a m f i r s ts e l e c t st h e h e r m i t e i n t e r p o l a t i o n c u r v e a c c o r d i n g t ot h es t a t i s t i c a l h i s t o k r a m c h a r a c t e r i s t i ct h ei n t e r p o l a t i o ns p o tw h i c ha n dm a ya d j u s ti nt h ei n t e r p o l a t i o n p l a c ed e r i v a t i v ev a l u e ，t h e nb a s i sa r e ar e s t r a i n td e t e r m i n a t i o na d j u s t m e n tv a l u e ， t h u so b t a i n st h ef i t t e dc u r v e t h eo b t a i n e df i t t e dc u r v ea n dt h es t a t i s t i c a l h i s t o g r a mh a v et h e a r e ae q u a lr e s t r a i n t , a n dt h ef i t t e dc u r v ei st h ec c o n t i n u o u ss m o o t hc u r v e 1 h i sm e t h o dg i v e sas i m p l eu s e f o u r t hc h a p t e rh a sg i v e i la p p r o x i m a t ei n t e r p o l a t i o nm e t h o db a s e do nt h e r a d i a lb a s i sf u n c t i o n b e c a u s et h es c a t t e r e dd a t ac o r r e s p o n d e n c er a d i a lb a s i s f u n c t i o ni n t e r p o l a t i o ns y s t e mo fe q u a t i o n so f t e ni sam o r b i ds t a t e u s e st h e g a u s s i a nf u n c t i o n , h a sg i v e nt h em u l t i d i m e n s i o n a ld a t ar a d i a lb a s i sf u n c t i o n a p p r o x i m a t ei n t e r p o l a t i o ne x p r e s s i o n ，a v o i d e dt h es h o r t c o m i n go fh a v i n gt o s o l v et h es y s t e mo fe q u a t i o n sb yt h ee x i s t i n gr a d i a lb a s i sf u n c t i o n i n t e r p o l a t i o n j n 嵋g i v e na p p r o x i m a t ei n t e r p o l a t i o nt y p et ob ep o s s i b l et 0 a b s t r a c t a p p r o a c ht h es i n g l ev a i l a b l eo rt h em u l t i v a r i a b l ec o n t i n u o u sf u n c t i o nb ya n y p r e c i s i o n n l ev a l u ee x a m p l eh a sc o n f i r m e dt h em e t h o di se f f e c t i v e f i f mc h a p t e rd i s c u s s e st h eq u e s t i o nt h eb o xs p l i n ef u n c t i o nt 0u s ei nt h e c o m p u t e ra s s i s t a n c eg e o m e t r yd e s i g n e l a b o r a t e dt h eb o xs p l i n ee x p r e s s i o n ， r e g a r d i n gt h em u l t i - d i m e n s i o n a ls p l i n e d i s c u s s e dt h eb o xs p l i n em u l t i n o m i a l n a t u r e ，t h ed i f f e r e n t i a ln a t u r e ，t h ec o n v e x i t y , t h es u b d i v i s i o np r o p e r t i e s ，a s w e l lf l $ t h eb o xs p l i n ea n dt h et e n s o rp r o d u c tb s p l i n er e l a t i o n s k e y w o r d s ：t h eb s p l i n e , t h ec a r v ea n ds u r f a c e , a p p r o x i m a t i o n ，t h e h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n , t h et i m es e r i e si n t e r p o l a t i o n , t h es t a t i s t i c a lh i s t o g r a m t h e s c a t t e r e dd a t ai n t e r p o l a t i o n ，t h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，t h eb o xs p l i n e f u n c t i o n ，t h et e n s o rp r o d u c tb s p l i n e 一 望! ! 竺! 螋! u s to fn g u r e s f i g u r e2 1 as i m p l ec u b i cs # i n e ，i i f i g u r e 2 2 t h e i r i d i a g o n a ls p l i n e 1 6 f i g u r e2 3 t h eb s p l i n eb a s i so n 0 ，4 】2 2 f i g u r e2 4 d a i l y a v e r a g et u r n o v e ri nv a l u ef o rs h a n g h a r ss t o c ke x c h a n g e 3 2 f i g u r e2 5 t h es h a n g h a im a r k e tv a l u ef o rb s h a r e s 3 3 f i g u r e2 6 t h e1 8 0i n d e xh i s t o r ys i m u l a t i o nt r e n dc h a - s 。3 3 f i g u r e2 7 p r e d i c t i n gc u r v eo f l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n 3 6 f i g u r e2 8 q u a d r a t i cb s p l i n ec u r v e 。，3 8 f i g u r e3 1 f i t t i n g c u r v e o f d a t a t a b l e3 1 ，4 8 f i g u r e3 2 f i t t i n gc u r v eo f d a t at a b l e3 2 f i g u r e 4 1 - s c a t t e r e d d a t a p o i n t sp fw i t ha s s o c i a t e d f u n c t i o n v a l u e f j f i g u r e4 2 i n t e r p o l a t i o nu s i n gg - r b e f i g u r e4 3 a p p r o x i m a t ec r r v ew i t h n = 1 0 f i g u r e4 4 a p p r o x i m a t ec u r v e w i t hn - - 2 0 f i g u r e4 5 a p p r o x i m a t es u r f a c e sw i t h 2 = 1 f i g u r e4 6 a p p r o x i m a t es u r f a c e sw i t h 五= 11 。 f i g u r e4 7 a p p r o x i m a t es u r f a c e l 3w i t h 2 = 1 f i g u r e4 8 a p p r o x i m a t es u r f a c e s 、】v i t h 五= 7 f i g u r e5 1 b i v a r i a t eb o xs p l i n eo v e rt h ei x i a n g u l a rg r i d 4 8 5 0 5 6 6 l 6 1 f i g u r e5 2 t r a n s l a t e so f t e n s o rp r o d u c tb o xs p l i n e s f i g u r e5 3 b o xs p l i n e s a r es h a d o w o f b o x e s ，。 f i g u r e5 4 s u p p o r to f b x ，w h e r ex = e l , e 2 ，e 1 膏k h g u r e5 5 p r o j e c t i o no f 3 - d i m e n s i o n a lp a r a l l e l e p i p e d 6 4 6 5 f i g u r e5 6 t h es u p p o r t so f q u a d r a t i ca n dc u b i cb o xs p l i n eo v e rt h e c r i s sc r o s sa n dt h e r e g u l a rt r i a n g u l a r 鲥d 6 7 6 8 f i g u r e5 7 d e c o m p o s i t i o no f z si n t ot r a n s l a t e so f c o a r s e rg r i d 7 0 f i g u r e5 8 s u b d i v i d i n gab o x 刚i n eb ys u b d i v i d i n gi t sb o x v i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名：q 竺竺竺幽日期：2 控+ 年上月l 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：导师签名量 垫!日期：垒卑年l 月j 日 1 i n t r o d u c t i o n 1i n t r o d u c t i o n 1 1s p l i n ei n t e r p o l a t i o na n dh e r m i t ei n t e r p o l a t i o n t h i st h e s i sw i l ld i s c u s st h ei n t e r p o l a t i o nm o d e l l i n g ；w i l la l s op r o p o s eo n ek i n do f f o r e c a s tn e wm e n t a l i t y i nt h i sf o u n d a t i o n , h a sc a r r i e do nt h ef o r e c a s ts i m u l a t i o no n s h a n g h a is t o c ki n d e xc l o s i n gp r i c et h i sd e n s es u c c e s s i o nm a t e r i a l a p r o b l e mf r e q u e n t l yo c c u r r i n gi ns e i a n c ea n de n g i n e e r i n gi st h ea p p r o x i m a t i o no f a f u n c t i o n f ，t h ev a l u eo f w h i c hi sk n o w no n l yo nr e l a t i v e l ys m a l ls e to f p o i n t s o n ew a y t oo b t a i ns u c ha na p p r o x i m a t i o ni sb yi n t e r p o l a t i o n ： g i v e nt h ev a l u e szo ffa tt h ep o i n t s x r 4 ，i = 1 ，2 ，n ，d e t e r m i n eaf u n c t i o ns t h a ts a t i s t i e st h ec o n d i t i o n s s k ) = ，b ) = z ，i = 1 ，2 ，n u s u a l l y , t h ec h o i c eo fs o l u t i o nm e t h o ds p e c i f i e sac l a s so ff u n c t i o n s ，w i t ht h e i n t e r p o l a n ts su n i q u e l yi d e n t i f i e db yc o m p u t i n gan u m b e ro f f r e ep m a m e t e 猖，s ot h a t js a t i s f i e st h ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n s , a n dp o s s i b l ym e e t sf u r t h e rr c s w a i n t so rh a s p a r t i c u l a rp r o p e r t i e sr e q u i r e db yt h ea p p l i c a t i o n i nm eo n e - d i m e n s i o n a lc a s e 9t h eg r a p ho f ，b e l o n gt ot h et w o - d i m e n s i o n a l e u c l i d e a ns p a c ea n dt h ep r o b l e mm a yb er e s t a t e di ng e o m e t r i ct e r m s g i v e nas e to fp o i n t s p i ，f = 1 ，2 ，n ，f r o ma nu n k n o w nt a r g e tc u r v e ，c o n s t r u c ta e u l w ew h i c ha p p r o x i m a t e st h eo r i g i n a l ，i nt h es e n s et h a ti tp a s s e st h r o u g ha l lt h ed a t a p o i n t s ac o m m o ns o l u t i o nf o rt h i sp r o b l e mi sc u b i cs p l i n ei n t e r p o l a d o n , w h i c hi s 。 c h o o s i n ga ni n t e r p o l a n tf r o mt h es p a c e so f p i e c e w i s ep o l y n o m i a l so f d e g r e et h r e et h a t h a v eas m o o t hf i r s td e r i v a t i v ea n dac o n t i n u o u ss e c o n dd e r i v a t i v eb o t hw i t h i na n da tt h e b o u n d a r yo f t h ei n t e r p o l a t i o ni n t e r v a l e v e r y o n et h a th a se v 盯t r i e dt oa p p l ys i m p l el i n e a ri n t e r p o l a t i o nt of i n dav a l u e b e l w e e l lp a i r so fd a t ap o i n t sw i l lb eo n l yt o oa w a r et h a ts u c ha t t e m p t sa r ee x t r e m e l y u n l i k e l yt op r o v i d er e l i a b l er e s u l t si f t h ed a t ai sb e i n gu s e di sa n y t h i n go t h e rt h a nb r o a d l y l i n e a r i na na t t e m p tt od e a lw i t hi n h e r e n tn o n - l i n e a r i t y , t h en e x ts t e pu s u a l l yi n v o l v e s s o m es o r to f p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n t h i sg e n e r a l l yl e a d st of a rm o r es t a b l ea n dr o b u s t i n t e r p o l a t i o n a n df i t t i n g ，b u ti sa l s op o t e n t i a l l yad i f f i c u l ta r e aa st h ee n dp o i n t s , m o n o t o n i c i t y , c o n v e x i t ya n dc o m i n u i t yo fd e r i v a t i v e sa l lm a k et h e i ri n f l u e n c e sf e l ti n o f t e nc o n t r a d i c t o r yw a y s o n eo ft h em o s tp o p u l a rw a y so fd e a l i n gw i t ht h e s ei s s u e si st ou s p l i n e s i nt h e i f m o s tg e n e r a lf o r m , s p l i n e sc a nb ec o n s i d e r e da sam a t h e m a t i c a lm o d e lt h a ta s s o e i a t ea c o n t i n u o u sr e p r e s e n t a t i o no fac l l r v eo rs u r f a c ew i t had i s c r e t es e to fp o i n t si nag i v e n s p a c e s p l i n ef i t t i n gi s a ne x t r e m e l yp o p u l a rf o r mo fp i e c e w i s ea p p r o x i m a t i o nu s i n g v a r i o u sf o r m so fp o l y n o m i a l so fd e g r e en ，o rm o l - eg e n e r a lf u n c t i o n s ，o na l li n t e r v a li n w h i c ht h e ya r ef i t t e dt ot h ef u n c t i o na ts p e c i f i e dp o i n t s ，k n o w na sc o n t r o lp o i n t s , n o d e so r 1 i n t r o d u c t i o n k n o t s n 壕p o l y n o m i a lu s e dc a nc h a n g e b u tt h ed e r i v a t i v e so ft h ep o l y n o m i a l sa r e r e q u i r e dt om a t c hu pt od e g r e en - la te a c hs i d eo ft h ek n o t s o rt om e e tr e l a t e d i n t e r p o l a t o r yc o n d i t i o n s b o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ea l s oi m p o s e do nt h ee n dp o i n t so f t h ei n t e r v a l s n l eh e a r to f s p l i n ec o n s t r u c t i o nr e v o l v e sa r o u n dh o wt h es e l e c t e dc o n t r o lp o i n t sa r ce f f e c t i v e l y b l e n d e d t o g e t h e ru s i n gt h ep o l y n o m i a lf u n c t i o no f c h o i c e c o n s t r u c t i n gas m o o t hc l l r v ew i t hg i v e ne n d p o i n tc o n d i t i o i l s i saf u n d a m e n t a l p r o b l e mi nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) a ni n t e r p o l a t i o np r o b l e ma r i s e sw h e n t h ev a l u eo faf u n c t i o ni sn e e d e da tad o i n tw h e r en od a t ai sa v a i l a b l e 1 1 1 et a s ki st o e s t i m a t et h a tv a l u eo nt h eb a s i so fm e a s u r e m e n t sm a d ee l s e w h e r e n l o s em e a s u r e m e n t s a r et r e a t e da si f t h e yw e r e e r r o rf r e e p i e c e w i s ea p p r o a c h e s ( p i e e e w i s e - l i n e a r i n t e r p o l a t i o n , p i e c e w i s e - c u b i c h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n , a n dp i e e e w i s e - c u b i cb e s s e i i n t e r p o l a t i o n ) a r eg o o df o ri n t e r p o l a t i n gm o r ec o m p l i c a t e d f u n c t i o n s ( f u n c t i o n st h a t r e q u f f et h eu s eo f m o r et h a nt e ni n t e r p o l a t i o np o i n t s ) a l lp i e c e w i s ea p p r o a c h e sw o r kb y l o g i c a l l yb r e a k i n gf u n c t i o n si n t op i e c e st h a t a ei n t e r p o l a t e di n d i v i d u a l l y p i e c e w i s e a p p r o a c h e sv a r yi nt h ed e g r e eo f t h ep o l y n o m i a l su s e dt oi n t e r p o l a t et h ep i e c e s 越w e l la s i nw h i c hp o i n t sa r es e l e c t e d 船i n t e r p o l a t i o np o i n t s t h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o np r o c e s si s f r e q u e n t l yu s e di nt h ec o n s t r u c t i o no fs u c ha c u r v ea n dt h er e s u l t i n gc u b i cp o l y n o m i a l c u r v ei sc a l l e dah e r m i t ec u l t e a sp o i n t e do u ti n 1 0 t 1 ac u b i ch e r m i t ec u r v ei s m a t h e m a t i c a l l ys m o o t hb e c a u s ei th a st h em i n i r f l u n ls t r a i ne n e r g ya m o n ga l lc 1c u b i c p o l y n o m i a ls p l i n ec u r v e ss a t i s f y i n gt h es a m ee n d p o i n tc o n d i t i o n s h e n c e ，f a i r i n gac 1 c u b i cs p l i n ec u r v ew i t he n d p o i n t ( p o s i t i o na n dt a n g e n t ) c o n s t r a i n t sw i l le v e n t u a l l yl e a dt o ac u b i ch e r m i t ec u r v e i nt h i st h e s i sw ew i l lp r e s e n tp i e c e w i s e - e u b i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o nm e t h o d st o f i t t i n gh i s t o g r a mc u r v e t h ec u b i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o np r o b l e mi st of i n da c u b i cc u r v e t h a tp a s s e st h r o u g ht w op o i n t sw i t h # v a nt a n g e n tv e c t o r sa tt h e s ep o i n t s s u c hc u l v e s h a v eg r e a ta p p l i c a t i o ni nt h ef i e l do fc o m p u t e rg r a p h i c sa n da r ep a r t i c u l a r l yu s e f u lf o r p r o d u c i n gi n t e r - f r a m ei n t e r p o l a t i o nf o ra n i m a t e ds e q u e n c e s 【9 8 i ns u c ha p p l i c a t i o n st h e n e e dt os p e c i f yt h ee n d - p o i n td e r i v a t i v e so ft h ec l i l r v es e g m e n t si sap o w e r f u lt o o lf o r a p p l y i n gt e n s i o nt ot h ei n t e r p o l a t i n gc u r v ea n da l s oa l l o w sab i a st ob ea d d e ds ot h a t d e r i v a t v e sm a