（运筹学与控制论专业论文）基于lmi的鲁棒预测控制.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 约束条件普遍存在于实际系统。在控制器的设计和实现中，能够 以一种系统化的方式实现目标优化和约束处理的有机结合，是预测控 制方法的显著特色和优势所在。正是这一特点使其成为工程中备受欢 迎并得到广泛应用的一种先进控制方法。要保证实际控制效果，模型 不确定性成为预测控制必须面对的一个现实问题。在模型不确定性存 在的情况下，依然能将实际系统的某种性能指标控制在可接受范围之 内的预测控制方法，被称为鲁棒预测控制方法。 本论文在预测控制理论已有研究成果的基础上，利用线性矩阵不 等式，l y a p u n o v 函数等相关理论和方法，探索具有可行性、稳定性 和一定实时性保证的鲁棒预测控制设计框架。具体而言，本文的主要 贡献体现在以下几个方面： ( 1 ) 深入分析预测控制中的三个基本问题，对现有文献中的鲁 棒预测控制方法和鲁棒预测控制的最新研究进展作以总结和归类。 ( 2 ) 研究同时具有时滞和控制饱和的离散时间不确定系统鲁棒 预测控制问题，利用状态反馈和l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函方法， 将控制的求解转化为一个在线的线性矩阵不等式优化问题，初始时刻 优化问题的可行性保证闭环控制系统的鲁棒稳定性。 ( 3 ) 针对更一般的不确定系统线性分式模型，讨论了其鲁 棒预测控制问题。得到使系统鲁棒稳定的充分条件，仿真例子表明结 论的有效性。 关键词：鲁棒预测控制，线性矩阵不等式，状态反馈，时滞系统， 执行器饱和 孛毒大学颈圭学位论文 英文撩要 a b s t r a c t a l m o s ta l l p r a c t i c a ls y s t e m s a r e s u b j e c t t os o m ec o n s t r a i n s 。 p r e d i c t i v e c o n t r o l ，w h i c hi st h em o s tp o p u l a rc o n t r o ls t r a t e g yf o r c o n s t r a i n e ds y s t e m s ，h a se v e r - i n c r e a s i n gw i d ea p p l i c a t i o ni n i n d u s t r y t h e s er e s u l t sf r o mi t sn o t a b l ec a p a b i l i t yo fh a n d l i n gc o n s t r a i n t sa n d o p t i m i z a t i o no v e rs o m ep e r f o r m a n c ei n d e xi nas y s t e m a t i cw a yd u r i n g b o t ht h ec o n t r o l l e rd e s i g na n di m p l e m e n t a t i o ns t a g e o nt h eo t h e rh a n d ， t h em o d e l ，w h i c hi su s e dt od e s c r i b et h ed y n a m i c so fc o n t r o l l e ds y s t e m ， a l w a y sh a ss o m eu n c e r t a i n t y i no r d e r t o g u a r a n t e et h es p e c i f i e d p e r f o r m a n c e ，m o d e lu n c e r t a i n t ym u s tb et a k e ni n t oa c c o u n tp r o p e r l y r o b u s tm o d e ip r e d i c t i v ec o n t r o li sr e f e r r e dt ot h ep r e d i c t i v ec o n t r o l m e t h o dw h i c hc a nm a k et h ep e r f o r m a n c ei n d e xw i t h i nt h e a c c e p t a b l e r a n g ei nt h ep r e s e n c eo fm o d e lu n c e r t a i n t y b a s e do nt h ee x i s t i n gt h e o r e t i c a lr e s u l t so nm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r 0 1 t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ed e v e l o p m e n to ft h ef r a m e w o r ko fr o b u s t m o d e l p r e d i c t i v e c o n t r o lw i t hg u a r a n t e e dr o b u s t f e a s i b i l i t y , r o b u s t s t a b i l i t ya n dr e a l t i m ea p p l i c a b i l i t y t oa c h i e v et h i sg o a l ，t h er e l e v a n t t h e o r ya n da p p r o a c h e s ，s u c ha sl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i ) ， l y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，a r ee m p l o y e di nt h er e s e a r c hw o r k s p e c i f i c a l l y , t h em a i nc o n t r i b u t i o no ft h i st h e s i si n c l u d e s ： ( 1 ) t h i st h e s i sa n a l y z e st h et h r e ef u n d a m e n t a lp r o b l e m sa b o u tm o d e l p r e d i c t i v ec o n t r o l ，c l a s s i f i e st h em e t h o d sf o rr o b u s tm o d e lp r e d i c t i v e c o n t r o l ，s u m m a r i z e st h el a t e s tr e s e a r c hp r o g r e s so nt h ee x i s t i n gt h e o r e t i c a l r e s u l t s 。 ( 2 ) t h er o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lf o ru n c e r t a i nd i s c r e t e 。t i m es y s t e m s w i t ht i m e d e l a ya n da c t u a t o rs a t u r a t i o ni s d i s c u s s e d u s i n gt h es t a t e f e e d b a c ka n dl y a p u n o v 。k r a s o v s k i i t h ec o n t r o ll a wi so b t a i n e db y s o l v i n gal i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) o p t i m i z a t i o np r o b l e mo n l i n e t h ef e a s i b i l i t yo f o p t i m i z a t i o np r o b l e ma tt h eo r i g i n a lt i m ei m p l i e sr o b u s t s t a b i l i t yo ft h ec l o s e d 1 0 0 ps y s t e m ( 3 ) t h ep r o b l e mo fr o b u s tp r e d i c t i v ec o n t r o lf o rm o r ec o m m o n u n c e r t a i ns y s t e m - - l i n e a rf r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n ( l f t ) i ss t u d i e d t h e l l 孛露大学硕士学位论文 英文摘要 s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hk e e pt h es y s t e ms t a b i l i z a t i o na r eg a i n e d t h e n t h en u m e r i c a li n d i c a t e st h ev a l i d i t yo ft h er e s u l t s 。 k e yw o r d sr o b u s tm o d e l p r e d i c t i v ec o n t r o l ，l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s ，s t a t ef e e d b a c k ，t i m e d e l a ys y s t e m , a c t u a t o rs a t u r a t i o n i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明。 作者签名： 强选基 一 日期：三竺塑年且月笪日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文。对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用。 作者签名：哗靳签名：迎嗍萼年旦月监日 枣露天警琰士擎疰论文 簇一章绪论 。 零| 言 第一章绪论 由于工业漩置的物理特性所限及处于对系统安全和环保法规，经济效益等方 面的考虑，实际工业系统不可避免地受到瓣释约束。当约束条 牛成为系统实际工 作过程孛不可忽赂地重要因素时，立足予在一定程度土改变系统动力学特性羰馒 给定地性能指标达到最优的控制器，在其设计阶段必须能够同时对系统的约束条 件做出妥善处理，否则将不可能达到预定的控制图标，严重时甚至可能引发灾难 皲】 o 颈测控制( p r e d i c t i v ec o n t r o l ，又称模型预测控制( m o d e lp r e d i c t i v e c o n t r o l ，m p c ) ，滚动时域控制( r e c e d i n gh o r i z o nc o n t r 0 1 ) ，滑动时域控制 ( m o v i n gh o r i z o nc o n t r 0 1 ) 。它是一种基于优化的控制策略，能够在控制器的设 计和实现孛以系统的方式将绘定嚣标瓣优纯及对于约束条锌的箍理有机结合起 来。这一特点使得预测控制方法在工程实际中得到广泛应用。如流程工业中约束 条件的处理在控制系统的设计中占据突出位置，因而在该领域预测控制方法正逐 渐取代其德所有控制方法成为流程工渡控制方案设计的一种事实标准。 除约泰条件之外，在控制系统设计孛，必须解决的另个重要| 、蠢题是对系绕 模型不确定性的处理。用来描述系统动态特性的数学模型不可能完全精确。即便 是运行机理非常清楚的系统也是如此，因为在推导机理模型的过程中所作的假设 帮篱纯只是在特定条释下成立。溺时，精确磊详尽的系统模型的建立往往需要纣 出较大代价。由模型精确性的提高藤带来的控制效果的改善，有时甚至不足以弥 补精确建模的成本。因此，片面追求模型的精确性是没有意义的。描述系统动态 的数学模型与实际系统动力学特性之闯的不一致性，被称为模型不确定性。在模 型不确定存在的情况下，若依据模型设计的控制器依然缝将实际系统懿菜稀性能 指标控制在可接受的范围之内，则称该控制器对系统的这种性能指标具有鲁棒 性。对具备一定鲁棒憔的控制器的分析和综合理论，谓之鲁棒控制理论。无约束 麴线性系统鲁棒预测掇制理论的研究以取得摄大进矮强3 。僵与之福院，适用于有 约束不确定线性系统懿控制方法尚不多见。 实际控制系统中执行器会出现饱和问题，即其输出的最大值( 驱动力) 是受到 物理限制的；另外，为了安全或限制某些中问变量的幅值，也必须对控制量加以 限捌。饱和属典型的菲线性环节，量介入系统帮使原为线性的也交戚了菲线性 系统。线性控制系统许多经典定性理论须审视两慎用，不加思索地直接套用到含 中枣大学硕士学位论文 第一鬻绪论 饱和的系统会出现问题，轻者原控制目标不能达到，重者导致灾难发生。含饱和 控制的系统近些年来弓| 起人们的关注，取得一批理论与应用成采醯1 。时滞现象在 各种各样的控制系统中都普遍存在的，比如在涡轮喷气机，微波发生器，核反应 和轧制系统中，在计算机信息和数据的传送过程中，时滞就是一个不可忽略的部 分。离散时滞系统的稳定性分析和综合是多年来研究的重要课题雒喇。在控制系统 中，执行器饱和与时滞并存，必须有适当的方法才裁有效地解决这两个问题。然 而目前能够有效地同时处理这两个问题的方法很少。文献盯1 运用状态反馈给出了 控制饱和时滞不确定系统巩时滞不相关方法控制器的分析和设计的方法，文献婢 运用状态反馈研究了控制饱和时滞系统玩相关控制和稳定性问题。目前，对离 数控制饱和不确定时滞系统的研究还不多。 研究在预测控制的框架内如何处理模型的不确定性，从而使预测控制方法具 有一定的鲁棒性，称为鲁棒预测控制研究。鲁棒预测控制理论已经有了相当多的 理论成果，但仍有待子近一步的发展和完善。 1 2 研究背景 模型预测控制或滚动时域控制的思想可追溯到2 0 世纪6 0 年代，但工业界和 学术界对预测控制产生兴趣并随之涌现出工业应用和理论研究的高潮，则是在2 0 世纪8 0 年代，随着预测控制方面具有里程碑意义的经典文献嘲的问世而出现。 模型预测控制褥名予该控制方法总是显式缝使用被控对象的一个模型作为 预测模型，并设定系统在未来一段时间的输入，从丽对未来的系统行为作出预测。 预测控制通过这种预测功能求解一个在线优化问题来确定施加于系统的控制作 用。在线优化问题的目标函数常取为在未来一段时间内，系统输出与理想输出之 差的某种测度，且往往在系统输入或输出变量存在约束豹情况下求解。若系统模 型为线性模型，性能指标函数采用厶范数的形式，则在线优化问题是一个二次规 划问题。若预测模型为线性，性能指标函数表达为厶乙范数的形式，在线优化问 题则成为线性规划问题。当前时刻在线优纯问题的求解结果被以一种“滚动时域 的方式作用于实际系统，即在魇得的最优控制序列中，只有第一个控制作用被作 用于实际系统，其他部分则被舍弃；而到下个时刻，获取系统输出变量新的测度 值并将预测时域相应向前推移一步，形成新的在线优化问题。 早期模型预测控制的研究多基于阶跃响应模型，脉冲相应模型等易于在工程 实践中获得和应用的非参数模型，或是考虑随机扰动的受控自回归积分滑动平均 模型( c a r i m a ) ，相应的算法被分别称为动态矩阵控制( d m c ) ，模型算法控制( m a c ) 和广义预测控制( g p c ) 。在这些基本方法的基础上又派生出很多具体算法，如以 某一函数作为控制之基函数酶预测控制( p f c ) n 钙和在广义预测中考虑极点配置的 2 中南大学硕上学位论文第一章绪论 广义极点配置( g p p ) 等方法。尽管各种算法形形色色不一而足，但它们都蕴涵 着模型预测控制的基本特征：预测模型，滚动优化和反馈校正。若在更高的层次 上将模型预测控制作为一类方法来看待，这些基本特征正是预测控制的本质和精 髓所在。 作为从工程实际中发展起来的一种控制理论，预测控制的很多理论问题在研 究开始阶段尚不清楚，但这并未妨碍它在工业中的广泛应用。正如b i t m e a dr r 在文献n 伽中的一段话： “m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l h a sp r o v e ns os u c c e s s f u li np r a c t i c e ， b u t 。w i t h o u tm u c ht h e r i o t i c a ls u p p o r t m o s tt h e o r e t i c i a n sw e r es t a y i n g o nt h ef e n c ea n dw e r el o o k i n ga tt h e s eb i z a r r ed e v e l o p m e n t sw i t hac e r t a i n d e g r e eo fc o n d e s c e n s i o n 实际情况是，在缺乏成熟的理论指导的情况下，模型预测控制方法在工程实践中 仍然得到了非常成功的应用。 在传统模型预测控制中，稳定性和跟踪性能一般在内模控制的思想进行频域 分析，并通过构造合适的反馈滤波器使闭环系统具有一定的鲁棒性n 2 j 3 1 。在预测 控制的设计阶段，很多参数，如目标函数，模型长度，控制时域，预测时域等， 没有系统的选择方法，只有一些指导性的准则，因而只能用试凑法进行参数整定。 在应用中，闭环系统的稳定性和给定的性能指标也常用仿真或实验的方法进行验 证。同时，传统的预测模型对系统的描述是不完备的：反馈校正是传统预测控制 用来抑制扰动，解决时滞及克服模型失配的唯一途径。这些因素均不利于控制性 能的进一步提高及预测控制理论的发展和完善。 为了更好的利用现代控制理论的成果，状态空间模型在预测控制的理论研究 中得到日益广泛的应用 1 4 , 1 6 o 近年来的预测控制文献普遍采用状态空间模型。模 型预测控制本质上是最优控制的在线滚动实施，因此预测控制和最优控制之间必 然存在千丝万缕的联系。事实上，被首先应用到预测控制研究的一些现代控制理 论的成果也正是最优控制的一些结果。 无限时域线性二次型最优控制有稳定性保证，然而在线求解无限维优化问题 是不现实的。早期的预测控制文献借鉴最小拍控制( d e a db e a tc o n t r 0 1 ) 的思想， 在成本函数中采用有限的预测时域和控制时域，并附加预测时域终端系统状态为 零这一约束条件n6 1 。零终端约束条件能够保证闭环系统的稳定性，但在线优化的 计算量仍然是巨大的。若同时存在输入约束，则很难保证优化问题的可行性。此 时系统的稳定性完全依赖于零终端条件的精确满足，但在实际系统中任何微小的 扰动量都可能破坏这一条件。因此附加零终端约束条件以保证预测控制稳定性的 方法是不适合工程应用。在有限时域内求解控制作用，超出此时域则使用固定的 3 孛煮大学硬士学位论文第一鬻绪论 反馈控制律班7 。棚，是将无限时域优化问题转化为可求解的问题的另一途径。此时， 系统的稳定性取决予相应的r i c a t t i 方程的可解性。这种方法需将线性系统分解 为稳定模态和不稳定模态，对于不稳定模态，为保证系统的稳定性，仍须附加零 终端状态约束。 2 0 世纪8 0 年代至9 0 年代如现的于最优控制相关的上述预测控制理论研究成 果虽然不尽完善，却起着承上扇下的重要作用，为2 0 世纪9 0 年代中后期以来更 丰富，更完善的理论成果的产生奠定了基础，标志着预测控制理论研究新时代的 来临。事实上，预测控制的理论研究，特别是关于预测控制稳定性方面的研究， 成栗丰硕旺蝴1 。许多基本阀题已经逐渐为入们所认识，并在学术研究的层面上获 得了广泛共识。 1 3 研究现状 约束条件处理与性能指标优化的有机结合是模型预测控制方法的特色和优 势所在，经过多年的理论研究，模型预测控制已取得丰硕的成果。近年来，能够 处理各种不确定性的鲁棒预测控制方法的研究受到了更多的关注。在保证稳定性 的前提下主要躁标是降低在线计算量，改进可行性和最优性。1 9 9 6 年，k o t h a r ee l a l 嘶3 针对两类带约束的不确定系统( 凸多面体不确定和结构不确定) ，提出了一 种鲁棒预测控制算法，该算法中，采用l m i 方法求解无穷时域二次型性能指标下 的“最大一最小优化闻题，将其篱化为每个时刻求解一个固定的线性状态反馈 控制律，该方法简单易于实现。2 0 0 2 年，c u z z o l ae la l 啪1 对k o t h a r e 的算法加 以改进，引入了参数依赖的l y a p u n o v 函数，减小了算法的保守性，但是由于引 入了更多的矩阵不等式使计算量增大。z h a o y a n gw a ne la l 瞄嚣1 提出了改进措施， 即离线确定一系列的线性状态反馈控制律及其相瘦的椭圆型集合，在线选择当前 状态所处的最小一个椭圆集对应的控制律，当状态位于两个相临椭圆集之间的环 形区域时，实际控制律采用两个相应的离线控制律的线性插值，这样可实现控制 律的连续切换，提高控制效果。2 0 0 4 年国内学者丁宝苍汹对在线约束的鲁棒模型 预测控制提出了一种综合性方法，这种方法不是在整个预测空间使耀状态反馈 律，而是把预测空间分为两部分，前n 部分是自由控制空间，n 步以后使用参数 依赖的状态反馈律。这种控制策略可以提高算法的使用性和最优性。2 0 0 6 年，丁 宝苍汹1 采用标称性能指标丽不是“最坏情况”性能指标来改进离线综合算法酶可 行性和最优性。2 0 0 6 年l e es me la l 口订使用新的参数依赖终端权重矩阵对范数 有界的不确定系统提出了鲁棒模型预测控制。目前已经出现关于非线性系统的鲁 棒预测控制算法，还有基于输出反馈和基于观测器的鲁棒预测控制的研究。但是 对更一般的不确定系统线性分式模型的不确定系统还没见有研究。 毒 孛薅大学硕士学後论文第一章绪论 2 0 0 3 年，张军秘霹对范数有界不确定滞后系统的鲁棒模型预测控制进行研究， 2 0 0 7 年，陆妹嘲针对一类多状态时滞多面体不确定对象，提出了一种鲁棒预测控 制算法。但是对同时带有时滞和控制器饱和系统的鲁棒预测控制问题的研究很 少。 1 。4 论文结构 全文分为五章 第一章为绪论，篙要西颥预测控制的研究背景，研究意义以及研究现状。 第二章预备知识，深入分析预测控制中的三个基本问题，对现有文献中的鲁 棒预测控制方法和鲁棒预测控制的最新研究进展作以总结和归类。介绍了 l y a p u n o v 稳定性基本定理以及l m i ( 线性矩阵不等式) 的基础知识。 第三章在文献瞳神的基础上把具有凸包不确定时变系统的鲁棒预测控制算法 推广到同时有时滞和控制器饱和的系统中。利用状态反馈和l y a p u n o v k r a s o v s k ii 泛函方法，将控制的求解转化为线性矩阵不等式优化问题，初始时刻优化问 题的可行性 ；罨证了闭环控制系统的鲁捧稳定性，最后的例子说明算法的可行性。 第四章考查一个更一般的不确定系统线性分式变换模型( l f t ) 的鲁棒预 测控制，这种不确定性模型通常更适于精确化的非线性系统模型。事实上，凸包 型不确定模型是线性分式变换模型的一个特例。首先，梭据文献瞄3 引出在线鲁棒 的m p c 闯题和它的综合情况，提出了对不确定性和输入输出约束的统一处理方法。 另外，结构不确定的一般块对角矩阵用于l m i 最优化中减小其保守性。最后，我 们使用本文提出的鲁棒m p c 技术研究工业连续搅拌槽反应器的约束控制问题。 第五章总结全文，并对鲁棒预测控制未来的一些研究方向作出展望。 5 孛赢大学疆士学位论文 第二章黢墨知识及概论 第二章预备知识及概论 本章深入分析预测控制中的三个基本问题，对现有文献中的鲁棒预测控制方 法和鲁棒预测控制的最新研究进展作以总结和归类。 2 。 预测控制中的三个基本问题 考虑用离散时间状态空间模型描述的线性时变系统 y ( 露k 芒篆嚣裟嚣警 ( 2 1 ， l = c ( 老) 盖( 蠡) + d ( 嘉) 豁露) 其中x ( 七) r 4 ，系统的输入、输出存在以下约束 u ( d u c r ”， ( 2 - 2 ) y ( d y c r p ( 2 3 ) 这里的状态空间矩阵 f 彳( 七)曰( 露) 1 l c ( 露) d ( k ) j 可为常量矩阵或变化规律已知的确定矩阵，也可属于某种不确定范畴。 预测控制律用以下有限时域的优仡问题定义： m i n ；j ( 石( 蛾肛t 胴) ( 2 - 4 ) ，。0 一s t 坼o ，叫】( 露) 颤u x u x x u ( 2 5 a ) j ，( 竞+ f ) gy ，i = l ，2 ，n ( 2 5 b ) “附加约束”( 2 5 c ) 式( 2 4 ) 中，成本函数，( x ( 七) ，舻，“足) ) 为非负连续函数，且 j ( 0 ，0 ) = 0 ( 2 - 6 ) 优化因子：坼。抄i 】( i j ) = 【“r 蚓竞) 豁r ( k + l l k ) “r ( 惫+ 一l | 惫) r ( 2 7 ) 不失一般性，我们在这里设定控制时域与预测时域等长。当控制时域长度小 于预测时域的情况下，可定义类似形式的优化问题。式( 2 5 a ) 表示输入约束，式 ( 2 - 5 b ) 表示输出约束。附加约束( 2 - 5 c ) 用来保证预测控制满足某种特性，如渐进 稳定性。根据最优控制闯题得到的最优控制序列喀舻，】( 素) ，丽预测控制仅取 蠢妒；l 七 中的第一个控制壁嚣( 奄陋) 作用于实际系统。 6 审鸯大学硕士学位论文 第二章预备知识及概论 式( 2 - 4 ) - ( 2 - 5 ) 是定义预测控制律的有限时域最优控制问题的一般形式，从 中我们可| 以看到预测控制的两个基本特点： ( 1 ) 显式处理约束，隐式定义控制律。 系统约束显式地出现在最优控制问题的约束条件( 2 - 5 a ) 、( 2 - 5 b ) ，然而预测 控制律却是根据求解最优控制问题( 2 4 ) 一( 2 5 ) 丽得到。一般来说，很难得到控 制律的显式解。只有袭( 2 4 ) 一( 2 5 ) 为二次规划或线性规划的情况下，用多参规 划的方法可得到其分段仿射的显式表达式淄1 。 ( 2 ) 开环优化问题，状态反馈控制律 式( 2 4 ) 一( 2 5 ) 形式上是一个开环优化问题，即u ( k + i l k ) 与x ( k + i | 露) s = l ，2 ，n - i ) 不存在显式的对应关系。但最优控制问题之最优因子砣州，( 露) 与 当前状态x ( k ) 有关，从而得到的预测控制律也是x ( k ) 的函数，故为状态反馈控制 律。欲使( 2 4 ) 一( 2 5 ) 成为闭环优化问题，须用动态规划的方法对目标丽数( 2 - 4 ) 进行处理侧，或引入“因果约束3 ，或直接将掰( 1 意) 限定为一个含状态反馈作用 的特殊结构啪，。 可行性，闭环稳定性和计算复杂性是基于在线优化问题( 2 - 4 卜( 2 - 5 ) 的预测 控制必须处理好的三个基本问题。以下部分，我们分别对这三个闯题作以讨论。 2 1 1 可行性 要使基于( 2 4 ) 一( 2 - 5 ) 的预测控制方法能够顺利进行，必须使在线优化问题 在每个时刻都是可行的，否则预测控制就无从谈起。然而，实际情况是，对于一 般的优化问题，即使优化问题在当前时刻奄存在可行解，也并不能保证优化问题 在以羼所有时刻都存在可行解。确保优化闯题( 2 - 4 ) - ( 2 - 5 ) 在所有时刻都存在可 行解，是预测控制必须解决的一个基本问题。 设( 2 4 ) 一( 2 - 5 ) 在当前时刻k 存在可行解，并令蜥。，( 露) 为其一个可行解。 对于k + l 时刻的优化闷题，其可行解的一个典型构造方法是所谓的“控制穿列移 位法，即令 壤o ，一l 】( 七+ 1 ) = 【材r ( 七+ 1 1 k ) “r ( 七+ 2 i 孟) u r ( 七+ 一l i 彪) y ( x ( 七+ l 七) ) 】r ，( 2 8 ) 其中( 。) 是一个固定的状态反馈控制德，当x ( k + n k ) 属于一个确定的集合时， 有沙( x ( 尼+ l 七) ) eu 。若后时刻优化问题存在可行解，且( 2 8 ) 为k + l 时刻优化问 题的一个可行解，则优化问题在所有时刻的可行性便得到了保证。要使( 2 - 8 ) 成 为下个时刻的在线优化的可行解，往缝须在( i - 5 c ) 中附加额外的约束。 确保在线优化问题可行性的另一个方法是逐次递减控制时域和预测时域。在 预测时域与控制时域相同的情况下，令尼时刻的时域长度为，在k + l 时刻可将 ， 孛鸯大学矮学谴论文第二章预备翔谈及概论 时域取为一l 。这样，因： x ( k + 1 ) = k + l t k ) ( 2 - 9 ) 则总可傈证： 磊o , n - 2 1 露专l = 矽辑l | 东) ，( 露+ 2 劫矿( k + u - l l k ) r ( 2 1 0 ) 为k + l 时刻之优化闯题的一个可行解。 在线优化问题中，一些约束是不可违背的，如由执行器物理特性所决定的输 入饱和约束，这些约束通常被称为“硬约束。与之相对的是所谓“软约束 ，指 那些不是绝对不可违背的约束，如基于对经济效益的考虑而人为施加的系统约 束。保证在线优化阆题之可行性的一个方法是弱化“软约束”，即为“软约束 引入松弛因子，从而扩大优化问题的可行域。如线性约束 五x ( 七) + f u ( k ) g ( 2 一1 1 ) 为软约束，可将其放松为凰( 尼) + f u ( k ) g + 【1 l r 譬，g 0 。 ( 2 1 2 ) 不变集理论对于解决预测控制在线优化问题的可行性具有重要作用，因为只 有当系统的初始状态和此震的系统轨迹始终处予菜个不交集，才能保证系统状态 和系统的输入始终满足约束条件。文献呻1 利用不变集理论，提出了一种能够确保 约束条件始终满足的预测控制框架。 2 1 。2 稳定性 预测控制通常有两种方法来确傈稳定性，一种是以最优成本函数 y ( 露) = 歹一；】( 嘉) ，吏) ) ( 2 一圭3 ) 或其他类似的甄数作为l y a p u n o v 函数，著通过附加约束傈证l y a p u n o v 函数递减； 另一种方法则是使状态变量的某种范数依时间次序单调递减。我们将在文献中出 现的具有稳定性保证的预测控制方法保证稳定性的方法概括如下： ( 1 ) 终端等式约束 即令( 2 - 5 c ) 为 x ( 七+ n i k ) = 0 ( 2 1 4 ) 这种做法见于文献n 6 1 。设昧, n - i i ( 奄) 为七时刻的最优控制序列，根据蠕舻；l ( 是) 按( 2 8 ) 选择尼+ l 时刻的可行解，并令5 c ，( ) = 0 。以( 2 一1 3 ) 为系统的l y a p u n o v 函 数，则有： v ( k + 1 ) 歹( x ( 意+ 1 ) ，u o ，n l 】( 惫+ 1 ) ) 8 中南大学硕士学位论交第二章预备知谈及概论 = j ( x ( d ，u ；o , n - h ( 七) ) 一( x ( 后) ，u ( 七) ) sj ( x ( k ) ，u ( o , n - q ( 七) ) = 矿( 七) ( 2 - 1 5 ) ( 2 ) 终端约束集 即令( 2 - 5 c ) 为 x ( 詹+ f 老) t ( 2 1 6 ) 其中终端状态约束集r 譬x ，且f 常与一个能够镇定系统的状态反馈控制律 露) ) 相联系。若妁t ，剡有蠹) ) u 。采用这种做法可构造“双模式 控制器，即在集合f 内，采用线性状态反馈控制律，实现对系统的镇定。采用附 加的终端约束集也可与终端加权项f ( ) 的选择结合起来，使f ( ) 为在状态反馈控 制律r ( 凳) ) 作用下闭环系统的一个l y a p u n o v 函数，弼时r 为f ( ) 的一个水平集。 在这种选择下，以( 2 8 ) 选择可行控制作用穿列，并令杪( - ) 拳鬈( ) ，同时可 ! 晕( 2 一1 5 ) 所示的递减关系，从而得到闭环系统的渐进稳定性。 ( 3 ) 终端加权函数 正如在做法( 2 ) 中所述，f ( 的选择往往与终端约束集的选择相联系。