（应用数学专业论文）三类生态模型解的渐近性态.pdf

三类生态模型解的渐近性态 司瑞霞 摘要数学模型是连接现实世界和数学的双向桥梁一个完整的数学模型 抽象自现实世界，对模型进行理论分析的结果又回归到现实世界，可以用来揭示 各种系统的内部规律和外部联系，描述系统的动态变化过程，预测系统的发展趋 势，并且调控系统，为人类认识世界并与现实世界共同化服务随着科学技术的 进步与发展，在物理学，种群动力学，自动控镪、生物学、医学和经济学等许多自 然科学和边缘学科的领域中提出了许多由微分方程和差分方程描述的数学模型 微分方程及差分方程是用来描述自然现象变化规律的一种有力工具，由于寻求其 通解十分困难，故从理论上探讨解的性态一直是多年来研究的热点问题，并吸引 着许多专家和学者的注意力，形成了很多具有实际背景的新课题人们通过对种 群模型的共存性、稳定性和振动性等性态的研究，可以更合理的认识自然并改造 自然，使其更好的为人类所利用，并且对于保持生态平衡，保护生态环境甚至挽 救濒临灭绝的珍稀生物，实现社会的可持续发展等有着重要的指导意义 本文分三部分讨论了三类生态模型解的渐近性态，主要包括模型解的持续性， 全局渐近稳定性，周期解和h o p f 分支等内容 在生态问题中，为了实际需要须人为地改变种群规模的平衡态，一种有效的 办法是在模型中引入反馈控制变量第二章研究了一类具有反馈控制的非自治三 种群捕食系统的持续性、全局吸引性和正周期解，运用比较原理得到该系统的持 久生存性，利用构造址啦u ”v 泛函的方法得到该系统全局吸引的充分条件，并分 析了该系统正周期解的存在性 时滞对生物种群的影响是生物学家非常关心的问题对大量生态模型的研究 表明，对于时滞微分方程，时滞的存在性及大小会影响方程的稳定性，也可能产 生分支现象在第三章中，利用周期函数正交性方法，得到了一类时滞微分系统 存在日印，分支的充分条件，并求出了近似分支周期解，用m a t h b 绘图说明了定 理的可实现性 差分方程在科学技术和经济发展中是一个很有力的数学工具由于计算机科 学、生物数学，现代物理等自然科学与边缘科学的迅速发展，对差分方程稳定性 理论的研究显得十分活跃近年来，差分方程解的性质的研究受到了学者的广泛 关注，出现了许多研究成果在第四章中，研究了一类差分方程的唯一的正平衡 态是全局渐近稳定的。用m a l 工a b 进行了计算机模拟 关键词：持久生存全局吸引日咀，分支周期解差分方程全局渐近稳定 t h ep r o p e r t i e so ft h r _ e ec l a s s e sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a b “l c tt h em a t h 国n a t i c a lm o d da r eb i d i r 唧i o n a lb r i d 静w h i c hc a nc c 咀n e c t h el e a lw o r l d 柚dm a t h e i 啕_ ；t i ai n t e g r a t e dm t h 伽1 a t i c a lm o d e li 8a l 埔t 功c t e d 幻mt h e 埠a lw o r l d ，柚dt h er 鄂l i l t 0 f a d 哪i ca n a l y t o t h e m o c 埘a g a i nr e t 岫t o t h er e a l 删i tc a e i t h 盯r 鲫e a l t h e i n n 凹九l l e a n dm l t 盯c o n t a 吐o ft h e 毋r s t 锄，o rd 朗c r i b et h ed y | 1 a i cc h 柚g ep i d 嘲6o fn 蛇s y 雠e m ，o rf 0 神c a s t t h e 出w e l 町咀i e n t 缸龃d0 ft h es y s t 嘲，a d j l l s ta n dc o m r o lt h es ) r s t 鲫缸d 鸵r v et h ep e o p kf 叮 如d 竹s t a n d i n gt h e _ r o r ma n db ec o m m o n 耐t ht h e 他a l f l d w i 也t h ea d w m c e m 衄ta n dd e 、，e l o p m e n to fg c j 栅土i 丑ct e d l 嘧i nt h e 丑e l d0 fn a t l l r a l i 曲i n c l u d i n gp h y s i ，p c 忉d a t i d y n a m j b ， 越l t o m a 廿c 咖t m l b i o l o l 毋妒l e d i d n e ，斟删m i c s ，a n dd l g i n g 丑e l d ，m 址i ym a t h e m a t i c a lm o d 出w 蛐 a 阳d e 孵i b e db yd j 丑h 蜘t i a l 烈n l a 毫i o n 8a n dd i 珏h e n 鼠删o na r ep r o p o s e d d i 庙汀t i a l 斟n 圳s 柚dd i 伍瑚c ed l u a t i o na r ep m 旧r f i dt o o bt h a td 幅口mt h ec h 扣l g - m gl a wo f 咖弛p h 蛐o m 既咖，b u t “i sd i 】匠c i d t t o 缸d t h e i rg 印e r a l 舯l u t i 恻，t h e r e 妇，t h e 弛h 鹪b 唧柚j n 埘n g i n 晒惯t i n t h e 戤u d yo ft h en a t u r a l8 0 l u t i o n si nt h e o r y w h i 出d r 钾t h ea t i o n0 fal o t0 f 唧e r t sa n ds d 旧i a 玛 ，柚d 如唧e dm a n yn e w 七o p i c st h a th a v e8 t r o n g 删瑚b a 呔g 咖n d a 0 f d i n gt ot h es u d y0 f t h e - 咄t 舢b i h t y ，o s c i a t i o no ft b e 印i 嘲，啪c a n 弛c o g n i 踺t h en a t l 鹏m o r er a t i 伽i a | 1 y 柚d c a nm b l l i i dt h en a t u r e ，t h 盯e 缸t h e yc 姐b eu s e db 甲p e o p km o 伸，柚dt h e 增a 弛v 嘲了i m p 眦恤t p r a c t i c a lm e 柚1 i 1 1 9t ob 印e o o l 孵c a l 烈h l i i i b r 黼o na n dp i 口t e c te c o l 0 酬蜘埘r 0 删珊咀t ，e 哟t os g 卵 v a l l l l b l ea n dr a 弛b i o l o 百w h i d ba 舱o nt h ev 凹露e0 fb 叫n i n ge x t i n c t h t h i 8 p a p 啊，骶出鲫l 鲻t h e 趟y 卫喇i cp r o p 柏0 f t h e 喜o l u t i o 璐o f t h r d a s s 凹0 f e o o l ( 嘻c a l m o 心血c i u d i n gt h ep e r s i s t e n c e ，一o b a l 粕y | p 蛐s t a b i h t y p 钾i o d i cs o l u t i 帆，h o p fb i f t l r c a t i 咖 h 蛐e 印础c o l o 舀c a lq 懈t i 螂舢妇地嘲8 a r yt oc h 柚g et h e 删b r i 岫0 ft h e 印税i e b ym 觚k i n df b rt h ep r 剃c a lr 陇目瑚a sw el m o w ，i ti 8 柚e | l b c t i v em e t h o dt oi n t r o d i l 涮b a c k c t 砒i n _ t ot h em o d d ht h e 血a p 钯r2 ，w ec o n 8 i d 汀t h ep 啪i s t e n c e ，g l o b a l 聃y m p t o t 把删p 0 6 i 晡v e p 鲥o d i cs o l u t i 0 fa c l a s s0 fn o n 挑t a 咖邮t 妇印e c i 档p r e d a 土0 r - p r e y8 y 咖m i ，i t h 南e d b a c k 删r o l ，w i t ht h em e t h o d0 f 啪p a l r i 】唱t h r y ，w eg e tt h ep r o p e r t y0 ft h ep e r 8 i s i 舢c e0 ft h es y 曲咖， _ 订t ht h em 砒0 d0 fl i a p t m o yf h n c t 岫，w eg e tt h es t l 伍c i e n t 砌i t i o nt h a tt h e9 1 0 b a l 柏”n 附i c 0 f t h e8 y s t 哪捆dt h ep 喇t i v ep e r i o d i c9 0 l u t i 蛐i 8a n a 如捌 t h e 砌u 髓0 f t i m ed e l a yt 0 砌。盯p o p u h t i 佃j 8ap r o b i 血w h i 西b i o l o g i 8 tj sm u 出c a 弛 吐t h e 弛s e 缸c ht om 触1 ye o o l o g i c a lm o d e li n d i c a t et h a t 缸ad i 丑h e n t i a id l u a t i o n 耐t ht i m e d e l a y ，t b e 既m 凹锄db i g0 f 御_ a l l0 f 蚀m ed e l a yc 趾a 赶b c 乞t h es t a b n i t y0 f t h ee q u a t m 锄d 址坤 l i k e l yt h a tt h eh 叩f b 如r c 矗n o nw i l lo o c l l r ht h e 出a p t e r3 ，u s i n gt h e0 r t h o g 砌m e t h o d0 fp e r i o d f i l | 1 c t i o n ，t h e 咖l m t i 伽t h a tt h e 砌d e l n 瞄地b 赶h r c a t i 姐p e r i o d i c 鲥u t i 柚dt h ef o 珊0 ft h e a p p 删m 如b i f l l r c a t 妣p e r i o d i c l u t i a 托o b _ t a i n e d t h e 蚰e v a b i l i t y0 ft h et h e o 姗i b 舛o v e d a c r o 硒d r 栅i n gt h ef a p h0 ft h ep e r i o d i c8 0 l u t i t h ed 蠲融眦e q t 础硫i 8 觚硪b c t i v em a t h 咖a t 捌州ms c i e n t 进ct e 伽i o 崦y 锄d 鲫m i c a l d e v e l o p m e n t a st h er a p i dd 髀e | 0 p m 伽止0 f n a “盯a l 劬i n c l i l d i n gc o m p u t e r i 帆，b i 鲫a 抽锄a 卜 i 船，m o d 锄p h y 面礴咖锄db o 岫d s c i 朗妈t h ea c a d 锄i cs t u d yo f s t a b i l i t yo fd i i h 阻c ee q 瞻i 曲 i 8 憎ya c t i 帕k 弛咖ty e 缸8 ，t h ec h 缸a c 盯0 ft h es o l u t i o ft h ed i 珏h 曲翎l m t i o nd r 矗霄t h e b r o a da t t e l m 帆0 ft h e8 c l 潮，a n dm y 饱m r c h 缸吐ta p p r e d mt h ec h 带町4 ，p r 0 t h a t t h eu i q p 衄i t i 饨e q l l i l i b r i 哪p o i n t0 fad a 鞠0 fd i 肠瑚e q 啦t j 锄a 砷g l o b a l l ya 卿咖t i c s t a b l e ，t h ec o m p u t 盯暑i m u i a t i 8w e 弛p 既f o f m e do nm a t l a b k e yw o r d 戤b 明凼；t e n g 1 0 b a la 蛐僦i h 0 p fb i f i l 比a t i o np 盱i o d i c l u t i d j 旺嘞e q 脚i g l d b a l l y 鼬y m p t o t i cs t 8 b i l i t y 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表 或撰写过白留研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 说明并表示谢意 作者签名；互l 蝉爱 日期： 埤j ， 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大学 本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大 学学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版和 纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、 院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版 作者签名：撇日期： 毕厂多 第一章引言 在现实世界中，许多生态现象可以用动力学的方法来建立数学模型，通过对 数学模型的研究可以预测和解释人类所关心的自然现象与此同时这些数学模型 的研究常常引发了数学理论中的微分方程和差分方程的研究，诸如平衡点的存在 性和稳定性，分支周期解和持久生存等等解的某些局部或大范围的性态往往要 随着方程中参数的变化而变化，从而会产生分支现象微分方程渐近性和振动性 的研究，推动了许多应用学科中所出现的复杂问题的研究 捕食一被捕食模型是自然界中生物之间相互作用的重要现象之一人们往往 研究模型正平衡点的存在性，解的稳定性和渐近性等问题关于这类问题已有大 量的研究结果，而对含有反馈控制的食物链模型的研究相对较少另外，自治的 模型并不具有一般性，不能完全描述种群之间复杂的相互关系因此，非自治的 模型受到了人们的广泛关注本文第二章研究了含反馈控制的非自治三种群捕食 系统 2 ：妒= z - ( t ) ( 0 - ( t ) 一。l - ( t ) z - ( t ) 一；= 云播笔 篝咎丽一d 1 ( t ) “l ( t ) 一e ，( t ) l 丑j ( 订u l ( t + 8 ) d 1 ) 4 1 鍪盟= z z ( t ) ( 一a 。( 磅一。( t ) z 。( t ) + 鬲五$ 嚣矗碧等s i ； i = 可一鬲五卷矗：镑 ! b 而一也( t ) u 。( t ) 一 o e 2 ( t ) ，日2 ( 5 ) u 2 ( t + 。) 幽) 一 n ! ! 鍪堕= z s ( t ) ( 一n 。( t ) + 蕞五蠢篙基2 警g ；i ： i 2 哥一d j ( t ) “3 ( t ) 一e 3 ( t ) z 日j ( 。) “3 ( t + 。) 西) 一口3 3 ( t ) 黝( t ) 查! 盛堕= 一a i ( t ) “( t ) + 最( t ) 规( t ) + 仉( t ) ，戗o ) 戤( t + 8 ) d 矗 i = 1 ，2 ，3 的全局性态其中( t ) “= 1 ，2 ，3 ) 表示种群五“= l ，2 ，3 ) 的密度饥( t ) o = 1 ，2 ，3 ) 表示 控制变量运用比较原理得到了种群持久生存的条件，利用构造l i 印一w 泛函的 方法得到系统全局吸引的条件根据周期解理论得到系统存在正周期解的条件 时滞在生物活动中经常出现，时滞对生物种群的影响是生物学家非常关心的 问题自从文献【1 】发现时滞会破坏l 0 9 i s t i c 模型正平衡点的稳定性并引起周期振 荡以来，已有很多文献研究了时滞对生态模型平衡点稳定性的影响对大量生态 模型的研究表明，某些微分方程解的局部或大范围的性态通常要随着方程中某些 参数的变化而变化，从而产生分支现象在自然界中，生物种群的密度变化受各 种因素的影响，而时滞对种群密度的影响通常比较常见，即某时刻种群的密度不 仅与该时刻种群密度有关，而且与在此之前的某一时刻的种群密度有关鉴于以 上原因，本文第三章建立了含时滞的广义脚s t i c 模型首先利用h o p f 分支理论得 到该模型存在h 0 p f 分支的条件；其次，运用周期函数正交性方法得到分支周期解 的近似表达式用m a t 蛐画出了满足定理条件的h o p f 分支图形 第二、三章假定种群的增殖过程是在连续时间条件下进行的，同时认为种群 大小( 数量或密度l 是微分方程的解，也就是说，在任何情况下，种群的大小是时 间的连续函数这种模式对种群自身提出了一定的要求：种群规模相当大，大得 足以近似为连续曲线显然把种群大小作为离散量魂的做法更符合现实离散量 是在固定的一些时刻里取得某些数值，这种形式准确的反映对现实种群的调查 统计过程本文第四章用一种简单的初等数学的方法证明了一类差分方程唯一的 正平衡点的全局渐近稳定性，用m a ! n a b 进行了计算机模拟，证明了结论的可实 豌性 2 第二章一类含时滞的捕食与被捕食系统的全局性态 2 1 模型与假设 近年来人们开始关注时滞对种群持久生存的影响并得到了一些很有意义的结 果【2 一王稳地在文献【6 】中总结近年来时滞生态模型种群持久生存的主要研究结 果和方法，并讨论周期环境中时滞生态模型正周期解的存在性和稳定性文献【7 】 讨论了一类具有离散时滞和基于比率的三种群捕食系统 i ! 铲= 现( t ) ( d - 一蛳。( 力一烈耥) 掣= 。( t ) ( 一砌+ 而舞等粕一而耥) 【掣= z 3 ( t ) ( 一口3 + 蕊莉筹颦而) ( 1 1 ) 的持久性本文在以上基础上研究如下模型 垃= z - ( t ) ( m ( t ) 一蛳( ) z - ( d 一意隧锹备而一d l ( t ) u - ( 磅咱( t ) j 甄( 咖- ( t + s ) 出) ! ! 矗生= 钇( t ) ( 一n 。( t ) 一o n o ) z ：( t ) + 鬲五t 嚣妾碧等s 幸；寰i = 可一鬲乏嚣墨璺；爵! b 万一如( t ) u 。( t ) 一 e 2 ( t ) _ r 日2 ( 8 ) 坳( t + 8 ) 幽) 一 n ! ；铲= 3 ( t ) ( 一曲( t ) + 而币麓拦鼍每；b 2 可一西( t ) 蛳( t ) 一e 3 ( t ) z 丑j ( 8 ) “a ( t + 。) 出) 一0 3 3 ( t ) z 3 ( t ) 查菇堕= 一口( t ) “( t ) + 展( t ) 瓢( t ) + 佻( f ) ，戗( 8 ) z ( t + 矗) d 辛i = l ，2 ，3( 1 2 ) 的全局性态，其中露( t ) a = 1 ，2 ，3 ) 表示种群置a = 1 ，2 ，3 ) 的密度，地( t ) a = l ，2 ，3 ) 表 示控制变量 记 ，i = 伽， ，( t ) i t 五) ，= 岬 ，( t ) pe r ) 本节假定如下条件成立t ( h 1 ) m ( t ) ，叼( t ) ，”莳( t ) ，孟( t ) ，e ( t ) ，n i ( f ) ，岛( f ) ，饥( t ) ( i ，j = 1 ，2 ，3 ) 均为cst o m ，d 嚣，m ：；，d ：，e ，聍，骨) o m ( 8 ) = 讥( t ) ，砒c ( 【- r o 】，r ) ，讥( o ) oi = 1 ，2 ，3 则系统( 1 2 ) 在卜r ，+ * ) 上存在唯一解，且对于t f o ，+ ) 有 粕( t ，纠 0 ，o ，妒) oi = l ，2 ，3 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 2 2 持久生存 本部分讨论系统( 1 2 ) 的持久生存性，得到系统( 1 2 ) 持久生存的充分条件首 先弓i 入下面的引理 引理2 2 1 若口 o ，6 o ，。( 幻) o ，并且当t 如时有( s p 一，则有 雄) ( 茎) ：【1 + ( 竺警立1 ) e 一( 一缸j 】 引理2 2 2 若d o ，b o ，z ) o ，并且当t 如时有( n ! f + ( 鸯+ e ；) 嬲 则存在， o ，当t ，时有 毛( t ) s 埘? ，蛳( t ) s ：( 2 1 ) 其中 m ： m ：n ： n ： 4 ：每。“，。掣羞篡协哆= 气毳竽e ( o 扣由”孵= 盟乎监( ，? p 。 证明由系统( 1 2 ) 的解的正性可得 堕妇( t ) ( 硝一如- ( t ) ) 由比较原理知，存在正 o ，当t 乃时有 z l ( t ) 盯+ e 箩聊 由系统( 1 2 ) 的第二个方程可得 警( 商一畦) z 。( t ) 因此，当t n 时有 2 ( 功钇( t n ) e ( 。1 一吐) q 此瓦，岢影r 十 勋( f n ) 勋( t ) e 一( 。巍一吐) n 从而当t 冗+ n 时有 警如( 瑚) + 而高) 蚓t ) ( 一a 5 + 再杀i ) 蚓。虹老暮姥皆 由引理2 2 ，对上面的f o ，存在死 乃 o ，当f 死时有 z 2 ( t ) s 蟛+ e 型蜗 类似地，易证存在乃 乃，当t 马时有 z 3 ( t ) s 嵋+ e 曹瞒 由系统( 1 2 ) 的第3 + i a = l ，2 ，3 ) 个方程可得 掣噼+ 竹) 孵一。劬) 出 。”，一 ”1 7 由引理2 1 ，对上面的e o ，存在， 马 o ，使得当t ，时有 州d s 竿+ e 孵+ 缸箩孵 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 其中6 为一些正常数定理2 2 1 证毕 定理2 2 2 若系统( 1 2 ) 除满足条件( 日1 ) ，( 飓) ，( 日3 ) ，( 甄) 外，还满足 ( h 5 ) 口i 恶+ ( 砟+ e ) f ( h 8 ) 畦l 醇+ 惫+ ( 砖+ e ) 她 则系统( 1 2 ) 满足初始条件( 1 3 的解是持久的即存在，。 t ，和m ： o ，n o ，使 得对t ，有 m ：s 霉( t ) s m ；，曼t o ) s 联( = l ，2 ， 这里柳，聊o = 1 ，2 ，3 ) 分别由( 2 3 h ( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 定义，m ：，n ：a = 1 ，2 ，3 ) 定义如下t ，l ：= 挚( f = 1 2 3 ) m ：譬学 等( 碣l n 孙 巧一硝一鲁曼一( 露+ 噬) 主) m o = 。：f 一 。 m 如( 酵+ 嘞蟛+ 急+ ( 鸯+ e ；) 她) 尬e 4 ；坞圩嚣+ 哼+ 。5 川m m ；= 而高罄学等翥黠鬻丽江t 囊s 证明令扛l ( t ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( t ) ，”l ( t ) ，2 ( t ) ，蝴( t ) ) 1 为系统( 1 2 ) 丽足初始条件( 1 3 ) 日可仕葸 解，由系统( 1 2 ) 的第一个方程知 掣独( t ) ( d i 喵邢卜惫一讥( t ) _ e j r 脚川 独( t ) ( 吐一老一四f 叫坼一l ( t ) ) 利用比较原理可知 。咖( 。丛 盟 因此对充分大的t ，有 删 警 由系统( 1 2 ) 的第二个方程知 掣狐( 一酵一锄卅急+ 再峒婀) 钧塾鼍篓等产 删型兰笔矬鬻坠型 6 由系统( 1 2 ) 的第二个方程同样司得 竽2 一( + 蜴蟛+ 惫+ + 谚) 婀渤( 力 所以当t n 时，有 9 2 ( t ) z 2 ( t f 1 ) e 一d ；+ 喃蜊+ 嚣+ + 。5 聪h 即 一钇o n ) 2 一茹2 ( t ) e + 。；1 4 9 + 詈磬+ + 。3 ；n ( 2 8 ) 从而由( 2 7 ) ，( 2 8 ) 可得 掣猁塑雩篆芸寨 型 吲幻堂型缝畿黑群竺竺 由比较原理可知 掣以蛇磊孟警篆甚蔫赫m 如( o f + 咳蟛+ 麓+ ( 鸯+ 四) 主) 鸩e ”2 “”k “。”。 类似可证 。蛾斌剐。砸鬲孬笺喜专荽乏翥箸面等吉蠹筹b 砑两丙箩啊 对系统( 1 2 ) 的第3 + i a = 1 ，2 ，3 ) 个方程，当t 2 ，+ r 时有 尘鍪堕( 雕+ ) 。：一酵珥( t ) 所以由比较原理可知 。蛾咖( t ) 学掣n ： 令d = ( 。l ，# 2 ，z 3 ，u l ，t 2 ，“3 ) 睦m ；s 毛孵， n ：s 撕孵，b 1 ，2 ，3 ) ，则d 是碎中的 有界紧集它与各坐标轴的距离均大于零由以上讨论知，存在p o ，当t p 时，系统( 1 2 ) 满足初始条件( 1 3 ) 的每一个正解最终将进入并滞留在区域d 内， 即系统( 1 2 ) 是一致持久的 2 3 全局吸引 本节讨论系统( 1 2 ) 的全局吸引性，得出系统( 1 2 ) 全局吸引的充分条件 7 定理2 3 1 若系统( 1 2 ) 满足定理2 2 2 的条件，并且满足 ( h r ) 存在常数以 o ，丸 o ，使得对 = l ，2 ，3 有 二砒 a 0 ) ，鼠( 。) ) o 其中也( 0 ，且( t ) 定义如下 a t ( t ，= p - 町- ( 。一a - 风c 力+ 石i 妻# 褊一舰厂；：；i ；! 黼如 ； 一 lfg 1 ( s h p 一0 ) 幽 础) = 地础) 一沁跳) 一盂糯一蔷糯 一地专誉轰苫芝鞴幽一穹笔妄葚笔糟出 o f kfg 2 ( 8 ) 加p o ) 幽 = 朋础m 眦卜高糕一助甓篙等等出 一kfg b ( 8 ) 伯( r 一8 ) 幽 2 鼠( t ) = k 啦( t ) 一肛d i ( t ) 一p l + 甄( 5 扣( t 一。) 幽o = l ，2 ，3 ) 厶 则对系统( 1 2 ) 的任何两个正解仁i ( 力，现( t ) ，z 3 ( t ) ，“l ( t ) ，抛( t ) ，u 3 ( t ) ) r 和( l ( t ) ，1 2 ( t ) ， 始( t ) ，地( ”，地( 功，t ，3 ( t ) ) 7 有 t g f 瓤( t ) 一挑( t ) l2o ，t 三i 蛳( t ) 一地( t ) l2 o ， = l ，2 ，3 ( 3 1 ) 证明对系统( 1 2 ) 的任意两个正解( z ( 力，u ( t ) ) r = ( l ( t ) ，现( t ) ，z 3 ( t ) ， l ( t ) ，t 1 2 ( t ) ，3 ( t ) ) 7 和( f ( t ) ，口( t ) 尸= ( f l ( f ) ，妇( t ) ，珈( t ) ，口l ( t ) ，地( t ) ，珊( t ) ) r ，由定理2 2 知存在正常数t 和蟛，孵 ，m ：，n ：0 = 1 ，2 ，3 ) ，使得对所有的t t 和倍l ，2 ，3 有 m ：曼瓤( t ) ，玑( t ) s 聊 n ：”( t ) ，佻( t ) s 孵 构造 h 1 ( t = i l n l ( t ) 一l n 掣l ( t ) l( 3 3 ) 8 则有 邶l ( t ) = 彬( t ) 刊t ) ) ( 器一器)， 一。- t 扛) i z - ( t ) 一”t ( t ) l + d - ( t ) i ”- ( t ) 一饥( t ) i 一百磊五丢； 2 1 1 ；丽i z ：( t ) 一p - ( t ) i + 丽五嚣；瓮! ；再魄( t ) 一| 2 ( t ) i + e - ( t ) 日l ( s ) i u t ( t + s ) 一t ，l ( t + 曲i d | 构造 。 2： h 2 ( t ) = z h ( 5 ) e l p a ) i l ( r ) 一t 1 1 ( r ) i 打由 二1 4 ， h ( t ) = l ( t ) + h 2 ( t )( 3 4 ) 则由h 。和h ：的定义知 。+ k ( t ) s 一。- ，( t ) i z - ( ”一- ( t ) i + d l ( t ) i u - ( t ) 一”- ( t ) f 一石i 占昙 2 1 1 ；j 盱l z - ( t ) 一f - ( t ) i + 高磊鬻砑k ( t ) 刊t ) i + 卜州川圳沪删 。5 构造 k 1 ( t ) = i l n 现( t ) 一i n 抛( t ) i( 3 6 ) 则有 d + 吲t ) = 哪( 碱删( 券一豁) s 如( t ) l “2 ( t ) 一t b ( t ) i d ( f ) i z 2 ( t ) 一抛( t ) i + e 2 ( t ) j 厂丑j ( 叫t 1 2 ( t + 。) 一抛( t + 酬出 。呐 r m 1 2 ( t ) n 2 l ( t ) f 1 ( t n ) ( z 2 ( 亡一n ) 一抛( t n ) ) ( m 1 2 ( t ) m ；+ m ：) 2 m 1 2 ( t ) 0 2 l ( t ) 抛0 一n ) ( z 1 ( t n ) 一机( t n ) ) ( m 1 2 ( t ) m ；+ m ：) 2 + 石i 毒器；! ；驴i z z ( t ) 一抛( t ) i + 面夏卷；j ；：! ；专萨忙a ( t ) 一蜘( t ) i 构造 ( t ) = j r 飓( 咖：( r 叫h ( r ) 咱( 训打幽 + 么篙鬻阶h l 打 9 + 。篙啬筹誊h 咄c 舳 ( t ) = k l ( t ) + ，船( t ) 则由k - 和的定义知 d + ( t ) 如( t ) i t 2 ( t ) 一地( t ) i o ( t ) l z 2 ( t ) 一1 1 2 ( t ) l + 日j ( 咖。( t 一，) d s l t 2 ( 母一协( t ) i 一如 + 甓熹黑筹尝幽蚓t ) - 洲i ，( m 1 2 ( t 一咖切+ m i ) 2 一r “- ， r 川 + 甓杀黑筹尝砷，( t ) 一肌) i ，( m 1 2 ( t 一8 ) 喝+ m ：) 2 一“。7 ” + 石二三；：； ! ! ；j 移i 。( t ) 一”。( t ) i + 石i 三嚣譬； ! ! ；万l z 。( t ) 一船( 句i 构造 k l ( t ) = i l n 如( t ) 一l n l l 3 ( t ) l 则有 d + 吲t ) = 螂( 酬州t ) ) ( 器一豁) 西( t ) l “3 ( t 一t j 3 ( t ) i 0 3 3 ( t i 。3 ( t ) 一舶( t ) i + e 3 ( t ) 日3 ( 圳“3 ( t 一t 1 3 ( t i 幽 一h n 3 2 ( t ) m ( t ) 叫i 如( t 一也) 一1 1 3 ( t 一兜) i 。 ( m 2 3 ( t ) m ；+ m ；) 2 一一 。d 3 2 ( t ) m 2 3 ( t ) 叫”i z 2 0 一砣) 一抛( t 一忍) i ( m ( t ) + z ；) 2 一一 构造 ( t ) = j 厂日3 ( 怕p 叫( r ) 一t 1 3 ( 叫触 + 篙苦糟刊r 帕 + 篙糟胁刊叫打 l o ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 构造 k ( t ) = b l ( t ) + b 2 ( t )( 3 1 0 ) 则由k l 和2 的足义知 d + 坞( t ) sd 3 ( f ) l “3 ( t ) 一t j 3 ( t ) i 一口3 3 ( t ) i z 3 ( t ) 一蛐( t ) i + 日3 ( 一) e 。( f 一一) 出i 蛳( t ) 一t j 3 ( 圳 一 + j ；i 邕i ；皇：糟l 幽l z s ( 砷一加( t ) i 3 1 1 + 篙等等等吲圳 。，( 抛3 0 一咖h ；+ m ；) 2p 严h 叫 删r ，。 对江l ，2 ，3 ，定义 则有 构造 矸i l ( t ) = i t “( t ) 一协( t ) i ( 3 1 2 ) d + w i l ( t ) = 鲴n ( t ( t ) 一仉( t ) ) ( 吨( t ) 一峨( t ) ) s n ( t ) i 蛳( t ) 一佻( t ) i + 成( t ) l 缸( d 一玑( t ) i + ( t ) g t ( s ) i 毛( t + 。) 二肌( t + 一) i d 。 则由矾- 和职。的定义知 矸( t ) = h l ( ”+ l 矿b ( t )( 3 1 3 ) d + 矸( f ) s n 0 ) i t “( ”一仇( t ) i + ( 郇) + fg 如) 竹叫酬删咄i ( 3 1 4 ) + ( 风( t ) + g ( s ) ( r s ) d 砷i 龟( t ) 一肌( 力i 3 l 现构造如下的l i a m 函数 1 1 ( 3 1 5 ) 西打 一弘 一 一 第 曲 一 p竹p g o，。 = 02瞰 暇 a 。：l + k 加 。：l = 时 y 则由( 3 5 ) 、( 3 8 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 知，当坨：t + r 时，有 其中 33 s 一a i ( t ) i 承( t ) 一讥( t ) i 一鼠( t ) l u i ( t ) 一仉( 母i = li = 1 a - ( t = p - 。- ( t ) 一- - 卢- ( t ) + i ；鬲：0 ；j ；：勃矛 甓等等等幽“g 小m r 叫幽 也( t ) = p ：础h ：肿) - 蔷一蔷糯 一沁r m ，d 抛瓮等等等出 一加r 篙等等警幽一加，丽i f 习两葡瑚 础) = 似酬。s 眦卜蔷篇 一舰j f 甓等簿等出一b m 叫如 最( t ) = 啦( ) 一m 出( t ) 一p l + 皿( 8 ) 引t 一。) 幽簟= l ，2 ，3 ) 一巩 由假设( 岛1 知存在足够小的e 0 和足够大的p t + r 使得对? p 有 ( t ，e ) e o 最( t ，e ) e 0o = 1 ，2 ，3 ) 当t 玎时，对( 3 1 6 ) 式两边在口，t 】上积分，有 133 y ( t ) 一y ( t ) 一【a ( 8 ，e ) i 毛( 。) 一弘( s ) i + 毋扣，e ) i m ( t ) 一仇( t ) i 】d i 毒b l = 1 由( 3 1 7 ) 式知，当t 耳时有 33 y ( t ) + e 【i 毛( s ) 一玑( 5 ) f + 芝二f t “( t ) 一q ( t ) | 】d $ y ( t 。) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 睚 + 口 “ 。 + 矾 dk 。 = 吩 矿 + d 。m 抛 一 由( 3 1 9 ) 式知，在旷，+ m ) 上有界，并且 ：33 【i 粕( 一玑o ) i + i u i o ) 一坼( t ) 口如 o 本文分三部分第一部分证明了分支周期解的存在性与稳定性；第二部分证 明并求出了近似分支周期解的表达式；第三部分举例说明了定理的可实现性，画 出了周期解图形，并得到了参数a ，c d 对周期解的振幅及周期影响的结论 3 2分支周期解的存在性 对于( 1 1 ) 式，存在正平衡态矿= e 叫( c n ) ”“做变换z ( t ) = 矿( 1 + ( t ) ) ，则有 之 一( c 一胡( c 。) “9 ) 们一r ) + 印