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硕士论文线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 中文摘要 近年来，广义时滞系统的研究引起了众多学者的广泛关注，因为广义时滞系统经 常出现在各种工程系统中，对它的研究具有重要的意义。本文对带状态时滞的线性广 义时滞系统，研究了鲁棒土l 控制，鲁棒镇定及鲁棒保成本控制问题，并讨论了时滞 相关稳定性问题。 首先，研究了带记忆的上l 静态输出反馈的控制器问题，给出使闭环系统容许且 满足只。性能指标的充分条件，通过求解相应的线性矩阵不等式得到满足设计要求的 静态输出反馈控制器。还针对系统状态存在不确定性时的鲁棒 乙控制问题，设计类 似的控制器使得对所有的不确定性，闭环系统都内稳定并满足给定的凰，性能指标。 其次，研究了一类不确定广义时滞系统的鲁棒镇定问题。对满足一定条件的不确 定性，基于l m l ，提出了一种能使闭环系统对所有容许的不确定性具有鲁棒性的鲁 棒镇定反馈设计方法，求出了反馈控制律。 然后，解决了一类不确定线性广义时滞系统保成本控制问题。考虑的系统包含一 个更实际更一般的执行器失效模型。并利用二次成本函数来衡量系统性能，通过求解 线性矩阵不等式( 上 仃s ) 得到使闭环系统渐近稳定的状态反馈控制律，给出了保证 系统性能有上界的基于l m l s 的控制器存在的充分条件。 最后，讨论了线性时滞广义系统的时滞相关稳定性。利用p a r k 不等式，建立一个 基于二次型项的积分不等式，然后利用这个新的不等式以及l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛 函方法，获得基于矩阵不等式的时滞相关稳定条件。与现有的结果相比，所得到的结 果有较小的保守性，并给出了仿真实例 关键词：广义时滞系统，鲁棒矾控制，鲁棒镇定，保成本控制，渐近稳 定，线性矩阵不等式 硕士论文线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 a b s t r a c t t h e s t u d y i n go f s i n g n l a rs y s t e m s 、埔t ht i m e - d e l a y a t t r a c t sc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni n r e c e n ty e a r s f o rs u c hk i n do f s y s t e m si sm o r eg e n e r a a n dw i d e l yu s e d n 圮r e s e a r c ho n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi so f t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a li m p o r t a n c e ht h i s p a p e r , r o b u s th 。c o n t r o l ，r o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dr o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e m s a b o u ts i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi ns t a t e 辩i n v e s t i g a t e d , a n dd e l a y - d e p e n d e n t s t a b i l i t yi sa l s od i s c u s s e d f i r s t , t h eh 。s t a t i co u t p u t - f e e d b a c kc o n t r o l l e rw i t hm e m o r yi sr e s e a r c h e d a s u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tc a nm a k ec l o s e d - l o o ps y s t e ma d m i s s i b l ea n ds a t i s f i e s 也 p e r f o r m a n c ei n d e xi so b t a i n e d , t h es t a t i co u t p u tf e e d b a c kh 。c o n t r o l l e r , w h i c hs a t i s f i e s t h er e q u i r e m e n to f d e s i g n , i so b t a i n e db ys o l v i n ga n l m t h e nt h er e s u l to f s y s t e m ss t a t e w i t hu n c e r t a i n t yi sa l s oo b t a i n e d t h e nr o b n s th 。c o n t r o lo f s y s t e ms t a t ew i t hu n c e r t a i n t y i sd i s c u s s e d t h es i m i l a rc o n t r o l l e ri sa l s od e s i g n e d n e x t , t h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i z a t i o nf o ru n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m sw i t h t i m e - d e l a yi si n v e s t i g a t e d f o rak i n do fu n c e r t a i n t y , ad e s i g nm e t h o do fr o b u s tf e e d b a c k c o n t r o l l e r , w h i c hs h o w st h a tt h ep r o p o s e ds t a t ef e e d b a c ks y s t e m sa r eo fr o b n s m e s si nt h e p r e s e n c eo f a l la d m i s s i b l ep a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n s ，i sp u tf o r w a r db yl m l t 1 1 i r d , t h ep r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo fu n c c w t a i nl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s w i t ht i m e d e l a yi ns t a t ei ss o l v e d t h eu n c e r t a i nl i n e a rs i n g u l a rs y s t e mw i t ht i m e - d e l a y u n d e rc o n s i d e r a t i o nc o n t a i n sam o r ep r a c t i c a la n dg e n e r a lf a u l t sm o d e lo fa c t u a t o r t h e q u a d r a t i cc o s tf u n c t i o ni se m p l o y e df o rm e a s u r i n gt h es y s t e mp e r f o r m a n c e l i n e a rs t a l e f e e d b a c kl a wc o n s t m o e db yt h es o l u t i o n so f l m l sc a l lm a k et h ec l o s e d l o o ps y s t e m s a d m i s s i b l ea n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c eo f t h ec o n t r o l l e rt h a tg u a r a n t e e sa nu p p e r b o u n do f s y s t e mp e r f o r m a n c ea mg i v e nb a s e do n l m i s f i n a l l y , an e wi n t e g r a li n e q u a l i t ym e t h o di sp r o p o s e dt od i s c u s sd e l a y - d e p e n d e m s t a b i l i t yo f l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yi ns t a t e a ni n t e g r a li n e q u a l i t yb a s e do n q u a d r a t i c t e r mi sf o r m u l a t e d b y p a r k i n e q u a l i t y , t h e nu s i n gl y a p u n o v - k r a s o v s k i i f u n c t i o n a lm e t h o d ，d e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yi so b t a i n e db a s e do nm a t r i xi n e q u a l i t i e s a n e x a m p l ei sg i v e nt oi l l n s t r a t et h a tt h er e s u l th e r ei so f l e s s c o n s e r v a t i o n 。 k e y w o r d s ：s i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m ，r o b u s th 。c o n t r o l ，r o b u s t s t a b i l i z a t i o n ，g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ，a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ，l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：生丕圣i砂年月善，日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：p 一年6 月。悃 硕士论文线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 l 绪论 1 1 广义系统的背景及研究现状 自从7 0 年代r o s e n b r o c k 在研究复杂电网络系统的过程中首先提出了广义系统模 型以来，人们对广义系统的研究产生了极大兴趣，获得了丰富的成果，尤其是2 0 世纪 8 0 年代，广义系统( 也称为奇异系统、广义状态空间系统、隐式系统、微分代数系统、 半状态系统) 理论进入了一个新的发展阶段，许多正常系统的已有结论被成功推广并 移植到广义系统领域，d a il 于1 9 8 9 年出版了广义系统理论的第一本专著，系统地介 绍了广义系统基础理论，标志着广义系统理论已经形成。从2 0 世纪9 0 年代开始，广义 系统的研究从基础向纵深发展，涉及从线性到非线性，从连续到离散，从确定性到不 确定性，从无时滞到有时滞，从线性二次型最优控制到h ：和日。控制等各个专题， 取得了丰硕成果。另一方面，在实际应用中，广义系统模型广泛存在于社会生产诸多 领域，例如：电力系统、经济系统、机器人系统、电子网络、核反应堆等都是用广义 系统模型来刻画的，并且这些模型还往往具有维数高、结构复杂、不确定性、时变性、 时滞性和分散性等特征，使得对于广义系统的研究具有极大的挑战性。 随着现代科学技术和生产技术的发展，人们对控制系统的性能要求越来越高，基 于数学模型的传统控制理论面临着新的挑战，遇到难以克服的困难。由于数学模型的 近似性和不确定性、非线性对系统的效应、测量的不准确性、控制系统本身的参数变 化等，人们在设计控制系统时，只能在近似和简化的基础上进行。但系统是否具有良 好的动态性能并对模型、初值、测量噪声等不确定因素具有稳健性? 人们很难确定。 鲁棒控制理论是处理以上各种不确定性问题的有力工具。 在广义系统中，参数的扰动可能破坏系统的正则性及系统的结构，而且，在某些 情形下，广义系统的正则性及脉冲模对系统参数的变化极其敏感，也就是说，即使标 称广义系统是正则且无脉冲模，但当系统参数哪怕有微小的摄动，也会使系统的正则 性遭到破坏并使系统出现脉冲模【1 1 ，从而使系统失稳。 因此，在广义不确定系统的鲁棒稳定性分析中，一方面要考虑其鲁棒渐近稳定性， 另一方面要考虑系统的正则性及脉冲模的存在性，而在正常系统情形下，就不存在后 两个问题；对应地，在研究广义不确定系统的鲁棒镇定问题时，不仅要考虑闭环系统 的鲁棒稳定性，还要考虑其正则性及脉冲模的消除。所以，对广义不确定系统来说， 其鲁棒稳定性分析及鲁棒镇定要比正常系统复杂得多。 文 1 首次对广义系统的鲁棒稳定性及镇定问题进行了研究，该文指出，广义系 统鲁棒稳定性的分析及鲁棒镇定问题是相当复杂的，它考虑了当摄动矩阵中各个元的 摄动界是可以得到时( 结构扰动) ，广义系统的鲁棒稳定性及鲁棒镇定问题，利用模 矩阵的性质，得到了使广义连续不确定系统鲁棒稳定的摄动的最大上界。文 2 利用 硕士论文 线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 最大模原理及模矩阵的性质改进了上文的结果。对于离散广义系统，文 3 利用类似 的分析工具得到了相应的结论；在此基础上，文 3 进一步提出了鲁棒镇定控制器的 设计算法。可以说，用模矩阵的性质来解决广义系统的鲁棒稳定性问题是成功的。事 实上，早在1 9 9 0 年，c h o u 】就利用模矩阵的性质讨论了正常系统的结构摄动下的鲁 棒稳定性问题，而文 1 与 3 则是将文 4 的结果推广到了广义系统。利用类似的思 路，文 5 将正常系统鲁棒控制中使用极为广泛的结构奇异值理论( 或称为z 理论) 应用于区间广义系统的鲁棒稳定性分析中，利用线性分式变换( l f t s ) 将鲁棒稳定 性问题转化为具有实结构不确定性的分析问题，从而得到了该类系统正则、无脉冲 且鲁棒稳定的充要条件；分析表明，所提出的方法对连续与离散区间广义系统的鲁棒 稳定性分析都是行之有效的。而文 6 则考虑了所谓具单向扰动的广义系统的鲁棒稳 定性问题，在假设标称广义系统正则、无脉冲且稳定的情形下，将所考虑的问题转化 为一鲁棒矩阵秩问题，从而通过一些简单的计算得到了使广义系统鲁棒稳定的单向摄 动的精确界，此结果也可认为是正常系统情形文 7 所得结果向广义系统的自然推广。 文 8 对于不确定项满足广义匹配条件的广义系统，得到了闭环系统容许的充要条件。 文 9 针对具有结构不确定性的离散广义系统，得到了鲁棒稳定的充分条件，并进一 步得到了所考虑系统具有鲁棒极点集的条件。张庆灵l l o l 利用频域根轨迹方法和代数 方法，考虑了不带输入项的结构不确定广义系统，得到了一些不确定广义系统鲁棒稳 定的简明结果。 当摄动矩阵中各个元的摄动界是不能得到的，而摄动矩阵的范数界是可以得到 ( 非结构扰动) 的情况下，广义系统的鲁棒稳定也取得了一定进展。事实上，早在 1 9 9 0 年，王朝珠等【1 1 1 就对具有上述结构摄动的一类连续广义系统，利用状态反馈进 行了鲁捧控制器的设计，由于设计过程涉及到系统矩阵的分解，而且步骤较多，故设 计过程较为繁琐。文 1 2 也研究了广义不确定系统的脉冲鲁棒控制，并运用代数方法 研究了一类广义不确定系统的状态反馈式稳定鲁棒控制，后来文 1 3 又用l y a p u n o v 稳定性理论和矩阵范数性质，在不同的情况下，给出了广义系统的状态反馈式稳定鲁 棒控制和动态补偿式稳定鲁棒控制，而且提出了在多个稳定鲁棒控制器中寻找具有最 大的不确定量范数界的控制器方案。类似地，文 1 4 得到了使系统不稳定的摄动的最 小范数界。 对正常系统来说，利用l y a p u n o v 函数并基于r i c c a t i 方程给出鲁棒稳定及鲁棒镇 定的条件是相当普遍的。具体地说，1 9 8 5 年，b a r m i s h ! ”1 在讨论正常系统的鲁棒稳定 性时利用l y a p u n o v 理论，提出了“二次稳定”的概念，其实质是构造一个l y a p u n o v 函数y ( x ) ，沿着系统讨论v ( x ) 川删。 o ) 的可能性。而在讨论鲁棒镇定时，其 思想是借助于“二次稳定”的概念，所以文献中大量地利用所谓的“二次可镇定”的 概念。 2 硕士论文线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 对广义连续系统，在不确定性是时不变的情况下，虽然文 1 6 也提出了“二次稳 定”的概念，并基于此提出了“二次可镇定”的概念，但该概念首先假设所考虑的广 义不确定系统正则且无脉冲模，从而限制了其适用范围，而且，该文也仅得到了广义 二次稳定的充分条件。文 1 7 利用同样的概念，通过r i c c a t i 不等式讨论了当导数项 的系数矩阵也存在扰动时的广义不确定系统可二次镇定的充要条件。文 1 8 同样是针 对连续情形的不确定广义系统，利用二次稳定的概念研究了鲁棒镇定问题。对于离散 的情形，文 1 9 在一些假设条件下，得到了广义二次镇定的充分条件。文 2 0 通过代 数r i c c a t i 不等式，得到了二次稳定的充分条件。徐胜元，杨成梧【2 “捌系统深入地研 究了此类问题( 连续或离散) ，得到了大量的用线性矩阵不等式表示的二次稳定的充 分或充要条件；文 2 4 在此基础上，利用线性矩阵不等式得到了不确定性满足广义匹 配条件的广义系统的鲁棒镇定的充分条件 综上所述，广义系统的鲁棒稳定性及鲁棒镇定问题已取得了一定的研究成果，但 还有很多问题需要进一步研究、完善与深化；而正常系统鲁棒控制理论丰富的研究成 果，为广义系统鲁棒控制理论的进一步研究提供了可行的思路与研究手段，同时广义 系统鲁棒控制理论的不断发展也为广义大系统的理论发展奠定了基础。 近年来，广义系统的z 乙控制闯题引起了人们的关注，并取得了一定的研究成果。 利用l m 得到了广义系统的以控制问题可解的充要条件。所谓王乙控制问题即是寻 找反馈控制器使得闭环系统内稳定，并且从干扰输入到受控输出的传递函数的上乙范 数满足事先给定的见，性能指标。文献e z s 将正常系统风，控制中的，一谱分解法推广 到了广义系统的情形，文献r 2 6 利用矩阵不等式得到了广义系统的风，控制问题可解 的充要条件。 1 2 时滞系统的研究背景 在实际应用中，人们经常假设所研究过程的行为仅由现在的状态决定，而与过去 的状态无关，并假设系统由一个包含状态及状态变化率的方程来约束，这样，通常考 虑的就是常微分方程或偏微分方程。然而，在很多情况下，这种假设是不满足的，系 统的行为不仅与现在的状态有关，还包含系统过去的信息。这类系统被称为时滞系统。 在各类工业系统中，时滞现象是极其普遍的，如长管道进料或皮带传输、极缓慢的过 程或复杂的在线分析仪等均存在时滞现象。此外，对许多大时间常数的系统，也常用 适当的小时间常数加纯滞后环节来近似，这都可以归结为时滞系统模型。一般地，一 个系统中原料或信息的传输也往往导致时滞现象的产生。近几十年来，关于时滞系统 的研究，涌现了大量的文献。为什么这一领域的研究会引起如此广泛而持久的关注， 究其原因，主要有： ( 1 ) 许多实际物理过程的内部动态中都存在滞后现象。在生物学、化学、经济学、 3 硕士论文线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 力学、物理学、生理学、人口动力学、工程科学等学科中都存在滞后。另外，滞后还 普遍存在于通讯及信息技术领域：如遥控系统，机器人动态，网络受控系统的稳定性， 高速通讯网络中的服务质量等。有时候，滞后还可用来简化一些高阶模型。因此，在 科技领域尤其是控制工程中，时滞系统的研究引起了国内外众多学者的重视。 ( 2 ) 时滞的存在经常会带来很多“不便”滞后会引起闭环系统的复杂行为，比 如不稳定、振荡或者较差的动态品质。很小的时滞就可能使得一些系统不稳定。 ( 3 ) 研究表明，人为地引入滞后还可便于对系统的控制。在一些情况下，无滞后 反馈系统是不稳定的，而含有适当滞后的控制则会使得系统渐近稳定。 1 3 广义时滞系统的研究进展及存在的问题 时滞是客观世界及工程实际中普遍存在的现象。时滞的存在会严重降低系统的性 能，在某些情况下，还可能导致系统不稳定。所以在过去的几十年中，关于时滞系统 的稳定性的研究引起了国内外学者的广泛关注，并涌现了许多优秀成果。这些结果可 分为两类：时滞无关型结论及时滞相关型结论。一般地说，时滞相关型结论较之时滞 无关型结论具有较小的保守性，特别是在滞后较小的情形。 广义时滞系统，也称为时滞微分代数方程，隐式时滞系统，或奇异时滞系统， 它本质上是由时滞微分方程和代数约束构成的系统，经常出现在宇宙飞船姿态控制， 大型电网控制，大型化工系统及无线传输线路等各种工程系统中。 由于广义时滞系统既是广义系统又含有时滞，故对这类系统的分析与综合比正常 状态空问时滞系统要复杂和困难的多。我们既不能仅从时滞系统的观点进行考虑，也 不能仅从广义系统的观点进行考虑，而应该从两类系统相结合的角度进行研究和分 析。目前，关于广义时滞系统的研究的结果并不多。 早在1 9 8 0 年，c a m p b e l l t 2 7 1 在初始函数无穷次可微的条件下，给出了线性定常广 义时滞系统存在无穷次可微解的充分条件，但这一条件太强。后来，刘永清等1 及 蒋威分别在其专著中利用不同的方法讨论过这一问题。徐胜元等在文献 3 0 1 q b 指 出：对线性广义时滞系统 r j e x ( t ) = 似f ) + 4 0 一力r 。、 i x ( t ) = 矿( f ) ，t 【- - 7 ，0 】 若妒( f ) 为连续向量初始值函数且矩阵对( e 爿) 正则、无脉冲，则系统( + ) 在【o ，叫上 存在唯一解且解不含脉冲。这一结果的提出，将广义时滞系统解的存在唯一性与矩阵 对( 丘爿) 的正则无脉冲性联系在了一起。在文献 2 8 1 中，刘永清等将传统意义下的 l y a p u n o v 稳定性定义推广到了广义时滞系统，给出系统关于解的向量函数稳定及渐 近稳定的定义。在此基础上，解决了线性定常广义时滞系统在几种特殊情形下的稳定 4 硕士论文线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 性问题。文献【3 1 】对矩阵谱半径的形式给出了含有小时滞的广义系统鲁棒稳定的充要 条件，文献 3 2 贝i j 研究了广义时滞系统的特征值与稳定性的关系。文献 3 3 1 和【3 4 】讨论 了广义时滞系统的风，控制问题，但其中关于时滞无关型稳定性结果的证明仍需完善。 2 0 0 2 年，徐胜元等 3 0 】冯俊娥等【3 5 】各自独立的推导出了广义时滞系统正则、无 脉冲且渐近稳定的时滞无关型充分性条件，满足该条件时，则广义时滞系统( + ) 正 则、无脉冲且零解渐近稳定。这一条件以受限等价形式给出，在数值计算上是稳定的。 基于此条件，状态反馈鲁棒镇定问题 3 0 1 ，基于观测器的动态输出反馈控制器与补偿 器设计问题 3 6 1 ，及保性能控制问题【3 5 】及 3 7 】分别得以研究。但上述结果均是时滞无 关型的，这具有较大的保守性，特别是在滞后较小的情形在工程实际中，一般可得到关 于滞后的值的范围信息，这启发我们去研究较少保守性的时滞相关型判据。目前关于 广义时滞系统的时滞相关型稳定型判据的文章还很少。文献【3 8 】从频域的角度讨论了 时滞扰动对广义系统稳定性的影响，并指出时滞广义系统稳定性的研究较正常系统要 复杂的多。文献 3 0 】对时滞无关稳定条件进行了讨论，但其中关于时滞无关型稳定性 结果的证明仍需完善。文献 3 9 】讨论了小时滞对广义系统稳定性的影响，获得了时滞 相关稳定条件，但该条件具有较大的保守性。并推导出了奇异摄动时滞系统的一个新 的时滞相关型稳定性判据，并且指出，当占= 0 时，此判据可保证奇异时滞系统的渐 近稳定性。文献 4 h 对于奇异时滞系统的一等价模型，利用l y a p u n o v 第二方法，以 l m z s 的形式给出了系统的稳定性条件，但仅就一类特殊的分布滞后情形给出了时滞 相关型稳定性条件。文献 4 2 1 通过将系统分解成快慢两个子系统并利用l m i s 技巧， 得到了一类奇异时滞系统的时滞相关型稳定性条件及状态反馈镇定控制器的设计方 法。文献【4 3 】将广义时滞系统转化为一个带约束条件的中立型系统，然后利用 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法，获得了基于l m i 的时滞相关稳定充分条件。 1 4 本论文的研究工作 线性广义系统稳定性和风，控制问题虽然已取得了一定的成果，但仍有许多问题 值得进一步去研究、完善和深化。本文在前人研究线性广义系统及广义时滞系统稳定 性和 乙控制问题的基础上，分析了连续线性定常广义时滞系统的稳定性、镇定问题， 得到了一些相关的定理和具有实际意义的结论，为进一步丰富和完善广义时滞系统稳 定性与士乙控制理论起了一定的作用。下面简述一下本文的研究工作： ( 1 ) 研究了一类存在状态时滞的线性广义时滞系统，提出了带记忆的见，静态输 出反馈的控制器问题，通过求解相应的线性矩阵不等式得到满足设计要求的静态输出 反馈控制器本文还给出了系统状态存在不确定性时的风，控制问题，设计控制器使 得对所有的不确定性，闭环系统都内稳定并满足给定的月：性能指标。 ( 2 ) 研究了一类不确定广义时滞系统的鲁棒镇定问题。所考虑的系统状态带有 5 硕士论文 线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 时滞，对满足一定条件的不确定性，基于上 打方法，提出了一种能使闭环系统对所 有容许的不确定性具有鲁棒性的鲁棒镇定反馈设计问题，并给出了反馈控制律的求解 方法。 ( 3 ) 讨论了不确定线性广义时滞系统可靠保成本控制问题。考虑的系统包含一 个更实际更一般的执行器失效模型。并利用二次成本函数来衡量系统性能，通过求解 线性矩阵不等式( l m i s ) 得到使闭环系统容许的状态反馈控制律，给出了保证系统 性能有上界的基于l m l s 的控制器存在的充分条件。 ( 4 ) 提出了一种新的积分不等式方法，讨论线性时滞广义系统的时滞相关稳定 性。利用p a r k 不等式，建立一个基于二次型项的积分不等式，然后利用这个不等式以 及l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函方法，获得基于矩阵不等式的时滞相关稳定条件。仿真实 例表明，本文得到的结果有较小的保守性。 6 硕士论文 线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 2 预备知识 一般地，连续时间的广义系统的状态空间描述如下： e ( t ) i c ( t ) = f i x ( t ) ，“( f ) ，t 】( 2 0 1 a ) y o ) = g 【x ( f ) ，“( f ) ，f 】( 2 0 1 b ) 其中，t 0 为时间变量；x ( t ) e r ”，u ( t ) r 。和y r7 分别为状态向量、输入向量 和输出向量：( ) ，g ( ) 分别为厅维和m 维向量函数；e ( t ) r 为奇异矩阵。 特别地，对于连续时间的线性时不变广义系统，其状态空间描述一般表示如下： e i ( t ) = a x ( t ) + b u f f )( 2 0 2 a ) ，o ) = c i ( r ) + o u ( t ) ( 2 0 2 b ) 其中，e ，a r “。，b e r ，c e r “”，d r 翩皆为定常矩阵；e 为奇异矩阵，e 的秩 满足r a n k e = 鼋 刀有时，为方便，简记广义系统( 2 2 ) 为( e ，彳，b ，c ，d ) 。这里，很容 易知道，当e 非奇异时，广义系统( 2 2 ) 等价于 孟o ) = e 1 血( ，) + e - 1 b u ( t )( 2 0 3 a ) 灭f ) = c k ( f ) + o u ( t )( 2 0 3 b ) 系统( 2 3 ) l l p 为正常系统；如果e 退化为单位矩阵，则广义系统( 2 2 ) 退化为标准的正 常系统模型。 正则性是广义系统区别于正常系统的一个最基本的属性。任意一个正常系统都是 正则的，但对于广义系统却不然。满足正则性通常是对广义系统控制设计的最基本要 求。 定义如果矩阵束( 姬一a ) i e 贝t j ，即存在e c 使得行列式d e t ( s o e - a ) 0 ，则称 广义系统( 2 0 2 ) 是正则的，或称矩阵对( e 爿) 是正则的。 可见，广义系统( 2 0 2 ) 正则等价于广义矩阵对( e 彳) 正则，而与系统的其他矩阵 口，c 。d 的选择无关。 考虑如下正则的广义系统 置 ( f ) = x o ) + b u ( t ) ，x ( t o ) = x o ( 2 0 4 ) 假设控制输入p ) 是h 阶分段连续可导的，表示为“( f ) c ：。 引理1 广义系统( 2 0 4 ) 对于给定的允许初始状态存在唯一解的充要条件是该广义系 统正则。 可见，为了保证广义系统的解的存在性，正则性是对广义系统最基本的要求。 2 1 广义系统的受限等价变换 对广义系统( 2 0 2 ) 进行线性非奇异变换i = q 1 x ，可以得到 7 硕士论文 线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 p e 谚( f ) = p a q 舅o ) + p b u ( t )( 2 1 1 a ) y ( f ) = c 吲f ) + d u ( t )( 2 1 1 ” 其中，p 和q 是两个可逆矩阵。这时，在广义状态空间中，变换前后的两个广义系统 的状态之间是一一对应的，称这两个广义系统是受限等价的，这种变换通常称为受限 等价变换。 事实上，受限等价变换具有保持广义系统的结构特性的性质，如特征值、正则性、 稳定性、能控性和能观性等结构特征，因此，对结构比较复杂的广义系统进行分析和 综合时，经常采用受限等价变换把广义系统化成一种简单特殊的形式，再对其进行分 析研究。由于受限等价变换不改变矩阵d ，因此，通常考虑d = 0 时的广义系统 ( e 彳，b ，c ) 。广义系统( ea ，ec ) 的有多种受限等价变换形式，这里只介绍后文中用 到的两种等价变换形式。假设r a n k e = q n , ( s e 一彳) 的行列式的次数为，即 d o g d e t ( s e - 4 ) = ，显然，q 0 时，广 义系统( 2 3 1 ) 的解z o ) 满足怜( f ) 0 ：s 凹巾肛( 删：，则称广义系统( 2 3 1 ) 是渐近稳定的， 或称( e ，彳) 渐近稳定。 判别广义系统渐近稳定有下面的结论 引理2 3 2 t “下面的三个命题等价： ( 1 ) 广义系统( 2 3 1 ) 渐近稳定 ( 2 ) 在广义系统的第一种受限等价形式( 2 1 3 ) 9 ，慢子系统( 2 1 3 a ) 渐近稳定 ( 3 ) 盯( e 彳) c c 一，其中c 一= s i s c ，r e ( s ) 0 ，存在艿( p ) 0 ， 使得对于满足条件s u p 的任意相容初始条件妒( f ) ，系统( 2 1 ) 的解，( f ) 满足忙( f 占( ，o ) ，进o l c 一( t ) 步d z a ( d ( 占专) o o 专佃) 4 引理2 4 3 m 时滞广义系统( 2 4 1 ) 是容许的，如果存在可逆矩阵p 和正定矩阵q ， 使得 f e x p ：p r e 0 i 彳7 p + p 7 a + p r 4 q - - g p + q 0 2 4 2 下面给出本论文常用的引理及记号： 引理( s c h u r 补引理) 一1 设肘( f ) ，( r ) 和p ( f ) 是具有适当维数的矩阵，吖o ) 和o ) 是对称矩阵，则对于任意的t er ，以下的三个条件是等价的： 1 0 硕士论文 线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 ( 篙删p c t ) i 。 ( 2 ) ( f ) 0 及m ( r ) 一p ( t ) n - 1 ( t ) p 7 ( f ) 0 ( 3 ) m ( f ) o 及( ，) 一p 7 ( ，) 肘。1 0 ) p ( f ) 0 ) 表示实对称矩阵x 为半正定( 正定) 矩阵； 上标r 表示矩阵的转置； 上枥0 1 表示矩阵的逆； 符号+ 用于一些矩阵描述中来表示对称结构，例如( ：习= ( 嘉 硕士论文线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 3 线性广义时滞系统带记忆静态输出反馈风控制 对于存在状态时滞的线性时滞广义系统，提出了带记忆的日。静态输出反馈的控 制器( 所谓带记忆，就是指控制器与时滞有关) 问题，通过求解相应的线性矩阵不等 式得到满足设计要求的静态输出反馈控制器，还讨论了系统中存在不确定性的情况， 最后用仿真实例验证了本章结果的有效性。 3 1问题描述与预备知识 考虑如下一类存在状态时滞的广义时滞系统： f 点莺o ) = 出o ) + 4 x ( t f ) + b l w ( t ) + b 2 u c t ) j 。( f ) 2 量删+ d i ( ，)( 3 1 1 ) i y ( f ) = c 2 工( ，) 【x o ) = ( f ) ，t - r ，0 】 式中，x ( t ) e r “为状态向量；u ( t ) r “为控制输入向量；畎r ) e r l 为系统干扰输入 向量；z ( t ) r q 为系统受控输出向量；y ( t ) r ，为实际输出向量；e 胄”是常量矩 阵，且r a n k e = r 疗，a ，a n ，局，b 2 ，c i ，g ，d n 为具有适当维数的常数矩阵；f 0 为精 确已知的时滞常数，妒( f ) 为卜r ，o 】上的连续向量函数，是系统的初始状态。 本章研究的目的是设计系统( 3 1 1 ) 的一个带记忆输出反馈控制器： u ( t ) = f l y ( t ) + e y ( t f ) ( 3 1 2 ) 使得如下闭环系统 i 戤o ) = ( 彳+ 垦最c 2 ) x ( f ) + ( 4 + 8 2 五c 2 ) x o f ) + 8 , w ( t ) z ( t ) = ( q + d i f , g ) j 呼) + d i f 2 c e x ( t f ) ( 3 1 3 ) i “r ) = 矿o ) ，t - f ，0 】 是容许的且其外部干扰输入到受控输出的传递函数满足以性能指标，即 ) 0 ： o ，则闭环系统( 3 1 3 ) 是容许的且忙o ) l i ： h ：，如 果存在可逆矩阵p 和正定矩阵q ，使得 f a p + p a c + q 0 口p 7 4p 7 置1 l oo c j oo i ic cc 一，0 o l o ( 3 2 1 b ) i衫p oo q o l 瑶p 0oo - y 。i ) 硕士论文 线性广义时滞系统的几种鲁棒控制问题研究 令，2r ( ，( f 弦( t ) - v 2 w r ( t ) w ( t ) ) d t ，则 ，2f ( ，( r 弦o ) 一广w ，( f ) ，咿) + 旷( f ) ) 西一矿( a 。) f 【，( f ) + ，( f r ) c r , l c , x ( t ) + c , x ( t f ) 】，2 w r ( t ) w ( t ) + ，( f x p + ，4 + q ) 砸) + ，( f f ) 4 7 p x ( t ) + w r ( t ) b i r p x ( t ) + x r ( t ) p 7 b n w ( t ) + x r ( t ) p r a , x ( t f ) ，( f r ) q x ( t f ) ) d t = e d p q x 乏c ，x ( t ) + x r ( t ) c r c , x q 心+ f q i k 乏c 确+ f q f 虹：c ，呔一砖 - y 2 w r ( t ) w ( t ) + x z ( t x z p + t r 4 + o x ( t ) + l q 一咖和哟+ w 恸可乃+ ，( t ) p r b l w ( t ) + x r q ) p r a ，x ( t - r ) - x r q r ) o 吒t n d t r 酽o ) ( 群户+ ，4 + 掣e + q ) 柙) + x r ( t f ) q x ( t r ) + x r ( t )