（计算数学专业论文）用变分法证明磁单极子及双荷子的存在性.pdf

河南大学硕l 学位论文 摘要 本文肖。先分别应用直接变分法和 i 定变分法证明了f t 意( 1 p 一1 ) 维y a n g m i l l s n 论磁甲极了的存伍性和s o ( 3 ) 规范s k y r i l l c 模型双倚_ 的存任性前者推广一i m a i s o n * r l 杨存低维情况下的结论，后者对y b r i h a y e ，b h a r t m a n na n dd h t c h r a k i a n 提出的 数值解给出了理论证明另外，应用分析的技巧给出了解的渐近f 占计 关键词：磁单极子；双荷子：y a n g - m i l l s f ! t 沦；s k y r m e 模型；变分法；f i 定变分 河南大学硕上学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n de q u i v a l e n c et h e o r e m sf o r m a g n e t i cm o n o p o l e si ng e n e r a l ( 卸一1 ) 一d i m e n s i o n a ly a n g - m i l l st h e o r yb yv a r i a t i o n a l m e t h o d i tg e n e r a l i z e dt h et h e o r e n l so fm a i s o na n d y a n gi nl o wd i m e n s i o n s o nt h e o t h e rh a n d ，w eg e tt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i co f ( 1 3 ，o l l si ns o ( 3 ) g a u g es k y r m e m o d e lb yi n d e f i n i t ev a r i a t i o n a lm e t h o d i tp r e s e n tt h ea n a l y t i cp r o v eo ft h es o l u t i o n c o n s t r u e dn u m e r i c a l l yb yy b t i h a y e b h a r t m a n na l l ( 1d h t c h r a k i a n k e y w o r d s ：m o n o p o l e s ；d y o n s ；y a n g m i l l st h e o r y ；s k y r m em o d e l ；v a r i a - t i o n a lm e t h o d ；i n d e f i n i t ev a r i a t i o n a l i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学住申请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师的指导下独立完成的，对所研究酌课题有新的见解。据我所知，除 支中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过酌研究成果，也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确酌说明并表示了谢意。 学位申请人( 学位论文作者) 簦名： 2 0 关于学位论文著作权使用授权书 本人经河南大学审核批准授予硕士学位。作为学位论文的作者，本人完全 了解并同意河南大学有关保留、使用学位论文的要求，即河南大学有权向国家 图书馆、科研信息机构、数据收集机构和本校图书馆等提供学位论文( 纸质文 本和电子文本) 以供公众检索、查阅。本人授权河南大学出于宣扬、展览学校 学术发展乖进行学术交流等目的，可蹦采取影印、缩印、扫描和拷贝等复制手 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名： 2 0 学住论文指导教师釜名瑾鱼：墅三墨 2 0 p 冬fr 如 第一章引言 变分法是1 7 t t c 纪末发展起来的。f j 数学分支它卵论完整，在力学、光学、摩 擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论嚣诺多方面有广泛的应用它内容 十富，包括了固定边界变分问题、可动边界的变分问题、条件极值( 即带约束) 的变 分问题、参数形式的变分问题等 场是现实世界中的物理量与空间和时问关系的种农现形式，它是物质存在 1 的一种形态如果在空间中的某个区域内的每一个点，都对应着某物理量的一个 确定的值，则在此空间区域内存在着该物理最的场某物理肇在场内的分布可表 示为窄间位置的函数，若与时间有关则町表示为时窄的函数场巾的物理量自然 会对应些特殊的运动及能量、作用量等重要的量，比较著名的有y a n g - m i l l s 场、 k l e i n g o r d o n 场 2 9 等，其中y a n g m i l l s 场属于规范场这些场沦中有许多著名的模 型) | i s k y r m e 模型等，它们都对应着一些重要的物理现象进而对应肴一些著名的方 程，同时还包含着能量或作用量，这些元素j e 同刎画了这氆神奇的物理现象其巾 有些可以采用变分法来进行解决 变分法的基本思路是这样的，首先是方程和泛函之| 、h j 的对应火系，即方程为泛 函的欧拉一拉格朗日方程，方程的解足泛函的平衡点f 即导数为零) ，有时足极值点， 有时是鞍点基于这样的对应关系，求方程的解即可转化为求泛函的极小函数，求 极小函数有几个重要的步骤先定义可容许集( 即极小函数存在范围) ；泛函必须 满足一定的强制条件，进而1 竽在下界；然后在容许集中取极小化序列，汪明这个序 列存某空间中存在极限函数；如果该极限函数属。j ：可容许集，则结合下半连续性即 可说明该函数是泛函的极小函数，即方程的解 本文的第二章便是一个应用变分法的例子，该例的特点是泛函是正定的，强制 条件比较容易得到，i _ j 时我们可以直接对泛函求极小函数 而本文第三章的情况不同，它的泛函是不定的，此时的凼难有两个方面，一是 l 河南大学硕上学位论文 要经过处川垧军决强制性条件，：是应用变分原耻证明泛函极小解足厅程的解时，j 一般的情况有所不同需要特别指i j ；的是，在这种情况下，我们f i 能直接对泛函求 解小函数( 凶为此时泛函卜无界) ，经过处理后我们可以求出泛函的一鞍点这里的 处理思路米自于如下简单的例子求f ( x ，y ) = z 2 一y 2 的“鞍点”对于此问题， 我们可以先吲定z ，对，( ) = z 2 一y 2 求极大值点，得到y = 0 ，然后刈f ( ) = z 2 求极 小值点，得至l j x = 0 ，于是我们得到了原问题的”鞍点”( 0 ，0 ) ，这l r 我们通过先求极大 再求极小的两步实现了我们的目标，在第三章中，我们就足通过这种于段将原问题 化为两步求极小函数的问题 2 第二章 任意( 4 p 一1 ) 维y a n g m i l l s 理论的磁单极子的存在 性、等价性、渐近性 2 1 介绍 d i r a c 最早系统的阐述住m a x w e l l 方程的结构l j ，存在磁单极了，并且用它解释 了为什么电荷可以鼍子化 8 】后来，s c l l w i n g e r 1 9 】提出某种即带电又带磁的荷子的 存在性，称之为双荷子，并结合m a x w e l l 方程的电磁二重性推广了d i r a c 的电荷量子 化公式d i r a c 的磁单极子承l s c h w i n g e r 的双荷子共同的缺陷是它们都带有发散的 电能，就像库伦定律给出的那样众所周知，在非交换的规范场理论耳p y a n g - m i l l s 理 论中存存有限能节的磁单极子，其中规范群的非交换结构所提供的自同源l 乜流决定 了磁单极予和舣荷子的存在性，参看f 1 1 3 维y a n g m i l l s t _ 墼论中，有两种途径可以建迂磁单极子羽i 双衍子的存在性第一 种是构造硅式解 4 ，1 0 ，1 2 ，1 5 ，2 4 ，2 6 ，2 9 】米研究所谓的b p s 或者自对偶简化第二 种方法就是分析的手段例如变分法 3 ，7 ，1 1 ，1 3 ，2 7 ，2 8 ，2 9 】，这是因为很多问题不存 在b p s 结构 本文中，我们给出了任意( 卸一1 ) 维j 义y a n g - m i l l s ：l 型科1 6 】的磁单极子及双荷 了解得存在性及唯一性理论采用的方法源白杨亦松在 2 7 ，2 8 】中处理7 维情况时采 用的变分法，在处理高维情况时增加了一些困难，我们对这些困难一一作了解决 必须说明的是关于我们问题的b p s 方程的解的存在性唯性已经在王秀琴、杨办松 的论文f 2 5 1 中通过动态打靶法得到了解决我们的贡献在于在径向对称的假设下， 纯粹通过直接的极小化过程得到解的存住性，通过证明该解与一阶b p s 方程解的等 价性，说明了极小解就是b p s 方程或自对偶方程的解，并给山了解的唯一性的证明 需要指出的是如果没有径向对称 1 4 ，1 8 ，2 0 ，2 3 】的假设，等价性是无法得到的我们 的工作发展了m a i s o i l 1 3 】在3 维以及杨 2 8 】在7 维中的结论，并为在最一般情况下 1 6 1 3 河南大学硕! i j 学位论文 研究此类州题提供丁统一的处理方法。 接下来的论文楚这样安排的在第一节里我们将回顾r a d u 币n t c l n a k l a n 1 6 1 的 关，- f - i 意( 4 p 一1 ) 维y a n g m i l j s 犟论中的重要公式，并且列出与之棚关的二阶微分方 程组及它们的作用量泛函我们注意剑寸i 秀琴和杨亦松 2 5 】已经应_ h j 动态打靶法征 明了闩刈。偶或反自埘偶磁译极f 解的存在性及渐近估计凶此在第四节中，我们给 出了两者解的等价性，推广了m a i s o l l 【1 3 阳l 杨亦松 2 8 】在低维下的结论第五j 常，我 们证明了阶方程组的解的唯性，进而得到原问题解的唯性，并建立了同样的 渐近估计 2 2( 4 p 一1 ) 维的磁单极子方程 我们首先i 口l 顾1 4 r e a t u n t c h r a k i a n 1 6 的r 4 p ( p 1 ) l l , j 空卜的规范场理论规 范联络4 取值于自然对称群s o ( 4 p ) 的李代数5 c ) ( 和) 的两个手征表示之一，并且时空 指标p 取遍类窄指标i = 1 ，2 ，4 p 一1 及类时指标4 p 应用伽马矩阵l 以及s o ( 4 p ) 中 相应的手征算f r 4 p + 1 ，我们町以写山如下自旋矩阵 崩= 品l 差( 半) n 1 ， ( 2 2 t ) 用：鬈表示一 b h i g g sa 奇- 大1 甲丑垂= 也5 嚣曲率2 彤式可定义为f = d a + a aa ， 同时对s d ( 卸) 值q 形式u 的共变导数为d u = d u + aau + ( - - 1 ) q + 1 uaa 用，i c 表 示h o d g e 又 - j 偶，- - g 寸s o ( 4 p ) 值q 形式q 和p 的内积( ，) 定义为一t r ( qa 车p ) = 似，p ) 木1 设i u l 2 = p ，u ) ，f ( 2 p ) = fa af 协重外积) 则根据4 p 维广义y a l l 分m i l l s 理论， 我们可以得到( 4 p 一1 ) 维的电中性y a i l g m i l l s - h i g g sb p s 哈街尔顿密度 咒垂) = 丢( i f ( 2 p ) 1 2 + i f ( 2 ( p - 1 ) ) 八d 卵) ( 2 2 2 ) 以及相关的自对偶或反白对偶( b p s ) 方程组 f ( 2 p ) = 4 - 宰( f ( 2 ( p 一1 ) ) ad o ) ( 2 2 3 ) 4 旦堕盔兰堡生堂垡堕塞 在 1 6 j 中，如下的径向对称解被用来得到( ，l p 一1 ) 维的t 弘位电荷b p s 磁甲极f 解， 伽。，耻( 掣) 苹钞币刮小必i ! 嚣，( 2 2 其中r2 瓜，叠 2 z i ，常数， 0 表j h i g g s 场的真空期掣值，标量函数( ，) 和，。( ，) 满足边界条件为 r _ o l i m ? u ( 7 ) = 1 ，l i m 埘( 7 ) = o ：l i r a ，h ( r ) = 0 ，l 。i m 。h ( ，) = 士1 ( 2 2 5 ) 考虑剑( 2 2 4 ) ，结合( 2 2 2 ) ，一维磁单极子能量密度可写成 占( w ， ) ( r ) = ( 1 一叫2 ) 2 ( 川) f 助( ，) 2 + ( 印一1 ) 掣、) r ， + 品( ( 1 - - w 2 ) 州孵+ 绷2 ( 1 - w 2 ) 2 沪1 ) 彬2 丸2 。( 2 删 ( 2 2 6 ) 的欧拉一拉格朗日方程可写为 ( 厂2 ( 1 w 2 ) p 1 叫7 ) = 2 p ( 2 p 1 ) ( 1 一叫2 ) p - l 叫2 ，z ， ( ( 1 一叫2 ) 2 ( p - - 1 ) 1 3 7 ) 7 = 一2 ( p 一1 ) ( 1 一叫2 ) 2 p 一3 ( 叫，) 2 加 一i p - ( 1 _ w 2 ) 2 p - 1 w - i - 1 2 ( 1 - w 2 ) 2 ( p - 1 ) 2 埘，( 2 - 2 7 ) ( 2 2 6 ) 在( 0 ，。c ) 积分即为作用量泛函，注意剑木例的作用量泛函与能量泛函相同， 后义均称为作用量泛函上述方程组在边界条件( 2 2 5 ) 卜的解( 鲫， ) 可以通过对 该作用量泛函求极小解米得到 2 3 应用变分法证明解的存在性 方程( 2 2 7 ) 对应的作用量泛函为 ，。o e = ( 叫，九) ( 7 ) n ，0 我们考虑如下边界条件 ( 2 3 1 ) 的) = 0 ，1 i m ( r ) _ = 1 ，慨叫( 小一1 ，l i m 。w ( r ) = o ( 2 。3 。2 ) 5 河南大学硕士学位论文 由变分原理，如果我们能够找剑住边界条件( 2 3 2 ) 下的作用量e 的极小函数我 们将得剑方程( 2 2 7 ) 、( 2 3 2 ) 的解 首先，不欠般性，我f f j 可以假设容许集里的函数 和 满足盘卜条件： 0 h ( r ) l ，0 似( ，) 1 接下米，为了简便，泛函e 可以整理成如下形式 即m = 卜 筹( 2 + 2 p ( w ，) 2 + 等一c w ，) 2 卜2 p 印q 2 h 2 ( 一c w ) ) 2 ) 3 司 具甲 日= ( 1 一w 2 ) p h ： i y = f ( 叫) = z ”( 1 一t 2 ) p 一1 d t ， 。叫1 令 肛小唧- l d t 1 i m h ( r ) = 0 ，l i my ( r ) = 1 ，l i m 。w ( r ) = b ，l i m w ( r ) = 0 ( 2 3 4 ) r 一r 一。 r ur _ 方程( 2 2 7 ) 变为： ( r 2 h ，) ，= 2 p ( 2 p 一1 ) 旷- 1 ( ) 】2 h ， w = f - 1 ( w ) ( 1 一( f 一1 ( w ) ) 2 ) 1 - p t 1 2 h 2 一塾( 1 一( f _ 1 ( ) ) 2 ) 2 p _ 1 】 为了使上述变换可逆进而得到原问题的解，我们需要严格l i 等式( 后文将证 明) ： 0 0 和正整数p l ，泛函俾3 圳存在极小函 数( 日，) ，且该函数满足边界条件似彳和不等式偿3 剀另外可以证明f ，删 在7 0 时严格递增( 递减) 定理的征明将通过六个引耻术完成 首先定义可容许集如下： z = ( 日，w ) i h 和w 在( o ，。) 的任一紧子区间上绝对连续且满足( 2 。3 。4 ) ，0 i 矿 b ，以及e ( h ，w ) 0 上非减 ( i i ) 玩满足方程 ( r 2 磁) = 2 p ( 2 p 一1 ) 【f - 1 ( i ) 】2 风，r 磊1 ，礼= 1 川2 一 ( 2 3 7 ) 证明定义 p 。( r ) = 0 r 击， l 咒( r 一击) 石1 r 杀 7 河南大学硕士学位论丈 于是我们可以断言 ( ，h 。i “) ) 仍然是极小化序列事实上1 i me ( ，。日。1 ) n x h i ，我们1 只需要讧：明l i me ( 。e 。i t , 。) m 计算 挫姿e ( m 风i 圪) ：旦娄z 。万, r 2 j 1 2 ( p ：日j 2 + 2 p p ，l h ，。以】妇+ 。l i m 。e ( h j “) 己 卜，l i m 。弭7 2 f 2 ( p , 2o 而2 q 2 | r - 2 “t 卉， ：= 1 1 + 1 2 因为当几_ 。时， 因止匕 ”r 2 h ：( p ：) 2 办n 2 ： 丽7 r 2 d r = 一。 z 栩2 办n 20 丽川 ，1 _ 0 ，( n 一。) 另一方面当咒_ 时， 如鲁怒n 上吾2 一磁”。 因此我们可以认为 - 3 r j 时，风( r ) = 0 对固定的兕= 1 ，2 ，我们考虑如下极小问题 m n 。h m i 以ne ( h ，) ( 2 3 8 ) 其中可容许集为： = hj h 在( o ，。o ) 的任一紧子区间上绝对连续，当厂j 时，日( r ) = 0 ，h ( o o ) = 1 以及e ( h ，) 。) 设 吩) 是俾3 矽的一个极小化序列，同时假设o 如( r ) 1 。我们可以证明对 任意o n b 0 0 ， h j 在1 ，2 ( o ，6 ) 里有界于是 b ) 有一个子列( 方便起见仍 8 河南大学硕i j 学位论文 记为 7 0 ) ) 及扈。w 1 , 2 ( “j6 ) ，使得在1 y 1 2 ( “厶) 中，h d _ 赢( 弱收敛) 另外我们 有膏。疋，以及e ( 疗n i ，“) = 小。 我们将说明h 。( ，) 在( 0 ，。) 一定是非减的 反设存在 ，1 玩( 7 2 ) ，r 【r 。， r 2 ) 因为鼠( 寺) = 0 ，我们可以找到一个，o ( ：r 0 反( ，厂o ) ，r ( ，。o ，2 ) 构造新的函数 ， 1 风( ，0 ) r ( r o ，也) ， h ( r ) = i i 风( r ) ，( ，0 ，r 2 ) 我们容易得到h 以及e ( h ，眠) e ( 风，i ) = m 。这显然是不可能的 综上所述，- 7 n ( l ) 满足( i ) 和( i i ) ，引理得证 设 ( 日。l “) 是问题( 2 3 6 ) 的一个极小化序列，并满足引理2 3 2 可以证明对 仔意一对实数o a b o 。， ( h n ，i ) ) 是w 1 , 2 ( n ，6 ) 中的有界序列根据对角线 选取法以及紧嵌入定理可知，存在一对函数( h ，w ) l 。1 。2 、0 ，o o ) 以及了列( 仍记 为) ( 风，) ) 使得对任意的o ( 0 ) 而日( ，) 也具有同样的肚- - r 贡 所以，极限塑6 ( ，) 2 ，7 l 存在并且r 7 l o ，1 】 引理2 3 4 | 7 l = 0 ， 证明容易得到不等式 l 训b l 而1 ( 厂e 眠) ) 1 2 于是我们有 l i l i lw ( r ) = b r ，0 由f ( 叫) 和f 一1 ( 彤) 的连续性可以得到 1 i 1f _ 1 ( w ) = f 一( 1 i n tw ) = 1 r u r u ( 2 3 1 0 ) 假设- i - ，7 l 0 由俾3 圳和俾。5 j 可知若r 0 充分小，可使( r 2 日，) ， 0 又因 为日， 0 ，所以l i i i l ，2 h ，存在我们可以n 言l i m 1 2 日7 = 0 否则的话可以找到一个 合适的e 0 ，6 0 ，使得厂2 h ，2e 0 ( ，( 0 ，6 ) ) 这与，h 7 2 ( o ，。c ) 矛盾 根据以上的讨论，应用l h o s p i t a l s 法则及方程俾3 圳和俾3 1 0 ) ，我们可以得 到极限 觋嘶) ：觋掣 ：l i i i l ( r 2 h ，) ， r u = 栅l i m2 v ( 2 p 一1 ) f _ 1 ( w ) 】2 h = 2 p ( 2 p 一1 ) 7 7 1 0 因此可以找到适当小的6 0 使得 - j a r ( 0 ，6 ) 时，r h 7 ( 7 ) ? 7 1 应用上面的不 等式，我们有 h ( r j 圳= r 2 掣i r ) d r r h l o g ( r t r l ，2 ) o n r 2 正 而之前我们得到当r _ o 时，日( r ) 一叩l 0 ，1 1 ，这显然是个矛盾，引理证毕 河南大学硕士学位论文 引理2 3 5 w ( ，) 是非增函数 证明假设存在0 n b 使得i 矿( “) 0 使得w ( r ) 0 事实上，如果l v ( r 。o ) = 0 ， 则w ( r ) 在r = 7 o 点处的局部极小值，因此w ，( ，。o ) = 0 ，根据常微分方程初问题解得 唯一性，我们可以得到w ( r ) 三0 这与边界条件嬲w ( r ) = b o 矛盾 注意到( 7 o ) 0 ，我们有 7 7 2 h 2 ( 伯) 一三( 2 p 一1 ) ( 1 一( f 一1 ( w ( r o ) ) ) 2 ) 助一1 o 0 考虑到 影( ，o ) = w ( r o ) ， 我们有，一， 0 如果当r _ 。时，w ( r ) 叶0 ，则( 日，影) z ，而e ( h ，w ) e ( h ，影) ，这显 然与我们之前得到的e ( 日，w ) m 矛盾 河南大学硕士学位论文 由于当，一。时日( ，) _ l ，于是存在 0 使得 卵2 胃2 ( ，i ) 一去( 2 p 一1 ) ( 1 一( f 一1 ( 矿) ) 2 ) 印一l o ， r r 。 假设w ( ，) 在r = r + ( n o ，) 取得局部极小值，则0 ( ，4 ) 。 0 因此，彤( ，) 在( n o ，。) 上的极小值点的集合一定是 一些孤立点假设当r _ c c 时w ( r ) 扣0 ，则彤( r ) 在( r o ，。) 上的极小值点有可数 个，记为n ) 设，= r 1 取巧 r j ) 满足 哆= i n f r o 】1 ( 7 ) 0 ，于是存在区间( ，j ，哆- t - 国) 使得在这个区间 上彬( r ) ( 巧) 故岛：= w _ 1 ( 彤( 哆) ) n ( 巧，巧+ ，) 定义哆= s u p r 岛) ，我 们有( ，) 形( 弓) ( r ( 哆，哆) ) 引入一个新的函数形( r ) ? 帆) ： w ( 呓) l ( r ) r ( 哆，哆) ，j = 1 ，2 ， r 岳u 墨- ( 巧，哆) 应用与文前类似的方法我们可以得到e ( 日，v v ) 0 ， 当r ( 哆，哆+ 6 ) 时，w 协。) 0 于是存在一点哼( 哆，巧+ ，) ，使得w ( 哼) = ( ，；) ，这与哆的定义矛盾。 1 3 河南大学硕士学位论文 由1 1 吖( ，歹) 0 使得当，( ，歹，乡+ 6 ) 时i 矿( ，) 哆+ 1 使得1 1 7 ( ，) = b 如果这个结论是错 的则对于所有的，巧+ l ，w ( _ r ) 满足方程俚3 1 1 ) 由方程俾3 1 i ) 我们可以得 到当， ，j + l 时i 矿( ，) 0 然而w 7 ( ，；+ 1 ) = 0 ，于是对于所有的厂 ，：+ 1 我们 有i ，v ，( ，) 0 特别的，w ( ，) ( 哆+ 1 ) 0 ，( ，i ；+ l ，。) 这显然是错误的 记g = w _ 1 ( 彤( 形) ) n ( 哆，厂，) 显然g 砂设，。7 = i n f r g ) 则对于， ( ，乡，) 有( ，) 0 ，r ( 哆，) 因此，w 7 在( ，7 ，厂) 仅 有一个零点，记为哥而在，= 哥，训( r ) 取得极小值，并且w ( 巧) = ( 哆) w ( 哥) 根 据 哆) 的定义，我们立即可以得到7 = = 嘭+ 1 这样就证明tr ( 哆，哆+ 1 ) 时，w 协) o ，方程俾3 1 1 ) 和极限w ( r ) 一b ，r _ a + ，我们可以找到一 个艿 0 ，使得r ( a ，a + 巧) 时，w ( r ) 0 特别的，7 ( r ) 在a ，a + 6 ) 是增函数又 由l y 7 ( r ) 0 可知，当r n + 时，w 7 ( 7 ) 将趋近于一个有限数或负无穷 我们首先来排除墨3 彤( r ) = o 的可能性事实上，如果它成立，则i 7 ( r ) 0 1 4 河南大学硕士学位论文 ( | r ( n ，a + 6 ) ) ，这与前文得到的l 矿7 ( r ) 0 相矛盾 于是可以找到_ r 7 2 ，6 0 使得当，( n ，a + 巧) 时，w 7 ( ，) 2 q 2 ( r a ) 应用方程俾3 1 1 ) ，我们可以得到如下估计： 0 w ( r ) r ( a ，a + 6 ) o i 格递增( 递减) 需要说明的足，根据胤范场伍原点，= 0 的正则陀，( 2 3 2 ) 巾彬的边界条件丌j 以改为 ；鸳t r ( r ) = 一1 ，l 。i r a 。w ( r ) = o 这种形式的方程的解同样u j 以有( 日，) 来牛成即。( ，。) = f 币q 两，w ( r ) = 一f - 1 ( w ) ，它们给出了原始问题的另一组非甲，j 、l 的有限作用量解，彤( ，) 满足上述 边界条件= j = 目是递增函数 2 4 等价性定理 事实上，e r a d ua l l dd h t c h r a k i a n 【1 6 】已经注意剑( 2 2 6 ) 台如。f b o g o m o l n y i 4 性质： c ( w ，h ) = 士2 ，7 黑( ( 1 一妒1 ) + 2 p ( 1 - - w 2 ) 2 ( p - 1 土杪2 + ( 2 p - 1 ) ( 矗【( 1 一) p - 铡7 千学) 2 ( 2 4 1 ) 它给出了作用量的下界 e ( w ，h ) = ( 叫，h ) ( r ) d r 芝2 7 ： ， ，o 若要达到这个下界，当且仅当( 铆，h ) 满足如下一阶方程组 以及边界条件 w 74 - ? 7 叫 = 0 叩7 ( ( 1 一叫2 ) p 一1 ) 7 千2 p r - 1 ( 1 - - w 2 ) p = 0 ( 2 4 2 士) l i l 臻( 1 一w 2 ( r ) ) p - 1 九( r ) = 0 ，l i l 职w ( r ) = l ，l i m ( r ) = 4 - 1 ，l i mw ( r ) = 0 ( 2 4 3 4 - ) r ur + ur - o cr o 。 事实卜，方程组( 2 4 2 ) 足方程组( 2 2 7 ) 的自时偶或反自对偶b p s 方程组容易证 明( 通过求导即j 得到) 方程组( 2 4 2 士) 自然满足方程组( 2 2 7 ) 在木节巾，我们将 1 7 河南大学硕士学位论文 证明4 ；边界条件( 2 4 3 土) 下，疗程组( 2 2 7 ) 的解也满足房程组( 2 4 2 土) ，即：者的等 价件 根据第3 ：节，我们有如卜定理： 定理2 4 1 方程组偿2 秒有非平凡的有限作用量解( ，。( ，) ，叫( ，) ) 满足边界条 件( 2 4 3 + ) 而且 ( ，) 0 ，0 0 ( 2 削) j n 甲 对于定理中的二阶方程的解( ，w ) ，设 尸= 叩7 。2 ( ( 1 一w 2 ) p 一1 友) 7 一( 2 p 一1 ) ( 1 一w 2 ) p ， q = ( 1 一w 2 ) 2 ( p 一1 ) 7 + q ( 1 一w 2 ) 2 ( p 一1 ) w h 如果我们能证明p = q 三0 ，则( ，叫) 将满足反自对偶方程侣彳纠 首先，我们做如下直接的计算： 以及 = 警赭q ， q 7 = 史学尸+ p 一訾 q ， c 2 。4 5 ， 尸= 掣2 p + ( 等+ q 危，p 7 注意到，在第? 节里，我们有 r 2 ( ( 1 一叫2 ) p _ ) 7 = 0 ( 2 4 6 ) 河南大学硕士学位论文 于是 l i r a p ( r ) = 0 ( 2 4 7 ) r u 如果- p ( r ) 0 ，我们可以假设在r 0 上p ( ，) 0 事实上，如果存在，o 0 - p ( r o ) = 0 ，则根据方程偿名纠，偿。彳，矽以及极大值原理，我们可以得到p ( r ) = o ，r 0 ，r o 再由常微分方程初值问题解唯一性可知在， o 上p ( ，厂) = 0 于是，我们首先假设尸( r ) 0 ( r 0 ) 由俚4 。纠可知p 没有局部极大值 由俾彳矽知尸是增函数因此，p 7 0 ，q 0 阻偿名纠) ，考虑到7 0 及偿，名。驯，我们可以得到 q ，坠掣p o ，r o ， 即q 严格递增， 另一方面因为 q = ( 1 一w 2 ) 2 ( p 一1 ) 叫7 + q w h ( 1 一w 2 ) 2 ( p 一， 考虑到边界条件，可知对于较大的r ，w 7 ( _ r ) 0 这显然是不对的 类似的分析，如果p ( r ) 0 ) ，我们可以得到p ，0 ，q 0 以及q 7 o ，使得对 于较大的7 ，( 1 一w 2 ) p - 1 w 一啦这与有限作用量条件矛盾 因此，我们证明了p 三0 由仁名纠可知q 三0 ，因此( a ，w ) 是方程但名影的一个 解同时，由方程( 2 4 2 4 - ) 和( 2 4 3 4 - - ) 的结构易知( 一h ，w ) 是方程( 2 4 2 一) 和( 2 4 3 一) 的 解 最后，对于标量场上满足( 2 4 2 + ) 的一对( h ，w ) ，作用量e ( 伽，h ) 可以写成 e = z 2 p ( 1 - w 2 ) 2 。( w 4 - q w h ) 2 + ( 2 p 一1 士2 7 7 ( 1 一 2 田 w 2 、p 一1 h i 7 ( 1 一 工二一 ) 2 p k0 一l 卫妒r 产 ) 旺 河南大学硕士学位论文 于是可以看出上文中得到的自对偶或反自对偶解可使e 达到最小值m i l l e = 2 q 定理证毕 2 5 解的唯一性定理 接下来我们研究解的唯一性问题 定理2 5 1 前文中的自对偶或反自对偶方程组( 2 4 2 土) 在边界条件( 2 z 1 3 土) 下 有唯一有限作用量解( ，叫) 或( 一h ，w ) ，并且0 o ( 1 一e 矗) p 。云，】，一 其中 于是 ( 1叫p - 1 u t 弘= 萼掣 厶一1 + 喜华 ( 1 一e u - ) p 一( 1 一e u ) p 】，( 2 5 1 ) 一f i - i + 喜学 p r l，r 1 ( 1 一e 矗) p 一1 舀， ，一 ( 1 一e 札) p 。1 u ，】，a d r = r ( r ) 1 2 + ( 1 一e 矗) p 一面7 一( 1 一e “) p 一1 7 】2 d r ， ，r o ，r o ( 2 5 2 ) 其中 r ( r )廿川弘卜u ，】+ 喜半) 一( + 詈学) 我们可以断言 l i mr ( r ) = l i mr ( r 1 = 0 r o ur _ 。 ( 2 5 3 ) 河南大学硕士学位论文 下证明之，由俾4 引，我们有 r ( ，) = 一2 r ( 1 一面2 ) p 一1 f + 2 , j ( 1 一2 ) p 一1 h 】 ( 1 i l 叫2 一霎学)一( ，r 甜一喜学) ( 2 4 3 + ) 撇f ，l i u m r ( r ) = 0 因此我们需要证明偿5 - 剀中的第二个极限 设 则现在我们需要证明 p - 1 s ：i n 叫2 1 + - 、 j ：j ；= l ( 1 一w 2 ) i 2 雪：= n 。以l + 曼学 ( s ( r ) 一( ，) ) ( s ( r ) 一雪( ，) ) 一。，( ，_ 。o ) ， 首先，我们假设 s ，( r ) 一s v ) 0 ，( r o ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 否则得话，如果存在r l 0 使得