（光学专业论文）一种新型近场光学显微镜成像数值模拟.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 光子扫描隧道显微镜( p s t m ) 是一种新近发展起来的能够突破传统光学显微镜 的分辨率极限的高分辨光学显微镜，适用于透光样品以及对观察样品的无损探测， 在透光材料，医学，生物领域具有诸多应用。探针作为光子隧道扫描显微镜的关键 部件之一，对高分辨，高效率地获取真实的样品形貌图像具有十分重要的作用。由 于样品和探针的相互作用的过程非常复杂，其物理模型构成多体散射电磁系统，严 格的理论分析和解析方程表达十分困难，因此数值模拟的方法在近场光学的研究中 占有重要地位。其中，时域有限差分法是各种数值模拟方法中相对简捷有效的方法， 在近场光学数值模拟中有着广泛的应用。 光纤探针作为p s t m 成像的关键因素，受到了广泛的关注。但是在本课题组以 往的工作中己注意到对介质样品和介质探针的近场成像分辨率和灵敏度很差，甚至 用只激励探针尖一小部分的方法回避这一问题。本论文对此作了改进，用激励全部 探针尖方法重新作了数值模拟，得出的结果是p s t m 在入射波方向分辨率仅为1 0 0 多纳米，而在垂直于入射波方向更差。为了减少f d t d 误差，对程序作了改进，采 用高性能的u p m l 边界算法替代以前的m u r 边界算法。本课题组以往的工作中已 注意到探针尖带纳米尺度的金属颗粒，可以提高近场光学显微镜的分辨率和灵敏度， 但工艺不易实现，颗粒易脱落。针对这一问题，我们已提出所谓用纳米薄膜解决方 案，即介质探针外再镀含纳米颗粒薄膜方案，并对二维情形作了数值模拟。本文在 此基础上，对三维情况的纳米薄膜探针作了数值模拟，进一步证实了这是一个高分 辨，高效率，不易损坏，工艺易实现的一种新型近场光学显微镜设计方案，从而为 制备这种光纤探针提供理论支持。 关键词：近场光学；光子扫描隧道显微镜；时域有限差分法；纳米结构薄膜 一种新型近场光学显微镜成像数值模拟 a b s t r a c t p h o t o ns c a n n i n gt u n n e l i n gm i c r o s c o p e ( p s t m ) i san e w l y d e v e l o p e dh i g h r e s o l u t i o n o p t i c a lm i c r o s c o p ew h i c h 啪b r e a kt h er e s o l u t i o nl i m i ti no p t i c a lm i c r o s c o p y i tc a nd e t e c t t h es a m p l eh a r m l e s s l yo rs t u d yt h el i v ec e l l s 。强s ，i ti sa p p l i e di nv a r i o u sf i e l d ss u c h ，a s t r a n s p a r e n tm a t e r i a l ，b i o l o g i c a la n dm e d i c a ls c i e n c e s o p t i c a l f i b e rp r o b ei sak e yc o m p o n e n t t oo b t a i nat r u em o r p h o l o g yi m a g i n go ft h es a m p l ew i t hh i g hr e s o l u s i o na n de f f i c i e n c y s i n c et h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nt h ep r o b ea n dt h es a m p l e sa r ec o m p l i c a t e d , t h ep h y s i c a lm o d e l i sam u l t i - b o d ys c a t t e r i n ge l e c t r o m a g n e t i e u ls y s t e m , as t r i c tt h e o r ya n da n a l y t i c u le x p r e s s i o n i sv e r yd i f f i c u l tt oa c h i e v e t h e r e f o r e ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o do c c u p i e sa ni m p o r t a n t p o s i t i o n i nt h en e a r - f i e l do p t i c s a m o n ga nk i n d so ft h es i m u l a t i o nm e t h o d s , t h e f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e - d o m a i no 珂t d ) m e t h o di sas i m p l ea n de f f e c t i v ea l g o r i t h ma n d w i d e l ya p p l i e di nt h en e a r - f i e l do p t i c a ln u m e r i c a ls i m u l a t i o n i nt h ep s t m o p t i c a li m a g i n g , p r o b ea sak e yf a c t o rg o tw i d e s p r e a dc o n c e r n s b u ti nt h e p a s t ，o u rt e a mh a sn o t e dt h a tt h er e s o l u t i o na n ds e n s i t i v i t yo ft h en e a r - f i e l di m a g i n gf o rt h e m e d i a s a m p l e sa n dm e d i a - p r o b ei sp o o r , e v e nf o re x c i t i n gas m a l lp a r to fp r o b et i p i nt h i s p a p e r , w ei m p r o v e dt h ew o r kb ye x c i t i n ga l lt h ep r o b et i p si nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h e r e s u l t ss h o wt h a tp s t mh a v ear e s o l u t i o no fo n l y1 0 0n a n o m e t e r so rm o r ei nt h ei n c i d e n t l i g h td i r e c t i o n a n de v e nw o r s ei nt h ep e r p e n d i c u l a rd i r e c t i o n i no r d e rt or e d u c et h ee n d ro f f d t d ，w eh a v ei m p r o v e dt h ep r o g r a m ，u s i n gh i g hp e r f o r m a n c eb o r d e ra l g o r i t h mu p m l i n s t e a do fm u rb o r d e ra l g o r i t h m o u rt e a mp r e v i o u s l yh a dt a k e nn o t eo ft h ew o r ko ft h ep r o b e t i pw i t hn a n os c a l em e t a lp a r t i c l e s t h i sk i n do fp r o b ec a ni m p r o v en e a r - f i e l do p t i c a l m i c r o s c o p er e s o l u t i o na n ds e n s i t i v i t y , b u ti ti sd i f f i c u l tt oa p p l ya st h ep a r t i c l e sm a yd r o p t o s o l v et h i sp r o b l e m ，w eh a v ep r o p o s e dad e s i g no fs o c a l l e dn a n o s t r u c t u r et h i nf i l m , w m c hi s m e d i a - p r o b ep l a t e db yat h i nf i l mi n c l u d i n gn a n om e t a lp a r t i c l e s ，a n dm a d eat w o - d i m e n s i o n a l n u m e r i c a ls i m u l a t i o n b a s e do nt h i ss i m u l a t i o n ，t h i sp a p e rh a sm a d eat h r e e d i m e n s i o n a l n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，a n df u r t h e rp r o v e dt h a tt h i si sah i g h - r e s o l u t i o n , e f f i c i e n t ，p r o d u c i b l e , a n di n v u l n e r a b l ed e s i g nt oa c h i e v ean e wn e a r - f i e l do p t i c a lm i c r o s c o p e k e yw o r d s ：n e a r - f i e l do p t i c ；p s t m ；f d t d ：n a n o s t r u c t u r et h i nf i l m 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 1 j 作者签名：垄心日期：型! z ：z 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名荡矽 导师签名 趟 型兰年_ 上月e t 大连理工大学硕士学位论文 引言 从z a c h a r i a sj a n s e n 首先发明光学显微镜至今的5 0 0 年间，人类为提高显微镜的 分辨率进行了不懈的努力。普通光学显微镜的分辨率受阿贝衍射极限的限制l l i ；只能获 得由传播场携带的半波长尺度结构的信息。为了在光学显微成像中突破衍射极限，研究 者们不断地寻找新的设想。在1 9 2 8 年，英国的e h s y n g e l 2 j 提出利用小于波长的光学 孔径作为光源，并在距离样品也小于光波长的位置进行扫描成像，这种方法可以突破成 像分辨的衍射极限。但是由于技术发展条件的限制，该设想并没有引起应有的重视。上 世纪7 0 年代，a s h 和n i c h o l l s 【3 实现了工作在微波条件下的超衍射分辨显微镜，1 9 8 1 年瑞士苏黎世i b m 研究中心的g b i n n i n g 和h r o t h e r 成功的制造了世界上第一台扫描 隧道显微镜( s t m ) 【4 】，s t m 发明以后，p o h ldw 等人开始了近场扫描隧道显微镜 ( s c a n n i n gn e a r - f i e l do p t i c a lm i c r o s c o p e ，s n o m ) 的研究工作，1 9 8 4 年，他们用镀金属 膜的石英针尖做成探光小孔逼近样品，得到了近场光学的图像呤j ，第一次实现了可见光 下的近场光学成像，极限分辨率达到了2 5 n m ，真证揭开了近场光学研究的新篇章。 1 9 8 9 年，r c r e d d i c k t 6 等人研制了另一种突破成像分辨率衍射极限的光学显微镜 一光子扫描隧道显微镜( p h o t o ns c a n n i n gt u n n e l i n gm i c r o s c o p y ，p s t m ) 。它的名字是仿照 电子扫描隧道显微镜( e s t m ) 的名称提出来的。1 9 9 1 年美国的费雷尔( f e r r e ltm ) 等 利用单模光纤制成了一种新的探针v l ，1 9 9 1 年大连理工大学物理系吴世法教授和中科院 北京电镜室的姚骏恩教授一起指导一个p s t m 研究小组，取得了空间优于1 0 0 n m 的全息光 栅图像，在国内首次利用p s t m 的近场光学成像技术，突破传统光学显微镜衍射极限【8 9 】。 1 9 9 3 年6 月进一步提高了p s t m 的性能，成功的研制了我国第一台p s t m ，实现了横向分辨 率优于1 0 n m ，纵向分辨率优于1 n m “。 时域有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d ，f d t d ) 是当前电磁场领 域应用最广泛的数值方法之一。在1 9 6 6 年k a n es y e e 在的论文“n u m e r i c a ls o l u t i o n o f i s o t r o p i cm e d i a ”中叫，是以y e e 氏网格为空间电磁场离散单元将麦克斯韦旋度方 程转化为差分方程，在时间轴上逐步推进地求解【1 2 1 4 1 5 、1 6 1 。直到1 9 8 1 年m u r 边界 条件的提出逐渐发展进入了成熟和广泛应用阶段。在1 9 9 5 年，c h r i s t e n s e n 首先将时域 有限差分方法引入近场光学，用二维f d t d 方法计算光纤探针的近场分布和样品的相互 作用【1 7 】。2 0 0 0 年周庆1 1 8 1 和2 0 0 1 年刘秀梅【1 9 1 、刘凯1 2 0 】等采用三维时域有限差分方法计 算光纤探针的光强分布，均取得了合理结果。 一种新型近场光学显微镜成像数值模拟 本课题组自1 9 9 0 年开始进行p s t m 成像机制理论和实验的深入研究，2 0 0 2 年，提 出了等效入射波法【2 i 】设置入射波，数值模拟了p s t m 的成像，在2 0 0 3 年计算了三维情 况下，形貌起伏样品和嵌埋的不同折射率样品，s 和p 极化情况下，无探针等高扫描面上 的场分布的p s t m 图像。2 0 0 3 年王晓秋田i 将二维f d t d 方法应用于p s t m 模型，其样 品为球形，用小球近似模拟光纤探针。应用非色散介质的f d t d 法计算散射场。2 0 0 4 年柏菲 2 3 2 4 , 2 5 】选用电磁理论中金属光学性质的d r u d e 模型，着力解决了色散介质光纤 探针p s t m 扫描的数值模拟问题，并在此基础上对探针尖带金属颗粒p s t m 模型，镀金 属膜光纤扫描p s t m 模型，镀膜光纤尖带金属颗粒的p s t m 模型，采用三维时域有限差 分法进行了数值模拟，采用的是m u r 边界条件。2 0 0 5 年李岩 2 6 】、代云丽【2 7 2 8 1 对p s t m 中不同探针扫描成像进行了二维的数值模拟，并对格林函数算法及非标准f d t d 算法在 p s t m 中的应用进行了初步尝试。2 0 0 6 年林琳【2 9 j 数值模拟了扫面近场光学显微镜 ( s n o m ) 和光子扫描隧道显微镜( p s t m ) 的近场成像，并简要分析各自的成像特点。 往届工作已注意到对介质样品和介质探针的近场成像分辨率和灵敏度很差，甚至用 只激励探针尖- d , 部分的方法回避这一问题，本论文对此作了改进，用激励全部探针尖 方法重新作了数值模拟，得出p s t m 在入射波方向分辨率为1 0 0 多纳米，而在垂直予入 射波反向更差的结果，这一结果为以往文献未见的新成果。为了减少f d t d 误差，对程 序作了改进，采用高性能的u p m l 边界算法替代以前的m u r 边界算法。往届工作已注 意到探针尖带纳米尺度的金属颗粒，可以提高近场光学显微镜的分辨率和灵敏度，但工 艺不易实现，颗粒易脱落。针对这一问题，我们提出用含纳米结构薄膜解决方案，并对 二维情形作了数值模拟。本文在此基础上，对三维情况的纳米薄膜探针作了数值模拟， 进步证实了这是一个高分辨，高效率，不易损坏，工艺易实现的一种新型近场光学显 微镜设计方案，从而为制备这种光纤探针提供理论支持。 本文的第一章主要介绍了近场光学理论以及现今主要的数值模拟方法，第二章介绍 了时域有限差分法( f d t d ) 的原理和在近场光学成像系统中的应用；第三章着重介绍应 用f d t d 方法来数值模拟介质探针光子扫面隧道显微镜( p s t m ) 对介质样品的各种方式 扫描成像；第四章着重介绍提出一种新型探针模型镀纳米结构薄膜光纤探针，并对 他的成像特性进行数值模拟。 大连理工大学硕士学位论文 1 近场光学显微镜简介 1 1 近场光学 近场光学是相对于“远场光学”所产生的名词。远场光学就是人们所熟知的传统 光学，是指光与所照射目标间的距离远大于所使用光波的波长，以进行光学的量测、观 测或光学作用，但受到光的衍射极限的限制。近场光学是研究距物体表面小于一个波长 尺度范围内光学现象的新兴学科【3 0 l 。物体表面的近场光场分量，依附于物体表面，强度 随离开表面的距离增加迅速衰减，也被称作倏逝场或隐失场。通过探测光学近场，能得 到介观尺度下的超分辨极限的形貌和光学性质信息。和远场探测不同，近场探测不能直 接成像，必须利用探测元件将近场光转换成远场光后通过扫描成像装置成像【3 1 】。 近场扫描光学显微镜是近几十年发展起来的新型显微镜，是探测近场光学最重要的 工具。它主要采用纳米距离控制技术，控制由介观尺度的光纤针尖所形成的局域光源， 在样品表面亚波长距离内逐点扫描，得到样品表面局域信息，分辨率突破了光学衍射极 限。近场扫描光学显微镜主要有光子扫描隧道显微镜( p s t m ) ，扫描近场光学显微镜 ( s n o i v o ，原子力显微镜c _ 师m ) 以及他们的组合显微镜，比如a f p s t m 显微镜等。 1 2 近场光学显微镜成像技术的发展 1 9 2 8 年，e h s y n g e 在p h i l m a g 2 1 杂志上提出：利用小于波长的光学孔径作 为光源，并在探测距离也小于光波长的条件下( 距离约有1 0 r i m ) ，通过扫描样品光点强度， 来实现超衍射极限分辨。虽然这种方法在当时并没有引起人们的关注，不过这是一个最 早突破分辨衍射极限的构想，也是小孔径近场光学显微镜( a s n o m ) 的理论雏形。 在1 9 7 2 年，e a a s h 和g n i c h o l s 采用3 c m 微波利用近场成像原理在实验中实现了 超衍射分辨：用直径为1 5 m 的小孔扫描光栅样品，获得了一维扫描分辨率达九6 0 ，二 维成像分辨达到九2 0 的结果。这是人类历史上第一次得到突破衍射极限的显微镜。1 9 8 2 年出，宾尼和罗雷尔发明了( 电子) 扫描隧道显微镜( s t m ) ，大大促进了近场光学显 微成像技术的发展。9 0 年代前后，r e d d i c k ，v i g o u r e u x ，c o u r j o n ，大津元一和本教研 组开发和研究了光子扫描隧道显微镜( p s t m ) 。本教研组从1 9 9 1 年开始从事光子扫描隧 道显微镜研究，1 9 9 1 年l o 月获得我国第一幅超衍射极限p s t m 图像。 3 一种新型近场光学显微镜成像数值模拟 a s n o m s ) mp s t m a p c r t i 瓣 a p c n u r e l e d b i 印p f d 帅d 砷 m m i t m s i a mb h 研5m l a f t r i m l s r d h d cn m o d c嘲m “t m k f l 硪 h f k tn 1 l i 目b m - d c l出 严一矿 忐也，舌 碜，够 蜜， ：知函 庐弋 c = 竺jc 兰当c 慧c 兰曲 匕= 竺j芒当 霖 ，n t i 肘 s i s ， 蛳 s ls l ls j 3 w 彗 l 芗v9审 b m m r 胡m m 匕兰竺等 弓户 c = 兰j学芒当 f 2 i 啦 s 4 f s 7辨 矿 燕落 嚣 芒点 移 st 2 c 竺= j c 兰曲 仁兰兰j 图1 1 近场光学显徼镜分类鳓 f i g 1 1v a r i o t y p e so ft h en e a rf i e l do p t i c a lm i c r o s c o p e l 3 2 现在国际上已有多种形式的近场光学显微成像技术，其图像空间分辨率均可超越光 学衍射极限。近场扫描光学显微镜大体可以分为a - s n o m ，s s n o m 和p s t m 三种基 本类型。目前主要类型近场光学显微镜的探测尖样品光束取向如图1 1 所示，其中虚 线表示样品表面的隐失场p 3 1 。 近场光学成象系统的检测样品参数、适用范围见表1 1 i 蚓。 成像系统检测参量适用范围 s s n o m ( t )? f ( 相位差)透射( 相位差) 样品 s - s n o m ( r )? f ( 反射率差) 、? z ( 形貌) 反射样品 a - s n o m ( t ) ? t ( 透射率差) 、? z ( 形貌) 透射样品 a - s n o m 僻)? r ( 反射率差) 、? z ( 形貌) 反射样品 s t m s n o m ? e ( 介电常数差) 、? z ( 形貌) 导电反射样品 p s t m ? n ( 折射率差) 、? z ( 形貌) 透射样品 表1 1 各种成像系统性能一览表 t a b 1 1s e v e r a li m a g i n gs y s t e mp e r f o r m a n c e 4 大连理工大学硕士学位论文 1 3 光子扫描隧道显微镜成像技术 光子扫描隧道显微镜( p s t m ) 通过光探针探测样品表面的隐失波的超高频信息， 可获得纳米尺度的分辨图像。 ( 1 ) p s t m 成像原理 在问题空间中当平行光束由光密介质以入射角大于临界角射向光疏介质时，则在光 疏介质一边靠近界面处存在一个隐失波，此光波的电磁场为隐失场，1 9 5 1 年，b o h md 最早将隐失场受抑现象称为“光子隧道”。p s l m 利用光纤尖进入样品表面的隐失场， 使隐失场局域“受抑”，由光纤尖引出样品表面的隐失场信息，p s t l v l 的物理机制即是 建立在光子隧道机理基础之上。由光纤尖引出的样品表面隐失场信息称为光子隧道信 息。 p s t i v l 采用光纤作为探针探测全内反射条件下样品表面上的隐失波，其横向分辨率 取决于光纤探针尖，可达到纳米量级。用p s t m 不但可以检测到样品表面形貌，还可以 检测样品的微观光学特性。 透明样品以光学接触的方式放在全反射样品台上，平行激光束以入射角大于全内反 射临界角的条件照射，从而在样品上表面产生隐失波。 ( 2 ) p s t m 成像系统 p s t m 的结构主要由探针、信号采集及处理、探针样品间距z 的反馈控制、三维扫 描系统和图像处理组成，辅助部件还包括仪器的隔离防震等。 光纤探针尖采集的光信号由光电探测器转换为电信号，输入控制系统并将这一信号 与预先设定的参考电信号进行比较，所得的差值信号由反馈电路输出给z 向驱动器，从 而调节探针光纤尖在z 方向进行移动，以使探针尖能进入近场区域。当光纤尖的端头进 入样品表面的隐失场区域时，隐失场局域将受到抑制，光纤尖端头界面处将会有隐失光 能耦合进入光纤尖，光纤将把携带光纤尖端头界面处的隐失场强度信息的光子传输到光 纤的另一端，通过光电探测器将光信号转换为电信号而送入后继电路。光纤尖固定在压 电陶瓷管上，由工、y 、z 三维驱动器电路驱动压电陶瓷管工作，从而使光纤完成三维 扫描。整个系统由微机来进行控制，完成进针、扫攒、图像数据的采集、图像的存储、 图像处理和显示等工作，见图1 2 。 5 一种新型近场光学显微镜成像数值模拟 图1 2 第一代p s t m 的原理框图 f i 9 1 2t h ep r i n c i p l eo f f i r s tp s t m 1 。4 新一代a f p s t m 组合光学显微镜矧 早期p s t m 仅适用于已知表面足够平整的样品，因为光子隧道信息是照明光束入射 角的函数，样品表面不平的倾角相当于光束入射角变化，它将引入假象，而且样品形貌 信息与光学信息( 折射率与透过率) 都混在一起不能分解，给图像解释带来很大困难。 0 方位 x 方位 图1 3a f p s t m 原珲框图 f i 9 1 3t h ep r i n c i p l eo f a f p s t m 6 大连理工大学硕士学位论文 原子力，光子扫描隧道显微镜( a f p s t m ) 系统是本课题组自行研制的一套新型近 场光学显微镜系统。该系统是在原子力显微镜( a f m ) 的基础之上研制而成，图1 3 为 其扫描头部分的原理示意图。原a f m 的氮化硅针尖与硅质的弹力臂由一根弯曲光纤探 针取代。系统的结构与功能决定着光纤探针的外形设计。采用“t a p p i n g ”成像模式， 即光纤尖敲击样品表面的扫描成像模式，同时采用光杠杆做距离监控，要求光纤探针背 面提供一个反射面。 2 近场光学数值模拟方法 近场光学显微镜成像结果的解释是一个非常复杂的问题，因为所得的光强图像反映 的是样品形貌及光学参量( 如折射率、反射率等) 以及探针和样品的作用的综合影响，为 了细致的考察影响近场光学显微镜成像的各种因素，必须从理论上去模拟分析近场光学 显微镜成像过程。但由于需要解决的问题极具多样性和复杂性，因此发展了多种数值计 算方法。主要包括微扰法，多重多极子法，有限元法，时域有限差分法，格林函数法和 时域多分辨分析法等。 1 4 1 时域有限差分法 时域有限差分方法是一种纯数值计算方法，直接在时域空间中求解m a x w e l l 方程， 具有广泛的适用性1 1 3 舯舛。f d t d 技术是k a n e s y e c 在1 9 6 6 年首先提出的，到8 0 年代 末，随着吸收边界条件的应用和完善进入了成熟和广泛的应用阶段，至8 0 年代后期才 由微波领域向其他领域扩展。1 9 9 5 年d a c h r i s t e n s e 较早的将f d t d 方法用于光探针的 二维局域场计算。较好的解决了光频作用下的金属和介质界面的边界条件问题，近年来 又有许多人研究任意形状三维光纤尖的近场强度分布，并考虑探针与样品表面的相互作 用等。f d t d 方法在解决近场光学问题中有着巨大潜力。 时域有限差分方法具有一些非常突出的优点，主要有以下几个方面 1 直接时域计算。时域有限差分方法将各类问题都作为初值问题来处理，使电磁 波的时域特性被直接反映出来，给复杂的物理过程描绘出清晰的物理图像。如 果需要频域信息，则只需对时域信息进行傅里叶( f o u r i e r ) 变换。 7 一种新型近场光学显微镜成像数值模拟 2 广泛的适用性。可模拟各种复杂的电磁结构，而且，媒质的非均匀性、各向异 性、色散特性和非线性等均能很容易地被精确模拟。 3 节约储存空间和计算时间。所需的存储空间直接由网格空间决定，与网格单元 成正比，并且不需要矩阵求逆。 4 适合并行计算。时域有限差分法中，每个网格点上的电场( 或磁场) 分量只与 其周围相邻网格点处的磁场( 或电场) 分量及其上一时间步的场值有关，这个 特点很适合并行计算。运用并行计算可使时域有限差分法所需的存储空间和 c p u 时间减少为与n “3 成正比。 5 计算程序的通用性。麦克斯韦方程组是时域有限差分方法计算任何问题的数学 模型，其基本差分方程对不同的问题是不变的。此外，吸收边界条件和连接条 件对很多问题是可以通用的，而计算对象的模拟则可通过给网格赋予参数来实 现，与以上各部分没有直接联系，可以独立进行。 6 简单、直观，容易掌握。时域有限差分方法直接从麦克斯韦方程组出发，不需 要任何导出方程，这就避免了使用更多的数学工具，使其成为所有电磁场计算 方法中最简单的一种。而且还是一种非常直观的方法。 目前，时域有限差分法的发展主要有： 算法方面：各种电磁问题激励源的精确设置；计算域截断( 吸收边界条件) 方法的 精确化和简化；近远场变换的精度。结合数学中的多尺度分析，使计算网格的尺寸大大 增大，这样同样的存储空间所计算的尺寸相应增加，以及f d t d 与其它算法的结合问题。 应用方面：复杂物体如人体、树丛、地下目标时频特性，主要通过与其它方法的结 合，使f d t d 可以计算一些大尺寸的问题：用f d t d 分析新型电磁材料如光子晶体等。 计算软件的商业化：结合计算机图形学，使f d t d 计算网格可以自动剖分，适用c f f i 技术使软件有很好的图形操作界面。 1 4 2 有限元法 有限元方法f 4 1 】是在数学上由r c o u r a n t 首先提出的，一种以微分方程为基础来求 解数理边值问题的计算方法，早期在力学中用于结构分析。在1 9 6 8 年开始用于求解电磁 场问题。有限元法最大的特点就是通过各种适当的形式将求解空间划分为有限个单元， 再在每个单元中构造分域基函数，利用里茨法或伽辽金法构造代数形式的有限元方程。 其优点主要有：( 1 ) 离散单元是灵活性的，它可以较精确的模拟各种复杂的几何结构， 并通过选择取样点的疏密情况适应场分布的不同情况，在保证计算精度的要求下，不增 加过多的计算量。( 2 ) 有限元方程组的系数矩阵是稀疏的、对称的，有利于代数方程组 8 大连理工大学硕士学位论文 的求解。所以，有限元法可用于任何微分方程描述的各类物理场，同样适合于时变场、 非线性场和复杂介质中的电磁场求解 由于其基于微分方程，因此存在固有的缺点：可能比积分方程法的解域多一维，增 加未知量的数目：此外，对于开放问题，必须利用吸收边界条件截断计算空间，增加计 算复杂度。随着工程应用的深入，一些问题也随之出现：( 1 ) 所解决问题的复杂性和经 费、时间以及计算机能力有限的矛盾；( 2 ) 分割的元素数和节点数较多，导致所需要的 初始数据繁多，使用不便；( 3 ) 有限元法产生的代数矩阵方程的条件数会随着网格细分、 单元尺寸变小而交坏，最终导致计算结果变差。 1 3 3 矩量法 矩量法是内域积分形式的加权余量法的总称。最早被r i c h m a n d 和h a r r i n g t o n 用于求 解电磁场问题，后来经h a r r i n g t o n 系统地论述，从此成为求解电磁场问题数值解的主要 方法，并成功的应用于天线问题和电磁散射问题。其基本原理是：先将需要求解的微分 方程或积分方程写成带有微分或积分算符的算子方程；再将待求函数表示为某一组选用 的基函数的线性组合并代入算子方程；最后用一组选定的权函数对所得的方程取矩量， 就得到一个矩阵方程或代数方程组，运用各种数学手段如矩阵反演和数值积分等进行计 算1 4 1 1 。 矩量法能解决边界比较复杂的问题，这是严格解析法和近似解析法所不能解决的问 题。但是它的应用也受到几方面的限制：( 1 ) 必须针对所要求解的问题导出相应的积分 方程；( 2 ) 需要选择、构造全域或分域上满足边界条件的基函数；( 3 ) 计算工作量大。 为此，在传统矩量法的基础上采用各种技术，使其计算复杂度降低，通常称为快速 算法。其中快速多极子法发展的最为成熟。 1 3 4 多重多极子法 多重多极子( m u l t i p l em u l t i p o l e ，m m p ) i 杯4 町方法是另一种新的电磁场计算方法。 1 9 8 0 年由h a l ：h e r 在他的博士论文关于长波长的天线设计中首次提出。1 9 9 3 年n o v o t n y 和 p o h l 把多极子本征解应用于分析近场光学现象，计算了二维探针的场分布。 m m p 方法主要是用于在分段线性、均匀和各向同性介质的电磁场散射问题。这种方法 的核心是以离散的多极子源为背景，直接展开局域未知场函数而建立代数方程形式的数学 模型。 9 一种新型近场光学显微镜成像数值模拟 1 3 5 时域多分辨分析法 小波分析【4 5 】是当前数学中迅速发展的一个新领域，它同时具有理论深刻和应用 十分广泛的双重意义。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师j m o r l e t 在 1 9 7 4 年首先提出的。1 9 8 6 年，数学家y 。m e y e r 构造出一个真正的小波基，并与s 。m a l l a t 合作建立了构造小波基统一的方法一多尺度分析，从而实现快速算法，小波分析蓬勃 的发展起来。小波变换在时域和频域都能良好的反映信号的局部信息，并且通过伸缩和 平移等运算对信号进行多分辨分析【4 5 蛔。也就是说，多分辨分析即是以尺度函数和小波 函数为完备基函数的分析方法。将小波分析应用于信号处理已成为研究热门，而将小波 分析应用于电磁场计算也同样具有广阔的发展前景。 小波函数通常具有正交性和有限支撑性，并且可以通过伸缩和平移产生异阶的正交 小波函数族。各阶小波分别针对不同层次的信号细节进行勾画，较低阶的小波主要包含 低频成份，以描述信号能量的主体，而较高阶的小波主要包含高频成分，以描述信号的 细节，多阶小波共同作用以实现“多分辨”分析。 文献【4 7 】最早将小波变换中的多分辨分析理论引入电磁场的时域计算，从而产生了 一种新的时域计算方法一一时域多分辨分析法( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s i n t i m e - d o m a i n ，m r t d ) 。作为f d t d 延伸和优化的m r t d 方法，引起了许多学者的广 泛兴趣。时域多分辨分析法将电磁场用多分辨分析的尺度函数和小波函数作为基函数展 开，并用伽辽金法对麦克斯韦旋度方程进行离散，构成一种既与时域有限差分法有关又 具有更深刻意义的全新的时域方法。 大连理工大学硕士学位论文 2 时域有限差分法及其相关应用 2 1 时域有限差分( f d t d ) 法 时域有限差分( f d t d ) 法是当前电磁场领域应用最为广泛的数值方法之一。1 9 9 5 年 c h r i s t e n s e n 首次将f d t d 引入近场光学中，用来计算光纤探针的近场分布和光纤与样品 的相互作用，1 9 9 6 年f u r u k a w a 和k a w a t a 模拟计算了收集模式的s n o m ，1 9 9 8 年t a f l o v e 模拟计算了发射模式的s n o m 。本课题组应用f d t d 方法来计算近场光学全内反射和p s t m 系 统。 f d t d 方法将m a x w e l l 方程进行二阶精度差分离散，满足一定初始条件和边界条件按 时间步推进交替计算空间电场和磁场。随着电磁理论的发展和计算机性能的不断提高， f d t d 由于其独特的性能和优点得到了越来越广泛的应用和重视。 本节简要介绍f d t d 中的几个关键部分的基本概念。 2 1 1 构建y e e 氏网格 所谓的y e e 氏网格体系为，电场和磁场六个分量在空间的取值点被交叉地放置，使 得在每个坐标平面上每个点场分量的四周由磁场分量环绕，同时每个磁场分量的四周由 电场分量环绕。这样的电磁场空间配置符合电磁场的基本规律f a r a d a y 电磁感应定 律和a m p e r e 环流定律，即m a x w e i l 方程的基本要求，因而也符合电磁波在空间传播的 规律。 x 图2 1y e e 氏网格单元 f i 9 2 1t h ec e uo f y e e 1 1 一种新型近场光学显微镜成像数值模拟 在y e e 氏网格中，每个坐标轴方向上场分量间相距半个嗣格空间步长，因而 同一种场分量之间相隔正好为一个空间步长。在图2 1 的网格单元中没有给出时间 的离散规则。为了保证计算的稳定性，时间离散的步长与空间步长必须满足一定 的关系，不能任意给定。由以后的分析可知，时间步长可选为电磁波传播一个空 间步长所需时间的一半。这样，在实际运用时域有限差分法时，网格的空间步长 选定后，时间变量的离散规则也就完全确定了。也就是说选定了空间网格结构后， 就可根据差分近似的基本原则来建立所需的差分方程。 2 1 2m a x w e l | 方程在其中的应用 m a x w e l l 方程由两个旋度方程和两个散度方程构成。两个旋度方程是f a x e d a y 电磁 感应定律和a m p e r e 环流定律的微分形式。从本质上讲，m a x w e l l 方程组的四个方程中 两个旋度方程是基本的，因为两个散度方程可以由它们导出。 ( 1 ) 非色散介质下的f d t d 方程f 1 3 1 3 7 1 1 4 s 1 在无源区域，我们可把m a x w e l l 方程的两个旋度方程表示为如下的形式： v x e 一p 警一吒h ， ( 2 1 ) v h s 丝+ 仃。e ， ( 2 2 ) a f 。 其中e ( v m ) 为电场强度、h ( a m ) 为磁场强度、s ( f m ) 为介电常数、 ( h m ) 为磁导率、c r , ( s m ) 为电导率、盯。( 2 m ) 为等效磁阻率。 通过中心差商和一系列近似，可得非色散介质散射场公式，以e ，为例，其他 电场分量类似得出： o ( i + 去，七) 缸 珊扣朋一薹州囊卅南 2 s o + 去，j ，七) 大连理工大学硕士学位论文 1 盯o + 砂1 七皿 “南2e(i 4 -去，歹，七) 。匣竺趋塑：竺：堕立竺 ( 2 3 ) 磁场各分量的差分方程可由方程的对称性得出。 算法的特点是；任一网格点上的电场分量只与四周环绕它的磁场分量和前一 个时间步的值及有关；同样地，任一网格点上的磁场分量也只与四周环绕它的电 场分量和前一个时间步时的值有关。并且式中的f ，u ，吼和仃。参数都表示成了空间 坐标的函数，因此这种算法能方便有效地处理媒质的非均匀性和各向异性问题。 ( 2 ) 色散介质下的f d t d 方程1 4 9 1 - , o 1 5 1 】【5 2 】一递归卷积方法 色散介质通常指存在色散现象的介质。即：如果电磁波所在空间的介质特性 与频率有关，则电磁波的传播速度也将是频率的函数，这种现象称为色散。 计算色散介质的方法主要有递归卷积方法( r c 方法) ，辅助微分方程方法( a d e 方 法) 和z 变换方法。 下面主要介绍递归卷积方法，通过对金属光学性质模型d r u d e 模型的引入，导出适 用于金属介质的散射场方程式。 d r u d e 模型的金属散射场数值计算公式： 由于色散的存在，d ( ) 一 皿( 甜) ，则 d p ) t 气s 。e o ) + f e ( f r ) z p m r 那么散射场公式为： ( 2 4 ) 一种新型近场光学显微镜成像数值模拟 审假“+ 日一 华+ 啦“+ e “m 。言缈+ 门z ( o l ( 2 5 ) 其中牟号表示卷积。 进一步有： v 日“- 舻。骂手+ 面+ o 。一班。1 8 e 厂a c + s 。昙陋“+ e “) z 鲫 写成差分格式有： e 尸4 ( f ) + 至j 1 岳n - i e 尸一( f ) 锄“一 + 。+ 名一 0 亭靠阻； i 2 ( i + 1 2 ) - h ； i 2 ( i - 1 明 e o 【月；1 胆( f + 1 2 ) 一月；“绉o - 1 2 ) 】 一赢m 赫昙 e 09 0 ( 2 6 ) 一i 三亘：a 磊t i a 【e “，+ 1 ( f ) + z ( f ) 】 ( 2 j7 ) o 2 2 边界条件 f d t d 方法需要在计算电磁场的全部区域建立y e e 氏网格计算空间。在数值模拟实际 无穷大的电磁场传播计算空间时，总是在区域的某处把网格空间截断，使之变成有限空 间。但是这样在网格截断处就会产生非物理的电磁波反射，并i ! f d t d 方程是中心差商的， 1 4 大连理工大学硕士学位论文 所以也需要特殊的适合于截断边界网格点计算的公式。这样就需要引入“吸收边界条 件”。有两种方法可以应用：第一，是在放置吸收材料层在截断边界处，这样电磁波透 过截断边界时，