（教育学原理专业论文）数学教学中培养学生创造性思维之我见.pdf

内容提要 l2 1 世纪的教育要解决的最重要的问题就是如何培养和造就大批具备高创造 力的人才，这就要求我们的教育必须把培养学生创造性思维放在第一位，使得每 一个受过教育的学生都能够自己发现问题，解决问题，做出科学决策，进行帝所 创新的工作。培养学生创造性思维已成为教育界关注的热点问题之一。y 本文就如何培养学生创造性思维这一问题来谈谈自己在教学中是怎样做 的。首先，探究数学创造性思维的特征从五个方面着手，结合实例加以说明。其 次。就培养数学创造性思维的途径，提出八点建议，例如：鼓励进行数学推广，数 学猜想，数学反驳，数学想像等等。再次，阐述自己在实际教学中是如何通过七个 方面来操作的。例如：加强开放性试题的设置，让学生参与改题，适当布置课题作 业，加强数学建模的训练，培养研究性学习的习惯，加强发散思维能力的训练等 等。最后，指出教师的职责已经不在是单一的传授知识，而应是综合型的。 总之，通过这一系列的探讨，要培养学生创造性思维，必须从教师和学生两 方面入手，缺一不可，教师要为学生创造条件，学生要有主动意识，师生共同合作 才能奏效。 。v 关键词i 数学教学数学想像数学建模创造性思维 a b s t r a c t1 o n ei m p o r t a n tt o p i ca b o u te d u c a t i o ni s h o wt oc u l t i v a t et a l e n t sw h oh a v e p o w e r f u lc r e a t i v i t yi n2 1c e n t u r y c o r r e s p o n d i n g t ot h a t ，f i r s tt h i n gw es h o u l dd oi n o u rs c h o o le d u c a t i o ni sh o wt oi m p r o v eo u rs t u d e n t s c r e a t i v i t ya b i l i t y , w es h o u l d a c t u a t et h e i ra b i l i t yi n f i n d i n gp r o b l e m ，s o l v i n gp r o b l e ma n dm a k i n gs c i e n t i f i c d e c i s i o n n o w , h o w t oc u l t i v a t es t u d e n t s c r e a t i v i t yi so n ek e yp r o b l e mi ne d u c a t i o n c i r c l e s t h i se s s a ys h o w sw h a ta u t h o rd o n ei nc u l t i v a t i n gs t u d e n t s c r e a t i v i t y f i r s t ，f i v e a s p e c t sa l es h o w n i ns e a l c l l i n gt h ec h a r a c t e r i s t i co fc r e a t i v i t yi nm a t h e m a t i c s ，b e i n g e x p l a i n e d w i t h e x a m p l e t h e n , e i g h tp i e c e ss u g g e s t i o n s a l eg i v e ni nh o wt oc u l t i v a t e c r e a t i v i t y i nm a t h e m a t i c s ，s u c h a s e n c o u r a g i n g i nm a t h e m a t i c a l s p m a d ， m a t h e m a t i c a lc o n j e c t u r e ，m a t h e m a t i c a la r g u m e n t ，m a t h e m a t i c a li m a g e ，e t c s e v e n p o i n t s a b o u th o wt od oi ti np r a c t i c ee d u c a t i o na r ee x p a t i a t e dw h i c hb a s e do n a u t h o r s e x p e r i e n c e ，s u c h a s s e t u p o fo p e nq u e s t i o n s ，s t u d e n t s p a r t i c i p a t i o ni n m a k i n g ac o r r e c t i o na n s w e r , s u i t a b l es c h o o l w o r k ，t r a i n i n gi nc o n s t r u c t i o n o f m a t h e m a t i c a im o d e l ，c u l t i v a t i n gh a b i to fr e s e a r c h i n g ，t r a i n i n gt h er a d i a t ei d e a t i o n ， e t c a tl a s t ，i tp o i n t so u tt h a tat e a c h e rs h o u l dn o tp a s so no n e s i d e dk n o w l e d g et o s t u d e n t sb u tm a n y - s i d e d a n y w a y , f r o ms e r i e sd i s c u s s ，w ek n o wi n o r d e rt oc u l t i v a t e c r e a t i v i t y o f s t u d e m s ，b o t hs t u d e n ta n dt e a c h e rm u s tm a k e a ne f f o r t , t e a c h e rc r e a t ee n v i r o n m e n t f o rs t u d e n ta n ds t u d e n tm u s th a v ea c t i v ec o n s c i o u s n e s s c o o p e r a t i o nb e t w e e n t e a c h e ra n ds t u d e n tc a n g e tt h ew o r k d o n ew e l l k e y w o r d ：e d u c a t i o ni nm a t h e m a t i c sm a t h e m a t i c a li m a g e c o n s t r u c t i o no f m a t h e m a t i c sm o d e lc r e a t e 数学教学中培养学生创造性思维之我见 一、引言一一数学教学中培养学生创造性思维的意义 1 、信息时代呼唤具有创造性思维的人才 江泽民主席在接见出席中国科学院第七次院士大会和中国工程院 第四次院士大会部分院士与外籍院士时的讲话中指出：“迎接未来科学 技术的挑战，最重要的是要坚持创新，勇于创新。我说过，创新是一个民族 的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭的动力。今天我还要说，科技创新已 越来越成为当今社会生产力的解放和发展的重要基础和标志。小而科技 创新关键在于人才，人才的培养在教育。教育在知识和信息的开发、生产、 使用和传播、传递中，以及在培养适应时代发展的人才中发挥着极其重 要的作用。未来的国际竞争，是经济的竞争，是科技的竞争，更是人才 的竞争，是创新人才的数量和质量的竞争，而要培养一个人成材，很关 键的因素是教育，就是教会学生创造性的思维。 2 、我国的教育现状需要培养具有创造性思维的人才 曾有人概括我国教育的弊端：小学教育是“听话教育”，中学教育是 “分数教育”，大学教育是“知识教育”。这无疑是从另一个角度概括出 我国教育不注重创造能力的培养。心3 现在我国正处在从“应试教育”向 “素质教育”转变，全面推进“素质教育”阶段，为了避免象过去那样 出现高分低能的现象，教育改革规定了一个方向：朝向学生创造性思维 能力的发展，朝向提升人的生命质量的价值，始终把教会学生思维作为 自已肩负的最终使命。 3 、培养具有创造性思维的人才是对教师提出的新的挑战 “分、分、分、学生的命根，考、考、考、老师的法宝。”这种现象 第1 页共3 4 页 墼兰墼堂苎鲞堂兰型望堡星丝查墨墨一 贻误了许多人。在当今社会迅猛发展，国际竞争日益激烈，新课程改革 在全国范围内展开，考试制度也随之进行改革的同时，教师肩负培养二 十一世纪创新人才的重任，如何更快更好地培养出具有创造性思维的人 才是新时代对教师提出的新的挑战。教师通过“培养创造性思维”的讨 论与实践，为我国的教育事业做出贡献e 二、创造及创造力、思维及创造性思维 l 、创造3 。关于创造的概念，各家有各家的说法。但是，从一般性 意义上来界定创造的概念，定义为：所谓创造就是指首创前所未有的事 物( 包括概念、原理、理论、决策、作品等等) 。首创包含着首次发现， 第一次发明或出奇意外的知道。 2 、创造力3 。关于创造力的概念，各家有各家的说法。如心理学家 认为，创造力是一种特殊的心理能力。它不同于记忆力、注意力、概括 力、想像力等心理能力。也有人说，创造力是一种产生非自然演化而来 的，或不是用普通方式制造出来的事物的过程。还有人认为。创造力是 打破固定习惯的能力，是运用独创精神击败习惯思维方式的能力。 那么，如何界定创造力昵? 所谓创造力就是人的一种综合地判断、 发现和发明前所未有过的新事物的能力。 仓q 造力有三个鲜明的特点： ( 1 ) 流畅性，所谓流畅性是指创造者在创造过程中毫不受阻地、非常 迅速地解决问题的能力。 ( 2 ) 灵活性，所谓灵活性是指创造者在创造过程中善于寻求捷径，从 而给特定问题找出新奇、独特的解决方案的能力。 ( 3 ) 潜在性，所谓潜在性是指创造者在创造过程中那种在潜意识中储 存充足相关知识信息，并随时供解决问题的能力。 3 、思维。思维是人脑对客观事物的一种概括的、间接的反映，是客 第2 页共3 4 页 墼兰墼兰主苎茎堂生! ! 堕堡昼丝查墨墨一 观事物的本质和规律的反映，换句话说，它是人脑对客观事物的本质和 事物内在的规律性关系的概括和间接反映。”1 数学思维是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达 到对现实世界的空间形式和数量关系的一般性的认识的思维过程。”。 4 、创造性思维。有人认为，创造性思维是指思维活动过程中，通过 直觉、美感、猜想、类比、联想、推广和推理去洞察事物的本质揭示其 内在规律，探索新的阀题，发现新的东西，对事物的发展趋向具有前瞻 性、预见性的高层次的思维能力。c 5 1 也有人认为，创造性思维是指人们 开拓新领域，在前人和他人认识的基础上提出新假设、新观念、新理论 的思维活动。但是创造性思维是有层次之分，是一个循序渐进、逐步发 展的过程。可以说：凡是没有有效方法可供直接利用，没有确定规律可 以遵循的思维都属于创造性思维。幢3 三，创造性思维的特征 创造性思维是创造性人才的主要特征。创造性思维是人类思维的高 级形态，是智力活动的高级表现：它是根据一定目的，运用一切已知信 息，在新异情况或困难面前采取对策，独特地、新颖地且有价值地解决 问题的过程中表现出来的智力品质。任何创造、发明、革新、发现等活 动都离不开创造性思维。 6 3 1 、独创性。创造性思维要求思维独特，不落俗套；思维能打破陈 规，不受框框束缚；能打破习惯性思维，克服思维“定式”，克服思维的 “动力定型”；用前所未有的新角度、新观点去认识事物，反映事物，对 事物表现出超乎寻常的见解。 1 2 、 变通性。思维灵活，不囿于一种方式，能随机应变，从不同侧 面、不同角度多方面考虑问题，不钻死胡同。克服思维的单一性，做到 灵活多变。善于从多种可能的方案中选择最佳方案来解决问题。 第3 页共3 4 页 墼兰墼兰篁茎堂皇! ! 堕丝璺堡圭塞里一 3 、发散性。对一个问题尽量提出多种可能性，从一点向四周发散， 寻找多种答案。例如红砖的用途可以盖房子、盖谷仓、修教室、筑围墙、 做门槛，又可以打狗、垫书架、压纸、磨红粉、钉钉子等等。 4 、重组性。创造往往是在原有基础上的重新组合，这需要种“智 慧杂交能力”，选取前人智慧宝库中的精华，巧妙结合，形成新的成果。 把事物重组变序，把原件重新排列改变顺序，以求产生新的事物。把几 件物品组合多用，也可产生一种新的产品。如把橡皮装在铅笔上，把手 表装在圆珠笔中等。 5 、迁移性。迁移就是把已经掌握的方法在新的领域中应用。如用代 数法解答几何问题，用物理中的力学指导体育锻炼。在科学史上把别的 学科的成果迁移到自己的学科中，从而发现新问题。有所创造的例子很 多，如巴斯德发现的“腐烂是细菌造成的”被英国医生利斯特应用于医 学领域，发展成了外科手术的消毒法。现代“仿生学”也是一种迁移。 边缘学科都需要迁移。 6 、流畅性。这是指心智活动流畅，受阻小，是一种“由此及彼”的 思维方式。它表现在纵向就是发现一种现象后，立即纵身研究，挖掘出 新的东西。表现在逆向就是看到一种现象立即想到它的反面。表现在横 向就是发现一种现象后立即想到与之相关的现象和事物。这种连动可以 使思维深化、思维深邃。 7 、逆向性。遇到问题不只是从正面想。还能从反面想，正面解决不 了反面解决。例如，“草船借箭”本是周瑜想以此整治诸葛亮，如果诸葛 亮只从正面想，加快造船速度，那怎么能在1 0 天造出2 0 万支箭。可诸 葛亮运用逆向思维，从“不造”上做文章，终于创造了奇迹。 8 、 质疑性。创造性思维要求人们对已有的结论提出质疑。如果对 传统结论不敢触及，就不会出现新的理论。爱因斯坦的相对论是牛顿力 第4 页共3 4 页 墼兰墼堂些茎堂生! ! 丝丝星丝兰墨墨一 学的否定；伽利略的理论是对地球中心论的否定，他们都是在怀疑前人 的基础上才建立起崭新的理论的。有勇气打破传统理论的人才能创设新 的理论，创造性思维最忌人云亦云。 四、创造型人才的个性特征 3 1 、独立性不依赖他人，总爱独立活动。被强迫按别人意志办事 时总打不起精神。 2 、批判性对现在流行的观点不满足，对成人的观点也敢提出异 议，总爱提出自己的见解。 3 、探究性喜欢问为什么，事事要依据。爱寻找事物的各种原因 和来龙去脉。对某一问题有新发现时异常兴奋。 4 、冒险性喜欢冒险，喜欢强烈刺激。富于探索精神，敢于做没 多大把握的事，当然也容易犯错误。 5 、幻想性脑子里总有希奇古怪的想法，富于幻想。看到树上的 苹果就想到树上结面包。 6 、竞争性竞争意识较强，好争论，总爱跟别人争得面红耳赤， 不服输，爱和别人比高低。 7 、求新性不喜欢做重复性的常规工作，喜欢标新立异，别出心 裁，爱出花点子。 8 、求异性对事物总爱从多方面、多角度探索其可能性，而不是 把思路固定在某一点上，常常提出“还有别的办法吗? ” 9 、投入性干自己喜欢的工作非常投入，甚至达到废寝忘食的程 度。 1 0 、自信性有自信心，不为别人的讨论所动摇，对自己干的事 有必胜的信念。 1 1 、幽默性富有幽默感，爱开玩笑。 第5 页共3 4 页 墼堂塾兰! 些鲞堂皇剑堕竺垦丝查墨里一 1 2 、敏感性对环境敏感，常专心致志地倾听别人的谈话，并常从 别人的谈话中发现问题。 1 3 、直觉性常有直觉的发现，相信自己的直觉。 1 4 、类比性说话或作文爱用类比的方法。 1 5 、预测性喜欢对事物进行预测，能耐心地等待预测结果。 1 6 、表现性有表现欲，非常希望把自己的发现、自己的观点告诉 别人。 五、数学创造性思维的特征 1 、独特性( 新颖性) 即与众不同、独具卓识。常有三种表现：第 一是具有“怀疑因子”，善于独立思考，不人云亦云，敢于向人们司空见 惯或认为完满无缺的事物提出怀疑，不唯上，不唯书，不迷信权威；第 二是具有“抗压性因子”，即力破陈规，锐意进取，敢于向旧传统和习惯 挑战，勇于创新；第三是具有“自变性因子”，如能够主动否定自己，打 破“自我框框”。其数学行为常表现为，善于提出独立见解，想出新颖独 特解法，能及时反思，能评价解题思路的正误与优劣。明3 个案1 两个等差数列( a 。) 与( b 。) 的前n 项和之比曼：业， 求它们的第9 项之比。 ， 学生ac 中蹴詈2 署。稀2 裂2 等5 湍弓 教师在巡视了绝大多数的学生都用这样的方法做，进行评讲总结， 并指出该题蕴涵了等差数列的一条重要性质，让学生自己从中领悟和归 纳。 学生b ( 优生) 回答“这条性质是 百a n2 囊： 。e ) ，其推导过程 是! 生：堡；鱼! 丝：墨生伽) 于是上题可解为旦：$ 2 91 ：鱼：苎 b 。2 b b l + 6 2 疋、 。 。b 9疋9 - l正7 3 第6 页共3 4 页 塑堂塾兰! 堕茎堂皇! ! 堕丝星丝垫墨一 学生c ( 优生) 举手“还可以归纳为a _ a n ：s n - s1 伽2 ) 于是上题中量= 业= 攀 ， 以7 n 卅剃 注意到等差数列中前矗项和为n 的二次式， 令s 。= ( 5 n 2 - i - 3 n ) k ，l = ( 2 n 2 一行) 七 则 生：曼尘：壑! ：! ! 二! ! 1 2 堕：一8 这里既表现出两个学生思维的深刻性，又表现出思维的独特性。 2 、连动性( 灵活性) 即由此及彼，由表及里的思维能力，表现形 式有三：一是“纵向连动”即发现一种现象后，随即纵前一步，探究其 产生的原因，探索其规律；二是“横向连动”，即发现一种现象后，迅速 联想到特征与之相似或相关的事物：三是“逆向连动”，即看到一种现象 后，立即想到它的反面，或在正面思考受阻时，迅速转向反面探究。其 数学行为可简要概括为善于观察，善于联想，善于转化。 个案2 数列( a 。) 中，口l ：；，：单o 2 ) 求这个数列的通项公 式并计算a l + a 2 + + a 2 0 0 0 的值。 il 一口n 一 学生d ( 优生) 先迅速计算出0 2 = - 2 一扛q = 一祟后，立即停笔，再 看题并略为深思一下后，变换了解法：设 q ：t g a ，口= 要则 铲百l + a l = 而l + t g a = 喀和地2 等5 焉l + t g ( a 再+ 4 ) 吲- 2 扣 铲辔卜) f = 留洋肘弘“) 第7 页共3 4 页 墼兰塾堂生望董兰竺型丝壁璺堡圣苎苎一 易知a 。的周期为4 ，故 a l + a 2 + + a 2 0 0 0 = 5 0 0 ( a 1 + 吒+ a 3 十口4 ) = 5 。( 姆；+ 喀卺万+ 留岩石+ 姆西1 3 万) ：5 0 0 ( 压一2 一压一鱼3 + 2 一压) = 5 0 0 ( 一号芎) = 一半以 笔者问：为什么变换了解法? 学生d 答：“从8 1 ，a 2 ，a 3 值中不易看出 规律，想到可能有其它途径，故再审题，发现 2 兰焉竺的结构类 似于三角中的正切和公式，于是采用三角代换解之” 学生e ( 中等生) 则在审题后，开始计算a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 发现吼= i = 口。 于是再计算吼= - 2 一；= a ：从而猜想a 。的周期为4 ，猜想不能直接拿来 用，还必须验证：1 4 ! ! ! 1 2 = 鼍= 1 1 - - 五( i n + 2 = 一石1 1 a n卜+ 2 同理 口一2 一玄得a n + 4 = a n ，说明a n 的周期确实为4 ， 故a 1 + a 2 + + a g o o o = 5 0 0 ( a l + a 2 + a 3 + a 4 ) ：5 0 0 ( 4 i 一2 一万一半+ 2 一压) ：5 0 0 ( 一昙历) ：一辈压 可见学生d 具有较强的思维连动性，在思维受阻后能及时转向，调 整思维对象，进行类似的联想，从而找到新的思路，而学生e 则表现为 思维受阻后不能及时调整思维对象，思维的横向连动性较弱，但在适当 第8 页共3 4 页 茎茎墼堂皇苎茎堂生型垄丝璺丝i 垡墨 的帮助下，也能产生相似联想而找到解题新途径。这个例子说明中等生 与优生存在差距的原因之一。 3 、广阔性( 多向性)即善于从不同角度多方面观察、思考和分析 问题。其数学行为常表现在对一个题能想出多种不同解法，或作出多种 解释。这种思维的产生并获得成功，主要依赖于四种机智。一是发散机 智，即对一个问题尽量提出多种设想或答案，以扩大选择余地；二是换 元机智，即灵活地变换影响事物质和量的诸多因素中的某个，从而产 生新的思路；三是转向机智，即思维在个方向受阻时，立即转到另 个方向( 如个案2 ) ；四是创优机智，即刻意追求最优解答和最优命题。 个案3 由圆x 2 + y 2 = 9 外一点p ( 5 ，1 2 ) 引圆的割线交圆于a ，b 两点， 求弦a b 的中点m 的轨迹方程。 为了了解学生思维的广阔性情况，将上题作为测试题，让学生f ( 高 三优生) g ( 高三中等生) h ( 高二优生) 分别用多种方法求解，f 较 快地做出5 种解法。( 略) 个案4已知t gq = 2 求c o s 2a 3 s i n 2q 的值。 解法一，通过同角三角函数基本关系式，求出s i na ，c o sa 的值再代入 求值 解法：l 由t go = 2 ，得出c t go = 1 2 c 。s 2 9 一3 s i i l 2 口2 而1 一磊3 。再1 万一雨石3 c t e 2 = 一旦5 s e c 口c s c 口 l + 垃口 l + 解法三一利用降次、万能公式的方法 c o s 2 口一3 s i n 2 口：1 + c o s 2 a 一3 ( 1 - c o s 2 a ) ：2 c o s 2 口一1 ：1 - 3 t 9 2 _ _ _ a a ：一1 2 2 2 t 9 2 口+ 1 5 解法四l c。s2口一3sin2口=!：!蒜=1坦-：3口tg+2_aasln o s1 = 一婴5一口+ c口，p 口+ l 通过以上四种解法，解法一和解法= 是常规解法，运算麻烦，但解法 第9 页共3 4 页 墼兰塾兰撞鲞兰生剑壅丝昼丝j ! ! 垫一 三和解法四能改变思维方式，善于分析利用二次齐次式的特点，灵活运 用公式，解题方便。学生通过四种解法的比较，可以使思维层次得到从 “无疑求异”到“探疑求异”的深层次开拓，从而发展了创新思维。 4 、跨越性( 直觉性)即在思维进程上省略思维步骤，“前进跨度” 大；在思维条件上能由近及远，由“虚”及“实”，有“表”及“里”， 能跨越事物“可限度”的限制，迅速完成“虚体”与“实体”之间的转 化，思维的“转换跨度”大。其数学行为常表现为数学直觉能力，即对 数学对象整体上直接把握、宜接领悟解题思路、直接领悟问题结果的能 力。 个案5 求证：事弓= 口一d 将此题分别让学生d ，f 解答，两生几乎未加思索地答道：“两个式 子分别平方后相加可得结论”，随后迅速写出证明。这里均表现出较强的 思维跨越性或直觉能力。 5 、综合性( 整合性)即对与事物相关的知识和信息综合加工、概 括整理并运用的思维能力。它包含：善于选取前人的智慧宝库中的精华， 通过巧妙组合形成新成果的“智慧杂交能力”：把大量的概念、事实和观 察材料综合在一起，加以概括整理，形成科学原理和系统的“思维统摄 能力”；对占有的材料或信息进行深入分析，把握其个性特点，然后从这 些特点中概括出事物的规律的“辨证分析能力”。 第1 0 页共3 4 页 = | | 护 秒 扣 + 一 舢 舢 x一口x一口 已 满足o x l x 2 l a ， ( 1 )当x ( 0 ，x i ) 时，证明x f ( x ) x j ： ( 2 )设函数“x ) 的图象关于直线x = x o 对称，证明 寻 此题为1 9 9 7 年全国高考题，形式脱俗，结构优美，抽象度高，综合 性强，蕴涵的信息量大，对逻辑思维能力的要求高，因此难度大。 学生d ( 高三优生) 分析： ( 1 ) 欲证x “x ) o 且f ( x ) 一x 1 o 且f i x ) 一x l x 2 a ( x x o ( x - x 2 ) - x l o ：当x ( 0 ，x 1 ) 时，x - x i o f i x ) - x = a ( x x i ) ( x - x 2 )即f f x ) x 又f i x ) 一x i ，x = a ( x - x o ( x - x 2 ) x l 即厂( x ) 一x l = 口( x x 1 ) ( x x 2 ) + ( x x 1 ) = ( x z 1 ) k ( x x 2 ) + l 】 ：。o z x l x 2 ：1 工一工l 0 故【x x i ) k “一x ：) + 1 】( 0 即f i x ) x l o ，亦即f ( x ) x 1 ，故x f ( x ) x l ( 2 ) 欲证v 皂只需证一妻 o 而x 味。是二次函数2 的图象m ；+ b x + c = a ( x + b ) 2 + ( c 一石b 2 ) 的唯一一条对称轴，故= 一旦， 又x 1 ，x 2 是二次函数a x 2 + ( b 1 嚣c ：o 的根，故而+ 屯：一鱼+ ! e x i = - - 瓣吨于是一x _ 2 a _ l = ：b 忑1c z 咱，；三二： 即 立。 。 2 第l l 页共3 4 页 墼兰塾兰生苎茎兰生! 坚墅塑塑坠至整墅一 不难看出，学生d 在证明方法的探索过程中，将分析法和综合法结 合运用，思路清晰、自然、流畅，表现出较强的思维综合性与逻辑思维 能力。 综上所述，可以看出数学创造性思维与非创造性思维( 一般思维) 的主要区别在于思维过程和方法的不同，创造性思维是动态、开放、多 向的立体型思维和空间型思维。而一般思维是静态、封闭、单一的线型 思维，因此创造性思维易取得综合性、宏观性的创造成果。 六、培养数学创造性思维的基本途径 1 、鼓励进行数学推广o 3 在所有的数学发现与数学创造中，通过推广而获得的新概念、新理 论和新方法等新的发现与创造至少占半数以上。数学推广可使数学结论 ( 或概念) 更具抽象性和统一性，从而更加揭示数学对象的本质及不同 对象间的联系。而对数学对象本质的揭示正是数学发现所追求的重要目 标。实践证明，迅速掌握了推广的方法，就等于鼓励学生进行数学推广， 学会数学推广。 个案7 过2 点可画1 条直线，过不共线3 点可画3 条直线，过4 点( 任 何3 点都不共线) 可画6 条直线，那么推广到n 点呢? ( 任何3 点都不共线) 可画一条直线( 初一年学习两点确定一条直线时的提高题) 2 、鼓励进行数学猜想 牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”数学猜想是 数学创造由隐到显的中介，提出数学猜想的过程本质上仍然是数学探索 和创造的过程。因此，加强数学猜想的训练，培养学生提出数学猜想的 能力，对于发展学生的创造性思维具有十分积极的作用。一般来说，知 识经验越多，想象力越丰富，提出数学猜想的方法掌握的越熟练，猜想 的置信度就越高。 第1 2 页其3 4 页 茎兰墼兰主苎鲞兰兰型垄堡曼丝查塞墨_ _ 上题( 个案7 ) 中，学生可以进行大胆的猜想，是不是a 2 呢? 或者是其他 的答案? 通过反复思考，可以发现应该是n ( n - 1 ) 2 a 个案8 为了发现球的体积计算公式，特构造以下几个模型 弓j 导：v 腰柱= 了【r 3，v 嘲锥= 1 3 丌r 3，那么，v 半球= ? 通过观察，联想，使学生猜想到，若球的半径为r ， 另b 么v 芈球= 2 3 r 3 故v 球= 4 3 r 3 3 、鼓励进行数学反驳 反驳也是一种数学创造，是促进数学思维发展的强大动力。因此， 把批判的思想引入数学学习之中，鼓励学生进行数学反驳是数学教学的 任务之一。 个案9 若a 两1 均不能成立； 11l】 ( b ) 不等式夏i i 和两 阿均不能成立： c c ，不等式击 昙和( d + 舻( a + 舢不能魁 c 。，不等式雨1 亩和( 4 + 吉) 2 ( 6 + 书2 均不能成立。 如果该题采用一一证明来做，显然较为麻烦：但可以采用特殊值来检验 第1 3 页麸3 4 页 墼堂丝堂生苎鲞堂兰! ! 丝堡星丝查墨墨一 的方法。令a = 3 ，b = 1 ，代入各个选项中检验，可知只有( b ) 成立。 4 、鼓励进行数学想像 数学史上许多重大的成就都是借助于数学想像。生活在三维空间的 数学家，通过想像，其思想可以在无穷维空间中驰骋，构造出一个个抽 象数学模型，发现一个个的定理。想像力对于数学创造太重要了。 个案1 0 空间四点a ，b ，c ，d ，若a b 上c d ，a c 上b d ，a d z b c 同时成立： 则a ，b ，c ，d 四点() ( a ) 不存在( b ) 一定共面( c ) 一定不共面( d ) 不一定共面 ( 分析) 在空间中，联想到正四面体的性质一一对棱互相垂直，可知a b c d 为正四面体时，a b 上c d ，a c 上b d ，a d 上b c 同时成立，故a ，b ，c ，d ，四点可 能不共面。在平面，联想到三角形垂心的性质，可知当d 为a a b c 的垂心 时，a b 上c d ，a c 上b d ，a d d _ b c 也同时成立，故a ，b ，c ，d ，四点可能共面。 综上所述，应选( d ) 。 5 、拓广学生知识面 为了提高学生数学创造性思维能力，造就未来数学创造型人才，应 当拓广学生知识面，改变他们的知识结构，使他们成为既具有一定的数 学专业知识，又掌握数学的思想方法与思维方法，还有一定的哲学、文 学、艺术修养的人。 个案1 1根据所给的信息，打一成语 l o ( 一层不变始终如一) 1 2 4 3 5 6 7 8 9( 颠三倒四) 2 3 4 5 6 7 8 9 ( 缺衣少食) 7 8 ( 七上八下)3 4 ( 不三不四) 由所给的注音写词 x i a n gj i a o ( 香蕉相交) ( s an ) ( s o n 儿子s u n 太阳) 6 、引导学生适当参加科研活动 适当参加科研活动，不仅有利于深化学生对学习内容的理解，有利 第1 4 页共3 4 页 于学生对学习提出更高层次的要求，而且在科研买践甲，平王削挑泶咧 题能力、分析问题能力、创造性思维能力和解决问题能力都会得到提高。 个案1 2 在双休日，某班组织4 8 名学生到附近一水上公园坐船游 园活动，班主任派班长去了解船只的租金情况，班长看到租金价格表如 下：1 3 ( 严禁超载) 方案一：如果只租大船，则需租船只数为4 8 5 ，因为不能超载，故 需租大船1 0 只，则所付租金为3 1 0 = 3 0 ( 元) 方案二：如果只租小船，则需租船只数为4 8 3 = 1 6 ，故需租小船1 6 只，则所付租金为2 1 6 = 3 2 ( 元) 方案三：如果既租大船又租小船，设租x 只大船，y 只小船，所付 租金为a 元，则r - 5 x + 3 y = 4 8 l a 2 3 x + 2 y 。a = 1 3 x + 3 2 。0 0 时，曲线表示焦点在y 轴上的椭圆： n m 0 时，曲线表示焦点在x 轴上的椭圆； r n = n 0 时，曲线表示圆 m 0 。n 0 。n = 0 时，曲线表示平行于y 轴上的两条直线； m = 0 ，n 0 时，曲线表示平行于x 轴上的两条直线。 “开放性”试题主要考察学生的应变能力，创造能力和知识广度，它 为学生提供了施展才能的机会。在数学教学过程中，开放题教学过程也 是学生主动参与的过程，有利于培养学生数学意识，这样学生经过自己 的探索和创造，有利于培养学生开拓精神，提高他们的创新能力。 通过对开放性试题的研究，应该明确数学教学不应只建立在“概念、 定理一一例题一练习”的知识传授型模式上，而应建立在对学生积极 第1 9 页共3 4 页 墼堂塾兰主堡鲞堂竺继丝垦丝奎墨墨一 鼓励、引导学生进行探索的以学生为中心的创造性模式之上，研究开放 题是时代的要求。 2 、让学生参与改题 对题目进行改造我们并不陌生。在全国高考试题中，我们也常常发现 有些题目是由旧题改造而来的。通过对旧题的改造，可以消除学生对数 学题目的神秘感，有利于培养学生的思维能力。但多数情况下，教师都 是偏重于学生做过的题目加以改造，再让学生练习，但如果把改题的过 程让学生直接参与，则不仅符合以学生为主体的教学原则，而且有利于 加深学生对知识的理解，有利于加强学生知识的横向与纵向的联系，有 利于调动学生探索问题的积极性，可使学生感到出题与解题的乐趣，感 到数学的内在美，更有利于提高学生思维品质。4 3 例l 已知椭圆乓+ 乓：l ( m 0 ，n 0 ，州h ) 求椭圆内接正方形的面 t t t疗 积。 v 2，2 变题1 已知椭圆鲁+ 缶= 1 仰 o ，胛 o ，m 疗) 求椭圆内接矩形的最 m 一九一 大面积。 变题2 过原点作直线l 1 ，l 2 分别交椭圆乓+ 乓：1 o ，疗 o ，研疗) ， 于a ，b ，c ，d 四点，若l 1 ，l 2 的倾斜角分别为目，石一目，口fo ，要l 求矩形a b c d 的面积s 的最大值。 、 。 学生参与改题，有利于培养学生学习积极性、主动性，同时改题的过 程中也是学生知识的升华过程，同时也培养了学生的创造性思维。 3 、适当地布置课题作业1 ( 1 ) 课题作业的涵义 “课题作业”是指教师布置学生“从数学角度对某些生活中和其它 学科中出现的问题进行研究”的学习任务。它需要学生灵活地运用所学 的数学知识，更需要学生自主活动和合作活动，这种作业形式突出学生 第2 0 页共3 4 页 墼兰墼堂主堕鲞堂皇塑堕壁星丝兰墨墨一 的主体性及主动建构的过程，“课题作业”以促进学生数学素养乃至综合 素质的提高为目标指向。 f 2 ) 课题作业的特点 结合生活“课题作业”是沟通数学知识与现实生活的桥梁， 学生需要在某种特定的生活场景中完成作业，拓展学习的场所，从而使 学生在学习数学教科书的同时，也关注生活。 融合“双基”“课题作业”不是简单地抛弃“双基”，而是融 “双基”于其中，它需要学生在数学课上掌握的基础知识和基本技能的 参与，并以此为基础，进而提高并扩展学生多元学习的机会与体验，激 活学生在课堂学习中的“知识储存”。 整合能力“课题作业”是项综合性很强的作业，它不仅仅 局限于某些数学知识与技能，它更需要学生综合思维能力及社会交往能 力的共同参与，因而它能促进学生综合素质的全面提升。 ( 3 ) 课题作业的操作过程 确定课题阶段课题的确定要做到“三个结合”，一是师生共同 确定课题，在师生交互过程中共同确定学习研究的内容；二是要与数学 教材的内容、数学思想、数学方法相结合，做到源于课本但又高于课本； 三是要与中学生的生活现实结合，要充分考虑中学生的年龄特点及生活 空间，课题的提出要符合学生的“最近发展区”。 课题的探索阶段学生明确了“课题作业”的任务后，就必须围 绕课题寻找途径，主动地收集信息、加工处理信息，并用数学知识解决 问题。这是一项富有创造性的工作，学生在此过程中不断获得成功的喜 悦，不再把作业当作负担。 交流评价阶段学生作业的完成过程中，经常组织讨论，交流学 习情况，一方面提高作业质量，方面交流本身也是一种学习。 第2 1 页共3 4 页 形式反映研究成果。确定课题后，学生们通过自己的调查、查资料、研 究分析等途径收集信息，然后对这些信息进行整体处理，写出研究报告 或小论文。 例如：在学习通过描点法画函数图象时，利用厦门靠近海边的优势， 给出一题，“观察每天晚上六时的潮涨潮落情况，并根据所得的数据画出 图象”。( 以一个月的情况为例，每组4 人) 每组学生每天晚六时在同 地点观测潮汐情况，利用坐标轴描出点来。每组学生所定的单位长度不 同，所观察的地点不同，画出的图象也不尽相同。通过讨论，交流，得 以归纳出为什么各自有不同之处。学生在讨论交流过程中，不仅增进了 解，而且有助于他们的合作精神。学生通过课题作业，不仅掌握课本知 识，而且对课本知识有更深的理解，并能在日常生活中加以应用，起到 了学以致用的好处。 ( 4 ) 课题作业对教师的要求 “课题作业”的特点预示了课堂已不再是学生学习的唯一场所，学 习内容也不仅仅是教科书。这种学习方式的变化导致师生关系的变化， 长期以来形成的传统师生关系是一种不平等的关系，教师不仅是教学过 程的控制者、教学活动的组织者、教学内容的制定者和学生学习成绩的 评判者，而且绝对权威。师生之间不能平等地交流、探讨，在这样的师 生关系下，学生的创新能力很难得到良好的发展。“课题作业”使教师从 知识权威到平等地参与学生的研究，从知识的传递者到学生学习的促进 者、组织者、传递者。由于“课题作业”涉及到多学科知识，这就要求 数学教师从个体走向合作，从局限数学教科书到关注学科交叉。教师对 “课题作业”备课的出发点已不再是教材，而是学生在生活中遇到困难 和问题，教师能提供什么帮助，教师怎样参与才能更有利于学生的可持 第2 2 页共3 4 页 墼兰墼兰生堡茭兰生型堕丝星丝查i 塑 续发展。因此，教师要更新自身的教育观念、知识结构和教学方法，要 树立全新的课程和教学理念。 4 、加强数学建模的i ) jj 练 为适应2 l 世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生 生活实际和社会实践的要求，在中学数学建模教学与应用的研究和实践， 目的培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解 放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学始终，让学生学得生 动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。”们 ( 1 ) 从课本中的教学出发，注重对课本习题的改变 例如：求函数，( 曲= x x 4 3 x 2 - 6 x + 1 3 - 4 x 4 一x 2 + 1 最大值 解：可将函数f i x ) 化为，( 功= ( 工2 2 ) 2 + 一3 ) 2 一( x 一1 ) 2 + x 2 观察其特征，可看成在抛物线y = x 2 上找一点，使它与两定点a ( 3 ，2 ) ，b ( o ，1 ) 之间的距离之差最大。 由于a ，b 两点分别在y = x 2 两旁，故f ( x ) m a x = ( 3 一o ) 2 + ( 2 1 ) 2 = l o fa r v 乡( o ，1 ) r x ( 2 ，3 ) ( 2 ) 从生活中的数学问题出发，强化应用意识 7 3 数学建模的基本程序如下： 审题 第2 3 页共3 4 页 墼堂墼兰些鲞堂兰! ! 垄堡曼丝查塞墨 一一 利用数学建模创造性地解决实际问题。 例如：家里装修要买地砖需要选用那种规格( 尺寸) 的地砖更省钱? 8 3 omis 砖数，n 表示o r 边上的整砖数，i 表示o s 边上所用切割砖的宽度，j 扛) = 七+ x ( x o 或x = o ， ( 2 ) 0 + 斜后= 阱其中a 表示地砖的边长) 鲫地朋盯+ 酬华分= 舡斛 【j 5 、培养学生研究性学习的习惯9 3 塑兰塾堂堕鲞堂生型堕丝墨堡查墨墨一 研究性课程是指在基础性课程、拓展性课程的基础上，面向全体学生， 运用研究性学习方式，以学生自主探究为主，以培养学生的研究能力、 实践能力、创新精神、创新能力为主要目标的课程。 ( 2 ) 研究性学习的主要特征 问题性研究性学习主要围绕问题的提出和解决来组织学生的学 习活动。研究性学习的过程是探究的过程，它从提出问题开始，并围绕 着分析问题、解决问题来进行。研究性学习非常重视学生发现问题、提 出问题、分析问题、解决问题的能力。 探究性探究性是研究性学习的核心。在研究性学习中出现的问题 是探究性的问题，对学生来说，没有现成的方法和常规的套路可以套用， 必须经过思考、探索、研究，寻找新的解决办法。在研究性学习中，学 生以类似科学研究的方式，模拟科学家的研究方式和研究过程，经历查 找资料、设计方案、实验操作、假设求证、探索修正等探索研究的过程。 在探索研究的过程中，经常用到归纳、类比、直觉、猜想、探索性演泽 法等探索性思维方法。 自主性自主性是研究性学习的关键。研究性学习贯彻“自由选题、 自主探究、自由创造”的原则。即由学生自主选择确定研究课题，然后 由学生独立自主开展探索研究，充分发挥学生的创造潜能，创造想象， 在研究探索过程中学生绐终处于主体地位。 创新性研究性学习的最终目标是培养学生的创新精神、创造能力 和实践能力。从研究性学习的结果可能大多是已有科学研究成果的运用 或“再发现”，但对学生个体来讲，它通过探索、研究后产生的自己从未 有过的想法、见解和解决问题的方法，因此具有自我实现的创新性。另 外，从教育价值的角度来看，学生通过对科学研究的思维方法、研究方 法的学习运用，通过对探究性问题的创新性解决，将亲身经历体验科学 第2 5 页共3 4 页 茎兰墼兰苎茎堂兰型堕丝曼丝圭墨墨一 家研究和解决问题过程中的思维活动的心理活动，能达到有效培养创新 意识、创新能力的目的。就这一意义而言，对学生来说，创新更多地是 指学习过程中所表现出来的探索