（计算数学专业论文）基于曲线曲面上的几何造型方法研究.pdf

摘翌 摘要 本文研究了曲线和曲面上的几何造型问题 随着造型技术的不断深化和计算 机工业的飞速发展，某些领域 ( 如航空、气象、医学、 环境监测等)开始越来越 多地涉及到限制在曲线上的曲面构造和限制在曲面上的超曲面构造以及曲线曲 面的变形问题，大体上可分为四 类:1 )限制在曲 线上的三维数据的曲面插值问 题 z )限制在曲面 卜 的四维数据的超曲面插值问题 3 )球面上具有几何光滑性的 封闭参数曲 面构造问 题4 ) 曲 线曲 面的插值变形和自 由 变形. 首先回顾了几何造型的发展简史， 分析和总结了已有的曲线和曲面上的几何 造型方法的优点和不足.在此基础上研究了 新的造型方法. 针对限制在单位圆弧上的三维数据的二元函数光滑性曲 面插值问 题， 提出了 修正的径向基函数方法， 可通过调整径向基函数中的形状参数， 获得拟合精度较 高的二元插值函数. 对于限制在一般参数曲线上的三维数据的二元函数光滑性曲面插值问题， 提 出了基于映射的方法， 通过曲线参数化， 建立一个从参数曲线到参数轴上的一个 一一映射，将问题转化为参数轴上的二维数据的一元函数光滑性曲面插值问题， 并用极小范数的方法建立了参数轴上的一个c 连续一元插值函数，最后再将此 函数映回到参数曲线上. 做了若干数值实验和图形实例， 实验表明上述两种方法具有较好的逼近效果. 关于曲面上的几何造型问题， 针对限制在球面上四维数据的三元函数光滑性 超曲面插值问题， 提出了一个插值所有数据点的局部化逼近方法， 对球面上每一 个数据点， 构造一个具有局部支撑性的权函数和插值该点的局部逼近函数， 然后 用权函数加权于这些局部逼近函数以获得插值于这些数据点的函数. 做了若干数 据实验， 实验结果表明该方法具有较高的拟合精度. 关于球面上的具有几何光滑性的封闭参数曲面构造问题，提出了由三角 b 样条张量积拟合球面数据的参数曲面构造方法， 得到了参数曲面具有g 和g ， 连 续的约束条件 对于参数曲线曲面插值变形问题，提出了一种新的变形方法: 给出了基于插 值 b样条的伸缩矢量函数，将插值数据点转化为变形主方向矢量. 此方法能够精 确控制变形范围， 在变形与未变形部分之间其有c 连续性. 做了 若一 f 图例， 结果表 摘要 明变形效果比较丰富，且变形后通过给定的插值点. 对于一 般参数曲线的自由 变形问题， 提出了 一种新的自由变形方法: 给出了 加权形式 b样条的伸缩矢量函数，在曲线待变形部分选取若干特征点，将特征 点转化为变形主方向矢量， 该方法能够精确控制变形范围， 在变形与未变形部分 之间具有c z 连续性， 图例实验表明通过调整权因子和特征点可获得丰富的自由 变形效果. 最后，我们总结了全文并指出了进一步的研究方向. 【 关键词】 : 计算机辅助几何设计，参数曲线曲面上几何造型， 插值和拟合， 曲线曲面变形， 伸缩函数，三角b样条 af 3 s t1 l ac 1 a b s t r a c t i n t h is p a p e r ,w e r e s e a r c h t h e g e o m e t r i c m o d e l i n g o n t h e p a r a m e t r i c c u r v e a n d s u r f a c e . wi t h t h e d e v e l o p m e n t o f t h e c o m p u t e r i n d u s t r y a n d t h e g e o m e t r i c m o d e l i n g t e c h n o l o g y ,s o m e d o m a i n s ( a e r o s p a c e、 m e t e o r o lo g y、 m e d i c i n e、 s u r r o u n d i n g o b s e r v a t i o n ) n e e d r e s e a r c h t h e s u r f a c e c o n s t r u c t i o n r e s t r ic t e d t o t h e c u r v e a n d t h e s u p e r - s u r f a c e c o n s t r u c t i o n r e s t r ic t e d t o s u r f a c e , w h i c h i n c l u d e f o u r k i n d s o f q u e s t i o n s : l ) t h e s m o o t h s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n o f t h r e e - d i m e n s i o n d a t a s t w o v a r a b l e s f u n c t i o n r e s t r i c t e d t o t h e c u r v e .2 ) t h e s m o o t h h y p e r - s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n r e s t r i c t e d t o t h e s u r f a c e .3 ) t h e c o n s t r u c t i o n o f a k i n d o f c l o s e d p a r a m e t r i c s u r f a c e w it h g e o m e t r ic c o n t i n u i t y o n t h e s p h e r e .4 ) t h e p a r a m e t r i c c u r v e a n d s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n d e f o r ma t i o n a n d f r e e d e f o r ma t i o n . f i r s t l y , w e r e v i e w t h e h i s t o ry o f g e o m e t r i c m o d e l i n g a n d a n a l y s e t h e a d v a n t a g e a n d d i s a d v a n t a g e o f t h e e x i s t e d m e t h o d s a b o u t t h e t h e g e o m e t r i c m o d e l i n g o n t h e p a r a m e t r i c c u r v e a n d s u r f a c e . t h e n w e r e s e a r c h t h e n e w g e o m e t r i c m o d e l i n g m e t h o d s we p r e s e n t a m o d i f i e d r a d i a l f u n c t i o n t o s e tt l e t h e s m o o t h s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n o f t h re e - d i me n s i o n d a t a s t w o v a r a b l e s f u n c t i o n r e s t r i c t e d t o t h e u n i t c i r c l e , we c a n o b t a i n g o o d a p p r o x i m a t i o n b y a d j u s t i n g t h e f o r m p a r a m e t e r o f t h e r a d i a l b a s is f u n c t i o n ; c o r r e s p o i n d i n g t o t h e s m o o t h s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n o f t h r e e - d im e n s i o n d a t a s t w o v a r a b l e s f u n c t i o n r e s tr i c t e d t o c o m m o n p a r a m e t r i c c u r v e ,w e p u t f o r w o r d a m e t h o d o f m a p p i n g w h i c h f r o m t h e p a r a m e t r i c c u r v e t o t h e p a r a m e t r i c a x i s b y c u r v e p a r a m e tr i z i n g we t r a n s l a t e t h e s m o o t h s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n o f th r e e - d i m e n s i o n d a t a s t w o v a r a b l e s f u n c t i o n r e s t r i c t e d t o p a r a m e t r i c c u r v e t o t h e t w o - d i m e n s io n d a t a s o n e v a r a b l e f u n c t i o n c u r v e i n t e r p o l a t i o n o n t h e p a r a m e tr i c a x i s , w e e s t a b l i s h a c c o n ti n u o u s i n t e r e p o l a t i o n f u n c t i o n b y u s i n g t h e m i n i m u m n o r m m e t h o d ,a t l a s t , m a p p i n g t h e f u n c t i o n d e f i n e d o n t h e p a r a m e t r i c a x i s t o t h e p a r a m e t r i c c u r v e . n u m e t r i c a l e x p e r i m a t i o n s a n d f i g u r e e x a m p le s i n d i c a t e t h a t t h e t w o m e t h o d s c a n o b t a i n g o o d a p p r o x i m a t i o n . we p r e s e n t a l o c a l a p p r o x i m a t i o n m e t h o d w h ic h e n s u r e s t h a t t h e f u n c t i o n i n t e r p o l a t e s a l l g iv e n d a t as t o s e tt l e t h e s u b j e c t o f s m o o t h h y p e r - s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n o f f o u r - d i m e n s i o n d a t a s t h r e e v a r a b l e s f u n c t i o n r e s t r i c t e d t o t h e s p h e r e ,a t e a c h g i v e n p o i n t o n t h e s p h e r e ,w e c o n s t r u c t a c o r r e s p o i n d i n g w e i g h f u n c t i o n w h i c h p o s s e s s e s i i i abs tract l o c a l s u p p o r t c h a r a c t e r i s t ic a n d a l o c a l a p p r o x i m a t i o n f u n c t i o n w h i c h i n t e r p o l a t e s t h e f u n c t i o n v a l u e s o f t h e p o i n t ,w e g e t a f u n c t i o n d e fi n e d o n t h e s p h e r e b y a d d i n g u p t h e l o c a l f u n c t i o n s i n t h e f o r m o f w e i g h t f u n c t i o n s s u m ,n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s h o w s t h a t t h e m e t h o d h a v e a g o o d a p p r o x im a t i o n . a b o u t t h e c o n s t r u c t i o n o f a k i n d o f c l o s e d p a r a m e t r i c s u r f a c e w i t h g e o m e t r i c c o n t i n u i t y o n t h e s p h e r e , w e p r e s e n t t h e c o n s t r u c t i o n m e t h o d o f p a r a m e t r i c s u r f a c e b y u s i n g t h e t r i g o n o m e t r i c b s p l i n e s t e n s o r p r o d u c t o f i t t h e d a t a s o n t h e s p h e r e , a n d g e t t h e g a n d g c o n t i n u o u s r e s t r i c t i o n c o n d i t i o n s ， a b o u t t h e p a r a m e t r i c c u r v e a n d s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n d e f o r m a t i o n , w e p u t f o r w o r d a n e w d e f o r m a t i o n m e t h o d :g i v i n g t h e e x t e n s i o n v e c t o r f u n c t i o n b a s e d o n i n t e r p o l a t io n b - s p l i n e ,t r a n s l a t i n g t h e i n t e r p o l a t i o n d a t a s i n t o t h e d e f o r m a t i o n d i r e c t i o n v e c t o r , t h e m e t h o d n o t o n l y c a n m a k e t h e d e f o r m e d c u r v e a n d s u r f a c e i n t e r p o l a t e t h e g i v e n p o i n t s b u t a l s o c a n c o n t r o l d e f o r m a t i o n r e g i o n a x a c t l y a n d g u a r a n t e e c z c o n t i n u i t y b e t w e e n d e f o r m e d a n d t h e u n d e f o r m e d r e g i o n s . o n t h e p a r a m e t r i c c u r v e a n d s u r f a c e f r e e d e f o r m a t i o n , w e p r e s e n t a n e w f r e e d e f o r m a t i o n m e t h o d : g i v i n g t h e e x t e n s i o n v e c t o r f u n c t io n b as e d o n b - s p l i n e i n t h e f o r m o f t h e w e i g h t s , w e c h o o s e s o m e a u x i l i a ry c h a r a c t e r i s t i c p o in t s o n t h e c u r v e a n d s u r f a c e ,w e c a n t r a n s l a t i n g t h e p o i n t s i n t o t h e m a i n d e f o r m a t i o n d i r e c t i o n v e c t o r . t h e m e t h o d n o t o n l y c a n c a n c o n t r o l d e f o r m a t i o n r e g i o n a x a c t l y b u t a l s o g u a r a n t e e c 2 c o n t i n u i t y b e t w e e n d e f o r m e d a n d t h e u n d e f o r m e d r e g i o n s . f i g u r e e x a m p l e s s h o w t h a t w e c a n g e t p l e n t y o f f r e e d e f o r m a t i o n r e s u l t s b y a d j u s t i n g t h e v a l u e s o f t h e w e i g h t a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c p o i n t s f i n a l l y , w e s u m m a r i z e t h e w h o l e p a p e r a n d p o i n t o u t t h e n e w r e s e a r c h d o m a i n s b a s e d o n t h e c o n t e n t o f t h e p a p e r k e y w o r d s : c o m p u t e r a i d e d g e o m e t r i c d e s i g n ,g e o m e t r i c m o d e l i n g o n p a r a m e t r i c c u r v e a n d s u r f a c e , i n t e r p o l a t i o n a n d f i tt i n g , e x t e n s io n f u n c t i o n , t r i g o n o m e t r i c b - s p l i n e t v 第一帝 绪论 第一章 绪论 1 . 1 c a g d技术发展概述 计算 机辅 助几 何设 计( c o m p u te r a id e d g e o m e tr ic d e s i g n ，简写为c a g d ) ， 是研究计算机在工程设计与产品制造方面综合应用的学科， 它深刻影响并推动了 飞机、汽车、造船、机械、化工、服装、制鞋、虚拟实景、动画、广告等领域的 变革， 从根本上改变了产品传统设计的工作内容和方式， 实现了由手工绘图到利 用计算机辅助设计以及小规模简单制造到计算机集成制造系统的飞跃， c a g d是 借助于数学的理论和方法并融合计算机应用技术解决计算机辅助设计中的各种 数学问题，使得设计既适合计算机处理又能有效的满足形状描述与几何设计要 求，又便于形状信息传递和产品数据交换，它是 c a d / c a m 的理论基础和关键 技术，极大地推动着 c a d / c a m 技术水平地提高，同时也促进计算机图形学、 计算机艺术、计算机动画与仿真、机器人的发展， 利用 c a g d技术既可模拟或 再现己有的形态， 也可以 产生人们想象的设计形态或艺术模型， 作为一门交叉学 科， c a g d涉及到计算机科学技术、函数逼近论、 微分几何、 代数几何、 计算数 学、 拓扑学、图论、 数控技术等诸多学科， c a d / c a m技术的发展和应用水平现 已成为一个国家科技现代化和工业现代化水平地重要标志之一，最近几十年 c a g d在理论方面己有很大的发展， 然而随着相关学科的发展: 对计算机辅助造 型技术水平的要求也随之上升， 因此， 寻求或发展更加完美的计算机辅助几何设 计技术将在未来很长时间内成为c a d / c a m领域的研究热点之一 作为形状数学描述和处理的 c a g d技术，其主要的研究对象是工业产品的 几何设计，工业产品的形状大致可分为初等解析曲线、曲面 ( 如直线、圆弧、 平 面、圆柱面、圆锥面、球面、环面等组成)和自由曲线曲面 ( 如飞机、 船舶、汽 车的外形) 利用传统的模线样板法难以描绘复杂的自由曲线、曲面， 且形状表示 不具有唯一性， 设计周期长， 制造精度低， 不能适应现代工业的发展， c a g d技 术的 产生和发展一开始就与自 由曲 线曲 面造型技术紧密联系在一 起， c a g d中曲 线曲 而造型方法的 研究始于d e c a s t e lj a n 和p .b e z i e r 的开创性工作， 6 0 年代美国 波音 公司的f e r g u s o n 首先在飞机中应用了参数止次曲 线，用两端的位置矢量及 第一帝 绪论 第一章 绪论 1 . 1 c a g d技术发展概述 计算 机辅 助几 何设 计( c o m p u te r a id e d g e o m e tr ic d e s i g n ，简写为c a g d ) ， 是研究计算机在工程设计与产品制造方面综合应用的学科， 它深刻影响并推动了 飞机、汽车、造船、机械、化工、服装、制鞋、虚拟实景、动画、广告等领域的 变革， 从根本上改变了产品传统设计的工作内容和方式， 实现了由手工绘图到利 用计算机辅助设计以及小规模简单制造到计算机集成制造系统的飞跃， c a g d是 借助于数学的理论和方法并融合计算机应用技术解决计算机辅助设计中的各种 数学问题，使得设计既适合计算机处理又能有效的满足形状描述与几何设计要 求，又便于形状信息传递和产品数据交换，它是 c a d / c a m 的理论基础和关键 技术，极大地推动着 c a d / c a m 技术水平地提高，同时也促进计算机图形学、 计算机艺术、计算机动画与仿真、机器人的发展， 利用 c a g d技术既可模拟或 再现己有的形态， 也可以 产生人们想象的设计形态或艺术模型， 作为一门交叉学 科， c a g d涉及到计算机科学技术、函数逼近论、 微分几何、 代数几何、 计算数 学、 拓扑学、图论、 数控技术等诸多学科， c a d / c a m技术的发展和应用水平现 已成为一个国家科技现代化和工业现代化水平地重要标志之一，最近几十年 c a g d在理论方面己有很大的发展， 然而随着相关学科的发展: 对计算机辅助造 型技术水平的要求也随之上升， 因此， 寻求或发展更加完美的计算机辅助几何设 计技术将在未来很长时间内成为c a d / c a m领域的研究热点之一 作为形状数学描述和处理的 c a g d技术，其主要的研究对象是工业产品的 几何设计，工业产品的形状大致可分为初等解析曲线、曲面 ( 如直线、圆弧、 平 面、圆柱面、圆锥面、球面、环面等组成)和自由曲线曲面 ( 如飞机、 船舶、汽 车的外形) 利用传统的模线样板法难以描绘复杂的自由曲线、曲面， 且形状表示 不具有唯一性， 设计周期长， 制造精度低， 不能适应现代工业的发展， c a g d技 术的 产生和发展一开始就与自 由曲 线曲 面造型技术紧密联系在一 起， c a g d中曲 线曲 而造型方法的 研究始于d e c a s t e lj a n 和p .b e z i e r 的开创性工作， 6 0 年代美国 波音 公司的f e r g u s o n 首先在飞机中应用了参数止次曲 线，用两端的位置矢量及 西北工业人学硕 卜 学位论文 切矢定义曲线段，然后依据连续条件将曲 线段拼接成一条完整的合成 f e r g u s o n 曲线，而f e r g u s o n 双三次曲 面则是曲线情形的直接推广;它是利用四角点的位 置矢量及两个方向切矢定义的双三次曲面片， 但它的四个角点处的混合二阶偏导 数为零矢量， 导致曲面在角点附近变得平坦，1 9 6 4 年c o o s 提出了由 给定的围成 封闭曲 线的四条边界定义一块曲面片的方法，后来g o r d o n 等人推广了c o o n s 的 思想，提出了 所谓的g o r d o n曲面，它在超限插值的意义下通过给定的空间网格 线， 然而， c o o n s 双三次曲 面片和f e r g u s o n 双三次曲 面片都存在形状控制与拼接 的问 题，以s c h o e n b e r g提出的样条函数为基础的参数样条曲 线曲 面方法在一定 程度上解决了曲面片间的拼接问题， 并部分地解决了插值问题， 在构造整体达到 某种参数连续阶的曲线曲面是很方便的， 但不存在局部形状调整的自由度， 样条 曲 线曲 面的形状不易控制， 难以 用于自 由曲 线曲 面的设计， 1 9 7 1 年p .b 6 z i e r 发表 了一种由控制顶点定义曲线的方法即b 6 z i e : 曲线曲面方法， 但b 6 z i e r 方法依然 存在连接问题和不能局部修改的问题, 1 9 7 2 年d e b o o r 和c o x 分别独立地提出了 关于b样条的一种标准算法，提出了b样条曲线曲面，较成功地解决了曲线曲 面局部控制问题， 且在参数连续的基础上解决了连接问题， 它几乎继承了b 6 z i e r 方法的一切优点，伴随着节点插入技术，分割技术，及升阶技术，使得 b样条 方法达到更广泛、更实用的阶段，而且在理论上证明了b 6 z i e r 曲线曲面是b样 条曲线曲面的特例，但b 6 z i e : 方法和 b样条方法却不能精确地描述圆锥曲线和 初等解析曲面， 不能适用许多工业产品对造型设计的要求， 为了能精确表示除抛 物线和抛物面外的 其它二次曲 线曲 面，美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 在他的博 士论文中提出了有理b样条方法，以及非均匀有理b样条n u r b s 困o n - u n i f o r m r a t io n a l b - s p l in e ) ， 该 方法 不 但能 够表 示自 由 曲 线曲 面， 而 且能 够精 确 表示圆 锥曲 线、 二次曲面与旋转曲面， n u r 3 s 方法己 被作为工业产品数据交换的s t e p 标准， 也被作为描述工业产品几何形状的唯一数学方法，为了突破c a d系统中的矩形 曲 面片及矩形拓扑的局限 性， b o e h m于1 9 7 5 年发现了由d e c a s t e lj a n 在1 9 5 9 年 提出的三角曲面片，1 9 7 3 年 b a r n h i l l 给出了三角域上的超限插值曲面，1 9 7 6 年 s a b i n e 给出最为流行的三边b 6 z i e r 曲面，f a i n 等人推广了s a b i n e 的方法并成功 地用于无明确规律的空间散乱数据的插值， 三角域上的曲面造型可以解决任意拓 扑网格上的曲面造型， 然而，该方法在三角剖分、 简化计算复杂性有待进 一 步研 第 一敖 绪论 自8 0 年代以 来，还相继产生了自由形变造型，偏微分方程造型、能量法造 细分法造型、 应用小波造型、 蒙面造型法、 扫掠( s w e e p i n g ) 和摆转( s w i n g ) 究型 造型法、分形造型、散乱点拟合造型、人l _ 神经网络造型等其它造型新技术 ; 1 . 2研究背景 随着造型技术的不断深化和计算机工业的飞速发展， 某些领域 ( 如航空、 气 象、医学、 环境监测等) 开始越来越多地涉及到限制在曲线上的曲面构造和限制 在曲面上的超曲面构造问题， 如由地球同一纬度或经度处的若干个位置处的降雨 量、 气压值、 臭氧层含量去估计同一纬度或经度处其它位置处的降雨量、 气压值、 臭氧层含量， 曲线形物体构件不同物理性能的估计; 飞机机冀上压力分布的估计， 分析全球的降雨量以及大气层中的“ 温室效应” ( 包括臭氧层的估计) ; 人体表面 温度分布，飞行器 ( 如导弹) 上压力分布， 医学上肿瘤的生长规律等， 这些问题 虽然背景不同， 但抽去它们的实际意义可分为三类: ( 1 )限制在曲线上的三维数 据的曲面插值问题 ( 2 )限制在曲 面上的四维数据的超曲面插值问题 ( 3 )由定义 巍面 上 函 数 构 造 封 闭 的 具 有 某 种 光 滑 性 要 求 的 参 数 曲 面 对 于 限 制 在 曲 线 _r 三 维数据的曲 面插值问题， n i l s o n 在1 9 7 1 年 1 提出了 用单位圆弧上复数多项式样 条来逼近单位圆上的解析函数，中 科院的陈翰麟在1 9 8 3 年 3 1 通过构造单位圆 上 的复数形式拟插值样条来解决圆弧上的插值问 题，1 9 9 2年叶正麟 5 分析了 单位 圆弧一的 复二次b d z i e r 曲 线的 几何性质， 1 9 8 4 年g o o d m a n 和l e e 在 4 1 提出了 用 单位圆上的复数 b样条解决位于劣弧上的插值问 题，这些方法构造过程比较复 杂且只能解决位于劣弧上的插值;对于限制在曲面上的四维数据的超曲面插值， 不能直接套用节点分布在r 2 上的二元插值法，因为此时平面变为曲面，度量发 生了变化， 不同的曲面有不同的测地距离， 除了平面和球面外， 大部分曲面的测 地距离不易求出; 它也不能简单的直接套用四维数据的 拟合方法， 因为 插值节点 并不是独立 分布在r 中， 而是被限 制在曲 面d上， 1 9 8 4 年l a w s o n 在 6 中 针 对曲面 d是球面时给出了球面上c 插值法:利用给定的球面上的点为顶点对球 面进行球面三角剖分并估计出被插值函数在这些点的梯度值， 将平面三角形的边 顶点 插值法推 广到球面 三角 形上来实 现球 面上的c 插值; n i e l s o n 和r a m a r a j 于 1 9 8 7 年在口 中也针对曲 面d是球面时提出了一种基于极小范数网 格方法:首先 由球面上的数据点对球面进行三角剖分， 在每一 个球面三角形的边上用两点及方 第 一敖 绪论 自8 0 年代以 来，还相继产生了自由形变造型，偏微分方程造型、能量法造 细分法造型、 应用小波造型、 蒙面造型法、 扫掠( s w e e p i n g ) 和摆转( s w i n g ) 究型 造型法、分形造型、散乱点拟合造型、人l _ 神经网络造型等其它造型新技术 ; 1 . 2研究背景 随着造型技术的不断深化和计算机工业的飞速发展， 某些领域 ( 如航空、 气 象、医学、 环境监测等) 开始越来越多地涉及到限制在曲线上的曲面构造和限制 在曲面上的超曲面构造问题， 如由地球同一纬度或经度处的若干个位置处的降雨 量、 气压值、 臭氧层含量去估计同一纬度或经度处其它位置处的降雨量、 气压值、 臭氧层含量， 曲线形物体构件不同物理性能的估计; 飞机机冀上压力分布的估计， 分析全球的降雨量以及大气层中的“ 温室效应” ( 包括臭氧层的估计) ; 人体表面 温度分布，飞行器 ( 如导弹) 上压力分布， 医学上肿瘤的生长规律等， 这些问题 虽然背景不同， 但抽去它们的实际意义可分为三类: ( 1 )限制在曲线上的三维数 据的曲面插值问题 ( 2 )限制在曲 面上的四维数据的超曲面插值问题 ( 3 )由定义 巍面 上 函 数 构 造 封 闭 的 具 有 某 种 光 滑 性 要 求 的 参 数 曲 面 对 于 限 制 在 曲 线 _r 三 维数据的曲 面插值问题， n i l s o n 在1 9 7 1 年 1 提出了 用单位圆弧上复数多项式样 条来逼近单位圆上的解析函数，中 科院的陈翰麟在1 9 8 3 年 3 1 通过构造单位圆 上 的复数形式拟插值样条来解决圆弧上的插值问 题，1 9 9 2年叶正麟 5 分析了 单位 圆弧一的 复二次b d z i e r 曲 线的 几何性质， 1 9 8 4 年g o o d m a n 和l e e 在 4 1 提出了 用 单位圆上的复数 b样条解决位于劣弧上的插值问 题，这些方法构造过程比较复 杂且只能解决位于劣弧上的插值;对于限制在曲面上的四维数据的超曲面插值， 不能直接套用节点分布在r 2 上的二元插值法，因为此时平面变为曲面，度量发 生了变化， 不同的曲面有不同的测地距离， 除了平面和球面外， 大部分曲面的测 地距离不易求出; 它也不能简单的直接套用四维数据的 拟合方法， 因为 插值节点 并不是独立 分布在r 中， 而是被限 制在曲 面d上， 1 9 8 4 年l a w s o n 在 6 中 针 对曲面 d是球面时给出了球面上c 插值法:利用给定的球面上的点为顶点对球 面进行球面三角剖分并估计出被插值函数在这些点的梯度值， 将平面三角形的边 顶点 插值法推 广到球面 三角 形上来实 现球 面上的c 插值; n i e l s o n 和r a m a r a j 于 1 9 8 7 年在口 中也针对曲 面d是球面时提出了一种基于极小范数网 格方法:首先 由球面上的数据点对球面进行三角剖分， 在每一 个球面三角形的边上用两点及方 西北 ! 业人学硕1学位论文 向导数的三次厄尔米特插值多项式表示， 通过范数达到最小以获得在每一点方向 导数值， 从而来定义一 个定义在球面三角形边上的分段三次网格函数， 然后利用 球面三角形的边顶点插值法将此函数延伸到球面三角形的内部， 从而得到定义在 球面上的 满 足 插 值 条件的c 曲 面函 数; 针 对凸曲 面b a r n h i l l 在1 9 9 0 年 8 提出了 局部地用球面 来逼近， 然后利用球面二角 化的 方 法解决， 1 9 9 0 年f o ly 和n i e l s o n 在 9 针对d是拓扑 等价于 球面的一 类曲 面 提出了 映射的 方法: 首 先在曲 面d和 球面之间建立一个映射，将曲面 d上的插值问题转化为参数平面上二元函数插 值问 题，1 9 9 2 年p o tt m a n n 在 1 0 把球面 上的 极小 范数网 格方法做了 适当 的 修正 推广到一般的曲 面上，它虽然适用于任意曲 面类型，但却要求曲面d是c z 连续 的， 接着b a r n h i l l 和p o tt m a n n 在1 9 9 4 年【 1 1 取消了 对曲 面附加c z 连续的 要求， 但曲面上的插值函数需用超限插值法， 如何确定大量参数仍需进一步研究， 虽然， 一般三变量四面体插值法可用于解决上述问题， 但因其没有利用曲面数据的特点 而付出的计算代价太大， 如文 1 2 中的c c l o u g h - t o c h e r 格式， 它分割每一四面 体为4 个子四面体，在每一个四面体上使用 5次多项式及四面体顶点上的c z 数 据，另外一个只需c 数据及三次多项式的 c l o u g h - t o c h e r 1 3 要分割原来的每一 个四面体为1 2 个子四面体， 一个不需分割c 格式 1 4 1 ， 则须使用9 次多项式及 顶点的c 数据， b a j a j 和徐国良 在 1 9 9 4 年提出了 不需分割的四 面体 插值法: 首 先构造定义域曲面 d的一个三角逼近，并估计出每一点处的梯度值，然后构造 一个四面体单纯形包使其包含 d ， 在单纯形包上构造一个3 次b e rn s t e i n - b 6 z i e r 多项式使其插值于四面体顶点和梯度，但要求曲 面是弯曲的，徐国良 在 1 9 9 7 年 1 5 在此基础上提出了 曲 面上的 有理插值法， 通过使用3 次b e rn s t e i n - b 6 z i e r 多 项 式加上一些有理修正项及使用c 数据来实现曲面插值， 无需假定曲面是弯曲的， 但计算过于繁杂， 而且部分多项式系数如何确定有待进一步研究， 总之， 现有的 方法基本上是基于对曲面的三角剖分的方法， 三角剖分相当复杂， 所得到的曲面 上的函数可能不是多项式，而且这个定义在曲面上函数是由非常多的函数片组 成， 计算代价非常大， 目 前尚没有一套适用于任意曲面类型和曲 面形状的超曲面 构造方法，因此，寻求一种简单易行的曲面构造方法无疑是非常有意义的， 此外，利用定义在曲面上的函数构造一类封闭的参数曲面也是 c a g d中一 类重要问题，它在医学影像诊断中有着非常重要的应用，如在医学和c a d造型 第一令 绪论 中经常涉及到定义在单位球面上的一类封闭参数曲面， 这时曲面就是一个器官如 心脏的表面， 利用断层摄影技术获得反映器官信息的曲面函数，从而重建出器 官的影像，出于实际应用的需要， 往往要求重建的曲面是光滑的， 这就需要对由 拟合或插值得到的曲面上的函数附加些条件限制 保构造的曲面在球而的两个极点处的儿何光滑性 采取近似逼近的方法 ， 现有的方法 1 6 - 1 7 都无法确 而对这两点的几何光滑性只能 变形是一种独特的造型手段， 它可用来改变已经设计出来的形状中不够理想 之处， 使之更好满足实际的要求， 在数学上变形是一个从三维空间到自身的映射， 其定义域是构成待变形目 标的点集， 值域是构成变形后目 标的点集， 它的关键在 于如何构造这个映射， 变形按采用的手段分为借助辅助工具和不借助辅助工具两 类， b a r r 于1 9 8 4 年首次提出了局部与整体的变形方法【 1 8 ，其思想是:先将待 变形目 标的位置向量线性化 ( 微分求其切向量) ，用一依赖于目 标上的点的矩阵 ( 即日 标点的函数矩阵) 去变换切向量， 再积分新的切向量以得到变形后的目 标 方程 ( 即位置矢量函数) ， 用该方法人们可以模拟力学中常见的几种变形如拉伸、 均匀缩放 ( s a c l i n g ) 、扭转 ( t w i s t i n g ) 、弯曲 ( b e n d i n g ) 等， 但用它产生任意的 自由 形状几乎是不可能的，而且，该方法一次成形， 缺乏交互控制手段，其后， w a t t 等人发展了b a r r 的方法，扩展了b a r r 的因子曲 线的定义范围，成为时间和 空间的函数 1 9 , 金小刚等人 2 0 进一步推广了b a r r 与w a tt 的方法， 给出了 较好 的控制方法， 使其能够较好地控制局部变形，以上都属于非自由 变形. 自由 变形属于借助于辅助工具的一类变形， s e d e r b e r g 和p a r r y 在1 9 8 6 年提 出了自由 变形 ( f r e e - f o r m d e f o r m a t i o n )方法，简记为f f d 2 1 ，它的主要思想 是:首先，根据拟变形区域确定一个被称为格子 ( l a t t i c e )的辅助变形工具， 格 子是一个均匀分割的参数三元张量积体的控制顶点构成， 其次， 将待变形目 标线 性地嵌入格子中 ( 即将目 标点的坐标换算成相对于格子的局部坐标) ，目 标上的 每个采样点或控制顶点与参数空间的唯一一个点对应( 该点的 相对于格子的坐标 称为采样点或控制顶点的局部坐标) ，再次，通过调整该格子的有关控制顶点， 使格子发生形变， 其中目 标上的点相对格子的局部坐标被认为是不变的( 保持变 形目 标的拓扑结构是不变) ( 2 2 ) ;最后， 将形变传递给待变形目 标，即 计算出 已变形格子中的日 标点的整体坐标， 该方法的主要优点是:1 ) 可用于整体变形， 也可用于局部变形，用于局部变形时能够保持任意阶的跨界导矢连续，2 )同时 西北一 卜i k 大学硕士学位论文 能够控制变形前后体积的变化程度， 3 ) 可融入任何实体造型系统， 4 ) 可对任何 表示形式曲面或多边形变形， 5 ) 参数形式表示的目 标变形后仍为参数表示形式， 6 )可用于美学曲面和光顺曲面，f f d是一种非常有效的造型工具， 但其变形结 果由调整控制顶点获得， 对变形目 标而言， 控制顶点只是变形工其， 与目 标无直 接联系，目标变形与控制顶点的移动不能达到完全一致，这就使得 f f d方法有 以下不足:难以精确控制变形形状，难以精确控制目 标上点的位移. 为使 f f d方法效果更好、效率更高，人们进行了更深入的研究，h a s 等人 提出了d f f d ( d i r e c t m a n i p u l a t i o n o f f r e e - f r o m d e f o r m a t i o n ) 方