（计算数学专业论文）mortar型q1rot元和q1rotq0元的瀑布型多重网格方法.pdf

摘要 在这篇论文中，我们讨论了m o r t a r 型旋转q l 元解二阶椭圆问题和m o r t a r 型 q 7 “q o 元解不可压缩的s t o k e s 问题的瀑布型多重网格方法对二阶椭圆问题，我 们对非嵌套的m o r t a r 元空间提出一种网格转移算子我们证明了瀑布型共轭梯度 法足最优的。即收敛率与网格尺寸及层数无关同时证明了经典迭代下的瀑布型 多重网格是拟最优的数值结果验证了我们的理论分析对不可压缩的s t o k e s 问 题，我们首先对非嵌套的m o r t a r 元空间提出一种类似的网格转移算子，并给出了 瀑布型共轭梯度法最后，我们证明了瀑布型多重网格对速度的最优收敛性 关键词：m o r t a r 有限元，旋转q 。元，瀑布型多重网格方法，椭圆问题，s t o k e s 问 题 a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s sc a s c a d i cm u l t i g r i da l g o r i t h m sf o rm o r t a r t y p e r o t a t e dq le l e m e n tf o rt h es e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e ma n dm o r t a r - t y p e q p q oe l e m e n tf o rt h ei n c o m p r e s s i b l es t o k e sp r o b l e m f o rt h es e c o n do r d e r e l l i p t i cp r o b l e m ，w ep r o p o s ea ni n t e r g r i dt r a n s f e ro p e r a t o rf o rt h en o n e s t e d m o r t a re l e m e n ts p a c e s i ti sp r o v e dt h a tt h ec a s c a d i cc o n j u g a t eg r a d i n e t m e t h o di so p t i m a l ，i e ，t h ec o n v e r g e n c er a t ei si n d e p e n d e n to f t h em e s hs i z e a n dm e s hl e v e l m e a n w h i l e t h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o dw i t ht r a d i t i o n a l i t e r a t i o ni sn e a r l yo p t i m a l n u m e r i c a lr e s u l t sc o n f i r mo u rt h e o r e t i c a la n a l y - s i s f o rt h ei n c o m p r e s s i b l es t o k e sp r o b l e m ，w ef i r s tg i v eas i m i l a ri n t e r g r i d t r a n s f e ro p e r a t o rf o rt h en o n e s t e dm o r t a re l e m e n ts p a c e sa n dp r e s e n tt h ec a & - c a d i cc o n j u g a t eg r a d i n e tm e t h o df o rs o l v i n gt h ea l g e b r a i ce q u a t i o n s t h e n t h eo p t i m a lc o n v e r g e n c er a t eo ft h e c a s c a d i cm u l t i g r i df o rt h ev e l o c i t yi s p r o v e n k e yw o r d s ：m o r t a rf i n i t ee l e m e n t ，r o t a t e dq 1e l e m e n t ，c a s c a d i cm u l t i g r i d m e t h o d ，e l l i p t i cp r o b l e m ，s t o k e sp r o b l e m 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 ，坚持以“求实创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 ，本论文中除引文外，所有实验数据和有关材料均是真实的 4 ，本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名t 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版 保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名， 日 期， a c k n o w l e d g e m e n t s i ti sm yh o n o rt oh a v et h eo p p o r t u n i t yt oe x p r e s sm ys i n c e r eg r a t i t u d et o m ys u p e r v i s o r ，p r o f e s s o rc h c nj i n r u ，w h oh a so f f c r e dm em a n yv a l u a b l ea n d e n l i g h t e n e di n s t r u c t i o n sa n dc o n s t a n te n c o u r a g e m e n td u r i n gm y t h r e ey e a r s t u d y , a n dw i t h o u th i sc a r e f u lr e a d i n ga n di m p r o v i n ga d v i c e ，t h ec o m p l e t i o n o fp r e s e n tt h e s i sh a sb e e ni m p o s s i b l e ia l s qe x p r e s sm yh e a r t yt h a n k st op r o f e s s o rs o n gy o n g z h o n g ，p r o f e s - s o rd uq i k u i ，p r o f e s s o rs u nz h i r e n ，p r o f e s s o rs u nw e n y u ，p r o f e s s o rw a n g y u s h u n ，a n do t h e rt e a c h e r so fs c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t e rs c i - e n c e s w i t h o u tt h e i rh e l p ，1w o u l dn o th a v ef i n i s h e dm ys t u d ys os m o o t h l y m yi n d e b t e d n e s si sa l s oo w n e dt oh a n gp e i q i ，w a n gf e n g ，x uw e if o rt h e i r u s e f u ld i s c u s s i o na n da l lm yc l a s s m a t e sw h oh a v eg i v e nm eh e l pi nm ys t u d y f i n a l l y , io w em yt h a n k st om yd e a rp a r e n t sf o rt h e i rc a r ea n ds u p p o r t w i t h o u tt h e i rl o v e ，t h ec o m p l e t i o no fm ys t u d yc o u l dh a v eb e e ni m p o s s i b l e a u t h o r ：l it i n g d a t e ：a p r i l5 ，2 0 0 7 p r e f a c e i nm o s tn u m e r i c a lp r o c e d u r e sf o rs o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ea n a l y s tf i r s t d i s c r e t i z e st h ep r o b l e m ，c h o o s e sa p p r o x i m a t i n ga l g e b r a i ce q u a t i o n so l lf i n i t e - d i m e n s i o n a l a p p r o x i m a t i o ns p a c e ，a n dt h e nd e v i s e san u m e r i c a lp r o c e s st os o l v et h i sh u n gs y s t e mo f d i s c r e t ee q u a t i o n s t h ec a s c a d i cm l l l t i g r i dm e t h o dp r o v i d e sa no p t i m a lo r d e ra l g o r i t h mf o r s o l v i n gt h ea i g e b r a i ce q u a t i o n sd i s o r e t i z e db yt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a n dt h ea m o u n t o fc o m p u t a t i o n a lw o r ki n v o l v e di s p r o p o r t i o n a lo n l yt ot h en u m b e ro fu n k n o w n si nt h e d i s c t e t i z e de q u a t i o n st 1 1 ec c a d i cm u l t i g r i dm e t h o dw a sf i r s tp r o p o s e db yb o m e m a n n a n dd e u f l h a r di n ( 8 】c o m p ”e dw i t hu s u a lm u l t i g r i dm e t h o d ，i tr e q u i r e sn oc o a r s eg r i d c o r r c c t i o n sa ta l lt h a tm a yb ev i e w e da sa “o n ew a y ”m u l t i g r i d a n o t h e rd i s t i n c t i v ef e a t u r e o ft h i sm e t h o di sp e r f o r m i n gm o r ei t e r a t i o n so nc o a r s e rl e v e l ss oa st oo b t a i nl e s si t e r a t i o n so n f i n e rl e v e l s n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h i sm e t h o di sv 6 w ye f f e c t i v e m e a n w h i l e i th a s b e e np r o v e dt h a tt h ec a s c a d i cm u l t i g r i dw h i c hu s e st h ep 1c o n f o r m i n gc l e m e n tf o rt h es e c o n d o r d e rp r o b l e mi n3 - di sa c c u r a t ew i t ht h eo p t i m a lc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yf o ra l lo n e - s t e p c o n v e n t i o n a li t e r a t i v em e t h o d s ，l i k et h ej a c o b i ，g a u s s - s c i d e la n dp d c h a r d s o ni t e r a t i o na s w e l la sf o rt h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d as m o o t h e r h o w e v e r ，f o rt h ep r o b l e mi n2 - dc a s e t h ec a s e a d i cm t l l t i g r i dg i v c st h ea c c u r a t es o l u t i o nw i t ht h eo p t i m a lc o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t yf o rt h ec o n j u g a t ef a d i e n tm e t h o d ，b u to n l yn e a r l yo p t i m a lc o m p l e x i t yf o ro t h e r c o n v e n t i o n a li t c r a t i v es m o o t h e r s t h ee a s c a d i em u l t i g r i dm e t h o dh a sb e e na p p l i e dt os t o k e s p r o b l e m sb yb r a c s sa n dd a h m e ni n1 1 0 】 t h er o t a t e dq 1e l e m e n ti sa ni m p o r t a n tn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t i tw a sf i r s tp r o p o s e d a n da n a l y z e di nf 2 6 1f o rs t o k e sp r o b l e m s t l l i se l e m e n tp r o v i d e st h es i m p l e s tc x a m p l eo f d i s c r e t e l yd i v e r g e n c e - s t a b l en o n c o n f o r m i n gc l c m c n to nq u a d r i l a t e r a l s i n 【2 】 a u t h o r sp r o v e d t h a tt h er a v i a r t - t h o m a sm i x e dr e c t a n g l ee l e m e n tm e t h o di se q u i v a l e n tt ot h er o t a t e dq 1 e l e m e n tm e t h o d i nf 2 4 1 ，t h i se l e m e n tw a su s e dt os i m u l a t et h ed e f o r m a t i o no fm a r t e n s i t i e e r y s t a l sw i t hm i c r o s t r u c t u r e t h ef i r s tv e r s i o no ft h ec o n s i d e r e de l e m e n t si sd e f i n e do n r e c t a n g l e sw i t hd e g r e e so f f r e e d o mg i v e nb yt h ev a l u e sa tm i d p o i n t so f e d g e so ft h er e c 呒a n g l e s t h es e c o n dv e r s i o ni sd e f i n e do nr e c t a n g l e sw i t hd e g r e e so ff r e e d o mg i v e nb yt h ea v e r a g e s o v e rt h ee d g e so ft h er e c t a n g l e s a sn u m e r i c a lt c s t 8i n 2 5 i n d i c a t e ，t h ee n e r g yn o r l no ft h e i t e r a t e so ft h eu s a a li n t e r g r i dt r a n s f c ro p e r a t o r s w h i c he n t e r sb o t hu p p e ra n d1 0 w e rb o u n d s f o rt h ec o n d i t i o nn u m b e ro fp r e c o n d i t i o n e ds y s t e m s ，d e t e r i o r a t e sw i t ht h en u m b e ro fg r i d l c v e l s f o rt h ef i r s tv e r s i o n ，s ow eo n l yc o n s i d e rt h es e c o n dv e r s i o ni nt h i st h e s i s u n l i k e l t h es i m p l e s tt r i a n g u l a rn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t s ，i e ，t h en o n c o n f o r m i n gp 1e l e m e n t s ，t h e r o t a t e dq 1e l e m e n t sd on o th a v ea n yr e a s o n a b l ec o n f o r m i n gs u b s p a c e c o n s e q u e n t l y ，t h e m a r es o m ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h e s et w ot y p e so fn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t s t h em o r t a re l e m e n tm c t h o di san o n c o n f o r m i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o dw i t h n o n o v e r l a p p i n gs u b d o m a i n s t h em e s h e so nd i f f e r e n ts u b d o m a i n sn e e dn o ta l l i g na c r o s s s u b d o m a i ni n t e r f a c e s ，a n dt h em a t c h i n go fd i s c r e t i z a t i o n so na d j a c e n ts u b d o m a i n si so n l y e n f o r c e dw e a k l y t h i so f f e r st h ea d v a n t a g e so ff r e e l yc h o o s i n gh i g h l yv a r y i n gm e s hs i z e s o nd i f f e r e n ts u b d o m a l n sa n di sv e r yp r o m i s i n gt oa p p r o x i m a t et h ep r o b l e m sw i t ha b r u p t l y c h a n g i n gd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t so rl o c a la n i s o t r o p i e s m o r t a re l e m e n tm e t h o dw a sf i r s tp r o - p o s e db yb e r n a r d i ，m a d a y a n dp a t e r a i n1 5 ，t h e yp r o v e dt h ec o e r e i v i t yo ft h ea s s o c i a t e d b i l i n e a rf o t i no i lt h em o r t a rf i n i t ee l e m e n ts p a c e ，t h u si m p l i e de x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n st ot h ed i s c r e t ep r o b l e m ，a n dg o tt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e i ti sa l m o s tas t a n - d a r dw a yt oe l i m i n a t et h ec o n s t r a i n t si m p o s e db yt h cm a t c h i n gc o n d i t i o n sa n dg e tap o s i t i v e d 醯n i t es y s t e m h o w e v e r i tm a yb et e c h n i c a l l yc u m b e r s o m et oe l i m i n a t et h ec o n s t r a i n t s ，s o t h em o r t a re l e m c n tm e t h o dw i t hl a g r a n g em u l t i p l i e r sh a sb e e na n a l y z e dw i d e l ya sas a d d l e p o i n tp r o b l e m i ft h ei n f - s u pc o n d i t i o nh o l d s t h ee r r o ro fa p p r o x i m a t i o nb yf u n c t i o n sw i t h a n dw i t h o u tt h em o r t a rc o n d i t i o n sa r eo ft h es a l n eo r d e r ( s e e 【3 】) t oo u rk n o w l e d g e ，t h e m o r t a re l e m e n tm e t h o df o rr o t a t e dq 1e l e m e n tw a sf i r s ts t u d i e di n 【1 6 1 a b b r e v i a t i o no ft h i st h e s i s ： c h a p t e ro n e ：i n 【1 6 】，am o r t a r - t y p er o t a t e dq 1e l e m e n tm c t h o dw a sp r o p o s e d ，a n dt h e o p t i m a le r r o re s t i m a t ew a so b t a l n e df o rt h ee l l i p t i cp r o b l e m s i nt h i sc h a p t e r w ed i s c u s st h e c a s c 2 d i cm u l t i g r i dm e t h o df o ri t a n do b t a i nt h eo p t i m a lo r d e l e r r o fe s t i m a t ei nl 2 n o r m a ni n t e r g r i dt r a n s f e ro p e r a t o ri s p r e s e n t e df o rt h en o n e s t e dm o r t a re l c m e n ts p a c e s i ti s p r o v e dt h a tt h ec a s c a d i cc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o di so p t i m a la n dt h ec a s c a d i cm u l t i g r i d m e t h o dw i t ht r a d i t i o n a li t e r a t i o ni sn e a r l yo p t i m a l a tl a s t ，n u m e r i c a lr e s u l t sc o n f i r mo u r t h e o r e t i c a la n a l y s i s c h a p t e rt w o ：w cd c v e l o pac a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o df o rt h em o r t a r - t y p eq r a t q o e l e m e n tf o rt h ei n c o m p r e s s i b l es t o k e sp r o b l e m a ni n t e r g r i dt r a n s f e ro p e r a t o ri sp r e s e n t e d f o rt h en o n n e s t e dm o r t a re l e m e n ts p a c e s b a s e do nt h i so p e r a t o r ，w eg i v eac a s c a d i cm u l t i g r i d a l g o r i t h m u s i n gt h et h c o r yd e v e l o p e db yb r a c s s ，d a h m e ni n 1 0 ，w ep r o v et h a tt h ec n s c a d i c c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o di so p t i m a l 2 c h a p t e r1 c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o df o r m o r t a r t y p er o t a t e dq 1e l e m e n tf o r t h es e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m 1 1i n t r o d u c t i o n t h er o t a t e dq 1e l e m e n ti sa ni m p o r t a n tn o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a le l c m c n t i tw a sf i r s t p r o p o s e da n da n a l y z e di n 【2 6 f o rs t o k e sp r o b l e m s t h i se l e m e n tp r o v i d e st h es i m p l e s te x a m - p l eo fd i s c r e t e l yd i v e r g e n c e - s t a b l en o n c o n f o r m i n ge l e m e n t o nq u a d r i l a t e r a l s i n 【2 4 ，a u t h o r s u s e dt h i se l e m e n tt os i m u l a t et h ed e f o r m a t i o no fm a r t e n s i t i ec r y s t a l sw i t hm i c r o s t r u c t u r e p a p e r s 1 7 a n df 3 0 】d i s c u s s e dm u l t i g r i dm e t h o d sf o ri t r e c e n t l yt h e r ea r em a n yp a p e r st od e a lw i t ht h es o - c a l l e dm o r t a re l e m e n tm e t h o d ( s e e 【5 】 16 】 3 1 】，a n dr e f e r e n c e st h e r e i n ) t h i sm e t h o di san o n c o n f o r m i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o n m e t h o dw i t hn o n o v c r a p p i n gs u b d o m a i n s t h em e s h e so nd i f f e r e n ts u b d o m a i n sn e e dn o t a l l i g na c r o s ss u b d o m a i ni n t e r f a c e s ，a n dt h em a t c h i n go fd i s c r e t i z a t i o n so na d j a c e n ts u b d o - m a i n si so n l ye n f o r c e dw e a k l y t h i so f f e r st h ea d v a n t a g e so ff r e e l yc h o o s i n gh i g h l yv a r y i n g m e s hs i z e so nd i f f e r e n ts u b d o m a i n sa n di sv e r yp r o m i s i n gt oa p p r o x i m a t et h ep r o b l e m sw i t h a b r u p t l yc h a n g i n gd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t so rl o c a la n i s o t r o p i e s i n 【1 6 1 ，am o r t a r - t y p er o t a t e d q 1e l e m e n tm e t h o dw a sp r o p o s e d ，a n dt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ei ne n e r g yn o r mw a so b - t a i n e d t h ec a s c a d i em u l t i g r i dm e t h o d 8 1i san e wk i n do fm u l t i g r i dm e t h o d c o m p a r e dw i t h u s u a lm u l t i 刚dm e t h o d s ，i tr e q u i r e sn oc o a r s eg r i dc o r r e c t i o na ta l la n dm a yb ev i e w e d a sa “o n ew a y m u l t i g r i dm e t h o d a n o t h e rd i s t i n c t i v ef c a t u r eo ft h i sm e t h o di st h a to n c o a r s e rl e v e l sa r cp e r f o r m e ds oa st oo b t a i nl e s si t e r a t i o n so nf i n e rl e v e l s f r o m 【8 】，w el a l o w t h a tt h ee a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o dw i t ht h et r a d i t i o n a li t e r a t i o na ss m o t h e ri sa c c u r a t ew i t h n e a r l yo p t i m a lc o m p u t a t i o n a lc o m p l c x i t yf o re l f i p t i cp r o b l e m si n2 d a n dt h ec a s c a d i cm u l t i - g r i dm e t h o dw i t ht h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o da st h eb a s i ci t e r a t i o n ( c a s o a d i cc o n j u g a t e g r a d i e n tm e t h o d ) i so p t i m a li nb o t ha c c u r a c ya n dc o m p u t a t i o n a lc o m p l c x i t y t h eg e n e r a l 3 f r a m e w o r kt oa n a l y z et h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o dw a sp r o p o s e di n 【2 0 i nt h i sc h a p t e r ， w ec o n s i d e rt h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o df o rt h ed i s c r e t ep r o b l e m t 地c h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：s e c t i o n1 2i n t r o d u c e st h em o r t a r = t y p er o t a t e dq 1 e l e m e n tm e t h o d i ns e c t i o n1 3 w eo b t a i nt h eo p t i m a lo r d e re r r o re s t i m a t ei n 驴一n o r i n t h e c o n v e r g e n c eo ft h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o di sp r o v e di ns e c t i o n1 4 s e c t i o n1 5p r e s e n t s s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s f o rc o n v e n i e n c e s w ed e n o t eb y “c au n i v e r s a lc o n s t a n tw h i c hi si n d e p e n d e n to ft h e m e s hs i z ea n d1 e v e lb u tw h o s ev a l u e sc a nd i f f e rf r o mp l a c et op l a c et h r o u g h o u tt h i sc h a p t e r 1 2t h em o r t a r - t y p er o t a t e dq ie l e m e n tm e t h o d f o rs i m p l i c i t y , w cc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gm o d e lp r o b l c m 蔷 巍 w h e r eqc 舻i sar e c t a n g u l a rd o m a i n ，r l 2 ( q ) t h e r ei sn od i f f i c u l t y r e s u l t si nt h i sc h a p t e rt om o r eg e n e r a ls e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m s t h ev a r i a t i o n a lf o r mo f ( 1 1 ) i st of i n du 明( q ) s u c ht h a t a ( n ，”) = ( ，”) ，v ”碥( n ) w h e r et h eb i l i n e a rf o r m ( 1 1 ) t oe x t e n dt h e ( 1 2 ) a ( u ， ) = v u v v d x ， vu ，。雕( n ) j n b ya s s u m p t i o n ，i ti sw e l l - k n o w nt h a tf o ra n y ，l 2 ( q ) t h e r ei sau n i q u es o l u t i o n 硪( q ) nh 2 ( q ) o f ( 12 ) ，w h i c hs a t i s f i e s0 t 0 2 蔓c u b ( s e e 2 0 ) i nt h i sc h a p t e r ，w ec o n s i d e rag e o m e t r i c a l l yc o n f o r m i n gv e r s i o no ft h em o r t a re l e m e n t m e t h o d ，i e ，t h ed o m a i nni sd i v i d e di n t onn o n o v e r l a p p i n gr e c t a n g u l a rs u b d o m n i n s ，q = u 丝1 玩，w h e r e 瓦n 珥i se m p t y , o rav e r t e x ，o r a ne d g ef o ri j t h ei n t e r f a c er = u 怨1 a n k 蟮2i sb r o k e ni n t oas e to fd i s j o i n to p e ns t r a i g h ts e g m e n t s 。( 1 m m ) ( t h a t i st h ee d g e so fs u b d o m a i n s ) c a l l e dm o r t a r s ，i e ，r = u 篇= 1 ；m ，a n dm 。n1 h = o ( r n 咒) w e d e n o t et h ec o l t l m o no p e ne d g et on ta n dq b y 协b y7 r e ( i ) w ed e n o t ea ne d g eo fg a n d c a l li tm o r t a ra n db y 如c ) a ne d g eo f t h a tg e o m e t r i c a l l yo c