（应用数学专业论文）微分方程在轨道动力问题中的应用.pdf

硕士肇位论文 m a s t e r st h e s i $ 摘要 在工程技术发展中，很多重要的实际问题都需要求解偏微分方程，为相应的工 程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 列车在铁路轨道( 无限长梁) 上运行产生的振动，即是比较典型的微分方程在 工程中的应用实例。对铁路轨道，一般采用不考虑剪切变形的b e m o u l l i - e u l e r 梁和 考虑剪切变形的t i m o s h e n k o 梁来建模，为了简化问题，只考虑单个移动荷载的作 用。本文主要分析铁路轨道在移动荷载作用下的动力响应和临界速度，运用傅立叶 变换结合动力学基本概念，十分简洁地得到了两种梁的动力响应的解析表达式，从 应用方面表明微分方程在工程振动问题中的重要作用，提出了微分方程在工程技术 应用中应注意的问题，并对其应用进行了展望。 关键词：微分方程：无限长梁；傅立叶变换；动力分析 a b s t r a c t h le n g i n e e r i n gt e c h n i q u ed e v e l o p m e n t , al o to f i m p o r t a n ta n da c t u a lp r o b l e m sn e e d s t ob e gt h es o l u t i o ni sp a r t i a ld i f f e r e n t i a le g u a t i o n ，f o rn e c e s s a r yd a t ai no f r e r i n gi nd e s i g n i nh o m o l o g o u se n g i n e e r i n g , g u a r a n t e et h ee n g i n e e r i n gt h es a f e t yd e p e n d a b l ea n d c o m p l e t et h em i s s i o ne f f i c i e n t l y r a i l w a y t r a i nc i r c u l a t e st h eo u t p u tv i b r a t i o no nr a i l w a yr a i l ( i n f i n i t el o n gb e a m ) ，i s a na p p l i e de x a m p l ei ne n g i n e e r i n gi nt y p i c a ld i f f e r e n t i a le g u a t i o n t or a i l w a yr a i l , t h e g e n e r a la d o p t i o nt a k e sn oa c c o u n to ft h eb e a mo fb e r n o u l f i e u l e rt h a ts h e a rs l i c e st o t r a n s f o r mw i t hc o n s i d e rt h eb e a mo ft i m o s h e n k ot h a ts h e a rs l i c e st ot r a n s f o r mt os e tu p t h em o l d ，f o rt h es a k eo fs i m p l i f i c a t i o np r o b l e m ，c o n s i d e rt h es i n g l et h ef u n c t i o nt h a ta n a m b u l a t i o nc a n yo n l y 1 r t 圮m a i na n a l y s i si nt h i st e x tr a i l w a yr a i la tm o v em o d v ec a r r i e s t h ef u n c t i o nb o r o mr e s p o n dt ow i t ht h ee r i i l e a ls p e e d , a p p l i c a t i o nf o u r i e rt r a n s f o n i l a t i o n j o i n st o g e t h e rt h eb a s i cc o n c e p ti nd y n a m i c s ，v e r yt h er e s o l u t i o nt h a ta m o t i v ef o rg e t t i n g t w ok i n d so f b e a m sr e s p o n dt oe x p r e s s e st y p e ，f r o ma p p l yt h ea s p e c te x p r e s st h es q u a r e d i s t a n c ei nd i f f e r e n t i a lc a l c u l u si ne n g i n e e r i n gv i b r a t ep r o b l e mo f i m p o r t a n tf u n c t i o n , p u t f o r w a r dt h es q u a r ed i s t a n c ei nd i f f e r e n t i a lc a l c u l u si ne n g i n e e r i n gt e c h n i q u ea p p l i e d l yt h e p r o b l e mt h a ts h o u l dn o f i c e a n da st oi t sa p p l i e dt op r o c e e dt h eo u t l o o k k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a le g u a t i o n ；i n f m i t el o n gb e a m ；f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n ；m o t i v e a n a l y s i s i l 硕士学位论文 m a s t e rst h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文 全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 日期：年月 日 导师签名： 日期：年月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回丞盈塞握窑卮澄厘；旦芏生；旦= 生i 旦三生叁查! 作者签名： 日期：年月日 导师签名： 日期：年月 硕士擎住论文 l a s t e 瑶st h e s i s 第一节序言 1 1 选题的背景和意义 微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的 二阶方程，法国数学家达朗贝尔也在他的著作论动力学中提出了特殊的偏微分 方程。1 7 4 6 年，达朗贝尔在他的论文张紧的弦振动时形成的曲线的研究中，提 议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开 创了偏微分方程这门学科。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很 多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。 研究铁路轨道在高速列车作用下的振动对于交通工程有很重要的现实意义，分 析列车运动荷载引起的波在轨道中的传播对于防止轨道的破坏，保证列车的安全运 行也很有必要。近几年来由于高速铁路在众多国家的快速发展使得这个课题得到了 广泛的研究。 一个多世纪以前，斯切沃德勒( s c h w c d l e r ) 提出应建立轨道模型以便计算预应 力并防止轨道构件的损坏，特别是轨道的裂缝，他将纵向枕木支承的铁轨模拟成连 续、均匀的文克勒( w i n k l e r ) 弹性地基梁( 无限长梁) 。1 9 3 0 年左右，铁木辛柯 ( t i m o s h e n k o ) 的研究结果开始被人们所接受，他认为钢轨应支承在横向枕木上正 如我们现在普遍采用的模型，这样就能够更好地使用文克勒梁来模拟。 2 0 世纪2 0 年代，一种新型的连续焊接的铁轨大量投入使用，由于其在炎热的 夏季发生屈曲( 有时在冬季发生开裂) ，使人们开始致力于轨道稳定性的研究。同 样是这一原因，促使人们去寻找一种新的数学模型来解释和解决实际问题，但是这 一问题直到5 0 年后才得以解决。 从1 9 2 6 年开始，以铁木辛柯关于车轮效应的报告作为开端，人们开始关注轨 道的动力荷载问题。实际上直到2 0 世纪7 0 年代，还很少有文章涉及到用轨道的动 力模型解决实际问题。 在最近的2 0 年间，人们更致力于用数学模型来解释和解决实际问题，这种向 实际问题的转变主要是由于人们认识到了动力荷载会对轨道造成损坏的同时也对 车辆造成损害。同时动力荷载也是造成噪声和地面振动的主要原因，这两个问题愈 来愈受到人们关注。 硕士擘位论文 m a s t e r l s h e s i $ 1 2 研究目的 本文在建立的轨道振动数学物理方程的基础上，通过傅立时积分交换、残数定 理等数学方法的应用，求得工程实际问题中偏微分方程的解析解。文中以无限长梁 在简谐移动荷载作用下的稳态动力响应和临界速度求解为例，简要说明偏微分方程 在工程振动问题中的重要作用，提出了微分方程在工程技术应用中应注意的问题， 并对其应用进行了展望。具体工作如下： l 、通过对无限长b e r n o u l l i e u l e r 梁、t i m o s h e a k o 梁系统振动的分析，运用残 数定理得到了无自振匀速移动荷载下无限长梁的稳态动力响应的解析表达式。 2 、比较分析了无阻尼和有阻尼情况下两种梁动力响应的区别。 3 、探讨了无限长b e r n o u l l i e u l e r 梁、t i m o s h c n k o 梁的临界速度和共振频率之 问的关系。 4 、给出了上述微分方程解答的计算实例，以实例表明了微分方程在轨道动力 问题中的重要作用。 2 硕士举位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节预备知识 2 1 微分方程的半解析算法 求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函 数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较 困难的。 偏微分方程的解法可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数 法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题， 分离变数法可以求解无界空问的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空 问的数学物理方程的定解。 应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某 些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的 近似程度的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化 成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程， 然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验 研究来代替所研究某个物理问题的定解。 2 2 微分方程的数值算法 在工程计算中我们经常要去解一些常微分方程，虽然在高等数学和其他一些涉 及微分方程的专业书籍中介绍了不少类型的常微分方程及各自的解法，但工程技术 人员在工程和科学研究中所关心的往往只是常微分方程的近似数值解，而非从事数 学研究的技术人员所注重的“过程”。采用常规的人工推导、求解无疑是效率非常低 下的，而且工程上的常微分方程往往结构非常复杂，要给出一般方程解的表达式也 是非常困难的。实际上到目前为止，我们只能对有限的几种特殊类型的方程求精确 织，这远不能满足工程需要，对那些不能用初等函数来表达的方程就只能去求其近 似的数值解，而且这样还可以借助于运算速度快的计算机来进行辅助求解，大大提 高求解的速度和精度，修改也比较灵活。 所谓的数值求解，就是求问题的解y ( x ) 在一系列点上的值y ( x ，) 的近似值y ，。 欧拉( e u l e r ) 算法是其中最基本、最简单的算法，但其求解精度较低，一般不在工程 中单独进行计算。其实现的依据是用向前差商来近似代替导数。对于常微分方程： d y d x = f ( x ，y ) ，x 【咖】 硕士擘位论文 m s t e r st h e s i $ y ( a ) - - - y o 可以将区间【a ，b 】分成n 段，那么方程在第x ，点有y ，( x 。) ；歌，y ( x ，”，再用向前 差商近似代替导数则为：( y ( x m ) - y ( x ，) ) ，h _ f 【x 。0 取，) ) ，因此可以根据x ，点和y ，点 的数值计算出y 。，来： y “l = y f + ”取xf y f ) 虽然从实验结果看误差不算太大，但这仅仅是一个用于实验的非常简单的常微 分方程，对于实际工程中应用的结构复杂的方程其求解结果的误差要远比此大得 多，由于还存在着局部截断误差和整体截断误差，有必要采取措施来抑制、减少误 差，尽量使结果精确。在构造欧拉公式时采取的一个重要步骤用向前差商来代替 导数，如将其改为向后差商也是行得通的。此时的欧拉公式就变成了：y 。= y t 坩歌。 y ，。) ，由于该式是一个隐式公式，所以可用迭代法进行计算，直至获取 到满足精度要求的y 1 4 - 1 。从数学上可以证明，该式的局部截断误差和前面的欧拉公 式的截断误差在主部上只相差正负号，所以只要将显示和隐式的两个欧拉公式相加 后再行求解会大大减少误差。可以解得改进后的欧拉公式的表达式为： y m = ( y + h + ( 取i ，y l 卜躯m ，y i + h 职f y f ) ) ) 2 2 3 振动问题概述 振动是生活与工程中的常见现象，研究振动规律有着极其重要的意义。在自然 界中，许多振动现象都可以抽象为下述振动问题。 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m 的物体，现在研究其振动 规律。首先，假设：( 1 ) 物体的平衡位置位于坐标原点。并取x 轴的正向铅直向下( 见 图1 ) 。物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置。此时，作 用在物体上的重力与弹性力大小相等，方向相反；( 2 ) 在一定的初 始位移工。及初始速度下，物体离开平衡位置，并在平衡位置附 近作没有摇摆的上下振动；( 3 ) 物体在t 时刻的位置坐标为= j ( f ) ， 即t 时刻物体偏离平衡位置的位移；( 4 ) 在振动过程中，受阻力作 用。阻力的大小与物体速度成正比，阻力的方向总是与速度方向相 ， 反，因此阻力为一c 半，c 为阻尼系数；( 5 ) 当质点有位移x ( f ) 时， m 假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的，面恢复力的方向总是指 向平衡位置，也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反，因此所受 4 图1 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i $ 弹簧恢复力为一h ，其中k 为弹性系数；( 6 ) 在振动过程中受外力f ( t ) 的作用。在 上述假设下，根据牛顿第二定律得 胁窘一詈一h + 厂 这就是该物体的强迫振动方程，也是典型的微分方程。 由于方程( 1 ) 中，( f ) 的具体形式没有给出，所以，不能对式( 1 ) 直接求解。 下面分四种情形对其进行讨论。 i 无阻尼自由振动 在这种情况下，假定物体在振动过程中，既无阻力、又不受外力作用。此时方 程( 1 ) 变为 m 氅+ h ：0 一_ + 舡2 令! ：口：。方程变为 百d 2 x - b ( 0 2 x = o ， 万 o ， 特征方程为俨+ 国2 = 0 。 特征根为 ：= i o s ， 通解为j = c ls i n 埘f + c 2c o sr o t ， 或将其写为 x = 叫南咖纛c o s r ) 爿( c o s 妒s i nc o t + s i n 妒c o sc p f ) = a s i n ( c o t + 妒) ， = 厢, s t o o p = 蠢，c o s 妒2 焘， 这就是说，无阻尼自由振动的振幅_ = 厢，频率讲= j 去均为常数 2 有阻尼自由振动 在该种情况下，考虑物体所受到的阻力，不考虑物体所受的外力。此时，方程 ( 1 ) 变为 硕士擘位论文 m a s t e r s t h e s i s 埘娶+ c 皇+ 缸：0 ， d f d f 令生：口z ，三：2 8 ，方程变为 雾+ 2 占警工：o ， m 2出 特征方程为+ 2 懿+ 国2 = 0 ，特征根五：= 万j 2 一出2 。根据艿与脚的关 系，又分为如下三种情形： ( 1 ) 大阻尼情形，j 国。特征根为二不等实根，通解为 x = c e ( 一声+ 如2 一出2 ”+ g e ( 一一+ 如2 一脚2 ) f ( 2 ) 临界阻尼情形，占= 。特征根为重根，通解为 膏= ( c l + c 2 t ) e 一打 这两种情形，由于阻尼比较大，都不发生振动。当有一初始扰动以后，质点慢 慢回到平衡位置，位移随时问t 的变化规律分别如图2 和图3 所示。 t 图2 f f 图3 ( 3 ) 小阻尼情形，j 国。特征根为共轭复根，通解为 工= e 一彝( c ls i n 出2 - j 2 t + c 2s i n m 2 一万2 f ) 将其简化为 j = a e 一6s i n ( 4 国2 一艿2 t + p ) = 厢细2 南舯妒赢撕e 嘲怵 的增加而减小。因此，这是一种衰减振动。位移随时间t 的变化规律见图4 。 6 硕士攀位论文 m a s t e rst 1 4 e s i s 3 无阻尼强迫振动 在这种情形下，设物体不受阻力作用，其所受 外力为简谐力，( f ) = m s i n p t ，此时，方程( 1 ) 化为 埘窘+ o c = r o s i n p t ， d 2 石， 矿+ 国并。s i n p t ， 根据i p 是否等于特征根i m 。其通解分为如下 两种 情形： 7 厂n u u 。 t i f f 4 ( 1 ) 当p m 时，其通解为 拍寿8 i n p t + c j s i nc o t + c 2c o sc o t , 此时，特解的振幅南为常数，但当p 接近于国时，将会导致振幅增大， l 一一n 一 发生类似共振的现象； ( 2 ) 当p = 口时，其通解为 工= 一：i _ fc o sp t + c is i n f + c 2c o s f ， 此时，特解的振幅，随时间f 的增加而增大，这种现象称为共振，即当外力 的频率p 等于物体的固有频率0 3 时，将发生共振。 4 阻尼强迫振动 在这种情形下，假定振动物体既受阻力作用，又受外力，( d = m s i n p t 的作用， 并设万 国，方程( 1 ) 变为 窑+ 窭+ 以：s i n p t ， m 2d f 。 特征根五= 一j i 2 一j 2 ，j 0 ，则j | p 不可能为特征根，特解为 j = a s i n p t + b c o s p t 其中爿= i ；i _ = ? 赫，口= 一2 印 ( 出2 一p2 ) 2 + 4 s2 p 2 硕士学位论文 m a 8 t e r s t h e $ 1 5 还可将其化为 如矿翕万呐s i n p t - 2 8 p c o s p t i ， 由此可见，在有阻尼的情况下，将不会发生共振现象，不过，当p = 国时， 1 算一丽8 p t 若艿很小，则仍会有较大的振幅；若万比较大，则不会有较大的振幅。 2 4 轨道动力问题的计算模型 对于卧于地基上的无限长梁，有下面两种典型的计算模型，一是不考虑剪切变 形的欧拉( e u l e r ) 梁，二是考虑剪切变形的铁木辛柯( t i m o s h e n k o ) 梁。下面简述 如下： 2 4 1 不考虑剪切变形的欧拉( e u l e r ) 计算模型： 如图1 - 5 ，轨道的弯曲刚度为日，长度为l ，盯为作用在轨道上的荷载与反力 的合力。 图1 5 ：e u l e r 梁计算模型 假设梁两端无弯矩( m ) 与剪力( q ) 作用，考虑一个梁单元如图1 - 6 所示： 赤 图1 - 6 ：e u l e r 梁单元受力分析 丝积 + h 斛 塾啦h 嗨 由e u l c r 梁的控制方程； e i u ”+ 打= q ( 2 ) 其中：“= 加缸，= 驯西，p 为质量密度，爿为截面面积，为竖向变形 ( 位移) 。 9 0 年代开始，我国学者对t i m o s h c n k o 梁为主体的有限元轨道模型和其他多种 简化或复杂的轨道模型作了系统研究。实测表明这种模型在计算5 0 0 f i z 以下竖向动 力激振时还是很成功的，但在更高频率时，铁轨将产生剪切变形，该模型就不能很 好地说明竖向荷载下的动力响应。e u l e r 梁理论精度不够，而弹性理论解又过于繁 复，一般只能用级数求近似解。在这种情况下，采用考虑剪切变形和转动惯量影响 的t i m o s h c n k o 梁模型进行计算就很有必要了。 2 4 2 考虑剪切变形的铁木辛柯( t i m o s h e n k o ) 计算模型： 如图1 - 6 所示，其中：轨道的弯曲剐度为日，长度为2 l ，q 为作用在轨道上 的荷载与反力的合力 考虑一个梁单元如下图，上面作用有弯矩、剪力和均布荷载： y 图1 - 8 ：t h n o s h c n k o 梁单元受力分析 硕士学位论文 m a s t e r l s l h e s i s 冥中：p 为质量番度，a 为截面面积。 用y 来表示由弯矩( m ) 引起的变形，用扎来表示由剪力( q ) 引起的变形，于是有： 娑= + y o( 3 )_ = +” 由弯矩和变形的关系有： m = 啦辈 由剪应力( f ) 与剪应交( ) 的关系有： f = g y o k而q = r a 将( 3 ) 代入得： q = 似 其中：g 为钢轨剪切弹性模量，k 为t i m o s h c n k o 剪切系数。 由平衡条件y = 0 得： q 一红+ 彤p a 甜 萨0 2 u q 一- - - 警d x = o 于是有： 票+ g ：倒粤 ( 6 ) 素+ 9 2 倒矿 ( 6 将( 5 ) 代入( 6 ) 得： 倒置旦叙f t , 丝o x 一妒 + g = 碧 于是有： 雠隆纠o x 2 ) + 窘柏) ( 7 ) 由e m = 0 得； m m + 警出 + a a x + 舡警寸，警= 。 于是有： q 一警= 业3 t 2 ( 8 ) 其中：，为转动惯量，且j = 办，i 为惯性矩。 0 硕士学位论文 m a s t e r s 丁h e s i $ 将( 3 ) 、( 4 ) 代入( 8 ) 得： 倒足( 罢一p ) + 日窘= 警 方程( 7 ) 、( 9 ) 即为梁在弯矩和剪力作用下的控制方程。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三节：简谐移动荷载下无限长梁临界速度分析 由前述可知，轨道振动问题可以看作是卧置于地基上的无限长梁的振动问题， 亦可简化为对b e r n o u l l i e u l 盯梁和t i m o s h c n k o 梁的分析和研究，本文运用傅立叶变 换结合动力学基本概念，十分简洁地得到了两种梁的稳态动力响应的解析表达式， 并对两种梁的临界速度点数目变化与移动荷载自振频率及移动荷载移动速度之隅 的关系进行了讨论。通过分析可知，简谐移动荷载下无限长b e r n o u l l i e u l e t 梁有一 个或两个临界速度点，而简谐移动荷载下无限长t i m o s h e n k o 梁最多可能有四个临 界速度点，从而通过微分方程的分析计算，得到工程闯题的有用解答。 3 1 简谐移动荷载下无限长b e r n o u l l i e u l e r 梁和t i m o s h e n k o 粱的稳态 响应 1 筒谐移动荷载下的b e r n o u l l i e u l e r 梁的振动方程可以表达如下，其中留为 荷载自振圆频率。 田等+ 辨窘+ c 詈+ 匆毗f ) m 当g 传砂为简谐移动荷载时，孽瓴t ) = p # ( x - x o - v ( t - t 。”“吨。其中e 为弹性 模量( m n m ：) ，i 为截面惯性矩( m 4 ) ，r n 为梁单位线密度( k g m ) ，p 为移动荷载 峰值( n ) ，v 为移动荷载速度( m s ) ，x 、却为j 方向坐标值及初始值，f ，t o 为时问及 初始时间，a ( x - x o v 9 一b ) ) 为d i r a e 函数。 在移动简谐荷载下，梁的稳态动力响应( 微分方程的特解) 可写为f 6 】： y c 枷= 去万万羞丽耐f 回 其中a 1 - 墅，口：生，：三，6 ：卫 2 、简谐移动苟载下的t i m o s h e n k o 粱的控制方程可以表达如下f l l l ，国为荷载 自振圆频率： 1 2 塑铲 一 由砌 辱一 卜 沪 w 蝴 蝶争睁皤 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 其中，p 为梁密度( k g m 3 ) ，a 为梁横截面面积( m 2 ) ，k 为支座弹性系数( m - n m ) ， c 为粘滞阻尼系数( m n 。m s ) ，p 为截面形状参数，步为梁的挠度( r a d ) ，其他符号 意义同前述。 对( 3 ) 式做关于j 的傅立叶变换，整理可得梁的稳态动力响应为： 她f ) ；一匝鱼生壁竺：竺! ! = = ： 聊陋p + t f + d 2 掌2 + 盔善+ 以+ 访( 以f + d 若2 + d 管+ 喀) 】 f 4 、 其中，吐= 2 c o v ( a + f 一2 v “，畋= ( 6 0 j 2 一b g ) v 2 + a g 一0 + n 矿 码= 2 a n , ( b + g 一2 印“，以= 一p + 占) 印2 + 冶，以= “v 2 一力 以= 0 3 v “，西= v ( 3 e a 2 6 ) ，噍o ( b 一国2 ) a 。：矿一和+ 厂) ，+ 矿，4 7 e ，6 = , u g a ，= i t m g a ，g = i k 。 = 昙 令x 2 x x o ，2 一t o ，此时梁的稳态动力响应可以写为 y 0 ，f ) = - i f ：_ 堑璺竺竺鲨一f 2 石k 叫；孝4 + d 。毒5 + 吐善2 + 以善+ 正+ 衲( 以尹+ 以孝2 + 办善+ 噍) 】 ( 5 ) 当缈= 0 时， y ( 列) ：去仁j 些氅骘= 一孝 2 石“胁k 掌4 + 6 掌2 + c f g ( 厂冉蚓。 撕) 其中占= a g 一( 6 + g ) 圹，；一。歹= 4 一v 一，；= h v 当，石7 。石2 劈，7 5 等就是梁中的杆波速和剪切波速，时， 可以证明方程陋尹+ b e 2 + c 】2 + 【g u f 2 + 6 ) 善】2 = o 有且只有8 个互不相等的复根 ( 考虑工程上可以接受的轨道参数和可能存在的地基弹性系数，例如 5 x l o 4 k l x l 0 4 m n m ) 。假设薯( 扛l 8 ) 是上述方程的8 个互不相等的复根， r x f ( i 2 l ，2 ，3 ，4 ) 的虚部大于零，玉( f 2 5 ，6 ，7 ，8 ) 的虚部小于零，令 n ( 墨一_ ) a ) = “一五) ( 而一而) ( 玉一) ，( 孝) ：旦( 夕f ：+ 6 ) 【旮+ 占善z + 0 f ；( 于尹+ 6 ) 善】“ m ( 7 ) 根据残数定理，( 6 ) 式可以解析地表示为： m = 去忑等孝 ：一i 【掣+ 掣+ 乒+ 掣】 ( 口) 2 兀( - x s ) 兀( 一一) n ( 而一_ ) 兀( 一- ) 算 0 ，( 3 q 2 一专) o 。 假设u ( f = 1 ，2 ) 是方程( 3 巳一2 e 2 ) v 8 + ( 3 q 2 一乞2 ) v 4 + 审= o 的两实根。 ( 1 ) 当= o ，( 3 与2 一巳2 ) 2 4 ( 3 e 1 2 吃) q 3 = 0 。 硕士擘位论文 h i a s t e r s t h e s i $ = 乒警，所以如果v , 乒4 4 e l k ，梁是安执 j e l k 需要指出的是，” 4 号笋时，( 1 。) 式只在主值意义下存在积分值( 这种情 况记作v - p ) 。 ( 2 ) 当嘞 。 o v l o 、 0 2 y i o 且”v 2 时v - p 。 广- 压 ( 4 ) 当口 口2 = 、磊，( 3 q 2 一岛2 ) 2 - 4 ( 3 e , 一2 巳) | o 此时( 3 e l 一2 e 2 ) v s + ( 3 e z 2 一p 2 2 ) 矿+ q 3 = o 只有一个实根：_ o 。 。v i 时梁是安全的。 h 时v - p 。 f k 一 可以看到当由：o 或者珊 i 时。占锄o t l l l i e u 妇梁只有一个临界速度：当 0 、i 后，随着荷载自振频率的增加，梁的临界速度将无限增大。 上述结论也可以从梁的自由振动分析中得到映证。 对于器雾+ m 誊+ 砂= 。可求得自由振动梁中最小波相速为： ( c 。) 。面= 6 ：( 4 e 。i - k ，； 聊 ( 1 3 ) q j 以者出它恰为移动荷载自振频率为零时梁的临界速度。由此可推知，梁的临 界速度和梁中波的速度密切相关。另一方面，根据波群的概念，可求得自由振动粱 中波的群速度，。计算可知，u 勺，即反常弥散。当波数口一o d 时，u - - o o 。 所以b e r n o u l l i e u l e r 梁自由振动时产生的波只有一个最小速度极限。 视”为参数，丽国为自变量，方程( 1 2 ) 可以写为： = 矿+ 6 2 4 + 玩出2 + 钆= o ( 1 4 ) 其中岛= 4 c 2 3 ，如= 1 2 q c 2 2 2 7 c , 2 ，b , = 1 2 q 2 旷5 4 c 3 c 4 以= 4 c l ， 2 7 叮g = 4 云+ 譬c 2 ：4 云 6 = 万2 ( q - ) 3 一j 8 & - 岛- 丘= 6 ) 2 一；厄) q = - 詈，三一，三一。g = - 专 假设q ( 1 s f s3 ) 为方程( 1 4 ) 的实根 厢 ( 1 ) 当y _ o 时，方程( 1 4 ) 有3 个实根：q 2 q 2 q 呻i f 露 所以当国、i 时，梁是安全的。 f kf k m 1 磊时，w 。 ( 2 ) 当o v ( 。) 。时，方程( 1 4 ) 有1 个实根：。 以 o t 对，v - p 。 ( 4 ) 当。 t ) m 时，方程( 1 4 ) 有1 个实根：q o ，口嵋时梁是安全的。 1 7 硕士掌位论文 m a s t e r st h e s i s c o o 时，v 巾。 v 大于( ) 一n 后，随着 ，的增大，也随之无限增大。 3 3t i m o s h e n k o 梁无阻尼系统临界速度的分析 3 3 1t i m o s h e n k o 梁的自由振动分析 根据上述分析，对梁的自由振动分析有助于确定临界速度，考虑如下方程： 豇警+ 倒c 妾一们= 挚 似e 一擎一妙= 肌害 口为波数，彩为圆频率，有： m l = 一 m 2 = 鼽z 2 m 焉，五2 焉棚。五2 嚣，工2 卷 a = a 2 4 z s f , ，f t = 2 a f 3 4 a f , ，力= 五2 4 a 七 所以孟专厣孟一居。撕一， 梁中波的相速度和群速度可写为： 国1 。i 2 m 2 一 口 u i ：堕： d a o s ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) u ：d o 3 7 ： d o t d a 0 8 ) 易证c ，i r 2 ，“i ，u 2 有如下性质： 口训确哼哆一，一哼居，一浮 ) 血一后，( “ 产笋 压 f a g # ,p ” v p 和、fm 是梁的杆波速和剪切波速。 根据( 1 7 ) 和( 1 8 ) 式，可求得( ) n t l 和) 一t i m o s h c n k o 梁中可能和临 界速度有关的几个速度分别为： o 小浮 ( ( 括 ( 1 9 ) 3 3 2t | m o s h e n k o 粱无阻尼系统临界速度的分析 当不考虑阳尼时，t i m o s h e n k o 梁的振动方程变成下式。 f凹警+ 倒尝一= 睾 b 謦一等埘c x - x o - v 一砂= m 鲁 稳态动力响应可以写为： m 力= 去暑辔篆吾善 其中，二= v 4 一( 4 + 厂) 伊+ a f ，t = a - 矿 4 = 2 铆0 + 厂一2 v ：) d 2 = - - ( 6 2 一b g ) v z + a g 一( 口+ 力2 砖= 2 c o v ( b + g - 2 a z ) d 4 = 甜4 一( 6 + g ) 2 + 据 ( 2 0 ) ( 2 1 ) 如果缶( 1 f 4 ) 是方程二p + 4 f + 吐f 2 + 以孝+ 以= o 的根，则有； 她，) ：型兰坐生_ 善丢。 口善4 + d i p + 蝣2 + 蟛+ 以 考虑如下方程： 一( 掌) = 4 善4 + 4 善3 + 吐孝2 + 心善+ 以= o 根据附录可知，如果声( d 2 o 有两重或多重实根， 不存在，此时梁发生共振。 ( 2 2 ) 则积分( 2 1 ) 连主值意义都 当v 如，v 厂时，口= 矿一0 + d 伊+ 矿0 ，方程( 2 2 ) 可写为： 二( + 粤p + 喜尹+ 睾善+ 鸟：0 aaaa ( 2 3 ) = 4 ( - t j 一鲁鲁+ 4 鲁，3 一z 7 岛t 争+ c 争2 + c 鲁，2 鲁一至c l 乒od d , 2 一s 莩) 2 ，：、： 吐 盔吒以 ( 2 4 ) 当v 被视为参数，而c o 被视为自变量时，方程( 2 4 ) 可变为： a = g l o 2 + 9 2 国”+ 9 3 m 8 + 9 4 + 9 5 + 9 6 出2 + 9 7 = 0 c 5 ) 其中，蜀2 4 砰一寺吖，9 2 - - - 1 2 鱼2 i j 2 一秀编， 9 3 碰( 拖+ 树) 一刍( 与+ 幻 9 4 = 4 ( 6 盔魂魄+ 3 ) 一茜( 砭毛+ 墨屯) 毋= 1 2 ( 橱埘玛) 一寺( 毛2 + 2 t 屯) 班埘一寺岛毛岛= 4 小刍屯2 啊：；p 一厶+ 4 f 6 _ 1 2 ：要f 2 一毛+ 4 如：；f ，：+ 4 啊2 ；p 一，1 f 4 + 4 f 6 _ 1 2 2 亏蜴一f l j 5 + 如2 + 4 毛= 2 岛3 + 2 7 1 4 2 + 2 7 1 1 2 ，6 9 一7 2 厶f 6 = 6 ，z 厶+ 5 4 f 4 厶+ 2 7 1 1 2 ，7 9 ( 厶+ 厶，4 ) 一7 2 ( f 2 f 7 + ，3 ，6 ) 硕士擘位论文 m a s t e r st 珏e s i s 岛= 6 ，：+ 2 7 l ，2 + 2 7 1 ：l , 一9 厶，5 - 7 2 ( + 毛) = 碣- 7 2 1 , 1 , = 2 ( a + f - 2 v 2 ) v 厶：6 v 2 - ：a - 一f 毛： 4 ， 口 ， l ：掣 n 毛：_ 2 ( b + g ) v 毛：三z 7 ：二! 攀毛：孥 口 ，口， 口 口 只借助( 2 5 ) 式不能完全判别方程( 2 3 ) 的根的性状，不排除方程( 2 3 ) 有两 重复根的可能。但本文认为一旦移动荷载速度超过最小临界速度( 即超过梁中波的 最小相速度) 后，系统将是不稳定的( 对应于代表系统稳态动力响应的积分式只在 主值下有意义) ，因此本文认为方程( 2 3 ) 不应存在两重复根。 假设吐( f ) ( 1 s l 6 ) 是方程 2 5 ) 的实根。 ( 1 ) 当y 一o 时，方程( 2 5 ) 有四个实根：纹( 1 ) 。哆( 2 ) 。哎( 3 ) 后并且胖厝v 巾 ( 2 ) 当o v 以一) d n 时，方程( 2 5 ) 有两个实根： 认删 摆 删 悟 所以m q ( n ，缈q ( 2 ) 时粱是安全的。 国 鳞( 1 ) 并且甜q ( 2 ) v - p 。 ( 3 ) 当”= ( c m ) 一时，方程( 2 5 ) 有两个实根： o = 则( 2 ) 悟 所以国o ，留q ( 2 ) 时梁是安全的。口o a 2 ) v - p o 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s ( 4 ) 当( ) 。甜 孕时，方程( 2 5 ) 有两个实根： o 喇( 2 ) 1 傺 所以口q ( n ，毋q ( 2 ) 时梁是安全的。m 吃( n ，国皱( 2 ) v p 。 ( 5 ) 当 浮并且浮时，方龇5 ) 有三个觌 睢则) 蝉( 3 ) 睁 所以m q ( n ，q ( 2 ) ，q ( 3 ) 时梁是安全的。 出q ( 1 ) ，国哝( 2 ) ，国吐( 3 ) v 巾。 ( 6 ) 当f ! 竽 v ( ) m 时，方程( 2 5 ) 有三个实根： o 球( 3 ) 1 傺 所以国皱( 1 ) ，口q ( 2 ) ，缈q ( 3 ) 时梁是安全的。 国哆( n ，国吐( 孙，国吃( 3 ) v p 。 ( 7 ) 当v 2 ( 以) 埘t 时，方程( 2 5 ) 有三个实根： o 唧( 2 ) 邮) 警 所以m 吐( n 。彩峨( ，出q ( 3 ) 时梁是安全的。 国q ( 1 ) ，m q ( 2 1 ，国q ( 3 ) v - p 。 另夕b i gc ( 1 ) 2 q ( 2 ) 2 吁( 本文称吁为特征频率) 。 ( 8 ) 当( 居帅靴5 忏个姗0 厝 ( ) 。 “、e q ( 1 ) ，卢时，方程( 2 5 ) 可能又有实根，但此时速度是如 yp 此之大，本文认为此时t h n o s h e n k o 梁模型已经失效。 当被视为参数，而y 被视为自变量时，方程( 2 4 ) 可变为： ：qlvl2+q2vi。+q3v8+q4v6+qsv4+q6v2+q7：o 2 7 ( a ) 6 f 2 6 ) 其中，碍l = 4 3 一下，q 2 = 1 2 r ，2 吃一2 t n ，鼋，。t 2 ( r , 2 r 3 + r i r 2 2 ) 一( 2 t i t 3 + h 2 ) q = 4 ( 6 r j r 2 r ，+ 0 ) 一2 ( 屯1 3 + l l ) q 5 = 1 2 ( r j r 3 2 + 彳弓) 一( t 3 2 + 2 t 2 t 4 ) q 6 = 1 2 r 2 r 3 2 2 弛q 7 - - 4 r 3 3 一2 = 见2 3 p 2 p 5 + 1 2 p 6r 2 = 2 p 3 p 4 - 3 p l p s 一1 2 p 6 ( a + f ) r 3 = 见2 + 1 2 p ：f = 2 p 3 3 + 2 7 p s 2 + 2 7 p 2 2 仇- 9 p 2 p 3