（运筹学与控制论专业论文）g凸函数与变分不等式问题.pdf

9 一凸函数与变分不等式问题 摘要：讨论了一类广义的凸集和凸函数：g 凸集和口一l 马蛹数，得 出了若卜陆质，给出了g i - 函数和g 一拟凸甬数的判别准则，丰富 了广义凸性的内容；研究了两类广义的变分4 i 等式问题 关键词：g 凸集；g t f t t 荫数；g 一拟凸两数；变分不等式问题；迭 代算法；h a u s d o r f f 度量；松弛l i p s d f i t z 算子 中图分类号：0 1 7 41 30 2 2 4 文献标识码：a a b s t r a c t g e n e r a lc o n v e xs e t sa n dc o l l v o x f u n c t i o n s ：g - c o n v e xs o t sa n dg - c o i i v c x f m m t , i o n s & r ei n v e s t i g a t e d ，s o l l cp r o p e r t i e so fw h i c ha r ca d , _ i u v c d ，t h ec t i t c r i o n so fg - c o n v e xf u n c t i o n sa n dg - q u a s i c o n v c xf u n c t i o n sa i c g i v e n 、t h e t h e o r yo fg e n e r a lc o n v c x i t yi sd c c p e n ：t w ok i n d so fg c n e r a iv a r i a t k m a li n e q u a l i t yr ”o b l c m sa r es t u d i e d k e yw o r d s ：g - c o l i v c xs e t ；g - c o n v e xf u n c t i o n ；g - q u a s i c o n v o xn 1 1 l c t i o n ；v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m ；i t e r a t ea l g o r i t h m ；h a u s d ( ) r f fl n c t r i c ；r e l a x e dl i p s c h i t zo r ) e r a t c r 2 1 引言 例1 1 1 设，是闭区间，= h f j 】上的光滑实值函数，找一点z 【】，使 得 他c ，) 2 卿，( z ) 有三种情况发生： r n j 若a o ， ( 2 6 ) a 2 = s u p a k i a a o ) ( 2 7 ) 由( 2 5 ) 式可得a 】a 2 故 0 2 1 曼1 因为o ，( 1 一q ) ( 0 ，1 ) ，所以可取“l ，“2 k ，u l a l ，“2 a 2 使得 ( u 】一u 2 ) m a x ( o r ，1 一d ) a o ，由( 2 8 ) 式可得 a 一7 1 2 = c p ( u l u 2 ) a 2 一“2 之0 ，即i 9 f o9 ( z ) + ( 1 一z ) fog ( ) ( 2 1 2 ) 由定理2 1 中的定义知，v a ，垤，”c 有 ，( 入g ( z ) + ( 1 一 ) g ( ) ) 曼x f 。g ( z ) - i - ( 1 一x ) f 。9 ( g )( 2 1 3 ) ( a ) 如果，。9 ( a ) ，。9 ( ) 由( 21 2 ) 式知 觋“( t ) = ( p ) ，( 邬) ，再 由k 在l o ，1 】中的稠密性知。存在“k ， 芦使得h ( “) ，( 卯) ，即 从而有 ，( 乳) u ，0g ( z 1 + ( 1 一) ，0g ( y ) ，( 卯) ( 2 1 4 ) 9 设t = 瓮，j j ! j 有o t f ( g 。) = f 。9 ( c 。) 则由f 是g 一拟凸荫数和( 21 2 ) 式可得 f ( g r ，) = ，( 9 ( z ) + ( 1 一z ) 9 ( c 。) ) 茎j n a x f ，0 9 ( z ) ，f 。夕( ( i ) = f 。9 ( z ) f l f o g ( x ) + ( 1 一启) ，。9 ( ) f ( q 口) ， 这也是一个矛盾 ( 6 ) 如果f o g ( 。) ) f o9 ( ) 由( 2 - 1 2 ) 式得罂i 1 1 日l _ 一( ) - = f 。) 序使得h ( u ) ，( 蚰) ，即 u ，。g ( x ) + ( 1 一u ) f 。口( g ) ，( ) 从而有 f ( g u ) ! u ，o9 ( z ) + ( 1 一u ) ，。9 ( ) ，( 9 口) ( 21 5 ) 设= 字，则有0 t f ( g 。) = f 。9 ( c ) ，由f 足g 一拟凸函数和( 21 2 ) 式 可得 ，( 9 口) = ，( 幻( ) + ( 1 一t ) 9 ( c 。) ) i n a x ，。g ( ) ，f 。g ( r ”) ) = ，。g ( ? ，) 0 ， 当z c 且| | z 一。ol i 6 时，有，扛) 一f ( x o ) a o ) a 2 = s 1 1 p a k i a o ) 由( 21 7 ) 可得a 】a 2 故 0 a 2 2 一“220 b f j 页 0 ，j 0 ，当n 时，有 ，( 9 ( c ，。) ) ，( 9 ( g ) ) + g ， 再由a 。k 可得 ，( 9 ( c ) ) = ，( ( 1 一a 。) g ( c r 。) + a 。夕( z ) ) sm h ，o 9 ( c 。) ，o9 ( j 协 si i l “ ，。9 ( ) + e ，o9 ( z ) ) 1 3 由的任意性可得 ，( 9 ( q ) ) = ，( 9 ) = f ( a g ( z ：) + ( j 一 ) g ( y ) ) m a x f 。g ( ，) ：f o 9 ( z ) 这j ( 2 2 2 ) 式矛盾证毕 当日= ，ng = ，时，由定理2 4 我们立即可得文【9 的主要结果 推论2 3 【9 j 设c 俨是非空开凸集，是e 上的上半连续函数且存 在o ( 0 ，1 ) ，使得 ，( o z - 4 - ( 1 一o ) ) sm a x f ( x ) ：f ( y ) ，v z ，c ， 则f 为c 上的拟凸函数 4 g - 凸函数与变分不等式的关系 近二十年来，一些数学工作者基于间断函数( g a pf u n c t i o n ) 来将变分不 等式问题转化为等价的最优化问题来研究 定义2 71 1 4 j 广义函数：g _ r u + o c ) 称为v ，p ( 1 ，的问断函数是 指下面的两个条件满足： f n j ( 6 ( z ) 0 ，v x c i ( , i 西( z o ) = 0 仁= z o 是w p 阻j 的解 从而v i p ( 1 1 ) 等价于下面的最优化问题 我们考虑最优化问题 其中e 日是g 一凸集 卿弛) m 。i u n f 。9 ( 叫 定理2 5 驯若，是9 一凸集c r “上的g 一可微g 一凸函数 z c 满足 ( ，( 9 ( z ) ) ，g ( v ) 一9 ( z ) ) 2o ，v y c 则z 是最优化问题( 2 2 3 ) 的最优解 注：若令t x = ，( g ( z ) ) ，则( 2 2 4 ) 式即 ( 2 2 3 ) 并且 ( 2 2 4 ) ( t x g ( v ) 一9 ( z ) ) 0 ，v y c ( 2 2 5 ) 当h = r n ，g = i 时，( 2 2 5 ) 式即变为经典的变分不等式( 1 1 ) 1 4 3 一般变分不等式问题的预测校正式算法 以r 息足假设，足一个实l t i l h ( _ f 空u j ，c 足，的一个非空闭l l l l 子 集，( ，) 表示i ：的内税，”| | 表示相应的范数，t 口：i i 一，足非线 陆算子 定义3 1 变分不等式问题r v a r i a t i o n e i n e q u a l i t y p r y ) b l e m ，简记为v i l 9 是指在( ? t p 找一个点满足 ( t u 一“) 0 ，v v c( 3 1 ) 定义3 2 一般变分不等式问题( g e n e r a lv a r z a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m ，简记为g w ，是指找一个占、，9 ( n ) c 满足 ( t u ，g ( v ) 9 ( ) ) 0 ：v g ( u ) c ，( 31 ) 如果口= ，( 恒等算子) 那么t r i p ( 32 ) 就变为w p ( s1 ) 以| i 两个引理 的证明是平凡的 引理3 1v u f t 1 1 ，都有 1 ( n ，z ，) = ； | | u + ”i | 2 一i ini 2 一i i ”1 1 2 ) ( 3 3 ) 引理3 2v 帆玑。i i ，都有 乱+ t ，+ 2 | 2 l f “旷+ | | ”旷+ | | z 旷( 3 a ) 引理3 31 1 i 设z h ，则“是。在闭凸集c 上的投影0 ( z ) 当且仅当 ( u 一。，u 一“) 0 ，v v c 定义3 3i l o 】讹，u ，2 h ，算子t ：1 i h 称为是 r 叫以7 为模数g 一松弛强单调的，是指存在实数， 0 使得 ( t u 一7 u ，9 ( u ) 一9 ( ) ) 一，y | | g ( u ) 一o ( vj1 1 2 ； r b ，以n 为模数g 一部分松弛强单调的向一p a r t i a l l yr e l a x e ds t r o n g l ym o n o t o n e ) ，是指存在实数o 0 使得 ( t u t ，9 ( 2 ) 一9 ( ) ) 2 一d | | 9 ( u ) 一g ( z ) i i 2 ； r 以p 为模数g 一余强制的囟- c o c o e r c i v e ) ，是指存在实数肛 0 使得 ( t u t v ，9 ( “) 一9 扣) ) i t | 丁u t ff f 2 1 5 如果= = t t ，那么9 部分松弛强单调的就足g 单调的 n o o r 在文 9 证明了余强制的蕴含，部分松弛强单调的，反之不成立 下面用g l o w i n s k i 等在文【2 1 介绍的辅助原理技巧来求解g 7 ，r ( 32 ) 对固定的? r 日，口( u ) c ，求唯一的点t 日，g ( 叫) c 满足辅助 变分不等式 ( p t u 十g ( w ) 一9 ( u ) ，9 ( 口) 一9 ( ) ) ( j ，v g ( ) ec ， ( 35 ) 其中p 是正的常数 注意到当w = “时，”就是g v i i ( 3 2 ) 的一个解，从而可用下面的预 测校正式算法来求解g v i p ( 32 ) 算法3 1 对任给的e o 日，用下面的迭代格式来计算1 1 , 。+ 1 ： ( p 1 1 。+ g ( u 。+ 1 ) 一9 ( 。) ，g ( v ) 一9 ( u 。+ 1 ) ) 0 ，均如) c ，( 36 ) ( 卢7 、肼。+ 9 ( 。) 一qc y 。) ，g ( v ) 一o ( w 。) ) 0 ，v 口( t ，) c( 3 7 ) 知 ( # t v 。+ 9 ( y 。) 一g ( u 。) ，9 ( v j 一9 ( 。) ) 兰0 ，v g ( ) c ，( 3 8 ) 其中p ，卢，p 是正实数，c g ( h ) 注：文【1 0 】中没有c 9 ( 圩) 的要求，没有这点则无法改写为算法3 2 利用投影的性质( 引理3 3 ) 可将算法3 1 改写为算法3 2 算法3 2 对任给的u o 日，用下面的迭代格式来计算u 。+ 1 9 ( ”。+ 1 ) _ 伤1 9 ( ) 一p t w 。j ， g ( w 。) = 巧i g ) 一f l t y 。 如 9 ) = 吩 9 ( 。) 一# t u 。 ， 其中p ，p ，芦是正实数，c 9 【日) 定理3 1 设西日是g v i p ( 3 剀的解， + 1 ) 是由算法7 得到的 序列如果算子t 是以。为模数g 一部分松弛强单调的，那么有 l 9 。h + ) 一尊( 面) l i 2 i l9 ( 扎。) 一g ( 砭) “2 一三二二。；墨：竺 l9 ( u 。+ 。) 一g ( u 。) “2 ，( 39 ) 】6 其中k ：= i i d t x p ，3 ，1 ) 去 证明：由面i t 足g v i i ( ： 2 ) 的解叮得 ( t 1 l l ，g ( 。t ) 一( 订) ) 兰0 ，勘( ，) c ， ( 声丁育，g ( v )9 ( 瓦) ) ；三o ，v j ( v ) c 和 ( ，7 屯g ( v )g ( 豇) ) 0 ，v g ( v ) c ， 其中p ，卢，“是算法3 1 中的止实数 在( 31 0 ) 中令 = “，在( 36 ) 中令 = 面町得 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) f 3 1 2 1 ( p t 屯，g f u ，h 1 ) g ( 面) ) 0( 3 1 3 ) 雨1 ( p t 训n + 9 ( u 。+ 1 ) 一g ( w 。) ，g ( 豇) 一9 ( 札。+ 1 ) ) 0 ( 3 1 4 ) 由( 31 3 ) 和( 3 1 4 ) 并由t 是以为模数g 一部分松弛强单调的，可得 到 ( 9 ( 札n + 1 ) 一曰( 。) ，g ( 豇) 一g ( u 。+ 1 ) ) p ( t w ，。一丁育，9 f 札。+ 1 ) 一9 ( 豇) ) 一n 户| | 9 ( u 。+ 1 ) 一9 ( 。) 1 1 2 ( 3 1 5 ) 在( 3 3 ) 中令“= g ( u i ) g ( w 。) ，t ，= g ( 豇) 9 ( “。 1 1 可得 ( 虱“。+ ，) g ( w 。) ，9 ( 面) 一9 ( “。+ 1 ) ) = j 1 19 ( 面) 一g ( t u 。) 1 1 2 一| | 9 ( 面) 一g ( u 。+ 1 ) 1 1 2 一i i9 ( “。+ 1 ) 一g ( w 。) l 2 ) f 3 1 6 1 联立( 31 5 ) 和( 3 1 6 ) 可得 i ；9 ( “n + ，) 一9 ( 面) 1 1 2 | | 9 ( u ，。) 一g ( 豇) l 2 一( 1 2 a p ) | 19 ( “。+ ，) 一g ( w 。) 1 1 2 ( 3 1 7 ) 类似地，在( 3 1 1 ) 中令u = 。在( 3 7 ) 中令“= 面，在( 3 3 ) 中令 “= g ( 面) 一9 ( 屿) ， = 9 ( 。) 一9 ( ) 可推得 | 9 ( n ) 一9 ( 面) 1 1 2 _ 1 19 ( 面) 一g ( f 。) | 2 一( 1 2 0 卢) | | 9 ( 。) 一9 ( t “。j1 1 2 ( 31 8 ) 类似地，在( 3 1 2 ) 中令u = ，在( 3 8 ) 中令 = 面，在( 3 3 ) 中令 “= g ( 面) 一9 ( ) ，口= 9 ( ) 一9 ( u 。) 可推得 | | 9 ( 瓦) 一f ( y n ) 1 1 2 _ 1 19 ( “。) 一9 ( 面) j j 2 一( 1 2 。p ) i ig ( ) 一9 ( “。) 1 1 2 ( 3 1 9 ) 1 7 限定p ，户 去，令i t = a x p ：卢z ) ，联立( 31 7 ) ，( 3 1 8 ) 和( 31 9 ) 可 得 | | ( + 1 ) 一口( 面) 酽 f f ( 性。) 一9 ( 瓦) i f 2 一( 1 2 n 肛) | 9 ( 弘。) 一f ( u 。) f 2 一( 】一2 0 卢) j j 口( 饥。) 一g ( w 。) 1 1 2 一( 1 2 a p ) | jg ( i t ，h 1 ) 一口( ，。) | | 2 s | lg ( t t 。) 一q 0 7 ) j | 2 一( 1 2 n ) j j9 ( 9 。) 一q ( i t 。) lj 2 十lj 口( “，。) 一( 9 。) j j 2 + lj t ( i t ，。+ 1 ) 一g ( 。) 酽) 曼| | 口( t h ) 一g ( i t ) i | 2 一二二二；坠| _ g ( u ，+ 1 ) 一g ( 。) 1 1 2 其中最后一个不等式是由引理3 2 得到的证毕 注：文 1 0 1 中引理3 1 的证明最后有误， 定理3 2 设f i 是有限维的空间，g 是可逆的，0 0 ，记 = ，+ e ，它是以s 为模数强单调的 变分不等式问题：找zeh ，wet x ，使得 ( 。) c ，且 ( 43 ) 考察广义 ( 丘) 一w ，u 一 0 ) ) o ，v ve g ( 4 4 ) 定理4 1 设g h 是一非空闭凸子集，f ：i i h 为单调l i p s c h i t z 连 续的算子h 日应的正常数为sj ，且f ( ) 三c t 1 1 2 7 7 为松弛l i p s c h i t z 算子且为h l i p s c h i z 连续的非空) 胡算子，相应的正常数分别为n 7 ，并满 足下面条件 - 1 n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一一 ( 1 一 ) 2 + 2 x ( 1 一 ) + 2 ，n 2 e 一( 1 一 ) p ， ( 45 ) 其中0 a 1 ，p ：= 1 2 e + ( s + e ) 2 ，则由算法41 r 将正视为，生成的 序列z 。，。分别强收敛于z ，e 们为变分不等式问题v i p ( 4 4 ) 的解 证明：由，k 是非扩张算子1 1j 得 l l ( z ，。+ ，) 一 ( z 。) l l - 1 i ( 1 一a ) ( z 。) 十a w 。一( 1 一a ) ( z 。1 ) 一a 。 = f i ( 1 一a ) ( 正( z 。) 一五 一，) ) + a ( 叫。一训一- ) | | l l ( 1 一 ) ( ( z 。一z 一) 一( 丘( z 。) 一九( z n - 1 ) ) l 十l i ( 1 一a ) ( a ：。一z n - 1 ) + a ( j 。一，1 ) | | 因为正是强单调的和l i p s c h i t z 连续的( 相应的正常数分别为、s + ) 从而有 i i ( 1 一a ) ( ( z 。一：n - 1 ) 一( ( z 。) 一 ( z n1 ) j 旷 = ( 1 一a ) 2 1 1z 。一z 。一，1 1 2 2 ( 五( z 。) 一五( z 。一) ，z 。一z ，) + 0 ( z 。) 一正( z 一，) 胪) ( 1 一a ) 2 ( 1 2 + ( s + e ) 2 ) lz 。一。一l | | 2 由条件4 3 ) 和t 是松弛l i p s c h i t z 算子且为h l i p s c h i t z 连续的可得 因此 | | ( 1 一 ) ( 。一z 。1 ) + a ( 。一 。一1 ) i 2 = ( 1 一a ) 2 | | z 。一x n - 11 1 2 + 2 a ( 1 一a ) ( 。一w 。一】，z 。一z 。r 1 ) + 舻 i 。一w n 一】 s ( 1 一a ) 2 + 2 a ( 1 一a ) + a 2 7 n 2 | | z 。一z 。一11 1 2 ， i i 五( z 。+ 1 ) 一 ( z 。) l l ( 1 一a ) j 百丽+ 抓f 可了丽f 砸丽一一， f 4 6 1 2 1 由j ：凡是强单凋的和l i p s c h i t z 连续的，从而有 e 1 “一。1 1 2 曼( 疋( z ，。+ 】) 一，f ( ，) 。+ 1z ，。) ( z ，件1 ) 一止( _ ，。)_ ，+ 1 一z 。| | ， j 1 j 1z 。+ - 一z 。i | j 】 ( ，? ，- ) 一足( z 。) ( 4 7 j 令p = 【( 1 一a ) 1 2 s + ( s + ej 2 _ - j ( 1 一 ) 2 + 2 a ( i a ) k + a 2 r ，。2 、 由题设易得0 0 i ，再由( 46 ) ，( 4 7 ) 可得 | | x n + 】一z 。i i 目_ ，。一? 。一1 | |( 4 8 ) 据此推出 z 。) 是i l i l b c r t 空间中的柯西列，故可设其收敛到z 1 1 ，再由 条件( 43 ) 和丁是t l l i p s c h i t z 连续的，得 n t “。一1 | | h ( t x t x 一1 ) 7 lz 。一z 。一l i ( 4 9 ) 进而推出 ，。) 也是h i l b e r t 空间中的柯西列，故可设其收敛到 下面证明 t x 因为 d ( u ，r z ) | | 一 。| | 十d ( 。， f x ) - 1 1w 一。| | + 月( 7 1 。，t x ) - i i “j 一叫。| | + r n | i3 2 。一z | j 所以d ( ，t x ) = 0 由r 是闭值的，得t x 对( 42 ) 式两边取极限，并由引理4 1 得z ， 为变分不等式问题w p ( 4 4 ) 的一组解证毕 2 2 参考文献 i ) n “1k i n f t p r l “1 r ( 、r ( ! u i d os t a m p a c c h i aa ni n t r o d u c t i o nt ( j v a r i a t l o n a li n e q l m l i t i c sa l l ( 1 t h c i la p p l i c a ti o n s m 】a c a d e r n i cp lc s s ，1 9 8 0 gs t a m p a c c h i a1 r m e sb i | i n e a i r e ss l l r l e se n s e m b l e sc o e v c x s c r a c a d s c lp a r i s 1 9 6 4 ，2 5 8 ：4 4 1 3 4 4 1 6 e ay ( ) u n ( _ se c o h v c xs e t s ，ec o n v e xf u n c t i o n s ，a n d e c o l l v e x p r o g r a n l m i n g j j o u r n a lo fo p t i m i z a t i o nt h c o r ya n da p p l i c a t i o n s19 9 9 ，1 0 2 ( 2 ) ：4 3 9 4 5 ( 】 x i nm i n y a n g ，k o kl a y t e ea n dx i a 0q iy a j i l g ac ta r a c t ；e r i z a t j o nr i fc o n v e x f u n c t i o n j a p p l i e dm a t h e n i a t i c sl e t t e r ，2 0 0 0 1 3 ：2 7 3 0 kn i k o d e mo ns o m ec l a s s o fi n i d e o n v e x f u n c t i o n s j 1 a n n p o lm a t h ， 1 9 8 9 5 0 1 4 5 1 5 1 x m y a n go ne - c o n v e xs e t s ，e c o n v e xf u n c t i o n s ，a n d e - c o n v e x p r o g r a m n l i n g j j o u r n a lo fo p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l 2 0 0 1 ，1 0 9 ( 3 ) ：6 9 9 7 0 3 c h e nx i u s us o m e p r o p e r t i e s o fs e m i f c o n v e x f u n e t i n s j j o u r n a l o f m a t h a n a l y s i sa n da p p l ，2 0 0 2 ，2 7 5 ：2 5 1 - 2 6 2 xm y a n g ，s yl i ut h r e ek i n d s o tg e n e r a l i z e dc o n v e x i t y j 】j o u r n mo fo p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 5 ，8 0 ( 2 ) ：5 ( 1 1 5 1 3 m a n o o r ac l a s so fn e wi t e r a t i v cn m t h o d sf o rg c n c r a lm i x e dv a li a t i o n a l i n e q u a l i t i e s j m a t h e m a t i c a la n dc o m p u t e rm o d e l l i n g ，2 0 0 0 ，3 1 ：1 1 1 9 m a n o o r ap r e d i c t o r c o r r c c t o ra l g o r i t h mf o rg e n e r a lv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a p p l i e dm a t h e m a t i c sl e t t e r s ，2 0 0 1 ( 1 4 ) ：5 3 - 5 8 ma ，n o o r g e n e r a lv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s j 1a p p l i e d m a t h e m a t i c s l e t t e r s ，1 9 8 8 ，1 ( 2 ) ：1 1 9 - 1 2 1 p t h a c k e r j s p a n g f i n i t e - d i m e n s i o n a l v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y a n dn o n l i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m s ：as u r v e yo ft h e o r y , a l g o r i t h m sa n da p p l i c a - t i o n s j m a t h e n l a t i c a lp r o g r a m m i n g ，1 9 9 0 ，4 8 ：1 6 1 2 2 0 y a m a s h i t an ，t a j ika n df u k u s h i m amu n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o nr e f o r m u l a t i o n so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s j j o u r n a lo fo p t i m i z a t i o n t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，1 9 9 7 ，9 2 ：4 3 9 4 5 6 i v k o d n o v ，s a a _ l g h ok u m a n dg u e m y u n g l e e o nc o n v e r g e n c eo fd e s c e n t n m t h o d sf o rv a r i a t i o n a ! i n e q u a l i t i e si nah i l b o r t s p a e e j 】m a t h e m a t i c a l m e t h o d so fo p e r a t i o n sr e s e a r c h ，2 0 0 2 ，5 5 ：3 7 1 3 8 2 2 3 i 剐 锄 引 e = 嘲 m 2 0 1 2 2 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 】 j i ah a ow l j f l o r i a nma n dm a r c o t t ei ag e i m r a l d e s c e n l f r a m e w o r kf o rt h ei n o n o ( ) l i ev a r i a l i o n a li n e q u a l i t yp r 0 1 ) l e m n m a t ，h c m a t i c a l p r o g r a i n i l r i n g 、1 9 9 36 1 ：2 8 13 0 0 m m “lf u k u s h i m a e q u i v a l e n td i l e r e n t i * d f l eo p t i m i z a l i o up r 0 1 ) l c m sa r md e s c e d tm e t h o d sf o ja s y n n n e t r i ev a r i a t i o n a li n e q u a l i l yp r o b l e n i s nm a | h e m a l i c a lp r o g r a m m i n g ，1 9 9 2 ，5 3 ：9 9 1 0 1 r uv e r m a i t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n da s s o c i a t e d n o n l i n e a re q u a t i o n si n v o l v i n gr e l a x e dl i p s c h i t zo p e r a t o r s j a p p l i e dm a t h e m a t i c sl e t t e r s ，1 9 9 6 ，9 ( 4 ) ：6 1 6 3 s a x nbn a d l e r ，1 r m u l t iv a l u e dc o n t r a c t i o nm a p p i n g s j 】p a c i f i cj o u r n a lo f m a t h e m a t i c s ，1 9 6 9 3 0 ( 2 ) ：4 7 5 4 8 8 r ，r r e l l r o c k a f e l t a rc o n v e x a n a l y s i s m p r i n c e t o n ：p r i n c e t o nu n i v e r s i t y p r e s s ，1 9 7 2 j o h nrg i l e sc o n v e xa n a l y s i sw i t ha p p l i c a t i o ni nt h ed i f f e r e n t i a t i o no fc o n v e xf u n c t i o n s m p i t m a na d v a n c e dp r o g r a l n ，1 9 8 2 rg l o w i n s k i j ll i o n sa n drt r e m o l i e r sn u m e r i c a la n a l y s i so fv a r i a t i o n a l i n c q u a l i t i c s m n o r t h h o l l a n d a m s t e r d a m ，1 9 8 1 e b e r h a r dz e i d l e r n o n l i n e a rf u c n t i o n a l a l m l y s i s a n di t s a p p l i c a t i o n s ( 1 l i v a r i a t i o n a lm e t h o d sa n d o p t i m i z a t i o n ) m 1n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a g 1 9 9 2 f u k u s h i m a ，m