（概率论与数理统计专业论文）超前bsde及sde中的相关结果.pdf

山东大学博士学位论文 超前b s d e 及s d e 中的相关结果 杨哲 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 倒向随机微分方程( 简记为b s d e ) 的线性形式首先由b i s m u t 在1 9 7 3 年【6 引 入，而p a r d o u x 和p e n g 在1 9 9 0 年【4 1 】研究了l i p s c h i t z 条件下非线性b s d e 解的 存在唯性定理在过去的近二十年中，b s d e 受到广泛的关注，这由于它和非线性偏 微分方程之间存在密切的联系( 如参见b a r l e s 和l e s i g n e 【3 】，b r i a n d 【7 】，p a r d o u x 和 p e n g 4 2 ，4 3 】。等等) ，并可应用于非线性半群理论及随机控制问题( 见q u e n e z 【5 z ，e l k a r o u i ，p e n g 和q u e n e z1 1 9 ，h a m a d e n e 和l e p e l t i e r 【2 1 】，及p e n g 4 6 】，等等) 同时 在金融数学中，套期保值及不确定权益定价理论通常可表为一类线性的b s d el 见e 1 k a r o u i ，p e n g 和q u e n e z 【1 9 ) 在1 9 9 7 年p e n g 4 7 】引入了一种新的非线性期望，由特 殊b s d e 导出的旷期望利用p e n g 的于期望，很容易定义对应的条件期望r o s a z z a 【5 3 】通过旷期望得到一类动态风险测度p e n g 】定义了信息流相容的估计和g 一估 计，从而证明了满足某些特定限制的信息流相容的估计就是驴估计，即无论模型或机 构如何来估值的，一旦它满足这些限制，在它背后就存在一个b s d e ，生成元g 是规 则，而b s d e 的解即是该估计 b s d e 是如下形式的方程t k 兰f + t g ( s ，k ，历) d s 一，t 乙d 巩， 。t 正 其中( ) o t t 是定义在概率空间( q ，矿，( 统) o g s r ) 上的标准击维布朗运动，这里 ( 。级) 0 s t 0 是给定常数且p ，皿l ( o 一 口，t + 口) ，z l 多( t o ，? ) ，矿，于l 多( t o 一0 ，t + 口；r 8 。1 ) ，p ，口，口，矛一致有界贝4 v q i 哆( t ，t + 日) ，尸l ( t ，t + 口；瓞4 ) ，超前b s d e i i 山东大学博士学位论文 i d k ；( m k + 忍e 最【k 卅】+ 磊吒+ e 【磊w j 巩+ 屯) 出一z , d w ，t ，卅； 玩= q ， +t匠t十卅 【磊=死t限t+0l 的解y 可用下面的公式显式表达t ，r，t 斗口 k = e 或f 坼( b + j 匕z 。d s + ( q 。风一d + 只无一目) 。瓦一d d s ，a ，a _ 8 ， ，tj 1 其中恐是如下$ d d t g 的鼹t fd x = 五+ 风一口咒一日) 如+ ( 咒一+ 墨一f 堙8 ) d 暇，s t ，t + 研 i 羔啡以n 定理1 4 2 ( 适应解的存在唯一性) 设，满足( h 1 1 ) 和( h 1 2 ) ，6 及( 满足( i ) 和( i i ) 则对任给终值条件5 多( 互? + 蜀r “九豫碜咒? + 托皿”。d ) ，超前b s d e ( * ) 存在唯一适应解似，z ) $ ( o ，t + k ；r ”) xl 多( o ，t + k ；r m 。4 ) 定理1 5 1 ( 比较定理) 考虑如下两一维超前b s d e f d k = 乃( ，k ，帮，( d ) d t - 帮d w ；，0 s t t ； l掣) = t s t s t + k ， 其中j = 1 ，2 设对，= l ，2 ，矗满足( 抒l ，1 ) 和( 露1 2 ) ，白$ ( e ? + k ) ，6 满足 ( t ) 和( ) ，且vt 【0 ，t 】，y r ，z r d ，有，2 ( ，y ，2 ，) 单调增。即厶( t ，y ，? ，o r ) 2 ，2 ( ，玑z ，睇) ，若啡睇，0 ，硌( ，t + ) ，r 【t ，t + 困如果舀1 毋) ，5 田t + 耳】，且 ( t ，y ，。，毋) ，2 ( t ，y ，z ，界) ，t 【0 ，卅，r ，：r 4 ，0 l i , ( t ，t + ) ，r 【，t + 吲，那么瑶u 玲”，a e ，a s 定理1 6 1 ( 对偶在控制上的应用) 设0 0 为给定常数对t f 0 ，t i ，y r ，z r d ， 霉珞( t ，t + 8 ) ，r i t ，t + 鳓，令 ，( t ，y ，z ，铷) ；船船u p a ( t ，啦磅+ z 口( ，氇) + b ( t ，龟) 昱巩【蹄】+ t ( t ，t t ) ，t “ 则超前b s d e j d k = i ( t ，k ，磊，y t o ) d t z t d w t ，t | o ，t i ； 【k = q ( ) ，t i t ，t + 刎 有唯一解z ) ，且y 是控制问题y 的值函数，即对任给t 【0 ，习， k = 垮= e u p 甲，t “) ， i l i 山东大学博士学位论文 其中y u 是如下线性超前b s d e 的解； i d w = ，t ( t ，p ，刃，y 粕) d t 一刃d 毗，t 【0 ，卵； iw = q ( t ) ，t i t ，t + o l ， 这里，”( ，2 ，啦) = 口( t ，u t ) + z a ( t ，饥) + b ( t ，恤) e 冉p 胡+ l ( t ，啦) ，t ( o ，t i ，y r ，z r d ，r l l 多( t ，t + 口) ，r 肛，t + 0 】且 r t + oi t 】? = 胪【群q ( t ) + 臻口q ( s ) 6 ( s 一占，u 。一8 ) d s + x ：t ( 8 ，u 。) d 司 j t，t 定理1 7 1 ( 单调收敛定理) 设m = 1 考虑如下一族超前b s d e , 对n = 1 ，2 ， f d “= 厶( t ，矗，盔，勰) d r z p d 眠，t 【0 ，刀； ik = 靠( c ) ，t 己t + e l 设对每一个n = l 2 ，厶满足( 日1 1 ) 和( h 1 2 ) ，矗( ) s 多( z ? + k ) ，6 满足 ( i ) 和( i i ) 。v 钆n ，t 0 ，刁，y 酞，：r a ，有厶( t ，y ，z ，) 单调增，且存在常数 p 0 使得e 启。i 厶( s ，0 ，0 ，o ) r 2 d s p ，vn n 如果vt 0 ，印，y r ，z r d ，0 工多( t ，t + ) ，r i t ，t + 吲，有厶( ，1 1 ，2 ，啡) f ( t ，y ，z ，啡) ，当n o o 时，且 vs i t , t + 网，有磊( s ) ( s ) ，当n o 。时，及f $ ( ? ，t + 影) ，那么超前 b s d e ， 一d y t = f ( t ，k ，z ；，k + 6 ( t ) ) d t z t d 眦， 0 ，卅； ik = f ( ) ，t i t ，t + 困 有解( r ，z ) $ ( o ，t + k ) 多( o ，? ；倒) 且k = s u p n 礤，a e ，a 8 定理1 8 3 ( 带停时的超前b s d e 适应解的存在唯一性) 设6 满足( i ) 和( t ) ，循序 可测且满足te l ( fj ，( s ，0 ，0 ，0 ) l d s ) 2 】 0 使得e 【量i 厶( s ，0 ，o ) 1 2 d s l p ，v n n 如果v t i o ，明，z r 4 ，口l b ( t ，? + 耳) ，有厶( ，0 ，z ) f ( t ，口，z ) ，当 n o o 对，及vs i t ，? + 吲，有厶( 5 ) f ( 5 ) ，当t i o o 时，且f s 多( z t + 耳) ， 那么推广的超前b s d e l - d y t = f ( t ， k ，i t ，脚叼，五) d t z t d w ；，0 t t ； lk=f(t)，ttst+k 有解( y ，z ) $ ( o ，t + k ) 工多( o ，t ；r d ) 且k = s u p n 蟛，a | e ，8 b 第三章给出了维s d d e w m s 的比较定理及它的一个应用且证明该比较定理的 方法与第l 章一维超前b s d e 比较定理的证明方法类似 以下是第三章的主要结果 定理3 3 4 ( 比较定理) 考虑如下两一维s d d e w m s , id x o ) ( t ) = 乃( x u l ( 母，x z ) ( t 一6 ( t ) ) ，t ，r ( t ) ) d t + a ( x o ) c t ) ，t ，r ( t ) ) d i 矿( t ) ，t 【0 ，刁； lx u ) ( t ) 一( t ) ，t 【_ r ，o l ， v 山东大学博士学位论文 其中j = 1 ，2 设6 ( t ) 满足( a 1 ) ，( a 2 ) 且 ，2 ，g 满足( h 3 1 ，) ( h 3 。2 ，) 如果，l ( z ，y ，t ，i ) 丘扛，y ，t ) ，。，y r ，t 【0 ，明，i s ，且z l ( s ) 2z 2 ( s ) ，s 卜r ，0 】，那么 x ( 1 ，( 母x ( ) ，a e t ，a - 8 关键词；超前b s d e ；适应解；比较定理；推广的超前b s d e ；s d d e w m s v i 山东大学博士学位论文 a n t i c i p a t e db s d e sa n dr e l a t e dr e s u l t si ns d e s y a n gz h e ( s c h o o lo fm a t h & s y s s c i ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( b s d e sf o rs h o r ti nt h er e m a i n i n g ) w e r e i n t r o d u c e d ，i nt h el i n e a rc a s e ，b yb i s m u ti n1 9 7 31 6 a n dc o n s i d e r e dg e n e r a lf o r mt h e f i r s tt i m eb yp a r d o u xa n dp e n gi n1 9 9 0f 4 1 t h et h e o r yo fb s d e sh a sb e e ns t u d i e d w i t hg r e a ti n t e r e s ti nt h el a s tl e s st h a nt w e n t yy e a r sb e c a u s eo fi t sc o n n e c t i o n sw i t ht h e n o n - l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s e e ，f o re x a m p l eb a r l e sa n dl e s i g n e 【3 j ，b r i a n d 7 1 ，p a r d o u xa n dp e n g 4 2 1 ，a n dp a r d o u xa n dp e n g 【4 3 1 ，e t c ) a n dm o r eg e n e r a l l yt h e t h e o r yo fn o n - l i n e a rs e m i - g r o u p s ，a n ds t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e m s ( s e eq u e n e z 【5 2 】， e lk a r o u i ，p e n ga n dq u e n e z 【1 9 1 ，h a m a d e n ea n dl e p e l t i e r1 2 1 1 ，p e n g 【4 6 1 ，e t c ) a t t h es a m et i m e ，i nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e ，t h et h e o r yo ft h eh e d g i n ga n dp r i c i n go fa c o n t i n g e n tc l a i m i st y p i c a l l ye x p r e s s e di nt e r m so fal i n e a rb s d e ( 8 e lk a r o u i ，p e n g a n dq u e n e z 【1 9 1 ) i n1 9 9 7p e n g 【4 7 】i n t r o d u c e dak i n do fn o n l i n e a re x p e c t a t i o n ：g - e x p e c t a t i o nv i a8p a r t i c u l a rb s d e u s i n gp e n g sg - e x p e c t a t i o n ，i ti se a s yt od e f i n e c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n s r o s a z z ai s 3 c o n s i d e r e dat y p eo fd y n a m i cr i s km e a s u r e sv i a g - e x p e c t a t i o n s p e n g 4 5 】d e f i n e df i l t r a t i o nc o n s i s t e n te v a l u a t i o na n dg - e v a l u a t i o n h e a l s op r o v e dat h e o r e mt h a taf i l t r a t i o nc o n s i s t e n te v a l u a t i o ns a t i s f y i n gs o m er e s t r i c t i o n s i sag - e v a l u a t i o n ，t h a ti s ，w h a t e v e rm o d e lo rm e c h a n i s mu s e dt oe v a l u a t e ，o n c ei ts a t i s f i e s t h er e s t r i c t i o n s ，t h e r ei 8ab s d eb e h i n do fi t ，t h eg e n e r a t o rgi si t sm e c h a n i s m ，a n d t h es o l u t i o no fb s d ei 8t h ee v a l u a t i o n b s d e sa x ee q u a t i o n so ft h ef o l l o w i n gt y p e ： k = f + r g ( s ，k ，z o ) d s r z 。d w , ，。t t w h e r e ( w t ) o s t ti sas t a n d a r dd - d i m e n s i o n a lb r o w n i a nm o t i o no nap r o b a b i l i t ys p a c e ( n ，箩，( 最) o g 舛) ，w i t h ( 反) o 茎t s rt h es t a n d a r db r o w n i a nf i l t r a t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，i nt h ep a s t4 0y e a r s ，t h ec o m p a r i s o nt h e o r e m so ft w oi t 5 s s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v er e c e i v e dal o to fa t t e n t i o n ，f o re x a m p l e ，a n d e r s o n 【1 1 ，g a l c u ka n dd a v i s 2 0 1 ，i k e d aa n dw a t a n a b l e 【2 4 j ，m a o 【3 5 ，s k o r o h o d 【5 6 】，y a m a d a 6 3 1a n dy a n s 4 g a v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rc o m p a r i s o nt h e o r e m r e c e n t l y , i 山东大学博士学位论文 p e n ga n dz h u 【5 1 jh a sp r e s e n t e das u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rc o m p a r i s o n t h e o r e mb yu s i n gv i a b i l i t yt h e o r y h o w e v e r ，s of a r ，t h e r ei sn or e s u l tf o rc o m p a r i s o n t h e o r e mo ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n s ，w h i c ht h i st h e s i ss h a l lc o p ew i t h s h o u l do u rt h e o r yb em o r ea p p l i c a b l e ，w es h a l le s t a b l i s ht h ec o m p a r i s o nt h e o r e mo f 1 - d i ms t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n sw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g ( s d d e w m s s ) s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a r k o v i a ns w i t c h i n g ( s d e w m s s ) i sa ni r a - p o r t a n tc l a s so fh y b r i ds y s t e m s i ne c o l o g y , e n g i n e e r i n ga n do t h e rd i s c i p l i n e si ti sw e l l k n o w nt h a tm a n ys y s t e m se x h i b i ts u c hd i s c r e t ed y n a m i c s ，d u ef o re x a m p l et oc o r n o p o n e n tf a i l u r e so rr e p a i r s ，c h a n g i n gs u b s y s t e mi n t e r c o n n e c t i o n s ，e t c w h e nc o u p l e d w i t hc o n t i n u o u sd y n a m i c s t h e s ed i s c r e t ep h e n o m e n ag i v er i s et ow h a ta r ek n o w na 8 h y b r i ds y s t e m s o fp a r t i c u l a ri n t e r e s tt ot h ep r e s e n tc h a p t e ra r eh y b r i ds y s t e m sw h o s e d i s c r e t eb e h a v i o ri sd r i v e nb yc o n t i n u o u s - t i m em a r k o vc h a i n s s u c hs y s t e m sh a v eb e e n u s e dt om o d e lan u m b e ro fe n g i n e e r i n g ( a n do t h e r ) s y s t e m s f o re x a m p l e ，k a z a n g e y a n ds w o r d e r 【2 8 1d e v e l o p e dam a c r o e c o n o m i o sm o d e lo ft h en a t i o n a le c o n o m yi nt h i s f r a m e w o r k ，t os t u d yt h ee f f e c to ff e d e r a lh o u s i n gr e m o v a lp o l i c i e so nt h es t a b i l i z a t i o n o ft h eh o u s i n gs e c t o r t h et e r md e s c r i b i n gt h ei n f l u e n c eo fi n t e r e s tr a t e sw a sm o d e l e d b yaf i n i t e - s t a t em a r k o vc h a i nt op r o v i d eaq u a n t i t a t i v em e a s u r eo ft h ee f f e c to fi n t e r e s t r a t eu n c e r t a i n t yo nt h eo p t i m a lp o l i c y a t h a n s 【2 】2 s u g g e s t e dt h a ts u c hb y b r i ds y s t e m s w o u l da l s ob e c o m eab a s i cf r a m e w o r ki np o s i n ga n ds o l v i n gc o n t r o l - r e l a t e dp r o b l e m si n b a t t l em a n a g e m e n tc o m m a n d ，c o n t r o la n dc o m m u n i c a t i o n s ( b m c 3 ) s y s t e m s h y - b r i ds y s t e m sw e r ea l s oc o n s i d e r e df o rm o d e l i n ge l e c t r i cp o w e rs y s t e m s ( w i l i s k ya n d l e v y 【6 2 1 ) ，t h ec o n t r o lo fas o l a rt h e r m a lc e n t r a lr e c e i v e r ( s w o r d e ra n dr o g e r s 【6 1 ) ) a n dt h em o d e l i n go fs u b t i l i np r o d u c t i o nb yb a c i l l u ss u b t i l i s ( h u ，w ua n ds a s t r y 2 2 1 ) i nh i sb o o k 3 9 】，m a r i t o nd i s c u s s e dh o ws u c hh y b r i ds y s t e m sh a v ea l s oe m e r g e da sa c o n v e n i e n tm a t h e m a t i c a lf r a m e w o r kf o rt h ef o r m u l a t i o no fv a r i o u sd e s i g np r o b l e m si n t a r g e tt r a c k i n g ，f a u l tt o l e r a n tc o n t r o la n dm a n u f a c t u r i n gp r o c e s s e s o nt h eo t h e rh a n d ， c o n t r o le n g i n e e r i n gi n t u i t i o ns u g g e s t st h a tt i m e - d e l a y sa r ec o i n n l o ni np r a c t i c a ls y s t e m s a n da r eo f t e nt h ec a u s eo fi n s t a b i l i t ya n d o rp o o rp e r f o r m a n c e m o r e o v e r ，i ti su s u a l l y d i m c u l tt oo b t a i na c c u r a t ev a l u e sf o rt h ed e l a ya n dc o n s e r v a t i v ee s t i m a t e so f t e nh a v e t ob eu s e d t h ei m p o r t a n c eo ft i m ed e l a yh a sa k e a d ym o t i v a t e ds e v e r a ls t u d i e so nt h e s t a b i l i t yo fs w i t c h i n gd i f f u s i o n sw i t ht i m ed e l a y , s e e ，f o re x a m p l e ，【1 0 ，3 8 ，4 4 】a tt h e s a m et i m e ，t i m e - d e l a y sa r eo f t e nf o u n di nf i n a n c ea n de c o n o m i c sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s w e r es t u d i e di ni v a n o ve ta 1 【2 5 ，2 6 ，2 7 ，k a z m e r e h u ke ta 1 【2 9 】a n ds w i s h c h u ke ta 1 【5 8 ，5 9 ，6 0 】 t h ep a p e ri so r g a n i z e d f o l l o w s ： i i 山东大学博士学位论文 c h a p t e r1i n t r o d u c e san e w t y p eo f e q u a t i o n s ：a n t i c i p a t e db a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sf a n t i c i p a b e db s d e sf o rs h o r t ) t h e r ee x i s t sp e r f e c td u a l i t yb e t w e e n t h e ma n ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n s ( s d d e sf o rs h o r t ，s e ek o l m a n o v s k i i ， m y s h k i sf 3 0 】a n dm a of 3 6 】，f 3 7 】) t h en e wt y p eo fe q u a t i o ni sa sf o l l o w s ： 一8 萎三等m 五，k “，五+ c ) 出一五西皈 t 【o ，刁； i t ，t + k i ；( ) t i t , t + 吲 i nr e a l i t y , b yu s i n ga n t i c i p a t e db s d e s ，w ec a nc h a n g et h eg o a lo ft h ef u t u r et h r o u g h t o d a y sp o l i c y ( t h ep r e s e n ts o l u t i o n ) e x i s t e n c ea n du n i q u e n e e sf o ra na d a p t e ds o l u t i o n t oa n t i c i p a t e db s d e 8 i nm yo p i n i o n 。i st h er e a 8 0 nw b ya n t i c i p a t e db s d e 8a p p e a rl a t e r t h a nb s d f 蝎i fw ea d o p tt h et r a d i t i o n a lc o n d i t i o n so f | 。t h es o l u t i o no fa n t i c i p a t e db s - d e si sn ol o n g e ra d a p t e d ，t h u sw em a k e ，af u n c t i o n a li n s t e a do faf u n c t i o nt oc o n q u e r t h i sd i f f i c u l t y a tt h es a m l et i m e ，c o n t i n u o u sd e p e n d e n c ep r o p e r t yw i t hr e s p e c tt op 扣 r a m s t e r s ，c o m p a r i s o nt h e o r e m ，m o n o t o n i cl i m i tt h e o r e ma n de x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o ft h ea d a p t e ds o l u t i o nt oa n t i c i p a t e db s d e sw i t hs t o p p i n gt i m eh a v eb e e no b t a i n e d n o t i c et h a tt h ec o n d i t i o n 】so ft h i sc o m p a r i s o nt h e o r e ma r ed i f f e r e n tf r o mt h o s eo fc o r n - p a r i s o nt h e o r e mo fb s d e 8 ，t h a ti s ，fi 8a s k e dt ob ei n c r e a s i n gi na n t i c i p a t e dt e r m o fya n dc o n t a i nn oa n t i c i p a t e dt e r mo fze x p e c tf o rt h eo r i g i n a lc o n d i t i o n s u s i n g t h ed u a l i t yb e t w e e ns d d e sa n da n t i c i p a t e db s d e s w ec ns o l v eat y p eo fs t o c h a s t i c c o n t r o lp r o b l e m s t h ef o l l o w i n ga r et h em a i nr e s u l t so fc h a p t e r1 t h e o r e m1 2 1 ( d u a l i t yb e t w e e ns d d e sa n da n t i c i p a t e db s d e s ) s u p p o s e p 0 i sa g i v e nc o n s t a n t a n d 卢，卢硌( t o 一口，t + 口) ，f l 多( t o ，r ) ，矿，矿硌( 如一 0 ，t + 以r d 1 ) ，p ，乒，矿，于a r eu n i f o r m l yb o u n d e d t h e nvq s 多( l t + 一) ，尸 硌( zt + 出r 4 ) ，t h es o l u t i o nyt ot h ea n t i c i p a t e db s d e 一薹三墨k + 风口兄【k w 】+ 磊巩+ 舻【五卅】巩+ j t ) 出一磊d 眦i l 誊墨葛 m = e 弗阢翰+ r 咒l d s + 譬( g 风一口+ 只元一口) 五一口d s 】，a _ e ，a 8 ， 山东大学博士学位论文 id 托= 池咒+ 西一口兄一o ) d s + ( x a 一+ 咒一日礤口) d 眦，s 【t ，t + 卅； 咒= 1 ， l 咒= 0 ，8 乒i t 一0 ，t ) t h e o r e m1 4 2 f e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ea d a p t e ds o l u t i o nt oa i l - 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