（应用数学专业论文）拟线性双曲平衡律方程组解的整体存在性.pdf

摘要 拟线性双曲平衡律方程组解的整体存在性 摘要 本文的主要目的是研究拟线性双曲方程组整体解的存在唯一性本 文的主要内容由以下几章组成： 第一章为绪言，在本章中我们对一阶拟线性双曲方程组c a u c h y l h 题 $ i l r i e m a n n 问题的物理背景和研究现状做了一个简单介绍，并对本文要研 究的几个闻题加以阐述，叙述我们得到的结果 在第二章中，我们研究了具有弱线性退化特征的双曲平衡律方程组 的c a u c h y 问题的整体经典解的存在性证明了：如果初值适当的小，非齐 次项或者满足强耗教条件，或者满足匹配条件，那么存在唯一的整体经 典解 在第三章中，我们研究了一阶拟线性双曲守恒律方程组r i e m a n n 问题 解的整体存在性我们证明了，在第一象限内的混合初边值问题，特征要 么是真正非线性的，要么是线性退化的，如果初值适当的小且满足一定的 条件，则c t 分片光滑解是整体唯一存在的，这个解的整体结构稳定，且相 似于对应r i e m a n n 问题的解，当且仅当这个解仪包含激波和切触闻断，面 没有中心稀疏波或其它类型的弱间断 关键词：拟线性双曲平衡律方程组；弱线性退化；整体经典解；正 规坐标；线性退化；匹配条件；耗散条件；激波；切触间断；c a u c h y l n - 题； r i e m a n n 问题；分片光滑解。 上海交通大学博士学位论文 g l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a r h y p e r b o l i cs y s t e m so fb a l a n c el a w s a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n c e r n sw i t ht h eg l o b a le x i s t e n c eo fs m o o t hs o l u - t i o n so fq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m so fb a l a n c el a w s t h et h e s i si s o r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e r1i sa ni n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w es i m p l yr e c a l l t h ep h y s i c a lb a c k g r o u n da n dp r e s e n ts i t u a t i o no ft h es t u d yo nt h e c a u c h yp r o b l e ma n d r i e m a n np r o b l e mo fq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m so ff i r s to r d e r w ei l l u s t r a t et h ep r o b l e m sw h i c hw es h a l ld i s c u s s a n ds t a t et h em a i nr e s u l t sc o n t a i n e d 。 i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rak i n do fq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s - t e r n sw i t hi n h o m o g e n e o u st e r m ss a t i s f y i n gd i s s i p a t i v ec o n d i t i o no r m a t c h i n gc o n d i t i o n f o rt h ec a u c h yp r o b l e m o ft h i sk i n do fs y s t e m s ， w ep r o v et h a t ，i ft h es y s t e mi sw e a k l yl i n e a r l yd e g e n e r a t ea n dt h e i n i t i a ld a t ai ss m a l la n ds a t i s f i e ss o m ed e c a yc o n d i t i o n ，t h e nt h e c a u c h yp r o b l e ma d m i t sau n i q u eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o no nt 0 i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t eac l a s so fm i x e di n i t i a l b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rak i n do fn 讫q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m so f c o n s e r v a t i o nl a w so nt h eq u a r t e rp l a n w es h o wt h a tt h es t r u c t u r e i i a 骞s f 稳a e f o ft h ep i e c e w i s ec 1s o l u t i o nu 然u ( t ，z ) o ft h ep r o b l e m ，w h i c hc a r lb e r e g a r d e da sap e r t u r b a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gr i e m a n np r o b l e m ，i s g l o b a l l ys i m i l a rt ot h a to ft h es o l u t i o nu = 矽( 警) o ft h ec o r r e s p o n d i n g r i e m a n np r o b l e m 。t h ep i e c e w i s ec 1s o l u t i o nu = u ( t ，鬈) t ot h i sk i n d o fp r o b l e m si sg l o b a l l ys t r u c t u r es t a b l ei fa n do n l yi fi tc o n t a i n so n l y n o n - d e g e n e r a t es h o c k sa n dc o n t a c td i s c o n t i n u i t i e s ，b u tn or a r e f a c t i o n w a v e sa n do t h e rw e a kd i s c o n t i n u i t i e s k e y w o r d s ：q u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ；w e a k l yl i n e a r d e g e n e r a c y ；g l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n ；n o r m a l i z e dc o o r d i n a t e s ；l i n e a r d e g e n e r a c y ；m a t c h i n gc o n d i t i o n ；d i s s i p a t i v ec o n d i t i o n ；s h o c kw a v e ； c o n t a c td i s c o n t i n u i t y ；r a r e f a c t i o nw a v e ；c a u c h yp r o b l e m ；r i e m a n n p r o b l e m ；p i e c e w i s ec 1s o l u t i o n i i i 上海交通大学 学位论文原创，陛声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者魏庶髯湟 日期：。9 年6 月 1 日 | 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以烙本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据痒进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密圃，在一年解密嚣适雳本授权书。 本学位论文属于 不保密| 卅。 ( 请在以上方框内打“) 撇螂签名麟星燧 日期：孵月f 7 圈 脚叩年参月1 酲 磐。 第一章绪言 薹。l一阶拟线性双益平恒律方程组的物理背景和研究意义 一阶拟线性双蓝平懂律方程组 象+ a ( 珏) 褰= g ( 锃) ， ( 1 1 。1 ) 其中也一( 仳- ，乱n ) t 是( 亡，x ) 的未知向量值函数，表示物理量的密度，a ( 札) = ( ( 珏) ) 是一个篡有适当光潺元素a i j ( u ) ( ( t j = 王，弦) ) 的托xn 矩阵，表示某 一流函数的梯度矩阵g ( u ) = ( c l ( u ) ，g n ( 乱) ) 是给定的关于u 的适当光滑函 数，表示源函数，方程组( 重。王。王浦l 述了缀多物理现象。眈如，气体动力学、浅水理 论、等离子物理、燃烧理论、非线性弹性理论、声学和经典或相对论流体动力学中 的一些重要例子( 见【l 】，圈，【3 b 嘲，【5 1 ，同等等) 。这些方程在自然科学( 例羹：物理、 机械、生物等) 和工程技术领域都有着重大作用 一般来说，拟线性双曲型方程组的c a u c h y 问题或混合初边值问题的整体经典 解通常只能在时间t 的一个局部范围中存在，即使对充分光滑甚至充分小的初值也 是如此；相应地，解在有限时间内会失去正则性，两产生奇性( 解本身或其某些导数 趋于无穷) ，这一现象称为解的破裂( b l o wu p ) 以气体动力学为例，当考虑连续介质的运动时，常常导出一阶拟线性双曲型方 程组例如，描述维理想气体运动的守恒律组 反( 缪一0( 质量守恒律) ， ( 彤) t + ( p 弘2 + p ) 霉= 0( 动量守恒律) ， ( p ( e 十譬) ) 。+ ( 肛j d ( e + 吾+ 譬) ) 茹= 。 ( 能量守恒律) 式中p 、弘、p 、e 、t 、。分别表示密度、速度、压强、内能、时闻和空闯坐标。对多方 气体有状态方程e = p ( r 一1 ) p ，r 1 为绝热指数( 常数) 这类方程组的解中，一 般要出现闻断，勰在闻断线两旁的左、右极限要满足一定的关系，这些关系反映? 力学中的冲击波现象具体可参考 7 】- 上海交通大学博士学位论文 我翻霹以看到，对一阶拟线性双曲型方程组，应该考察下面两方面相辅相成的 问题 ( 一) 在什么条镌：下，所考察的一阶拟线性双曲方程组的定解问题包括c a u c h y l h - j 题，各种混合初边值问题及囱由边界问题) 存在唯一的整体经典解，并在此基础 上研究解的整体性态，特别是当t _ + 对的渐进性态。 ( 二) 在什么条件下，所考察的一阶拟线性双曲方程组的定界问题不存在整体 经典解，嚣必在有限时间内发生解的破裂现象，并在此基础上深入考察解在破裂点 的性态，例如究竟是解的本身还是解的某一阶偏导数首先破裂，解在破裂点的奇性 特征以及破裂点集的性质等等 研究这两方面问题的意义是很明显的对些重要的数学物理方程的解的整 体性态( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以解的整 体存在性为前提另一方面，如果发现解会在有限时间内破裂，丽这种破裂的性态 不是相应的物理模型所允许的，就反过来说明所归结的数学模型有问题，而必须加 以修改；如果这种破裂现象的出现所考察的物理模型是允许的，由于相应的物理过 程决不会中止于某时刻，必定要继续发展，我们就必须在一个更广的函数类中来 考察问题的解f 例如对空气动力学方程组，就要考虑到嬲现激波的可能性，丽在包 含间断性的函数类中求解) 8 】本文我们研究的是整体解的存在唯一性 1 2 一阶拟线性双曲方程组的研究现状 对双曲型方程组( 1 1 1 ) ，常见的定解问题是c a u c h y 问题( 或称初值问题) 恭i r i e m a n n i b l 题( 最典型的含有间断的初值闻题) 丢= 。：镪t 。，z ，一 二二z x 。0 。 e 1 。2 。2 ， 很多。下面我们先叙述一个空问变量和一个时闻变量的发展情况剐 第一章：绪言 对一维空间中的一阶拟线性双曲型方程组，特别是守恒律方程，即( 1 1 1 ) 中g ( 札) 兰 o 的情况，己经有了很多好的研究成果 对一阶拟线性双曲守恒律方程组的c a u c h y l ；- 题经典解的研究情况可以从1 9 7 4 年 谈起，f j o h n 1 0 研究了一维拟线性双醢方程组c a u c h y 问题( 1 1 。王) 一( 1 2 。1 ) 经典解的 存在性和奇性问题他利用波的分解公式，假设4 ( 乱) ，妒( z ) c 2 ，方程组严格双曲， 特征都是真正毒线性的，初值s u p p q o ( x ) a ，翻a 0 公s u p z e r 一8 ) 2 | 矿( 。) | 充分 小，则c a u c h y 问题( 1 1 1 ) 的c 2 解必在有限时间内破裂值得一提的是，f j o h n 的波 的分解公式是蜃来许多入研究经典解的整体存在性和破裂现象的重要工具。 1 9 7 9 年，l i ut p f 1 1 1 将 1 0 】中的结果推广到了特征或者是真正非线性或者是 线性退化的情形 1 9 8 7 年，l h 6 r m a n d e rf 1 2 】重证了【10 】中的结果，并且得到了生命跨度的精确 估计， 1 9 9 4 年，李大潜、周忆和孔德必【1 3 】引入了弱线性退化的概念，对具有紧支集 的初值情形，得到了严格双馥方程组c a u c h y i 高 题经典孵的整体存在性和破裂现象 的完整结果1 9 9 7 年，他们( 1 4 1 进步考察了衰减初值情形，即存在一常数弘 0 使得 0 竺s u p ( 1 + l x l ) 1 + p ( i 妒( z ) l + l 妒 ) 1 ) )( 1 2 3 ) x e r 充分小，假设方程组是弱线性退化的，利用正规坐标他们证明了，c a u c h y l b 习题有唯一 的整体经典解隧后，李大潜和孔德兴【l 鼋研究了奇性的形成机制。孑l 德兴【王翻进一 步详细估计了生命跨度，得到了非常精确的结果对于满足衰减性质( 1 2 3 ) 的初值， 孔德兴与扬彤 1 7 1 证明了，当时间t 趋于无穷大时，整体经典解以代数速率( 1 + 丢) 一p 逼近于秽1 行波解的组合在他们上述的工作中，条件肛 0 是严格的如果p = 0 ， 孔德笋- 4 1 1 8 1 构造了一个反例，阐明即使方程组是弱线性退化的，经典解也会在某有 限时间破裂 对g ( 程) 0 的情况，即方程组( 王。1 。王) 不是守恒的，可以焉来描述很多物理闻题， 比如，能量耗散的动力系统、等离子物理中的非线性三波干扰现象、光纤中波的传播 等( 见f 王锈，【2 0 l ，f 2 王】) 当g ( 嚣) 是线性耗散的，p - , 1 c ( o ) = 0 ，且矩阵三( o ) v g o ) ( e ) ) 一 是行对角占优他列对角占优，j ，我们可以得至i j ( 1 1 1 ) 的g 1 整体解( 见 2 2 】，【2 a ，【2 4 】) ， 3 上海交通大学博士学位论文 其中( o ) 一( 奶) ) ，v a ( o ) 一鬻( o ) 。人们发现线性耗敖条件可以阻止激波的 形成w k o s i f i s k if 2 5 】研究了某些特殊非齐次拟线性双曲组，光滑解的梯度会出 现奇性。孔德兴f 2 6 孛考察t - - - i i ! 齐次项嵩阶耗教的拟线性可约双睦组的情形，证明 了如果方程组是严格双曲的，且是p d l a x 意义下真正非线性的，则如果耗散效果 不够”强”，解的一阶导数必在有限时间破裂。这个结果霹以应用到有高阶耗散的非 线性波方程中在 1 6 1 中，通过引进殴配条件，孔德兴给出了g 1 解整体存在和破裂 机制的完整结果。 对一个空间变量和一个时问变量的一阶拟线性双曲方程组c a u c h y 问题的结果 还有很多，这里我们就不再一追溯下面我们来简单说明一下个空间变量和一 个时间变量的一阶拟线性双曲方程组r i e m a n n 闯题的发展现状 对一阶拟线性双曲守恒律方程组的r i e m a n n l 司题的解的研究也是从单个方程 开始的单个方程r i e m a n n 闯题的鳃可利用三种基本波：常态，激波和稀疏波构 造对p 方程组的r i e m a n n i 口 题，它的解可用激波和稀疏波隔开的至多三个常态来 构造，参见j s m o l l e r 【2 7 。p 。d l a x 【2 8 】对一般的一阶拟线性双曲守恒律方程组 的r i e m a n n i 6 题的解进行了研究，分析了三种基本的波：激波，中心简单波( 即稀疏 波) ，切触间断。p d 。l a x 证明，假设- - r i e m a n n i b 题的初值的差适当小，方程组的特 征值或者是真正非线性的，或者是线性退化的，那么，r i e m a n n i ；- 题的解存在唯一， 且由激波，中心简单波，切触间断隔开的至多n 十1 个常态组成，其中n 表示方程组 中未知变量的个数。 孑l 德兴【2 9 】一【3 0 】研究了拟线性双曲守恒律方程组的r i e m a n n 问题的解的稳定 性和不稳定性结合f 2 9 】和 3 0 】的结果，孔德兴证明：一般nx 亿拟线性双曲守恒律 方程组的r i e m a n n 阅题，如果方程组的特征或者是线性退化的，或者是真正非线性 的，初值适当小，它的l a x 型解是整体结构稳定的当且议当此解只包含激波和切触 间断，而没有稀疏波和其它弱间断 邵志强 3 l 】- ( 3 2 】研究了拟线性双曲守恒律方程组在第一象限内混合初边值问 题解的情况他证明：一般赡x 礼拟线性双曲守恒律方程组的混合初边值闻题，如 果方程组的特征是线性退化的，初值适当的小，他的解整体结构稳定当且仅当此解 只包含切触间断，丽没有其他类型的弱问断。 4 第一章：绪言 对一阶拟线性双曲守恒律方程组的c a u c h y l 司题的弱熵解的研究是从单个方程 开始的降3 】。 1 9 6 5 年，j g l i m m 【3 4 】对阶拟线性双曲守恒律方程组的c a u c h y 问题的弱解 的存在性进行了证明对严格双曲的方程组，假设特征是真正非线性的，初值的全 变分充分的小，利用r i e m a n n 问题的解和g l i m m 差分格式可以证明弱解的整体存在 性 在1 9 7 5 1 9 7 7 年间，d i p e r n a 3 5 一 3 6 】，l i ut 。p 3 7 一 3 8 】和j g r e e n b e r g 3 9 等 陆续研究了解的衰减率，及当时闻t _ ( 3 0 时，解的渐近形态。期间和接下来的一段 时间内，还有许多文章对各种特殊方程或附加特殊条件的一般方程进行了研究 对阶拟线性双睦守恒律方程2 基c a u c h y l h 7 题弱熵解唯一性的研究，直到9 0 年 代才由a b r e s s a m 等人解决( 见【4 0 】，【4 1 】) 在 4 0 】， 4 2 ， 4 3 等的文章中a b r e s s a m j 还 利用波前轨迹方法，描述7 另一种构造更加精细的逼近解的方法，不仅证明了弱熵 解的整体存在性，还得到了c a u c h y 问题在小全变分的函数类中的适定性 接下来，l i ut 。p 。和y a n gt 。【4 4 一臣翻对c a u c h y l ；- 题的适定性进行了很详纲 的讨论他们首先引入了一个新的厶1 泛函，得到此泛函的估计，证明了解对这种泛 函的时间衰减性，从而 ! 譬到c 腿e 姆闻题的适定性，在潦习中，l i ut 。p 帮y a n gt 。 建立了般拟线性双曲守恒律方程组的c a u c h y 问题的弱解的存在性理论，并得到 了解的致三1 有界性，此存在性理论推广了方程组的经典的g l i m m 理论，即不再 要求每个特征或者是真正非线性的，或者是线性退化的，特征还可以有有限个余维 为l 的光滑流形为线性退化流形( 但要求每个线性退化流形横截特征向量) 。他们通 过波跟踪法利用g l i m m 格式构造了弱解并且还构造了一个新的非线性泛函以刻 画涉及波间角的阍特征族的波的可能的相互作用。 对多维空间变量的一阶拟线性双曲方程组的研究结果还不是很多c o n w a y 曩q ：i s m o l l e r 在1 9 6 6 年，v o l p e r t 在1 9 6 7 年，证明了对单个方程c a u c h y 闻题的弱可容许 解的整体存在性1 9 7 0 年，k r u z k h o v 证明了唯一性，并建立了一个完整理论l i o n s ， p e r t h a m e 和t a d m o r 在1 9 9 1 ，1 9 9 4 年闻利焉一动力学蠡数，雩导到了正刘性结果。对于 方程组c a u c h yr h 题的弱解，问题就很难解决了r a u c h 在1 9 8 6 年证明t b v 模的不 适定性。b r e s s a n 在2 0 0 3 年证明了方程组反珏d i ( 川) 圆u ) = 0 对乞1 模的不适 定性，其中孔= ( u 1 ，t t 2 ，) r ，z 一( z 1 ，x 2 ，x d ) ，n 任意，d 2 5 上海交通大学博士学位论文 对于方程组的( 分片) 光滑解，即经典解阀题，k a t o 4 8 】在1 9 7 5 年，d a i e r m o s 在2 0 0 0 年利用对称化s d p i c a r d 迭代证明了光滑解的局部存在性k l a i n e r m a n $ f l m a j d a 旌9 在1 9 8 0 年证明具有小振幅周期初值的拟线性波动方程的解，破裂必定在有限时 间内发生a l i n h a c 5 0 】在1 9 9 5 年对拟线性双曲方程组c a u c h y l ；- j 题的破裂机制作了 系统的分析s i d e r i s 【5 1 ，【5 2 】，【5 3 】分别对3 维多方理想流体的e u l e r 方程组，3 维可 压缩等熵e u l e r 方程组，2 维空间中的可压缩e u l e r 方程组的经典解的生命跨度进行 了研究，褥到了生命跨度的进一步估计。 a l i n h a cf 5 0 ，f 5 4 一f 5 5 1 定义了高维空间中双曲方程组经典解的破裂方程组，并 且讨论了几何破裂解在破裂点附近的几何结构。在f 5 6 1 中，a l i n h a c 研究了拟线性 对称双曲方程组的经典解在点破裂处梯度的破裂速度，并引入了破裂波前的两个 概念来刻两解的正则性a l i n h a cf 5 7 讨论了线性化破裂方程组的结构，证明了对 应于非线性对称双曲方程组的线性化破裂方程组( 几乎) 能分解为一个n n 对称 方程组和一个数量运输方程，其中表示对称双曲方程组中未知变量的个数从 而利用此结果证明了沿最大或最小特征的几何破裂解对于光滑初值是稳定的 m a j d a 在5 8 1 中对双曲守恒律方程组的高维激波前解的线性化稳定性做了系 统研究m 幻d a 瞄g i 用经典的迭代格式构造了激波前解，并在收敛性证明中，利 用两个主要工具，即正定双曲方程组的f r i e d r i c h s t 里论和f 5 8 1 中的激波前的线性 能稳定牲理论，得到了多维空间中守恒律方程组的激波解的篾时间存在性。其 他，如f r e i t f i h l e r ( 1 9 9 4 ) ，b l o k h i n ( 1 9 s 1 ) ，m d t i v i e r ( 2 0 0 0 ) ，f r a n c e t e a u 和m d t i v i e r f 2 0 0 0 ) 等人都对具激波或相变的高维双盐方程组的解的局部存在性和稳定性作了 研究 1 3本文的结构和主要结果 本文共有三个章节在第一章中，我们简单介绍了一阶拟线性双曲平恒律方 程组的物理背景和研究意义并对一阶拟线性双曲方程缝c a u c h y 闻题和戤懒越珏问 题的发展和现状作了介绍，最后给出本文的结构和主要结果 在第二章中，我们考虑下述一阶拟线性双瞌平衡律方程纽的c a u c h y 问题 u t + a ( u ) u 。= g ( 狂) ，1 3 。1 ) 6 第一章：绪言 t 一0 ： 钍一妒( z ) ， ( 1 3 2 ) 其中a ( 钰) = ( ( 乱) ) 是咒佗的矩阵，元素( ) 适当光滑，a ( u ) 嚣( g 1 ( 乱) ，g n ( 钆) ) 丁 是关于钰的适当光滑函数，妒( z ) 是z 的g 1 矢量函数假设在锃一o 的一个小领域内， 方程组( 1 3 1 ) 是严格双曲的： 大l ( 铭) 0 ， ( 1 3 9 ) 非线性边值条件为( 觅冷1 】，【6 q ) 塞= 0 ：= 矗& 垂) ，v l ，) 斗h s ( 妨s m + 1 ，嚣) ，( 1 3 。1 0 ) 其中毽= 如( 锃) 心，a ( 亡) = ( q l ( z ) ，a 是( t ) ) ，u 0 一 0 1 ，醒) t ，o l ，五和九s = m + 1 ，n ) 都是c 1 的函数，在( o ，o ) a 满足如下条件， 铭严a 艇。( 。) 魏嚣全( 。，甓h m + ；，k ( 。) ) ? ，( 量。3 。1 1 ) 存在常数p 0 ，使键 0 垒s u p ( 1 十z ) 1 + p ( i 钍o ( z ) i + l “o ( z ) ，i ) 十s u p ( 1 + t ) 1 + p ( i q ( t ) i + l h ( t ) l + i q 7 ( t ) i + i h 7 ( t ) 1 ) o垃：o ( 1 3 ，1 2 ) 其中九( ) 一( h m + l ( 亡) ，k ( 亡) ) 不失般性，我们假设 ( 血( t ) ，0 ，0 ) 暴0( 8 一m + 1 ，几) ( 1 3 1 3 ) 在本章中我们将证明f 述定理 定理1 3 2 假设 挂l 方程组l 。3 是严格跌询嫡，盈特征攮满足江i 。9 ) 戈； 仞剀g j 个特a t g ( j = m + 1 ，n ) 要么满足线性退化条件，要么满足真正非线 挂条件； 俾剀初边值为p 3 砂一以3 j 圳的方程组以3 砂的胁e 仇o n 扎问题的相似解u = u ( 詈) 阻阻皇。j 砂腿包含激波争切触间断类型的耀断，不包含中心稀疏波，印z 一是 代 表第j 个激波或切触间断i 网，初边值条件书的珏o ，穗，五孝口h 。s = m + l ，魏) 都是c 1 连续的，满 疋( 1 3 1 1 ) 一( 1 3 1 3 ) 。 则存在正常数如 0 足够小，使得对任意给定秽( 0 ，0 4 ，混合初边值问题盈，曼矽 和f ，_ f 奠砂一似3 1 0 ) 有唯一g r l 分片光滑整体解牡= 钍( 亡，z ) ，包含死一m 个激波和切 触间断仞。= z j ( t ) ( j = m 十l ，魏) 表示夕，解在d 一 ( ，2 ) lt o ，z o ) 内 r 、l ， z ，f + ue + 十 u = 、l ， z ， o 0 = 为 篮初 芝 第二章：j 齐次拟线性双莹方程组整体经典解妁存在唯一性 的振幅小这个解拥有与对应的崩e m 口死死问题的相似解牡= u ( 荤) 但p j 。船相似 的结构更准确的来说， f 珏( m ，z ) ，0 茹x m + l ( t ) ， l 缸= u ( t ，z ) = 4 j ) ( t ，z ) ，( t ) 冬z x i + 1 ( t ) o = m + 1 ，几一1 ) ， l l 珏o ，茹) ，z x n 锨 ( 1 3 1 4 ) 其中，所有的锃) ( 丢，z ) 0 一嫩1 ，嚣) 在纯铜相对应的送域上，在经典意义下 满足方程组p 3 砂；u ( j 一1 ( t ，z ) 和龀( j ( ，z ) = m 十1 ，n ) 由第歹个激波伽 果( 链) 是真正非线性的夕或切触阀蚜p 果知( 链) 是线性退化的夕。一譬( 亡) 相连 接i 更进一步，存在不依赖与口和( 亡，z ) 正常数k ，使得 | 程( j 0 ，髫) 一吞歹| 冬x 移，v ( 考，。) 毫踢一m ，托) ，( 1 3 1 5 ) 其中 一 _ _ 0 x 蹙x m + 1 ( t ) ，( j = m ) ， ( 亡) zs 句十1 ( 功 ，= m 十1 ，礼一1 ) ， z x n ( 亡) i= 斑) 。 ( 1 3 1 6 ) 定理1 3 3 在定理j 3 2 的假设下，以3 砂和以7 9 少以舅l o ) 所对应的r i e m a n n 问 题的相锨解u 当扩( 季) 圆勰芏j 葶7 徙整体结构稳定的混合初边值问题矗箩刀 和以只圳以3 j 砂的解u 一乱( t ，z ) 似p j 1 9 ) ) - g 是整体结构稳定的 与鄂恚强寥2 】相比较，我们这里的特征值u ) = m + l ，n ) 不全是线 性退化的，也可满足真正非线性条件，且分片光滑c 1 解可以由凡一m 个切触间断 和激波相连接，不仅仅是鄱中的切触闻断。本章中定理的证明与邵的不同之处在 于，邵的情况仅相对于切触间断，当跨越激波间断时，邵的估计方法就不再有效了， 这个时候我们采瘸孔【2 翻一1 3 磁证臻拟线性双曲守恒律方程仅包含切舷间断和激波 的r i e m a n n 解的整体结构稳定性的证明方法 9 第二章非齐次拟线性双曲方程组整体经典解的存在唯一性 在本章中，我们研究具有弱线性退化特征的非齐次双曲方程2 。j 呈c a u c h y l f i j 题整 体经典解的存在唯一性我们将证明：如果初值适当的小且满足一定的衰减条件， 非齐次项或者满足强耗散条件，或者满足匹配条件，则双曲方程鳕有唯一的整体光 滑解 2 1引言 考察下述一阶拟线性严格双曲方程组 丽o u 徘) 塞= 卿) ， 皿越) 其中钍= ( 乱l ，u n ) r 是( ，z ) 的未知向量值函数，表示物理量的密度，a ( u ) 一 ( ( 锃) ) 是个具有适当光滑元素叼( 锃) ( ( i ，j = 1 ，豫) ) 翡托纷矩阵，表示菜 流函数的梯度矩阵g ( 乱) = ( g ，( 乱) ，g 竹( “) ) 是给定的关于u 的c 2 函数，表 示源函数 由严格双曲的定义，对所考察的区域上任意给定的仳，a ( u ) 有n 个不同的实特 征值 a a ( u ) 0 使得 0 竺s u p ( 1 + l x l ) 1 + 肛( 1 妒( z ) l 十l 妒( z ) 1 ) ) + 。( 2 1 8 ) 鬈援 充分小我们考察c a u c h y 问题( 2 1 1 ) 和( 2 1 7 ) 整体经典解的存在唯一性 对于g ( u ) 兰0 的情况，我们已经有了一些有意义的结果( 见【王l 卜 1 2 1 ，【王翻) 。通 过引进弱线性退化的概念，对c a u c h y l h 题( 2 1 1 ) 和( 2 1 7 ) ，如果它既不是真正非线 性，也不是线性退化，我们得到了1 解存在的时间跨度的完整的结果。 对于c ( u ) 0 的情况，我们仅有一些结果( 见p 6 1 ，f 2 3 】，【2 4 】，【6 1 】) 如果g ( 钒) q 是线性耗散的，杖p a ( o ) 一0 ，且矩阵( o ) v g ( o ) ( ( o ) ) _ 1 是行对角占优绒列对角 占优，我们可以得到( 2 1 1 ) 的e 1 整体解( 觅【1 q ，髀3 】，【2 4 】) ，其中( o ) = ( 2 玎( o ) ) ， v g ( o ) 一( 鼍( o ) ) 通过弓i 进匹配条件，孔德兴 1 6 】给出了c 1 解整体存在和破裂 机制的完整结果 在【1 6 1 的第三章中，孔德兴证明了如果方程组是弱线性退化的，非齐次项g ( 钍) 满 足匹配条件，则( 2 王。1 ) $ 1 1 ( 2 。1 。7 ) 的c a u c h y 闻题有唯一的整体e 1 解。 在本章中，我们考察c a u c h y l h 习题( 2 1 1 ) 和( 2 1 7 ) 的非齐次项要么满足匹配条 件，要么满足耗散条件，e 1 解的存在唯一性闻题在本章的第二小节中，我们将给 出些在证明中非常重要的预备知识；在第- - = d , 节中，给出本章的主要结论；在第 四小节中，证明我们的结果 2 2预备知识 2 2 。l基本概念 我们首先回忆弱线性退化和正规坐标的概念( 见 1 3 】) 1 王 上海交通大学博士学位论文 定义2 。2 。1 第i 一特征值忑( u ) 称为弱线性退化的，如果沿过锃= 0 的i 一特征轨迹踅一 “( ) ( s ) ，定义为 忑d u = 镌( 牡) ，铿( 。) = o ， ( 2 2 f 1 ) 我们有 v a i ( u ) r i ( u ) 兰0 ，￥| u 、，( 2 。2 2 ) 即， 丑( 裁蛰( s ) ) 裟走( o ) ， ￥吲小+2 。2 。3 ) 如果所有的特征值都是弱线性退化的，那么称方程组俾j _ ! ) 是弱线性退化的 零| 理2 2 。2 假设a ( 舔) c 蠡，其中惫是太于强专整数。癸l 存在着可逆砖e 老+ 1 变换链= 钆( 也) ( u ( o ) = 0 ) 使得在矗一空间，对每一个 e 1 ，竹) ，过面一0 的 一特征轨迹 萎少在| 魄| 较小时与这一轴重合，即， 或( 魂e i ) 兰e i ，v 随l 小 ( i = 1 ，礼) ，( 2 2 4 ) 其中 e i ：( o ，o ，譬，0 ，o ) t( 2 。2 。5 ) 这样的一个变换称为正规变换，对应的未知变量覆= ( 矗i ，砜) r 称为正规变量 或芷规坐标。显然，在正规坐标下，偿。碧。副麓化为 九( 色) 兰( o ) ， v l u i | ，j 、( 2 2 6 ) 接下来，我们弓l 进孔的匦配条件概念( 见f l6 】或 6 2 】) 。 定义2 2 3 我们称非齐次项吼( u ) = 如g ( 也) 满足匹配条件，如果沿着过钍= 0 的 第j 条特征轨迹让一珏g ( s ) ( j = l ，髓) 阻偿2 j ，所定义夕，有 热( ( s ) ) 兰0q = l ，魏) ， v | s | 小。( 2 2 。7 ) 在正规坐标下，俾2 矽可简化为 虢( u i e l ) 兰0( j 一王，站) ，￥| 坳、。( 2 2 。8 ) 卵 吼( “) = 蛳七( 牡) 呦，v 卜 ( 2 - 2 9 ) b j ，k = l j 血 1 2 第二章：菲齐次拟线性双莹方程组整体经典解的存在唯一性 接下来，我们引进孔 2 2 】中的弱耗散条件和强耗散条件。 定义2 2 4 看下歹i j 方程组 豢+ 钍) 等勰妻( 毂) 氅( 嚣) 垒峨 如果 a 馘+ 蚓0 ， j l 列称握l 沁) 满足弱耗散条件， 如果 + 蚓一5 ， j i 则称a i ( u ) 满足强耗教条件，其中6 称为耗散系数。 2 2 2 波的分解公式及广义h s r m a n d e r i j i 理 这墨，方程组( 2 。1 王) 瀚j 齐次项g ( u ) 可重写为 g ( 乱) 一g ( 0 ) 能十g ( 钍) ， 其中g ( o ) 是一个n 礼的常矩阵，o ( u ) = ( e ，( 缸) ， 数，我们假设g ( u ) 是c 2 的，则有 令 其中 v i = 毳( 铭) 毽( i = 1 ，霸) ， ( 2 2 。1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 。1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ，。n ( ) ) t 是个矢量函 妣= l i ( u ) u 互( i 一1 ，他) 娥( n ) = 如( 饥) g ( 扎) ( i 之1 ，礼) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) l i ( u ) 一( 1 i l ( u ) ，k ( 札) ) ( 2 2 1 8 ) 1 3 珏 吩0 n 胆 l l ，g 上海交通大学博士学位论文 表示第i 个左特征囱量。 由( 2 1 5 ) ，( 2 2 1 5 ) 一( 2 2 1 7 ) ，则有 设 珏= f 该( 铭) ， z _ ，。、，7 七= 1 = w k r k ( 铭) ， 七= 1 面d = 瓦0 “丕 为沿i 一特征线的方向导数，我们有( 爨2 1 6 1 ) 器= 塞酬吡蚶磊n 吲吡夕水 其中 因此，我们有 ( 2 2 。1 9 ) ( 2 2 。2 0 ) 2 2 。2 1 ) ( 2 2 。2 2 ) ( i = 1 ，佗) ，( 2 2 2 3 ) 缪搿惫( 乱) = ( a 知( 乱) 一a ( 乱) ) l i ( u ) v 乃( i t ) r k ( 姐) 惫( 乱) = 一屯( 乱) v 勺( 钍) ( 口) nn 臻链净g , k ( u ) v k + 勤惫( u ) v j v k 由( 2 2 2 3 ) ，我们有 k = l k = l 尚i ( u ) 兰0 ，vj 。 咖胁鲫瑚+ z 。匡俐州 嚣 哳 工k = l ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 。2 5 ) ( 2 2 。2 6 ) ( 2 2 。2 7 ) 唰钍，吲秘，卜盼z ，打e 渊， ( 2 2 。2 8 ) 其中饥，w i ，虢( 乱) ，锄凫( 礼) 和惫( 缸) 分别由( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 7 ) 和( 2 2 2 4 ) 一( 2 2 2 5 ) 所定义 毒= & ( 7 ；t ，z ) 表示过( 亡，。) 的第i 一特征线，满足 掣誉 瑚) 1 4 ( 2 2 2 9 ) 鞋 冀，：0热 n 脯 i | 鞋g 第二章：非齐次拟线性双曲方程组整体经典解的存在唯一性 由( 2 2 2 3 ) 和( 2 2 2 0 ) ，有 d 融( d g 一气( 铭) d r ) - - - 警掣】文 妇 = 陋+ ( v a l ( u ) “士) 仇d 亡 d z = | 陬( u ) v j w k + 懒( 觞) 麓苏( 嚣) 专盈( 锃) + ( v 丸( 越) 弦嚣) ) v i w k | d t ad x rn 蠢2