（课程与教学论专业论文）数学样例学习的理论与实证研究.pdf

通过五个实验对备种数学样例学 - j 的迁穆影响和特点进行了研究，得出以下 主要缩论：翔识瑾瓣与知识瘦耀不是蒜穗承豹，瑾熬了螽谈并不意猿藿驻够运 用这个知识，样例是沟通二者的桥梁。数学有解样例为学习者提供了清晰的问题 辫决的整体续构以及解题步骤系统，这有剥予理鼹了的陈述性知识向程序性知识 的转化。样例寝面内容的相似性对闻蘧解决确实有影喻，样倒莓| 导的恶维方法有 时能局限学生的思维。数学样例学习需要学习者主动地去揭承问题的结构，对解 法孛熬指示售怠骰出深刻兹爨我瑟爨。在摆夥学生学习撵铡辩，不熊只看表聪， 一定簧引导学生揭示样例的内部本质结构，建构正确的问题图式。 谯数学操作技能性问题解决中，只要规则清楚，大爨的有解样例是不需要的， 所绫，对予撩俸佳数学技能豹学霹，添理或燕剜的溥 i 雾 表这怒重要静。 谯说明原理应用的非文字问题解决的样例学习中，有一般性分析说明的样例 学习鲍迁移效果明显好于没露一般性分辑说明的。在非文字阉题解决中，有般 性分析指导说明的样例更有韵于被试选择合邋的样铡进行类隗，提搿解题效祭。 由单项训练到综合运用有一个过渡阶段，这中间需要综合样例学习的辅助。程数 学学习方瑟，擎矮髻| | 练代替不了综会调练，戍逶露逡进露综会谖练。 通过目前常规的学校数学学习而获得的逻辑知识或推理能力不经过专门应 用训练一般悬不能够灵活运用于日常逻辑问题解决的，有解替分析的样例可以弥 这方瑟静稍练不是。学生不善予溺芷会瑟每遂否命题静等价往来解决逻辑蠹霉 题，样例在逻辑分析和推理方法上有藿要影响。 阏题表露概貌相 娃性影昀闯题瓣决，但阉题表葱搋貌相似性的作用影响会髓 着对问题背最知识的理解程度、熬悉程度的键高而交小。 逶过圈个令案磷突得窭：榉铡孛猿涵懿圈式在被试不理瓣其数学瞧涵意义豹 情况下也能够被归纳、概括。样例自身具有易迁移特点，一般学习者( 不管熊否 真正理解) 大概都能贬确揭示出样例中的数学关系结构，将能够将关系结构中的 j ( 雩象每新闻戆中对象莲配对纛，获瑟迁移勰浃耨闽嚣。 学生在解决问题时，往往不自觉地受另一个先前问题( 作为样例) 解法的影 响，朗榉铡农鼹题中确实莛豢重要作用。样铡不仅仅哭局限予老耀绘如的那些剑 题，以往的熊型问题都可以自觉成为类眈解决问题的样例。 数学教学要注重概念原理的教学，对概念的理解程度直接影响样例解法的迁 移承学，笼英是终隽琢理应羯熬徉铡，其迂移效果受琢理孛渗及懿撅念戆理辩程 度的影响，篡中的概念理解不全面，会直接影响样例学习的迁移水平。 学习者解决问题域思考斑题时，想象与现实具有种难脱离性，这将提隰数 学教育工作纛，在主张一诱数学躲谖都要飙学生静瑗安密发来遴行教学翡同辩， 不可忽视有燃学生不能够从域实中抽象形成舆正的数学知识，即不能使数学檄念 与蕴涵它豹黪境或璎实怼钩。 样例的作用并不仅仅适合整个缩构具有襁似性的问题上，如果当前问题中含 有一个子结构与以前某个样例具有相似性，先前样例同样有助于解决当前问题。 郡么，解蘧教学串，麴果教褥经鬻将游题势释为子嚣棘，势黠子基耘骞意弓| 譬与 先前相似问题做类比解决，那么，将会扩大样例的作用范围，相应地，也就熊提 高学生的解决问题的能力。 从数学样例学习研究中可以得到以下教学含义：在数学榉例教学中，在黧视 过程教学豹嗣瓣，还艘注意撼醒学生滋塞淹鼷 2 走及解法貔整体结构认知。数学搀 例设计中，样例解法不应单一，单一解法的样例有可能禁锢学生的思维。解法中 每一个解释性语句应尽量清楚，不要蕴涵太多，要适量，否则，学生不能对其蕴 涵的内容做出合理的解释，这不利于问题解决方法的理解、获得。样例应体现子 目标，这有利于学生解法结构化，便于操作运用，有利于迁移。在教材编制和数 学教学中，我们应该注重样例的一般指导性分析说明，每个例题的解法之前，都 应该带有本样例问题的解题思路分析说明。几何教学中，为了更好地提高学生的 逻辑分析和推理能力，应多增加样例。 应加强数学知识理解教学。在解题或例题教学前，应将知识分析透彻，讲解 明白，这样可以减少样例表面概貌的负面影响，学生更容易从结构层面上分析问 题，提高样例学习的迁移水平。在知识编辑和安排上我们应尽量做到阐述明白、 解释清楚、分析详尽，不能对知识讲解一带而过而把主要精力放在解题训练上。 知识理解透彻，解题训练会更有效。 数学样例学习中的图式归纳有理解和不理解两种，人们在理解的基础上能归 纳出图式，在不理解的基础上也能够归纳出图式，只要能够从所给样例中观察出 样例的共性，就能够归纳出这个共有的共性图式。实际数学教学中，常常不区分 是理解基础上的归纳还是不理解基础上的归纳，只是笼统地谈归纳能力的培养， 只看结果能否归纳出来图式，而不看过程，是否在理解或心理认可基础上的 归纳，这是必须扭转的。数学学科学习中的归纳应该尽量设计成理解基础上的一7 种自然归纳，这要求教师创设理解环境，不能只从表面上看是否归纳出老师想要 的结论来。 类比解决问题方式是学生问题解决的一种基本策略，通过新问题与先前学习 过的问题或样例的类比能找到解决问题的方法。所以，数学教学让学生多储存一 些数学样例图式，能够提高学生的解题能力。 在学习有解样例过程中，自我解释是一项重要的学习活动。大多数学习者的 自我解释风格是被动的或表层的，他们在学习样例上花费的时间太少，常常是只 了解个大概，建立表面上的联系，不能自觉深入探究样例内部结构关系。数学样 例教学应给学生创造自我解释的机会，引导学生自我解释。 在数学样例设计中，应尽量减弱分散注意效应，这要求在样例设计中，课文 解释应尽可能地整合到相伴的辅助表示中去。在数学样例设计中，强调问题解决 的目标结构应作为一个主要原则，并在子目标处加上标签，引导学生对子目标的 学习。为了学习解决某类数学问题不应只提供一个样例，也不应为每个不同的问 题变式都提供一个样例，原则是提供尽量少的样例，但这些样例应包括问题所有 变式中的变量变化情形。在数学样例教学中，应该适当使用样例变式。含有多种 题型的课程中，每一类问题应该由有限的一组具有不同表面概貌的样例表示，而 且这组表面概貌应该用于各种不同的题型上。一个样例配以一个习题或习题中穿 插样例的课堂要比连着一堆样例后接一堆练习或习题的课堂( 也就是一块全是样 例，另一块全是练习) 有更好的效果。 由此，数学样例教学应遵循以下五原则：原则一，至少加入第二个样例：原 则二，样例与练习临近给出原则；原则三，样例信息整合原则；原则四，样例结 构化原则；原则五，促进自我解释原则。 关键词 数学样例学习，迁移，图式，数学样例设计，数学样例教学 a b s t r a c t t h i ss t u d yc a r r i e so i lf o | l o w i n gt h et h r e ed a n so fr e s e a r c ha r o u n dm a t h e m a t i c a l e x a m p l e s ：t h ef i r s tp a r t ，s t u d yo nc o g n i t i o no fm a t h e m a t i c a le x a m p l e s ，i n c l u d i n g a r g u m e n t a t i o n o nt h a t l e a r n i n g f r o mm a t h e m a t i c a i e x a m p l es h o u l d b e c o m eo n e i m p o r t a n tw a yo fm a t h e m a t i c si n d e p e n d e n c es t u d ya n dm a t h e m a t i c st e a c h e ra n d l e a r n e r sc o g n i t i o no nm a t h e m a t i c a le x a m p l e s ；s e c o n dp a r t ，s t u d yo nt r a n s f e rr e s u l t a n di n f l u e n c eo fm a t h e m a t i c a le x a m p l e i n c l u d i n gt h es t u d yi nf r a n s f e rr e s u l t so f d i f e r e n tk i n d so fm a t h e m a t i c a le x a m p l e s a n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so fl e a r n i n gf r o m m a t h e m a t i c a le x a m p l e ；t h et h i r dp a r t ，d e s i g no fm a t e r i a lo ft h o s ek i n d so fl e a r n i n g f r o mm a t h e m a t i c a le x a m p l ea n dt h es t u d yo f p r i n c i p l eo nl e a r n i n gf r o mm a t h e m a t i c a l e x a m p l e 。 t oi m p r o v em a t h e m a t i c sc l a s s r o o mi n s t m c t i o ne f f i c i e n c yi so n eb a s i ct a s ko f s t u d yo nm a t h e m a t i c se d u c a t i o n s t u d i e sh a v es h o w nt h a to n eo ft h em o s te f f e c t i v e t e a c h i n gs t r a t e g i e s i st o s t u d yi n d e p e n d e n t l yb ys t u d e n t s ；t h r o u g ha c t i n go no d e 。s o w nh a r d ，r e a c ht h er e s p e c t i v ea n dd i f f e r e n tg o a ts e p a r a t e l y n om a t t e rw h a tk i n do f i n d e p e n d e n ts t u d yw av ，r e a d i n gt h es t u d ym a t e r i a ls h o u l db et h ef i r s tk e yl i n k i n o r d e rt ol e ts t u d e n t sb ea b l et os t u d ym a t h e m a t i c se f f e c t i v e l yt h r o u 吐r e a d i n g , t h e e s t a b l i s h m e n to fs t u d ym a t e r i a ts h o u l db eak e v 强es t u d ym a t e r i a lc o n t e n t n m a t h e m a t i c sj s r o u g h l y d i v i d e di n t ot h r e e m a j o rp a r t s ：f i r s t i n t r o d u c t i o n o f k n o w l e d g e ( s i t u a t i o no p e n ) a n di t sa n a l y s i sa n de x p l a n a t i o n ( u n d e r s t a n da n do b t a i n t h e k n o w l e d g e ) ；s e c o n d ，t h ea p p l i c a t i o ne x a l r i p i e o f k n o w l e d g e ；t h i r d ，t h e a r r a n g e m e n ta n dd e s i g no ft h ee x e r c i s e t h es c i e n t i f i ca n dr a t i o n a ld e s i g n sf o rf h e t h r e ep a r t sa r et h es t r o n gg u a r a n t e eo fo d e so w ns u c c e s s f u ls t u d yt h r o u 默r e a d i n g a m o n gt h e m ，k n o w l e d g ea p p l i c a t i o ni s a k e yr i n g ，w h i c hm a i nf o r mi sw o r k e d e x a m p l e s oj t i sa ni m p o r t a n tc o m p o n e n to ft h e s t u d ym a t e r i a lo fi n d e p e n d e n c et o d e s i g nm a t h e m a t i e a le x a m p l e s l e a r n i n gf r o mm a t h e m a t i c a le x a m p l ei sak i n do f s t u d yw a y , w h i c hs t u d e n t ss t u d yb yk i n d so fe x a m p l e sa n di nk i n d so fe x a m p l e s a n d w i t ht h ea i do f a k e a d ye x i s t i n gk n o w l e d g ef o u n d a t i o no rc o g n i t i v es t r u c t u r e ，s t u d e n t s u n d e r s t a n dt h e e x a m p l ea n dc o n s t r u c t as c h e m ev o l u n t a r i l ya n df o r mak i n do f k n o w l e d g ev o l u n t a r i l y a n di ts h o u l db e c o m eak i n do fi m p o r t a n tw a yo fi n d e p e n d e n t s t u d y t h eq u e s t i o n n a i r e i n v e s t i g a t i o n t ot e a c h e r sa n ds t u d e n t sa b o u t l e a r n i n gf r o m m a t h e m a t i c a l e x a m p l e s h o w st h a tt h em a i nv i e wo f t e a c h e r s c o g n i t i o na b o u t e x a m p l e si s t h a ta l l e x a m p l ei s n o tm e r e l yo n l ya ”m o d e l ! f o ri m i t a t i n g , a n da l l e x a m p l es t i l l e a r lp l a yar o l ei ne x p l a i n i n gt h ec o n c e p t ，p r i n c i p l e ，f o r m u l a ，e t c a n d a ne x a m p l ec a n h e l ps t u d e n t st ou n d e r s t a n dt h ec o n c e p t ，s t r e n g t h e nt h em e m o r y , a n d l e ts t u d e n t sk n o wh o wt ou s et b e 磷n c i p l eo rt h ef o r m u l at os o l v eap r o b l e m 。a n i m p o r t a n tf u n c t i o no fe x a m p l ea b o u tp r i n c i p l eu s ec a no f f e ro n ee x a m p l et h a th o w m a t c ht h em a r r i a g ep a r t n e r se x a m p l ea m o n gt h ep r i n c i p l e s ，e s p e c i a l l yi nas i t u a t i o n t h a tt h ep r i n c i p l ei s c o m p a r a t i v e l ya b s t r a c t o n eg r o u pe x a m p l e su s e dt ol e a do r s u m m a r i z eg e n e r a lp r i n c i p l eo rm e t h o de x c e p t f o rh a v i n gf u n c t i o nt h a t e x a m p l e r e l e a s e ，w h i c h i s r e g a r d e d a sa b s t r a c t t a r g e ta l s o ，f r o m w h i c hs u p p o r tl e a r n e r s u m m a r i z eg e n e r a lp r i n c i p l eo rs c h e m a s ，a n dt h e na p p l i e di tt ot h en e wp r o b l e m t h ec o g n i t i o no ft h es t u d e n t s l e a r n i n gf r o me x a m p l ei sd i f i e r e n t ，b u ts t u d e n t sc a n r e a l i z et h ef u n c t i o na n di m p o r t a n c eo fe x a m p l e so nm a t h e m a t i c ss t u d y t h eb a s i c c o g n i t i o nh a st w or e s p e c t s ：o nt h eo n eh a n d ，l e a r n i n gf r o me x a m p l e c a nh e l po n e s e l f u n d e r s t a n dk n o w l e d g e u n d e r s t a n dw h a tg r o u n da p p l i c a t i o ni tw i l ib e ；o nt h eo t h e r h a n d ，l e a r n i n gf r o me x a m p l ec a nh e l ps t u d e n t st os o l v ee x e r c i s e sf u r t h e r , a n dp l a ya r o l ei n f o r m i n gs o l v i n gs t a n d a r d g e n e r a l l ys p e a k i n g ，s t u d e n t sc o g n i t i o n o ft h e e x a m p l ei ss t i l ld e e p e r b u tt ot h ei n d i v i d u a li t i sn o tc o r n p l e t e 。f o re x a m p l e ，s o m e s t u d e n t so n l yt h j n kt h a tt h ee x a m p l ei u s ts h o w st h es t a n d a r df o r mo fs o l v i n gp r o b l e m ， a n ds o m es t u d e n t st h i n kt h a tt h ee x a m p l ei st h eb a s i cq u e s t i o nt y p et h a ts h o u l db e m a s t e r e d e t c 融m o s ts t u d e n t s e y e s ，t h ee x a m p l ei nl h ec u l t e n tt e x t b o o ki st o o s i m p l ea n db a s i c ，w h i c h c a l lb er e g a r d e da ss o m ed e f i c i e n to fe x a m p l ed e s i g ni n c u l t e n t e x t b o o k 强i si s a p tt o c a u s es t u d e n t st o i g n o r ea n du n d e r e s t i m a t et h e f u n c t i o no ft h ee x a m p l e h o wt od e s i g ne x a m p l e si nt e a c h i n gm a t e r i a l w ec a ng oa n d c o n s i d e ri nt e r m so ft e a c h e ro n l y , b u ts h o u l dp a ya t t e n t i o nt ot h ei m p r e s s i o no fs t u d e n t t o o 。w es h o u l dr e v i e wn e w t y p ed e s i g no fe x a m p l ef r o ms t u d e n te x a m p l el e a r n i n g m e t h o d s u c ha st h e “i n c o m p l e t ee x a m p l e ”t h a tn e e ds t u d e n t st of i l li nt h ee x a m p l e w h i c hh a v et h ep r o p e rt h i n g s f r o ms t u d e n t s l e a r n i n gm e t h o dt h a tt h ea n a l y s i sl i n k s e l d o mp a i da t t e n t i o nt o w en e e dt oi n s t r u c ts t u d e n t s 。m e t h o d ol e a r nf r o me x a m p l e a n dp a ya t t e n t i o nt ot h ea n a l y s i sl i n ko ft h ee x a m p l e t h i sc a nt r a i nt h es t u d e n t st og e t t h eg o o dh a b i to ft h ea l l a l y s i s 。 f i v ee x p e r i m e n t sd r a wt h ef o l l o w i n gm a i nc o n c l u s i o n sa b o u tt h et r a n s f e ri n f l u e n c e a n dc h a r a c t e ro ft h el e a r n i n gf r o mm a t h e m a t i c a le x a m p l e k n o w l e d g ea p p l i c a t i o n d o e sn o tc o m ed o w ni nac o n t i n u o u sl i n et ot h ek n o w l e d g e ，f o rb e t t e rp r o b l e ms o l v i n g a n dg r a s p i n gt h es k i l l so fs o l v i n gp r o b l e m ，i t sb e t t e rt oh a v ek i r i d so fe x a m p l e d e m o n s t r a t e d ，a n ds t u d e n tc a l lk n o wt h r o u g l le x a m p l e sh o wk n o w l e d g ei su s e df o r s o l v i n gp r o b l e m m a t h e m a t i c a lw o r k e de x a m p l eo f f e r s c l e a rw h o l es t r u c t u r et h a t p r o b l e mi ss o l v e dt oi e a r n e 毒a n ds o l u t i o na p p r o a c hs y s t e r n 。a n di ti sh e l p f u lf o rt h a t d e c l a r a t i v ek n o w l e d g ei st r a n s f o r m e dt op r o c e d u r a lk n o w l e d g e t h es i m i l a r i t yo ft h e s u r f a c ec o n t e n tb e t w e e ne x a m p l ea n de x e r c i s ei n d e e di n f l u e n c e s 出es o l u t i o no f e x e r c i s ep r o b l e m ：k i n d so ft h i n k i n gm e t h o dt b a te x a m p l el e a d sc a nl i m i ts t u d e n t s t h i n k i n gs o m e t i m e s l e a r n i n gf r o mm a t h e m a t i c a le x a m p l en e e d sl e a r n e rg oa n d a n n o u n c es t r u c t u r eo f q u e s t i o nv o l u n t a r i l y , a n dm a k e t h ed e e p s e l f - e x p l a n a t i o nt ot h e i n s t r u c t i o ni n f o r m a t i o ni nt h es o l u t i o n a tt h et i m eo fi n s t r u c t i n gs t u d e n t sh o wt o s t u d ye x a m p l e s ，m u s tl e a ds t u d e n t st of i n do u tt h ee s s e n c eo ft h ee x a m p l e s ，f i n do u t t h ed i f f e r e n c e ，b u i l da n dc o n s t r u c tt h ec o r r e c t p r o b l e ms c h e m a s l e a r n i n gf r o m e x a m p l ec a n n o tw a t c hs u r f a c eo n l y , m u s td e e pi n t ot h ee s s e n c ea n dp r o b ei n t ot h e i n s i d es t r u c t u r e 。 f o rp r o b l e ms o l v i n gm a i n l yb yo p e r a t i n ga b i l i t y , s ol o n ga st h er u l ei sc l e a ga l a r g en u m b e ro fw o r k e de x a m p l e sa r eu n n e c e s s a r y s o ，f u rs t u d yi nm a t h e m a t i c s t e c h n i c a la b i t i t y , t h ec l e a r e x p r e s s i o no f p r i n c i p l ea n dr e g u l a ri si m p o r t a n t i nt h e n o n l e g i b l ep r o b l e ms o l v i n g ，t r a n s f e rr e s u l t o fae x a m p l ew i t hg e n e r a l a n a l y s i sp r o v e s b e t t e rt h a nt h a tw i t h o u ti t i n s o l v i n gt h en o n - l e g i b l ep r o b l e m a e x a m p l ew i t hg e n e r a la n a l y s i sa n dg u i d i n gi sh e l p f u lt oc a r r yo na na n a l o g yb e t w e e n p r o b l e ma n de x a m p l e a n di m p r o v et h er e s u l to fs o l v i n gp r o b l e m f r o mi n d i v i d u a j e v e n tt r a i n i n gt om i x e du s eh a so n et r a n s i t i o ns t a g es y n t h e t i c a l l y , w h i c hn e e d st h e s u p p l e m e n t a r yo fs y n t h e t i c a le x a m p l es t u d y i n m a t h e m a t i c sl e a r n i n g i n d i v i d u a i e v e n t t r a i n i n gc a n n o tr e p l a c em i xu s e a n ds h o u l dt r a i ns y n t h e t i c a l l yi ng o o dt i m e l o g i ck n o w l e d g ea n dr e a s o n i n ga b i l i t yt h a to b t a i nt h r o u 吐t h em a t h e m a t i c ss t u d y i np r e s e n tr o u t i n es c h o o lc a n n o tb ef l e x i b l et ou s ea n ds o l v ew i t hd a i l y1 0 9 i cp r o b l e m w o r k e de x a m p l et h a th a sa n a l y s i sa n da n s w e rc a nr e m e d yd e f i c i e n c yi nt h i sr e s p e c t t h es t u d e n ti sn o tg o o da ts o l v i n gt h el o g i c a lp r o b l e m sw i t ht h ee q u i v a l e n c en a t u r e b e t w e e nao r i g i n a lp r o p o s i t i o na n dt h ei n v e r s en o n p r o p o s i t i o n ，b u tt h ee x a m p l e sh a v e r e m a r k a b l ef u n c t i o no n1 0 9 i ca n a l y s i sa n dr e a s o n i n gm e t h o d t h e s i m i l a r i t yo ft h ec o v e rs t o r yi m p o r t a n t l yi n f l u e n c et h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m t h i sf u n c t i o ni n f l u e n c ec a nl i m i tw i t hi m p r o v e m e n to ft h ed e g r e ew i t hu n d e r s t a n d i n g t h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g eo ft h eq u e s t i o n f i n d i n g s o ff o u rc a s e s t u d y i n d i c a t e ：t h es c h e m a sc o n t a i n e di no n ek i n d o f e x a m p l e sc a nb ei n d u c e du n d e ru n d e r s t a n d i n gc o n d i t i o n ，b u ts u m m a r i z e dt o oi na m i s u n d e r s t a n d i n gs i t u a t i o n k i n d so fe x a m p l eo n e s e l fh a v ea p tc h a r a c t e r i s t i co f t r a n s f e r g e n e r a ll e a r n e r s ( n om a t t e rw h e t h e rc o u l du n d e r s t a n dr e a l l v 、c a nc o r r e c tt o r e v e a lr e l a t i o ns t r u c t u r eo fo n ek i n do fe x a m p l e sp r o b a b l 3 ，a n df l e wp r o b l e mt a r g e t m a t c h c o r r e s p o n d i n g l yr e l a t i o nt a r g e to fs t r u c t u r e ，t h u sc a nt r a n s f e ra n ds o l v et h en e w p r o b l e m w h e np r o b l e m s o l v i n g t h e s t u d e n t sa r eo f t e n u n c o n s c i o u s l ya n n t h e r o n e i n f l u e n c e db yt h ef o r m e rs o l u t i o n ，t h a ti s ，e x a m p l e sr e a l l yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei n s o l v i n g ap r o b l e m e x a m p l e sd o e sn o to n l yc o n f i n et ot e a c h e r sg i v i n gt h o s ee x a m p l e s p u b l i s h e d ，t h et y p i c a lp r o b l e mi nt h ep a s tc a nb e c o m eo n ek i n do fe x a m p l e st h a tc a n i m p r o v es o l v i n gt h ep r o b l e mc o n s c i o u s l yb ya n a l o g y m a t h e m a t i c si n s t r u c t i o nm u s tp a ya t t e n t i o nt ot e a c h i n gi nc o n c e p ta n d p r i n c i p l e u n d e r s t a n d i n gt oc o n c e p ti n f l u e n c e st h et r a n s f e ro fe x a m p l ed i r e c t l y e s p e c i a l l ya s k i n d so f e x a m p l e t h a ti s p r i n c i p l e u s e ，i t st r a n s f e r r e dr e s u l ti sa f f e c t e d b y u n d e r s t a n d i n go ft h ec o n c e p ti n v o l v e di nt h ep r i n c i p l e ，i ft h ec o n c e p ti ni ti sn o t u n d e r s t o o d c o m p l e t e l y , i tw o u l d i n f l u e n c et h et r a n s f e rl e v e lo f e x a m p l es t u d yd i r e c t l y w h e nal e a r n e rs o l v e sp r o b l e mo rt h i n k sp r o b l e m ，i m a g i n eh a sf i r s td i 髓c u l ti n b r e a k i n ga w a yf r o mw i t hr e a l i t y t h i sw i l lc a l lm a t h e m a t i c se d u c a t o r sa t t e n t i o nt o t h a ta l lm a t h e m a t i c sk n o w l e d 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