（概率论与数理统计专业论文）可统计类型模糊逻辑与模糊推理.pdf

ab s t r a c t t h e s u b j e c t o f t h i s t h e s i s i s t h e f u z z y l o g i c o f s t a t i s t i c a l t y p e a n d f u z z y r e a s o n i n g . b a s e d o n f u z z y s t a t i s t i c a l m e t h o d i n g e n e r a l s e n s e , t h e f u z z y l o g i c o f s t a t i s t i c a l t y p e i s r e s e a r c h e d . we fi n d i t b e h a v e s d i ff e r e n t t o t h e o n e o f n o n - s t a t i s t i c a l t y p e . a c c o r d i n g t o t h e p r o p e r t i e s o f f u z z y c o n n e c t i v e s i n t h e f o r m e r , t h e c o n c e p t o f n o r m a t i v e o p e r a t o r s i s p r o p o s e d t o u s e a n d t h u s v a r i o u s t - n o r m s , t - c o n o r ms i n c o m m o n u s e a r e e x a m i n e d . we p o i n t o u t t h e p r o p e r o p e r a t o r s r , , r . , r q t a n d r o ma y b e u s e d , r e s p e c t i v e l y a n d f u z z y i m p l i c a t i o n o p e r a t o r s s i t u a t i o n s wh e r e t h e n o r ma t i v e t h e a b o v e r e s e a r c h s u p p l i e s a t h e o r e t i c b a s i s f o r s e l e c t i n g r e as o n a b l y t - n o r m s , t - c o n o r m s a n d f u z z y i m p l i c a t i o n o p e r a - t o r s i n p r a c t i c e . a c c o r d i n g t o t h e r e s e a r c h , t h e p r o b a b i l i t y o f a f u z z y e v e n t i s d e fi n e d i n t h i s p a p e r . u s e t h e r e s u l t s i n i n f o r m a t i o n t h e o r y f o r r e f e r e n c e , w e o b t a i n e d t h e q u a n t i - t a t i v e r e p r e s e n t a i o n o f f u z z y i n f o r m a t i o n . f u r t h e r m o r e , i n o r d e r t o m e as u r e t h e c o m m o n f u z z y i n f o r m a t i o n a n d t h e d i ff e r e n t f u z z y i n f o r m a t i o n o f t w o e v e n t s , w e p r o p o s e t o u s e t h e c o n c e p t s o f f u z z y d e g r e e o f r e l e v a n c e a n d f u z z y d e g r e e o f d i ff e r e n c e , w h o s e m e a n i n g , p r o p e r t i e s a n d r e l a t i o n a r e r e s e a r c h e d i n t h i s p a p e r . f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f i n f o r ma - t i o n t h e o r y , w e d e fi n e t h e c o n c e p t s o f r e l i a b i l i t y a n d r e l i a b i l i t y r a t i o o f f u z z y r e aso n i n g , w h o s e p r o p e r t i e s a n d r e l a t i o n a r e a l s o a n a l y z e d . ke y w o r d s :f u z z y l o g i c , f u z z y s t a t i s t i c a l m e t h o d , f u z z y c o n n e c t i v e , f u z z y r e a s o n i n g , f u z z y in f o r m a t i o n , r e l ia b i l it y . h l 致谢 在此首先向我的导师胡国定教授致以深深的谢意.胡先生精深的学 识、 严谨的治学态度以及对科学孜孜不倦的探索精神给我留下了 难以磨 灭的印象 五年来， 胡先生始终关注并指导着我的学习与研究工作， 为 培养我付出了大量的心血. 胡先生在自 身科研工作非常紧张的情况下， 为指导我的研究工作， 牺牲了不少休息与锻炼的时间， 甚至曾多次废寝 忘食， 即使是在病中， 也不忘向我传授知识. 这些使我深受感动，同时 也是对我的鞭策与激励. 正是在胡先生的辛勤培养与精心指导下， 我的 研究工作才获得突破性的进展，使本文能够如期顺利完成. 多年来，在学习 研究与生活上，李军博士和丁龙云博士都给予我极 大的鼓励与帮助， 并常向我介绍学习 与研究的宝贵经验. 本文的许多重 要思想就是在与他们的讨论中产生的. 特别是李军博士在紧张的教学与 科研工作之余， 牺牲了大量的个人时间， 引导我解决研究中遇到的种种 问 题， 并提供了 很多极有价值的建议与富有启发性的思想. 在此谨向他 们表示诚挚的感谢. 在本文的准备、 写作乃至打印过程中， 作者曾多次得到朱富海博士、 王超博士、 杜勇宏博士以及我的女友王媛硕士的热情帮助. 本文的研究 工作还得到了数学学院和数学所很多教师与同学的关心和帮助， 并受到 家人和亲友们的 鼓励与支持. 作者深刻体会到研究工作的每一点进展都 是与大家的帮助密不可分的. 在此作者向 所有教导或帮助过我的人一并 表示感谢 第一章引言 众所周知， 三角模、 三角余模以及模糊蕴涵算子 是模糊逻辑中极其重要的基本 概念. 这些算子在模糊知识处理、 模糊专家系统、 模糊控制与模糊规划等诸多领域有 非常广泛的应用. 许多学者对其进行了较为深入的研究， 各自 从不同的视角给出这 些算子的定义. 一方面这使得模糊逻辑具有很强的灵活性，针对特殊的应用背景可 以使用特殊的算子; 但另一方面， 这也在客观上造成选择算子的困难 目 前人们常根据在具体应用中的效果来选择适当的算子.然而我们更需要从理 论上探寻选择算子的依据 事实上， 模糊集合论诞生不久， 与此问题相关的研究就已 陆续展开. 例如b a n d l e : 等从公理化的角度研究了 模糊蕴 涵算子的代数性质， 并对一 些常见的 模 糊蕴 涵算 子进行了 检验. ( 参见文献!3 , 5 , 9 , 2 7 , 3 0 , 3 6 , 4 0 ) . 研究 结果表 明， 这些算子的代数性质存在很大差异， 很难将其纳人同一公理系统. 而且由 于实际 应用的背景千差万别，即使一个算子具有比另一个算子更好的代数性质，也并不意 味着前者在具体的应用背景下比 后者更为适用. 为此， 本文基于模糊统计法对上述 算子进行了研究，为人们选择适当的算子提供了一种理论模型 在模糊逻辑中， 我们一般用三角模表示“ 并且” ， 用三角余模表示 “ 或者” ， 用模糊 蕴涵算子表示 “ 如果那么 ” 的意思因此，本文引进了模糊连接词、 模糊命 题、 模糊谓词等概念， 初步建立了基于广义模糊统计法的 模糊逻辑体系( 以下简称本 体系) ， 其中每个模糊谓词又对应于一个模糊集合， 并将模糊集合的隶属函数视为模 糊谓词的真 值函数. 例如， 将模糊谓词 是年轻的” 记为a ， 则a ( z ) 表示 x 是年轻 的， 其 真 值 用 隶 属 度 “ 年 轻 ( ) 来 表 示 为 简 便 ， 在 本 文 中 与 模 糊 谓 词 a 相 对 应 的 模 糊集合仍记为a . 对于同一论域上的模糊谓词( 模糊集合) a与b ， 我们有 i + - a ( ) =t a ( ) a a a b ( ) =a a n b ( ) p a v b ( ) =a a u b ( ) 上述等式可参见定理3 .3 ， 推论3 .3 以及推论3 .4 . 在本体系中，a 八 b , a v b , a - + b等复合模糊谓词的真值可由 模糊统计试验直 接确定. 如果不进行模糊统计试验， 仅凭模糊谓词a , b的真值则不能完全确定上述 复合模糊谓词的真值 这是因为ia a ( ) , l 1 州) 等反映主体对客体a , b的 平均认识. 而“ a a b ( ) 等则反映了主体对不同客体的认识之间的关系， 或者说反映了主体对客体 的认知规律， 因而不能简 单地由函数i l a ( ) , i m) 确定. 这就如同 联合概率分布函 数 f ( x , y ) 不能简单地由 边际分布f , ( x ) 和f 2 ( y ) 确 定一样. 事实上， 在一般的 模糊逻辑体系中， 虽然i i a a b ( ) 等函 数可以由 三角模等算子来 表示。 但算子的定义却有很多互不相同的形式. 从这个意义上讲， 仅凭真值函 数i a a ( ) 和a 创) 仍不能确定p a a 创) 等. 主体对不同客体的认识 ( 或主体对不同 模糊谓词的判断) ， 可分成 “ 正相关” “ 负 相 关， 和“ 相 互 独 立 ” 这 三 种 情 形 . 在 不 同 情 形 下 ， 真 值a a a b ( x , y ) 等 与ia a (- , y ) , 实 际上， 三角 棋和三角 余 模均是函 数， 但它们 可 诱导出 相应 的 算子， 因 此 亦常称其为三角 模算子和三角余 模算子 a a ( x , y ) 的 约束关系亦不相同( 详见定理 模糊谓词的判断相互独立时， 必有 i t ， 八 。 ( x , y ) 4 . 1 ， 定理4 .2 和定理4 助. 例如当主体对不同 =i a a ( 二 ) “ 。 ( ， ) f a v b ( x , y ) =p a ( x ) + p b ( y ) 一 “ a ( x ) a b ( y ) a a i b ( x , y ) =1 一p a ( x ) + a a ( x ) a b ( y ) 当需用三角模、 三角余模以 及模糊蕴涵算子来估计ju a a b ( x , y ) 等复合模糊谓词的 真 值时， 在上述三种情形下应分别选用不同类型的算子，以减少估计误差. 我们 也注意到， 虽然p a ( x ) , i l b ( y ) 不能完全确定复合模糊谓词的真值， 但却可以 约束后者的取值. 也就是说， 通过前者可以给出 后者的 取值上界和取值下界( 详见第 三章第三节) . 例如复合模糊谓词a a b的真值满足 p a a b ( x , y ) : m in n a ( 二 ) , i b ( y ) ) il a a b ( x , y ) )m- l i a ( x ) +a b ( y ) 一1 , 0 1 因此本文提出了规范算子等概念( 见定义4 . 3 ) ， 并对一些常见的三角模、 三角余模以 及模糊蕴涵算子进行了检验 例如， 在本文检验的十八种模糊蕴涵算子中， 共有四种 规范模糊蕴涵算子， 分别为r . , r . , r s : 和r o . 本文以上述规范算子为例， 分析了模糊 蕴涵算子应在何种场合下使用以及使用时的误差大小 对于其它规范算子不难进行 类似的分析. 这样， 给定特殊的应用背景， 就可以根据实际情况选择出最适合的规范 算子 例如对于上述主体判断 相互独立的情形， 规范模糊蕴涵算子r ， 规范三角 模t , 规范三角余模s显然应分别选用: r . : i ( a , b ) =1 一a +a b t ( a , b ) =a b s ( a , b ) =a +b 一a b 而当主体判断具有很强的正相关性时， 建议使用如下一组规范算子: r a : i ( a , b ) =m i n 1 一 a + b , 1 ) t ( a , b ) 二m a x a +b 一1 , 0 s ( a , b ) =m i n a +b , 1 1 反之，当主体判断具有很强的负相关性时， 建议使用规范算子: r s t : i ( a , b ) 二m a x 1 一 a , b ) t ( a , b ) =m i n a , b s ( a , b ) =m a x a , b 在各种模糊算子中， 上述三组规范算子恰恰是最重要的( 参见文献8 , 2 0 ) . 我们 注意到在 a p ( a l ) t i ( a i ) i ( a 2 ) . ( i i i ) 可加性:当a ， 与a : 相互独立， 即p ( a , , a 2 ) = p 禅o p 扭2 ) 时， i ( 不u 不) = i ( 不) + i ( a 2 ) . 其中p ( ) 为模糊事件的概率( 见 定义5 .1 ) . 由 上述三条公理可得到模糊事件a的模糊 信息量 p ( a ) 0 p ( a ) =0 其中lo g = lo g : 表示以2 为底的对数. 为了 研究模糊事件之间的 公共模糊信息与非公共模糊信息， 本文进一步定义了 模糊关联度i ( 不n 不) 与模糊差异度i ( a 2不) . 其中 i ( a l n a 2 ) +i ( a 2 ) 一i ( a , u a 2 ) , p ( a l ) p ( a l ) = p ( a 2 ) = 0 且p ( a 2 ) 0 0 0 i(a z 刀 “ i (a ,0. 日 a ) 一 (习 ， p (a l) 0p (a l) = 0 本文证明了上述定义的合理性并分析了模糊关联度与模糊差异度的含义与性质 由此自 然引出模糊推理 a-x的可信度 钟一。叭 h( a、 x) -0 (, p ( x ) 0 p ( a ) =0 或p ( x ) =1 p ( a ) 0 且p ( a , x) 二0 r.产、.、 一一 并将由h ( a m x ) 刻划的不确定性推理a - x称为模糊信息推理. 根据对模糊信息 推理可信度的研究 ( 见 定理6 .3 ， 定理6 .4 和定理6 .5 ) ， 本文进一步定义了 模糊信息推 理的可信率h ( a m x ) . h (a 一 x ) h (a - ， x ),。 ， h (a m x ) - 0- h (a - x ), h (a m x ) 0 其中x 二 1 1 x . 可信率h ( a m x ) 随可信度h ( a m x ) 单调变化并且保持相同符号( 见定理6 . 6 和6 .8 ) . 不同的 是， 由于一 l - h ( a - x ) 1 ( 见定理6 .7 ) ， 可信率h ( a - x ) 较可信度 h ( a m x ) 更 便于理解与估计. 因此建议使用可信率h ( a ti + x ) 表示模糊信息推理的 可信程度. 上述关于模糊信息以及模糊信息推理的研究， 对于模糊信息处理来说， 无疑具有 极其重要的理论价值与非常广阔的应用前景. 最后说明 一下全文的安排: 第二章介绍预备知识， 引述了经典数理逻辑以及信息 理论的一些基本概念和研究结果. 第三章建立了基于模糊统计法的模糊逻辑体系， 研 究了 该体系中 模糊连接词、 模糊集合运算以及量词的 性质， 其中 一些结论与其它( 非 统计类型) 模糊逻辑体系中的 结论有所不同， 第四章分析了 复合谓词的真值与简单谓 词的真值间的 关系. 研究了 规范算子的性质， 检验了一些常见算子， 并以r . , r凡 和r q 这四种规范模糊蕴涵算子为例， 分析了 规范模糊蕴涵算子的适用场合. 第五章 在第三章与第四 章研究结果的 基础上， 定义了模糊事件的概率p ( ) ， 其含义与 性质与 模糊理论中 通常的概率不尽相同. 根据概率p ( ) 以及三条公理，我们定量刻划了模 糊信息量， 并定义了模糊关联度与模糊差异度， 并分析了二者的含义、 性质与关系. 第六章定义了 模糊信息推理的可信度h ( a m x ) 与可信率h ( a - x ) 以 表示a - x 的 可信程度， 分析了h ( a - x ) 与h ( a m x ) 的性质与关系， 并以 简单的例子对可信 度与可信率的应用方法作了示范. 第二章预备知识 第一节经典逻辑 为了更深刻地理解模糊集合与隶属函数的意义， 我们有必要引人经典数理逻辑 中的一些基本概念， 进而明确定义模糊逻辑中 相应的概念. 在经典数理逻辑中， 将能判断真假的陈述句称为 命题. 通常用p , q , : 等符号表示 命题，此时我们不涉及其具体涵义并将其称为 原子命题. 命题的真假分别用1 和。 表示， 并将其称为命题的 真值. 例如，“ 雪是白 的 ” 是一个真命题， 其真值为1 ; “ 太 阳从西边升起” 则是一个假命题， 其真值为。 ， 通过 逻辑连接词可以由若干命题组 成新的命题， 所得到的新命题的真值完全由 诸旧命题的真值决定. 常用的逻辑连接词有下列五个: ( ) 连接词“ 非 ” ， 记作“ ， ” ， 表示否定的意思. 新命题，为真当且仅当p 为假. ( i i ) 连接词“ 合取” ， 记作,n. 它连接两个命题， 表示并且的意思， 相当于逻辑代 数中“ 与” 的关系. 命题p 八 q 为真当且仅当p , q 皆为真. ( i i i ) 连接词“ 析取” ， 记作 “ v ， 表示或者的意思， 相当于逻辑代数中“ 或 ” 的关 系 命题p v q ( i v ) 连接词 为真当且仅当p , q 两者有一为真. “ 蕴涵” ， 记作“ 、 ” ， 表示“ 如果 、 那么 一” 的意思. 命题p 。 为 真当且仅当p 为假或者q 为真. ( v ) 连接词“ 等价” ， 记作“ 。 ” . 命题p hq 为真当 且仅当p , q 同时为真或同时为 假. 我们将特定论域中的元素称为 个体， 该论域上的变元则称为 个体变元. 所谓 谓 词是指个体所具有的性质， 或者若干个体之间的关系. 例如， 命题 “ 雪是白的” 可分 解为两部分，即个体 “ 雪” 作为主语，谓词 “ 是白的” 作为谓语.又如，在命题 “ x 大 于5 中，,x ,， 是个体变元，“ 大于” 是谓词， 5是个体. 下面我们一般用a , b , c等( 可带下标) 表示谓词， 用x , y , : 表示个体变元. 将， ， ， 间 有关系a记为川x ， 功 . n 个个体变元的 谓词称为 n 元谓词， 并约定。 元谓词是命 题.而且，在命题逻辑中使用的连接词，在谓词逻辑中仍然按原意使用. 下面是连接词 “ 非” 的真值表. 表 2 . 1 连接词 “ 非” 的真值表 命题 p ， .月书n 真值 表2 .2“ 合取” 、“ 析取” 、“ 蕴涵” 、“ 等价” 的真值表 命题 p q1 1 pnq pvq p升 q p什 q 11cucull llnu门 真值 由 表2 . 1 和表2 .2 不难看出， 逻辑连接词的不同体现在由 其连接而成的新命题所 取的真值不尽相同.容易验证，n 元连接词共有2 2 ” 种不同的形式. 因此一元连接 词 共 有尹一 种 ， 记 为c o n ( ) , c o n 0 ) 记 为c o n 卿 ， c o n 尹 ， ， c . 3( l ) 1 c o n o ) . 二 元 连 接 词 共 有2 2 ， 一 1 6 种 ， ， c o n 洽 . 例 如 ， 命 题， ， 。 由 连 接 词c o n 钾连 接 ， 组 成 新 命 题 p c o n 钾。 或 写 作c o n 卿 伽 ， 。 ) . 上 述 连 接 词 的 具 体 形 式 见 表2 .3 和 表2 .4 . 表2 .3 一元连接词的真值表 命题名称记号真值 p原命题pp 1 0 c o n l l ) (p l c o n 2 1) (p ; c o n 3 1 ) (p ) c o n y l ) 倒 ) ) ) ) 永真命题 永假命题 p 斗 卜 p t 尸 p 刁 1 1 0 0 1 0 0 1 nucu 0l llnu pq 表2 .4 二 元 连接 词的 真 值表 名 称记 号 真 值 llcullcu，土n介icull0110，wen介 9 c . 2 ) (p , c o n 22 ) (p , c o n 32 ) (p , c o n 92 ) (p , c o n 梦 ) (p , c o n 62 ) (p , c o n (2 ) (p , c o n 8 2 ) (p , c o n y 2 ) ( i , c o n 淤 (p , c o n 汗 (p , c o n 摺 (p , c o n ic (p , c o n (2 ) (二 c o n (, ) (p ,s c o n (,智 (p , p p蕴涵 口 nuc曰 n曰nunu八曰 0l00 0000 q p 等价 q p 合取q 非(p 合取q ) 非( p 等价q ) 习 卜 9 非(p 蕴涵q ) 非p 非( q 蕴涵p ) 非( p 析取q ) 永假命题 t pvq p卜 q p p丹 q q p什 q pnq - ( p a g ) , ( p 什q ) -q ( p 升q ) 飞 , ( p 朴q ) - ( p v q ) 尸 枷鱼俩勒枷 命命-真析蕴 原原-水夕伞 刃的 ijj、，.j、1.才 qqqg 、1.月1、1月尹、.，了、，.，、，.泞r、.尹、.产、飞.尹、飞.，、.夕 qqqqqqqq口q 定义2 . 1命题公式( 简称 公式) 的 递归定义如下: ( i ) 原子命题是命题公式. ( i i ) 如果。 是命题公式， 那么， 。 也是命题公式 ( i i i ) 如果。 , q 是 命题公式， 那么( a n 0 ) , ( a v 0 ) ,( a 。r ) , ( 。 。p ) 也是命题公式 ( i v ) 所有命题公式都必须是有限次应用上述三条规则得到的. 容 易 验 证 ， 命 题c o . ( ) (p ) ( 1 i 4 ， 具 体 含 义 见 表2 .3 ) 和c o n (2 )(p , 4 ) ( 1 、 ， 、 1 6 , 具体含义见表2 .4 ) 都是公式. 其中， 永真命题可表示为( p v ( - p ) ) ， 永假命题可表示为 ( p 八( p ) ) 设公式a包含。 个不同的原子命题p 1 , , p n ， 该原子命题组 (p 1 , , p n ) 的任一 组确定的 值河， ， 风) ， 其中p i t o , l ( 二 1 , - - , n ) , 称为。 关于( p i ， 二 ， p n ) 的一 个 完全指派. 如果我们仅对原子命题中部分命题给予确定的值， 其余的不给定， 则这组 值称为a 关于(p 1 , p n ) 的一个 部分指派. 凡是使。取值为真的指派称为 成真指 派， 使a 取值为假的指派则称为 成假指派 我们 将 “ v x 称为 全称量词， 意为对一切x 或对每个x ; 9 x ” 称为 存在量词， 意 为对存在一个x 或至少有一个x .函词则是以个体为变元，以个体为值的函数.如 果变元有。 个，就称为。 元函词. 。 元函词通常称为 常量. 定义 2 .2项的递归定义如下: ( i ) 常量是项. ( i i ) 个体变元是项. ( i i i ) 如果f是。 元函词( 。 )1 ) ， 而且t i , . . . ， t 。 是项， ( i v ) 所有项都必须是有限次应用上述规则产生的. 定义2 .3原子公式的递归定义如下: ( i ) 原子命题是原子公式. ( i i ) 如果t l , . - , t n ( n ) 1 ) 是项，a是谓词， 则a ( t l , ( i i i) 其它表达式不是原子公式. 则 f ( t l ， 二 ， t o ) 也是一个项 ， 亡 。 ) 是原子公式. 定义2 . 4谓词公式的递归定义如下: ( i ) 原子公式是谓词公式. ( i i ) 如果a , q 是 谓词公式， 则， a , ( a 八 q ) , ( a v ,q ) , ( a *m, ( a 。a ) 都是谓词公式. ( ii i ) 如果a ( x ) 是 谓词公式，x 是个 体变元， 且x 在。中 无量词约束， 则( v x ) a ( x ) 及 ( 3 x ) a ( x ) 是谓词 公式. ( i v ) 所有谓词公式都只能由 上述三条规则产生. 谓词公式在不会发生误解时，仍称为公式 现设有一谓词公式a ， 其自由 变元为x 1 ， . . . , x - ， 函词为f l , . . . , f n ， 命题为p i ， 二 ， p k , 谓词为q i , . . . , q , ， 则可将。表示成 a ( x 1 , ， x - , f t , ， f n , p i , , p k , q 1 , ， q r 如果个体域确定为 x o ， 对 二 ， ，, x 。分别指派 谓词指派为q 0 , x “ 中的个体 谓， ， 二 o,n ,x 1a . . . :c o- , 函词指派为 一 ， f n ， 命 题 指 派 为p o 。 二 ， p k 完全指派， 记作: ， 哪， 则说在个体域x上给了a 片个 ( x o , . a , 、 一 ， x - , f 10 , 、 、 、 , f n , p i , , p k , q 0 ， 二， q o ) 易知a 的真值只取决于个体域、自由 变元、 函词、 命题以及谓词， 所以给定一个 完全指派后，a的真值是确定的.此时， 如果取值为真， 则相应的指派称为。的 成 真指派， 如果取值为假，则相应的指派称为。的 成假指派. 定义 2 . 5 设有两个公式a , q ， 如果对任意完全指派，。和q总取相同的真值， 则 称a , /3 等值， 记作。=尽 定理 2 . 1 。得到的， 若公式a 二a ， 且w ( a ) 是任一包含。的公式，w ( 3 ) 是w ( a ) 中用a替换 则w ( a ) =w ( 用. 第二节信息与信息推理 传统信息论定义的信息量主要用于通讯理论.胡国定教授在更一般的意义上给 出 信息和信息量的定义， 并进一步提出了 包含信息推理在内的信息理论 ( 参见文献 1 6 , 1 7 )注意 到除了 定量表述的 清晰 信息 外， 现实世 界中 还 存在着 大量的 定 性表述 的模糊信息. 因 此本文第五章和第六章将根据新的信息理论， 对模糊信息量予以定量 刻划， 并研究与之相应的模糊信息推理. 在此， 先简要介绍新信息理论的部分内容. “ 张三是学校中有病的学生” 是关于固 定事件a ,p ( a ) 的一个固 定语句。 e a ， 其 中。是张三，a是学生全体几中有病学生的全体，尸 ( 川 =a 中的学生数 。 中的学生数 设q是 “ 客体。的全体” . 事件a是 “ 具有属性ip a ( ) 的客体。的全体” . 其中 f 真 ， 。 。 a (p a lw ， 一 飞 假 ， 曰 e q 一 a 定义2 .6 设w a ,) 和w a , ( ) 为空间s 2 上的两个属性，我们称w a , ( ) 强于等于 (p a ,) ， 如果 w a , 佃) - p a z ( 司，v w q 记作w a , ( ) 卜w a z) . ,1 = ,， 与“ c ,， 分别是属性与事件的半序关系， 它们彼此反单调变化: sp a , ( ) 卜w a a) a , ca 2 比 较 “ 张三有病， 和 “ 张三有胃 病”这两句话 其中客体张三的属性分别是 “ 有 病” 和“ 有胃 病” . 后一句话蕴涵前一句话，或者说，属性 “ 有胃病”强于属性 “ 有病” . 因 此， 这两句话包含“ 有胃 病” 的信息w a ,) 与“ 有病 ” 的信息p a , ( ) ， 并且 w a z ( ) 卜w a ,) 这时，w a z ( ) 包含的信息量大于w a , ( ) 包含的信息 量. 事件a的 信息是 “ 客体属性p 以) 在主体上的反映 ” . 简言之， 事件a的信息就 是属性w a ( ) . 既然信息 就是属性w a ( ) ， 那么事件a的 信息量就应该是w a ( ) 的 属性强度( 内 涵强度) ， 它可以 用一个关于w a ( ) 单调变化的非负实函数k 仲 a ( ”来刻划. 于是 w a , ( ) 卜w a z ( ) - k ( w a , ( ) ) ) k忡a z ( ) ) 我们用事件a的概率p ( a ) 来刻划a的 外延广度， 其中p ( a ) 是关于a 单调变 化的非负的集合函数: a l c a 2 - p ( a l ) - k ( w a z ( ) ) 一 p ( a l ) p ( 不) p ( 不) 将k ( w a ( ) ) 的自 变元w a ( ) 分别换以 反单调变化的p ( a ) 与单 调变化的自 变元a : k ( w a ( ) ) 三j ( p ( a ) ) 三i ( 万 ) 由 于1 区) 作为集合又的函数更便于v e n n 图 示与运算， 以 后我们将常用a和 i ( a ) 来表示信息和信息量. 只 是需要注意这里的a不再是指一 个事件， 而是指事件 a的信息. 根据常识，信息量i ( 刁二j ( p ( a ) ) 应满足下列条件: ( i ) 非负 性:j ( p ( a ) ) ) 0 . ( i i ) 单调递减性:p ( a l ) p a ) 一 j ( p ( a l ) ) h( a m了) ! 可信率h ( a m x ) 与可信度h ( a m x ) 均可反映不确定性推理 a mx的可靠程 度， 而可信率的优点在于可凭经验估计. 并且在已 知p ( x ) 的条件下可信率与可信度 可精确地进行相互换算. ( 详见文献 1 6 ) ) 第三章模糊统计法与模糊连接词 王国 俊教授在文献!3 3 中 指出“ 模糊推理虽然在应用上是成功的， 但在理论基础 上却并非无懈可击，并没有归入于严密的逻辑系统之中” . 自 模糊理论产生至今，其 在应用上的广泛性和灵活性已被人们逐渐认识，但在理论上仍然不断受到许多学者 的攻击. 在1 9 9 3 年美国第1 1 届人工智能年会上，加州大学的c . e l k e n 作了题为 “ 模糊逻辑的似是而非的成功” 的报告， 引起模糊逻辑界以及人工智能界许多著名专家 的激烈讨论与各界人士的广泛关注.这场争论说明模糊逻辑还需在理论上进一步完 善， 才 能 减 少 争 议 ， 达 成 共 识( 参 见 文 献6 , 7 , 2 1 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 7 ) 本章将建立基于模糊统计法的模糊逻辑体系， 试图将自 然语言中广泛存在的可 统计类型模糊集合以及本文对此类集合的研究纳入严密的逻辑系统. 第一节模糊统计法 模糊集合产生的一个重要原因，就是人们希望将自然语言中广泛使用的模糊概 念定量地表示出来，使其中的模糊信息被充分挖掘和利用，特别是使其便于机器加 工处理， 从而推动专家系统、自 动控制等领域的发展. 而隶属函数正是将模糊概念由 定性表示过渡到定量表示的纽带. z a d e h 将 隶属度定义为论域中的元素属于模糊集合的程度，即该元素与相应模 糊概念间的一致性( 参见文献4 3 , 4 6 ) . 目 前已 有多种确定隶属度的方法， 例如模糊 统计法、 德尔菲法、 对比 排序法、 综合加权法、 集合套法以及借用现有客观尺度的方 法等等( 详见文献 1 3 ) . 上述方法又可分为统计方法与非统计方法两种类型. 在实际应用中， 有些模糊集合是社会一般意识的反映， 即一定范围内的大量主体 对客体的认识的平均结果， 此类模糊集合的隶属度是典型的可统计类型， 一般使用 统计方法加以确定. 例如武汉建材学院的张南纶等人曾 对 “ 青年人” 这个模糊概念进 行过一次较大规模的模糊统计试验 在武汉大学、 武汉建材学院和西安工业学院共对 数百名大学生进行了抽样调查，请每位被抽取的大学生在独自 认真考虑了 “ 青年人” 的 含 义后， 给出“ 青 年人 ” 的 年龄区间 . 例 如【 1 8 , 2 5 1 , 1 5 ,3 0 等. 在武汉建材学院随机选取了1 2 9 名大学生. 对x o =2 7 统计结果列于表3 . 1 . 表3 . 1在武汉建材学院对x p =2 7 的抽样调查 其中。为样本区间覆盖2 7 的频数，隶属频率了 =。 / ， 样本数 。 1 0 2 。一 3 0一 4 0一 5 0 6 07 0 8 0一 9 01 0 0一 1 1 01 2 0一 1 2 9 频 数m 一6一 1 4一 2 3 3 1一 3 9 4 7 5 3 i 6 2一 6 8 i 7 6 8 。一 9 5一 1 0 1 隶 属 频 率f 一 0 .6 。 一 0 .7 0 一 0 .7 70 . 7 8 0 . 7 80 . 7 8 0 . 7 6 1 0 .7 8 一 0 .7 6 一 0 .7 6 0 .7 7 一 0 .7 9 一 0 .7 8 统计结果表明2 7 ( 岁) 对模糊集合a= “ 青年人” 的隶属度稳定在。 .7 8 附近，因此 p a ( 2 7 ) =0 . 7 8 同理可得其它年龄对a=的隶属度， 进而可以画出隶属函数a a ( ) 的曲线.在武汉 大学和西安工业学院经统计试验， 也得到了与上述曲线非常相似的 隶属曲 线( 详见文 献9 8 ) . 上述试验反映了隶属函数的客观实在性. 这种通过模糊统计试验确定隶属函数 的方法就称为 模糊统计法. 但由于统计方法要求样本容量足够大，而有些模糊集合 是个别主体或少数主体对客体认识的反映 例如一些术语中的模糊概念具有很强的 专业性， 只有极少数的专家能够准确理解其含义. 此类模糊集合属于非统计类型， 只 能采用非统计方法. 但我们也注意到， 用不同方法得到的隶属度， 其代表的含义也不同. 为避免不同 类型的模糊集合发生混淆，如无特别声明，本文以下部分所讨论的模糊集合仅限于 可统计类型， 也就是说其隶属函数均可使用模糊统计法确定. 在模糊统计试验中， 首先要确定论域x及x中 的固 定元素x ， 每次试验产生x 的一个可变子集a i ， 从而得到这次试验的观察值x a ; ( x ) . 这里 (1 , x c a ; 。 ， 一 飞 。 ， 否 则 设做。 次试验，则x 对模糊集a的 隶属频率f a ( x ; n ) 为 九( x ; n ) = 张南纶等人所做的试验表明，当。 增大时，几( x ; n ) 具有稳定性. 在实际应用中， 一 般取足够大的。 ， 以f 袱 x ; n ) 来表示隶属度. 即p a ( x ) =f 袱 x ; 司. 试验中的。 个可变 子集一般是在一定范围内 随机选取。 个投票者分别投票而得， 第 个投票者v将a 解释为a ; ( 1 5 ( 。 ) 由于每个模糊概念都与一个模糊集合相对应，为简便起见， 此后如不加特别声 明，模糊概念总与其相应的模糊集合使用相同的记号. 在模糊统计试验中， 一般将模糊概念a理解为单独的模糊概念， 如年轻” 、“ 高 大” 、“ 瘦弱” 等. 此时论域x和元素x 都是一维的. 我们将这种模糊统计法称为 狭 义模糊统计法. 事实上， 很多模糊概念本身又可分解为若干子模糊概念. 例如，“ 高大” 的含义 为“ 高并且大 ” ， 因 此可 分解为“ 高” 和“ 大 ” 两个子模糊概念( 通过 “ 并且” 连接) ， 由 于 “ 高大” 和高并且分 含义相同， 其所对应的隶属函数也相同， 因此对于“ 高并且分 这样的复合模糊概念也可以通过模糊统计方法确定其隶属函数.我们将这种允许对 复合模糊概念进行模糊统计的方法称为 广义模糊统计法. 此时论域x和元素x 都 是多维的. 设论域x二 x 1 x x 2 、二 x x k , 元素x =( x l , x 2 , , x k ) , a 是x上的 模糊概念， 并 且a由x l ， x 2 , . . . , x k 上的 模糊概念a l , a 2 , ， 矛通过 连接 词( a , v , ， ， 、等 ) 连 接 而成.对每个投票者u ， 我们要求他能理解概念 a l ， a 2 ， . - , a k 以及逻辑连接词的含 义. 例如， 论域x 1 =0 , 1 0 0 ， 模糊概念a l =“ 年老” ， 允许a l =5 0 , 1 0 0 或【6 0 , 1 0 0 等， 但