（概率论与数理统计专业论文）带随机延滞的garch模型的严平稳遍历性.pdf

摘要 近几十年来，关于时间序列分析的研究得到了迅速发展，特别是 对于线性时间序列，取得了系统而丰富的成果但是，对于非线性时间 序列的研究，仅在近二十年来才逐渐被重视起来 对非线性时间序列的研究，近十几年来，有两条研究路线非常活 跃，其一是自回归条件异方差( a r c h ) 模型，其二是非平稳时间序列模 型具有自回归条件异方差( a r c h ) 的时间序列模型，首先是由e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出，随后，b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 将上述a r c h 模型推广到更为流 行的广义a r c h ( g a r c h ) 模型这类模型在金融和经济领域有着广泛的 应用( 见b o l l e r s l e v ，e n g l ea n dw o o d r i d g e ( 1 9 8 8 ) ，b o l l e r s l e v ，c h o u a n dk r o n e r ( 1 9 9 2 ) ) 在过往的研究时间序列模型的文献中，无论是线性时间序列模型， 还是非线性时间序列模型，其干扰为单一的白噪声且其滞后长度为一 个固定的常数这类模型有着明显的局限性，即模型无法描述系统的 干扰或滞后长度受到随机因素影响而随机变化的事实对系统的干扰 受到随机因素影响的问题，中南大学概率统计研究所侯振挺教授首先 提出了随机环境干扰下的时间序列模型，并进行了相关的研究工作， 取得了一系列的研究成果而对系统的滞后长度受到随机因素影响的 问题，在以上思想方法的基础上，笔者的导师提出了延滞受到一个有 限状态马氏链控制的时间序列模型 本文就承接这一思想方法，利用马氏化方法和一般状态空间马氏 链的基本理论，讨论了几类带随机延滞的时问序列模型，得到判定这 几类时间序列模型严平稳遍历的充分条件 本学位论文由以下四章组成： 第一章介绍时间序列分析的研究概况 第二章主要介绍一般状态空间马氏链的基本概念及马氏链的遍 历性理论等基础知识 第三章首先针对带随机延滞的非线性g a r c h 模型，得到与该模型 相应的马氏链理论并提出其( 伴随) 遍历和( 伴随) 几何遍历的定义，其 次给出判定该模型严平稳性及遍历性的一个充分条件 第四章首先讨论一个较为一般的带随机延滞的非线性时间序列 模型严平稳遍历性，得到判定其严平稳性及遍历性的一个充分条件： 其次给出了这一模型的简单应用：最后，又将这一模型进一步推广，得 到推广模型的严平稳遍历性 关键词：随机延滞，严平稳性，遍历性，不可约 a b s t ra c t i nr e c e n ts e v e r a ld e c a d e s ，t h ed e v e l o p m e n to f t i m es e r i e sa n a l y s i si s r a p i d e s p e c i a l l yt h ei n v e s t i g a t i o no f l i n e a rt i m es e r i e s ，t h es y s t e m a t i ca n d a b u n d a n ta c h i e v e m e n t sh a v e b e e no b t a i n e d h o w e v e r , t h es t a t i s t i c i a n sa n d e c o n m e t r i e i a n sh a v eg r a d u a l l yp a i da t t e n t i o nt ot h ei n v e s t i g a t i o no f n o n l i n e a rt i m es e r i e sf o rt h el a s tt w od e c a d e s i nt h el a s td e c a d e ，t h e r ee x i s tt w oa c t i v el i n e so nt h ei n v e s t i g a t i o no f n o n l i n e a rt i m es e r i e s o n ei st h ea u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s e e d a s - t i c i t y ( a r c h ) m o d e l , t h ea n o t h e ri st h en o n s t a t i o n a r yt i m es e r i e sm o d e l 7 n 圮c o n c e p to f a r c h , w h i c hs t a n d sf o ra u t o r e g r e s s i v eh e t e r o s c e d a s t i c i t y w a sf i r s ti n t r o d u c e db ye n 酉e ( 1 9 8 2 ) t oh a n d l et i m es e r i e sw i t hac h a n g i n g c o n d i t i o n a lv a r i a n c e b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) e x t e n d e dt h ea r c hm o d e li n t ot h e s o - c a l l e dg e n e r a l i z e da r c h ( g a r c mm o d e l t h i sc l a s so fm o d e l sh a s i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s , p a r t i c u l a r l yi n 丘n 柚c ea n de c o n o m i c s ( s ，e g ，b o - u e r s l e v , e n g l ea n dw o o d r i d g e ( 1 9 8 8 ) , b o l l e r s l e v , c h o ua n dk r o n e r ( 1 9 9 2 ) ) a c c o r d i n gt ot h ed o c u m e n t sa b o u tt h et i m es e r i e sm o d e li nt h ep a s t ， w h e t h e ri tw a si nt h el i n e a rt i m es e r i e sm o d e lo rn o t i t sd i s t u r b a n c e sh a d b e e ns u p p o s e dt ob eas i n g l ew h i t en o i s es e r i e sa n dt h e r ew a sas p e c i a l l y 矗x e dd e l a yc o n s t a n ti ne v e r ym o d e l 1 1 l e mi s 细o b v i o u sl i m i t a t i o ni ni t , i no t h e rw o r d s i to a n td e s c r i b et h ef a c tt h a tt h es y s t e m sd i s t u r b a n c e0 f t h ed e l a yi ni tc h a n g es t o c h a s t i c a l l yb e c a u s eo fa f f e c t i o no fv a r i o u s r a n d o mf a c t o r s p r o f e s s o fh o u z h e n g t i n go f t h ei n s t i t u t eo f p r o b a b i l i t y & s t a t i s t i c s ( i p s ) ，t h ec e n t r a ls o u t hu n i v e r s i t y , h a sb r o u g h tf o r w a r dt h e r a n d o me n v i r o n m e n tt i m es e r i e sm o d e l ( r e t s m ) f i r s t l yt ot r yt o r e s o l v et h ep r o b l e mt h a tt h ed i s t u r b a n c ew o u l db ea f f e c t e db yr a n d o m f a c t o r s a n dh a v ec a r r i e do u tal o to fr e s e a r c h e sa n da t t a i n e das e r i e s a c h i e v e m e n t t or e s o l v et h ep r o b l e mt h a tt h ed e l a yw o u l db ea f f e c t e db y r a n d o mf a c t o r s ，b a s i n go nh o u z h e n t i n g st h e o r y , m ym e n t o rp u tf o r w a r d at i m es e r i e sm o d e lt h a ti t sd e l a yc o n t r o l l e db yam a r k o vc h a i nw i t hf i n i t e s t a t e s , a sag e n e r a l i z a t i o no f t h et i m es e r i e sm o d e l i nt h i st h e s i s ，f o l l o w i n gt h ei d e aa n dm e t h o da h e a d ，a p p l y i n gt h e m a r k o v n i z a t i o na n dt h et h e o r i e so fg e n e r a ls t a t es p a c em a r k o vc h a i n , l h a v es t u d i e ds o m et i m es e r i e sm o d e l sw i t hs t o c h a s t i cd e l a y , a n dh a v e d e d u c e d5 0 1 1 1 0s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u tt h oc o m p a n i o ng e o m e t r i c e r g o d i c i t yo f t h e s em o d e l s f o u rp a r t sc o m p o s et h i st h e s i sa sf o l l o w h a g ： c h a p t e rli n t r o d u c e st h er e s e a r c hs t a t u si nq u oa b o u tt h et i m es e r i e s m o d e l s c h a p t e r2 ab a s i ck n o w l e d g eo ft h i st h e s i s ，b r i e f l yp r e s e n t ss o m o b a s i cn o t i o n so ft h eg e m ) r a ls t a t e sm a r k o vc h a i na n dt h ec r g o d i c i t yo ft h e m a r k o vc h a i n i nc h a p t e r3 。if i r s ts t u d yt h eg a r c hm o d e lw i t has t o c h a s t i cd e l a y a n dg e tc o r r e s p o n d i n gm a r k o vc h a i nt h e o r y , a n dg i v et h ed e f i n i t i o no f c o m p a n i o ne r g o d i c i t ya n dc o m p a n i o ng e o m e t r i c 霉r g o d i c i t yo ft h i s m o d e l s e c o n d , ig e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft l l ec o m p a n i o ns t r i c t s t a t i o n a r ye r g o d i c i t yo ft h i sm o d e lb ya p p l y i n gt h et h e o r i e sc o n s t r u c t e d f o r m e r l y c h a p t e r4r e s e a r c h e so ft h es t r i c ts t a t i o n a r ye r g o d i c i t yo fan o n l i n e a r t i m es e r i e sm o d e lb ya p p l y i n gt h es a m em e t h o du s e di nc h a p t e r3 a tl a s t , ig e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h es t r i c ts t a t i o n a r ye r g o d i c i t yt ot h eg e n e r a l n o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cd e l a y , s t r i c ts t a t i o n a r y , e r g o d i c i t y , i r r e d u c i b i l i t y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名：是丛日期： 么年月厶日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 啦魄山旦山 硕士学位论文第一章绪论 1 1 时间序列分析简介 第一章绪论 时间序列，又称为动态数据，从较广义的意义上说，是指被观测到的依时间次 序排列的数据序列例如：某类物价指数的波动记录，某地区的年降水量序列，电 机噪声信号序列，年国民生产总值序列等等这些数据由于受到偶然因素的影响， 往往表现出随机性，相互之间存在某种统计上的联系从概率论的角度来看，用随 机过程来描述最为合适随机过程被定义为一簇随机变量，即 z ，n ，其中丁 表示时间的变化范围对每个固定的时n t ，z 是一个一元随机变量，这些随机变 量的全体就构成一个随机过程当t = 0 ，1 ，2 , - - 时，随机过程可以写成 五，= o ，1 ，2 ，) ，称之为随机序列由于r 代表时间，所以此类随机序列也称 为时间序列由此可见，时间序列是一类特殊的随机过程，即离散参数随机过程 时间序列分析是数理统计学科的一个重要分支，包括一般统计分析、统计模 型的建立与推断以及关于随机序列的最优预测、控制和滤波等在过去的半个多 世纪里，时间序列分析得到了迅速发展，特别是对线性时间序列的研究已经取得 了系统和丰富的成果但是对于非线性时间序列的研究，在最近的四十几年里才 逐渐受到重视近年来，计算技术和计算机的发展又赋予时间序列分析以新的活 力，使之成为自然科学、社会科学各领域中不可缺少的数据分析工具现代时间序 列分析已经发展为用随机过程理论和数理统计学的方法，研究随机序列所遵从的 统计规律，并用以解决实际问题 当前，时间序列分析方法在我国的气象、天文、地质、农村、生物、医学、 冶金、机械、经济、管理等部门和领域得到广泛的应用特别在经济界，越来越 多的实际工作者开始了解并运用时间序列分析方法 1 2 时间序列分析的研究概况 时间序列分析是一个极其广泛的研究范畴，有着极为丰富和深刻的研究内 容对时间序列的研究，可以一直追溯到2 0 世纪早期现代统计学的萌芽之初从 其起源直至2 0 世纪7 0 年代末，这个学科一直被线性的假设所主导，并且在这个期 间几乎所有的时间序列模型都是线性的对线性时间序列的研究，到现在已经取 得了系统和丰富的成果线性时间序列仅是时间序列的一种特殊类型，并且是最 硕士学位论文第一章绪论 简单的一类尽管如此，五十多年来，研究得最深入，应用也最广泛的，也仅是有限 参数模型的线性时间序列模型，例如熟知的线性自回归滑动平均模型( l i n e a r a u t o r e g r e s s i o na n dm o v i n ga v e r a g e ，简记为l a r m a 模型) 尽管在许多的实际 应用中，这类模型经常被认为是可行的然而在2 0 世纪7 0 年代后期，人们越来越 看到线性时间序列模型有着诸多的局限性例如它们无法产生带有非对称周期的 数据、它们通常是时间可逆的、当使用这类模型时，预测好坏的程度通常是与时 间序列当前位置无关的，诸此等等不一而足 非线性时间序列模型的出现，突破了线性时间序列模型无法规避的局限性 对于非线性时间序列的研究，仅在近四十年才逐渐被重视起来在2 0 世纪6 0 年代 后期，非线性时间序列分析在b o x - j e n k i n s 提出一套比较完善的建模理论及方法 之后便迅速发展起来非线性时间序列与混沌、分形和神经网络等许多非线性科 学领域均有着密切的联系这说明了非线性时间序列能表现出更丰富、更复杂的 客观现象，比线性时间序列有着更广阔的应用背景实际上，在经济、环境、生物 和气象等倍受人类关注的领域，非线性时间序列已经显示出其解决实际问题的重 大作用因此，2 0 世纪8 0 年代以来，对非线性时间序列的研究日益受到广泛关注 直至目前已成为时间序列分析理论发展中的一个重要分支 纵观国内外在这一分支上的研究概况，由于线性时间序列分析中的技巧不能 直接推广到非线性时间序列的情形，前期工作大多局限于对几类典型的非线性时 间序列模型的参数识别算法和建模方法等进行研究一些代表性的工作 如：n i c h o l l s ( 1 9 8 2 ) ，q u i n n ( 1 9 8 2 ) 对随机系统自回归模型的讨论：g r a n g e ra n d a n d e r s o n ( 1 9 7 8 ) ，s u b b ar a o ( 1 9 8 4 ) 以及g a b r ( 1 9 8 4 ) 对双线性模型的分析： h a g g a na n dq z a k i ( 1 9 8 1 ) 关于指数回归模型的讨论：t o n g ( 1 9 8 3 ) 关于门限自回归 模型的研究：此外，还有p r e i s t l e l y ( 1 9 8 0 ) 的状态依赖模型等而且，相对而言，以 上工作关于模型本身概率性质的研究开展得比较少，也缺乏一种比较统一的分析 和处理方法 进入2 0 世纪7 0 年代，特别是近十几年来，有关一般状态马氏链遍历性理论的 研究得到蓬勃发展，取得了一系列精细的研究成果，这为非线性时间序列模型的 理论研究提供了新的方法和手段正是在此基础上，一般非线性时间序列模型的 马氏链表述及其遍历性分析的研究逐步得以开展，目前这方面的工作正处在一个 快速发展的阶段由于非线性时间序列模型在统计推断过程中具有重要作用，获 知非线性时间序列模型的稳定性越来越重要时间序列模型的稳定性条件能够通 过寻找其相伴马氏链的遍历性得到许多文献借助于一般状态马氏链的理论和方 法来讨论非线性时间序列模型的稳定性，如t o n g ( 1 9 9 0 ) ，b h a t t a c h a r y aa n d l e e ( 1 9 9 5 ，1 9 9 9 ) ：c 1 i n ea n dp u ( 1 9 9 9 ) ：l e e ( 1 9 9 9 ，2 0 0 0 ) 及其它一些文献国内有 2 硕士学位论文第一章绪论 l e e ( 1 9 9 5 ，1 9 9 9 ) ：c l i n ea n dp u ( 1 9 9 9 ) ：l e e ( 1 9 9 9 ，2 0 0 0 ) 及其它一些文献国内有 安鸿志、陈敏( 1 9 9 6 ) 在非线性时问序列模型的平稳解，遍历性理论以及非线性检 验方法等方面取得了一系列的研究成果：盛昭瀚、王涛、刘德林( 1 9 9 3 ) 在非线性 时间序列模型的定性分析方面取得了一系列的研究成果为研究时问序列模型的 遍历性，许多学者如f o s t e r ( 1 9 5 3 ) ，t w e e d i e ( 1 9 7 5 ，1 9 8 3 ) ，n u n m e l i n e ( 1 9 8 4 ) ，m e y na n dt w e e d i e ( 1 9 9 3 ) 等发展了所谓的f o s t e rl y a p u n o v 漂移条件 在一系列的研究工作中，c h a n ( 1 9 9 0 ，1 9 9 3 ) 和c h a na n dt o n g ( 1 9 8 5 ，1 9 9 4 ) 最先应 用熟知的马氏链漂移条件研究了一般自回归非线性时间序列模型的稳定性特别 的，他们给出了回归函数l i p s c h i t z 连续的模型的稳定性条件 2 0 世纪8 0 年代以来，许多学者对一般非线性时间序列模型进行了深入的研究， 并且给出了许多很好的工具和标准如p r i e s t l e y ( 1 9 8 0 ) ，n u m m e l i n ( 1 9 8 4 ) ， t 垂j s t h e i m ( 1 9 9 0 ) ，t o n g ( 1 9 9 0 ) ，m e y na n dt w e e d i e ( 1 9 9 3 ) ，c h a na n dt o n g ( 1 9 9 4 ) 以及b h a t t a c h a r y aa n dl e e ( 1 9 9 5 ) 等但是由于非线性时间序列有很多的类型和 不同的结构，这些文献给出的条件通常很一般对于双线性模型，极限回归模型， 指数回归模型，函数系数自回归模型等特殊类型的平稳性和遍历性必要条件或充 分条件在a na n dh u a n g ( 1 9 9 6 ) ，c h a ne ta 1 ( 1 9 8 5 ) ，c h e na n dt s a y a ( 1 9 9 3 ) 和 t o n g ( 1 9 9 0 ) 等中给出近来，针对传统的时间序列模型中的干扰为单一的白噪声 序列，而没有考虑系统的干扰可能受到环境的影响的事实，中南大学概率统计研 究所侯振挺教授等学者首先提出了系统干扰受到环境的影响的随机环境干扰下 的时间序列模型，并给出了许多很好的结果 1 3 研究目的及论文结构 迄今为止，在所能查阅到的有关时间序列分析的文献中，无论是线性时间序 列模型，还是非线性时间序列模型，其滞后长度都假定是一个固定的常数或者是 一个关于时间的确定的函数如p 阶的线性自回归模型( l a r ( p ) 模型) 等等然而， 在现实问题中，往往由于各种各样的信息不完备的影响，使得上述假设不太合理 基于这种考虑，就提出了由于滞后受随机因素影响而不能确知的各种问题为了 讨论延滞受随机因素影响的这类问题，而又不至于使问题太过复杂，笔者的导师 提出了将带固定延滞的时间序列模型推广为延滞受到一个有限状态马氏链控制 的时间序列模型本文就承接这一思想，讨论几类带随机延滞的时间序列模型， 运用马氏化方法和一般状态空间马氏链的基本理论研究由这几类时间序列模型 所产生的迭代序列的极限行为 硕士学位论文第一章绪论 本学位论文的题目是带随机延滞的g a r c h 模型的严平稳遍历性研究目的是 探讨几类延滞受到一有限状态马氏链控制的时间序列模型，得到其严平稳遍历的 判别准则这些判别准则使得我们可以方便地研究由模型所产生的迭代序列的极 限行为这样，对在现实生活中用这几类模型来分析数据的问题有着重要的指导 作用 本学位论文余下内容共包含以下三个部分： 第一部分由第二章组成主要介绍一般状态空间马氏链的基本概念及马氏链 的遍历性理论等基础知识 第二部分由第三章组成在这一章中，首先针对带随机延滞的非线性g a r c h 模型，得到与该模型相应的马氏链理论并提出其( 伴随) 遍历和( 伴随) 几何遍历的 定义，其次给出判定该模型严平稳性及遍历性的一个充分条件 第三部分由第四章组成在这一章中，首先讨论一个较为一般的带随机延 滞的非线性时间序列模型严平稳遍历性，得到判定其严平稳性及遍历性的一个充 分条件：其次给出了这一模型的简单应用：最后，又将这一模型进一步推广，得到 推广模型的严平稳遍历性 4 硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 引言 第二章预备知识 本章主要介绍一些有关一般状态马氏链的遍历性理论作为本文的预备知识 这方面的内容可参见文献 3 5 、文献 3 7 及文献 3 8 或者任何一本有关马氏链的 遍历性理论的书籍 2 2 一般状态空间马氏链及转移概率 设( 石，) 为一个可测空间，其中疋是一个集合，芦是由刀的一些子集组成的 一个盯一代数，( z ，) 上的广义测度集记为m ，非负测度集记为m ，非负 ( b o r e l ) 可测函数集记为 定义2 2 1 映射p ：z 厂一n 称为是( 疋，) 上的一个( 非负) 核，如果满 足： ( i ) 对任意给定的集合a ，函数p ( ，4 ) 为可测函数 ( i i ) 对任意给定的工疋，集函数p ( x ，) 是( 疋，芦) 上的一个测度 当p ( x ，名) ；1 , v x 疋，也即对每个x 疋，p ( x ，) 为( 石，) 上的概率测度时，我 们称p 是( 疋，芦) 上的一个转移概率 一个核可以看成是锥集上的一个线性算子： 彤( x ) = i ，p ( x ，d y ) f ( y ) ， vf t ( 2 - 1 ) 类似地，一个核也可以看成是m 上的一个算予： 五以一) = i ，五( 西r ) 户( x ，彳) ， v z m ( 2 2 ) 另外，两个核层和昱的乘积# 昱：x x f 寸r + 按如下定义： 墨昱( x ，a ) = i ，弓( 工，d y ) p ：( y ，) ( 2 - 3 ) 一个核p 的幂j p nl , l 0 ，定义为：p o = i ，以及递推关系：p “= p p - i , 胛1 这里的 ，代表单位核( 转移概率) 地吲曲= 耋叠 伢t ， 硕士学位论文第二章预备知识 考虑一个概率空间( g a p r ) ，设 以) 是( q ，一4 ，p r ) 上取值于( 刀，) 的一个随 机序列，也即每个j 0 ，珂2 0 ，都是由( q ，4 ) 到( 刀，) 的可测映射，我们称( q ，几p f ) 为随机序列 以) 的样本空间，称( z ，) 为随机序列 ) 的状态空间，并称爿中 的点为状态 定义2 2 2 设 j 0 ) 是概率空间( q ，4 ，p r ) 上以( 疋，尸) 为状态空间的一个随 机序列，p 是( 疋，芦) 上的一个转移概率，称 以) 是一个以p 为转移概率的( 时齐) 马氏链，如果对v 肝0 ，有 c ( 瓦+ 。i 五) = ( 以+ 。l 以) = p ( 以，) ，p r 一口丘 ( 2 5 ) 其中= c t ( x o ，五，以) ，c 代表概率分布( 凡涉及到条件分布的等式，均是指 在几乎处处成立( 口卫) 的意义下而言，以后不再做说明) 我们也称托的分布乞( ) 为马氏链 以) 的初始分布，若氏( ) = ( 状态x 的 质点集函数) ，也即对某个状态x 疋，有p r x o = x = 1 ，则称x 是马氏链 以 的 初始状态 设 以) 是一个以p 为转移概率的马氏链，其初始分布乞( ) = 五，则由定义 2 2 2 可得 p r 五4 ，墨4 ，以4 ) = l 兄( ) l p ( ，幽) l p ( 矗一如) v 行o ，4 ，4 ，4 芦 ( 2 - 6 ) 特别地，我们有厶( ) = 1 p “ 相反地，如果一个取值于( z ，厂) 的随机序列( 以) 满足( 2 6 ) ，那么 瓦) 一定 是一个以p 为转移概率的马氏链，并且初始分布为五 一个马氏链对应着一个转移概率，反过来，对( 疋，) 上任意给定的概率测度 五以及转移概率p ，也一定可以构造某概率空间( q ，4 ，p r ) 及其上的一个马氏链 以) ，使 以 以五及p 分别为其初始分布和转移概率以后我们对马氏链 以) 和其转移概率不再加以特别的区分，而常常等同地使用 如果马氏链 纸 的某个初始分布五满足：对v a ，有 p “五a ) = i ，p ( y ，4 ) 五( 方) = 五( x o 4 ) 则由( 2 5 ) 及( 2 - 6 ) 式，有 p r ( 置椰= i ，p 2 ( y ，4 ) a ( 砂) = m p ( z ，a ) p ( y ，d z ) , t ( a y ) = i ，p ( z ，a ) a ( d z ) = 五( 托4 ) 依次递推可知，对v a 芦和对任意的胛0 ，有 p ( ，k 4 ) = a ( x o 4 ) ( 2 - 7 ) 6 硕士学位论文 第二章预备知识 这时五称为马氏链 以 的不变概率分布从不变概率分布a 出发，通过转移概率 构造的马氏链是平稳的但需要指出的是，一个马氏链既不一定总有不变分布，也 不一定只有一个不变概率分布 2 3 严平稳、妒不可约性、非周期和小集的概念 设 瓦 是( g ，p r ) 上以( 石，) 为状态空间的马氏链，转移概率为p 定义2 3 1时间序列 置 称为严平稳的，如果对任何正整数埘和整数 f i t 2 0 称集口是妒一连通的，如果对b 的任意伊一正测子集4 ，有 x 斗a ，v x b ，如果整个状态空间刀是妒一连通的，则称 鼍 是伊一不可约的，并 称伊是 l 的一个不可约测度 如果测度相对于测度妒是绝对连续的，即对于a y - ，当妒( 爿) 0 时，必有 妒( 爿) 0 ，则一个妒一不可约的马氏链必为妒一不可约的由此可见，不可约马氏链 的不可约测度并不唯一为了使之唯一化，我t f 3 弓l 入最大不可约测度时如下 ( i ) 以 是 ，一不可约的； ( i i )如果 以，是伊一不可约的，则妒必是相对于肘绝对连续的； 三 ( i i i ) m ( a ) = o 肘( 扛：p ”( x ，彳) ) ) = 0 以后我们说马氏链 以 是不可约的，总是相对于最大不可约测度而言的 定义2 3 4 对一个转移概率p ，定义 g ：y p ” ( 2 - 8 ) 篇 我们把核g 称为是转移概率p 的势核显然，势核g 具有以下性质： 定理2 ，3 1 对v 胛i ，有 n - in - l g = p ”+ p g = p ”+ g p ” ( 2 9 ) 7 硕士学位论文第二章预备知识 特别地，g = i + p g = i + g p 此外，对v 厂乏，记a = x z i g f ( x ) 0 ，对4 的每个正测子集口，即b c a ，烈口) 0 ，都存在正整 数厅，使得对任何x b ，有 p ( x ，功 0 ，p ”1 ( x ，b ) 0( 2 - 1 1 ) 定理的证明见文 1 1 由前面的讨论可知，从不变概率分布兄出发，通过转移概率构造的马氏链是 平稳的马氏链的遍历性刻画了马氏链的转移概率向其平稳分布的收敛性态为 了研究非线性时间序列模型是否有平稳解，此解是否为遍历解等问题，一个重要 的途径是借助于研究马氏链的遍历性来解决在研究马氏链的遍历性时，如下小 集的概念起着重要的作用，它对各种遍历性质，如h a r r i s 遍历、几何遍历等均具有 良好的“代表”特性下面给出小集的定义及判断小集的判别定理 定义2 3 6 一个非空集c 称为是马氏链 以) 的一个小集，如果存在一个正 整数k ，正常数b 以及( 疋，) 上的概率测度a ，使得对v a ，和v 工c ，有 ( x ，a ) b 2 ( a ) ( 2 1 2 ) 定理2 3 4 设 x 。) 是伊一不可约的非周期马氏链，则有 ( i ) 如果集c 厂，妒( c ) 0 ，且满足：存在b 芦，妒( b ) 0 ，和正整数 m = 珑( 爿) ，使得对任意的a c b ，欢彳) 0 ，都有 旦 燃( x ，彳) 0 硕士学位论文 第二章预备知识 那么c 一定是 瓦 的一个小集 ( i i )有限个小集的并仍为小集 ( i i i ) 存在小集列4 ，行1 ，使得以个z 定理2 3 5设 以 是弱连续的马氏链，即对一切有界连续函数 g ：疋r 1 ， r g ( y ) p ( x , d y ) 关于膏是连续的，则一切妒非零测度的相对紧集是小 集 2 4 一般状态马氏链遍历性定义及判别准则 这一节在矽一不可约的条件下，介绍马氏链的有关定义定理 我们先介绍一般状态马氏链的遍历性的有关概念，在此之前先给出不变测度 的定义 定义2 4 1设v m 是一个非平凡测度，且存在集b ，+ ，其中 芦+ 三 b t i m ( b ) o ) ，使得v ( b ) - i - 0 0 ，则称v 是马氏链 以) 的一个不变测度， 如有 v ( 4 ) = j ，v ( 西r ) p ( x ，4 ) ， v a 芦 设 以 为状态空间( z ，) 上的矿一不可约的马氏链，以p 表示 e ) 的转移概 率，以疗表示 瓦 遍历时的不变测度在此，以| | | i 表示( 疋，户) 上广义测度的全变 差范数，下面给出遍历性的定义 定义2 4 2 马氏链 咒) 称为是遍历的，如果存在一个概率测度万，使得对 任意的x 石及n 1 ，有 l i r a p ( x ，i ) 一7 r ( ) 忙0 如果还存在常数0 0 ，使得 ( i ) e g ( 瓦) f 以一。= 工 g ( 并) 一c 1 ，对任意的x 芒c ； ( i i ) g ( 以) i 以一1 = x ) c 2 ，对任意的x c 9 硕士学位论文 第二章 预备知识 则 以 为遍历的 定理2 4 2设 z ) 是矿一不可约的、非周期的马氏链，如果存在一个非负 可测函数g ，一个小集c 和常数c i 0 ，c z 0 ，0 o ，耐“( i - - 1 ，g ) ，口 ( _ j = 1 ，p ) ，蠢( ，= 1 ，) ，c , r y 习 为实常数，玩为白噪声 并研究了该模型的严平稳性从而，进一步拓展了g a r c h 模型的研究 不失一般性，令m = f n a ) 【 p ，曰， ，则( 3 - 2 ) 可推广为 魄：+ 芝耐砷l 吼一。一c r + r m a x ( o ，c 一研一。) 5 t - ka c 兰孝) t - k4 - 芝孝， i 珥。一c r k = l o k = lk = l 。 + r m a x ( o ，c _ ) 玎( 3 - 3 ) 但在实际中，当随机环境发生变化时，延滞往往是随环境变化而变化的，在 ( 3 2 ) ( 3 - 3 ) 中，并没有反映出这种变化，这就阻碍了该模型的进一步应用因此， 我们令延滞为一马氏链，把( 3 3 ) 推广为 = + 喜” i 7 1 _ k - - c 1 8 + y m a x ( 。，c 一研一t ) 5 舅一t + 善孝啊一t + 善孝 1 r t _ k - - c 6 硕士学位论文第三章一类非线性g a r c h 模型的严平稳遍历性 + y m a x ( o ，c 一研。) 5 ， ( 3 4 ) 在本章中，我们将讨论由( 3 1 ) ( 3 4 ) 式所定义的非线性非对称幂g a r c h 模型 的严平稳遍历性 3 , 2 模型描述及相关引理 设( q ，f ，p ) 为一概率空间，令e = l ，2 ，所 ，( m n ) 是一有限集合，h 记为 e 的所有子集生成的o r - - 代数， z f ，f 1 表示一个定义在( g f ，p ) 上的不可约非 周期齐次马尔可夫链，其状态空间为( e ，h ) 关于( 3 - 1 ) ( 3 - 4 ) ，作如下假设： 4 ) 互，t l 与 研，f 2 1 相互独立 4 ) v t l ，z ，与相互独立：研- 与序y f j 雄，k ， 相互独立 4 ) v f 1 ， 研 是一列相互独立同分布的随机变量序列，且有处处为正的下半连 续的密度函数，e ( 研) = o ，e h i l 与 q ，r l 相互独立岛与序列 ，k r 相互独立v f 2 l ， q 是一列相互独立同分布的随 机变量序列，且有处处为正的下半连续的密度函数，设其为，( ) 4 e p 3 盯 争篙 p+ i 啊忙、2 口 暑h p+ 廿吩咕q i o 0 乙蹦 q + q o 口 = q 啊 i 西 4 m q + i札 女 以 冬厶h 巳 + 廿誓 i 彳 ；m q + = 誓 硕士学位论文 第三章一类非线性g a r c h 模型的严平稳遍历性 再令r = ( 五，五一。，忍，吩。扎，b ，岛一。) ，r