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对一类非线性微分方程正解的分歧解法 摘要 本硕士论文由五章组成，主要对一类非线性微分方程进行了研究， 当微分方程中的非线性项，( u ) 满足一定条件时，利用非线性分析和分歧 理论知识，得到了当微分方程中的参数 变化时，微分方程正解的多解 性并对这类非线性微分方程的正解进行了进一步的深入研究，考虑了 当正解为退化的奇异解时，首次推导得出了一个积分公式e ( a ) ，根据它的 符号可以判断解衄线在相平面( a ，u ) 中的转向情况 第一章主要介绍了一类非线性微分方程的发展历史和国内外的研究 现状 第二章主要介绍了研究这类非线性微分方程所需的预备知识，相关 引理和本文的主要结果 第三章主要研究了上述微分方程正解的多解性在非线性项f ( u ) 满 足一定条件下，我们利用非线性分析和分歧理论知识，得到了当微分方 程中的参数a 变化时，微分方程正解的多解性并举出了具体的例子说 明了这个结论 第四章在第三章的基础上做了迸一步的细致研究，考虑当正解为退 化的奇异解时，首次推导得出了一个积分公式e ( a ) ，根据它的符号可以 判断解曲线在相平面( a ，“) 中的转向情况并列举了具体的非线性项，( u ) 来验证这个积分公式e ( a ) 第五章对本文做了总结和展望 关键词：奇异解，c r a n d a l l - r a b i n o w i t z 定理，分歧理论，两点边值问题 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do f f i v ec h a p t e r s w h i c hm a i n l ys t u d i e sac l 躺 o fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w h e nt h en o n l i n e a rp a r to ft h ee q u a t i o n sh a s 8 0 m es p e c i a lc o n d i t i o n s ，u s i n gn o n l i n e a ra n a l y s i sa n db i f a r c a t i o nt h e o r e mw ec a n k n o wh o wm a n ys o l u t i o n st h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v e 狂t h ea c h a n g e s t h e nw ec o n t i n u et or e s e a r c ho nt h i sn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm o r eh t r t h e r l y , w h e nt h i sp o s i t i v es o l u t i o ni sad e g e n e r a t ec r i t i c a ls o l u t i o n 。w ec a ni n f e ra ni n t e g a l f o r m u l ae ( o ) f i r s t l ya n di tc a nj u d g et h es o l u t i o n sc u r v eh o wt oc h a n g ei t 8d i r e c t i o n i nt h e ( a ，u ) p l a n eb yi t 8v a l u e s i n t h ef i r s tc h a p t e r s ，t h et h e s i sm a i n l yi n t r o d u c e sac l a s so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so ft h eh i s t o r yd e v e l o p e m e n ta n dt h er e c e n td e v e l o p m e n to ft h er e s e a r c h i nt h i se q u a t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r s i tm a i n l yi n t r o d u c e s 璐s o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e a n dr e l a t e dl e m m aa b o u ts t u d y i n gt h i sc l a s so ft h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r ，i tm a i n l ys t u d i e sw h e nt h en o n , n e a rp a r to ft h ee q u a t i o n s h a ss o m es p e c i a lc o n d i t i o n s ，u s i n gn o n , n e a ra n a l y s i sa n db i f u r c a t i o nt h e o r e mw ec a n k n o wh o wm a n ys o l u t i o n st h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ei ft h eac h a n g e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，i tc o n t i n u et or e s e a r c ho nt h en o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sm o r ef u r t h e r | y , w h e nt h i sp o s i t i v es o | u t i o ni sad e g e n e r a t ec r i t i c a ls o l u t i o n ，w e c a ni n f 醯a ni n t e g a lf o r m u l a 曰q ) f i r s t l ya n di tc a nj u d g et h es o l u t i o n sc l 唧h o w t oc h a n g ei t 8d i r e c t i o ni nt h e ( a ，“) p l a n eb yi t sv a l u e s i nt h ef i f t hc h a p t e r ，i tm a i n l yc o n c l u e st h et h e s i sa n dt h e r ea l em a n yo p e n q u e s t i o n sw h i c hn e e dt os o l v e k e y w o r d s ：s i n g u l a rs o l u t i o n ，c r a n d a l l - r a b i n o w i t zt h e o r e m ，b i f u r c a t i o nt h e - i i i o r e m ，t w op o i n t sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，p l a n e 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：本芸痕z 0 0 7 年箩月z 孑日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 辛宏祓 专靠 日期：二脚7 年岁月j 孑日 日期：刎年搠三阳 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 第一章一类非线性微分方程的发展历史背景和研究现状 由于偏微分方程在几何，生物，物理和化学中具有广泛的应用因此 对偏微分方程的研究由来已久，人们主要从事研究偏微分方程解的对称 性，分歧性，以及解的稳定性等等我们知道绝大多数偏微分方程的解 的具体形式是得不到的，甚至解的某些性质也不知晓然而其中有一类 非线性微分方程引起了人们的广泛兴趣，对它进行了大量研究，并取得 了许多结果这类非线性微分方程的具体形式如下t 0 ) + a ，( t ) = 0 1 0 时，利用t i m e - m a p p i n g 方法就很复杂，利用分歧理论相对而 言就比较简单这时容易证明微分方程( 1 0 1 的正解随着参数a 的值增 大而增大，并且正解满足“( z ) 2 b n 本文受到p k o r m a n ，y il i 和t i a n c h e n go u y a n g 等人论文的启发，在本 文第三章，研究了微分方程( 1 o 1 ) 中的非线性项，( “) 为另外一种非线性 时的情形，得到了微分方程( 1 0 1 ) 的正解随参数a 的变化的个数，即它 的正解的多解性并找出了具体的例子来验证本文第三章的定理 紧接着p k o r m a n ，y il i 和t i a n c h e n go u y a n g 对微分方程( 1 0 1 ) 进行了 进一步的研究【16 】，他们推导得出了两个重要的公式： 即) - f ) 1 2 f 。蔷哥崭打一z ( 1 1 0 2 ) d ( 口 ；z 。f ) ( 肛测r 而亳万) 3 d u ( 1 o 。) 其中a = u ( o ) ，而u ( o ) 为微分方程( 1 0 1 ) 正解的最大值 如果存在n 的值使得公式( 1 0 2 ) 中的口( n = 0 ，则说明微分方程( 1 0 1 ) 2 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 有奇异解，这样公式( 1 0 2 ) 就可以计算出微分方程( 1 0 1 ) 所有的奇异解， 如果n 又使得公式( 1 0 3 ) d ( n ) 0 ，则说明正解曲线在相平面( a ，t ) 中经过这个分歧点后 向左转 而在本文第四章中，对微分方程( 1 0 1 ) 进一步的细致研究，当存在。 的值同时使得公式( 1 0 2 ) 的b ( n ) 和公式( 1 0 3 ) 的d ( n ) 为零，即微分方 程( 1 0 1 ) 存在退化的奇异正解，利用非线性分析【1 7 】和分歧理论知识【1 4 l ， 首次推导得出了一个积分公式e ( 口) ，根据它的符号可以判断正解曲线在 相平面( a ，“) 中的转向情况 3 硕士学位论文 第二章预备知识，相关引理和本文的主要结果 2 1 预备知识和相关引理 本文主要利用的工具是非线性分析和分歧理论其中非线性分析是研 究非线性微分方程的基本工具之一非线性分析是数学这个大的学科的 一个新的分支，它是在研究非线性问题时，产生，成熟和完善发展的在 过去的3 0 多年中，非线性分析得到了迅速的发展，它已经发展成为了当 代数学分析领域的一个主要的研究领域许多非线性问题都是从几何， 天文学，流体力学，物理，化学，控制论，图象处理和经济学中发现的 非线性分析的理论和方法起源于数学的许多领域：常微分方程，偏微分 方程，数值计算，动态分析，微分几何，李群，代数拓扑，线性和非线性 的泛函分析，测度论，调和分析，凸分析，博弈论等等非线性分析知识 在本文中主要作用是把非线性方程线性化而本文主要利用的分歧理论 知识是c r a n d a l l - r a b i n o w i t z 分歧理论【1 4 】 c r a n d a l l r a b i n o w i t z 定理：x 和y 都是b a n a c h 空间，设民z kr x ， f 是一个连续的微分算子，它把( j 【，_ ) 的邻域作用到y 中。并且核空 间n ( f z ( - x ，- ) ) 等于由勒产生的一维空间，兄( b ( 页，_ ) ) 的余维数为1 ， 且只g ，虿垮r ( 尼( i ，虿) ) ，如果z 是由x 0 产生的一维空间的补集则有f ( a ，z ) = f ( _ ，- ) ，其中( a ，z ) 在( - ，虿) 的邻域中，且( a ( s ) ，z ( s ) = ( _ + r ( s ) ，虿+ ”o + 。( 8 ) ) ， 这里8 一( r ( s ) ，z ( s ) ) r z 是一个连续的微分函数，且在s = 0 附近 有a ( 0 ) = a ，( 0 ) ；0 ，z ( o ) = 0 ，( o ) = 0 对于非线性微分方程： t ， ) + ，( t ) = 0 1 o ，而当z ( 0 ，1 ) 时，有( $ ) 0 因此a ；“( o ) 是解的极大值 引理2 1 3n ( o ) = n 唯一确定解对( a ，u ( z ) ) ，即对于确定的u ( o ) = o 值，至 多只有一个a 和n ( z ) 证明：假设对于确定的的n ( o ) = o 值，微分方程( 2 1 1 ) 有两对解( a ，“( z ) ) 和( “”( 功) ，贝0 有“( o ) = ”( o ) = a 显然a p ，如果相等就与微分方程( 2 1 1 ) 初值解是唯一的相矛盾因此有u ( 去。) 与”( 去妨都是相同初值方程的 解，方程如下： “”( 功+ ，( t ) = 0 ，t ( o ) = o ，( o ) = 0 根据上面方程解的唯一性可得，u ( 去z ) = ”( 去z ) 但是这是不可能的，因 为第一个函数在$ 一、，页这点等于零，而第二个函数在z = 面等于零 5 硕士学位论文 对于线性微分方程： ”( z ) + a f f ( u ) w = 0 1 z 的 解”( z ) 兰0 ，则称解“( $ ) 不是奇异解 引理2 1 4 设 ( z ) 是微分方程( 2 1 1 ) 的一个正解，并且有t ，( 1 ) 0 证明：显然“( 功也是线性微分方程( 2 1 2 ) 的一个解，因为( 1 ) 掣成立，或者，( “) 0 ，都有，( ”) 0 ，则线性微分方程( 2 1 2 ) 只有零解 证明：在线性微分方程( 2 1 2 ) 两边乘以硼，并且积分，我们就可以得出线 性微分方程( 2 1 2 ) 只有零解 引理2 1 8 如果线性微分方程( 2 1 2 ) 有一个非零解，则有： m m d e 一扣川 证明：因为( z ) 伽( 茁) 一( z ) 1 1 ) ，( z ) 是一个常数，则可取。 “”( 功t ，( 。) 一d 如) ( z ) = 一( 1 ) t ，( 1 ) 再对上式两边从( 一1 ，1 ) 积分，就可以得出要证的等式 引理2 1 9 任何微分方程( 2 1 1 ) 的两个正解在( 一1 ，1 ) 之间不会相交 证明：假设u ( z ) 和”( 甸是两个相交的解，由于它们都是偶函数，它们就 在半区间( 0 ，1 ) 相交，假设0 f l t ，( f ) 1 和j ( 目) i 0 ，那么方程微分； ( 妒( t ，) ) + a ，( ) = 0 1 0 ，而在z ( 0 ，1 ) ，则 有( z ) 0 引理2 1 1 1 假设乱，( 1 ) 0 ，如果微分方程如下： ( ( t ，) ) + a ，7 ( u 如= 0 一r 我们一般研究微分方程( 2 1 1 ) 的奇异解和它的解曲线形状，那么就 必需有一个公式来判断解曲线在相平面( a ，u ) 中的转向情形 引理2 1 1 2 如果微分方程( 2 1 1 ) 在( a o ，锄( ) 是一个奇异解，则有公式； j 佃卜知辫u o ) w ( z ) a z 偿， j l 八， 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 证明：因为，咖( z ) ) 是微分方程( 2 1 1 ) 的一个奇异解，根据c r a n d a l l - r a b i n o w i t z 定理可得，解集在，咖( z ) ) 附近是一条曲线，a = a ( s ) ，“= u ( s ) ， 在s = 0 时，有a ( 0 ) = 知和1 l ( o ) = 蛳( z ) 并且有( o ) = 0 ，( o ) = ( z ) 为 了求出a ”( o ) ，先将微分方程( 2 1 1 ) 的两边对8 求导两次可得： 心+ a 丘，+ a j 0 记+ 2 a 厶+ a ”，= 0 ，t 。( - 1 ) = 缸。( 1 ) = 0 令s = 0 上式可化简为： “：+ 知 t 。+ a o f w 2 + r ( o ) ，= 0 ，。( - 1 ) = 。( 1 ) = 0 再将上式两边乘以 ，方程( 2 1 2 ) 两边乘以，两式相减并且积分可得： 叫一知笔黼 证毕 如果微分方程( 2 1 1 ) 的奇异解( 知，t 0 ( z ) ) 使得( 2 1 6 ) 式大于零，则正解曲 线在经过这个奇异解后向右转，如果它的奇异解，蜘( z ) ) 使得2 1 6 式小 于零，则正解曲线在经过这个奇异解后向左转 为了判断o = “( o ) 是不是微分方程( 2 1 1 ) 的奇异解，必需要有个公式来 判断 引理2 1 1 3 微分方程( 2 1 1 ) 的一个解为“( 。) ，它的最大值o l = 缸( o ) ，如果 这个解是奇异解，则a = n ( o ) 必需满足： b ( n ) - - - f ( n ) 1 胆o 。面糯打一z = 。( z l t ) 证明：对微分方程( 2 1 1 ) 的两边求一次导可得； ”+ ，协) ”7 = 0 再利用线性微分方程( 2 1 2 ) 可知函数扣如( 司一( z ) ( 喜) 是一个常数， 因此可以令“”( z 灿( z ) 一“( z ) ”协) = 一a 其中e = ( 1 ) ”7 ( 1 ) 0 将上式变 硕士学位论文 ( 詈) = ； 再将上式两边积分可得， 喇一嘶) z 1 南幽 上式中的埘( z ) 显然也满足线性微分方程( 2 1 2 ) ，且有”( 1 ) = 0 如果又有 ( o ) = 0 ，由于u ( z ) 是偶函数，因此 ( z 也是偶函数，则有”( 一1 ) = 0 ，因 此这个”( 卫) 是线性微分方程( 2 1 2 ) 的一个非平凡解反过来，每一个线 性微分方程( 2 1 2 ) 的非平凡解都是偶函数，因此( o ) = 0 成立把线性 微分方程( 2 1 2 ) 两边从0 到z 积分可得t ! 姜堕+ f ( 。( 。) ) ：f 扣( o ) ) ：f ( 。) 再对上式两边从0 到z 积分可得； 珏协) = 一以撕币f 可砭两( 2 1 8 ) 利用微分方程( 2 1 1 ) 可以计算出； 嘶) = ，砌z 1 南出+ 南 利用公式( 2 1 8 ) 可得： z=厂揣打一雨丽2jo丽仁) 。 【f ( q ) 一f ( r ) j i妒( o ) 一f ( ( z ) ) j 。 如果令霉= 0 代入( 2 1 9 ) 则它的右边两个项都是无穷大则我们必需除 去奇点，通过观察有下式。 一 ! ；：一厂旦生一打一乙 一瓦再瓦而一上一d r f ( a ) - f ( t ) 们一面 = _ ，j o ”篇打一志旷( n ) 一f ( r ) 】if ( o ) 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 把上式代入( 2 1 9 ) 可得： 。5 厂黼打一丽面2 两 协u 。) 显然( 2 1 1 0 ) 式的右边积分不是奇异的，这时可以令一0 在。= 0 和 钾，( o ) = 0 ，我们可以得出公式( 2 1 ，7 ) 虽然公式( 2 1 7 ) 可以计算出微分方程( 2 1 1 ) 的奇异解，但是我们不知道 奇异解在相平面( a ，t ) 中的转向情况 虽然引理( 2 1 1 2 ) 中的( o ) 的符号可以判断微分方程( 2 1 1 ) 的奇异解在 相平面( a ，u ) 中的转向情况，但是要计算出妒( o ) 的符号是比较复杂的， 所以要把它转化成只与o t 和，( t ) 相关的公式 引理2 1 1 4 微分方程( 2 1 1 ) 的任意奇异解“( z ) ，它的最大值n = t ( o ) 满足 下式： 扛一c z 。，( 州胁) d s ) ( f 高匆) 3 乩一嘶) 其中c = 4 - 茏u s ( 1 ) w s 0 ，d ( a ) = f ，”( “) ( r ，( s ) d s ) ( 片研知) 3 如， ，兰一。，( u ( z ) 灿3 ( z ) 如= 一2 。f o ( u ( x ) ) w 3 ( z ) 如 证明：对微分方程( 2 1 1 ) 两边求一次导可得： “( z ) + ，( t ( z ) ) ( z ) = 0 再利用线性微分方程( 2 1 2 ) 可知函数“”( 功”( z ) 一t ，( z ) ”协) 是一个常数， 因此可以令( z 灿( z ) 一( z ) ( 甸= 一c ，其中c = t ，( 1 ) ”，( 1 ) n 对上式变 形可得： ( 沙= 品 再对上式两边积分可得： 吣) _ - 叫刁j ( 1 南出 硕士学位论文 根据上式我们- f 以消去，中的加( z ) 函数( 由于当z 一0 时，( z ) 趋于 零，所以南d t 就趋于无穷大因此必需要利用数值计算) 把彬( z ) = 一c e ( z ) f 2 南出代入i ，中可得： ? = 。伊p 瑚( z 1 扣出) 3 d z 现在希望把上式中的( z ) 消去，由于能量函数! 挚+ f ( 让( z ) ) 是一个常 数，其中f ( ”) = j ：；f ( t ) d t ，则有： ! ! 冬生+ f m o ) ) ：f ( 。( o ) ) ：f ( 。) 对上式两边从0 到z 积分可得( z ) = 一v r 2 v f ( a ) - f ( u ( z ) ) 我们把上式带 入积分e 南出中，并且让变量t s ，让s = ( t ) 我们有： z 1 南出= 一去z 1 瓦f u ( 丽t ) d t = 一荔1k o 瓦瓣1 d s 然后我们就有： 商拍出) 川刖_ f ( 啦) ) j ( 厂雨丽1 产a s ) 3 如 其中c = 办伊最后，用c ，( s ) d s 代替f ( n ) 一f ( u ) ，我们就可以得到公 式： j = 一c z 。，( “) ( z 。，( s ) d s ) ( r 石了丢豪) 3 砒= 一c 。( a ) 证毕 2 2 本文的主要结果 本文在第三章中主要对非线性微分方程( 2 1 1 ) 进行了研究，考虑了 非线性微分方程( 2 1 1 ) 中的非线性项f ( u ) 为另外一种情形时的情况 定理2 2 1 ：如果微分方程( 2 1 1 ) 中的非线性项f ( u ) 满足一定条件时，微 一1 2 - 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 分方程( 2 1 1 ) 至少有三个l | 缶界值a 1 a 2 a 3 当 1 = 2 时，在a a l 时 微分方程没有非平凡正解，在a 一 1 时至少有两个正解，在a 。 a a 。时微分方程至少 有两个正解；而当a l 沁时，在 a 。时微分方程没有非平凡正解，在 = a l 时至少有一个正解，在a l a 沁时有两个正解，在a = k 时有三 个正解，在a 2 a b 时至少有两个正解其中小的正解的最大值记为u - ( o ，地大的 正解的最大值记为矿( o ，a ) 且有。l i r a 。一( o ，a ) = 0 ，1 i m 。矿( o ，入) = c 其中0 和c 在本文第三章中有定义 本文在第阳章中考虑了非线性微分方程( 2 1 1 ) 的正解为退化的奇异 解时，得出了一个积分公式e ( o ) ，根据它的符号可以判断正解曲线在相平 面( a ，“) 中的转向情况 e ( q ) = ；a ( q ) + g ( 口) 其中a ( o ) 为： 一朋训肿删( f 而毋耐f 踹筹甏蓁嚣字如执 而g ( n ) 为： e ( a ) = j ，”( t ) 【f ( 。) 一f ( 牡) 】3 胆( j 孑面匹，! # i 葫碗) 4 d u 1 3 硕士学位论文 第三章一类非线性微分方程正解的多解性 3 1 引言 近年来，国内外许多作者利用不同的方法研究了微分方程( 3 1 1 ) ，在 文【18 1 中，a d d o u 利用t i m e - m a p p i n g 方法研究了，( ) = e 嚣( 8 为参数 且o 4 ) 的情形，得到了解益线在( a ，“) 相平面中的图象是s - 型曲线 在文【5 1 中k o r m a n ，l i 和o u y a n g 做的主要工作为， 定理3 1 1 假设非线性微分方程( 3 1 1 ) 中的非线性项，( “) 满足如下条件： ( a 1 ) 对某个0 0 ，而当t ( 口，劭时， ，( t ) 0 的值以后都没有了转向 k o r m a n ，l i 和o u y a n g 在文【5 l 中取，( 牡) = e 畿时，显然它满足定理( 3 1 1 ) 的条件，解图形为图3 - 1 夕 a 1 4 图3 1 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 而在文1 1 5 】中，k o r m a n ，l i 和o u y a m g 利用分歧理论和非线性分析解 决了当，( ”) = ( u n ) ( “一6 ) ( c u ) 的情形这时解曲线的图形为图3 - 2 本章内容受到文【5 】【1 5 】的启发，利用非线性分析知识和分歧理论研究 了，为另外一种非线性时的情形，得到了微分方程( 3 1 1 ) 的解随参数a 的变化，它的正解的多解性 其中( 3 1 1 ) 如下： t ”( ) + a ，( ( z ) ) = 0 1 霉 1u ( - 1 ) = t ( 1 ) = 0 ( 3 1 1 ) 它的线性化微分方程( 3 1 2 ) 如下： w ”( 。) + a ，( u ( 茁) ) 1 l j ( z ) = 0 1 z ( 岛) ( 鼠) 和( 风) 条件，则微分方程( 3 1 1 ) 至少有三个临界值 l k b 当a l = k 时，在 a l 时微分方程没有非平凡正解，在a = a 。时至少有 两个正解，在a l a a 3 时微分方程至少有两个正解；而当a l a 2 时，在a a l 时 微分方程没有非平凡正解，在 = a t 时至少有一个正解，在a l a b 时至少有两个正解，在a = 2 时至少有三个正解，在沁 a b 时至少有两个正 解其中小的正解的最大值记为u - ( o ，a ) ，大的正解的最大值记为u + ( o ，a ) 且有：n m _ t 一( o ，a ) = 以l i m - u + ( o ，a ) = c 其中口满足蔗，( “) 砒= 0 ，c 满足，( c ) = 0 ，( c ) 0 当a l = 沁时，解曲线在相平面中的大致图形为图3 - 3 而当a ， k 时，解曲线在相平面中的大致图形为图3 - 4 图3 3 为了证明这个定理，我们先引进一个重要定理【1 4 ： c r a n d a l l - r a b i n o w i t z 定理：x 和y 都是b a n a c h 空间，设( 页，- ) rxx ， f 是一个连续的微分算子，它把( - - ) 的邻域作用到y 中，并且核空间 ( 疋( ，z ) ) 等于由x o 产生的一维空间，r ( 咒( _ ，牙) ) 的余维数为1 ，且 一1 6 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 b ( - ，i 污r ( b ( x ，动) ，如果z 是由x 0 产生的一维空间的补集则有f ( a ，功= f c x ，_ ) ，其中( a ，z ) 在( 天，动的邻域中，且( a ( s ) ，z ( s ) ) = ( 天+ r ( s ) ，蓄+ 8 知+ z ( s ) ) ， 这里。一( r ( s ) ，z ( s ) ) r z 是一个连续的微分函数，且在s = 0 附近 有a ( o ) = 页，( o ) = 0 ，z ( o ) = 0 ，2 ，( o ) = 0 c _ j 一 a la 2 a 一 首先我们假设微分方程( 3 1 1 ) 的非线性项f ( u ) 伊( 冗+ ) ，且满足以下条 件： ( b i ) ，( o ) = ，( 叻= ，( c ) = 0 ( b 2 ) ，( t ) 0 “( 6 ，c ) ( s s ) f ，( 0 ) 6 满足譬，( “) 砒= 0 ，令f ( “) = 譬f ( t ) d t ( b 4 ) 存在0 t l u 2 u 3 0 “( 0 ，u 1 ) t j 心，“3 ) ，”( t ) 0 “( f f l ，地) u ( 让3 ，c ) ( 尾) 存在q l ，a 2 满足：，( a 1 ) = m i n 。，。) ，( u ) 和，( 勉) = m a ( 。c ) ，( u ) 且 ，汹) 和l ，( 啦) 的值都充分小 引理3 2 2 假设u 为微分方程( 3 1 i ) 的正解，如果，( ”) 满足( b i ) ，( 岛) 和( 岛) 条件，则有u 的最大值u ( o ) = n ( 0 ，c ) 1 7 硕士学位论文 证：对非线性微分方程( 3 1 1 ) 两边乘以可得： ( ) t ，( z ) + a ，( “( z ) ) ( z ) = 0 再对上式两边从0 到z 积分就可以得到等式： a 【f ( o ) 一f ( “( z ) ) 】= 刍护0 ) 因为参数a 和俨( z ) 为正的故有对所有的0 0 假设a ( 0 ，明，又已知，( u ) 满足( b - ) ，( 易) ，当z 取比较大的值，而取a c 比较大，使得f ( n ) 0 ，则有 f ( o ) 一f ( u ( 功) 0 ，且 孚，考虑n p + ，c 一司，我们可以从微分方 程( 3 1 1 ) 出发得【1 1 】【1 2 l ： ) 可i2 = m 丽d 8 ) 2 则有， 厕= z 。赢 当n 一6 0 为( u ) 在t 【o + e ，c 一叫的 最小值 一1 8 对一类非线性微分方程正解的分歧解法 当口 0 且充分小显然有； 严dsf 5d s j ov f c a ) 一f ( s ) j o f ( a ) 一f ( s ) ，：= = = = = = = = = = 一j ；= = = = = = = = = = 一 当6 充分小时，由，( u ) 满足( b i ) ，( b 2 ) ，( 岛) 知，在( o ，6 ) 中，有，( ”) 0 ， 当s ( o ，6 ) 时，可得f ( s ) = f ( o ) + p ( o p 4 - p ( o ) 矿- - o ( s ) z ，( o ) s 2 ，由条件 ( 岛) 可知，( o ) 0 的故当s ( 0 ， 则有： pd sf 6 d s j ：= = = = = = = = = = ：一 j = ：= = = = = = = = = = = = = = j ov f ( a ) 一f ( s )j o x f ( a ) 一，( o ) s 2 对上式右边作变量变换，令s = v - f 而t 则有： 1 6 d s，南打 ，：= = = = = = = = = = = = ，；= = = = = = = ：= = = 3 nv f ( a ) 一f ( s i3 q 、一| | ( o ) v 2 令n p 一，则有f ( a ) - + 0 ，即南一+ o o 显然一o o 、，。d r 而是不可积的 所以当n 一口一时，有a 一+ 再证当。一口一时，有( 羽 0 1 9 硕士学位论文 令：g ( t ) = f ( t a - t - ( 1 一t ) s ) 则有：f ( 8 ) = 9 ( o ) ，f ( o ) = g o ) 我们可得： f ( o ) 一f ( s ) = 9 ( 1 ) 一9 ( o ) = f l og ( t ) d t = j ：p ( 纽+ ( 1 一t ) s ) ( 口一s ) 疵 故有： 厕= j ( 4 南2 2 4 面雨菰d 8 示菰 再令3 = o t t 上式可化为： 厕= j ( 1 而雨薏乖菰打 对上式两边对n 求导并令a 一0 一可得 ( 厕= ( 小a - - 怕 f ( ( 层o ) - - 小f ( 灿0 7 ) ) j d l 通过计算可得： 一一6 f ( o ) - f ( 0 7 ) 8 7 一、一一，) r 是不可积的，它的值趋于一o o 故有当o l 一0 一时，( 、甄两) 一一m 由以 上可知：孤可的值随着n 的增大而减小 故有：f i r a + 。“一( o ， ) = 0 而当a c + ，s n 时： 有f ( s ) = f ( n ) + f ，( a ) ( s q ) + ( s o ) 2 + d ( s o ) = ，( n ) ( s o ) 一笋( s n ) 2 + 0 ( 8 一o ) 因为当o t c + ，而，( u ) 又满足条件( b 2 ) 和( 岛) ，所以有，( 。) i 币万成立 证明定理3 2 1 ：因为微分方程( 3 1 1 ) 中的非线性项，( “) 满足( b 1 ) ， ( 岛