中考数学：第四讲-一元一次方程、分式方程、二元一次方程组的概念及应用.docx

中考数学总复习第四讲 一元一次方程、分式方程、二元一次方程组的概念及其应用主要考点：1. 一元一次方程的概念及其解法；2. 二元一次方程组的概念及其解法；3. 一次方程（组）的应用；4.分式方程及其应用。考点一、一元一次方程的概念及其解法 1.方程含有未知数的等式叫做方程。2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式即:若a=b,则ac=bc;（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式 即：若a=b,c0,则ac=bc, ac=bc。【特别提醒】只要符合“含有未知数的等式”就叫做方程，不管它有解还是无解，因此x+1=x-1也是方程。例：8x，4 x+y，3 x+712都不是方程；2 x+4=9，5x=6y，7x2+y=10都是方程。4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。5.解一元一次方程的一般步骤步骤具 体 做 法注 意 事 项去分母若未知数的系数为分数,则去分母不要漏乘不含分母的项去括号若方程中有括号,先去括号括号前是负号时,去括号后括号内各项均要变号移项把含未知数的项移到等号的一边,其他项移到等号的另一边移项要变号合并同类项把方程化成ax=b(a0)的形式系数相加,字母及其指数均不变系数化为1方程两边同除以未知数的系数a,得到方程的解x=ba分子、分母不要颠倒【特别提醒】一元一次方程只有一个根。解方程后要代回去检验解是否正确；当遇到方程中反复出现相同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算，从而使运算简便。【中考真题】1.(2017湖南永州)x=1是关于x的方程2x-a=0的解,则a的值是(B)A.-2 B.2 C.-1D.12.(2017内蒙古赤峰)正整数x,y满足(2x-5)(2y-5)=25,则x+y等于(A)A.18或10 B.18C.10 D.263.(2016广东广州)解方程:5x=3(x-4).解析：去括号,得5x=3x-12. 移项,得5x-3x=-12.合并同类项,得2x=-12.系数化为1,得x=-6.考点二、二元一次方程组的概念及其解法 1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5.二元一次方程组的解法解二元一次方程组的基本思想是：消去一个未知数(简称消元)，得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程。（1）代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它代入到另一个方程，进行求解；（2）加减消元法：把这两个方程两边分别相加或相减消去一个未知数的方法。【特别提醒】当有同一个未知数的系数相等或者互为相反数时,直接选择加减法.如果有未知数的系数为1或-1时,可以考虑用代入法。【中考真题】1.（2018天津）方程组的解是（ A ）A. B. C. D. 解析：本题作为选择题，也可直接用答案代入。2.(2017湖南长沙)方程组x+y=1,3x-y=3的解是x=1,y=0 .考点三、一次方程（组）的应用 1.列方程(组)解应用题的一般步骤（1）审:审清题意,弄清已知量和未知量;（2）设:设未知数;（3）列:找相等关系,列方程(组);（4）解:解方程(组);（5）验:检验方程的解是否正确且是否符合题意;（6）答:规范作答,注意单位名称。2.典型应用题用到的关系式类型等量关系行程问题速度时间=距离工程问题工作效率工作时间=工作总量计划数量超额百分数=超额数量计划数量实际完成百分数=实际数量销售问题售价-进价=利润,标价折扣率=售价,进价利润率=利润混合物问题各种混合物重量之和=混合后的总重量混合前纯物重量=混合后纯物重量混合物重量含纯物的百分数=纯物的重量航行问题静水速度+水速=顺水速度静水速度-水速=逆水速度数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系倍比问题倍比问题要注意一些基本关系术语,如:倍、分、大、小等【特别提醒】构建方程(或方程组)模型，首先应找到题目中的等量关系，可先用文字把等量关系写出来，再用等式表示，即可列出满足题意的方程(或方程组)，解方程(组)即可。【中考真题】1.(2017广东深圳)一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%,设上个月卖出x双,则可列方程( D )A.10%x=330B.(1-10%)x=330C.(1-10%)2x=330D.(1+10%)x=3302. （2018安徽）孙子算经中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题。解：设城中有x户人家，由题意得x+x=100， 解得x=75答：城中有75户人家.3. （2018湖北黄冈）在端午节来临之际，某商店订购了型和型两种粽子，型粽子元/千克，型粽子元/千克，若型粽子的数量比型粽子的倍少千克，购进两种粽子共用了元，求两种型号粽子各多少千克.解：设型粽子千克，型粽子千克，由题意得：解得：，并符合题意.答：型粽子千克，型粽子千克。考点四、分式方程及其应用 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。4.列分式方程解应用题的常见类型分式方程的应用题主要涉及工程问题、工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系，如：工作时间=工作总量工作效率 ，时间=路程速度 。如果工作总量和路程是已知条件，另外的两个量又分别具有某种等量关系，常可以建立分式方程模型来解决。5.列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的步骤基本相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答。不同点：一是列分式方程解应用题是用分式表示数量间的等量关系；二是列分式方程解应用题必须验根，既要检验是否为分式方程的增根(增根应舍去)，又要看是否满足应用题的实际意义。【特别提醒】解分式方程必须验根,一般方法为把所解得的未知数的值代入最简公分母,若为零则为増根,不为零则为原分式方程的解；如果是应用题，还要看是否满足应用题的实际意义。【中考真题】1.（2017四川眉山）解方程:1x-2+2=1-x2-x.解:方程两边同乘x-2,得1+2(x-2)=x-1,解得x=2,经检验,x=2是增根,原方程无解。2.（2018江苏南京）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了元。几天后，遇上这种大米折出售，她用元又买了一些，两次一共购买了kg。这种大米的原价是多少？解：设这种大米的原价为每千克元，根据题意，得.解这个方程，得.经检验，是所列方程的解.答：这种大米的原价为每千克元。3.（2018广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x9）元/条，根据题意得：=，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解，x9=26答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条。（2）设购买a条A型芯片，则购买（200a）条B型芯片，根据题意得：26a+35（200a）=6280，解得：a=80答：购买了80条A型芯片。【本讲小结】列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。应用题是考试中区分度较高的题目，是重点也是难点，它综合考察了学生的阅读理解、题意转化表达、计算等多种综合能力。在初中七年级阶段，数学应用题题目涉及到很多实际生活中的例子，例如：分段计费问题、销售利润问题等。应用题百变，然而万变不离其宗，只要掌握多个解题模型，就可以做到百战不殆了。【随堂练习】1.方程2x37的解是( D )Ax5 Bx4 Cx3.5 Dx22.若x2是关于x的方程2x3m10的解，则m的值为( A )A1 B0 C1 D.3.利用消元法解方程组 下列做法正确的是( D )A要消去y，可以将52B要消去x，可以将3(5)C要消去y，可以将53D要消去x，可以将(5)24.若x，y满足方程组 则xy的值等于( A )A1 B1 C2 D35.已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是( A )A. B. C. D.6.已知关于x，y的方程x2mn24ymn16是二元一次方程，则m，n的值为( A )Am1，n1 Bm1，n1Cm，n Dm，n7.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1 000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是( C )A21 000(26x)800x B1 000(13x)800xC1 000(26x)2800x D1 000(26x)800x8.为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5 m长的彩绳截成2 m或1 m长的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法( C )A1 B2 C3 D49.某加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)？设安排x人加工A零件，由题意列方程得( A )A. B.C. D.302010.一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是180元11.解方程：2. 解：去分母，得x12(x7)解得x15. 经检验，x15是原方程的解原方程的解是x1512.解方程：5. 解：去分母，得2x3(30x)60.去括号，得2x903x60. 移项、合并同类项，得5x150.解得x30.13.为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量(墨的质量忽略不计) 解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则 A4厚型纸每页的质量为(x0.8)克，根据题意，得2.解得x3.2.经检验，x3.2是原分式方程的解，且符合题意答：A4薄型纸每页的质量为3.2克14一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成现在两队合作3天，余下的由乙单独完成问开始到完工共用了多少天时间？ 解：设余下的由乙单独完成用了x天，由题意，得()3x1.解得x18.18321.答：开始到完工共用了21天时间15.为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元(1)求A，B两种品牌的足球的单价；(2)求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用 解：(1)设A品牌的足球的单价为x元，B品牌的足球的单价为y元依题意得 解得答：A，B两种品牌的足球的单价分别为40元，100元(2)204021001 000(元)答：该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1 000元16若2amb4与5an2b2mn可以合并成一项，则mn的值是( D )A2 B0 C1 D117.已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是118.A，B两地相距25千米，甲、乙两人同时从A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达