（运筹学与控制论专业论文）状态线性系统Σ（abc）最优控制的几种方法.pdf

中文摘要 中文摘要 线性系统的最优控制理论是分布参数系统的基本课题之一，在航空航天、国防、 金融、通讯等领域有着广泛的应用前景同时，由于研究手法涉及到泛函分析、拓扑 学，几何学、代数学等基础数学理论因此，在理论上非常有意义 本文的引言部分介绍了目前国内外有关最优控制理论的现状在第一、二章给出 本文的主要结论即，线性系统( 以，b ，c ) 可最优化的几个充分条件第一个结论借 助代数p d e e a t i 方程的解及半群理论性质推导出系统可最优化；其次讨论了系统算子 的特征向量形成r i e s z 基时。使其系统可最优化的控制函数的具体数学表达式；最后 总结了系统可最优化研究的最新结论和研究展望 关键词，最优化；状态线性系统( a ，b ，e ) ；代数r i c c a t i 方程；r i e s z 基；白一 半群 状态线性系统( a ，b ，c ) 最优控制的几种方法 a b s t r a c t t h el i n e a rs y s t e mo p t i m u mc o n t r o lt h e o r yd i s t r i b u t e so n eo fp a r a m e t e rs y s t e m b a s i ct o p i c s ，i nd o m a i n sa n ds oo na e r o s p a c e ，n a t i o n a ld e f e n s e ，f i n a n c e ，c o m m u n i c a t i o n h a st h ew i d e s p r e a da p p l i c a t i o np r o s p e c t s i m u l t a n e o u s l y , b e c a u s et h er e s e a r c ht e c h - n i q u ei n v o l v e st of o u n d a t i o nm a t h e m a t i c st h e o r i e sa n d8 0o nt h ef u n c t i o n a la n a l y s i s ， a n a l y s i ss i t u s ，g e o m e t r y , a l g e b r a t h e r e f o r e ，t h e o r e t i c a l l ye x t r e m e l yh a st h es i g n i f i c a n c e t h i sa r t i c l ei n t r o d u c t i o np a r ti n t r o d u c e dt h ep r e s e n td o m e s t i ca n df o r e i g nr e l a t e d o p t i m u mc o n t r o lt h e o r yp r e s e n ts i t u a t i o n i nf i r s t ，t w oc h a p t e r sg i v e st h i sa r t i c l et h e m a i nc o n c l u s i o n n a m e l y ：t h el i n e a rs y s t e me ( a ，b ，c ) m a yo p t i m i z es e v e r a ls u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t h ef i r s tc o n c l u s i o ni n f e r st h e8 1 1 伍c i e n te o n d i t i o nw i t ht h ea i do ft h e a l g e b r ar i c c a t ie q u a t i o ns o l u t i o na n dt h es e m i - g r o u pt h e o r yn a t u r ew h i c ht h es y s t e m m a yo p t i m i z e ；n e x td i s c u s s e dw h e nt h es y s t e mo p e r a t o rc h a r a c t e r i s t i cv e c t o rf o r m st h e r i e s zb a s e ，c a u s e sc o n t r o lf u n c t i o nc o n c r e t em a t h e m a t i c a le x p r e s s i o nw h i c hi t ss y s t e m m a yo p t i m i z e ；f i n a l l ys u m m a r i z e dt h es y s t e mt ob ep o s s i b l et oo p t i m i z et h er e s e a r c h n e w e s tc o n c l u s i o na n dt h er e s e a r c hf o r e c a s t k e yw o r d s ：o p t i m i z a t i o n ；s t a t el i n e a rs y s t e m ( a ，b ，g ) ；r i c c a t i ；r i e s zb a s i s ； c o s e m i g r o u p 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导 下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如 果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关 的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献 资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的成果。 学位论文作者( 签章) ：况俊i 岛 2 0 0 7 年岁月乡护日 引言 引言 2 0 世纪6 0 年代初，由于空间技术的迅猛发展和计算机的广泛应用，动态系统的 优化理论得到了迅速发展，形成最优控制这一重要的学科分支，并在控制工程，经济管 理与决策以及人口控制等领域得到了成功的应用，取得了显著的成效例如，工程设 计中怎样选择设计参数，使得设计方案既满足设计要求又能降低成本；资源分配时， 怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的要求，又能获得好的经济效益； 生产计划安排时，选择怎样的计划方案才能提高产量和利润；原料配比问题中，怎样 确定各种成分的比例才能提高产量和利润，降低成本；城建规划中。怎样安排工厂、 学校、机关、医院商店、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众。有利于城市各 行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保证高产稳产， 发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自 己，有利于战争的布局 1 9 6 9 年美国阿波罗1 1 号实现了人类历史上的首次载人登月飞行，任务要求登月 舱在月球表面实现软着陆即登月舱到达月球表面时的速度为零。并在登月过程中， 选择登月舱发动机推力的最优控制律，使燃料消耗最少，以便宇航员完成月球考察任 务后，登月舱有足够的燃料离开月球与母船全合，从而安全返回地球这里的燃料消 耗最少问题其实也就是说的控制论中最优化问题，因此，最优化理论和方法值得深入 研究 在控制工程中，最优化的研究方法可以说是已经有一整套比较系统科学地理论方 法 1 】比如解析法、数值计算法、梯度型法具体划分的话，解析法中又包括变分法 极小值原理，动态规划以及线性二次型最优控制法数值计算法中包括区间消去法、 爬山法梯度型法中包括无约束梯度法和有约束梯度法等本文主要讨论了无穷维线 性系统中最优化的几种方法目前，有关最优化的方法也很多，比如通过代数r i c c a t i 方程的解、精确能控、指数稳定等等【2 】【3 】但是，它并非象有限维系统中已形成一套 比较完整的模式，因此，本文对其的研究具有一定的意义 1 状态线性系统r ( a ，b ，g ) 最优控制的几种方法 第一章由a r e 解导出最优化的方法 1 1 预备知识 e ( a ，b ，c ) 表示抽象线性系统 io ( t ) = a z ( t ) + b 缸( t ) i 0 ) = c z ( t )b c ( 玑z ) ，c c ( 互l ，) 由半群理论系统轨迹为一 印) = t 动+ z t ( t - s ) b u ( 8 ) 出 ( 1 1 ) 设输出函数为；f ( t ) = c z ( t ) 系统的费用函数为z ，( 动；“) ：厂”扫( 8 ) ，( 8 ) ) + ( “( 8 ) ，冗“( s ) ) 山 ( 1 _ 2 ) j 0 其中珏( s ) ，耖( 8 ) 分别是输入、输出轨迹，a 是状态空间z 上的c 0 - 半群的生成元 b l ( 【z ) ，c l ( z ，l ，) ，z ，y 为h i l b e r t 空间r c ( u ) 且r 是自共轭强制算子 记 讹；叩，) = z ( 小) ，如) ) 坤( 吐舭) d s ( 1 3 ) ( 1 1 ) 的代数m c c a t i 方程( a r e ) 为： 0 = ( a z l ，7 r 恐) + ( 7 r z l ，a 勿) + ( c z l ，g 勿) 一( b 7 r z l ，r 一1 b 7 r 施) ，。l ，砘d ( a ) ( 1 4 ) 定义【4 】对v 翔z ，如果存在一输入函数缸l 2 ( 【0 ，) ；u ) 使得费用函数是有限的， 那么带有费用函数( 1 2 ) 的状态线性系统r ( a ，b ，c ) 是可最优化的 1 2 主要引理 第一章由a r e 解导出最优化的方法 引理1 1 【4 】假设l = l l ( z ) 是a r e ( i 4 ) 的解，那么对。o ，v u ( ) 如( 【o ，t 。) ；c ，) ，v 动z 有下式成立 ，如 j ( z o ；o ，t 。，u ) = ( 7 o ，l 葡) 一仁( t 。) ，l z ( t 。) ) + ( 【u ( 8 ) + 旷1 b l z ( 8 ) 】，r 阻( s ) + r 一1 b l z ( s ) ) d s ，0 这里z ( ) 是状态轨迹( 1 1 ) ，j ( z o ；o ，t e ，u ) 由( 1 3 ) 式给出 证明设z o d ) ，u c 1 ( 【o ，t 。】；u ) ，则系统的m i l d 解彳( ) g 1 ( 1 0 ，t 。】；z ) ，z ( s ) d ( a ) ，s 【o ，t 。】且a z ( ) g ( 【o ，t 。】；z ) 那么 ，屯 j ( z o ；0 ，屯，u ) = ( 仇( s ) ，仇( s ) ) + ( ( s ) ，肌( 8 ) ) 出 j 0 ，“ = 一( a z ( s ) ，l ：( s ) ) 一( l z ( s ) ，a z ( s ) ) + ( b l z ( s ) ，r 一1 b l z ( s ) ) j 0 + ( u ( s ) ，r u ( s ) ) d s ，k = 【- ( a z ( 8 ) + b 钍( 8 ) ，l z ( s ) ) 一( l z ( s ) ，a z ( s ) + b u ( s ) ) + ( b t ( 8 ) ，工z ( s ) ) j 0 + ( l z ( s ) ，b t ( s ) ) + ( b l z ( s ) ，r - 1 b l z ( 8 ) ) + ( ( s ) ，r u ( s ) ) d s r “ = 【一( j ( s ) ，l z ( s ) ) 一( l z ( s ) ，j ( s ) ) ，0 + ( 阻( 占) + r - 1 口己石( s ) 】，冗陋( s ) + r 一1 b 三z ( s ) 】) j d 日 = ( 翔，l z o ) 一仁( t 。) ，工z ( 屯) ) ，k + ( 【( 8 ) + r 一1 b l z ( 8 ) 】，凡【t ( 8 ) + r - 1 b l z ( s ) ) d s j 0 由于d ( a ) 、c 1 ( 【0 ，t 。】；u ) 分别在z 、岛( 【o ，纠；u ) 中稠，并且j ( z o ；o ，t e ，t ) 关于 z o ，( ) 连续，从而对v z o z ，u ( ) l 2 ( 【o ，纠；u ) ，结论成立 引理1 2 【4 】假设算子a 是h i l b e r t 空问x 上个q 一半群( t ( t ) h z o 的无穷小生 成元，满足l i t ( t ) l i 一，且算子b l 旺) 那么a + b 是z 上一个g 一半群 够( t ) ) t 2 0 的无穷小生成元，且满足 i i s ( 0 1 i m e ( “o + m 口眦，vt 0 引理1 3 【5 】【6 】设a 是个岛一压缩半群口( t ) ) t 0 的无穷小生成元，且算子( b ，d ( b ) ) 是耗散和a 一有界的而且a 一界a o 0 ，t o ； ( 2 ) 存在0 oi i e m 。t ( t ) x 1 1 由于i l t ( t ) 0 m e c m ，显然我们有 i 川m i i x l l 所以新范数i i 与i i 是等价的，而且此时我们有t i t ( t ) x i = s u pl i t ( s ) e 一t ( t ) x l i s u pi i e 一州t ( t ) x l i = 2 0 0 故此时g 半群( t ( t ) ) t 0 在( x ，i i ) 成为一个压缩半群一方面由于算子b 满足 条件( 1 ) ，即对v a 0 ，有 i i t ( t ) ( m b ) x l i2a i i t ( t ) x l i 所以我们有t s u pi i t ( t ) ( m b ) z l i s u pa i i t ( t ) x l l ， 2 0t 2 0 s u p0 e 一”t ( t ) ( a j r b ) x l i s u p , x l l e 一“t ( t ) x l l ， t o t 2 0 即； i ( a i b ) xj a i z l ，v a 0 因此算子( b ，d ( b ) ) 在( x ，i i ) 下是耗散的 另一方面由于算子且满足条件( 2 ) ，即，存在0 o 2 0三u s u pl e - “o t t ( t ) b x i l a s u pi i e 一”t ( t ) a z l i + b s u pi l e - ”t t ( t ) z l l ， t o 2 u2 u 即； l b z iso i 血i + b i l l 故算子口在( x ，i i ) 是a 一有界的且a 一界a o 0 满足： i s ( t ) l 1 ， 故我们有， i i s ( t ) = l l 0 的无穷小生成 元且满足i i t ( t ) l i m 设算子b l ( x ) ，如果 ( 1 ) i i t ( t ) ( m b + w i ) x l l a i i t ( t ) x l l ， v a 0 ，t o ； ( 2 ) 存在0 0 的增长阶w 1s ， 证明由于算子a + b 生成g 一半群p ( t ) ) t o ，那么显然有算子a + b u j 生成 g 一半群( e - - t “s ( t ) ) t o 此时由定理1 1 我们有 0 e 一“s ( t ) l i m 即我们有 i i s ( t ) l ism e 以，对vt 0 都成立，从而定理得证 定理1 3 若a r e ( 1 4 ) 存在解l 三( z ) ，则带有费用函数( 1 2 ) 的状态线性系统 ，b ，c ) 可最优化 5 证明由引理1 1 可知对v t e 0 ，h ( ) 岛( 【o ，t 。) ；t r ) ，v 匈z ，如 j ( z o ；o ，t 。，t ) = ( z o ，l 徇) 一仁( 屯) ，l z ( 如) ) + ( 【让( s ) + 冗一1 b 三z ( s ) j ，冗陋( s ) + 月一1 b l z ( s ) ) d s j 0 取5 2 ( o ，o o ) ；u ) 的子集u , m ( z o ) = 如( 【o ，o o ) ；u ) iz ( t ) ：= t ( t ) z o + f ：t ( t s ) b u ( s ) d s 且z ( ) 如( o ，) ；z ) ) 则以砌) 非空事实上，记t i ，为t ( t ) 的增长 阶 若w 0 2 ) j j t o ) ( 一a b b + u j ) z 0 a l l t ( t ) a x l i + b l l t ( t ) x 1 10 口 0 ，t 0 由于b l ( z ) ，则a a b b 生成半群卫。b b ( t ) 由1 ) ，2 ) 可知卫。b b ( t ) 的增长阶 0 3 1 - - o j 0 ，则卫。b b ( t ) 指数稳定取钍( t ) = - a b l o b 伊( t ) z o ，则u ( t ) 以砌) 口( m ( 8 ) + r 一1 b l z ( s ) ，月【让( s ) + r 一1 b l z ( s ) ) d s = 口( 【让( s ) + r _ 1 b l z ( 8 ) 】， r u ( s ) + b l z ( s ) ) d s = j ( u ( s ) ，冗缸( s ) ) + ( ( 8 ) ，b l z 0 ) ) + r 一1 b l 名( 8 ) ，r 缸( s ) ) + ( r 一1 b l z ( s ) ，b l z ( s ) ) d s = j ： ( 钍( s ) ，冗“( s ) ) + ( b u ( s ) ，三z 0 ) ) + ( l z ( s ) ，b u ( s ) ) - i - ( r 一1 b l z ( 8 ) ，b l z ( s ) ) d a 取牡仉t d 6 ) j ( z o ；) = 1 i r aj ( z o ；0 ，t c ，) k - - o o = ( z o ，l z o ) + ( 阻( s ) + 旷1 b l z ( 8 ) 】，r 阻( s ) + r - 1 b l z ( s ) ) d s ，0 ， = ( z o ，l 2 b ) + ( ( s ) ，j 2 钍( 8 ) ) + ( b u ( s ) ，己z ( s ) ) ，0 1 + ( l z ( s ) ，b t 0 ) ) + ( r - - 1 b l z ( s ) ，b l z ( s ) ) d s 6 第一章由a r e 解导出最优化的方法 由于冗是强制的，所以冗- 1 有界又r 工( ) ，b l ( 阢z ) ，l 工( z ) ，彳( ) 如( 【o ，) ；z ) 从而 s o ( 8 ) ，r t 正( s ) ) + ( b u ( s ) ，l z ( s ) ) + ( l z ( s ) ，口札( s ) ) + ( 兄一1 b + l z ( 8 ) ，b l z ( s ) ) d s 0 ，i a n q 一。1 2 0 则有 1 0 第二章一类可找到具体控制函数钍使其最优化的方法 一f c 1 2 一i o t - n 1 2 一d 。丘一。一o t - n d k i o 1 2 + l n 一。1 2 方面 1 1 2 + i 咖，1 1 2 1 3 = - - + + = o + 咖1 如，l 眩 n = 一 r 另一方面由( + ) 式，有 0 a = 一 = + + 如+ a o ，l 如川羔 【蚓2 + i n 一| 2 】【1 + 丽1 】 n = 1 1 【- 一a 巧n 1 嘉 n = 1 l 劬1 2 + 1 0 0 , 1 1 2 蚶【1 + 赤】 n = - n , n o + 1 2 + i c t o ，1 1 2 1 1 + 刍】【1 1 2 + i 锄。- | 2 】 从而 如，1 ，如，1 7 , z ) 是一r i e s z 基 1 1 l i x 0 , 1 1 2 小 p 巾 圳 跚 珊 仆 剐 剖 忻磅南碚杀 + 阻 1 n 叫 阡 阿 廿 阿 坨l 也 一 2 2 2 l 计 计 电 计 啦 槲言言脚脚 2 3 主要定理及证明 定理2 1 在状态线性系统，b ，c ) 中，如果，n n 是状态空间z 上的 r i e s z 基，则微分r i c c a t i 方程( 2 3 ) 的解( ) 具有形式； ( t ) z = i i 。( t ) ( z ，妒。) 其中。( t ) = ( 九，n ( t ) 妒h ) ，妒。为加的双正交列而且，如果算子a 的特征函数 “，n 如引理2 4 中构成空间z 上的r i e s z 基，那么当b = c = m = r = i 时。有 ( t ) 。= h 。( t ) ( z ，) 加 其中风。o ) = 掣高謦最舞等嬲，这里a n = 一k 一 ( k 一 ) z + 1 + ，6 n = 一k - 4 - 、( k 一；) 2 + l + ；，钍n = 2 、( a 。一；) 2 + 1 ，a 。为算子a 的特征值 证明任取。z ，由 ，礼) 为z 上的p d e s z 基，有 z = ( 2 ，) 如，r i ( t ) z = ( 怯，( t ) z ) f h 弓l 理2 1 。( ) l ( 刁 nn 有n ( t ) z = ( t ) 如( z ，) 所以 n ( t ) z = ，( ) z ) 饥 = ，( t ) 加( z ，) ) = ( 妒m ，( t ) ) ( z ，讥) = 。( t ) ( z ，以) 如 这里。( t ) = ( 妒机，( t ) 九) 当，n n 是算子a 的特征值a 。所对应的特征函数时。取 讥：= + 妒。n 0 ：= 如讥1 ：= 如1 易证 怕，1 ，竹z 与 如，1 ，竹z 是双正交的 则对比z 有唯一表示 z = ( z ，饥) + ( z ，讥) 如，1 1 l = - o o 】2 第二章一类可找到具体控制函数“使其最优化的方法 b = c = m = i 时，在( 2 3 ) 中取z 1 = 九，勿= 妒。，则微分方程变形为 血。 ) = 一( ，n 0 ) a 奴一( a 虹，0 ) 如) 一c 1 ，g ) + ( n ( t ) m n - 1 b ( 咖，) 一k i i ，l 。( t ) 一k ( 如，( ) 加) + k 如，n ( t ) c , c n ) ) 一以。+ h ( ) h ( t ) ( 2 4 ) l - - - - 0 。( t e ) = 矗。 当n 仇时，i i 竹m 【”三0 是【2 4 ) 的屏，由引理2 2 中解的唯性雨t i i 一【= 0 ，嚣矾 当n = m 时，方程( 2 4 ) 变形为 f i 。( t ) = ( 一2 k + 1 ) 。( ) 一1 + ( f ) n 。( r e ) = 1 当l q , = 0 时，通过观察有t = 1 当n 0 时，令 = 一a 。一、( a 。一；) z + + ； k = 一k + 、( k 一；) z + z + ； u n = 2 ( k 一弘 鲰( t ) = 瓦而1 由( 一2 k + 1 ) 。( t ) 一1 + ：。( t ) = ( i i 。( t ) + ) ( 。( t ) + k ) ，有 “盱一j 札概( 。) ( 2 5 ) l ( 如) = 六 、 解线性常微分方程组( 2 5 ) 有t g n ( t ) = 尘等器 由上述鳜( ) 的定义有- 。( t ) = 等格蔫畿端箬 从而 n ( t ) z = 。( t ) z ，如) 如 由引理2 1 可得到矿咖证毕 1 4 状态线性系统e ，b ，c ) 最优控制的几种方法 记p 彤为系统可最优化时对应的半群，a o m 为其生成元f 哪：d ( a 哪) u 为 相容观测算子，则对v x oed ( a 哦) ，有 “哪( t ) = f 唧7 知，v t 0 【1 2 】 记犁为的a 一扩张，则( t ) = 掣5 0 ， 坳o x ，t20 定义3 2 0 a 1 若存在一有界线性算子f ：x l 2 ( 【0 ，) ，u ) ，使得= f x o 时 s u p 掣z o l 2 ( o ，m 则称，b ) 的开环l 2 稳定问题 妒：x - - - 4l 乙( 【0 ，o o ) ，x )f ：l 2 ( o ，o o ) ，u ) + 上缸( 【o ，) ，x ) ( 妒z o ) ( t ) = 噩z o( f u ) ( t ) = 露t t 一。b u ( a ) d a 因此，如果r 为x 驴( 【o ，o o ) ，u ) 的算子，那么取u = f x o ，则 z = ( f f + 妒) 跏 定义3 3 【1 3 】若存在一有界算子r 哪：x l 2 ( 【o ，o o ) ，u ) ，使得 f r 哪+ 妒：x l 2 ( 【o ，o o ) ，x ) 是有界的，且 罗州 i l = 乎州 则称( a ，b ) 的最优开环驴一稳定问题 引理3 1 i 1 4 】假定( a ，b ) 是可最优化的，那么对v x o x ，j l t 哪r 2 ( i 0 ，o o ) ，u ) 使得 j ( x o ，u o p t ) = m i l lj ( x o ，u ) 存在一正算子p 工僻) ，使得对上式5 0 及哪，有 j ( x o ，u 唧) = ( p x o ，s o ) 引理3 2 【1 4 1 假定( a ，b ) 是可最优化的，那么存在x 上一强连续半群删，使得 对v 5 0 x ，若t 卿如引理3 1 中，则 正o = t t = o + 名互一，b u 。讲( a ) d a 此半群7 倒是指数稳定的【1 5 】 由引理3 1 和引理3 2 ，我们很容易得到下面两个定理 第三章有关最优化的其它结论 第三章有关最优化的其它结论 我们知道，对系统e ，b ，c ) ，如果b 是有界的，那么最优化与稳定性是等价的 若b 是无界的，由系统稳定性可知其最优化当系统精确可控时，显然可最优化这 一系列结论可参考文献【7 】【8 j 【9 j 【1 0 】在这一章，我们主要考虑系统e ( a ，b ，) 首先介 绍一些有关的概念 记x 为一h i l b e r t 空间，a ：d ( a ) x ，为x 上一强连续半群t 的生成元， 置为一h i l b e r t 空间，其上范数为i i z l l , = 1 1 ( 9 i j 4 ) z | | ，卢p ) ，z d ( a ) 定义忆：i 一1 = 0 ( 卢，一a ) - 1 z ，在此范数下x 的完备化空间记为汇1 此空间与 d ( a ) 是等距同构的，且五叶xl x l 是连续嵌入 我们仍用t ，a 分别表示t 在l l 上的扩张半群和生成元a ：x x - 1 定义3 1 1 1 1 】设u 是一h i l b e r t 空间，若对v t 0 及l 2 ( 【o ，o o ) ，u ) ，抽象系 统的解z ( t ) x ，则称算子b 与t 相容这里x 是一连续的x 值函数 记饥l ( l 2 ( o ，) ，u ) ，x ) 且慨让= 正一，b u ( a ) d a 则有 z ( t ) = t t x o + 帆t ， 帆仳x - 1 但要求z ( t ) x ，对x 作拉普拉斯变换 圣( 8 ) = ( s i a ) 一1 p o + b 缸( s ) 】 如果b 工( 弘x ) ，则称b 是有界的 定义一连续算子妒：x 三乙( 【o ，o o 】，y ) 使得 ( 妒z o ) ( ) = c t t z o ， y x oed ( a ) 同样对c 扩张，那么上式对v t 0 。妇o x 都成立 如果y = c x o ，那么它的拉普拉斯变换为 妒( s ) = c ( s i a ) - 1 知 算子妒为扩张的输出映射，即肆妒= 妒b ，v r 0 s t 表示三乙( 【o ，o o ) ，y ) 上的 左平移 定义算子f ：上缸( 【0 ，o o ) ，u ) l ( 【0 ，o o ) ，y ) 满足 肆f = 妒妒，+ f 8 7 ，计0 1 5 定理3 1 ( a ，b ) 的开环l 2 _ 稳定问题是可解的乍兮( a ，b ) 是可最优化的 定理3 2 ( a ，n ) 的最优开环l 2 稳定问题是可解的辛似，b ) 是可最优化的 1 7 工作总结与研究展望 本文主要从抽象和具体两方面对状态线性系统( a ，b ，c ) 最优化进行了论述 在用抽象的理论分析证明系统最优化的过程中，主要的优点就是巧取一常数。满足 两个条件，使其扰动半群的增长阶小于零，从而扰动半群指数稳定推导出最优化在 用具体的控制函数让来推导最优化时，优点之处就在于它用到的并非是标准正交基， 而是更一般的r i e s z 基，从而使得工作对一般情况更具有可行性 在【1 6 ，【17 】中，对半群加扰动可使此扰动半群是指数稳定的在本文工作的基础 上还可以进一步考虑这个问题，也就是当半群的增长阶为零时。给它加扰动，能否找 出使得此扰动半群指数稳定的一整套系统理论 参考文献 参考文献 【1 】郑大钟线性系统理论【m 】清华大学出版社， 2 0 0 3 【2 】g w e i s sa n dr f c u r t a i n d y n a m i cs t a b i l i z a t i o no fr e g u l a rl i n e a rs y s t e m s j a u t o m a t c o n t r o l ，1 9 9 7 ，4 2 【3 】h u a n gf a l u n c h a r a c t e r i s t i c c o n d i t i o n sf o re x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl i n e a rd y n a m - i c a ls y s t e m si nh i l b e r ts p a c e s j a n n o fd i f e r e n t i ae q u a t i o n s ，1 9 9 5 ，1 ：4 3 - 5 6 【4 】r u t hf c u r t a i nh a n sz w a r t a ni n t r o d u c t i o nt oi n f i n i t e - d i m e n s i o n ml i n e a r s y s t e m st h e o r y m n e wy o r k ：b e r l i nh e i d e l b e r gl o n d o np a r i st o k y o h o n g k o n g b a r c e l o n ab u d a p e s t ，1 9 9 5 【5 】s b r e n d l e ，m c a m p i t i ，t h a h n ，g n i c k e l ，d p a l l a r a ，c p e r a z z o l i ，a k h a n d i ，s r o m a n e l l i ， a n dr s c h n a u b e l t o n e - p a r a m e t e rs e m i g r o u p sf o rl i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s m k l a u s - j o c h e ne n g e lr a i n e rn a g e l ，1 9 9 9 【6 】k l a u s - j o c h e ne n g e lr n a g e l o n e - p a r a m e t e rs e m i g r o u p sf o rl i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s 【m 】n e wy o r k ：s p r i n g e r2 0 0 0 7 1o j s t a f f a n s q u a d r a t i co p t i o n a lc o n t r o lo fw e l l p o s e dl i n e a rs y s t e m s j c o n t r o l o p t i o n ，1 9 9 9 ，3 7 ：1 3 1 - 1 6 4 【8 】h j z w a r t l i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lf o ra b s t r a c tl i n e a rs y s t e m si nm o d - e l l i n ga n do p t i m i z a t i o no fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s m l o n d o n ：c h a p m a n h a l l ，1 9 9 6 【9 1 m w e i s sa n dg w e i s s o p t i m a lc o n t r o lo fs t a b l ew e a k l yr e g u l a rl i n e a rs y s t e m s j m a t h c o n t r o ls i g n a l ss y s t e m s ，1 9 9 7 ，1 0 ：2 8 7 - 3 3 0 1 9 状态线性系统，b ，c ) 最优控制的几种方法 1 1 0 m r e b 缸b e ra n dh j z w a r t o p e n - l o o ps t a b i l i z a b i l i t yo fi n f i n i t e - d i m e n s i o n a l s y s t e m s j m a t h c o n t r o ls i g n a l ss y s t e m s ，1 9 9 8 ，1 1 ：1 2 9 - 1 6