（应用数学专业论文）概率gelfand宽度.pdf

西华大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 娑另纛劾掺哆搿荔移 西华大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于西华大学，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阕，西 华大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 溉黼始= ；慝哆： p 孕夕炙 甚强：沙f f 毛舀 甚凝z , , oi l ，参 西华大学硕士学位论文 摘要 本文合理地给出了概率框架下g e l f a n d 宽度的定义，即：设日是h i l b e r t 空间， 且可以连续地嵌入线性赋范空间x 中，为日上的概率测度令艿( o ，1 】，h 关于测度 在z 中的g e l f a n d ( 栉，万) 一宽度为 刃( 日，x ) = 鳟峥s u p 8 捌 w 工e ( 日、g ) n f 其中，f 是日的余维数不超过以的子空间，g 取遍日的b o r e l 域上所有测度不超过万的 子集在此基础上，讨论了概率框架下线性宽度和6 e l f a n d 宽度的联系，得到了有限维 空间在概率框架下g e l f a n d 宽度的精确阶，并利用离散化思想和技巧，估计了一元 s o b o l e v 空间分别在厶空间和空间中概率g e l f a n dh - 宽度的精确阶 关键词：宽度：概率框架；g e l f a n d 宽度：一元s o b o l e v 空间 i i l 厶a n d 毛s p a c e u n d e rt h ep r o b a b i l i s t i cc a s es e t t i n g k e yw o r d s ：w i d t h ；p r o b a b i l i s t i cc a s es e t t i n g ；g e l l a n dw i d t h ；s o b o l e vs p a c e i i 西华大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 弓i言1 1 宽度的基本概念和主要性质3 1 1一致框架下宽度的基本概念和主要性质3 1 2 概率框架下的宽度的概念4 2 概率框架下线性宽度和g e l f a n d 宽度的关系6 3 有限维空间在概率框架下的g e l f a n d 宽度7 4 s o b o l e v 空间在乞一尺度下的g e r l a n d ( n ，6 ) 一宽度。l o 5s o b o l e v i n 生s q 一尺度下的g e l f a n d o ，6 ) 一宽度1 6 参考文献2 3 附录a 附录内容名称2 5 攻读硕士学位期间发表的论文及科研成果2 6 致谢2 7 l i i 西华大学硕士学位论文 引言 函数逼近论是一门古老而又年轻的学科，它是函数理论中最活跃的分支之一，与泛 函分析、计算数学等众多数学分支有着密切的联系，主要研究线性与非线性的逼近方法： 宽度问题、最佳逼近阶的估计等f l 】宽度问题作为目前函数逼近论中的一个非常活跃的 研究方向之一，其主要目的是寻找函数类在一定意义下的最佳逼近集和最佳逼近方法， 并对最佳逼近阶进行估计m i c c h e lli ，t r a u b t 2 3 , 4 讨论了宽度理论与算法复杂性的联系， t r a u b 、s u i d i n 、l a r l d n t 只6 7 】讨论了宽度理论与最优恢复理论的重要联系因此，本文有 着重要的理论意义和广泛的实际应用背景 宽度问题的研究开始于1 9 3 6 年，由a n k o h n o g o r o v t 8 】 做了开创性的工作他在 文献【2 】中提出了后人称为k o l m o g o r o vn 一宽度的基本概念，并讨论了一元s o b o l e v 空间 晖( r ) 在厶! 中的k o l m o g o r o vn 一宽度精确阶但他的工作并没有引起函数逼近论研究者 的重视，在此后直到二十世纪五十年代末，此问题的研究一直没有得到发展直到1 9 5 4 年，s t e c h k i n t 9 】给出了有限维空间在一些特殊的情形下宽度的精确阶，后经v m t i k h o m i r o v t l 0 , 1 1 1 、p i c t s h t l 2 l 、s t e i n t ”】、i s m a g i l o v t l 4 】、k a s h i n t l 5 1 6 1 等人在这方面努 力，取得了以下丰硕的成果第一，在广泛的抽象空间内建立了宽度理论；第二，完成 了对一些重要函数类的宽度的定量估计，对一批重要函数类的宽度找出了极子空间并构 造了最佳的逼近工具；第三，建立了宽度理论和一些别的数学分支理论之间的联系对 于多元函数宽度问题的研究，始于b a b c n k o t l 7 】，而后在g a l e e v t l 8 】、t c m l y a k o v t l 9 】、孙 永生等中外学者的卓越工作下，多元函数的宽度问题取得了比较好的成果 随着科技的发展，计算已经成为重要的生产工具，然而使用的条件有时会受到一些 限制，因此在解决问题时，在众多算法中选取最小计算成本的算法就显得特别重要了， 这就是计算复杂性所要解决的问题计算复杂性是指在给定误差范围内对求解问题利用 其信息解决该问题所消耗的最小计算机资源 经典的宽度未能给出对于大多数元素的误差估计，算法的误差和成本的不同，导致 了不同的框架( s e t t i n g ，或称为计算模型) ：最坏情形的框架( w o r s tc a s es e t t i n g ，或 一致框架) 、平均框架( a v e r a g ec a s es e t t i n g ) 、和概率框架( p r o b a b i l i s t i c s e t t i n g ) 在最坏情形的框架下，成本和误差是通过函数类中的“最坏 的元素的特 征来定义的，p i n k u s 在其专著脚】中有详细的介绍v o r o n i n 、t e m i v g a l i e v 、m a t h e 、 m a i o r o v l 2 1 砭地2 4 1 分别在平均框架和概率框架下建立了宽度理论，并分别称为平均宽度 和概率宽度m a i o r o v t 2 3 搿】，房艮孙和叶陪新 2 5 , 2 6 1 讨论了有限维空间和一元s o b o l e v 空 概率c - e l f a n d 宽度 间的平均宽度和概率宽度的精确阶，陈广贵和房艮孙【2 7 2 8 1 讨论了具有混合偏导数的多元 s o b o l e v 空间的平均宽度和概率宽度的精确阶 在本课题中，我们在概率框架下给出概率g e l f a n dn 一宽度的合理定义，得到有限 维空间和一元s o b o l e v 空间的概率g e l f a n dn 一宽度的精确阶 2 ；4 譬 西华大学硕士学位论文 1 宽度的基本概念和主要性质 1 1 一致框架下宽度的基本概念和主要性质 设x 是具有范数| i - l | x 的赋范线性空间，f 是x 的线性子空间，形是x 的非空子集， 对于石w ，称： p ( 工，f ，石) ：_ 孵i i 石一y k 为x 到，的距离；称： e ( w ，f ，x ) ：= s u p e ( x ，f ，x ) 工e 矿 为集合矿对f 的偏差因此e ( w ，f ，x ) 反映了矽中的最坏的元素到f 的最佳逼近 定义1 1 设x 是具有范数1 1 i l z 的赋范线性空间，形是x 的非空子集，玎en ，分别称： 吃( 形，x ) ：= 唾f e ( w ，f ，朋 - _ = i n f s u p i n f i l z y e x y k 一 丘” “ 和 九( 矿，x ) ：- 唾f s g p l l x 一乙少i z 为w 在x 中的k o l m o g o r o vn 一宽度和线性n 一宽度，其中e 取遍x 中维数不超过n 的 所有线性子空间，而z 取遍x 上秩不超过n 的有界线性算子 定义1 2 设x 上存在n 个线性无关的连续线性范函研0 ) ) 篙，满足 f = 缸x ：彳( 石) = 0 ，i = 1 ，2 ，万) 我们则称x 的子空间f 的余维数是刀，并用c o d i m l ”表示f 的余维数 定义1 3 矿在x 中的g e l f a n dn 一宽度定义为： d 4 ( 形，艄= i n ，。fs u p x ， 其中f 取遍x 中所有余维数不超过n 的子空间，并且i n f o = 0 0 有关k o l m o g o r o vn 一宽度、线性n 一宽度和g e l f a n dn 一宽度的详细介绍，可参见 p i n k u s 的专著f 2 0 】 下面我们列举几个主要性质： 性质1 1 1 2 0 i 设形是x 的非空子集，则 ( 1 ) 五( 形，x ) 吃( 形，z ) 3 概率c - e l f a n d 宽度 ( 2 ) 丸( 矽，x ) d “( 形，x ) 设】，是具有范数0 | l r 的赋范线性空间，用l ( x ，聊表示从x 到】，的有界线性算子构成 的集合 定义1 4 设t l ( x ，y ) ，以表示x 中的单位球，分别称： 吃( 丁) 净簪翌盛0 a 一办 工e j y ，4 a n ( r ) - - i n ，f 。l i t = 一只叫i y ； _ 工e 点i t 和 d “( 耻舱s 口u ，p 柑i i t x l l ，r 为算子r 的k o l m o g o r o vn 一宽度、线性n 一宽度和g e l l a n dn 一宽度，其中c 为】，中维数 不超过万的子空间，只为l ( x ，y ) 中秩为超过，l 的有界线性算子，f 取遍x 中所有余维 数不超过n 的所有子空间 若r 为嵌入映射，则记： 以( x ，】，) _ 噍( 丁) 丸( x ，y ) - 以( 乃 d ”( 石，y ) ：_ d ”( j r t ) 性质1 2 【2 0 1 ( 1 ) 们) 懈 7 ( 2 ) 若x = h 是一个h i l b e r t 空间，则 以( z ) d “( 丁) = 以( d 1 2 概率框架下的宽度的概念 1 9 9 4 年，m a i o r o v l 2 3 埘1 在概率框架下定义了宽度，现介绍如下： 设x ，】，为两个线性赋范空间，b 是集合x 上的b o r e l 域，是定义在b 上的概率测 度，即，是定义在b 上的仃一可加的非负函数，j e u ( x ) = 1 定义1 5 设万( 0 ，i 】，n n ，分别称： 吃。j ( x ，聊= 譬以( x g ，d 4 西华大学硕士学位论文 丸占( x ，】，) = i n f 以( x g ，y ) 为石在y 中的关于测度的k o l m o g o r o v ( 万，万) 一宽度、线性( 咒，万) 一宽度，其中g 取遍 z 中测度不超过万的子集 m a i o r o v t 2 3 2 4 1 ，房艮孙和叶陪新 2 5 2 6 1 讨论了有限维空间和一元s o b o l e v 空间的 k o l m o g o r o v ( 惕万) 一宽度、线性( 甩，万) 一宽度的精确阶，陈广贵和房艮孙【2 7 2 8 1 讨论了具有 混合偏导数的多元s o b o l e v 空间的k o l m o g o r o v ( ，l ，万) 一宽度、线性( 刀，万) 一宽度的精确阶 本文继续m a i o r o v l 2 3 , 2 4 的工作，结合定义1 4 和1 5 ，在概率框架下定义g e l f a n d 宽度，并讨论有限维空间和一元s o b o l e v 空间在概率框架下的g e l f a n d 宽度的精确阶 定义1 6 设日是h i l b e r t 空间，且可以连续地嵌入线性赋范空间x 中，为日上的概 率测度令万( o ，1 】，我们定义日关于测度在x 中的g e l f a n d ( ，z ，万) 一宽度为 群( h ，x ) = i n g f i n p f s u p i i x l l 。d x e ( h i g 6 l n 上一 其中，厶是日的余维数不超过，z 的子空间，g 取遍日的b o r e l 域上所有测度不超过万的 子集，而且满足：对于日的任一闭子空间f ，有 ( q ) 万 ( 1 6 ) 其中g = 仁h ：昂x g 广、毋，而弓表示f 上的投影算子 注 条件( 2 1 ) 保障了( 日g ) n r 有足够多的元素 在本文中我们做如下规定：c ，( f = 1 , 2 ，) 表示仅与参数g ，户相关的正常数，对于正 函数a ( y ) 和b ( y ) ，y d ( d 是正函数a ( y ) 和b ( y ) 的定义域) 。若存在正常数q ，c 2 使得对 任意的y d ，有a ( y ) c l b ( y ) 或者a ( y ) c 2 b ( y ) ，则将其记为：a ( y ) b ( y ) 或者 a ( y ) 0 ，存在一个：c s - 集q h ，h 中 一个余维数不超过n 的子空间口，( q ) 1 一万并且( 扛h ：e l x q n f ) ) 1 一万令 缸h ：p 。z q c 、l ) = q 。，从而 s u pi i x l l - 刃( 日，x ) + 占， 聪白掣 其中弓为f 上的投影算子，显然f 是一个闭集令焉= ，一弓，那么，巧是日一x 秩 不超过咒的线性算子，而且r a n k ( p ：) n 因此，丸占( 日，x ) s u p 忙一片x l | _ s u p 0 弓x 0 = ，譬p 口酬i 露( 日，x ) + s 由占的任意性可知： 九占( 日，x ) 碟( 日，x ) 6 西华大学硕士学位论文 3 有限维空间在概率框架下的g e l f a n d 宽度 设r 脚中向量工= ( x a ，) 组成的赋范空间，范数定义为： 峙k 2 t 鬯竺= 并且彤( p ) = 缸誓：0 x l l 。p ) 是譬半径为p 的球，特别记霹= 彤( 1 ) 在r ”中，考虑标准的高斯测度y = ，其定义如下：对r 肼中任一b o r e l 集g c r ”， y ( g ) = ( 2 万) 1 g e x p ( 一扣咖出， 并且r ( r ”) = 1 下面介绍有限维空间中两个特殊的b o r e l 集的测度 引理3 - 1 【2 4 1 存在一个绝对绝对正常数c o 使得对任意的万( 。，争有 m 俐：吲厩+ 1 n 吉) ) 万 引理3 2 1 设2 g ，存在仅信赖于g 的正常数巳，对任意的j ( o ，却有 川工肛譬岛( 聊+ 扣吉) ) ) 万 m a i o r o v t 2 3 2 4 ，房艮孙和叶陪新 2 5 2 6 1 分别研究了概率框架下有限维空间的 k o l m o g o r o v ( ，z ，8 ) - 宽度、线性( 以，万) 一宽度的精确阶，现总结如下： 定理3 1 【2 3 2 6 1 设2 咒肌，艿( o ，尹i ，则 ( 1 ) 若1 q 2 ，则 ( ，缉) h 妒抛斛l n 吉； ( 2 ) 若2 q 一_ 所l ，g + 1 i l 吉； 7 概率g e l f a n d 宽度 ( 3 ) 看g = 0 0 ，则 无j ( r my ，嚣) h 、i n ( m - n ) 8 对上界只要甩m 本节丰要研究在概率框架下有限维空间的g e l f a n d 宽度的精确阶 定理3 2 设2 ”研，万( 。，尹1 ，则 ( 1 ) 若1 g 2 ，贝i j 孵( ，缉) h m l q - 1 1 2 肘1 l l 吉； ( 2 ) 若2 g c o ( 尼+ 1 i l 吉) ，其中c o 见引理3 1 ，由该引理可知y ( q ) 艿，由 g e l f a n d ( ，z ，8 ) - 宽度的定义和定义1 4 ，有 ( 1 ) 蝶( 矽，缉) 鲥坍q ，譬) 刊”( 彤( c o ( 尼+ h 扣譬) c o ( 佗+ l n 吉) 扰霹，譬) c o ( m 1 2 + 再帅) 挂h 吉) ( 一功 研；1 1 - j 、f 碍m + l n l ( 2 ) 若2 g ，令q = 缸r ”：i i 石i l 。巳( 朋l ，g + 1 i l 吉) ，其中见引理3 2 ，由该引理可 知：y ( q ) 万， 8 西华大学硕七学位论文 再由g e l f a n d ( 刀，万) 一宽度的定义有： a gc r , r ，l d 则容易得到晖( r ) 为一个线性空间，且关于内积 ，_ ，工，y 陟? ( r ) 为一h i l b e r t 空间，其相应的范数为 _ - j ej 2h ， n e z o 易见r 吉时，晖( r ) 可以以连续地嵌入乞仃) ，l g 设占为晖( 丁) 的b o r e l 域，在口上赋高斯测度，其平均元为o ，协方差算子巴v ae 抽为 特征向量，相应的特征值以= 1 - 1 - , p l ，其中，z o 即 c 巳= 丸巳，n z 0 1 0 西华大学硕士学位论文 设m ，y 2 ，咒为厶中任葸刀个正交向量，q2 ，j = 1 ，2 ，刀，b 为r 中任一 b o r c l 集，则晖( 丁) 中柱集 g = x 乃z ( 丁) ：( ( z ，薪一n ) ，( 工，y ，n ) ) b ) 的测度 a ( g ) ：鱼( 2 哆) 如善m d 以 2g ( 2 哆) 2 j 口p 一“d “d 以 m a i o r 0 4 2 3 埘1 ，房艮孙和叶陪新2 6 1 讨论了在概率框下晖( r ) 在厶( 丁) 中的宽度的精 确阶 定理4 1 【2 4 2 5 2 6 1 设， 三，万( o ，尹1 ，为自然数，1 g ( 1 ) d n , 8 ( 咖舶翻“p 单瞩， ( 2 ) ，占( 嘭( r ) ，岛( r ) ) h _ ( ，+ 字) 1 忑+ l n - 孑胚删 - ( r + 氛+ 一恳啦铘。 七十宇丹胪蛾 徊 鹏，州仁荟嚣三 概率g e l f a n d 宽度 一二。一 对于自然数k ，设 & = 咒z o ：2 h 2 ，ke n ，疋= s p a n e “：刀es k ， 易见 i 足l = 2 ，d i l n e = l i = 2 ( 4 2 ) 其中，h 表示集合4 的基数 对任意的x = c n e l ( n d ) , 令 n e z 0 瓯x ( f ) = 佃朋 n e 最 引理4 3 t 1 8 1 设，r ，1 q 乩吲 现在对任意的后n ，我们考虑如下映射： l ：五专垆i ，工h ) 凳l 由( 4 4 ) 式厶是从空间五到空间妒i 的线性同构 1 2 ( 4 3 ) ( 4 4 ) 堕兰奎堂堡主堂垡笙奎一一 定理4 4 设1 磴 ，而且对r 刚中任 一线性子空间f ，有y ( p j ( qn f ) ) s & 我们简记礞= 略( r 刚，y ，考一) 对任意的工嘭( r ) n d 。1 r ，由( 4 4 ) 式，有 i l x l l 岛好肛蜘l l 测删 令 吒广旷m ：? ，产 i - 姜旷卜打“州 考虑啄( r ) 中集合 q = 缸w f ( 1 ) md 一7 1 r ：i i x k 2 - r k - k l q d 唯u ) ， 则有： ( g 脚( 胙嘭柑7 f 叫 j - 。 2 略 ) - 7 秒r m 越 堙 暖 现在考虑集合g = yg ，则 蠢= l 且对于孵( r ) 中任一闭子空间f ，有 ( 巧1 g ) 万 令f = d ”厶r ，其中和为直和，则： c o d i m f c o d i m ( d 一7 1 口) m ， k 因此 1 3 概率g e l l a n d 宽度 ( 啄( 眦) 州帅s u p g 眦i i x i l , ，。咖、y 。 i i i s u p 岛 ， j e ( 呀【r ) 、g ) n ， 2 - ( ，+ 争百k d 嚣( 抖y ，擎1 ) 为了估计定理4 2 的上界，我们还需要以下引理 引理4 5 t 1 8 1 设是自然数集，k = 1 0 9 2 ，l 】，对任意的k n ，令 m = 【i 皑s , l , k 一 k 则 以) ， 哌) 满足定理2 4 中的条件其中 x 表示不超过工的最大整数 定理4 2 的证明由定理2 1 和定理4 1 可知，要证明定理4 2 ，只要证明其上界即可 ( 1 ) 当1 g 2 时，由i i i i l 的定义可知： ( 啄( n ，l q ( t ) ) a ( 呓( n ，乞( r ) ) 注意到站( r 7 ，y ，名) = 0 ，m e l t 4 5 和定理3 2 可知： ( 嘭( n ，白( r ) ) ( 嘭( n ，乞( r ) ) “z 2 巾+ 字) 礞( 必i ，y ，垆i ) ：2 巾号) 兹( 加i ，y ，垆i ) k 2 巾+ 钞 瓜 k k “2 川+ 争t + 2 巾+ 争 2 _ ( r + 钞( 1 + 2 1 4 i 盟： h一 2 脯 ( + 埔 型： 枞 西华大学硕士学位论文 “n - t r + - 譬， 从而当1 q 2 时，该定理的上界得证 ( 2 ) 当2 q o 。时，由引理4 5 和定理3 2 ，我们可知 ( 嘭( n ，岛( 功 k k 。 k 2 - ( r 粤+ 2 - ( r + 譬 础( ，争( 1 + 2 属 巾+ 弓属 从而当2 q 0 0 时，定理4 2 得证 综上所述，定理4 2 证毕 1 5 2 - ( ，+ 譬) ，弓圻 辱艰 诈i 扣 广七 姐 厄 少一2 七一g + 卜 一 肛 ( 一 一：型： 枞岍 概率g e l f a n d 宽度 5s o b ole v 空间在薯一尺度下的g ei f a n d ( n ，万) 一宽度 本节主要讨论嘭( z ) 在& 一尺度下的g e l f a n d ( 以，万) 一宽度的精确阶首先我们介绍 岛空间 对1 q ，令 乞= ) k ：h ) j = l 而 乙= 乃) 嘉。：s u p w i 易见乞，( 1 g ) 关于序列的加法和数乘构成一个向量空间对x = ) 乞，令 1 1 4 = ( i x j l 9 ) 峋， 一m ：a ，x 。i x , i ， 1 q ， g = 蛾 则l | i i 为上的一个范数，而且乞关于| i i i 构成一个b a n a c h 空间：而概) 乙为乞的一 个基，其中巳= 旬。) 二，白，一= 【。1 , j = n ，1 对1 q 0 0 ，令 & ( r ) = 厂厶( r ) ： 夕( 七) 乞) c 厶( 丁) 其中 夕( 栌去7 l - r 似矿出二 为f 的七一次f o u r i e r 系数 对厂毛( 丁) ，令： = 胁纠i l | 则1 1 1 i 。j 为( r ) 上的范数，而且毛( 丁) 关于1 1 1 i 。，形成一个赋范范线性空间，称其为 s t e i p t 空间 由p a r s e v a l 等式，有s ( 丁) = 厶( 丁) ， 西华大学硕士学位论文 当1 q 时，哆( z ) 可以连续地嵌入毛( 丁) 中本节主要讨 口 z 。 论嘭( r ) 在毛( 丁) 中的g e l f a n d ( 刀，万) 一宽度，即下面的定理5 1 定理5 1 若1 g 了1 ，p 1 ，万( o ，了1 】，则 棚鹏，h 仁善霈三 设l g ，对石= n e s k 巳圳五，根据j 1 i i 的定义，有： i i x , r , l l 2 ( 黏朋i i = 2 墙 当q = 时，上式同样成立 对任意的k n ，定义： t ：e 卅h 鼬岳冼。最 则 ( 5 1 ) 叱i i h 2 一庸妒m ，h2 巾一i f i x ( r ) 峙 玎一争卜剖l 拶 l g 勺q 峨 矿 概率g e l l a n d 宽度 定理5 2 设l - ，满足条件m 刀和瓯万，则 ( 嘭，s q ) 略) 瓯 考虑集合g = 吕q ，并且我们可知：( g ) ( q ) 瓯万， 而且对啄( r ) 中任一了空间，有： 令： 其和为直和，则： 从而 ( 石1 ( g n f ) ) 万 三：y d 一， 1 产 厶一丘 七 c o d i m l 2 。h 钞( r 吼y ，垆1 ) ， 其中n = 2 hl s k i - 2 n 证明令为嘭( 丁) n 嚷中余维数不超过的子空间，且满足： ( 缸嘭( r ) n ：i l x l l 。j ) 万， 其中= 够( 嘭( n ，( 7 ) ) 设g = 秒r l s , ln t d 7 ：l l y l l 俨i 2 巾+ 加衫 则 = y g ) ( x 嘭【7 ) n ：i l x l l 。， 彰) ) 万 显然t d ，为r l s , l 中一个余维数为超过的子空间，1 f 1 p ( g ) 艿，y 巧1 ( gr 、f ) 万， 其中f 为r 陬i 中任一子空间从而： 杉( 尺剐彤蚋州k 品彬一2 p + 絮工e 、，j r 、r 所以 d 多2 巾+ 争d 多( r i 剐，y ，垆1 ) 定理5 1 的证明首先估计上界：非负整数序列 以) 和非负实数序列 瓯) 如引4 5 所述 注意到d g ( 尺7 ，y ，聒) = 0 ，则由定理5 2 拶( 孵( t ) ，& ( t ) ) 2 小+ 争喈( 尺鸭y ，擎1 ) = z 2 巾争堙( 删，y ，垆1 ) ( 5 3 ) ( 1 ) 1 q 2 的情形 先估计上界 由( 5 2 ) 式和定理3 2 ，有 d f f ( w 2 r ( t ) ，& ( t ) ) “2 m + 钞, v , 、一r i s , d ，y ，妒i ) 1 9 概率g e l l a n d 宽度 2 7 翻i 吖删2工_ 一 l 2 - ( ，焉挣 k 7 亨p 行1 1 ) 七再- k 2、2 叮2 七 2 - ( ，+ 神+ 2 巾+ 喇碡4 石- k “2 - ( ，+ 神i - i - 2 巾+ 昔扣2 2 zg2 g z “n - ( ，+ 铸2 ) - i - n _ ( ，卫2 q )“ g 、 2 - ( r + 詈) ( 奶i ，y ，妒i ) 因此，1 q 2 的情形得到证明 ( 2 ) 2 q 2 时纠， 2 化) h 2 q + 2 一t l 2j + 、 - ( ，+ 争；) + 一( 24 + 2 厣弓 吒”2 挣尼 ，+ 镑膈 _ - 詈用 1 0 2 - ( r + i p 百1 + j 1 ) 以 西华大学硕士学位论文 ( 晖( t ) ，薯( t ) ) 2 - l ，玛2 d , v , ：、r l s 1 ，y ，磐1 ) k k k2 - ，+ 旦2 ) i s 。1 1 ，- + 五、1 、瓯j 磊- - , 2 - ( 掣z ) k 压 - - 1 矿暑m + 矿争n 等屏怎 v 艿 k 2 一，一+ 2 g + 巾+ 神+ 。9 + 2 一，争4 石- k 2 - ( ，号) ( 砖i ，y ，垆i ) 因此，2 q 2 一 1 + 弓 2 1 何丹 几7 几一r 蹦一 ” 概率g e l f a n d 宽度 结孤i , u：日 本文在m a i o r o v c 2 3 , 2 4 ，p i n k u s ，房艮孙、陈广贵和叶陪新 2 5 , 2 6 l 等学者的研究基础上， 合理地给出了概率框架下g e l f a n dn 一宽度的定义，充分运用了离散化的思想和技巧， 将无限的问题转化为有限的问题，连续的问题转化为离散的问题来进行处理，得到有限 维空间和一元s o b o l e v 空间在概率框架下的g e l f a n dn - 宽度的精确阶分别与它们在 概率框架下的线性宽度的阶相比较，它们的阶是一致的，同时，注意到一致框架下信息 半径和相应的g e l f a n d 宽度是等价的，我们猜想在概率框架下，信息半径和相应的 g e l f a n d 宽度也是等价的 2 2 西华大学硕士学位论文 参考文献 1 孙永生，函数逼近论( 上册) m ，北京，北京师范大学出版社，1 9 9 0 2 孙永生，房艮孙，函数逼近论( 下册) m ，北京，北京师范大学出版社，1 9 9 0 3 c a m i c c h e l1i ，o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n sa r eo p ti m a la l g o r i t h m s ，j a p p r o x t h o e r y ，4 0 ( 1 9 8 4 ) ，1 0 1 一1 1 0 4 j f t r a u b ，g w w a s ii k o w s k ia n dh w o z n i a k o w s k i ，i n f i r m a ti o nb a s e d c o m p l e x i t y m ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 8 5 a v s u l d i nw i e n e rm e a s u r ea n di t sa p p l i c a t i o n st o ，a p p r o x i m a t i o nt h e o r y i ，i z v v y s s h u c h e b n z a v e d m a t n o 1 3 ( 1 9 5 9 ) ，1 4 5 1 5 8 ( r u s s i a n ) 6 a v s u l d i nw i e n e rm e a s u r ea n di t sa p p li c a t i o n st oa p p r o x i m a t i o nt h e o r y i i ，i z v v y s s h u c h e b n z a v e d m a t n o 1 3 ( 1 9 6 0 ) ，1 6 5 - 1 7 9 ( r u s s i a n ) 7 f m l a r k i n ，o p t i m a la p p r o x i m a t i o ni nh i i b e r ts p a c e sw i t hr e p r o d u c i n gk e r n a l f u n c t i o n s ，m a t h c o m p 2 4 ( 1 9 7 0 ) ，9 1 卜9 2 1 8 a n k o l m o g o r o v ，u b e rd i ed e s t ea n n a h e r u n gy o nf u n k t i o n e ne i n e rg e g e b e n e n f u n k t i o n e k l a s s e ，a n n m a t h n o 3 7 ( 1 9 3 6 ) ，1 0 7 1 11 9 m s t e s i n ，a l e k s a n d r o vw i d t h so ff i n i t ed i m e n s i o n a ls e t sa n dc l a s s e so fs m o o t h f u n c t i o - n s ，d o k l a k a d n a u ku s s r 2 2 0 ( 1 9 7 5 ) ，1 2 7 8 1 2 8 1 1 0 v m t i k h o m i r o v ，s o m ep r o b l e m si nt h et h e o r yo fa p p r o x i m a t i o n ，n a u k a ，m o s c o w ( 1 9 7 6 ) 1 1 v m t i k h o m i r o v ，t h e o r yo fe x t r e m a lp r o b l e m sa n da p p r o x i m a t i o nt h e o r y ( i n c h i n e s e ) ，a d v a n c e si nm a t h ，1 9 9 0 ，1 9 ：4 4 9 4 5 1 、 1 2 3a p i e t s c h ，o p e r a t o ri d e a l s m ，m a t h e m a t i s c h em o n o g r a p h i e n ，v 0 1 1 6 ，v e b d e u t s c h e rv e r l a gd e rw i s s e n s c h a f t e n ，b e r li n ，1 9 7 8 ：r e p r i n t e di n n o r t h h oll a n d ，a m s t e r d a m n e wy o r k ，1 9 8 0 1 3 m s t e s i n ，a l e k s a n d r o vw i d t h so ff i n i t ed i m e n s i o n a ls e t sa n dc l a s s e so f s m o o t hf u n c t i o - n s ，d o k l a k a d n a u ku s s r 2 2 0 ( 1 9 7 5 ) ，1 2 7 8 1 2 8 1 1 4 v e m a i o r o v ，d i s c r e t i s a t i o no fap r o b l e ma b o u tn - w i t h s ，u s p e k h im a t h u n d i h r eg r e n z g e b i e t e ，s e r i e s3 ，v 0 1 2 3 b e r li n ，1 9 7 5 1 5 b s k a s h i n ，v n t e m l y a k o v ，e s t i m a t eo fa p p r o x i m a t ec h a r a c t e r i s t i cf o r c l a s s e do ff u n c t i o n sw i t hb o u n d e dm i x e dd e r i v e t i v e ，m a t h e m a t i c a ln o t e s ， 5 8 ( 1 9 9 5 ) ，1 3 4 0 1 3 4 2 概率g e l f a n d 宽度 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 3 2 5 2 6 2 7 b s k a s h i n w i d t h so fs o m ef i n i t e d