2016年长沙市学用杯初二竞赛复赛试题详解.doc

2016年中学生理化报课外读书活动长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛八年级复赛试题详解一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知，（m为任意实数），则、的大小关系为（ ）.A、 B、 C、 D、不能确定解：0， QP，即PQ，故选A.2.已知，则（ ）.A、16 B、32 C、64 D、128解：令x1，得令x1，得得：，故选C.3.已知有理数a、b、c满足关系式，则的末位数字为（ ）.A、2 B、4 C、6 D、8解：易知a4，bc4，从而8而的个位数字与的个位数字相同，故末位数字为8，所以选D.4.平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（ ）.A、9 B、12 C、13 D、15解：如果6个点中任意三点都不共线，那么一共可以作出的直线有5432115（条），现其中仅有三点共线，那么一共可以作出的直线的条数为153112（条），故选C.5.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（ ）.A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心解：如图，设直线DE平分ABC的周长和面积，D，E分别在边AB和AC上，作A的平分线交DE于P，记P到AB，AC的距离为，P到BC的距离为，于是依题意有由此容易解得，即P到ABC三边的距离相等，所以P是ABC的内心.故选A.6.如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO.如果AB4，AO，那么AC的长为（ ）.A、 B、 C、12 D、16解：如图，在CA上截取CMAB4，连接OM，设OB与AC的交点N.ABO90ANB，MCO90CNO又ANBCNOABOMCO，又ABMC，BOCO，故ABOMCO，AOMO，AOBMOC，BOMMOCBOC90，BOMAOB90，即AOM90，故AOM是腰长为的等腰直角三角形，由勾股定理可得其斜边AM12，ACAMMC12416，故选D.7.D是ABC的BC边延长线上一点，且CDBC，E为AC的中点，DE的延长线交AB于点F，则DEEF等于（ ）.A、21 B、23 C、31 D、32解：如图，过点C作CGAB交ED于点G.由E是AC中点易证AEFCEG，从而EFEG.CGAB，且C为BD的中点，G为FD的中点，GDGF2EF，从而DEGDEG2EFEF3EF，DEEF31.故选C.8.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标不可能是（ ）.A、（8，4） B、（7，4） C、（3，4） D、（2，4）解：易知OA10，OC4，点P的纵坐标为4.因为D为OA的中点，故OD5.ODP是腰长为5的等腰三角形，OD是等腰ODP的一条腰.当OPOD5时，如图1，由于OC4，因此由勾股定理得CP3，此时点P的坐标为（3，4）；当PDOD5时，如图2，过点D作DEBC于E，则DEOC4，从而由勾股定理得PE3，又易知CEOD5，所以CP532，此时点P的坐标为（2，4），显然，点P关于点E的对称点P1也符合题意，其坐标为（8，4）.综上只有点（7，4）不可能，故选B.9.定义，其中表示a，b的最大公约数，表示a，b的最小公倍数，则的值为（ ）.A、383 B、384 C、385 D、400解：由“”的定义可得，384，故选B.10.甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业，若甲不在A校学习；乙不在B校学习；在B校学习的学数学；在A校学习的不学化学；乙不学物理.则（ ）.A、甲在B校学习，丙在A校学习 B、甲在B校学习，丙在C校学习C、甲在C校学习，丙在B校学习 D、甲在C校学习，丙在A校学习解：在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，在A校学习的必然学物理，从而在C校学习的必然学化学，又乙不学物理，且乙不在B校学习，乙必然在C校学习，又甲不在A校学习，甲在B校学习，丙在A校学习，故选A.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.已知，则代数式的值为 .解：答案为3.， 3.12.已知，则的值为 .解：答案为18.显然x0，把方程两边同时除以x得：，从而.，即，故，3（71）18.13.已知关于x，y的方程组的解满足，则m .解：答案为1.解方程组得，代入，得，2，解得m1.14.如图，D为等边ABC内一点，DBDA，BEAB，DBEDBC，则BED .解：答案为30.由ADBD，ACBC，CDCD，得ACDBCD，所以ACDBCD.因为ACDBCDACB60，所以ACDBCD30.BEAB，而ABBC，BEBC，又DBEDBC，BDBD，DBEDBC，从而BEDBCD30.15.如图，矩形ABCD的面积为24，点E、F分别是边AB、BC的中点，连AF、CE，设AF、CE交于点G，则四边形BEGF的面积为 .解：答案为4.连接BG.SABFABBFABBC ABBC246，同理SBCE6.E、F分别为AB、BC的中点，SAGESBGE，SCGFSBGF.设SAGESBGEx，SCGFSBGFy，则有下面的方程组：，故，即S四边形BEGF.16.如图，两直线分别表示一个正比例函数和一个一次函数的图象，它们交于点A（4，3），一次函数的图象与y轴交于点B，且OAOB，则这两条直线与x轴围成的AOC的面积为 .解：答案为.过点A作ADx轴于点D，由A（4，3）得AD3，OD4，故在RtAOD中由勾股定理得OA5，从而OBOA5，所以点B的坐标为（0，5）.设一次函数的解析式为，将A、B两点坐标分别代入，得： ，解得，b5，一次函数的解析式为.令y0，可得x，即C点坐标为（，0），所以OC.SAOCOCAD3.17.有一个六位数，它的个位数字是6，如果把6移至最高位，那么所得到的六位数是原六位数的4倍，则这个六位数是 .解：答案为153846.设原六位数去掉个位数字之后得到的五位数为x，则这个六位数可以表示为10x6，而新的六位数则可以表示为600000x，根据题意得： 600000x4（10x6）解得x15384.故所求六位数为153846.18.已知函数（1x2），则y的最大值与最小值之差为 .解：答案为1.1x2，x20，x20.，显然，当x2时，y有最大值为5，当x0时，y有最小值为4.y的最大值与最小值的差为541.三、解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分）19.小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏，另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是0.5元/千瓦时.（1）设照明时间为x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用；（注：费用灯的售价电费）（2）小刚想在这两种灯中选购一盏.当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？当照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低；照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？（3）小刚想在这两种灯中选购两盏.假定照明时间是3000小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由.解：（1）用一盏节能灯的费用是：（490.0045x）元； 用一盏白炽灯的费用是：（180.02x）元.（2）由题意，得： 490.0045x180.02x解得x2000当照明时间为2000小时时，两种灯的费用一样多.当白炽灯费用低时，有490.0045x180.02x x2000当节能灯费用低时有490.0045x180.02x x2000当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低，当照明时间大于2000小时且不超过2800小时时，选用节能灯费用低.（3）分下列三种情况讨论：如果选用两盏节能灯，则费用是：980.00453000111.5（元），如果选用两盏白炽灯，则费用是：360.023000096（元），如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由（2）可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比用白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时，白炽灯用200小时，总费用为： 670.004528000.0220083.6（元）. 83.696111.5 选用一盏节能灯、一盏白炽灯，且节能灯用2800小时，白炽灯用200小时，可使总费用最低.20.如图，ABC是等腰直角三角形，C90，点M、N分别是边AC、BC的中点，点D在射线BM上，且BD2BM，点E在射线NA上，且NE2NA.求证：BDDE.证明：连接CD，由题意可知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形.ADBC，ADBC.12，45.ACBC，M、N分别是AC、BC的中点，CNCM，又CC，BCMACN.23，从而13.取AD中点F，连接EF.则由ADBC可得AFNC.NE2NA，AENA，又45，AFENCA.AFENCA90，从而EF是AD的垂直平分线.AEDE，故46.在RtACN中，3590，3490.13，64，1690，即BDE90.BDDE.21.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E.（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由.解：（1）易知点B的坐标是（3，1）.若直线经过点A，则；若直线经过点B，；若直线经过点C，.点E在OA上时，1，如图1，此时点E的坐标为（2b，0）.SOECO2b1b；当点E在AB上时，b，如图2，此时点E的坐标为（3，），点D的坐标为（，1）.SS矩形OABCSOCDSOAESBDE .综上，.（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则两个矩形重叠部分面积就是四边形DNEM的面积.显然，四边形DNEM是平行四边形.又由对称知，MEDNED，而MDENED，MEDMDE，MDME，四边形DNEM是菱形，设其边长为a.过点D作DH