（应用数学专业论文）组合预测模型的权重研究及其应用.pdf

宁夏大学硕士学位论文 石云霞：组合预测模型的权莹饼死及其应用 i 摘要 不同的预测模型和预测方法有着不同的预测精度和预测信度，对决策者提供了不同的有用信 息，如果简单地将预测误差较大的一些方法舍去，将会失去一些有用的信息一种较科学的方法就 是进行组合预测组合预测能够较大限度地利用各种预测信息，通常比单个预测模型考虑问题更系 统全面，期望能够有效地减少单个预测模型中一些随机影响，从而提高预测精度组合预测法计算 简单，精度高，有很好的实用性 但是组合预测方法的研究历史并不长，其模型和理论还不完善，很多问题，特别是模型的组合 机制有待进一步研究和发展目前组合预测方法大多研究的是基于误差平方和的模型，近年来，随 着粗糙集理论的迅速发展，基于粗糙集的数据分析方法倍受众多学者的关注，其中将粗糙集理论 应用到了组合预测模型求权重的问题上是一个重要方面本文首先总结了一些常用的求组合预测 模型权重的方法，然后提出了基于粗糙集理论中的包含度和变精度粗糙集理论确定组合预测模型 权重的方法实例计算结果表明基于包含度确定组合预测模型的权重比基于知识的依赖性或信息 熵确定的组合预测模型的权重有更好的实用性其次，基于变精度粗糙集理论确定组合预测模型的 权重克服了经典粗糙集理论中按等价类分类的局限性，开拓了该方法的应用范围，有一定的应用价 值最后本文将组合预测模型应用到商业银行消费信贷业务中的个人信用评估中，提高了预测的准 确率，降低了第二类误判率，结果表明组合预测模型优于单一预测模型 关键词：组合预测，线性回归，l o g i s t i c 回归 宁夏大学硕士学位论文石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 i i a b s t r a c t t h ed i f f e r e n tf o r e c a s tm o d e l sa n df o r e c a s tm e t h o d s h a v ed i f f e r e n tf o r e c a s tp r e c i s i o na n df o r e c a s t c o n f i d e n c e ，t h e yp r o v i d ed i f f e r e n tu s e f u li n f o r m a t i o nf o rt h ed e a l - m a k e r ，i fw ed r o p ss o m em e t h o d s w h i c hh a v et h eh i g h e rf o r e c a s td e v i a t i o n ss i m p l y ，i tw i l lb ea b l et ol o s es o m eu s e f u li n f o r m a t i o n o n e s c i e n t i f i cm e t h o dc a r r i e so nt h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n g t h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gc a nu s ee a c h k i n do ff o r e c a s ti n f o r m a t i o nt h eg r a t el i m i t ，i t sm o r es y s t e m a t i ca n dc o m p r e h e n s i v et h a nt h es i n g l e f o r e c a s tm o d e lu s u a l l y , w h e nc o n s i d e r i n gp r o b l e m s i ta l s oc a nr e d u c es o m er a n d o mi n f l u e n c eo ft h e s i n g l ef o r e c a s tm o d e l t h u se n h a n c e m e n tf o r e c a s tp r e c i s i o n t h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gc o m p u t a t i o n i ss i m p l e ，t h ep r e c i s i o ni sh i g ha n dh a st h ev e r yg o o du s a b i l i t y h o w e v e r ，t h em o d e l sa n dt h e o r i e so fc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gr e s e a r c ha r ei n c o m p l e t ed u et oi t s s h o r th i s t o r y , s o m ep r o b l e m s ，e s p e c i a l l yi t sc o m b i n i n gm e c h a n i s mi sn e c e s s a r yt os t u d ya n dd e v e l o p f u r t h e r a tp r e s e n tt h em o d e l so fc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n ga r eb a s e do nm i n i m i z i n gt h es u mo fs q u a r e f o r e c a s t i n ge r r o r s r e c e n ty e a r s ，a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fr o u g hs e tt h e o r y , al o to fs c h o l a r s p a ya t t e n t i o nt ot h ed a t aa n a l y s i sb a s e do nr o u g hs e t o ft h e m ，s o m es c h o l a r sp u tr o u g hs e tt h e o r y i n t os o l v et h ep r o b l e mo ft h ew e i g h t i n go fc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n g i nt h i st h e s i s ，w es u m m a r i z e d s o m em e t h o d so fc o m p u t i n gt h ew e i g h t i n go fc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gf i r s t l y , a f t e rh a v i n gs u m m a r i z e d t h ee x i s t i n gm o d e l ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e dt w on e wm e t h o d so fc o m p u t i n gw e i g h t i n g ，o n ei sb a s e do n i n c l u s i o nd e g r e e t h eo t h e ri sb a s e do nv a r i a b l ep r e c i s i o nr o u g hs e tt h e o r y t h ee x a m p l ei l l u s t r a t e s t h a tt h ew e i g h t i n gc o m p u t e db yi n c l u s i o nd e g r e eh a v eb e t t e ru s a b i l i t yt h a nt h ew e i g h t i n gc o m p u t e d b yk n o w l e d g ed e p e n d e n c ep r o p e r t ya n de n t r o p yo fi n f o r m a t i o n s e c o n d l y , t h em e t h o dw h i c hi sb a s e d o nt h ev a r i a b l ep r e c i s i o nr o u g hs e tt h e o r yo v e r c o m e st h ec l a s s i f i c a t i o nl i m i t a t i o n so ft h ec l a s s i cr o u g h s e tt h e o r ya n di m p r o v e st h ea p p l i c a b l es c a l eo ft h i sm e t h o d ，s oi ti sv a l u a b l et or e s e a r c h a tt h ee n do f t h i st h e s i s ，w ea p p l yc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gt oc o m m e r c i a lb a n k sc o n s u m e rc r e d i to fp e r s o n a lc r e d i t s c o r i n g i ti m p r o v e dt h ea c c u r a c ya n dr e d u c e dt h es e c o n dr a t eo fm i s j u d g e t h er e s u l ti l l u s t r a t e st h a t c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gi sb e t t e rt h a nt h es i n g l ef o r e c a s tm o d e l k e yw o r d s ：c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n g ，l i n e a rr e g r e 船i o n ，l o g i s t i cr e g r e s s i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 研究生签名： 冠云炙时i b - j ：么孵年3 月弓护日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的 全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 冱幺良 时间：姗年弓月3 0 e i 导师签名：交如t 力时间：堋年年月扩日 第一章引言 1 1 预测的概念及分类 预测是运用科学的判断方法或计量分析法，对目前尚未发生或目前还不明确的事物进行预先 的估计和推测，是在现实对事物将要发生的结果进行探讨和研究预测实际上是这样一个过程从过 去和现在已知的情况出发，利用一定的方法和技术去探索或模拟不可知的、未出现的复杂的中间过 程，推断出未来的结果 预测研究的是事物的未来，它的意义主要表现在两个方面：一是了解事物未来的状况后，人们 就可以在目前就为它的到来做好准备；二是通过预测可以了解目前的决策所可能带来的后果，并逶 过对后果的分析来确定目前的决策，力争使目前的决策获得最佳的未来结果 预测科学应用于不同的领域，则分别形成各具特色的预测技术在经济领域的应用，形成经济 预测技术；在人口领域的应用，形成人口预测与控制技术等等预测技术的丰富和发展促进着预测 方法体系的完善目前各种领域的预测方法已经有近三百种，但大部分方法专业限制严格，有些还 处于试验研究阶段，真正在实际中广泛应用的约1 5 2 0 种如回归分析法、趋势外推法、计量经济 法、马尔科夫( m a r k o v ) 法、德尔菲( d e l p h i ) 法等 从基本特征看，预测方法一般分为两大类一类为定性预测方法，另一类是定量预测方法定性 预测方法主要是指按经验的或事理逻辑分析判断方法，但并非不用数据，而是不必进行繁杂的数学 运算，运用成套的数学模型定性预测是根据一定的学科理论，对预测对象的历史和现状做出解释、 分析和判断，从而综合地提出预测对象未来趋势的一种或多种可能性定性预测偏重于事物发展性 质上的分析，主要凭知识、经验和人的分析能力，它是一种很实用的预测方法，也是预测中应用较 广泛的基本方法由于定性预测方法更重视事物发展趋势、方向，重大转折点的分析，因此，它较适 用于下列情况的预测：国民经济形势发展，经济政策的演变，市场总体形势的变化如卖方市场向买 方市场的过渡，科学技术发展与实际应用对市场供求的影响，新产品开发，新市场开拓，企业经营环 境分析和战略决策方向，企业市场营销组合及对市场销售的影响等。 定量预测方法则是在对预测对象的历史或现状资料进行定量数学分析、建立科学而完备的数 学模型中普遍采用的各种数学、统计学的理论与方法定量预测是在一定的经济理论和数学、统计 学原理基础上，利用历史和现实的数据，建立正确的数学模型，以定量表达预测对象的发展规律，对 预测对象的未来做出定量的预测定量预测的特点是“凭数据说话，能够通过各变量之间的数量 关系，较准确地测算预测对象未来的发展趋势，为决策提供确切的科学根据它的不足是单纯量的 分析会忽视非量的因素 预测是一项要求严格，难度很大的工作实践经验表明，在预测工作中必须将定性和定量方法 很好地结合起来，以定性方法为指导，以定量计算为手段，全面而准确地把握预测的对象活动的性质 和数量所选用的定量预测方法也应不止一种，采用多种方法同时进行预测，可以相互校验预测结果 1 宁夏大学硕士学位论文石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 2 1 2 组合预测的研究现状 在预测实践中，由于建模机制和出发点不同，通常同一问题可以有不同的预测方法，不同的预 测方法提供不同的有用信息，其预测精度往往也是不同的如果简单的将预测误差较大的一些方法 舍弃掉，将会丢失一些有用的信息，那么，一种更为科学的做法是将一些不同的预测方法进行适当 的组合，从而形成了所谓的组合预测方法，这将有利于综合各种方法提供的有用信息，有利于提高 预测的精度 组合预测方法，在国外称为c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n g ，c o m b i n e df o r e c a s t i n g 或c o m b i n a t i o no f f o r e c a s t s 等，在国内也称为综合预测、结合预测或复合预测组合的主要目的就是较大限度地综合 利用各种方法所提供的信息，尽可能地提高预测精度它比单个预测模型考虑问题更系统、更全面、 更科学，能有效地减少单个模型预测过程中一些环境因素的影响 早在1 9 5 4 年，美国人就曾经利用组合预测方法对美国个大城市的人口进行过预测，使预测精 度有所提高1 9 6 9 年b a t e s 和g r a n g e r 1 l 首次对组合预测方法进行了系统的研究，其研究成果引起 了预测学者的重视( ( j o u r n a lo ff o r e c a s t i n g ) ) 还出版了组合预测的专辑 2 - 1 2 】，充分说明了组合预测 模型在预测中的重要性【1 3 】进入7 0 年代，组合预测的研究被预测上作者所重视，发表了一系列关 于组合预测的论文进入9 0 年代，组合预测的研究更处于一个热潮之中近年来我国在组合预测方 法研究方面也取得了一系列成果电子科技大学唐小我教授、重庆大学曹章修教授、安徽财贸学院 马永开教授及广东商学院周传世博士等人的研究成果尤为突出，相继在我国预测领域中的权威性 学术刊物预测、管理工程学报、电子科技大学学报、系统工程理论与实践、c 控制与决 策等刊物上发表了一系列关于组合预测的学术论文，为促进我国组合预测的理论研究与应用做出 了重要的贡献毫无疑问，组合预测己经成为预测领域中的一个重要研究方向，引起了众多学者浓 厚的研究兴趣c l e m e n 曾指出，组合预测将成为预测研究的主流之一1 1 4 l 。尤其是近年来，组合预测 方法已经成为预测领域中一个重要的研究方向，并取得了一系列重要的研究成果 组合预测集结各单项预测方法的特点，它可以从不同的角度进行分类根据其目标和特点不同， 大体上可从如下几个角度分类： 1 按组合预测与备单项预测方法的函数关系，组合预测可以分成线性组合预测和非线性组合 预测 设预测对象存在m 个单项预测方法，利用这m 个单项预测方法得到的第i 个单项预测方法的 预测值为，i = l ，2 ，m 若组合预测值，满足，= 向 + 如，2 + + k 厶，则称该组合预测为线性组合预测，其中 h ，乜，k 为各单项预测方法的加权系数若组合预测值满足：，= g ( a ，丘，厶) ，其中9 为非 线性函数，则称该预测为非线性组合预测 常见的非线性组合预测形式有 f r l仃l ( 1 ) ，= n ，其中忌l ，乜，蠡m 为各种预测方法的加权系数，一般乜= 1 ，o ，i = 1 ，2 ，m 上式称为加权几何平均组合预测模型 m ( 2 ) ，= 击，其中七1 ，乜，n 为各种预测方法的加权系数，同样地一般= l ，乜 皇露 i - - - - 1 宁夏大学硕士学位论文 石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 3 o ，= 1 ，2 ，m 此式称为加权调和平均组合预测模型 2 按组合预测加权系数计算方法的不同，组合预测方法可以分为最优组合预测方法和非最优 组合预测方法 最优组合预测方法的基本思想就是根据某种准则的构造目标函数，在一定的约束条件下求得 目标函数的最大值或最小值，从而求得组合预测方法加权系数最优组合预测方法一般可以表示成 如下数学规划问题 m a x ( r a i n ) = 妒( h ，詹2 ，后m ) ， 订l 8 t k i = 1 ，o ，江1 川2 ，竹1 = l 其中咖( 后，k ) 为目标函数，h ，乜，k 。为各种预测方法的加权系数，加权系数可以考虑允 许负的和非负两种情形 在求解一些最优组合预测模型时可能出现组合预测的权系数为负的现象，而负的组合预测系 数在学术界存在一些争议非最优正权组合预测方法正好可以克服这个不足之处 非最优正权组合预测方法就是根据预测学的基本原理，并力求简便的原则来确定组合预测的 权系数的一种方法具体地说就是根据各个单项预测模型预测的误差的方差和其权系数成反比的 基本原理，给出组合预测的权系数的计算公式显然非最优正权组合预测方法目标函数值一般要劣 于最优正权组合预测目标函数值 3 按组合预测加权系数是否随时间变化，组合预测方法可以分为不变权组合预方法和变权组 合预测方法 不变权组合预测方法就是通过最优化规划模型或其它方法计算出各个单项预测方法在组合预 测中的权系数假定它们不变，并用这个权系数进行预测然而在预测实践中，就每一个单项预测方 法而言，它经常出现对同一预测对象的不同时间上预测精度的不一致性，也就是说有些时点上预测 精度好，有些时点上上预测精度差，所以不变权组合预测方法显然没有可变权组合预测方法科学 所谓变权组合预测方法就是组合预测加权系数随时间变化而变化目前变权组合预测方法比 较复杂，因此变权组合预测方法的研究成果并不多见变权组合预测方法有待于进一步研究，这也 是组合预测方法今后重要的研究方之一 4 从某个准则的结果优劣程度来看，组合预测方法可以分为非劣性组合预测和优性组合预测 按某个准则，把组合预测的结果和各个单项预测方法的结果进行对比 若组合预测的结果介于各个单项预测方法结果“最差”和“最好”之间，则称该组合预测为非 劣性组合预测 若组合预测的结果比各个单项预测方法结果。最好”的还要。好”，则称组合预测为优性组合 预测 显然组合预测方法是建立在充分利用己知信息基础上的，它集结各个单项预测方法所包含的 信息进行组合的，所以只有当组合预测为优性组合预测时，组合预测方法才一有实际的意义也就 是说通过组合预测可以达到提高预测精度，改善预测结果的目的 宁夏大学硕士学位论文石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 4 1 3本文工作要点及结构安排 本文主要研究了组合预测模型中的权重确定问题及其在个人信用评估中的应用 第二章主要介绍了常用的求组合预测模型的权重的几种方法，其中包括最优线性组合预测模 型的求权重的方法，最优非线性组合预测模型的求权重的方法，非最优的正权组合预测模型的求权 重的方法以及变权组合预测模型的权重求解方法 第三章主要研究了以粗糙集理论为基础来确定组合预测模型的权重，其中包括基于知识的依 赖性、信息熵和包含度来求组合预测模型的权重，以及基于变精度粗糙集理论的方法确定组合预测 模型的权重，这些方法主要是将组合预测模型的权重确定问题转化为粗糙集理论中的属性重要性 评价问题 第四章主要将组合预测方法应用到商业银行消费信贷业务中的个人信用评估中，通过实例验 证了组合预测模型比单一预测模型的预测性能好，预测精度高于各个单一预测模型 第二章常用组合预测模型的权重确定 2 1最优线性组合预测模型的权重确定 最优组合预测方法是根据某种最优准则构造目标函数，在约束条件下极小化目标函数来求得 组合预测模型的加权系数，这些权重系数就是各个模型的最优权 设 视) ，t = 1 ，2 ，n 为观测值序列，有m 个预测模型对之进行预测，拟合值记为 z 计) ，i = 1 ，2 ，m ，t = 1 ，2 ，n ，则最优加权模型的组合权重系数k i ，i = l ，2 ，m ，是以下规划问题的 解 m i nq = q o ( 詹l ，k 2 ，七仇) ， s t () 式中口为目标函数，s t 为该规划问题的约束条件在有些实际问题中还要求b 非负，即 m = l ，k i o ，i = 1 ，2 ，m t = l 2 1 1以最小预测误差平方和为目标函数的线性组合预测模型 组合预测模型最关心的问题就是如何求出各单个预测方法的权重，使得组合预测模型能有效 地提高预测精度从模型的拟和角度来说，要从改善某种误差来确定组合预测模型的权重常用的 误差统计量有拟和误差，相对误差，绝对误差，对数误差经常用到的是以拟合误差的误差平方和达 到最小来计算组合预测模型的权系数【1 5 1 设对同一预测对象的某个指标序列为 娩) ，t = 1 ，2 ，n 存在m 种单项无偏预测方法对其 进行预测，设第i 种单项预测方法在第t 时刻的预测值为伽i t ) ，i = 1 ，2 ，m ，t = 1 ，2 ，n 称 e i t = ( # g t z 赶) 为第i 种单项预测方法在第t 时刻的预测误差，设七1 ，乜，k 分别为m 种单项 预测方法的加权系数，为了使组合预测保持无偏性，加权系数应满足 ，n 。= 1 ，o ，i = 1 川2 ，m 设勘= k x z l t + k 2 2 2 t + + k z 。t 为屯组合预测值，设e t 为组合预测在t 时刻的误差，则有 m o t = 现一血= e k i e i t i = l 由k l + k 2 + + k l + k m = 1 可知组合预测误差为 e t = 七l e n + 如e 2 t + + 七m l e m i t + k e r a t = k x e l t + k 2 e 2 t + + 七m l e m - i t + ( 1 一七l 一如一一k m - 1 ) e m t = k l ( e x t e m t ) + 乜( e 2 t e m t ) + + k l ( e m “一e m t ) + e m t ( t = l ，2 ，n ) ， 令a = e i t e m t ( i = 1 ，2 ，m 一1 ) ，如t = e m t 则 e t = 七l t + 乜厶t + + k m 一1 厶一i t + 厶t ( t = 1 ，2 ，n ) 5 要使得误差平方和最小，即求h ，如，k r 一1 ，使口l 达到最小，其中 nf l q l = e ；= ( 鬼1 j f l c + k 2 f 2 t + 十七m l 厶一i t 十知t ) 2 t = lt = 1 根据多元函数求极值的方法，先求出它的驻点 t = l n ，m 州 t + = l n t 氩+ 七2 ，2 甜+ + 一t 厶- 1 t f 2 t + t - - - - 1 t = lt = lt - - - - 1 ( 2 1 1 ) 差= 2 ( h 喜 t 厶一“+ 后。娄忍舂州+ + 梳一，吾l r t ，2 m - “+ 蚤i i ，m t ，m 一”) = 。 上述方程可以写成 令 则有 ，l t 丘t t = 1 五t 厶一l t = l 。琶主。 n ，m l t f l t t = 1 n 如一u f 2 t t = 1 f 2 m _ l t 。 。 | m 一1 = 一巨 肛卜 4 匕 “m d d r k = 一d f d d t 可逆，因此方程组( 2 1 1 ) 有唯一解，即 有唯一驻点 卜目 j ”n n q 1 = ( 七l ，l t + 如2 t + + k l 厶一i t + 厶) 2 k = 一( d d t ) 一1 d f ( 2 1 2 ) 则所求的驻点即为组合模型误差平方和q 的极小值点，也就是最小值点解得七l ，七m i 代 入 座l + 乜+ + 一1 + k ；1 ， 求出k ，就可以得到使误差平方和达到最小的组合预测系数南l ，娩，k l ，k 了。 拜州 一m 砖+十 丘 体啪 2 七 + 2 ，j 后 ， ，一 2 2 i i i l 锄一帆鼢一 、ll， n 瓢产 。眦 n 厶 卅 参m 泓 、 宁夏大学硕士学位论文 石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 7 下面证明上述所求的驻点为q l 的极小值点，也就是最小值点因为矩阵 ，簧盟o kx o k 2 k i o k 址r a - i 、 日；i 铬且o k 2 0 k ，- il 茄茄黠船 ，2 i t m 2 t i皆t o ：2i 丕，n 忍 三，2 ：t l 。 。 t ，m _ 1 t 觑厶一i t = 1 t _ l 厶一l t f l t t = 1 n ，m - “九 t = 1 n f 2 m - - l t t = 1 ：2 d d t 为正定矩阵，故上述所求的驻点为q 的极小值点，也就是最小值点 文献【1 5 】讨论了当m = 2 时的公式解，也即对两种预测方法进行组合预测，构建两方法组合模 型，根据以上方法，可以得到最优组合系数为 并且有 e 象一e l t e 2 t tt = 1t = 1 七l21 r f 1 广一 e ；t + e 玉一2 e l t e 2 t e 毳一e l t e 2 t k 2 = 百墨1 型f 一 e 孔+ e 乞一2 e l t e 2 t 口；= ( 觑一) 2 ， = 1 仃；= ( 观一x 2 t ) 2 ， = 1 n p = ( 砚一x l t ) ( 貌一z 2 t ) l ( f f l 仃2 ) ( 2 1 3 ) 本文利用p 作为两种预测方法关联性度量指标，易知m 1 设r = m i n ( 凳，署) ，易知0 r 1 当r p l 时，最优模型预测性能优于两个构成预测方法的预测性能，性能较差的预测方法 具有负权重 当一1sp r 时，最优模型预测性能亦优于两个构成预测方法，两个预测方法均具有正权重 ( 参见文献【1 6 】) 如果单项预测的方法有两个，则可以直接用上面的公式求解，如果用于组合预测的方法大于两 个的话，用下面的规划模型计算比较简单 设q l 表示组合预测误差平方和，则有 勺b m 筒 m 曲。煳 = n 随 | l q 宁夏大学硕士学位论文 石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 8 e = 巨剖i q = e 2 - 也e 让k j e j t t = lt = li = ij = 1 lmn = 陬磅( e 妒j t ) 】 i = 1 j = l t = l mm = k j e t j t = 1j = l = k t e k ， = r t k i = l 所以( 2 1 4 ) 式所示的模型就可以表示成矩阵形式，记为模型( i ) r a i nq 1 = k r e k ， s t 矽k = 1 ( 2 1 。5 ) 对于上述模型，可以给出如下组合预测加权系数的计算公式：根据文献【1 7 】，假定m ( m n ) 种 单项预测方法的预测误差向量组e l ，e 2 ，e m 是线性无关的，则模型( i ) 的最优解和目标函数最优 宁夏大学硕士学位论文石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 9 值为 k = 舞笔，仆志 ( 2 ) 对于上述模型，在实际预测实践中会出现计算出来的组合预测加权系数为负的情况，而负的组 合预测加权系数的解释在学术界存在一定的争议，因此有必要考虑非负权系数的组合预测模型，就 是在模型( i ) 中增加一个非负约束条件，记为模型( i i ) m i nq l = k t e k ， s t r t k = 1 ， k 0 ( 2 1 7 ) 上述模型是研究具有非负权重约束的组合预测问题，文献【1 8 2 1 】研究了非负权重最优组合权 重向量的存在性，唯一性以及有关算法它是一个二次规划问题，可以用m a t l a b 最优化工具箱求解， 也可以利用数学规划理论将其转化为线性规划问题求解，构造如下模型 m i nq 12 ， s t 2 e k 一( 入1 一入2 ) k u = 0 ， r 丁k + 口= 1 ， k 0 ，u 0 ， a l 0 ，a 2 0 ( 2 1 8 ) 其中u = ( “1 ，u 2 ，u 。) t 是与非负组合预测权系数向量x 所对应的k u h n t u c k e r 乘子，t i 与不能同时为基变量a = a 1 一a 2 是与约束条件r t k = 1 所对应的l a g r a n g e 乘子 解此线性规划模型即获得非负组合预测权系数向量 2 1 2 以绝对预测误差和达到最小的线性组合预测模型 预测误差平方和是反映预测精度的一个非常重要的指标之一，因此以预测误差平方和达到最 小为准则的线性组合预测模型目前在各个领域实际预测同题中应用的最为广泛造成这种现象的 主要原因可能包括两个方面一是以预测误差平方和达到最小为准则的线性组合预测模型理论上 研究比较深入，二是对于组合预测权系数无非负约束的最优组合预测模型，它的最优解有明显的数 学表达式，从而可套公式计算，计算比较简单 然而预测误差平方和作为预测精度的指标，它存在一定的缺陷，这主要是预测误差平方和受异 常点数据影响较大，也就是说在数据中含有异常数据，这使得预测误差在该点较大，预测误差再平 方后就会使该点预测误差更大了，即预测误差平方和在数据异常点处产生预测误差放大效应，在处 理异常点数据时，若凭经验给予剔除，则可能造成一些信息的损失因为异常点数据某些方面确实 包含一些有用的信息考虑了上述预测误差平方和的缺陷，有必要引进比较稳健的指标来刻画预测 精度于是人们给出另外一个非常重要的指标，即绝对预测误差和1 2 2 1 对于线性组合预测设现= k t x x t + k 2 9 9 2 t + + k m x m t 为z t 组合预测值，设e t 为组合预测在 宁夏大学硕士学位论文石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 l o t 时刻的误差，则有 e i t = ( 观一z n ) 为第i 种单项预测方法在第t 时刻的预测误差，设舟1 ，也，k m 分别为m 种单项 预测方法的加权系数，加权系数应满足 m = 1 ，k l20 ，i = l ，2 一，仇 i = 1， 设q 2 表示组合绝对预测误差和，则有 可得以绝对预测误差和为准则的线性组合预测模型为下列最优化问题，记为模型( i i i ) m s t z k , = 1 i = 1 幻，乜，j 。20 上述模型可以化为下面的线性规划问题求最优解，令 e t + 2 ：耋：三：，e t 一2 三e 。，耋e e 。t 。0 0 ：【，当e 点k m ，根据各个单项预测模型预测的误 差的方差和其权系数成反比的基本原理知，排序越在前面的单项预测模型，它在组合预测中的加权 系数就应越小。即令 = 聂i = 上r a ( m + 1 ) ， = 1 ，2 ，m ，耻聂2 一引， 仇 鲁 显然k i = 1 ，0 ，i = 1 ，2 ，m 5 二项式系数方法 二项式系数方法和简单加权平均方法有一点相似之处，它也是先把各个单项预测模型预测的 误差的方差和最进行排序，不妨设e l l e 2 2 日啪，但它取组合预测中的加权系数的思想 和简单加权平均方法是不同的它是按着统计学的中位数的概念，若单项预测模型预测的误差的方 宁夏大学硕士学位论文石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 1 6 差和过大或过小，则其对应的权系数均较小，而处于各单项预测模型预测的误差的方差和的中位数 所对应的权系数最大即令 1 l l = 瓷籍，江1 ，2 ，m 因为 c 2 。一。( 丢) 2m - - l + c ；m 一。( 丢) 2 m l + + g 2 ”m 一- l 。( 丢) 2 m l = 互1 ， 所以 趣= 2 谚。一。( 吉) 2 1 = l ， i = ii = 0 。 并且有k i 0 ，i = 1 ，2 ，m 6 有序加权法与诱导有序加权法 定义2 1 【2 5 】 设，k ：r m - r 为m 元函数，k = ( 忌1 ，七2 ，k ) t 是与厶有关的加权向量， m 满足= 1 ，乜o ，i = 1 ，2 ，m 若 i = 1 其中玩是n l ，a 2 ，口。中按从大到小的顺序排列的第i 个大的数，则称函数是m 维有序加权平 均算子，简记为o w a 算子 定义2 1 表明o w a 算子是对m 个数a l ，0 2 ，8 。按从大到小的顺序排序后进行有序加权平 均的，权系数与数口i 无关，而是与a l ，a 2 ，n 。的按从大小顺序排的第i 个位置有关 定义2 2 【2 5 】设( 移1 ，a 1 ) ，( v 2 ，口2 ) ，( 移。，n 。) 为仇个二维数组，令 m 瓜 ( a 1 ) ，( 1 ) 2 ，d 2 ) ，( 口m ，口m ) ) = 乜一i n d e x ( 妒 扛：l 则称函数丘是由v l ， 0 2 ，t ，m 所产生的m 维诱导有序加权平均算子，简记为i o w a 算子，耽称 为口的诱导值其中t ，一i n d e x ( ) 是v l ， 2 ，中按从大到小的顺序排列的第i 个大的数的下 标，k = ( h ，勉，k ) 7 是o w a 的加权向量，满足= l ，0 ，i = 1 ，2 ，m i - - - - 1 定义2 2 表明i o w a 算子是对诱导值u 1 ，u 2 ，口m 按从大到小的顺序排序后所对应的 a l ，8 2 ，8 m 中的数进行有序加权平均，与数d 的大小和位置无关，而与其诱导值所在位置有 关 2 4 变权组合预测模型的权重确定 虽然关于固定权重组合预测模型的研究和实际应用一直占主导地位，但固定权重组合预测也 表现出了很多的局限性，比如在变化的环境中单项预测之间的相对性能和相关特性的不确定性造 成估计的预测误差信息矩阵的不稳定性及相应的不良性能【n 6 】因此，关于变权组合预测方法引起 了人们的注意有基于预测误差的变权组合预测1 2 7 1 ，有基于遗传算法和人工神经网络的变权组合 预测模型 2 8 1 ，本节主要讨论变权组合预测的数学模型及求解过程 文献f 2 9 】给出了变权组合预测模型的建模方法，变权组合预测模型可以这样来描述： k 七 m ! i = m 口 2 08 亿 宁夏大学硕士学位论文 石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 1 7 对于由m 个模型组成的变权组合预测模型可以表示为 ( 2 4 1 ) 其中，t , i 为第i 种方法的第t 期预测值，k i ( t ) 为第i 种方法的第t 期的组合权重，i = 1 ，2 ，m ，t = 1 ，2 ，n 对任意的t 1 ，2 ，n ) ，各种预测方法的组合权重满足 m w ) = 1 ( 2 4 2 ) 变权重组合预测模型的建立与应用是提高预测模型的拟合精度和预测精度，增强预测模型稳 健型的有效途径变权重组合预测模型建立的关键是变权系数的确定，由于变权系数是随时间变化 的函数，所以确定就显得比较困难确定变权重系数的数学方法有很多，比如以相对误差的最大值 达到最小为目标的方法；以绝对误差达到最小为目标的方法，以误差平方和达到最小为目标函数的 方法等，这里给出采用以误差平方和达到最小为准则的变权重求解模型 mn 记组合预测误差e e t = 砚一屯t = k i ( t ) e j f t ；误差平方和e 。2 = e e 。2 。则变权组合预测模型的 t = lt = l 权重求解为下列最优化问题，记为模型( v i i i ) m 8 t c t ) = 1 ，t = l 川2 _ ，n 1 - - - - 1 这里的( t ) 与非变权组合预测模型中的的区别在于( t ) 是随着时间变量t 的不同而不同 2 4 1变权组合预测模型的权重求解 变权重组合模型的权重求解比较困难文献【3 0 】给出了一种计算方法，现介绍如下 假定乜( t ) 是t 的连续函数，则任一连续函数可以用适当次数的多项式来逼近，这里假定 k i ( t ) = o + k i t t + k i 2 t 2 + + k i p t p ， 将上式代入2 。t = k i ( t ) x i t 中得到 l = l 岔。t = ( x l t ，z 2 t ，x m t ) ( 七l ( t ) ，k 2 ( t ) ，b ( t ) ) t - - m _ f 5 ( t ) j ( p + 1 ) 丁“1 ( t ) ， 其中 f i m ( t ) = ( x l t ，z 2 t ，x m t ) t ，耳+ l ( t ) = ( t o ，t 1 ，p ) t ， 州= 旺 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) n z七 m ：l = z 蠢 。雠 = 7q nm 、，-、 p p 嘻 胁胁 ， 胁 l 1 门 蛔 宁夏大学硕士学位论文 石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 1 8 a 圆b = i 、：a 1 1 b 兰a a 2 b ! j j ：a l n b 、j g 。 兰=cg，lge2，llgtm， y = ( z l ，z 2 ，z n ) t ，e = ( e e l ，e c 2 ，e c n ) t ， g ( o = z i l 2 z f 2 n z t n 则组合预测模型在各期的预测误差可以如下的向量形式 e = y g 9 ( 2 4 5 ) 组合预测的误差平方和可以写成如下的形式 ，l e 象( p ，9 ) = e 刍= e t b = ( y 一印) t ( y - o g ) ( 2 4 6 ) 盎1 接下来的任务是求9 ，使e 麓协9 ) 达到最小变权重满足( 2 a 2 ) 中的约束，将( 2 4 3 ) 代入( 2 4 2 ) 并展开得到 矗1 0 + k x l t + k 1 2 t 2 + + 1 p 舌p + + 奄m o + k l t + k 2 铲+ + p 矿= 1 ， 即 1 1 ，t ，庐，护，1 ，t ，t 2 ，t p 】9 = 1 ， ( 2 4 7 ) 磷臻 珥 o p ； 、，、，、， 0 q 嬲碟 礤 ，jil-iil-i-ll一 、i 2 n 础 慨 一 腑 妒 矿 1 2 n 吼 瓤 一 孔 ，。一 宁夏大学硕士学位论文石云霞：组合预测模型的权重研究及其应用 1 9 定义噩，r ，取如下 1 l l 1 7 1 = i