（概率论与数理统计专业论文）保险中最优决策问题的研究.pdf

浙江大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 保险是一个经营风险的特殊金融服务行业，因此对风险的研究及管理是保险公司主要 的工作内容从决策理论的角度来看待风险则需要始终把风险和与之相关的当事，k ( 决策 者) 及其所面临的某个决策问题联系在一起研究决策者的风险态度包括其对决策行为的影 响，是保险学更为基本的问题。保险公司面临各种风险包括；偿付能力风险，分保风险，投 保人和被投保人的道德风险，中间人风险等等在社会主义市场经济体制下，保险公司是自 主经营、自负盈亏、自我约束和自我发展的法人实体和市场竞争主体，要在激烈的市场竞争 中立于不败之地，有很多的问题要给出合理的决策；如厘定费率、预留准备金、再保险自留 额的分配、资产负债配比与偿付能力等等本文主要讨论两个方面的最优决策问题 第一，讨论了有限时间内，连续的固定给付养老金计划的最优决策模型在这个模型中， 假定保险公司把养老金资产分成两部分，分别投资于风险资产和无风险资产；并且养老金 资产的变化仅仅由投保人所缴纳保费和投资所得的回报所引起在决策过程中，保险公司以 最小化缴款率风险和偿付风险的凸组合函数为目标，寻找最优附加成本和最优风险资产所 占养老金资产的比重本文采用了h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n 等式与拉格朗日方法，得到了最 优附加成本以及投资于风险资产与未偿付精算负债最优比例，即： u a l ( t ) ，+ ( t ) = 也警型! 兰型 ， 胛= 簪，a 蚺 最后给出了数值模拟 第二，讨论了聚合风险的最优再保险问题考虑n 种索赔次数相关的险种构成的总体 在均值保费计算原理下的比例再保险模型本文在使得分出公司期望收益一定的情况下 以风险( 以方差表示) 达到最小为目标函数，给出了最优分出比例， k ( 归 m ) ( q + m e m ) 一1 ( p 入m ) ，】1 ( n + m e m ) 一1 ( _ 8 m ) c m a s t e rd i s s e r t a t l o n ，z h ej i a a gu n i v a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd i v i d e du pt w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w ec o n s i d e rad y n a m i cr a o d e lf o r ad e f i n e d b e n e f i tp e n s i o nf u n di nac o n t i n u o u s c e r t a i nf i x e dt i m ep e r i o do ft i m e w es u p p o s et h a tt h ep l a ni sb u i l tw i t ht h ec o n t r i b u t i o n sa n di n v e s t m e n te a r n i n g s t h es p o n s o r i n g e m p l o y e rc o n t r o l st h ec o n t r i b u t i o nr a t ea n dt h ea m o t m ti n v e s t e di nap o r t f o l i oc o m p o s e d o f ar i s k ya s s e t sa n dar i s k - f r e es e c u f i t y n os h o r t s e u i n gi sa l l o w e db u tt h em a n a g e rh a v et h e p o s s i b i l i t yo fb o r r o w i n g t h em a i np u r p o s eo ft h i sn o t ei st of i n dt h eo p t i m a ls u p p l e m e n t a r y c o s ta n dt h eo p t i m a la s s e t - a l l o c a t i o ns t r a t e g y a st h es u p p l e m e n t a r yc o s ti sc o n s t y a i n e da t t = t ，t h em e t h o d o l o g i c a la p p r o a c hw e1 1 s et os o l v et h eo p t i m a ls u p p l e m e n t a r y c o s ta n dt h e o p t i m a la s s e t a l l o c a t i o np r o b l e mi st h es t o c h a s t i cd y n a m i cp r o g r a m m i n ga s s i s t e dw i t ht h e l a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o d u n d e rc e r t a i nr e g u l a rc o n d i t i o n t h i sn o t ef i n do u tt h eo p t i m a l s o l u t i o n so ft h i sp r o b l e m a ss h o w ni nt h es e q u e lo ft h i sn o t e ，t h ep r o p o r t i o no ft h eo p t i m a l s u p p l e m e n t a r yc o s to nt h eu n f u n d e da c t u a r i a ll i a b i l i t yi s a ne x p l i c i tf l m e t f o ao ft i m eta n d t h eo p t i m a lf u n da l l o c a t e df o rt h er i s k ym s e t si sf i x e dp r o p o r t i o n a lt ot h eu n f u n d e da c t u a r i a l l i a b i l i t i e s f i n a l l y , an u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sp r e s e n t e d i nt h es e c o n dp a r t ，w ed e r i v et o t a lo p t i m a lq u o t a - s h a r er e i n s u r a n c es t r a t e g yo fnd e p e n - d e n tr i s k 8 一i n s u r e dw i t hd e p e n d e n tc l a i mn u m b e r su n d e rt h ee x p e c t a t i o np r i n c i p l eo fp r e m i u m c a l c u l a t i o n 浙江大学硕士学位论文有关本文使甩的缩写及一些符号的说明 有关本文使用的缩写及一些符号的说明 a l ( t )t 时刻精算负债 f ( t ) t 时刻养老基金 n c ( t )正常成本 c ( t )t 时刻缴款率 u a l ( t ) t 时刻未偿精算负债 s c ( t )附加成本 t ( o + 1 )从t 时刻到t + 1 时刻的投资回报率 石而m 年期连续年金 s第i 次的索赔总额 第j 个险种的第i 次索赔 本文对于保险中常识性的定义都用符号“什”作了标记，对于引用的各弓 理、定理的出处都在相应的 】内作了说明 浙江大学硕士学位论文第一章 绪论 第一章绪论 1 1保险决策 根据我国保险法第二条：保险，是指投保人根据保险合同约定，向保 险人支付保险费，保险人对于合同约定的可能发生的事故因其发生所造成的财 产损失承担赔偿保险金责任，或者当被保险人死亡、伤残、疾病或者达到合同约 定的年龄、期限时承担给付保险金责任的商业保险行为 保险是基于风险的客观存在而产生的，无风险则无保险，可以说保险是以 风险为经营对象的特殊金融行业，因此对风险的研究及管理是其主要的工作内 容保险公司面临的风险包括：偿付能力风险，分保风险，投保人和被投保人的 道德风险，中间人风险等等在社会主义市场经济体制下，保险公司是自主经 营、自负盈亏、自我约束和自我发展的法人实体和市场竞争主体，要在激烈的市 场竞争中立于不败之地，保险公司必须树立效益观念，以追求经济效益最大化 为自身经营的既定目标在保险的经营中，保险公司要达到经济效益最大化，必 须要必须要做到以下几点： ( 1 ) 厘定一个合适的费率使其既能保证保险公司的偿付能力又有市场竞争 力保险费是保险理赔的基太资金来源，而保险费= 保险费率保险金额，所 以保险费率的厘定要保证保险人具有充分的偿付能力，这是由保险的基本职能 所决定的但是费率过高，保险需求会受到抑制，会减弱保险公司市场竞争力， 而费率过低，又会削弱保险人的偿付能力，影响对被保险人的经济保障 ( 2 ) 需要在保证能偿付可能的赔款下，预留合理的准备金使得保险公司的 经济效益达到最大保险准备金是保险人为履行其承担的保险责任或者赔付未 来的赔款，从所收取的保险费或税后利润中提留的资金准备，因此保险准备金 和保险公司的偿付能力成正比当保险准备金不足以赔付保险标的发生时的保 险金额，保险公司就要宣布破产；但保险准备金预留太多，则投资金额就要减 少，而保险公司的利润主要来源于投资收益，因此公司的经济效益就会减少 ( 3 ) 资产进行投资时，要制定最优的投资计划保险投资也是保险经营的 主要内容之一，保险投资的效果对于保险公司的经营和保险业的发展具有重要 的影响。在发达国家，保险公司的保险投资收益远远高于其保险费收益( 很多 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 保险公司的赔付率超过l o o ) ，保险公司的经营效益最终取决于其投资收益。目 前的金融市场上，可供选择的金融工具很多，比如银行存款，债券，股票，不动 产投资和贷款但任何金融工具都是一定风险和收益特征的组合，而且不同的金 融工具的回报率和风险率是不同的，并且不同的金融工具的期限也不相同，因此 保险公司可以灵活选择，进行合理的最优化资产组合，使得投资收益最大化。 ( 4 ) 要选择合理的再保险形式，并确定最优的自留额随着社会经济的发 展和现代科学技术的广泛应用，一次事故可能造成的物质损失和人身伤亡的损 失程度不断扩大，任何保险公司都不敢独自承担巨额的风险，保险监管部门也不 允许这样做。为保持经营的稳定性，扩大业务规模，再保险成为必然的选择。再 保险是保险人分散风险和扩大承保面的有效方法再保险的基本问题是形式的 选择及自留额的确定当保险公司想获得更多的利润而对风险抱有侥幸心理而 不愿分保，或者保持过大的自留额，这种行为当保险事故发生时，不仅损害被保 险人的利益，而且会严重危害保险人自身的财务稳定甚至破产；但是假如保险 公司分出过大的分保额，而保险事故不发生，那么保险公司的利润就要减少 在这种情况下，保险公司就需要分出一个合适的分保额，使得风险最小，利润最 大 本文主要研究固定给付养老金计划的最优投资决策和聚合风险模型中比例 再保险最优自留额的确定问题下面对这两个方面的历史背景及研究进展作一 些介绍 51 2养老金计划的基本概念和发展历程 养老金计划( p e n s i o np l a n ) 相当于延期生存年金计划养老金计划给付发生 在参与养老金计划的人退休后，或从约定时间开始或约定事件发生之后个人 按生存能力购买的养老金保险，则是完全的延期生存年金；由企业或单位安排 的养老金计划，一般作为职工福利计划，费用出单位单独承担或单位和个人共 同承担费用由单位单独负担的养老金计划称为非职工缴款性养老金计划；费 用由单位和个人共同负担的养老金计划称为职工缴款性养老金计划 养老金的给付发生在未来，只有经过一段时间以后，在一定事件发生时， 职工才可以领取养老金在养老金计戈! | 有效期问内，参与计划的人会发生各种 不同的事件，如解约、死亡、伤残或退休( 包括提前退休) ，养老金计划的未来 支出及负债是不确定的，因此有必要对未来的支出和负债作出科学的估计。 渐江大学硕士学伍论文第一章绪论 养老金计划有两种：固定给付计划( d b ) 和固定缴款计划( d c ) 固定给 付计划是利用公式提前确定退休给付，则每个参加计划的被保险人应缴纳的款 项可以明确给定显然，养老金资产在退休前是无法准确了解的，为了能够达到 退休时固定给付，计划资助者的缴款数额也会随着实际情况而变动，固定缴款 计划是提前确定养老金参加者和资助者每年应缴纳的金额，未来的退休给付是 到期缴款金额和投资收益的函数 定义1 _ 1 1 t t ( 精算负债a c t u a r i a ll i a b i l i t y ) 假设某职工现年z + h 岁，z 岁时 开始工作并享有某养老金计划最低允许退休年龄o ，至u 岁必须退休，该职 工将在。+ h + t 岁退休，并享有养老金给付用r ( 。，h ，t ) 表该员工的养老金收入 函数，则r ( z ， ，啪 ： 。为各年养老金给付在退休时精算“现照”，“现值”表示 零时刻点在退休时，面非在z + h 岁时，在可以退休的年龄段内，职工退休都可 获得退休给付则以现在即职工七十h 岁时为零时刻点，养老金的精算现值为： a l ( t ) = 罐p 罢彬罂h + r ( z ， ，t ) a 罂 + d t 其中t p 旦。表示现在。+ h 岁的职工在t 年后仍工作或仍参与养老金计划的概 率p 盟h 詹柑表示现在z + h 岁的职工将在z + h + t 岁退休的概率密度 从研究的发展历程来看，固定给付养老金计划的研究可分为三个发展阶段： 确定性( d e t e r m i n i s t i c ) 方法阶段、随机方法阶段以及动态随机控制阶段在确定 性方法阶段，退休后月养老金给付的确定主要采用以前各年工资的一定比例与 服务年限的乘积，或依退休前最后一年或几年的年薪的均值，根据一定算法计 算得到设工龄为罩的职工参保后第t 年的工资s ( t ，z ) ，假定它是生活消费指数 c l i ( t ) 和由工龄决定的工资指数u ( z ) 决定的函数，其形式为： s ( t + l , x + 1 ) 刈姐) 帮。酉c l i ( t + 1 ) 根据定义1 1 1 可以得出精算负债的表达式。假定缴款率是作为未偿付精算负债 的分期偿还，即c ( t ) = g + k u a l ( t ) ，则有： g ( = a o ) + 糕， ( 1 2 1 ) 其中t s r ( t ) = s ( t ，z ) 因此t 时刻的养老金资产有： f ( t + 1 ) = ( 1 + o i f ( t ) + c ( t ) t s r ( t ) 一b ( t ) 】 淅江大学硕士学位论文第一幸绪论 为了转移风险，在投保人退休后，保险人将养老金资产用来购买年金，因此精 算负债a l ( t ) 也可以表现为工资和年金的函数 到了十：丸世纪八十年代后期，人们开始研究随机的养老金计划d u r f r e s n e ( 1 9 8 6 1 9 8 8 1 9 8 9 ，1 9 9 0 ) 在这个方面作了大量的研究，开始考虑年利率不同的情况，根据 定义111 计算出一系列的精算负债a l ( o ) ，a l ( 1 ) 在这个阶段，随机性主要体 现在 f ( t + 1 ) = ( 1 + i ( + 1 ) ) 【f ( ) + c ( t ) t s r ( t ) 一b 0 ) ， 和 dr ，“一f “、 c ( t ) = n c ( t ) + 嵩崭( 1 2 2 ) 1j “u _ i 山 虽然这两个阶段所得到的缴款率和养老金资产的表达式形式一样，但由于利率 假设的不同，计算所得的精算负债和养老金资产的具体数值是不同的，因此这 样所得到的缴款率就也不相同随后c a i r n s p a r k k e r ( 1 9 9 7 ) 和h u a n g ( 2 0 0 0 ) 所作 的研究使得固定给付养老金计划得到了更长足的发展，他开始考虑把养老资金 投资于金融市场上，这样投资策略也被看成是一个控制变量 从( 1 2 1 ) ，( 1 22 ) 两个缴款率的公式可以看出，怎么确定缴款率还是带有一定 的主观性，没有固定的方式来产生一系列最优的决策为了解决决策过程中的主 观因素的问题，人们引入了动态随机控制理论这种理论既可用于离散时间模型 ( h a b e r m a n & s u n g1 9 9 4 ) 也可用于连续时间模型( b o u l i e re ta l ，1 9 9 5 ，c a i r n s2 0 0 0 ) h a b e r m a n ( 2 0 0 0 ) 首次提出在固定给付养老金计划中管理者必须面对两种风险：缴 款率风险和偿付风险，并且考虑有限时间内，在离散和连续模型下最小化缴款 率风险和偿付风险线性组合的目标函数缴款率风险是缴款率和正常成本的离 差，是养老金计划稳定性的度量；偿付风险是养老金资产和未偿付精算负债的 离差，是养老金计划安全性的度量保险公司只有既保证养老金计划的安全性 又保证其稳定性，这个计划才能如期正常进行下去b o u l i e re td ( 1 9 9 5 ) 研究了 一种养老金管理相关模型，考虑退休后给付以一个固定的比率增长，以最小化 缴款率的精算现值为目标，得到了一个比较好的缴款率的方式b o u l i e r ( 1 9 9 6 ) 讨 论当给定缴款率一个最大上限时，证明了风险资产所占的比例不再是精算负债 的线性函数，并且不能得到一个确切形式的投资策略 在无限时间下，j o s a - f o m b e u i d a ，r i n c 6 n z a p a t e n o ( 2 0 0 1 ) 研究当退休后给付固 定不变情况下，假如未偿付精算负债的实现率等于无风险资产的回报率，则得 到风险资产所占的最优比例和缴款率还可以把这种研究应用于一系列金融投 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 资问题上j o s a - f o m b e l l i d a ，r i n c s n - z a p a t e n o ( 2 0 0 4 ) 研究当退休后的给付由于某些 干扰服从布朗运动时，在给定未偿付精算负债的实现率的假设条件下，得到附 加成本与未偿付精算负债成一个固定比例h a b e r m a n ，s u n g ( 2 0 0 5 ) 讨论在离 散情形下投资回报率是平稳的随机过程时，得到当t o 。时，有l i m 。f ( t ) = a 三， 这种最优策略可以为制定平稳的长期养老金计划提供依据 在固定给付养老金计划中，所有的风险都由管理者承担保险公司为了进 一步规避风险，开始研究固定缴款的养老金计划这种固定缴款养老金计划将 所有的风险都转嫁到了投保人身上对于固定缴款养老金计划，随机模型研究 的主要内容是：1 告知投保人所面临的风险以及他们可供选择的养老金方式； 2 根据投保人的风险厌恶程度来选择投资方式和缴款率来使得投保人在退休之 后能够得到最大的退休给付在这样的计划中，由于风险是由投保人承担，保 险人就可以将养老金资产进行任意投资，所以在退休时，养老金资产就非常不 稳定( 这点正好和固定给付养老金计划相反) 假如资产投资情况不理想的话， 投保人在退休后得到的收益就会很少虽然固定缴款养老金计划对保险人没有 严格的限定其如何投资和怎样的缴款率，但是保险人还是必须拿出确切的计划 ( d e t e r m i n i s t i cp r o j e c t i o n ) 给投保人确定一个适合的，让人可以接受的缴款率所以 固定缴款计划一般采用以退休时刻养老金资产的效用期望最大化为目标函数、 或者给定任何时刻理想状况下养老金资产值，以实际运行情况养老金资产与理 想状况下的养老金资产之间的平方损失函数最小化为目标函数，利用固定给付 计划中的动态随机方法来求得最优的投资组合 国内外有不少针对固定缴款计划的文章，例如b l a k e ，c a i r n s & d o w d ( 2 0 0 1 ) ( b c d ) 从经验的角度出发考虑了离散时间下的模型，即在缴款率是投保人工资的一个固 定比例情况下，得出退休后的给付为p ( t ) = 菰筹嚣k h a b e r m a n v i g n a ( 2 0 0 1 ) 考虑缴款率固定不变的情况，以养老金资产的平方损失函数为目标函数，利用随 机控制原理进行分析b o u l i e r ，h u a n g 和t a i l l a r d ( 2 0 0 1 ) 考虑一个受保护固定缴款 的养老金计划，即在退休时刻t 养老金资产不少于一个给定的值，以退休时刻 实际养老资金和给定值的离差的效用函数的期望最大化为目标函数，就最优投 资策略进行了研究c a i r n s ，b l a k e d o w d ( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ) 首次开始考虑在连续时间下 养老金模型以退休时刻养老基金的效用最大为目标函数，采用c a i r n s ( 2 0 0 0 ) 在 固定给付养老金模型中利用的h j b 方法求解随机动态方程，得到了最优投资策 略前面所有的讨论都是在缴款率固定的情况，b a t t o c c h i o ，m e n o n c i n ( 2 0 0 2 ) 开 浙江大学硕士学位论文第一章堵论 始考虑缴款率和无风险投资的回报率均是服从布朗运动，并且考虑通货膨胀，以 退休时刻t 养老金资产的期望效用最大化为目标函数，给出了求解的方法和过 程，但没有给出投资策略的具体表达式进一步，b a t t o c c h i o ，m e n o n c i n ( 2 0 0 4 ) 给 出了确切的求解过程，得到了最优的投资策略的表达式 1 3再保险知识简介 再保险是保险人在原保险的基础上，通过签订合同，将其所承保的部分风 险和责任向其他人进行保险的行为这种以承保的形式，将保险人承担的保险 责任，部分转移给其他保险人的方法也称分保在再保险合同中，分出业务的一 方称为原保险人或分出公司、分出人，接受业务的一方称为再保险人或接受公 司、分入公司一般情况下，分出公司只能将其所承担业务的部分责任进行分 保，而不能全部分出与直接保险一样，再保险的投保人，即原保险人，应向再 保险人支付再保险费( 也称分保费) ，再保险人向原保险人支付分保佣金，用以 弥补分出公司在招揽业务过程中及以后的管理费用支出再保险人接受分入业 务，就承担了分摊未来风险的责任 再保险与原保险都是从海上保险开始的随着海上航运发展，保险人承担 的风险越来越大，客观上产生了分保需求早期再保险主要采用临时再保险的 分保安排，临时再保险其特点是再保险的办理完全出于业务当时的需要，是纯 粹临时的，个别的契约行为，再保险当事人双方有完全的自主权，不受任何约 束而且临时再保险的接洽办理，必须逐笔磋商，手续繁复，费时费力，效率很 差，且未商妥之前，是否能最终达成协议不得而知，原保险人处于无保障状态 为了适应需求，克服临时再保险的这些缺点，1 9 世纪初再保险的另一形态一合 同再保险应运而生了不过仅仅局限于比例分保方式合同再保险是实现由订 阅双方谈妥条件，约定凡有业务，原保险人按约定成份向再保险人分保，不用通 知，再保险人均须接受，不得拒绝再保险实际上是原保险人为稳定业务经营， 把承担风险和责任控制在一定限度内，将超过部分的责任转让出去。 再保险可以按多种标准分类，主要有：( 1 ) 按照承保的险种可以分为财产 险再保险，人寿险再保险，意外险再保险，责任险再保险等( 2 ) 按照是否签订 合同可以分为临时再保险，合同再保险和预约再保险( 3 ) 按照保费和总保费 之比是否等于再保险人分担的赔款之比可分为比例再保险和非比例再保险，比 例再保险又可以分为成数再保险( q u o t os h a r er e i n s u r a n c e ) 和溢额再保险( s u r p l u s r e i n s u r a n c e ) ；非比例再保险叉可以分为超额赔款再保险( e x c e s so fl o s s e s 浙江大学硕士学位论文第一章堵论 r a t i or e i n s u r a n c e ) 、停止损失再保险( s t o pl o s sr e i n s u r a n c e ) 和最大赔款再保险 ( l a r g e s tc l a i m sr e i n s u r a n c e ) 1 4本文结果和结构 第一，讨论了有限时间内，连续的固定给付养老金计划的最优决策模型 在这个模型中，假定保险公司把养老金资产分成两部分，分别投资于风险资产 和无风险资产；并且养老金资产的变化仅仅由投保人所缴纳保费和投资所得的 回报所引起在决策过程中，保险公司以最小化缴款率风险和偿付风险的凸组 合函数为目标，寻找最优附加成本和最优风险资产所占养老金资产的比重本 文采用了h a m i l t o n - j a c o b i - b e u m a n 等式与拉格朗日方法，得到了最优附加成本以 及投资于风险资产与未偿付精算负债最优比例最后给出了数值模拟 第二，讨论了聚合风险的最优再保险问题考虑n 种索赔次数相关的险种 构成的总体，在均值保费计算原理下的比例再保险模型本文在使得分出公司 期望收益一定的情况下，以风险( 以方差表示) 达到最小为目标函数，给出了最 优分出比例 本文结构如下：在第二章第一小节构建了固定给付养老金计划的基本模型 第二小节先给出了随机控制的两个基本定理，然后利用这两个定理推导了上节 给定模型的最优缴款率和投资决策第三小节给出了一个实际的例子在第三 章第一小节构建了再保险关模型并推导出了最优解在第三节给出了一个涉及 车辆损失险、第三者责任险及无过失责任险这三种险种的最优成数再保险决策 安排的实例 浙江大学硕士学位论文第二章随机控制下田定培竹养老金计划的最优模型8 第二章随机控制下固定给付养老金计划的最优模型 2 1 养老金模型 随着金融自由化和金融创新的发展，提高投资收益已成为人寿保险公司提 高竞争力的重要手段现代人寿保险公司经营的养老金险种属于中长期储蓄性 保险品种，兼具保险和储蓄功能，合同期限长，一般长达几十年，投保人每期 缴纳保费，这样，前期多交的保费即形成了准备金并在相当长的时间内可以由 保险公司支配这部分资金要求保险公司进行有效的管理使其保值增值下面 就给出在固定给付养老金计划中如何进行投资和确定一个合适的缴款率来使得 其风险达到最小并且在投保人退休时刻养老金资产能够达到固定给付的水平 本文的养老金模型考虑的是累积的固定给付养老金计划在这种固定给付 计划中，退休后的给付是由保险人提前确定的我们假设：所有有关这个计划运 行情况的精算值都是连续计算的有： c ( t ) = n c ( t ) + s c ( t ) ，( 2 1 1 ) 其中 s c ( 归警， ( 2 1 2 ) u a l ( t ) = a l ( t ) 一f ( t ) ( 2 ，1 3 ) 其中附加成本s c ( t ) 表示在t 时刻通过对缴款率的调整来分期偿还未偿付的精 算负债这里，我们考虑把u a l ( t ) 等于以利率r 计算的m 年连续年金的精算现 值 令k = 寺表示s c ( t ) 和u a l ( t ) 所成比例，则有： s c ( t ) = k u a l ( t ) ( 21 4 ) 假设以一常数6 作为这个计划的实现值，则这个计划的主要变量之间就有如 下关系式( b o w e re ta 1 1 9 7 6 ) ： 6 a l + n c p = 0 ( 2 1 5 ) 浙江大学硕士学位论文第二幸随机控审j 下圆定给付养老金计划的量优模型 管理者把养老金资产分成两部分进行管理，并把这两部分分别投资于风险资产 s ( t ) 和证券s o ( t ) ，o t t ，则它们各自的动态方程； d s ( t ) = s ( t ) ( p d t + y d w ( t ) ) ，s ( o ) = s o d s o ( t ) = r s o ( t ) d t ，s o ( o ) = 1 ( 2 1 6 ) ( 2 17 ) 其中卢为风险资产的收益率，”为风险资产的波动率，r 为无风险资产的回报 率；均为正的常数w ( t ) 是定义在( n ，f ，p ) 空间上的标准布朗运动， f t ) 表示 过滤器a ( ) ) 的完备集假定：无风险资产的回报率r 比风险资产的平均回报 率p 小定义a ( ) 是养老资金投资于风险资产的比重，并且a ( t ) 是r 一维 r 上 可测过程 l a ( s ) 1 2 d s o o os ，v t 【0 t 】 缴款率过程c ( t ) 是一维 矗) 上可测过程，有： “ l c ( s ) 1 2 d s 。口矗，v t 【0 卅 并且 孵e 一一( 卢s g 2 ( t ) + ( 1 一z ) u a f ( t ) d 目 o 。 上式可以根据未偿付精算负债重新写成如下形式 e r o f o t e - m ( i l k 2 u a 二2 。) + ( 1 一f 1 ) u a l 2 。) 捌 o 。 其中e f o 表示在r 下的条件期望把所有满足上式的解构成的集合记为a t , 根据m e r t o n ( 1 9 7 1 ) ，我们假定养老资金的改变仅仅是由资产价格，无风险资产 的回报率的改变以及保费缴款所引起，因此： d f ( 归邢) 坤饵d s ( 万t ) + ( 1 叫嘲邢) 掣邶卅出 ( 2 1 8 ) 考虑( 2 16 ) 和( 2 1 7 ) ，可以得到如下的养老基金随机微分方程： d f ( t ) = r f ( t ) + a ( t ) ( p r ) f ( t ) + ( c ( t ) 一p ) l d t + a ( t ) f ( ) q d l 矿( t ) ( 219 ) 浙江太学硕士学位论吏第二章随机控制下匦定络付券老金计划的最优模型 1 0 养老资金的初始条件为f ( o ) = f 0 假定养老金管理者希望最小化缴款率风险和 偿付风险的凸组合函数为目标因此，在a x , 内最小化的目标函数为 j ( f ， ) = e p 0 f o re - p t ( 卢k 2 u a l 2 q ) + ( 1 一芦) u a l 2 ( t ) ) d t l 参数卢是一个权重因子，在( o ，1 j 上变化，反映的是相对于另一种风险，一 种风险的重要性p ：一个正的折现因子，折现因子越大表示养老金管理者更关 ，5 - 现在相对于未来养老基金的运行情况 通篇文章都作了一个6 等于r 的假设，即利率等于证券的回报率 2 2养老金的最优控制 这一小节，我们首先给出两个随机控制定理 定义1 2 1 t t 一点a g 对d 称之为规则的，当 驴b = 0 _ 1 否则点y 称之为不规则的 定义1 2 2 t t伊藤扩散过程托= 雄有： d x , = 6 ( 托) 出+ f ( 置) d 鼠；t 0 ；局= z 其中b ：r n 一耶，f ：r n 一舻m ，b 为m 一维布朗运动 在舻+ t 定义伊藤扩散过程k = f ”，通过 k = b - - t ，墨+ d tt 0 考虑马尔科夫控制u = u ( ，五) ，则 d k = 6 ( k ，u ( k ) ) 出+ 盯( k ，t ( k ) ) d b 对于一u 和f 瑶( r 彤) 定义： f ，) ( 沪知+ 甄i = 1 ) 差+ 。如v ) 器 ( 2 22 ) 浙江大学硕士学位诒文第二幸瞳机控幸j 下盛定培豺养老空计划的置优模型 i i 其中= ；( a c t 7 ) 日，y = ( s ，z ) ，= ( 钆，) 对于选择函数“，则k = p 的解 是一个带有发生器a 的伊藤扩散过程：( a f ) ( y ) = ( l “o ，) ( v ) ，对于，锑( 兄彤) 对于一u ，定义p ( ) = f ( 叭”) 下面给出在随机控制理论中最基本的结果： 定理2 f ( h a m i l t o n j a c o b i b e t m a n 等式) 定义 西( g ) = s u p j “( 9 ) ；u = u ( y ) m a r k a vc o n t r o l ( 2 2 3 ) 假设圣c 2 ( g ) nc ( e ) 是有限的，t ( 3 0n s 驴对于所有的y g 并且存在唯 一的马尔科夫控制“+ 假定嬲对于珂是规则的，则 s u p f ”扫) + ( l ”垂) ( f ) = 0v y g ( 2 , 2 4 ) v e u 和 西( ) = k ( ) 的0 g ( 2 2 5 ) 当v = u 。( 们，则从等式国3 3 ) 得到最优解白) 也即 f ( y ，让+ 臼) ) + ( l 矿( ，垂) ( ) = ov y g ( 2 , 2 6 ) 在许多运用中，马尔科夫控制u 都有一些限制。这些带限制条件的问题通 常采用一种“拉格朗日”方法来处理可以描述成： 考虑这个问题垂( 来找到最优u + ( 们 西( f ) = s u pr ( v )( 2 2 7 ) u k 其中 j “( ，) = e 。f 上p ( ) 出4 - ( 蹿) t ( 2 f 2 8 ) 并且其中上确界是属于马尔科夫控制：r ”1 一u c 彤的空间上，有 e ”眦( 蹿) 】- 0 ，i = 1 ，2 ，2 ， 其中m = ( m 1 ，m 1 ) ：胛+ 1 一尉是一个给定的连续函数， e 。i j m k ( 垮) 日 浙江大学硕士学位论文第二章随机控制下圃定培付养老金计划的最优模型1 9 d ) 口= 时风险资产比重的分位数 1 4 2 最优的附加成本 图1 中4 幅图表现是第5 ，2 5 ，5 0 ，7 5 ，9 5 分位数的走势以及对于不同的 权重因子卢最优附加成本均值分布图a ) 和c ) 表明附加成本s g ( t ) 与时间t 成 正比，并且对于不同的权重因子p 其轨道也不同图b ) 和d ) 表明最优附加成本 s c ( t ) 的第i 分位数( i = 5 ，2 5 、5 0 ，7 5 ，9 5 ) 的分布情况 浙江大学硕士学位论文第三章置优再保险捷策模型研究 第三章最优再保险决策模型研究 3 1基本模型及最优再保险 再保险决策中的基本问题是自留额的确定自留额是指保险人再保后承担 的风险额度，其衡量的指标因再保险形式的不同而不同，在务实中确定自留额 是相当复杂的由保险的知识可知，保费是由纯保费，风险附加额，营运费用， 和正常利润组成但从理论分析的角度，一般不考虑原保险人和再保险人的成 本开支和正常利润假设纯保费和风险附加额组成，则保险人希望获得利润越 多越好，然而，高回报往往伴随着高风险，如果保险人自留额定得过高，则可能 因承担的风险过高而影响财务的稳定性，甚至可能因发生巨额索赔而破产；若 自留额过低，则可能丧失大量利润，显然，不能同时是保险人的利润最大而风险 最小，那么如何确定自留额呢? 国内外不少文章针对最优再保险决策问题作了 研究，如h u r l i m a n n ( 1 9 9 4 ，1 9 9 9 ) 在分别考虑比例及非比例再保险形式且保费定价 采用期望值原则的前提下以保险公司的自留风险最小为日标函数求解最优化问 题；肖艳颖等( 2 0 0 2 ) 研究了用组合投资理论确定最优比例再保险的方法；程兰 芳( 2 0 0 3 ) 给出了一系列确定最优比例再保险的决策模型；c e n t e n o ( 2 0 0 5 ) 研究 了二种相关的险种的非比例再保险的最优决策特别地在c e n t e n o ( 2 0 0 5 ) 中，在 计算总索赔时考虑了索赔额及索赔次数，这是符合保险尤其是非寿险实务要求 的。本文从理论上通过给定利润额的前提下使风险达到最小来得到最优的自留 额本章内容和我的同学肖华燕，曹玉松一起完成 我们考虑由n 种风险构成的风险模型，分别表示n 种不同的保险业务假设 这些保险业务之间的索赔次数是相关的令 ) ，j 1 ) 表示i 种风险的第j 次索 赔额，i = 1 ，2 ，n 并假定对固定的t ，x i j ，j = 1 ，2 ，n 相互独立同分布，且为 非负的随机变量，其分布函数为只( 茹) ，f i ( z ) = 0 ，当zs0 时；0 0 ，并假 定其矩母函数存在，并进一步假设置，鼍相互独立，即不同保险业务间每次的 浙江大学硕士学位论文第三章i 优再缳l | 凌塞模型研究 索赔额是相互独立的令 最= 粕，i = 1 2 m ( 3 ，1 1 ) j = l 其中姨是第 种风险在一个时期内的索赔次数设n ( n 1 ，飓，) 是相关 p o i s s o n 分布的随机向量，均值e n = ( a l ，a 2 ，一， 。) 兰a ，v a r n 7 = ( b ) 。兰，在 此设是正定矩阵 假设保险费按均值保费原理计算，附加系数为卢，则第i 个风险的保费为 r = ( 1 + 卢) e & = ( 1 + p ) a ；m ，保险公司采用再保险的方式来降低风险，再保险部 分为r ( & ) ，自留风险为s r ( s ) ，因此，保险公司自留总风险为： n s = s r ( s ) ( 3 1 2 ) t = 1 设再保险费仍按均值保费原理计算，附加系数仍为卢，那么，风险r ( & ) 的保费 为 p r ( & ) j = ( 1 + 芦) 研r ( & ) 1 ( 3 i 3 ) 此时，保险公司的总收益为 n c = ( 只一p r ( ) 】一【s i r ( & ) 】 ( 3 1 4 ) 扛= l 如果采用成数再保险形式，并设第i 个险种的分保比例为0 啦 1 ，i = 1 ，2 ，n ，那么 r 嗡) - a i x q ， ( 315 ) j = l 计算可得总收益期望为： m e c = 只一p 僻( & ) 】一e a r ( & ) 】) j = t n = p e ( 岛】一e 【r ( & ) ) t = l n = p ( 1 一a d & m 浙江大学硕士学位论文第三章最优再保险睫策模型研究 总收益的方差为 v a r c = v a r 只一f i r ( s , ) 】一e & 一r ( & ) 】 t = l e l = v a r ( 1 一卢) e ( 最一r ( 最) 一( 5 ：f 一五( 最) 扛1 n = v a r & 一r ( & ) ) i = t n = v a r & 一且( & ) 】+ 2 c o v ( & 一r ( & ) ，s j r ( s j ) ) i = 1 1 s 勺” c a v ( & 一r ( 最) ，岛一r ( s ；) ) = e ( s i r ( & ) ) ( 岛一r ( ) 一e ( & r ( & ) ) e ( 岛一r ( 岛) ) = e ( e ( s r ( 最) ) ( 岛一r ( s ) f m ) 一e ( e ( & 一r ( & ) ) i m e 0 对于所有的i = 1 ，2 ，n ，所以矩阵n 是个正定矩阵。下面 来看m e m ，v x 0 ，由于“ 0 ，i = 1 ，2 ，n ，所以矩阵m 可逆，所以m x 0 。 又因为是正定矩阵可知： ( m x ) e m 0 ， 因为x m e m x 0 ， 有m e m = m e m 正定， 所以q + m m 正定 3 2举例 我们考虑某保险公司的车辆损失险、第三者责任险、无过失责任险这三种保 险业务，显然这三种业务的索赔次数是具有相关性的假设在某个时间间隔内， 这个险种的索赔次数均服从p o i s s o n 分布，分别为n t =