（运筹学与控制论专业论文）集值变分不等式解的存在性.pdf

集值变分不等式解的存在性 运筹学与控制论 研究生刘智指导教师何诣然 论文摘要：本文主要是研究集值变分不等式解的存在性及集值含参变分不等 式解集的稳定性问题首先，给出有限维空间集值变分不等式的一个例外簇 概念，并在假设集值映射是上半连续的、具有非空紧凸值的条件下，证明了 集值变分不等式解的存在性其次，给出b a n a c h 空间集值变分不等式的一个 例外簇概念，并在假设集值映射是零调的、紧的或者集值映射是上半连续 的、紧的、具有非空的紧收缩值的条件下，证明了集值变分不等式解的存在 性最后，将k i e n 和w o n g 在有限维空间建立的拓扑度理论推广n h i l b e r t 空 间，建立了针对集值变分不等式的拓扑度理论，并利用此理论的相关性质证 明了集值含参变分不等式解集的稳定性 关键词：集值变分不等式；集值含参变分不等式；拓扑度；例外簇； l e r a y s c h a u d e r 不动点；零调集值映射；强制性条件 第i 页，共3 7 页 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s p o s t g r a d u a t e ：l i uz h i s u p e r v i s o r ：h ey i r a n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st o s e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dt h es o l u t i o ns t a b i l i t yo fs e t v a l u e d p a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sp r o b l e m s f i r s t ，w ep r o p o s ean e w c o n c e p to fe x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t sf o raf i n i t e - d i m e n s i o n a ls e t v a l u e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dd i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ov a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yp r o v i d e dt h a tt h es e t v a l u e dm a p p i n gi su p p e rs e m i c o n t i n u o u s w i t hn o n e m p t yc o m p a c tc o n v e xv a l u e s s e c o n d l y , w ei n t r o d u c ean e w d e f i n i t i o no fe x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t sf o ras e t v a l u e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yi nb a n a c hs p a c e a s s u m i n gt h a tt h em a p p i n gi s a na c y c l i c c o m p a c to ri s a nu p p e rs e m i c o n t i n u o u sc o m p a c tw i t hn o n e m p t yc o m p a c t c o n t r a c t i b l ev a l u e s ，w es t u d yt h es o l u t i o ne x i s t e n c eo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s f i n a l l y ，e x t e n d i n gt h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ye s t a b l i s h e di na f i n i t e d i m e n s i o n a ls p a c e ，t h i sp a p e rs e t su pai l e wt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y o fs e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nt h eh i l b e r ts p a c ew i t hw h i c ht h e s o l u t i o ns t a b i l i t yo fp a r a m e t r i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yc a nb ed e m o n s t r a t e d k e yw o r d s ： s e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；s e t v a l u e dp a r a m e t t i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ； e x c e p t i o n a lf a m i l y ； l e r a y - s c h a u d e rf i x e d p o i n t ；a c y c l i c s e t v a l u e d m a p p i n g ；c o e r c i v i t y c o n d i t i o n 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师值主旨然熬援指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 论文作者签名： 1 2 0 0 9 年4 月 引言 变分不等式理论是非线性分析和数学规划的重要组成部分，它研究 的基本内容是各种类型的变分不等式解的存在性和唯一性条件，解( 解 集) 的性状及其逼近问题，以及对各种问题的应用最初的变分不等式是 h a r t m a n ，s t a m p a c c h i a 等人在上世纪6 0 年代创建变分不等式理论的基础 时提出，后来被人们称为h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式这一变分不 等式首先在有限维空间被讨论，之后，b r o w d e r 和l i o n s 等人将其问题推广 到无穷维空间1 - 3 ，并把所得的结果广泛应用于力学、控制论、经济数 学、对策论、微分方程和最优理论( 包括控制论、力学、网络平衡、游戏 理论、补问题等) 等不同领域，从而拓宽了变分不等式的应用范围 设b + 是b a n a c h 空间口的对偶空间，k 是b 中的非空闭凸集，f ：k _ 2 矿是一集值映射集值变分不等式问题s v i ( k ，f ) ：求向量z k ，矿 f ( z ) 使得 ( x + ，y z ) 0 ，v y k ( 1 ) 当k 是闭凸锥时，变分不等式问题s v i ( k ，f ) 就变为集值互补问 题s c p ( k ，f ) ：求向量z k ，矿f ( z ) 使得 z k + ，( z ，z + ) = 0 ，其中k + = d b ：( v ，d ) 0 ，v v k ) ( 2 ) 变分不等式和互补问题解的存在性是人们研究的热点之一，也就是 讨论( 1 ) 和( 2 ) 在什么条件下解集非空 1 ，3 2 8 研究它们解的存在性方法 主要有k k m 映射，不动点理论，度理论，极大极小理论，强制性条件以及 例外簇等等，其中通过引入例外簇研究变分不等式解的存在性是一种比 较新的方法，它常常涉) 及l e r a y - s c h a u d e r 型交换定理 4 8 】和拓扑度理论知 识阻1 7 1 然而利用此类方法研究变分不等式解的存在性问题常限于单值 映射，对集值变分不等式问题的研究甚少本文主要利用此方法研究集值 第1 页，共3 7 页 引言 变分不等式解的存在性 本文在第一章中给出了册空间集值变分不等式的例外簇概念，即对任 意岔r n ，序列( 珥) ， 0ck 被称为s v i ( k ，f ) 关于奎的例外簇，若序列满 足以下条件： ( i ) 当r _ 0 ( 3 时，l i 研l i _ 。 ( i i ) 对任意实数r i i r ( 岔) f f ，存在实数q ， o 和蜘f ( x ，) 使得一肌+ o l ，( 宝一x r ) n k ( 研) ，其中( ) 是集合k 在x ，处的法锥，忍( ) 是在集 合k 上的投映算子 在假设f ：k _ 2 r 是上半连续集值映射，且具有非空紧凸值的条 件下，利用【1 3 】中拓扑度理论，证明了集值变分不等式s v i ( k ，f ) 或有 解，或对任意的奎舻，s v i ( k ，f ) 有关于岔的例外簇同时根据例外 簇与强制性条件( c ) 之间的联系，在假设强制性条件( c ) 成立时，证明 了集值变分不等式和拟单调变分不等式解的存在性从而将j h a n ， z h h u a n g 和s c f a n g 在f 1 2 中的映射由单值推广到集值 本文在第二章中给出了b a n a c h 空间j e 7 中的例外簇概念，即对任意实 数7 0 ，存在实数胁 1 及鲜【j ( x ，) 一r ( x ，) 满足： ( i ) 当r _ o o 时，i l 研l i _ ( 3 0 ， ( i i ) 酢n g ( 胁研) 4 - j ( 胁研) ，其中j ( z ) 是定义在b 上的正规对偶映射，则 称序列【研】， ock 是完全连续场f 关于集合k 的例外簇 在假设映射t ( x ) = ，( z ) 一f ( z ) 是零调的、紧的集值映射或是上半连续 的、紧的集值映射，且具有非空的紧收缩值的条件下，利用集值映射的 两类l e r a y s c h a u d e r 型不动点定理，证明了变分不等式s v i ( k ，f ) 或有解， 或j f l 有关于集合k 的例外簇并在此结论的基础上，讨论- - f f ( x ) 无例外簇 的条件以及相关的互补问题从而分别将j a n g h u af a n 在【7 】中结果推广 ! n b a n a c h 空间及j i n l ul i 在【4 1 中的映射由单值推广到集值 本文在第三章中主要是将 1 3 】的研究推广至j j h i l b e r t 空间，建立 第2 页，共3 7 页 引言 了h i l b e r t 空间集值变分不等式的拓扑度理论，并利用此理论的相关性 质研究了集值含参变分不等式解集的稳定性众所周知，度理论的建 立，为研究非线性问题提供了有力工具所谓的度理论是一个映射，和 区域q 有关的整值函数，它表示，和q 内的零点的某种稳定数量值，而这 里的“稳定”是指映射厂经小的扰动后此值保持不变因而利用度理 论研究变分不等式的灵敏度分析是一种很好的方法f 9 ，1 3 ，1 8 ，2 9 3 2 1 s m r o b i n s o n 在f 3 0 】中引入正规映射，利用有限维空间的拓扑度研究了 含参变分不等式解集的稳定性b t k i e n 在f 1 3 1 中将建立了有限维空间 集值变分不等式的拓扑度理论，并运用此理论的相关性质证明了含参变 分不等式解集的稳定性，即0 f ( p ，z ) + 坛f a ) ( z ) 变分条件解集的稳定 性，其中f ：m 舻一2 n - 和k ：n - - - - - o2 舻都是集值映射，k f 、是关 于k ( ) 、) 的法锥，m ，分别是磷和兄_ m 中子集随后b t k i e n 在1 3 1 1 中将含 参变分不等式解集的稳定性的研究推广到自反的b a n a c h 空间 第3 页，共3 7 页 第一章兄扎空间集值变分不等式解的存在性 1 1 主要问题及常用符号 本章若无特别说明，设舻是有限维空间，k 是兄礼中的非空闭凸集， qc 俨是任意有界开集且knq 0 ，f ：k 一2 r 是一集值映射本章将 讨论集值变分不等式问题s v i ( k ，f ) ：求向量z k ，矿f ( z ) 使得 ( z + ，y z ) 0 ，v y k ( i i 1 ) 本章节使用符号：孬和a q 分别表示q 的闭包和边界i | i | 和忍( ) 分别 表示e u c l i d 范数和在k 上的投影算子 如称为k 的回收锥，若比= d ：a + t d k ，v t 0 ) ，其中。是k 中 任意固定点 旷( k ) 】_ 称为f 在k 上的负极锥，若【f ( k ) - = z 舻，( z ，y ) 0 ，v y f ( k ) ) 坛( z ) 称为集合k 在z 处的法锥，若当z k 时，n k ( x ) = _ 矿p ： ( z ，y z ) 0 ，v y k ) ；当z 隹k 时，k ( z ) = 仍 1 2 预备知识及基本结论 定义1 2 1 设k 是有限维空间舻中的非空闭凸子集，f ：k 一2 r - 是 一集值映射，则称f ( i ) 在点z k 处是上半连续集值映射，若对于舻中任意包含f ( x ) 的开集y ， 都存在z 的一个开邻域u ，使得f ( y ) v v y un k ( i i ) 在k 上是上半连续集值映射，若映射f 在k 中的任意点处都是上半连续 的 ( i i i ) 关于k 是伪单调的，若对任意的z ，y k 及任意矿f ( z ) ，y + f ( ) 有 第4 页，共3 7 页 第一章形空间集值变分不等式解的存在性 以下式子成立：扛，y z ) 0j ( y ，可一z ) 0 ( i v ) 关于k 是拟单调的，若对任意的z ，y k 及任意z f ( z ) ，秒+ f ( y ) 有 以下式子成立：扛，y z ) 0j ( y ，y z ) 0 定义1 2 2 【1 2 ，定义2 1 】设k 是有限维舻中的非空闭凸子集，f ：k _ 2 胛是上半连续集值映射具有紧凸值，j 1 0 岳( f + 坛) ( a q ) 则集值变 分不等式的拓扑度定义为d ( 唾，q ，0 ) ，记为d ( f + 坛，q ，0 ) ，其中哦( z ) = z 一玖( z 一，c ( z ) ) ，六是f 的连续选择逼近函数( 【1 2 ，引理2 1 】) ，e 0 1 t 充分 的小 “ 引理1 2 1 1 2 ，定理2 1 ( n ) 】( 存在性) 设k 是有限维胛中的非空闭凸子 集，f ：k _ 2 r n 是上半连续集值映射具有紧凸值，若0g ( f + 坛) ( a q ) ， 且d ( f + 坛，q ，0 ) 0 ，则存在x qnk 满2 = o f ( z ) + n k ( x ) 注1 2 1z 是o f ( x ) + n k ( x ) 的解当且仅当z 是( 1 1 1 ) 的解 命题1 2 1 ( 正规性) 设任意宝印，f ：k _ 舻是一映射满足f ( z ) = z 一岔，且o g ( z 一2 + k ) ( a q ) 若0 q ，贝0 d ( z 一窑+ n k ( x ) ，q ，0 ) = 1 证明：由f ( x ) = z 一岔，知f 在k 上是上半连续的，且具有紧凸值因 而由拓扑度的定义可知 d ( x 一岔+ 0 ( z ) ，q ，0 ) = d ( 中。，q ，o ) ， 其中的蝶( z ) = x 心扛一正( z ) ) 这时令 ( z ) = z 一岔，则 d ( x 一岔+ 坛( z ) ，q ，0 ) = d ( x 一虿，q ，0 ) ， 其中虿= & ( 岔) 因x 一虿是恒等映射的一个平移，则 d ( x 一虿，q ，0 ) = d ( x ，q ，0 ) = 1 由此失h d ( x 一窑+ ( z ) ，q ，0 ) = 1 第5 页，共3 7 页 第一章冗n 空间集值变分不等式解的存在性 引理1 2 2 【1 2 ，定理2 2 ( ) 】( 同伦不变性) 若f 1 ，足：k _ 2 俨都是具有 紧凸值的上半连续集值映射，r o 簪( t f l + ( 1 一t ) r + n k ) ( 0 n ) ，耽【0 ，1 】， 则 d ( 日+ 0 ，q ，0 ) = d ( 尼+ 坛，q ，0 ) 定义1 2 3 设任意奎r n ，序列 研) ， 0ck 被称为s ( k ，f ) 关 于2 的例外簇，若序列满足以下条件： ( i ) 当r o 。时，i l z r i i _ o o ( i i ) 对任意实数r l f 斥( 司f i ，存在实数q ， o 和蜘f ( x ，) 满z _ - y r - 4 - q ，( 奎一z ，) k ( z ，) 注1 2 2 显然，若f 是连续的单值映射，则定义1 3 就是【1 2 】中定义2 1 ； 若j f l 是完全连续场，奎= o ，令q ，= 譬，o f 0 ，1 】则此定义退化为 3 3 】中 定义5 1 ；若k 是一个闭凸锥且奎= 0 ，则f | ( 岔) | | = 0 于是在这种情况 下，由条件( i i ) 可知( 沙+ q ，研，z 一) o ，比k 同时因k 是一个闭凸锥， 则( 蜘+ c t r x ，z 一研) = o 且辨+ o r x r k + ，于是定义2 1 与【6 中定义5 1 一 致 1 3 集值变分不等式解的存在性 定理1 3 1 若f ：k _ 2 n 是上半连续集值映射且具有非空紧凸值， 则s ( k ，f ) 或有解，或对任意的窑留，s v i ( k ，f ) 有关于奎的例外簇 证明：对任意的岔形，构建映射z 一岔+ ( z ) 和映射( f + 坛) ( z ) 之 间的同伦如下： h ( x ，t ) = t f ( x ) + ( 1 一t ) ( z 一岔) + v k ( z ) ，v t 【0 ，1 1 ，v z k 令d ，= z r n ：忙i l 0 ，则有以下结论成立： 若存在实数r i i p k ( 奎) i i 满足0 ( f + 坛) ( a d r ) ，由注1 2 1 知s v i ( k ，f ) 有 第6 页，共3 7 页 第一章r n 空间集值变分不等式解的存在性 解若对任意实数r i i f , , - ( 窑) j | 满足0g ( f + 坛) ( a 研) ，则对任意实 数r l l 忍( 窑) i l ，存在z ，o d ，和t ，【0 ，1 】使得0 h ( x ，t r ) ( a ) 假设上述结论不成立，则存在实数r o | j 斥( 岔) | j 使得0gh ( o d 匍，【0 ，1 】) ， 由同伦映射的定义可知 d ( h ( x ，1 ) ，d 即，0 ) = d ( h ( x ，o ) ，d r o ，o ) ， 其中何( z ，0 ) = z 一岔+ 坛( z ) ，h ( x ，1 ) = ( f + n k ) ( z ) 由命题1 2 1 知d ( h ( x ，1 ) ，d 加，0 ) = d ( h ( x ，o ) ，d r 0 ，0 ) = 1 进而由拓扑 度的存在性性质可知球_ r 。至少包含方程o ( f + 坛) ( z ) 的一个解， 即s v i ( k ，f ) 有解 ( b ) 若对任意实数r 0 ( ) | i 存在研o d ，和t r 【0 ，1 满足0 h ( x ，0 ) ，并且t ，0 ，t ，1 当t ，= 0 时，则岔一研坛( 研) 进而由法锥和投影算子的定义 知x ，= 忍( 岔) ，故i l z ，i i = f i r k ( 岔) i | = r 这与假设r i i 取( 奎) | i 矛盾 当，= 1 时，n o ( f + n k ) ( a d ，) ，这与0g ( f + n k ) ( a d ，) 矛盾 因而对任意实数r l i r ( 奎) i i ，存在z ，o d ，和t ，( 0 ，1 ) 使得0 日( z r ，t ，) ， 即 0 t r f ( x ，) + ( 1 0 ) ( z r 一动+ 坛( z r ) 因而存在珈r ( z ，) ，使得0 t r 蜘+ ( 1 0 ) ( 研一窑) + 坛( 研) ，即 堕竺掣一珈坛( x r ) 令o t ，= ( 1 - t ，) t ，则上式变形为一蜘+ q r ( 奎一坼) n k ( x ，) ，其中嘶 0 若 当o 0 存在 为证明变分不等式解的存在性，【6 ，1 2 ，2 1 ，2 3 】中引入各种强制性条件 本文选择其中一个强制性条件，即 ( c ) 设d 是k 中任意非空的有界集，若对任意的x k d ，都存在可 第7 页，共3 7 页 第一章r n 空间集值变分不等式解的存在性 d 使得 矿i n f f ( z ) ( 可+ ，z 一可) 0 条件( c ) 是个相当弱的强制性条件特别地，在【6 】中将此条件应用 于b a n a c h 空间，在假设f 是拟单调的上半连续集值映射且具有非空弱紧凸 值的前提下，证明了变分不等式解的存在性本文将只考虑f 是印空间中 上半连续集值映射且具有非空紧凸值的条件下，研究集值变分不等式解的 存在性 定理1 3 2 设f ：k _ 2 m 是上半连续集值映射且具有非空的紧凸值 若条件( c ) 成立，则s v i ( k ，f ) 无关于2 的例外簇，即变分不等式有解 证明：( 反正法) 假设( k ，f ) 无解，则由定理1 3 1 知s v i ( k ，f ) 有关 于奎的例外簇 坼) ， 0ck 满足：( i ) 当r 一时，忪，| l _ o o ；( i i ) 对任意7 f i r k ( 窑) i i ，存在实数q ， 0 和玑f ( 珥) 满足一蜘+ q ，( 岔一珥) n k ( x ，) ， 即 ( 弘+ o z r (一动，一x r ) 20 ，v y k (1320z x r y x v y 1 )l 弘+ r 【 一z ) ，一r ) 2， 【) 令研= z 舻：忪一刻r ) ，其中r 0 因dck 是有界集， 则一定存在实数r 0 使得dc 研nk 又因( i ) 成立，则一定存在实 数r o 使得l i 研一 i | r ，因而x ，k d 进而由条件( c ) 知对任意 的x ，k d 都存在y d 使得 i l y 一窑i i ， 0 ( 1 3 4 ) 第8 页，共3 7 页 第一章r n 空间集值变分不等式解的存在性 式子( 1 3 3 ) 和( 1 3 4 ) 相加得，对y y ，f ( z ，) 和， 0 ， ( 咖，y z ，) + 口，( z ，一窑，y 一窑) ，i i z ，一窑l l l l y 一岔m 进而可知对y y ，f ( z ，) 和v q ， 0 ， ( 珈+ q ，( z ，一窑) ，y x ，) = ( y r ，y x ，) + q r ( z ，一岔，y 一岔+ 岔一z r ) = ( y r ，y x ，) + q ，( z ，一窑，y 一 ) 一q rj | z ，一岔j j 2 a ，i | z ，一 1 ( 1 l y 一岔l l i i z ，一岔i i ) 0ck 是完全连续场f ( z ) 关于集合k 的例外 簇，若对任意r o ，存在实数胁 1 及醇【j ( x ，) 一f ( x ，) 】满足 第1 3 页，共3 7 页 第二章b a n a c h 空间集值变分不等式解的存在性 ( i ) 当r _ 0 0 时，l i i i _ o 。， ( i i ) 罅k ( p ，z ，) + ，( 弘r z r ) ， 其e p j ( x ) 是正规对偶映射，k ( 胁研) 是集合k 在胁珥处的法锥 注2 2 3 当k 是闭凸锥，f 是单值映射时，上述的概念与文献 4 ，5 】中 定义的例外簇一致 2 3 集值变分不等式解的存在性 定理2 3 1 设b + 是一致凸一致光滑f 约b a n a c h 空间b 的对偶空间， k 是b 中的非空闭凸集，f ：k _ 2 s - 是一集值映射若j ( z ) 一f ( x ) v ( k ，b ) 为紧映射( y ( k ，b ) 表示所有从k 到b 的零调集值映射的集合) ， 贝, j s v i ( k ，f ) 或有解，或f 有一例外簇 证明：令研：= z b ：忙i f o ；圣( z ) = ( 丁( z ) ) ，其 中丁( z ) = j ( x ) - f ( x ) ，v 2 b 因g ( x ) - f ( x ) v ( k ，b ) ，v ( b + ，k ) ， 故垂( z ) k ( k ，k ) 且由命题2 2 1 知圣( z ) 是紧映射 由引理2 2 1 和命题2 2 3 知若 z 隹入中( z ) ，v z knd ，v 入【0 ，1 】， 则西( z ) 在研n 中有不动点，即变分不等式s v i ( k ，f ) 有解 若变分不等式s v i ( k ，f ) 无解，则圣( z ) 在k n d ，上无不动点由引理2 2 1 知 存在珥o d ，nk 和( 0 ，1 ) 满足 z ，入，圣( z r ) = 入，n k ( ( t ( x ，) ) 从而存在群t ( x r ) 使得研= n k ( 酢) 由命题2 2 2 知 旷，( 等) + 盹( ) 令胁= 1 , a r ，则 ( 1 ) l l x ，i j = r ， 0 ， 第1 4 页，共3 7 页 第二章b a n a c h 空间集值变分不等式解的存在性 ( 2 ) | | 岛i j 一。o ( r 一) ， ( 3 ) 坼j ( p ，z ，) + k ( ，b z ，) ，p ， 1 定理2 3 2 ( 无例外簇的条件) 设b + 是一致凸一致光滑的b a n a c h 空间b 的对偶空间，f ：k 一2 b - 是一集值映射若j ( z ) 一f ( z ) v ( k ，b + ) 为紧 映射，存在点z o k 使得下述任一条件成立： ( i ) k ( x o ) = z k ，( x 0 一# r x ，y + ) 0ck ，l i z ，l l _ o o ，满足： ( 罅，x 0 一p ，z ，) 0 ，v y ； j ( x ，) 一f ( x ，) 】 则 j ( z ) 一f ( z ) 】无关于集合k 的例外簇 证明：假若【j ( z ) 一f ( z ) 有关于集合k 的例外簇 z ，) ， ock ，l k l i 一 ( r _ o 。) ，则存在触 1 ，罅 j ( x r ) 一f ( x ，) 】满足 酢0 ( p ，z ，) + 了( p ，z ，) ， 即 ( 酢一j ( u ，z ，) ，y 一肛，z ，) 0 ，v y k 令y = x 0 代入上式得： ( 鲜，x 0 一p ，z ，) ( j ( p ，z ，) ，z o p ，z r ) = ( j ( j u r z r ) ，z o ) 一( j ( 弘，z ，) ，弘r z ，) j | ，( 肛，z ，) l l l l x o lj 一弘；j l z ，l | 2 = p ，i f z ，i i ( 1 x o l i f i p ，z ，i i ) 当r _ 时，i i z ，i l l i x o l l ，胁 1 ，因此l i 胁z ，i l i i x o l l 故胁忙，i i ( 1 l x o i l i | 胁研1 1 ) 0 ，令d r = z b ，忪l l r ) 显然0 i n t ( d ，) ，且d ，是一个 非空的闭凸子集因假设映射垂在k 中无不动点，则币在d ，也无不动点由 注2 2 1 和命题2 2 1 可知圣被限制在有界集研上时，垂是上半连续的紧映 射，且具有非空的紧收缩值由引理2 2 2 知存在研o d ，和( 0 ，1 ) 使得 z ，a ，圣( z ，) = a ，i i 耳( t ( r k ( x ，) ) ) 从而存在罅t ( 7 r k ( x ，) ) 使得研= k ( 鲜) 由命题2 2 2 ， 罅j ( ) + 坛( ) 令p ，= = 1 a ，贝0 ( 1 ) f i 孙i l = r ，7 _ 0 ， 第1 6 页洪3 7 页 第二章b a n a c h 空间集值变分不等式解的存在性 ( 2 ) h x ，l | 一( r o 。) ， ( 3 ) 鲜，( p ，x ，) + n g ( p ，o ，) ，p ， 1 推论2 4 1 设j e 7 + 是一致凸一致光滑的b a n a c h 空间b 的对偶空间， 是b 中的非空闭凸锥，f ：k _ 2 b - 是一集值映射若，( z ) 一f ( z ) 是 上半连续紧的集值映射且具有非空的紧收缩值，贝j j s c p ( k ，f ) 或有解， 或f 有关于集合k 例外簇 2 5 互补问题解的存在性 定义2 5 1 【4 】设b 4 是一致凸一致光滑的b a n a c h 空间b 的对偶空间， k 是b 中的非空闭凸锥，f ：k 一2 b 是一集值映射则关于闭凸锥k 的强 制性条件e 如下：若存在实数p o 使得对任意z k 满足忙l l p ，则存 在y k 和y 7 f ( z )