（应用数学专业论文）小波分析及其应用的几个问题.pdf

小波分析及其应用的几个问题摘要小泼分糖获菸应羯在数篷努摄淡及信意科举等诸多领域越来越受到关注，本文秘究其中懿几个阕题以璎论与方法研究炎圭，并将攘关理论结暴成翡墟疲用于信号与图像处理中。本文以多避趔小波与对偶挝二进劁系数复数小波算法设计、三是变换对角位系统m g m 算法、t o p e l i t z 系统的小波与m g m 结合算法作为理沦支线，以对偶树复数小波与扩散方程方法缀合的图像去噪，信号与恢复作为应用背景腥舞讨论理论成果主要包括；( 1 ) 对于对偶树二进制系数复数小波，利用h i l b e r t 变换对性质、完全重构条件并结合新的提升格式构造研究了含参系数多进制小波构造方法，作为特例得到具有线性相位的对偶树二进制系数复数小波构造方法；( 2 ) 对于广义离散傅立叶变换( g f t ) 与正弦变换对角化系统，提出了高效、快速的多霾两格算法，理论上澈明了算法的收敛性；( 3 ) 研究了t o e p l i t z 矩阵在多迸制小波变换下的代数结构，验证了多项式生成函数构成的w o e p l i t z 系统在小波变换下的稀疏带宽性质，莰而建立基于小波变换求解t o e p l i t z 系统的快速求解方法，运算基级拄籁在o ( n ) ，箕中n 为系统的阶( 4 ) 乖l 糟小波交换设计了多重网裕算法迭我过程中的延掇与孺值算子，提密了基于多透稍，j 、渡与多羹网格算法的t o e p l i t z系统求解，数畿实验验涯了算法静有羧性应耀戒果圭妥鬣括tf 1 ) 掇出了基于夺浚、p c g 以及m g m 方法糨结合骜信号与瓣豫蓬癸l 纯恢复方法，傍奏试验表暖舞法兵骞高效、蹇糟嶷懿特煮f 2 ) 提出了多元萎缩穗关瓣戴去曝方法，结会复数小波、扩散方程以及图像增强技零，褥到一秘时域等叛攀方法撼结会鹣图像去噪方法，傍真试验袭盟本文方法具凑良好的去噪性耗。本文还爨究了一类搬物毽变分不等式区域分鳃算法，证明了算法的收敛矬且收敛不依赖母空闻旗子尺寸以及时间步长关键词；多迸裥小波；对鸺树= 迸剃羹数小波；多重潮格；t o e p l i t z 系统信号与图像恢复；糯像去嗓；区域分解n：一一一鉴主兰堡黧兰a b s t r a c tw a v e l e ta n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n sh a v eb e c o m em o r ea n d m o r ei m p o r t a n tl 建t h ef i e l do fn u m e r i c a la n a l y s i sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c e i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so ns e v e r a lp r o b l e m si nt h i sf i e l d s ，m a i n l ys o m et h e o r e t i c a lp r o b l e m sa n da l g o r i t h m s ，a n dv e r i f yt h es i g n i f i c a n c ew h e nt h e s ea p p r o a c h e sa r eu s e di ns i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n g t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h ea l g o r i t h md e s i g no fd u a l - t r e eb i n a r yc o e f f i c i e n t sc o m p l e xw a v e l e t s ，m g ma l g o r i t h mf o rl i n e a rs y s t e m st h a tc a nb ed i a g o n a l i z e db yg e n e r a l i z e dd i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ( g f t a n dt y p e - i td i s c r e t es i n et r a n s f o r mm a t r i c e s ，w a v e l e ta n dm g ma l g o r i t h m sf o rt o e p l i t zs y s t e m sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si ns i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n g t h em a i nt h e o r yr e s u l t si n c l u d e s ：( 1 ) u s i n gt h ep r o p e r t i e so fh i l b e r tt r a n s f o r m ，p e r f e c t l yr e c o n s t r u c t i o na n dn e wt y p eo fl i f t i n gs c h e m e ，an e wt y p eo fd u a l t r e eb i n a r yt o e 伍c i e n t sc o m p l e xw a v e l e tw i t hl i n e a r建勰ei sa c h i e v e d ，( 2 f o rl i n e a rs y s t e m st h a tc a nb ed i a g o n a l i z e db yg f t a n dd s t i im a t r i c e s ，a ne f f i c i e n tm g mm e t h o di sp r o p o s e d ，c o n v e r g e n c ei sp r o v e d ，( 3 ) v q ed i s c u s st h ea l g e b r a i cs t r u c t u r ew h e nt o e p l i t zm a t r i xi st r a n s f o r m e db ym u l t i - b a n dw a v e l e t ，s h o wt h a tt o e p l i t zm a t r i xi sc o m p o s e do fg e n e r a t i n gf u n c t i o ni st r a n s f o r m e dt oab a n da n ds p a r s em a t r i xw h e nw a v e l e ta p p l i e dt ot h i sm a t r i x b a s e do nt h ea b o r er e s u l t s ，a ne f f i c i e n ts o l u t i o no ft o e p l i t ze q u a t i o n si so b t a i n e d ，a n dt h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e xi so ( n ) ，w h e r eni st h eo r d e ro fm a t r i x ( 4 ) u s -i n gw a v e l e t ，w ed e s i g nn e wi n t e r p o l a t i o na n dp r o l o n g a t i o no p e r a t o r st od e v e l o pf a s ta l g o r i t h mf o rs o l v i n gt o e p l i t ze q u a t i o n sv i am u l t i - b a n dw a v e l e ta n dm g m e f f i c i e n c yo ft h em e t h o di sv e r i f i e db yn u m e r i c a le x p e r i m e n t a t i o n t h em a i n l ya p p l i c a t i o nr e s u l t si n c l u d e s ：( 1 ) e f f i c i e n tr e g u l a r i z a t i o nr e s t o r a t i o nm e t h o d sf o rs i g n a la n di m a g ev i at h ec o m b i n a t i o no fw a v e l e t ，p c ga n dm g ma r ep r o p o s e d ，s i m u l a t i o ns h o wt h a tt h ep r e s e n t e da l g o r i t h m sa r ev e r yh i 醢l ye f f i c i e n t l ya n dp r e -c i s i o n ( 2 ) w ef i r s td e s i g na nm u l t i - v a r i a n ts h r i n k a g ed e n o s i n gm e t h o d ，j o i n t l yu s i n gc o m p l e xw a v e l e t ，d i f f u s i o ne q u a t i o na n di m a g ee n h a n c e m e n t ，an e wm e t h o dv i at i m ef i e l da n df r e q u e n c yd o m a i nf o ri m a g ed e n o t e di sa l s op r o p o s e d ，s i m u l a t i o ne x p e r i m e n t a t i o n ss h o wt h a ts i g n 攮c a n td e n o i s i n gr e s u l t sa r ea c h i e v e d 。m o r e o v e r 。f o rap a r a b o l i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , w ea l s op r o p o s ead o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rt h ee u l e r - g a l e r k i na p p r o x i m a t i o no fap a r a b o l i cv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y i ti sp r o v e dt h a tt h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h ea l g o r i t h mi si n d e p e n d e n to ft h es p a c em e s h s i z eha n dt h et i m es t e p s i z e k e y w o r d s ：m u l t i b a n dw a v e l e t s ，d u a l - t r e eb i n a r yc o m p l e xw a v e l e t ，m l u t i i i i小波分析及其应用的几个问题g r i d ，t o e p l i t zs y s t e m s ，r e s t o r a t i o no fs i g n a la n di m a g e ，i m a g ed e n o i s i n g ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o ni v博士学位论文湖南大学学位论文原创性声明本人郑霆声明：所呈交的论文是本人柱导师的指导下独立进行研究所取褥兹磷究戒聚。除了文孛褥鬟翻戳标注零| 翔麴蠹容努，本论文不包含任 蠢其他个人或集体已经发表或撰写的成果作晶。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识剡本声明的法律厝果由本大承按。作者签名；乏孑萎竿日期：劬舞r 月咖日学位论文版权使用授权书本学链论文作者完全了舞学校有关绦黧、镬焉学链论文戆惑定，阏意学校保留并向阉家有关部门绒机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部戚部分内容编入有关数据库进行梭索，可以采瘸影印、缩印或孝暑褴等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1 、保密口，在年解密后适用本授权书。2 、不探密霾。( 请襁以上相应方模内打“4 ”)作者签鬃：导筛签名：尽期：勃年f 冀函，曩霜期：口6 年广弱l 期博士学位论文_ l 1 引言第1 章绪论从物理学、信息学以及数学的角度来看，任何信息都可以放在多种框架下进行研究。数学中常凳的一释处理方法是，当及禁个籍度搐透信息寿匿难时，常常对其实施一定具有物理意义的变换，变换后的特征显而易见，从而达到研究的目的。举例来说，澍于一燕扩散方程的求解闻颓，l a p l a c e 变换或f o u r i e r 变换经常使用，经过变换犍数学模型转化为相应的域上，使该方程在薪的变换域下呈现篾单的特征，这样可以大为简化问题求解。上_ 赜纪6 0 年代人们开始广泛使用的离散f o u r i e r变换( d f t ) 与蒜数余弦变换( d c t ) 对绩崽进行处理，薅o 年l 弋开始受至广泛磅究的小波变换，这些变换的实质放在多进制滤波器的框架下，可以看成为将待分析豹信号：i 螽遘特殊多送锶完全燕褥滤波器将之变换翻勇步 一个域上缕得阕题避一步简化。例如，常采用d f t 以及小波变换等频率类变换，通过分析信号变换后的额率特征采达弱信号去嫌、边缘裣铡、特征摄取及数据压缩等舀的。特剐需要指出的鼹，最：i 黩5 年来小波方法与多重隧格等数值方法相结合，成功迅应用予扩散方程以及线性系统的求解，从而得到系剐高效算法。同时，小波与护散方程方法结台艨爰予镰耪图像处理阁题龟已经残为强懿最为热门鲍璐宠漂耀之一，这一点姨2 0 0 5 年国家自然科学基鑫数学领域将扩散方程图像处理作为重点研究课题便可见一斑。1 2 经典小波变换的性缝分析传统的信号分板建立在傅立时( f o u r i e r ) 分辑蒸础之上，毽怒缮立时变换是一种全局变换，无法同时寝述信号的时频局部性质，而时域与频率域同时具有局部特缝埝好怒菲乎稳售号处理中簸关键鳇性震。为了寻求健得嚣e 孪将霹凝密患麓帮化的变换方法，猩上个世纪8 0 年代初，法阕地质工程师m o r l e t 等人引入了小波交换翡瑟瑟，并寝露予西溘篼璇数搽壤褥成功。上煎纪年代末期与9 0 年代初期，g r o s s m a n 、m e y e r 、c o l f m a n 以及d a u b e c h i e s 1 ，2 ，3 1 等人建立起小波分析的理论框架，尤其燎d a u b e c h i e s 1 , 2 j 提出的小波构造方法成为小波发展史上具有里程裤意义的工作。1 9 8 9 年m a l l a t f 4 i 将计算枧视觉中的多分辨攀( m u l t i r e s o l u t ，i o na n a l y s i s ) 思想引入小波壤论中，提出了在小波分析中其地位与凡u r i e r 分析中f l f t选位耀羁熬m a l t a t 分瑟霪梅算法，扶露楚小渡变按广泛瘦薅予痿号处壤懿各拿领域。上世纪9 0 年代中后期，s w e l d e n s 5 , 6j 通过研究完全煎构滤波器相位矩阵分解性凌，捷鑫了基予疆手 格式 l i f t i n gs c h e m e ) 表示豹，| 、渡滤波器分解赞髭；，遥苒鼙比m a l l a t 算法减少3 3 左右，该算 去具有软件快速、易于硬件实规的特点，闻日寸小波分析及其应用的几个问题还可以根据实际需簧在原有小波的基础上设计出新的往质羹好的小波，以及得到具有无损液示信息的整数小波变换【7 | ，功能比原有小波体系更为完善，从而扩大了褒毫小渡变换懿藏蘧蓬垂，嚣露被豁之麓第二健枣渡变换。、经过1 0 多年的研究与发展，小波变换作为一种同时具有时频局部化特性的新型变换，其理论与威用研究均取彳导了一系列丰硕的研究成果，如在模式识别、图像处理、图像压缩、倍惠隐藏和溺像去噪簿领域，小波方法发挥着重要佟糟。但同时应看到，小波变换理论作为一种新型的变换框架，尽管它与f o u r i e r 变换相比存在变换数多襻性穗灵添戆选释慷等捷点，壤是不露瓣奎渡交换在不嚣黪应震中，瞧能指标经常最示出明显的差别因此，如何根据不同的实际问题，选择最合适的小波变换一点是信号分析中的难点和重点，另外，小波变换以其良好的能量集中性蒺在瑟像藤缭串疆藏忧于萁稳交换，蜀成为藿器静态图像纛雅标准j p e g 2 0 0 0 秘推荐变换方案。但小波存在的缺陷是其计算过程复杂，运算基大，硬件实现成举赢。作为信号分析的工具，经典的小波方法主要适合表示一维信号酌奇异性，对于二维信号中各向舁性的奇异边缘的表示能力存锻严重不足。从而导致利用小波变换娃毽黧像等多缨绩惠薅对逡缘等羹蓑特薤窭壤严重失多亵这释凌聚在基予舞散小波变换( d w t ) 的大压缩比图像压缩、多维非平稳信号局部特征检测以及目标特征提取中经常出现，并成为目前基予小波的隧像处理糕颈。二维小渡变换猩多位数字信号处理中对菲平稳的二维倍号其能萤熊中特性较潍，重构图像的边缘处存在严重失真，这一缺陷烹要是由经热d w t 引起的。其主要原因怒小渡对逡缘雏表拳蛱乏方趣接，以及平移不变馕鹣缺失等缺貉导致，为了改善经典二进小波的时籁分析能力，以ps t e f f e n ，p n h e l l e r 以及r a g o p i n a t h 簿为代表的众多研究者在上个擞纪九十罐代中期对多进制小波理论作了较为深入瓣研究1 1 3 - l s ，霉翦多遘秘小波在嚣豫篷臻隰铡、墨豫分麓j 2 卜矧、特征提取以及语音信号处理等诸多方面取得成功但是，当多逃制小波按照张量积嫩成基蠡数米表示二缎或更高维躲信号时，对表示多维信号审具有方向j 瞧的奇异特征这一经患二进镧小渡无法解决的曩题仍然无能为力因戴，近年来，潜绕多维小波变换的方向表示能力提出了很多新理论例如，为了在保诞变换平移不变的同时褰效减少诗募复杂魏稷蹲爨努赭戆嚣余程度，k i n g s b u r y 撵_ 窭弱对慕耀两个实，j 、波滤波器纽对信号作变换，经过多层分解产生一种“对偶树”挺的结构 2 4 , 2 5 。按照k i n g s b u r y 的做法，设计合适的小波滤波器使得镣层分解后丽个分树的输出恰好禧差一个采弹阉疆的延迟，获疆黎疰变换具有平移不交往进一步溪究发凌，翼窍最佳的平移不变性质的选择悬两个分树中的滤波器对恰好分别为一个复滤波器的窭郝积纛部，将吴肖炫性质的变换称之努对偶楗复小波变换( d t c w t ，d u a l t r e ec o m p l e xw a v e l e tt r a n s f o r m ) ，相应的小波称为对偶树复数小波( d t c w ) 。由于2博士学位埝文这种结构中趣想的笈滤波器具有抑制正颓率或负频率的性质，所以二维变换本质上是不可分的，这样对偶树复小波变换就巧妙的具锯了较强的方向表示能力。1 3 基于小波与扩散方程的图像处理方法上世纪9 0 年代以零，扶属予工程领域豹图像处理逐渐得剿数学尤其是扶事信息与计算科学工作者的注意事实上，从概觉和认翔科学酶观点来看，图像处理是从二维图像寝示三维馓界几何背景、拓扑结构、相关顺序以及模式的一门科学，瓣筵，錾豫处瑾充滤t 数学瑾谂与方法。涟羞基于彩分辨分摄戆枣渡交换理论广泛应用于图像处理，例如，在诸如图像分割、图像恢辍与去嗓等方亩，小波与其他方法相比较，在许多方面表现出筵他方法光可比拟的优势从模型上来餐，如果将鬻像看成多缀分片蘧数，弼是一释不连续鹪多维舔皴，因魏黼像处理遗稚中戆图像寝示、建模与求解又可以和求解含间断点的扩散方程方法建立联系过去2 0 年墨，基扩教方掇黪匿豫鲶疆越寒越嫂为繇突热点。扩教方法终身一类比较精细的图像分析和处理方法，在图像处理中超到越来越重要作掰例如，图像处理主凝集中在圈像预处理、边缘检测、图像校准、图像朦缩、图像恢复、特繇挺取专謇椽谈澍等在嚣像楚毽辛，将髹獾述经鬻成兔关键耩在，上弦纪8 0 华代初期，m a r t 等人撮出了一种低通滤波撩以提取倍号特征取得较好的效果，8 0年代中端，c a n n y 则提出现在称之为c a n n y 算法的受到广泛瘦用的边缘检测算法我们知邋，c a n n y 算法存在的一个严重缺帑是对于重要逸缘信息静保护方面程一定情况下会显得光能为力。因此，对于各种不同的图像处理问题，人们通过建巍不霹熬扩散方程数学攥鍪f 遂移求黎。一般馕嚣下，设蛋：枣- 9 , r 表暴一疆莰发图像，而妒( 茹，) 是灰度值，引入“人工”时间参数t ，则图像的变化可以利用扩散方程警= q 删l 。1 )米撵述。其中，妒( 瓠t ) ：r 2xf o ，6 ) _ r 为与时阍相关的数字匿像，褥妒( 茁，寥)俸为初始条件，q ：蠢- - 1 嚣是对葭于不l 蜀摸鏊捷弼豹算子集会、最近，不采用变分法而直接导出图像中曲线或曲俪的演化方程受到广泛重视，一农零像签毽孛应熙扩数方程窝藏线或墓囊甏戆演霞能够褥裂连续竣懿蚕像模型，瘗予与离散的数字图像撇关，使图像的数学模型得到简化个很简单的例子是利用连续模型与渐进展开淡，将图像处理中一烂局部非拨性滤波器作为扩散苒子来处臻勇羚，辩予阕一个 霉瑟蔼建立起来静不浔扩歉方程模蝥霹叛实嚣冀法秘有税结合，例如两个不同的图像处理的扩散方程模型可以描述为 1 v s 嚣。羔t 黪弘璺鬻= n 2 如( 茹，可，吼、73小波分析及其应用的几个问题则可以按照如下形式实现算法结合：警= a q l 忡删y ) 】+ 卢q 2 【妒( z 川y ) t ie r +将能量函数定义为曰( 妒) = i v 妒( z ) 1 2 d xj以( 1 3 ) 对应的能量函数极小值作为目标函数：a r g ( m i n ( a e ( 妒1 ) + 卢e ( 妒2 ) ) ( 1 3 )( 1 4 )但是，基于扩散方程方法的图像处理技术仍然面临许多挑战首先，一般情况下模型的求解问题没有得到好的解决，同时求解的时间复杂度一般远远高于常见的低通滤波器技术例如，对于复杂非光蒲的图像，模型方程解的存在性唯性问题还需要研究，各种数值方案在一般条件下的存在性、稳定性，以及收敛速度亟待从理论和数值分析上加以解决事实上，基于扩散方程模型，非线性滤波器理论的主要思想在于”偏移滤波”的引入，在推测的可能边缘点邻域用偏移项来代替光滑项，从而达到增强图像保护边缘的目的。在一定程度上改善恢复图像质量的同时需要设计不同尺度边缘的偏移函数，因而得到至少含8h 个参数的偏移和滤波合成的数学模型，这无论在滤波器设计还是在参数处理等方面都存在困难，因此，复杂的核函数设计不可避免，从而导致计算复杂性过高另外，图像处理的扩散方程模型在光滑函数类与一般的s o b o l e v 空间内无解，此时必须寻找适当的函数空间，如引入粘性解从而对数值计算提出了新的要求其数值处理方法的研究成为提高图像恢复质量、减少计算复杂性的一个重要方面1 4t o e p l i t z 系统求解研究现状对于t o e p l i t z 系统的求解问题，一直是国际数值代数与信号处理领域受到广泛研究的问题，各种各样的计算方法层出不穷上世纪9 0 年代以前以直接法 7 5 - 7 s 为主众所周知，直接法在不计舍入误差的前提下能得到准确解，但是算法对内存和计算时间的需求较高，算法的计算复杂性不低于o ( n l 0 9 2 n ) ，并且当系数矩阵病态或含有病态主子矩阵时，舍入误差的积累将导致所求出的数值解与准确解相差很远，此时的直接算法无效或近似无效对病态t o e p l i t z 系统的处理使得算法有效一直是算法研究这研究重点所在相对于直接法而言，迭代法具有易于控制、存储需求与每步迭代的计算量少等优点，尤其对于t o e p l i t z 系统这种具有特殊结构的矩阵集合，迭代求解时，只需知道系数矩阵与向量乘积的计算法则，而不必知道具体的系数矩阵，同时可以充分利用f f t 算法实现矩阵与向量的乘积，运算量控制在o ( n l 0 9 2 哟因此，上4簿学位论文世纪9 0 年代以后，t o e p l i t z 系统的求解算法多集中在迭代法上，尤其是预条件共轭梯发法f p c g ) 粒多重网格法嫒受入关注( ) t o e p 毛粉z 系统隶解与p c g 方法颓条件共轭梯度( p c g ) 法其本质是在热轭梯度法的遗代中实行预处理，具体做法砖加入预条伟矩阵，预处穰的优点在于如果选择合适的预条件矩阵，则求解n验t o e p l i t z 矩簿熬诗算麦嘉毪霹鑫镶逮壹鼓舞浚瓣o ( n l 0 9 2 n ) 海鸯o ( n l o g n ) 。蠢此p c g 法的关镳在于选择合适的预条件矩阵，因此，如何梅造有效的瓢条件矩阵 s 3 - 9 5 就成为研究热点课题上世纪8 0 年代腑期，s t r a n g ，t c h a n 等人利用循环矩阵w 被快速僖焱婶变换对兔他懿特性首先掇出了适用予t o e p l i t z 系缀戆循嚣预条件矩阵，后面入船发瑰吴有快速计算凌嚣静各种离散i 角变换，诸粥瓣循嚣蘸条件矩阵、正弦交换基预条件筑阵、h a r t e l y 变换基硬条件矩阵以及含宥生成函数相同零点的带状t o e p l i t z 预条件矩阵莓被纷纷提出。瓣予夷态踺张蓬定t o e p l i t z 系统，主述联条律矩薄方法参是有效豹，毽黯予病态t o e p l i t z 系统，对应的p c g 方法会变褥收敛性得幂到保证为了克服算法收敛性的阐题，1 9 9 9 年s e r r a 9 6 1 提出了一种改进的p c g 法，针对t o e p l i t z 矩阵生成灏数酶零点瓣羚数不超过4 对，数值实验表暖其改遴算法是有效的。默上面的| 尊论容易看鑫，所有上述囊条件矩阵的箍磁都是基予这样一种恿愆，蠲利雳快速离敬三角变换对角化预条件雅阵，这在一定程度上限制了预条件矩阵的构造空间( 二二) t o e p l i t z 系统求黎麓多重嚣穆方法对于t o e p l i t z 系统的求解，虽然巨前讨论最多的是瑗条件共轭梯度法，但从最新的研究结果米看1 7 2 1 ，这种方法在求解商度病态t o e p l i t z 系统时，有着不可克服豹鼹双性，鄄收敛速度疆迭代劳数魏增加憝近予零低牧敛速度不仅意曝着计算效率的低下，蕊麓在实际应蔫中通常不舷满足羲定的要求所浚，在静个应用领域，人们必须根据具体问题设计与之相适应的求解方法 g e - t m 】上世纪9 0 年代后期，f i r e n t i n o 1 0 1 】与s e r r a 1 0 8 使用r i c h a r d s o n 光滑的多重瓣辫m g m ) 羧求解t o e p l i t z 方程蕴，获骥途主涯臻：磐疆媾形下二墼霹辏涤( t g m ) 是收敛的多重网格汝的优点主要俸现在；1 收敛性使用经典算法收敛效果较熬的方程组，爝多重网格法求解时可以提嘉牧敛率。2 ，计算复杂发减少在系缀瓣漠庞大时逸一点体现褥允为瞬显。几年来，用彩差网格法求解t o e p l i t z 系统又有了新的进展在文献1 1 0 2 - 1 0 3 】中，s u n 邪c h a n 等人先后诞明了对于一炎特殊病态t o e p l i t z 系统的t g m 、麓g 携静较簸佳，其孛条终楚瘸态t o e p l i t z 系统之垒纛涵数美寿不藏逑二葭懿零点对手生成爵数零点的阶数太于2 的情形，s e r r a 撼出一种改进的溺条件共轭5小渡分辑及其应掰装几个舞蘧梯度法，数值宴验表吼生成函数具有四阶零点对求解方法有效【1 0 7 】，但是该方法没豁解决一般酶t o e p l i t z 方程缀静快速求解问题嚣筵，结合多黧两格法鸯小渡交换技术研究t o e p l i t z 系统求解戒为一个有可毙解决| 霹憨的选择。本文运簿滚爨路求解态度瘸态耱t o e p l i t z 方程缎，取褥了较好缒数值实验绩果。信号与图象恢复以及圈像去噪是信号与图像处理过程审的一个霪要硪究瀑题，对谈问题研究结果对信息理论尤其是数字信号处理理论有着非常重要的意义。上世纪8 0 年代以来，许多学者在这方面做了深入的研究。近年来，人们利用恢复问题与t o e p l i t z 系统存农必然联系这一事实，采用预条件共轭度法建意了许多信号蓬梅或罄像茯复算法信号重构与黼像精分辨是倩号与函豫处理应用中的典鍪瓣躯。本文逶避 聿谂采榉点豹挂震扶瑟将瓣舔化为t o e p l i t z 系统静求解鬻蘧，并载用t o e p l i t z 系统求鬃的小波与多重瓤接方法撄到令人潍意的数鲣结果。1 5 主要研究内容与论文结构本文以多逃制小波与对偶树二进制系数复数小波算法设计、t o e p l i t z 系统的小波与多重网格结合求辩作为理论主线，l 揖对偶树复数小波与扩散方程方法的图像去嗓、信号恢复霖为纛雨背景展开讨论对乎多迸翻小浚黼及对偶褥：迸镧系数复数，l 、波，释燕h i l b e r t 变换对瞧凌、竞全耋梅条释并结合凝懿捷舞格式祷造研究了会参系数多进割小波撼逡方法，佟戈姆铡褥到舆毒线性相位豹对偶楗二遴铡系数复数小波梅造方法利用多璧网捺方法研究了拦信号与图像处理中具毒广泛应用的三类线性系统方稷t 广义离散傅立时变换( g f t ) 对角化系统、正弦变换对角化系统以及t o e p l i t z 系统的快速求解方法1 酲明了基予多黧网格方法的g f t 以及d s t 对角纯系统的收敛特性研究了禚多避制小渡变换下t o e p l i t z 楚阵的代数结祷，验证了多璞式垒成醋数梅成懿t o e p l i t z 系统在夺浚变换下懿稀疏带宽性爱，结合s h e r m a n - m o r r i s o n 公式建立tt o e p l i t z 矩阵豹多进裁夺波快邃算法鞋及基予多进割小波变换的t o e p l i t z 系缀快速求姆方法。绘出了基手多进割小波雏t o e p l i t z 系统求勰的多重网旅方法框架，从数值实验的角度验证了算法的收敛性。利用小波变换设计了多黧网格算法迭代过稷中的延拓与擂值算子，提出了基予多进制小波与多重网格算法的t o e p l i t z 系统求解，数值实验验证了算法的有效性使用最小均方误差( m s e ) 意义下的正劐亿模整，通过涯蛹该模饔中系数矩阵的特殊代数缭祷，提毫了一耱带宽t o e p l i t z 每条件予，诞裙了该与条件子静枝毁住爱，爨舞渡睑验证了方法戆囊糁发特拨剽鼹奎渡粤多璧遐撩粳续舍，实玟了辫凑图像的离精度恢复，仿真试验表骥算法具蠢离效、巍糖嶷的特点。提出了多元萎缩耀美的图像去噪方法，按照图像的小波变换叶羔个赢频图像子块使用兰元萎缩租关淡去噪、个 璇颡瞰像乎块退化扩散方法抑噪叶小波逆变6博士学位论文换斗图像增强_ + 异性扩散方法去噪过程，提出了种时域与频率方法相结合的图像去噪新方法，仿真试验表明本文方法具有良好的去噪性能对予一樊搬物型变分不等式，提出了一种鼓域努鼹算法，从理谂上诞嘎了算法戆迭锭次数赣霹貉梦长鑫移辩楚多长7 i 无关。本文麓分六章，主要内容为；第一帮简要介绍课题研究的背景，课题所研究内容的现状、目的与意义。从第二章开始介绍本文的主要研究内容本章中首先简要介绍多避制小波与对偶树复数小波的概念与性篪，利用h i l b e r t 变换对、完全重梅条件、消失矩以及藜鼙挺舞壤式势谖鬟霆耽条穆，建立了对鼹瓣笺数夺波瓣豫讫橡造方法黻及系数二进裁纯鹃方法。第三濑研究三角采样对角化系统与t o e p l i t , z 铤阵的几种有效迭代算法，首先对g f t 与d s t i i 可对角化系统，建立了有效的多蘑网格算法，证明了相应方法的收敛性。对于多项式生成酾数构成的t o e p l i t z 艇阵，研究了矩阵在m 进制小渡变换下戆代数络撞，验证7 舆蠢酶带宽特牲，及 l 蓬建立了一种t o e p l i t z 系绞求解静快速方浚，运算量级扶至少o ( n l 0 9 2 n ；降抵爨o ( n ) 。渡，l 、渡交换艇薄代替多重网格方法中韵延拓和插值苒予，设计出基予小波与多重网格方法的t o e p l i t z 快速求解方法第四蹴研究信号与图像恢复以及图像去噪技水首先对信号与图像恢复的数学模型送褥分橱，讨论了正则纯参数的设计方法，设谵了结合小波与p c g 技术信号蔹复拨及，l 、渡专多重露穆豹溅稼蚕簿算法数黧突验验涯了算法瓣蠢效经。利糟辩褥礴二进裁复数小波与扩散方程方法鞠结合，通过提出竞元萎缩相关去噪法得划一种图像去噪技术，试验结果表明，髯现有去噪算法比较，本文方法可以获得嚣好的图像去噪效果第五濑研究一类典型抛物溅算子的障碍问题的区域分解算法基于e u l e r - g a l e r k i n离教襁式浚诗区域努织算法，涟鹾了葵法戆牧簸愫魏毂教逮囊不锻羧予室阗格子步长泼及时阍多长。第六窜总结了本文的工作，并对进一步的工傺进行了展望7小波分橱及其应用的几个蝴题第2 章多迸制小波与对偶树复数小波的构造2 1 多分辨率分析与m a l l a t 算法多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s - m r a ) 是上世鳃8 0 年代后期由m a l t a t与c o i f m a n 等人引入的，他b l 受到a d s e o n 等人建立金字塔算法的启发，蹬究了小渡瓣多分辫特性，将小波变换理论统一到多分辨分析的框粲下，并将小浚系数与滤波逡葵裙联系给出了基于小波的信号分解与重构方法，即著名的m a l l a t 算法。下面简单描述构造或交小波变换的多分辨分析的撅念与基本性质。定义2 1 【9 l 空间妒( 固中的m r a 是指2 ( 固中灌足如下条件的一个空闷序到 码 ，z 。( 1 ) 革灞往；kcu + h 对任意jez 。( 2 ) 逼近性：n j zk = o ) ，8 i ) a n u 一+ 。0 0u = l 2 ( 娌) 。f 3 ) 申绩性：f ( t ) k f ( 2 t ) 1 0 1 。 孛缠性反映了足度变纯、逼近正交小波鲻数的变他靼空阀懿变化巽番一致性。( 4 ) 平移一致住：对于任意惫z ，有0 3 ( 2 - j 2 t ) 码毒鸭( 2 - j ，2z 女) 1 j 。( 5 ) r i e s z 基存在性：存在曲( ) ，使得 娥2 1 2 t k ) i k z 构成、：的l ：l i e s z 基。i利雳上述霞凑矗接得到，存在函数蜮t ) k ，它的平移与伸缩 p ( 2 “7 2 t ) i 而z 构成巧的规范正交墓，称6 ( t ) 为尺度函数，于是函数构成标准正交基。设k 代表分解中信号的低频部分组成的空间，嚣张j 表示分怨中僚号的囊频部分厨组成的空间，焱正交的意义下，彬，是码在码+ - 中韵正交补，即码+ 1 一j 0 1 j z 。扶包含关系c 砜，我们报容易得捌关予尺澄韵数西( t ) 称之为双尺度方程的性质。注意翁睁o o ( t ) 砺( m ，当( t 一) ，女z 构成k 的基函数时，西f 2 t 一) ，女z 构成h 的基函数，下列双尺度方程成立= 以 ( ( 2 一 )萁中，“) 为低通滤波器系数。类似地，我们可以在空间 l ，0 中找到生成溺数皿，并出f ck 提褥舄外的双尺度方程窜= 锈g ( k ) o ( 2 t 一纠，其中g ( k ) 为高通滤波器系数丽相应函数诹( t ) 称之为小波函数。鞴博士学位论文定理2 1 ( m a l l a t ) 9 1 设 h ：j 龟z 是空间l 2 ( r ) 的一个多分辨率分析，簪( t ) 为魏多分辨率分析静尺度蘧数，满足魏下的双尺度方程荆一讵危( 啪( 戳一且 0 一惫) ：k 刁构成y o 空间的一组标准正变基，则喇= 讵( 1 ) h 碡) 喇一七)七炎蒸小没，令w o = s p a n c o ，女珐k 毋，则鸯 魄毒( t ) ，是z 必甄豹一鳃标准砸交基；w i 上v o ；u ；w o o v o 。上透定理说疆，只要我们祷淹出低通滤波器系数 恕( 国，走z ) ，粮据m a l l a t的取法，可以选取特殊的巍遥滤波器鬟数 擘( 婶一( 一1 ) 一1 是e 西) ，是z 以梅成小波考虑到实际应用中系数一般为实数的滤波器，此时高通滤波器系数变为 9 ( ) = ( 一1 ) k f l h ( 1 一七) ，k z )大量的研究表明正交小波柱图像处理尤其是图像避缩中，会出现图像失真的弊端，为了得到具有线形榴位的小波执而克日瑟图像失冀的情形，人们发展了一种双疆交，、波敕壤燕。多分辨分糖子空阕蛉嵌套序列分为嚣秘：t t c e 2 c 记l c y o c u cc 记2c 识ic 讫c 髓c其中，函数( 孟) 与函( t ) 分别构成空间k 与弼的生成笼，并且满熙下面的双藏交条件 = 6 一n ) ， = 6 一m ) 5 ( 盎嚣) 当上式成立时有以下的正突关系成立k 上，砖上此时，尺度函数o ) 、声( t ) 与小波函数量( t ) 、哥( t ) 的双尺度方程也变为毋( 幻= 砸丸( i c ) ( 2 t 一的，西( 砷= - t i e 矗( 酌西( 2 t 一) ，辔( t ) = 、压e 疗( 竞) 够( 2 t 一妨，量( t ) = 螟孬( 秘毒2 t 一硒，其中9 ( ) ；( 一1 ) 一1 h ( 1 一女) ，蚕( 七) = ( 一1 ) 。一1 ( 1 一) 设簪( t ) 势多分辨率分析 韬：j z 酌足虞函数，荦鸯相应懿基小波双咫度努程为：毋= 以五( ) 咖( 2 t 一啦，疆( 醇一以窖( 妨( 2 t k ) 。对惫圪如( t ) 中的任意一个信号丘( t ) ，由屹一屹。1 0 i 一，知丘( t ) 存在分解：+九( t ) = 丸一1 ) + g r 一1 0 ) 9小波分析及其应用的几个问题怒义参零( t ) = 2 - l 2 2 一嚣) ，魄m 翰一2 - l i 。事( 2 毪一耗) ，释么 垂l m 嚣z 、 丸一1 芦n z ) 和 忱1 。n 刃分别构成空闻圪、圪一l 和姚一i 的搀准正交基因此有下面的表达式从雨蠢吃施翩= c l 咖虹- 一( t ) + d m ，。审，。nn竹根据上式进一步褥到c l l ，t = c l p 屯 n ，虹一1 ，k ，髯利。曜关于西( t ) 触双n尺度方程和正交基的性质简化簿式，可以得到c l 一1 ，= c l k 一2 ，同理可得nd l 一1 ，= c l ，g n - 2 k 邈就得到了信号，l 0 ) 的正交小波分解算法类似予分解算法分析，可以得到信号的重构算法为既母一吼k 啪+ d l 热罐女七一般地，采用前述的实的双正交小波滤波器，对一个信号z ) 进行分解与重梅，浚分簿君翡羝逶舔分秀s ( 砼，嵩逶部分势蠢( ) ，类钕于涎交夺渡熬务癣和耋槐算法分攒，碍到双正交小波的分勰搬繁搀算法：分解：s 一h 。州，幽= 。n 舶2 f 堂构：。一印h 。2 + d i g 一2 1 下面讨论在小波构造中的一个十分重耍性质一消失矩蠲数，( 。) 称为舆有n 阶的消失矩，若p7 ，( 髫) 。o d z = 0 ，* 0 ，1 ，2 ，n 一1委成立于怒，对于具有阶消失矩豹，j 、波函数审( 茹) ，可戳表示为，7 妒( 嚣) z d x = 0 ，一0 ，l ，2 ，一1 +丢设函数审 ) 静f o u r i e r 交换秀事( 贯) ，壶简单静数学分菥分析知识帮辩t 式的等铺形式努姆b 一一b ，是一o ，1 ，2 ，n 一1 另终，当曩、波藤数妒( 2 ) 具鸯n 致1 0彬嗣础加以l11加hh彬睨巩聃。屯。屯。“丘正忆博士学位论文消失矩时，窬易诚明，对于尺度函数妒( 茁) 与小波函数妒( 。) 所对应的低通滤波器返数嚣泗) ，下剜等式裁立。掣b 砘 2 ，伊l ，残者斟扣卜1 + e - 2 w ) r ( 留) 2 , 2 完全垂构双正交滤波器与提升分解设嚣带双正交，、波分解蠓鳇低邈秘囊暹滤波器分别势嚣( z ) ，( g ) ，黧搀蠛蝗低通和嵩通滤波器分别为 ( z ) ，g ( z ) 输入信号z ( 竹) 和输出信号( 竹) 的z 变换分别记秀x 稻y ( z ) 鄄有x 弘) = z ( 住) z “和y ( g ) 一帮z 一弼一维离散小波交换弱避燕建变换露鞋表暴为戈o ) ：； x ( 。) 嚣( 嚣一z ；+ 西( 一g ) 嚣( 一# 一t ) l 是( 。z j+ ：i x ( z ) 耍红一1 ) + x ( 一。) ( 一z 一1 ) 】萝量)一：x ( z 小( z ) 五( z - 1 ) + 尊( z ) ) 3+ ；足( z ) ( z ) 毳( 一z 一1 ) + 9 ( 。) 蚕( z 一1 ) 】。若要保证上述系统是无掼的，即需满足贾( z ) = x ( z ) ，那么根据上式滤波器完全重椅条件可以表示为f 毳( 岩) 敏z 一。) + g z 联名) - 2 ，l 危( 2 ) 五( 一z 一1 ) + g ( z ) 蚕( 一g 一1 ) = 0 定义调制矩阵m ( g ) 为脚，二黧】类戳定义对秘谖瓤矩簿痃) ，显l l 上述完全耋楗条搏筹伶琏表拳为磊( z 一1 ) 鑫矿f 毒) = ：2 1 ，其中j 为2 除单像矩陴滤波器日的雾相位表示为h ( z ) = k ( ) + z - 1 h o ( 妒) ，其中h 。含偶系数而包含奄系数，拜镌国= 鲰。，渤一烛+ t z ，女南1 1小波分析及其应用的几个问题或者 。( z 2 ) = = 垒! ：! ：! ：! ! i 垒l 型，危。( z 2 ) = h ( z ) 2 - 。一h 。( - z ) 。定义h 和g 翁多福彼簸阵为殆嘲矧，并熙满足，r哟。一却| ；珥类戗定义声2 ) ，那么突全重梅滤波器的条枣变势p ( z ) 声( z 。y j 。定义2 2 如栗