（理论物理专业论文）探讨quintessence包围的schwarzschild黑洞时空.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文所探讨的是q u i n t e s s e n c e 对s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空的影响。近年来， q u i n t e s s e n c e 作为暗能量模型中的一种已经成为物理学界所关注的一个热点问题。另一 方面黑洞一直以来是现代物理理论中一个具有吸引力的研究对象。探讨q u i n t e s s e n c e 对s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空的影响，将有助于我们进一步深入地理解暗能量和黑洞的一 些特性。 本文首先考虑了q u i n t e s s e n c e 和标量场的质量对s c h w a r z s c h i l d 黑洞的似正规模 的影响。我们用三阶w k b 方法计算了q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空的 有质量标量场的似正规模。我们发现q u i n t e s s e n c e 和标量场的质量对似正规模的影响 很大，因为q u i n t e s s e n c e 和标量场质量的引入使得似正规模频谱衰减变慢。除此之外， 似正规频谱的实部随着标量场质量的增加而线性地增加，虚部的绝对值随着标量场的质 量增加而减少。并且似正规频谱有一个极限值，这些都将有助于我们获得似正规频谱的 数据。这样我们就有可能通过观测数据来研究q u i n t e s s e n c e 和黑洞的性质，从而来推 测出暗能量的一些性质。 本文其次考虑了q u i n t e s s e n c e 对s c h w a r z s c h i l d 黑洞熵的影响。我们用薄层 b r i c k w a l l 方法计算了q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空的熵。我们发现 由于q u i n t e s s e n c e 的存在，黑洞的熵变成了两个视界面积的和的四分之一。也就是说对 于黑洞的熵的贡献不仅来自于黑洞视界还来自于宇宙视界。并且这个体系的熵是和宇宙 中q u i n t e s s e n c e 的含量有关。这主要是因为q u i n t e s s e n c e 产生了宇宙视界并改变了原来 s c h w a r z s c h i l d 黑洞的黑洞视界的大小，这就导致了体系的熵变成了两个视界面积的和的 四分之一，这也就再一次揭示了黑洞的熵与视界面积之间的内在联系，也更进一步揭示 了b r i c k w a l l 模型的本质。 关键词：0 u j n t e s s e n c e ；s c h w a r z s c h 1 d 黑洞；似正规模；黑洞熵 探讨q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r - z s c h i l d 黑洞时空 d i s c u s s i o no nas c h w a r z s c h i l db l a c kh o l ew i t hq u i n t e s s e n c e a b s t r a c t t h ei n f l u e n c eo fq u i n t e s s e n c et os c h w a r z s c h i l db l a c kh o l ei sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r r e c e n t l y ，q u i n t e s s e n c ea so n eo fd a r ke n e r g yc a n d i d a t e sh a sb e e no n eo ft h e “h o t s p o t s i n p h y s i c sf i e l d i nm o d e r np h y s i c s ，a n o t h e ra t t r a c t i v e0 b j e c ti sb l a c kh o l e t h ei n v e s t i g a t i o no f t h ei n f l u e n c eo fq u i n t e s s e n c et os c h w a r - z s c h i l db l a c kh o l ew i l lh e l pu sf u r t h e ru n d e r s t a n d s o m ep r o p e r t i e so fd a r ke n e r g ya n db l a c kh o l e h lt l l i s p a p e r , t h ec o n t r i b u t i o no fq u i n t e s s e n c ea n dt h em a s so ft h es c a l ef i e l dt o q u a s i n o r m a lm o d e so fs c h w a r z s c h i l db l a c kh o l ei sr e s e a r c h e da tf i r s t t h eq u a s i n o r m a l f r e q u e n c i e so ft h em a s s i v es e a l a rf i e l di nt h eb a c k g r o u n do fas c h w a r z s c h i l db l a c kh o l e s u r r o u n d e db yq u i n t e s s e n c ea r ee v a l u a t e dw i t ht h et h i r d o r d e rw k bm e t h o d i ti sf o u n dt h a t t h eq u a s i n o r m a lm o d e sa r eg r e a t l yi n f l u e n c e db yt h eq u i n t e s s e n c ea n dt h em a s so fs c a l a rf i l e d ， b e c a u s e 也ei n t r o d u c t i o no ft h eq u i n t e s s e n c ea n dt h em a s so f s c a l a rf i e l dl e a d st ol e s s d a m p i n go ft h eq u a s i n o r m a lm o d e s m o r e o v e r , t h er e a lp a r to ft h ef r e q u e n c i e sl i n e a r l y i n c r e a s e s ，w h i l et h em a g n i t u d eo fi m a g i n a r yp a r tl i n e a r l yd e c r e a s e sa st h em a s so fs c a l a rf i e l d i n c r e a s e s a n dt h eq u a s i n o r m a lf r e q u e n c i e sh a v eal i m i t e dv a l u e ，s oi ti se a s i e rt od e t e c tt h e q u a s i n o r m a lb ye x p e r i m e n t i ti sp o s s i b l et oi n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so fq u i n t e s s e n c ea n d b l a c kh o l eb yt h ee x p e r i m e n td a t u m c o n s e q u e n t l y ，i tc a nb eu s e dt oc o n j e c t u r et h ep r o p e r t i e s o fd a r ke n e r g y i nt h i sp a p e r ，h o wt h eq u i n t e s s e n c ea f f e c t st h ee n t r o p yo fb l a c kh o l ei sa l s od i s c u s s e d t h ee n t r o p yo fas c h w a r z s c h i l db l a c kh o l ew i t hq u i n t e s s e n c ei sc a l c u l a t e db yu s i n gt h et h i n l a y e rb r i c k w a l lm o d e l i ti sf o u n dt h a td u et ot h ep r e s e n to fq u i n t e s s e n c e ，t h ee n t r o p yo ft h e s y s t e mb e c o m e s1 4o ft h es u mo ft h ea r e a so ft h et w oe v e n t sh o r i z o n s i no t h e rw o r d s ，t h e c o n t r i b u t i o nt ot h ee n t r o p yo ft h es y s t e mi sn o to n l yf r o mt h eb l a c kh o l eh o r i z o nb u ta l s of r o m t h ec o s m o l o g i c a lh o r i z o n i ti sa l s on o t e dt h a tt h ee n t r o p yo ft h es y s t e mi sr e l a t e dt ot h e a m o u n to fq u i n t e s s e n c ec o n t a i n e di nt h eu n i v e r s e t h em a i nr e a s o ni st h a tq u i n t e s s e n c e g e n e r a t et h ec o s m o l o g i c a lh o r i z o na n dc h a n g et h ei s o l a t e db l a c kh o l eh o r i z o n ，w h i c hi n d u c e t l l a tt h ee n t r o p yo ft h es y s t e mb e c o m e s1 4o ft h es u mo ft h ea r e a so ft h et w oe v e n t sh o r i z o n s t h i sr e c o n f i r m st h a tt h e r ei sa ni n t e r n a lr e l a t i o nb e t w e e nt h ee v e n th o r i z o na n dt h ee n t r o p y ， a n da l s or e v e a l sw h a ti st h eb r i c k - w a l lm o d e l k e yw o r d s ：q u i n t e s s e n c e ；s c h w a r z s c h i l db l a c kh o l e ；q u a s i n o r m a lm o d e s ；b l a c kh o l e e n t r o p y - 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者躲玺盎童： 导师签名：衅 盟年上月冱日 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 磕：曼日期：越：笸之； 大连理工大学硕士学位论文 引言 黑洞一直以来都是现代物理理论中一个具有吸引力的物体。自从h a w k i n g 辐射发现 以来，众多理论物理学家都把目光投向黑洞物理的众多领域，特别是黑洞的熵和黑洞的 似正规模。虽然人们利用大量方法来研究黑洞熵的起源，但是到目前为止对于黑洞熵的 起源还不是很清楚。g th o o f t 提出了b r i c k - w a l l 方法对黑洞熵进行了研究，并取得 很大的成果。可是在b r i c k - w a l l 方法中仍然存在一些无法解释的问题，赵铮等人对其 进行改进提出了薄层b r i c k - w a l l 方法，克服了原来模型中存在的问题，并使得黑洞熵 的物理图像更加的清晰。尽管对黑洞的研究有助于加深对广义相对论、量子力学、热力 学以及统计力学之间关系的理解，然而在我们的宇宙中是否存在黑洞还是未知数。近年 来，对似正规模的研究表明它可以提供一种直接鉴别黑洞是否存在的方法。此外，研究 表明它还与a d s c f t 对应，圈量子引力有着紧密地联系。因此，近年来，黑洞时空的似 正规模已成为人们研究的一个热门课题。 另一方面，大量的天文观测( i a 类超新星，c m b 和大尺度结构) 都表明现在的宇 宙正在加速而不是在减速。然而直到现在，我们还不知道导致宇宙加速膨胀的真正原因。 科学家们为了解释这一现象引入了暗能量模型。所谓暗能量，是指压力与能量密度之比 为负的能量模型。现在最主要的暗能量模型有：宇宙学常数( 真空能) 模型、 q u i n t e s s e n c e 、k e s s e n c e 、p h a n t o m 和q u i n t o m 等等。这些暗能量模型的不同之处是具 有不同的状态参数( 也就是压强和能量密度之比) ，例如，在宇宙学常数模型中， 恒为一1 ；对于q u i n t e s s e n c e 模型，眈可以为常数，也可以发生变化，但是它的取值范 1 围为一1 4 + 4 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 这个过程符合面积定理，是允许的。反之，如果大黑洞分裂成两个小黑洞，分裂后面积 将减小，违背面积定理，因而是不可能的。 按照面积定理，黑洞在演化过程中保持视界总面积不变是可能的，这种过程是可逆 的黑洞过程。相反，视界面积增加的过程则是不可逆的黑洞过程。这一切在形式上与热 力学第二定律非常相似，黑洞的面积很像普通热力学中的熵。 探讨q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r t _ 堑h i l d 黑洞时空 1 2 2 贝肯斯坦一斯马尔公式 1 9 7 2 年，贝肯斯坦( b e k e n s t e i n ) 和斯马尔( s m a r r ) 分别独立给出了k e r r n e w m a n 黑洞的质量，角动量，角速度，面积等参数之间的关系式n 引： 6 m = 圭6 a + q 6 j + v 0 6 q ( 1 6 ) 其中m ，q 分别为黑洞的总质量、总角动量和总电荷。k 为黑洞两极( 0 一o ，万) 处的静电势，q 为黑洞视界的拖曳角速度，a 为黑洞视界的面积，r 为视乔的表面重力。 其中圪和q 分别为： k 2 冬q 1 鲫譬卜瓦a 虿寿 ( 1 7 ) 视界的表面重力是这样定义的：相对于视界静止的质点的固有加速度和红移因子的乘 积，在质点趋于视界时的极限m 。相对于视界静止的质点的固有加速度为6 一、x - g i ，n 。万d 2 r ， 厂_ 一 红移因子为、| - 9 0 0 ，因此视界的表面重力为m 】： 叫嗲一；。互i r 两- r _ ( 1 8 ) ，j - 、上h ， 不难看出，贝肯斯坦一斯马尔公式的微分形式与转动物体的热力学第一定律极为相 似，因为转动物体的热力学第一定律为： 6 u = t 6 s + q 6 - ，+ v 6 q ( 1 9 ) 式中u ，t ，s ，q ，j ，q ，v 分别是系统的内能、温度、熵、转动角速度、角动量、电荷和表面 两极处的静电势。6 u 为系统内能的增加，t 6 s 为系统在过程中吸收的热量，q 6 j 和 y 6 q 为外界对系统所作的功。而方程( 1 6 ) 中的6 m 为黑洞质量的增加，按照质能关系 式e - m c 2 ，也即能量的增加。q 6 j + v 0 6 q 可以看作外界对黑洞所作的功。而圭6 彳似 乎可以看作黑洞在演化过程中从外界吸收的热量。如果这个对比是正确的，则黑洞应该 有与面积成正比的熵s 。ca ，和与其表面重力k 成正比的温度t 长r ，它们应满足 t d s ：羔6 彳。 大连理工大学硕士学位论文 1 2 ，3 宇宙监督假设与极端黑洞 宇宙监督假设告诉我们：存在着这样一位“宇宙监督”，它不允许时空的奇异性裸 露出来，奇点或奇环一定被包裹在视界面之内。从方程( 1 8 ) 可以看出，极端k e r r - n e w m a n 黑洞的表面重力为： r 一0 ( 1 1 0 ) 极端黑洞可以看作是不断地增加黑洞的角动量和电荷的情况下而逐渐形成的。当 k 0 时，极端黑洞形成，单向膜区消失，内外视界重合成一个。如果此时再作一次增 加角动量或电荷的操作，就会使视界彻底消失，内禀奇环裸露出来，从而使时空的因果 性受到破坏，这是宇宙监督假设所不允许的。我们看到，极端黑洞的形成与宇宙监督假 设之间有一定的关系。因此，宇宙监督假设可以转化成如下形式的表述：不能通过有限 次操作，让黑洞的表面重力降低到零。 可见，“宇宙监督假设 和“极端黑洞形成的不可能性这两种对黑洞性质的描述， 十分类似于普通热力学第三定律中谈到的“不能通过有限次的操作使一个热力学系统的 温度降低到绝对零度 。 1 2 4 稳态黑洞视界的表面重力 普通热力学中的热力学第零定律指出热平衡具有传递性，进而可知热平衡的系统各 点具有相同的温度。利用爱因斯坦方程可以证明：k e r r - n e w m a n 黑洞视界的表面重力是 一个常数【1 2 1 。不仅如此，一个渐近平直的稳态黑洞，其表面重力也一定是一个常数。前 面已经提到，在黑洞热力学中r 相当于普通热力学中的温度，由此可见，黑洞的这个性 质非常类似于热力学第零定律。 1 2 5 黑洞力学的四条定律 总结起来，如果把黑洞的视界面积看作熵，把黑洞的表面重力看作温度，那么前面 所述的黑洞的四条性质刚好与普通热力学的四条定律相对应，人们自然而然地称之为黑 洞热力学四定律。 1 第零定律：稳态黑洞视界的温度是个常数。 2 第一定律：能量守恒 6 m ；t 6 s + q 6 j + k 6 q ， ( 1 1 1 ) 探讨q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空 其中t = 为视界温度( 黑洞温度) ，s 一掣彳为黑洞的熵，r 为视界的表面引力， 勰k b 4 k 。为玻尔兹曼常数，a 为黑洞面积。 3 第二定律：黑洞熵在顺时方向永不减少， 6 s 0 。( 1 1 2 ) 4 第三定律：不可能经过有限次的操作把视界的表面引力减少到零，即温度降低 到绝对零度。 这些黑洞性质最初只是和热力学四定律做形式上的类比，1 9 7 3 年h a w k i n g ，b a r d e e n 和c a r t e r 等人指出n 羽，不能把黑洞的温度看成真实的温度，因为黑洞没有热辐射。然 而在此后不到一年，h a w k i n g 用量子效应证明了黑洞的确有热辐射n 卜嘲，温度正是 r = 。可见黑洞确实是一个热力学系统，它有温度，有辐射。黑洞热力学定律不 2 a r k a 是简单的类比，它从不同的侧面真实地反映了黑洞的热性质。 1 3 黑洞的热辐射 如前所述，我们知道黑洞是宇宙中最奇特和神秘的天体、超强引力源、时空的扭曲 者，其超强引力使得连宇宙中跑的最快的光都会被它拉住，它是在时间和空间中形成的 洞。它在不断地吸积着周围的物质，质量增加。这是黑洞的经典图象。然而在1 9 7 4 年， h a w k i n g 发现了黑洞的蒸发现象，从而改变了黑洞的经典图象：黑洞已不再是完全“黑 的，也不单纯是个“洞 ，它既可以通过吸积物质使质量增加，也可以向外发射物质， 而使质量减小。可是黑洞的内部存在单向膜区，视界就是单向膜区的起点，物质只能通 过单向膜区落入黑洞里面，怎么能从黑洞里面跑出来，成为热辐射呢? 下面我们用真空 涨落来解释黑洞的热辐射h 1 。 延伸狄拉克真空的思想，可以得出真空涨落的概念。真空的空间其实并不是严格意 义上的空，因为那样的话，那就意味着那里的诸如引力场和电磁场等等的所有场都必须 是零。根据测不准原理的表述，我们不可能同时对一个粒子的位置和速度取得准确的测 量，对一个量知道得越准确，对另外一个量就知道得越不准确。同样的道理，我们也不 可能同时得到场的准确的数值和它的准确的时间变化率。所以，在空的空间里面场不可 能严格地被固定为零，因为那样它就既有准确的数值( 零) 又有准确的变化率( 也是零) 。 场的数值必须有一定的最小的不准确量或是量子起伏。填满的负能粒子海中，不断发生 负能粒子跃过禁区跳向正能态的虚过程。在这一过程中产生虚的正能粒子和虚的负能空 大连理工大学硕士学位论文 穴。负能空穴也就是正能反粒子。也就是说，在真空中不断产生虚的正、反粒子对。但 是，这一过程十分短暂，产生的正反粒子对又很快湮灭。 测不准原理告诉我们，真空中到处存在着虚粒子的海洋。这种虚粒子海洋同样也出 现在黑洞事件视界周围的空间区域。h a w k i n g 发现对于黑洞来说，量子真空会被它周围 的强引力场所极化。在黑洞之外临近视界的狄拉克海中，虚粒子对不断产生和湮灭，一 个正能粒子和它的负能粒子会分离一段很短的时间，于是就有四种可能( 如图1 1 所示) ： 这对粒子重新相碰并湮灭( 过程i ) ；负能粒子通过隧道效应穿过视界被黑洞捕获，而 正能粒子呈现于外部世界，这相当于黑洞向外界辐射了一个正能粒子( 过程i i ) ；正能 粒子被捕获而负能粒子逃出( 过程i i i ) ；双双落入黑洞( 过程i v ) 。h a w k i n g 计算了 这些过程发生的几率，结果发现过程i i 才能导致黑洞热辐射的产生。 时 量 子 真 空 图1 1 黑洞附近的真空涨落导致霍金辐射 f i g 1 1 t h ev a c u u mf l u c t u a t i o nn e 盯b l a c kh o l el e a d st oh a w k i n gr a d i a t i o n 我们知道黑洞内部的单向膜区有一个特点：允许负能实粒子存在。假设虚粒子对中 带正能的是粒子，带负能的是反粒子。负能反粒子落入黑洞后，将顺着时间进展穿过单 向膜区到达奇点，使那里的质量减少。这是与黑洞外部、我们通常的真空不同的。在通 常的真空中，不允许有负能实粒子存在，虚粒子对中的正能粒子掉进黑洞，负能的那个 留在外面实化是不可能的。负能虚粒子虽然能在普通真空中存在，但那都是短暂的，不 可测量的。实粒子才是可以长时间存在、可以测量的东西。由于黑洞内部的单向膜区允 许负能实粒子存在，黑洞外部的真空不允许它们存在，所以应该是负能粒子掉进去，正 能的一个留在外面实化并飞向远方。这就导致了一种不对称的、可观测的效应产生，这 就是霍金辐射的一种机制。 探讨q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a m s c h i l d 黑洞时空 到目前为止，对黑洞h a w k i n g 辐射的计算和h a w k i n g 温度的确定已经取得了比较满 意的结果。因此，人们对于黑洞具有热性质坚定不移。相比之下，人们对于黑洞熵的理 解却并不那么令人满意。从面积定理和贝根斯坦一斯马尔公式可以得出黑洞的面积相当 于热力学中的熵，但是黑洞的熵的起源到底是什么目前还是不很清楚，在第四章我们将 简单地介绍几种解释。 大连理工大学硕士学位论文 2o uin t e s s e n c e 包围的s c h w arz s c hi id 黑n , - t 空 近年宇宙学研究的一个里程碑性的重大成果之一是宇宙正处于加速膨胀而且宇宙 中可能存在一种负压强的暗能量。并且美国 s c i e n c e 期刊所评选的2 0 0 3 年度世界十 大科技成就中将“证实了宇宙主要由神秘的暗物质和暗能量组成”列为首项。支持宇宙 加速膨胀和暗能量存在的主要证据有两个。直接证据是对遥远的i a 型超新星所进行的大 量观测，观测表明宇宙在加速膨胀而非传统认为的减速膨胀。按照爱因斯坦引力场方程， 加速膨胀的现象推论出宇宙中存在着负压强的、能起斥力作用的暗能量。间接依据是来 自于近年来对微波背景辐射的研究。此研究精确地测量出宇宙中物质的总密度。特别是 2 0 0 3 年初公布的威尔津森微波背景辐射各向异性探测器( 眦p ) 观测结果，支持我们的 宇宙中确实存在暗能量，那么暗能量是什么? 有什么样性质? 本章2 1 节我们将简单的 介绍一下暗能量；2 2 节我们将详细地讨论暗能量模型中的一种q u i n t e s s e n c e 模型；2 3 节将简单介绍q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空。 2 1 暗能量简介 1 9 9 8 年，美国的两个研究超新星的小组利用他们独立发现的一些i a 型超新星的数据 得出了一个惊人的结论，我们的宇宙不但在膨胀，而且在加速膨胀。在爱因斯坦的广义 相对论里，为解释宇宙的加速膨胀，在宇宙的能量成分中人们不得不引入了一个奇异的 分量。说它奇异是因为这一能量成分有较大的负压强。因为在标准宇宙模型框架下，爱 因斯坦引力场方程为： 竺。一4 z g ( p + 3 p )( 2 1 )一l 一_ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ - - - 一 、6 ij a3 其中口为宇宙标度因子，g 为引力常数，p 和p 分别为宇宙中物质的压强和能量密度。 加速膨胀即口 0 ，就要求压强为负：p 一芒。近几年的基于地面的、气球的和卫星的 3 各种各样的天文观测表明，我们的宇宙是空间平坦的；在极早期( 宇宙诞生的1 0 刁2s 左 右) 经历过极短时期的加速膨胀；宇宙能量中的大约7 3 为暗能量，2 2 为暗物质，5 为由重子组成的普通物质，以及忽略的微波背景辐射。可是这些天文观测只告诉我们暗 能量不发射也不吸收光子，在大尺度上不结团，在宇宙空间中的分布是近似均匀的，否 则它就会在星系或星系团中有巨大的局部引力效应。另外，暗能量只是在宇宙演化到很 近的过去，尤其是在结构形成之后才逐渐起主导作用，在早期所占的比例很小，否则， 探讨q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空 大爆炸宇宙学的成功之处如原初核合成及结构形成等都要遭到破坏。但是，占据今天宇 宙密度7 3 的暗能量究竟是什么呢? 这个问题至今还是一个谜。虽然天文观测揭示了暗能 量的存在，但是它们目前在探讨暗能量的本质方面提供的信息非常少。为了解释宇宙加 速膨胀、探索暗能量属性，理论家们提出了很多暗能量模型。现在主要的暗能量模型有： 宇宙学常数( 真空能) 模型n 8 1 、q u i n t e s s e n c e 1 7 1 、k - e s s e n c e 1 钔、p h a n t o m 饽1 和q u i n t o m 1 等等。这些暗能量模型的不同之处是具有不同的状态参数( 也就是压强和能量密度 之比) ，例如，在宇宙学常数模型中，恒为一1 ；对于q u i n t e s s e n c e 模型，心可以为 1 常数，也可以发生变化，但是它的取值范围为一1 蛾 0 ，则可得它的状态参数是 - 1 r h ，并且假定r l 时，矽- 0 。这一节我们将以s c h w a r z s c h i i d 黑洞为例介绍b r i c k - w a l l 模型。s c h w a r z s c h 订d 黑洞的度规为： d s 2 一f 1 一丝1d f 2 + f 1 一丝1 - l d r 2 + r 2 d 0 2 + r 2 s i n ：o d 2 ( 4 1 ) k ， ，k ， s c h w a r z s c h il d 黑洞的视界位置为r n 一2 m ，其视界面上的表面重力为： r ；击 ( 4 2 ) 4 m 大连理工大学硕士学位论文 从( 4 1 ) 可知，度规行列式为： g = 一，4s i n 2 p 因此，s c h w a r z s c h il d 黑洞的逆变度规张量为： g = 0 o 1 ，2 o ( 4 3 ) ( 4 4 ) 把( 4 3 ) 和( 4 4 ) 代入标量粒子应遵循的k l e i n g o r d o n 方程： 告a ( g 卢7 厅，矿) + “2 = o ( 4 5 ) 由于时空的球对称性质，可以分离变量( ，9 ，矽，r ) = p 一曲缈( ，) 圪( 9 ，矽) ，从而得其径向方 程为： ( 一半) 啪，+ 净2 ( 卜2 ，m 胪 d h 竽m 垆6 ， 设解为e ( r ) = p 胁”，采用w k b 近似不难得到： 砰= 掣烀 ( 一钉n + 竽) 】( 1 半) - 1 7 ， 其中t 为径向波数。根据正则系综理论，标量粒子体系的自由能可以表示为： p f = i n ( 1 - e e ) ( 4 8 ) 作半经典处理，视能态为连续分布，因而求和改为求积分： p f = v d e g ( e ) h ( 1 - e p e ) = r d r ( e ) l n ( 卜p 肚) 川脚盱r 翟白晒卅r 器 。 。 。 ，一 m一， 0 2 0 0 一 ，一 、 m r 2 一 o o o 一 ，一 一 探讨q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a t z s c h i l d 黑洞时空 其中r ( e ) 为系统的能量小于等于e 的微观态数，g ( e ) = 望兽为态密度。由半经典量 口乜 r ( 功2 丢_ ，f 朋) 2 莩( 2 “1 n ( e f ) 2j f ( 2 “1 ) 讲寺p ( ，e z 沙 ( 4 1 0 ) 一昙f 施p 眇，刃智 他 茗髯n , 墨t 曼蒜e a e - 1 并。： 他 ( 1 并n + 竽) 】( 1 _ 并2 一 f 一番 1 6 砒q + 三r + 3 2 m 3h 1 ( 鲁) 】 ( 4 1 3 ) 洲2 嚣= 黑4 5 h 了( 2 圳 ( 4 1 4 ) a 8 ” 。 、 岛= 毒= 薏珊m 他 大连理工大学硕士学位论文 为了得到s ；鲁的结果，只要调整紫外截断因子j l l 即可。由_ ，撕以及( 4 1 4 ) 和( 4 1 5 ) 斗 不难得出截断因子应满足的条件为： 1下 h - 二一a 丑 ( 4 1 6 ) 7 2 刀 l9 0 可见，b r i c k w a l l 方法是采用统计力学的方法来计算黑洞熵的一种有效手段。从本质上说 黑洞与普通的统计热力学系统有很大的不同，黑洞只是一个具有很强引力场的时空几何 体，而一般的热力学系统却都要包含物质成分( 原子、分子等等) 。因此，在一般的热 力学系统我们可以把系统的热力学性质解释为它的成分的统计结果，但是对于黑洞却不 那么简单。g th o o f t 正是从二者的类比中首先提出了b r i c k w a l l 模型，并且获得了很大 的成功。 4 2 用薄层b ri c k - w a l i 方法计算s c h w a r z s c h i d 黑洞的熵 从4 1 节中我们已经看到要通过b r i c k - w a l l 方法计算黑洞的熵，并得到与面积成 正比的结果，必须首先采取小质量近似，然后在积分结果中把不与面积成正比的部分舍 弃。虽然从b r i c k - w a l l 方法诞生之日起，人们就一直这样使用着，但仔细审视之后不 得不承认这种处理并不是十分令人满意。首先把r 项解释为远距离真空的贡献，那么再 利用b r i c k w a l l 方法求得的自由能中哪些是黑洞的贡献，哪些是真空的贡献，如何区分? 其次，对数项是不与面积成正比的，但为什么又不得不忽略呢? 最后，b r i c k - w a l l 方法 只能适用于计算处于热平衡状态的黑洞，而对于非热平衡状态的黑洞则无能为力。 赵峥等人对b r i c k - w a l i 模型进行了改进，提出了薄层模型，这种模型认为，黑洞 的熵来源于视界附近的一个薄层量子场的贡献，原因是态密度在这里变得很大。另一方 面，黑洞的热辐射是视界附近真空涨落导致的结果。涨落产生正反粒子对，最自然的想 法是，留在视界外部形成h a w k i n g 辐射的粒子与进入黑洞内部的另一个粒子构成纠缠态， 认为黑洞熵起源于视界附近量子场的想法符合纠缠熵的思想m 7 2 1 。这样只要假设在视界 附近的场与黑洞处于局部热平衡，那么所有的统计规律都有效，计算动态黑洞的熵应该 是可以的。因此薄层模型不但适用于静态的黑洞和稳态的黑洞，而且也适用于动态的黑 洞熵的计算。下面以s c h w a r z s c h i l d 黑洞为例来进行说明薄层b r i c k - w a l l 方法。 薄层b r i c k - w a l l 方法只是对原来的b r i c k - w a l l 方法中自由能的计算中存在的问 题进行了解决。在原来的b r i c k - w a l l 方法中计算( 4 1 2 ) 式时，我们考虑了u ：0 和 l 厂，只保留h 1 和r 项得到： 探讨q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空 n 一若【1 6 砒。1 + 三r + 3 2 m 3 l i l 噜) 】 ( 4 1 7 ) 考虑到第一项为黑洞视界附近的贡献，r 项为远距离的围绕系统的真空所产生的作用故 略去，并忽略掉第三项的发散项。这些近似的处理方式很叫人费解，赵峥等人就提出了 薄层模型，解决了这些问题。即把r 的积分限应取为【白+ ，白+ 占+ 6 】，即只取视界附近 的一个薄层，由( 4 1 2 ) 式可得： 剖2 。鬈”西南p 彳( 1 - 才汪1 8 ) ， 由于占，6 均为正的无穷小量，因此被积函数中“：前面的系数f ，1 一丝1 自然趋近于零，从 r ， 而简化了被积函数。值得注意的是，这里并不是人为地取小质量近似，而是因为积分区 间限制在视界附近一个薄层后自然得到的结果。考虑积分变量，的积分区间为视界附近 的一个薄层，计算方程( 4 1 8 ) 得： 委j ：。黜“南 一委南c 驯去一争一一等志 从方程( 4 1 9 ) 可以看出，采用薄层b r i c k - w a l l 方法后自由能的计算结果自然变为只 有一项，后面我们会看到选取适当地截断因子后，这一项就对应于熵与面积成正比的结 果。而在原来b r i c k - w a l l 方法中积分得到的f 项和对数项，在这里没有出现。则 s c h w a r z s c h il d 黑洞的熵为： s ；卢：堡。百1 2 8 z a m 4 ! l( 4 2 0 )。 a 卢4 5 f 1 3( + 6 ) 49 0 f l ( + 6 ) 取截断因子夏差两- 9 0 户一9 f 0 ，则明显可以看出熵与黑洞视界面积成正比。 从上面的计算可以看出，采用薄层模型，无须设质量u 为0 ，也无须考虑一些项的 取舍问题，并且因为只考虑视界附近的一个薄层中量子场的贡献，故不仅能适用于静态 和稳态黑洞，而且也适用于动态黑洞熵的计算。 大连理工大学硕士学位论文 _ r _ _ - _ _ _ _ 一 4 3 用薄层b r ic k w al i 方法计算o u in t e s s e n c e 包围的 s c h w a r z s c hi id 黑洞时空的熵 q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h il d 黑洞时空的度规为： d s 2 = ( 1 一_ 2 m 一寿) 出2 一( 1 一_ 2 m 一寿) - 1 办2 _ r 2 8 2 + s i n 2 8 妒) ( 4 2 1 ) 令m 1 ，时空的视界由下面的方程决定： 1 号一南一o ( 4 2 2 ) ，-，_ 从( 4 2 2 ) 式可以看出时空的视界与口和有关。通过计算我们发现当方程( 4 2 2 ) 对于 任意一1 一1 3 的值都有实根时，需要口的最大值为0 0 3 7 0 而从岛一一三；芝击，我 们可以知道口的值远远小于0 0 3 7 ，这也就意味着这个时空有两个视界，一个为黑洞视 界，另一个为宇宙视界。 令 ，( r ) j 1 寿 ( 4 2 3 ) 它可以被改写为： ，( r ) 一南( r r - ) ( r 一) 也一，) ( 4 2 4 ) 其中r 为黑洞视界，为宇宙视界，r - - - ( r + ) 其无物理意义，故舍去。视界的表面 引力为：k i l _ a ，而视界对应的温度为： za r 五a 丢t 石l 石a ( 4 2 5 ) 则q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i i d 黑洞时空的黑洞视界和宇宙视界所对应的温度 分别为： 瓦一去专也_ r ) 瓴一“( 4 2 6 ) 探讨q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞时空 互一石1 南也训( 叫 ( 4 2 7 ) 对于任意的的值是很困难地解( 4 2 2 ) 方程，因此我们仅仅地讨论当一一吾时， q u i n t e s s e n c e 对黑洞的温度的影响。当。一喜时，q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞的黑洞视界和宇宙视界分别为： 气一1 1 - 4 5 - - - 西) ( 4 2 8 ) 一去( 1 + 而) ( 4 2 9 ) 我们都知道s c h w a r z s c h i l d 黑洞的黑洞视界为： 一2 ( 4 3 0 ) 如果口 素，并且我们知道口的值是远远小于三8 ，所以我们可以得到：5 吃乞 ( 4 3 1 ) 于是q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞的黑洞视界和宇宙视界所对应的温度分 昙i i ，灯 瓦 t 一扛 一口 ( 4 3 2 ) 因此我们可以得到： i 瓦 正 ( 4 3 3 ) 从( 4 3 3 ) 式可以看出由于q u i n t e s s e n c e 的存在导致了s c h w a r z s c h i l d 黑洞温度的降低。 并且q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h il d 黑洞体系为一个非热平衡体系。所以我们采 用薄层b r i c k - w a l l 方法计算体系的熵。 2一砰2一彳 1一锄l一锄 大连理工大学硕士学位论文 下面计算q u i n t e s s e n c e 包围的s c h w a r z s c h i l d 黑洞的黑洞熵。有质量的标量场在 弯曲时空中遵循克莱因高登方程，把( 4 2 1 ) 代入( 4 5 ) ，并且令 妒( ，日，驴，) 。e - 近 q ( r 溉p ，妒) ，然后进行分离变量，我们可以得到径向方程为： ( 1 寿) 啪，+ 净2 一