（概率论与数理统计专业论文）经验费率的相合性.pdf

摘要 本文考察了关于e s s c h e r 原理经验费率厘定的收敛性问题除了b a y e s - e s s c h e r 保费 和经典方式导出的e s s c h e r 信度保费外，我们给出了关于e s s c h e r 原理新的信度保费接 着，我们证明了b a y e s - e s s c h e r 保费和新定义的信度保费收敛到相应的个体保费，并指出 了经典方式导出的e f s c h e r 信度保费一般不收敛到相应的个体保费，并给出其在特殊情 况下收敛的充要条件最后，通过数值模拟说明了实际与理论是一致的 关键词te s s c h e r 保费，信度保费，损失函数，收敛性，相合性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h e p r o b l e m so f c o n v e r g e n c eo f e x p e r i e n c e - b a s e dr a t e m a k - i n g sr e g a r d i n gt h ee s s c h e rp r i n c i p l e i na d d i t i o nt ot h eb a y e sa n dt h ec l a s s i c a lc r e d i b i l i t y p r e m i u m s ，w es u g g e s tan e wc r e d i b i l i t yf o r m u l af o rt h ee s s c h e rp r e m i u m t h e nw es h o w t h ec o n v e r g e n c eo ft h eb a y e sa n dt h en e w l yd e f i n e dc r e d i b i l i t yp r e m i u m st o w a r d st h ei n - d i v i d u a lp r e m i u ma n dp o i n to u tt h a tt h e c l a e s i c a lc r e d i b i l i t yp r e m i u md o e sn o tg e n e r a l l y c o n v e r g et ot h ei n d i v i d u a lp r e m i u mb yp r e s e n t i n gas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nu n - d e rw h i c ht h ec l a s s i c a lc r e d i b i l i t ye s s c h e rp r e m i u mc o n v e r g e st ot h ei n d i v i d u a lp r e m i u m as i m l l l a t i o ns t u d yi sc a r t i e do u tt oi u i l s t r a t et h et h e o r e t i c a lc o n c l u s i o n s k e y w o r d s ze 8 s c h e rp r e m i u m ，c r e d i b i l i t yp r e m i u m ，l o s sf u n c t i o n ，c o n v e r g e n c e ， c o n s i s t e n c y 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意 作者签名， 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢 利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适 用本规定 学位论文作者签名：诗凄印弧 日期：纠占6 导师始缘咖 日期：多t , v 9 ，f ，b 第一章引言华东师范大学硕士论文1 第一章引言 在保险实践中，保费厘定是精算师的主要任务之一对于一个给定的风险，厘定合理 的保费是关系保险公司是否盈利的关键通常保险公司在厘定保费时采取自上而下的途 径首先，在顶层水平，保险公司关心的是征收足够多的保费以覆盖其全部责任，这样 需要保证全部支出和全部收入至少应是平衡的；其次在底层水平，保险公司试图在投保 人之间公平地分摊保费，即若一个风险实体的风险水平一致优于保险组合中其它风险实 体时，该实体应当减免一定的保费，反之适当增加从而我们需要考虑投保人的索赔经 验，采用合适的模型来厘定保险人与投保人都能接受的保费信度理论在解决此类问题 时发挥了重要作用并体现了其独到的优势 1 1信度理论的历史与现状 随着保险事业的发展，信度理论日趋成熟和完善最早在1 9 1 4 年m o w b r a y 即给出 了完全信度( f u l lc r e d i b i l i t y ) 的概念，他的核心思想是仅依据个体的索赔经验来确定保 费；接着，w h i t n e y 在1 9 1 8 年提出部分信度( p a r t i a lc r e d i b i l i t y ) 的概念，其思想是在个体 经验数据与总体经验数据之间谋求一种平衡关系以上两种保费立足点在于索赔经验数 据的稳定性，有时统称为有限扰动信度( 1 i m i t e df l u c t u a t i o nc r e d i b i l i t y ) 随着b a y 统计 的发展，最精确信度( g r e a t e s ta c c u r a c yc r e d i b i l i t y ) 理论诞生了，其清楚建立是由瑞士精 算学家b f i h l m a n n 在2 0 世纪6 0 年代末提出的简单b i i h l m a n n 模型，他把b a y e s 估计限 制在观察值的线性组合范围内，在均方误差最小的意义下导出信度保费的计算公式，因 此在某种意义下是最接近真实风险保费的估计，最精确信度也因此得名；接着，在1 9 7 0 年b i i h l m a n n 和s t r a u b 提出一个更实用的信度模型，即b i i h l m a n n - s t r a u b 模型，它与 简单b i i h l m a n n 模型的显著区别在于两点( 优点) 一是允许每个观察值的方差可以不 同；另外不同风险的观察次数可以不同例如对于较大保单组合，可先将大保单组合按 某种标准分为若干子组合，允许子组合中保单个数不同，然后考虑每个子组合保单的平 均保费，这一方面降低成本，另一方面对观察数据不完全也是适用的然而在保险实际 中，数据非常庞大，保单组合非齐质性尤为突出，上例简单分组不能满足需求，这就需要 按某些定性分类因子对保单组合进行多次分组，典型的分类因素有行业，地理位置等 这便得到了j e w e u ( 1 9 7 5 ) 和t a y l o r ( 1 9 7 9 ) 提出的分层模型形象理解是，将保单组合看 作树叉状结构，树根是所有保单组成的保单组合，上面每一层分为几个子组合，每个子 组合由有共同特征的保单组成，最顶层是接近齐质的子组合，它们含有与树的层数相同 数目的潜在的风险特征同在上世纪7 0 年代，h a c h e m e i s t e r ( 1 9 7 5 ) 引入宏观因子作为外 生变量解释风险实体索赔水平而提出了回归模型，h a c h e m e i s t e r 最初考虑时问趋势作为 第一章弓 言华东师范大学硕士论文2 一个外生变量对索赔经验的影响另外信度理论的难点参数估计方面最近也取得很大发 展，如c o s s e t t e ，h e t a 1 ( 2 0 0 3 ) 采用广义最小二乘估计方法估计回归信用模型中协方差等 参数，c h ih l ，e t a 1 ( 2 0 0 6 ) 有效利用广义估计方程估计信用模型中的参数随着信度理 论的发展，信度模型越来越灵活，越贴切实际 目前信度保费广泛应用于汽车保险( a u t o m o b i l ei n s u r a n c e ) ，工伤补偿( w o r k e r sc o i n - p e n s a t i o n ) 、损失准备金( 1 0 s sr e s e r v i n g ) 和i b n r ( i n e u r r e db u tn o tr e p o r t e d ) 技巧等近 期信度保费是人们研究的热点，其中，e g d m e z - d 6 n i z ，甙a 1 ( 2 0 0 6 ) ，e d w a r dw f r e e s ，e t a 1 ( 1 9 9 9 ) 和e d w a r dw f r e e s ，e ta 1 ( 2 0 0 6 ) 分别从不同角度研究信度保费，另外系统概述 觅成世学( 2 0 0 2 ) 简单介绍了信度模型的基本思想和模型；n o r b e r g ( 2 0 0 4 ) 详细介绍了信 度理论的发展历史，并总结了前人研究的主要方向和成果；b i i h l m a n n 与g i s l e r 在2 0 0 5 年全面剖析了现代信度理论，并得出结论，即从数学角度信度理论属于b a y e s 统计范畴， 它是刻画非齐次组合的一种数学工具，回答了如何有效结合个体与总体索赔经验进行保 费定价，并被实际保险问题所推动而发展 1 2本文主要研究内容 经典信度保费就是在索赔信息的线性组合中寻找使得平均平方损失e ( x j ) 2 ( 即均方 误差) 最小的解6 在近来发展中，许多学者开始讨论其它损失函数，如y o u n g ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 ) i - t i 仑来自样条理论的损失函数，e m i l i og 6 m e zd f n i z ( 2 0 0 6 ) 讨论了加权平衡损失函数，及 g o o v a e r t s ，m j 等人1 9 9 0 年编写的书中讨论的指数加权平方损失函数等特别是后者可 导出著名的e s s e h e r 保费原理 从现代观点来看，信度保费理解为个体净保费的b a y e s 估计的简化版本更为合适 个体净保费是在个体风险概率分布已知的情况下计算的，因此在其分布未知时，精算师 们不得不借助于经验费率厘定来获得个体净保费的经验版本，其中信度保费就是很不错 的选择从统计的观点来看，当样本容量足够大时即风险的索赔信息足够丰富，这时最 基本的要求是经验版本保费应无穷接近个体净保费也即经验费率在某种意义下应收敛 到相应的个体净保费此时，我们称此经验费率具有相合性到目前为止关于经验保费 的相合性研究仅有少量结果，例如，s c h r n i d t ( 1 9 9 1 ) 证明了经典信度保费和b a y e s 保费的 相合性问题，及w a n g ，s s 和y o u n g ，v r ( 1 9 9 8 ) 讨论了扭血信度保费的相合性问题关 于e s s c h e r 保费至今无人在这个重要问题上得出结果，特别遗憾的是g e r b e r ( 1 9 8 0 ) 提出 的关于e s s c h e r 原理的信度保费( 下面简称g e r b e r - e s s c h e r 信度保费) 被我们证明在一 般情况下并不具备相合性，本文并给出了它在特殊情况下具有相合性的充要条件接着 本文提出了关于e s s c h e r 原理新的信度保费( 下面简称n e w e s s c h e r 信度保费) ，并证明 其满足相合性的要求，此外本文还巧妙的证明了b a y e s - e s s c h e r 保费的相合性质本文主 要讨论基于e s s c h e r 原理的几种经验保费的相合性问题 第一章引言华东师范大学硕士论文3 接下来本文第二章简单介绍了基本的保费定价原理，并结合净保费原理和e s s c h e r 保费原理探讨了其在不同约束下的形式，特别给出了基于e s s c h e r 保费原理的具有良好 性质的信度保费公式，最后介绍了基本的信度模型第三章给出g e r b e r - e s s c h e r 信度保 费在特殊情况下具有相合性的充要条件，验证了b a y e s - e s s c h e r 保费的相合性，并重点 证明了n e w - e s s c h e r 信度保费的相合性问题最后一章演示g e r b e r - e s s c h e r 信度保费和 n 蝴一e s s c h e r 信度保费的计算方法，并通过数值模拟比较 第二章保费原理 华东师范大学硕士论文4 第二章保费原理 本章仅简要介绍一下保费原理，详细了解请参见王静龙等编的非寿险精算及 k a s s re la 1 ( 2 0 0 1 ) 等 2 1基本保费原理 精算学中一般以非负随机变量x 表示( 损失) 风险，假设其分布函数为f ( x 日) ，其 中参数口代表风险x 的特征，一般是未知的，可把它视为另一随机变量e 的实现值这 样，可把f ( x ；口) 改写为f x i e ( x l e ) ，即把它视为风险x 当参数随机变量e 取口值时的条 f t - 9 布再假设e 的分布函数为u ( 口) ，也称结构函数，于是风险x 的分布可表述为下述 的混合分布， f k ( z ) = f f x e ( f 日) d u ( 口) 通常称参数随机变量e 为风险x 的风险参数风险参数e 的不同取值8 可以刻画 同一类型风险中的不同风险特征例如在汽车保险中，可用不同的口值代表汽车的品牌 驾驶员的年龄、地域等风险特征 一个保费计算原理就是给一个风险变量x 赋予一实数值的泛函日，即 或 x h x 】 取一日 取】 下面列举了几种常用的保费计算原理； 1 净保费原理x e x 】 2 期望值原理 3 标准差原理 4 方差原理 5 指数原理 6 e s s c h e r 保费原理 x h ( 1 + a ) e i x 】， o t 0 x e x 】+ p 丽，p 0 x e x + 7 v a r ( x ) ，7 0 x h l n e e 6 。】，j 0 x 一器寻，h 0 其实后面五种保费原理都是由净保费原理加上一个正的安全负荷( r i s kl o a d i n g ) ，即 它们都具有风险调节功能净保费原理是在理想情况下的保费原理，但事实上，风险发生 第二章保费原理华东师范大学硕士论文5 常带有较大波动，在不好年份索赔大于收取的净保费，保险公司为了正常履行规定的义 务，必须合理的多收一定的保费另外，保险公司的工作人员的工资以及投资者的风险暴 露资本的补偿费用都需要投保人承担。 2 2经典保费相关原理 本节限定采用净保费原理来探讨问题下面我们考虑一个经典的经验费率厘定模型- l 在e = 口给定下，墨，恐，x 是条件独立同分布的，共同分布为f x l e ( z l 口) ； 2 随机变量e 的结构分布u ( o ) = p c e 目) 其中，五，i = 1 ，2 ，n 表示某一个体风险可观测的过去n 年的年索赔额；x 代表 未来一年的年索赔额，这也正是精算师所要预测的 易知，x 的信息体现在其分布f x l e ( z i o ) 上，等价的体现在日上从而不同的风险具有 不同的风险特征口，即若e = 口给定，则能准确把握x 的性质在净保费原理下，e l e 】 则是一个很好的预测，并称之为个体保费，另记 = p ( e ) ：= e 陋l e l( 2 1 ) 但由于在实际中个体风险的风险特征值日是不知道的，所以p t 埘是不能准确计算 的不过这些口都是来自分布为u ( 口) 的风险变量e ，故可把e 所刻画的所有个体看作 一个总体来研究，相应地可定义x 的总体保费如下： r p “= 伽：= p ( p ) d u ( 口) = e x ( 2 2 ) 这样p 耐给出了一个确定的保费值，不过总体保费有失公平性，因为在同一总体中 有较优的风险，也有不良风险，若收取同样的保费，较优风险势必承担相对过高的保费， 而放弃投保或转投其它保险公司；反之，不良风险相对承担保费较低，这样吸引大批不良 风险来投保，从而加大保险公司的经营风险这样看来，个体保费就精确体现了不同风险 应承担的相应的合理的保费，所以它是最具竞争力的基于个体保费不可求，精算学者们 希望找到一种保费公式对每一个风险都尽可能准确的估计出p ( e ) 经验费率厘定就有效 的解决了这一问题，经验费率厘定充分考虑个体前n 年的索赔经验，基于五，局， 构造估计量易知，p ( e ) 的后验b a y e s 估计是所有蜀，蜀，j 0 的函数中在均方误差 意义下最优的uc e ) 的估计，即最优估计p ( e ) = e u ( o ) i x t ，x 2 ，x l 】也称为b a y e s 保费，另记 p 脚= 嗣：= e uc e ) i x , ，恐，】( 2 3 ) 第二章保费原理华东师范大学硕士论文6 b a y e s 保费在理论上是一个令人满意的结果，但实际操作起来较难，因为在计算时需 用到u ( o ) 和f x t o ( x l e ) ，虽然在b a y e s 统计框架下，u ( o ) 可用先验代替，但是f x l o ( x 1 0 ) 通常是未知的，即使f x l o ( = 1 0 ) 都知道了，p b a v 通常也是观察值噩，捣，x 。的非线 性函数，从而计算难度很大为了解决这个困惑，b i i h h n a n n 探索将p ( e ) 的估计量限制 在x l ，恐，五。的线性非其次估计量中，即在下面集合中t s p a n 1 ，x z ，x 2 ，蜀 = 匈+ c z x l + + c n ，岛r ，i = 0 ，1 ，- ，n 考虑如下均方误差最小的最优估计， n f i n 门( e ) _ + 诵) ) 2 】) 则在经典模型假定下，利用最t b - - - 乘法，易求p ( e ) 的最优线性非齐次估计为t p c r “：i 面：z f + ( 1 一z ) 伽( 2 4 ) 其中 叉= ：喜五，z = 赤，。娟啊即) 】 拈印郴i e ) 】 我们称p ”酣为信度保费，z 为信度因子参数a 描述了同类风险中因风险水平不齐质而 导致的差异，不妨称为风险x 的异质方差类似的，参数s 2 描述了同类风险中相同风险 水平内在差异，不妨称为风险x 的齐质方差 注2 1 观察易知，p 4 是总体保费与样本均值的加权平均另外当礼或a 一o 。 或8 2 0 时，都有z 趋于1 ，从而由( 2 4 ) 式知，信度保费与样本均值渐近等价，这时 信度保费仅依赖于个体的索赔经验从直观上看这也是对的，事实上，n 增大表示索赔信 息更加丰富，从而样本信息值得信赖；a 增大表示同类风险差别较大，从而同类信息不值 得参考，最好还是利用自己的信息；s 2 较小说明个体风险比较平稳，没什么波动，从而说 明自身以前信息比较有价值 例2 1 设给定e = 日，x 1 ，x 2 ，x 是条件独立同分布的，且 p ( x = k l o = p ) = e - 6 譬，k = 0 ，1 州2 及e 服从g a ( a ，芦) ，即“( 日) = 篙备口”1 e 一瑚则 有i p t l d = 0 p 硎= p 脚= z e + ( 1 一。) 第二章保费原理 华东师范大学硕士论文7 p 2 瘟+ ( 1 一。) 其中：= 厕n 证明：易知本例符合经典模型假设，且有下面结果一 e ( e ) = 吕，讹r ( e ) = 墨 p ( e ) = e x l e 】- e 矿( e ) = e 【( x p ( e ) ) 2 l e 】= e ( x e ) 2 l e = e 脚= e 阻( e ) 】= e ( e ) = ； s 2 = e 阮e ) 】- e 【e 】- 昙 。= y 甜山( e ) 】= v a t ( 8 ) = 景 由( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 4 ) 式易知。 下面求b a y e s 保费， p 耐= e x l e - e = e ( e ) = ； 一= 历”叫吕，z = 南 n u ( o l x l ，x 2 ，z 。) “u ( p ) p ( x i l o ) l = l = 而a 旷铲”些n 习o x e 一。) o ( p 量计州e 一( 肿n p 上式最后一个式子是g a ( a + n z ，卢+ n ) 密度函数的核，故有 e i x l ，g a ( a + 礼孟，p + n ) p m v = e 山( e ) | 五，】= e i e l x , ，】 ：业 口+ r , = 名牙+ ( 1 一。) ；， 第二章保费原理华东师范大学硕士论文8 本例是经典的p o s s i o n - g a m m a 模型，它提供了一种求解保费的方法，但这里观察 会发现p 8 q 与p “e d 相等，事实上这绝非巧合，可用下面的定理来解释 定理2 1 p b a y 与焉r e d 相等的充要条件是器耐是鞅( 定理中下标n 表示已观察的数 据数) 证明见s c h m i d t ( 1 9 9 1 ) 2 3e s s c h e r 保费相关原理 上一节我们讨论了净保费原理的几种相关形式，实质上都是在均方误差意义下得出 的这一节我们将在指数加权均方误差意义下继续讨论不同条件下的保费原理，即e s s - c h e r 保费原理这种保费原理最初是针对无索赔经验确立的，g e r b e r ( 1 9 8 0 ) 提出结合经验 数据的e s s c h e r 保费，s c h m i d t & t i m p e l ( 1 9 9 5 ) 及s c h m i d t ( 1 9 9 2 ) 讨论了更一般的情况由 于e s s c h e r 保费原理的重要性，近期有许多学者在研究，如e m b r e c h t s ( 2 0 0 0 ) ，k a m p s ( 1 9 9 8 ) g 6 m e z - d 6 n i z ，e t a 1 ( 1 9 9 9 ) 等等当然已有许多好的结果，如( 总体) e s s c h e r 保费，个体 e s s e h e r 保费，b a y e s - e s s c h e r 保费，g e r b e r - e s s c h e r 信度保费等下面将详细讨论 定理2 2 ( g o o v a e r t s ，e t a 1 ，1 9 9 0 ) 假设y 与z 是两个随机变量，欲用y 的函数g ( 来 预测z ，且使e 瞄一g ( y ) ) 2 e 船】最小，则所要找的g ( 如下。 h z i y = 可e z ；e i a 研z l y ( ) 此即给定y 后z 的e s s c h e r 保费 e s s e h e r 保费h 【z 】( 见( 2 5 ) 式定义) 实际上是风险变量z = e z 矸e h 寻z 的净保费不难 看出，在从z 到z 7 的变换中，大值增大了，小值减小了该保费也可以看作是d f z ( t ) 的 所谓e s s c h e r 变换的期望值，该变换的“密度”为t 蜊= 器 这是一累积分布函数的微分，与z 有相同的支撑，只是取大值的概率增加了，取小值的 概率减小了通过作这样一个变换，有h z 】 e z 1 ，从而我们得到了一个。安全的”保费 下面分析在y 代表不同意义变量时( 4 ) 式的意义令z = x ，y 分别等于1 ，0 和， 其中五产( x 1 ，x 2 ，j 0 ) ，运用定理2 2 中( + ) 式分别得如下形式保费： 1 ( 总体) e s s c h e r 保费 日 x 】= 日陋| 1 】= 1 e 琢 x 耵e h x 1 = e 研 x e h x ( 2 5 ) 事实上x 与1 是相互独立的，故上式成立 第二章保费原理华东师范大学硕士论文9 2 个体e s s c h e r 保赞 3 b a y e s - e s s c h e r 保费 h x i e 】- 丽e x e “x 1 0 ( 2 6 ) 日 x i x _ j = 墨e 堕 e h 塑xj x _ 型_ a ( 2 7 ) 注2 2 在n = 0 时，即没有任何已知信息，h x i 盗 就退化为h 【x 】了 接着我们考虑另外两个关于e s s c h e r 原理的信度保费为了下面书写的方便，引入算 子驴，并定义如下算法记号t m h ( o ) = e e “i e 】( 2 8 ) 对任何使下面左式成立的函数g ( ) 定义 砚( e ) 】_ 错， ( 2 - 9 ) e + b ( x ) 】= e + 陋b ( x ) i e 】( 2 1 0 ) 相应的v a t + 和c o y 可由驴来定义由驴的定义易知， e h x i o i 】_ h x 】( 2 1 1 ) 下面讨论关于e s s c h e r 保费原理的信度保费形式首先，g e r b e r 给出了将来索赔x 的线性信度预测公式，通过求解下面最小化问题 + g x ) ) 2 e 6 。】) ，c l ，c n 摹 得最优解 矿一呵”一错纠即】 ( 2 1 2 ) 其中 z = 而砸c o v * 可( h 巧x l o 币 , u ( 研o ) ) 而 ( 2 1 3 ) 本最优解的求解过程请参见g o o v a e r t s ，e t a 1 ，( 1 9 9 0 ) 简称扩为g e r b e r - e s s c h e r 信度保 费 在下一章将会看到g e r b e r - e s s c h e r 信度保费在通常情况下不具备相合性的性质显 然这是人们不愿意看到的，为此，下面定义一种新的信度保费，下一章将会证明其满足了 相合性的要求 第二章保费原理华东师范大学硕士论文l o 首舰州= 黾等此且p 经验e 妇保费形式进_ 步记 a ( o ) = e h 。 x 1 0 1( 2 1 4 ) 下面通过定理引入新的保费 定理2 3 下面最小化问题的解 m 畦i l n e ( 义一6 ) 。e 认j ，l = s p o n ( 1 ， k 【x 】) 是 了= 西h n 【x 】+ ( - 一面里桦) h i x ， 西= 丽篱馨 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 i t ) 捌& e 僻一伽一c - 如】) 2 e “ ( 2 x s ) 要使( 2 1 8 ) 式最小，需令关于c o 的导数为零，即 e x e m 】_ c o e e m + c 1 e i x l e h x 或，由x l ，x 2 ，五。，x 关于e 是条件独立同分布的，我们有 c 0 = 丽1 e i x e x 卜c - e h 。i x e x ) = h x l - c 1 e h 盯, , l x e n x = h i x 咱坐警捌， ( 2 其中m h ( o ) 同( 2 8 ) ，以及m h = e i m h ( o ) 】用( 2 9 ) 定义的记号，( 2 1 9 ) 式可被写为 c o = h x 】一c l e l 厶( e ) 将( 2 2 0 ) 带入到( 2 1 8 ) 式，问题简化为 ( 2 2 0 ) m 。i n e ( x h x 】一c 1 【h n x l f 【厶( e ) 】 ) 2 e “x ( 2 2 1 ) 第二章保费原理华东师范大学硕士论文1 1 对( 3 2 ) 式关于。l 求导，并令其结果为零，得 也即。 c l e ( h 。i x 一e + 帆( e ) 】) 2e h x = e ( y h 【x 】) ( h 。i x 】一e 【厶( e ) 】) e x 】 凸：兰f ! 茎二坚 茎1 21 里! 竖! 二兰： 生! 皇坐! ! ! e ( h 。i x 】一e 【厶( e ) 】) 2e h x ) ：圭! 苎! 竖二! ! 竺! ! 兰! 】二! ：暨竺鲨：= ! ! 竺! i 。s s ( ( h 。i x 一e 【，n ( e ) 】) 2 e 脒ie ) 意e 【( h f e 】一h 】) ( e ) 一e + 嘛( e ) 】) m n ( e ) 】 去e e ( ( l x l 一e + 【厶( e ) 】) 2 ie ) m ( e ) = 击篙鬻焉器 臼2 瓦可丽可f 百两丽蕊研研 令历= c o ，西= c 1 即完成证明 我们称由( 2 1 6 ) 确定的保费为n e w - e s s c h e r 信度保费 注2 3 我们注意到g e r b e r - e s s c h e r 信度保费扩是x 与灯【圈的加权平均，而n e w - e s s c h e r 信度保费6 是k 【x 】与h x 】的加权平均既然e s t h e r 信度保费是用来估计 个体e s s c h e r 保费h x l e l 的，类似于用信度保费p a 耐估计个体保费p 耐那样，它应 该是总体e s s c h e r 保费g x 1 与某种相应适当形式的经验e s s c h e r 保费的加权平均从直 观上比较容易看出用x 估计h x i o 】不是一个好的选择，用6 来估计h x l e 比扩也 许更适合一些，而且可能有更好的性质，这将在下一章中阐明 注2 4 虽然由定理2 3 推导的n e w - e s s c h e r 信度保费j 渐近收敛到h x l e l 几乎必然， 从而确保620 依概率1 渐近成立，但是对于有限的n 来说6 是否大于零仍然未知为 第二章保费原理华东师范大学硕士论文1 2 此，从实际应用出发，推荐采用4 = m a x ( 5 ，0 ) 来代替6 ，这里4 0 ，且易知从渐近性质 上看n 不j 比差 注2 5 事实上，上一节关于净保费原理得到的几种保费都是本节关于e s s c h e r 保费原 理得到的相应的保费形式的特例，即h = 0 时的情况，这个结果容易验证特别在h = 0 时，g e r b e r - e s s c h e r 信度保费6 。与n e w - e s s c h e r 信度保费6 是一致的，都等于信度保费 p c r e d 第三章经验费率的相合性 华东师范大学硕士论文1 3 第三章经验费率的相合性 由第一章分析知道，相合性是经验费率厘定的一个合理要求。也是评价一个保费公 式好坏的一个标准s c h r a i d t ( 1 9 9 1 ) 讨论了与净保费原理相关的经验费率的相合性问题， 本章将重点讨论与e s s c h e r 保费原理相关的经验费率的相合性问题此外本章讨论仍基 于2 2 节开头的模型假设 3 1b a y e s - e s s c h e r 保费的渐进性质及g e r b e r - e s s c h e r 信度保费相合性 条件 首先看下面一个定理，即 定理3 1 若风险变量x 是平方可积的，则b a y e s 保费p b a l t 与信度保费p o 捌几乎必然 收敛到个体保费p ，l d 。 证明请见s c h m i d t ( 1 9 9 1 ) 接下来分别讨论b a y e s - e s s c h e r 保费、g e r b e r - e s s c h e r 信度保费的渐近性质 定理3 2 假设e i x 2 e 2 “】 o o 则有墨恐h i a 厶】= h x i o 几乎必然 证明： 记k = x e “，y = x e 脒则 m ，蚝，k ，n 对给定0 是独立同分布的 由z e ”，z 20 ，关于z 的单调性，有 一( x z ，砭，) = 口( m ，硷，k ) ，( 3 1 ) i e ，由( x 1 ，x 2 ，) 生成的一域与由( m ，酶，k ) 生成的d 一域是一致的且由 定理中假设知y 是平方可积的因此，由定理3 1 ， e l y i y , ，砼，k 】一e 【y i o 】a 8 ( 3 2 ) 再由( 3 1 ) 式得 e x e 脒 蜀】一e x e “。1 0 1 a 8 类似的， e e 6 x i ：a 】一e e “x f o 】 n s ( 3 3 ) 即， h x l x j = 紫酱一紫哿叫即】a “ 定理3 2 得出了b a y e s - e s s c h e r 保费具有相合性的结论 接下来，将阐明g e r b e r - e s s c h e r 信度保费扩个不理想的性质：下面的定理证明了 扩仅在某些特殊情况下收敛到个体e s s c h e r 信度保费h x i o 换句话说，若h x i o 】不 第三章经验费率的相合性华东师范大学硕士论文1 4 属于那些情况，则无论索赔信息多么丰富，扩也不会收敛到h x l e 因此这个性质对 z x t e 】的信度估计扩来说是很遗憾的 定理3 3 g e r b e r - e s s e h e r 信度保费扩几乎必然收敛到个体e s s c h e r 信度保费u x l o 】 的充要条件是 h x i o 】= n p ( e ) 4 - 6( 3 4 ) 其中a , b 是常数，p ( e ) = e i x le 】 证明：首先证明充分性： 把h x i o 】= n 卢( e ) 4 - 6 带入到( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式，得 牡崭褊 ：! 堕：也! 旦! ! v a t 阻( e ) 4 - d v a z i x l e 】 又由大数定律知，叉p ( e ) ，从而有 矿= ；+ x + ( 黼一矿) e 山( e ) 】 = 。又一z * e + 阻( e ) 】4 - e + h x i o 】 = ，x z * e 阻( e ) 】4 - a e + 阻( e ) 】4 - 6 _ + n 卢( e ) + bn a , sn _ o o = h x l e 】 下面证明必要性t 注意到 矿一掣v 群a t ”n o o 。 山( e ) 1 。 从而有 矿= ，犀一e 阻( e ) 】4 - e + h x i o 】 一掣群岬) - e 删”叩 x i e 肌矗鹪他一m = 旦竺：鬟群- “( e ) + e 4 【h 【x i e 】一旦! ：8 群e 阻( e ) 】 令 。=旦!8群，6=ehxie】一cov*哥ih；了x豇lie矿,#(e)e阻(e)】， 则a , b 为常数由假设，扩+ h x l e n 从而( 3 4 ) 式成立即定理得证 第三章经验费率的相合性华东师范大学硕士论文1 5 下面列举( 3 4 ) 分别成立和不成立时的例子 例3 1 考虑如下情况，给定变量0 ，x l ，j 已，五。，x 是独立同分布的，耳服从p o s s o n ( o ) 容易验证h x le 】= o e h ，p ( e ) = 0 ，从而有h x i o 】= n p ( e ) + b ，其中o = 砂，b = 0 即由定理3 3 知g e r b e r - e s s c h e r 信度保费收敛到个体e s s c h e r 信度保费几乎必然然而 若将上面p a i s s o n ( o ) 改为指数分布e x p ( o ) ，则g e r b e r - e s s c h e r 信度保费几乎必然收敛 到个体f _ 酗c h e r 信度保费将不再成立，事实上现在日1 0 1 = 百b ，p ( e ) = 百1 3 2n e w - e s s c h e r 信度保费的相合性 当经验索赔数据充分多时，对信度保费来说无限趋近个体保费是合理的要求然而 上节内容可知g e r b e r - e s s c h e r 信度保费扩在实际中不是一个好的选择与扩不同的是 新定义的保费j 在合理的条件下就可以几乎必然收敛到个体e s s c h e r 信度保费，这将在 下面的定理中阐明 定理3 4 若墨，恐，j 乇，x 非负且口2 e 2 “。】有限，则l i m6 = h i x i o 】a s 证明：我们将分下面几步完成定理证明一 第一步由 ：妻r = l 墨e 懈一e 阻“l e 】a s 及：喜e 一e 【e 腻i e 】地 得 h 。i x 】一h x l o 】a 8 ( 3 5 ) 第二步接着证明 厶( e ) - h x i o 】n s( 3 6 ) 第三章经验费率的相合性华东师范大学硕士论文1 6 到本步结束，记 i 厶c e ) 一h 【x i e 】i = l e 【髅一丽e x 矿x l e j e 】l i e 疑警一笔掣i e + i e 訾掣一e x d x l e e i + e 【x e h x o 垒1 1 + 1 2 n 易知e “矗他对所有非负的h 和墨从而有 r = 1 = l e 剿笔幽 删黜铲 2 | e l 2 e ：喜c a 。e j ；一e 。x e x i e ， 2 ie ) 1 7 2 v a r 瞧叫 = 1 w r 胪i e ) l 2 一s 进一步，由于办l 及办_ 可；丽，由控制收敛定理得 厶0 口，s 即得( 3 6 ) 式成立 第三步我们验证下面等式成立 l i me 魄( e ) 】= e + i h l x l e n 一 ( 3 7 ) 第三章经验费率的相合性 华东师范大学硕士论文1 7 争买上，由于 厶( e ) = e 【攀i e 】e 【至学j e 】= e 【x e x i 。 及 e ( e e x l e d v i e * ( e x 2 e 2 h x i o ) 、，僵f 口曩网 o o 由l e b e s g u e 控制收敛定理和( 3 6 ) 式，我们有 。 一l i r a 。e 厶( e ) = e + 也巴厶( e ) j - e h x i e l 第四步再证明下面等式 。l 。i r a 。c o y ( h x i o ，厶( e ) ) = v 缸。( h 【x i e l ) ( 3 8 ) 由于 h x l e 厶( e ) h i x l e s i x e 槭i e 】 及 e ( h i x l e 】e i x e h x i e 】) = e ( e 矿 x e “x l e ) = s 可e x 2 e 2 h x 。 由l e b e s g u e 控制收敛定理得， 由于 ：骢c o v + ( h x l e ，厶( e ) ) = 。l i m 。e + h 陋i e 】厶( e ) 】一e h x l e 尝m o o e 厶( e ) = e 1 n i x i e 2 卜( e h x i o i ) 2 = v a x h i x l e l 第五步考虑如下等式 。1 i r a 。v a r + ( 厶( e ) ) = v a t ( h 1 0 ) ( 3 9 ) ( a l e ) 2s ( e x e “x l i e ) 2se ( x 2 e “。l e ) 第三章经验费率的相合性华东师范大学硕士论文1 8 及 e e ( x 2 e 2 “。l e ) 】= e i x 2 e 2 “x 】 ， 同样由l e b e s g u e 控制收敛定理得， 。l _ + i r a 。v a t ( 厶( o ) ) = 。1 i m 。e 【，n ( e ) 2 】一，坚恐( e 嘛( e ) 】) 2 = e ，熄厶( e ) 2 一( f