（应用数学专业论文）grosspitaevskii方程在定常解邻域内的稳定性.pdf

摘要 7 3 8 2 7 2 本文讨论了一定初边值条件下，二维有界区域n 上的g r o s s - p i t a e v s k i i 方 程：一i 害+ ”+ 蛔( 1 一川2 ) = o 。我们证明了其混合问题解的存在性及全局适 定性。在q 是非单连通区域时，得出了当参数a 很大，混合问题的初值在特定的 非平凡定常解邻域内时，g p 方程的解是l y a p u n o v 稳定的。 关键词：g r o s s p i t a e v s k i i 方程，g i n z b u r g - l a n d a u 方程，存在性，全局适定 性，l y a p u n o v 稳定性 a b s t r a c t w bc 。n s i d e rt h eg r 。s s _ p i t a e v s k i ie q u a t i 。n ：一i 塞+ 口+ a ( 1 一i 钉1 2 ) = oi n ab o u n d e dd o m a i nqw i t ht h es p e c i f i cb o u n d a r yc o n d i t i o n i ti ss h o w nt h a tt h e s o l u t i o nt ot h em i x e dp r o b l e me x i s t sa n di sg l o b a l l yw e l l - p o s e d f u r t h e r m o r ei na n o n s i m p l ec o n n e c t e dd o m a i nq t h i ss o l u t i o ni ss t a b l ei nt h es e n s eo fl y a p u n o v w h e nt h ei n i t i a ld a t ai sg i v e ni nt h en e i g h b o r h o o d so fs o m en o n - t r i v i a ls t a t i o n a r y s o l u t i o nw i t hl a r g ep a r a m e t e ra k e y w o r d s ：g r o s s - p i t a e v s k i ie q u a t i o n ，g i n z b u r 分l a n d a ue q u a t i o n ，e x i s t e n c e ， g l o b a l l yw e l l - p o s e d ，s t a b i l i t yi nt h es e n s eo fl y a p u n o v 第一章引言及主要定理 1 1 有关g r o s s p i t a e v s k i i 方程的研究背景 g r o s s - p i t a e v s k i i 方程为以下形式的非线性s c h r o d i n g e r 方程： 日 一i 等+ a v + a 口( 1 一l 1 2 ) = 0 ( 1 1 ) 其中口( z ，t ) 是定义在r n r a ：的复值函数，z = ( z 1 ，。2 ，x n ) 是维空间变 量，t 代表时间，i 为虚数单位，a = 南。 i = 1 。2 这类方程频繁地出现在物理学的各个领域，由于它具备非常多的物理学背 景，因而有着深远的研究价值和广阔的应用前景。如非线性光学，流体动力学， 超流体学及b o s e 冷凝现象等等。 在g p 方程解的存在性的研究方面，我们研读了f a b r i c eb e t h u e l 和j e a n - c l a u d es a u t 的文章 b s 】。文章 b s 】考虑了二维空间中，a = 1 的g p 方程，即 在f 1 1 ) 中，取n = 2 ，a = 1 ，得到如下形式的方程： 一i 害+ ”州卟n = 。 ( 1 2 ) 其州州雠义榭r 上的复值溅= 喜鑫o x ? 。 在特定的边界条件下，【b s 】证明了含有有限能量并且移动速度极小的行波 解的存在，还给出了解的涡漩结构。行波解的形式为： ( z ，t ) = v ( x l d ，z 2 ) 式中的0 是定义在r 2 上的函数。c 0 ，其物理意义为：波只在一个方向( 在此 为z 1 方向) 上传播，传播速度为c ，在这里是充分小的。 如果”是方程( 1 2 ) 的解，那么定义在r 2 上的函数i 就是下面这个方程的解， 砘差瑙州1 邓1 2 ) ( 1 3 ) 2 g r o s s p i t a e v s k i i 方程在忿常解邻域内瓣稳定毪 相反，m ( i 3 ) 的每个解都可得出( 1 2 ) 的一个行波解。 b s i 中考虑含有有限能量 戆鳃，这鬃茨藐量是g i n z b u r g - l a n d e m 筑趟_ ，形式热f ： 耶) = 厶i i v ”1 2 + i 1 ( 1 却1 2 ) 2 如， 许多学者对方裰f 1 3 ) 俸了深入静磅究，包括解的存在健激及有限麓量解的 系统稳定性，在数值成是形式上都有许多的结果。具体可以逝阅参考文献中的 蠢关资料，翔r o b e r t s 及其合露卷的文章【g r 】、【j 歉1 、 j p r l ， p i s m e n 和r u b i n s t e i n 的文章l p r 】，p i s m e n 和n e p o m n y a s h c h y 的文章【p n l ， k u z n e t s o v 和r a s m u s s e n 的文章【k r l 】、 k r 2 i 。他们的工作在形式上证明：含 蠢毒隈麓爨豹孬渡瓣，在移动速度c 是够套戆戆猿下楚存在载。薤对丈些戆速 度参数c ，则没有类似的结论。精确地讲，“孤立子”的速度c 臌当限制在0 与t t l d , 的一个值之间，在 b s i 中这个值岛= 、，恒。在c 趋近0 时，存在两条很筑的旋转 方海楣反瓣穗互分离懿平孬满流柬。当馥l 近c 3 霹，幸亍渡瓣京重薪赋予系数螽， 与k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i ( k p l l 方程的二维解很相似。 以上提到豹文章揭示了勰具有两个漩涡点，农这两个点蠹f 窖) = 0 。在每个 漩漏点，如果定义一个度的概念来刻画漩满的强度稻方向，郧么这两个漩满的 腱分别是十1 和一1 。即方向相反强度相等的两个漩涡。而两个漩涡之间的距离 在e o 射，会变得缀大，难亵大，l 、与c o 鬻狳。 在以下特定的初值和边德条件下，对g p 方程的初边值问题， b s 】证明了 有限能量解的存在饿及解的全局适定性。 茳陋p 卜。 在r 2x r 中、 当吲一+ o 。， ( 1 4 ) 为了将以上方程转化为标准形式的非线饿s c h r o d i n g e r 方程，设v = 1 十饥，那么， 澎矧一。辩，u 一0 。闷题变为： f 学i 她+ 在叭r 中， ( 1 5 ) l 戳( z ，0 ) 一u o ( x ) 、。 其中 f ( 嚣) 一一( 1 + 珏) ( | 钍t 2 + 2 置8 钍) = 一互1 抛0h 、- 珏，露) 第一章引言及主要定理 3 h ( u ，面) = i u l 4 + 4 r e u l u 2 + 2 ( r e ( u 2 ) + l 钍j 2 ) = “札1 2 + 2 r e u ) 2 p 回的定理让明jj 哞的存在性发全局适足性。 定理1 1 ，1 设h 1 ( r 2 ) ，问题( 1 5 ) 存在唯一的解c ( r ；日1 ( r 2 ) ) ，并 且满足能量守恒： 邵) = 厶i v 酬2 + 扣( t ) 1 2 + 2 r e u ) 2 如 = 上。i v 札。1 2 + 扣。1 2 + 2 r e 彬如，忱咄 1 2g p 方程解的存在性及全局适定性 我们考虑上节中提到的一般形式的g p 方程； 一i 赛+ + 加( 1 一i u t 2 ) = o ( 1 6 ) 其中口( z ，t ) 是定义在q r + 上的复值函数，这里qcr 2 ，是区域q 的单位步 法向量，a 是大于0 的参数。z = ( x 1 ，x 2 ) 是二维空间变量，计e 表时间，i 为虚数单 位，= 喜螽，在此对区域q 是否单连通无需加以限制。 我们考虑边界条件雾= 0 ，研究的g p 方程所对应的混合问题如下： 荔i o ! v ! 。l + a w 1 1 1 2 = 。套q o f t x f p r + 中d ：q , c p 。， iu ( 。，0 ) = v o ( x ) 通过设 = 1 + “将方程( 1 7 ) 化为标准形式的非线性s c h r o d i n g e r 方程之后，我们 可以得到方程解的存在性及全局适定性结果： 定理1 2 1 设u o h 1 ( q ) ，混合问题存在唯一的解札c ( r + ；日1 ( q ) ) ，并 且满足能量守恒： 踯) = 上陬1 2 + 扣卜2 m 删2 如 = 上i v 奸i + 扣铲+ 2 胁0 ) 2 蛾v t e r + 4g r o s & p i t a e v s k i i 方襁在定常解邻域内的稳定性 1 3g p 方程谯定棠簿郐域内的稳定性 在得到以上的g p 方程解的存在性以及全局适定性的结果后，我们希 望寻找附录中挝到的g i n z b u r g - l a n d a u 方程f a ，4 ) 和上一节的g r o s s - p i t a e v s k i i 方 程( 1 7 ) 两者的解之间存在的关系。g 。l 方程的解是g p 方程的一个定常解，这一 点庭示我粕：在g p 方程中瑟绘豹朗篷锄在穗对瘟酌g b 方程翡瓣懿近旁对，鄹 么是否其舂l y a p u n o v 稳, 定性? 在熬，考虑至l g - 己方程豹一炎特定解懿存在缝，我 们要适当增加区域q 的限制条件：q 为二维有界多连通区域，边界是g 3 光滑的。 下面，我们先给出稳定性的定义： 定义1 3 。1 u ( x ，t ) 在畎( 。) 邻域是l y a p u n o v 稳定的等价于对任意的e 0 ， 存在5 0 ，使褥对任意满2 = u ( z ，0 ) 嚣氓( 茗) 固静黼数缸霉，t ) ，有u ( x ，t ) b f 蛾( 茗) ，) ，建强餐薄弱t 0 箴立。 要注意的楚，以上定义中的邻域魑在舻( q ) 范数的意义下。 定理1 3 2 ，二维有界多连通区域q ，边界伊光滑，g - p 方程( 1 7 ) 的解v ( x ，t ) 在 定常解西 ) 邻域内是l y a p u n o v 稳定的。 在此，我 f ： 爱强调：这里的定紫解局限于文章【j m z 】中对应适当大a 戆非 孚豆释：奴= ( ；玖，氏) 。这嚣形式瓣熬瀵跫定理a ，1 l 及援矮a 2 ，瑟在其豫瓣定 常解邻域内的稳定性，本文中不吉垂论。 第二章g 。p 方程解的存在性及全局适定性定理证明 在万程( 1 。7 中，傲蜇= 1 + 珏褥万程鬣为称堰彤霞静菲笺经s 馥r o d i n g e r 方程， 形式如下： f 雾掌卧妨差：篡鼍， 【“k o ) _ u o ( x ) 其中 f ( “) = 一a ( 1 + 私) ( i 虹 2 - i - 2 如珏) = 一虿a 否o 云珂( 氍，面) h ( u ，面) = i 训4 + 4 r e u l u 2 + 2 ( m ( 2 ) + l 让1 2 ) = ( i “1 2 + 2 r e u ) 2 鼓上漓台淘题解的局部存在性、瞧一往，我销瑶缢由文章【k 】中k a t o 的结 论得出。 对j # 线蛙s c h r o d i n g e r 方穰： z 甭o u = a u + f ( “) ( 2 2 ) 其中t 0 ，嚣r 2 ，( 奶= f o 链是密交数f 定义熬n e m y c k i i 爱 子，蓑f 溃是： 1 在实函数意义下，有f c 1 ( c ；c ) 并j l f ( 0 ) 一0 。 2 。i f 篮) m ( 1 + 蟮l 一1 ) ，c ，1 p 0 ，t 仪与胁怯t 密关，存在以上方程的唯一 解u c u ；h 1 ( r 2 ) ) ，满足u ( o ) 一i j 5 ，其中，= 【0 ，卅。 霹予我稻现在考虑豹舂雾送壤q 臻及慰瘟豹逮赛象赞，我髑霹绫炎馁遣褥 出局部存谯性和唯一性成立。 现在娶证明全局存在性，我嚣 只需绘出珏0 ) 在1 ) 范数下豹全局先验有界 彳鑫计。戬下运算只愚形式上的，其俸斡徽法可敷参考 k i ，镄菇先把锑筐光滑 化，并且构造局部的盯2 解。 弓l 理2 + 1 1 。萋u 是g - p 方程戆舞，那么l v “l | ：秘关予楚一致鸯努的。 6g r o s & p l 叛e v s 薹( 1 l 方程在寇常解邻城内蠡尊稳定缝 证盟：在2 1 ) 的方程两边桊以暖： i u t 砒= a u 一啦一a ( 1 十札) ( 阻| 2 + 2 r e u ) 丽e 令链= 珏l + i u 2 ，e l ，瓤2 为实菹甄数，然爱凝上式实帮。 o 嚣a u l 札+ a u 2 - t 一) 、( m 1 2 + 2 r e u ) ( u “+ u 1 钍1 t + “2 u 2 t ) 0 = a u - 恤。+ 她恤。一：罴( u + 就l + 2 2 在q 上关予空闻交蘩嚣积分，先处瑾上式舂边第一顼，由分部积分，褥： z 蛳m 加厶警u u d t - z v v 地如 根据边界条件：在搠上，器一0 ，那么铬= 努一0 ，所以，边界积分项为o ， 敞： 一f lv u l * v 岫= 一；z 妄c v 2 出= 一篆上；c 叫2 如 瓣理，右逮瓣第二顼： 上她嘞出= 厶等删一f v 蚶v 啵 疑过葡样瀚处理， 一v u 2 - v u 龇如= 一吾1 五瓦0 ( v “。) 2 出= 一磊d 五互1 ( v “。) 2 如 故，在q 上积分的结聚为； 条上；廷v 材+ ( v 锃z ) 2 】+ ：嗽+ 遽+ 2 珏t ) 2 如一。 速说明能鬣函数关于时间是不变化的，我们得到： 点| v t 1 2 + 扣婶) 1 2 + 2 盛婚) ) 2 玉 z l v 鳓 2 + 歪1 - ( 1 u o l 一+ 2 r e o ) 2 螽，魄黟， ( 2 固 第一章g - p 方程瓣豹存在程及垒萄适定性宠壤证朝7 这样，就得到t i i v u ( t ) i i l , ( ) | 9 致先验有界估计，且能量是守恒的。 引瑶2 1 2 i l u l l 量，m 1 ，( p 一2 ，3 ，4 ) 蠢莽，盈满足下式： 8 牲l 瞧，f q sc ( e ( o ) + | q | ) 其中g 与a 有关。 证明：我 j 先爨计恻l 刍，由初等不等式，蠢： 上( 川2 ) 2 如一( i 口1 2 - 1 + 1 ) 2 如2 ( 上( 川2 一1 ) 2 如+ i q i ) 因为矗( m 2 一1 ) 2 妇包含于髓鬣泛函中，且能量满怼守恒律，敌可以由初始时刻 能量e ( o ) 控制。而n 楚有界区域，所以l ! t ( n ) 是有界的，可以被初始能麓e ( o ) 与 区域测瘦l q l 嚣顼之秘豹豢数接控割。却= 2 ，3 ，t l v i g 可以瘗燃良 粥+ q | 寒 控制。根据钍= 一1 ，得到： 上 珏1 4 出= z 一，尹a z 0 ，对于任何a 知，方程( a 4 ) 存在解叽，其中吼c 2 ( 豆) ，并且此解 满足以下条件： 中 ( z ) = l 玖( z ) e 坩a ( 1 i ms u pi ( z ) 一1j = 0 z n 并且映射以：豆一s 1 = r 2 _ - z 与口。同伦，此外，解在某种意义下稳定，即 存在一个常数c 0 使得 c ( 西 ，皿) c | | 皿l i 备，( s 2 ) ( 3 3 ) 证明：注意到这个命题与定理a 6 很类似，结合我们后面证明的需要，在此 只证明( 3 3 ) 式。 1 0 g r o s s p i t a e v s k i i 方程在定常解邻域内的稳定性 首先，我们注意到方程( a 4 ) 在变换：圣( z ) 一e 把币( z ) 下是不变的，其中c 是 任意的实数。那么从方程的任意一个解叭，可以得到一簇解峨= e i c 垂( x ) ，我们 将氓看作函数空间中的一点，称这一簇解是解圣 的轨道。那么在畎处，轨道的 切空间记为t ( 峨) ，法空间记为( 叽) 。切空间t ( 叽) 可以用一阶变分刻画： 华i 。：2 一p a_ i c = 0 2 所以，( 氓) 中的元素= 妒+ 枷，要满足的一个条件： r e 上i 屯西出= 上( 妒一”) 如= 。 ( 3 4 ) 因为沿着轨道的方向，对一簇解，能量泛函是不变的，所以在我们考虑二阶 变分时，只需考虑法向。即以下考虑的皿要求满足条件( 3 4 ) 。 接下来，我们考虑一个旋转变换： ( i ) 叫也，( 善) 其中 阶( 篇等) 上面的变换可表达为： j 妒( z ) = ( z ) c o s 以( 。) + 妒( z ) s i n o x ( x ) i 砂( ) = 砂( z ) c o s 目 ( z ) 一( z ) s i n 0 ：( x ) 在以上变换下，还注意到 iu ( g ) = ( z ) c o s p ( z ) i ( z ) = i 玖( 。) s i n 以( z ) 我们可以将( 3 2 ) 的二阶变分厶( 峨，皿) 重写为： c 。( 中。，皿) = 荔( u ，”，声，西) = 尉v 函一v 口x 每1 2 + i v 谚+ v 以$ 1 2 一a ( 1 一仉尝) ( 函2 + 谚2 ) + 2 a ( 职函) 2 ) 如 第三章g p 方程稳定性的证明 展开后： c ( 垂 ，) 引v 函1 2 + i v 乒1 2 + 2 ( v o ，v 每) $ 一2 ( v o ，v 参) 西 j n 一( a ( 1 一w 尝) 一i v 以1 2 ) ( 声2 + 硒2 ) + 2 a ( 乒) 2 ) d z 运用分部积分， z ( v 氏v 辨厶等卸舭z ( v v 辨酏船 由( a 7 ) 的第二式，在a q 上，静= o 。再根据性质a 2 的结论，得到：h a ( 1 一 暇) 一i v 以1 2 i l l 一( n ) ，i l 以i l 驴( n ) 两项在a 适当大时，可以被任意小量控制。对含 有v 以的项，我们由性质a 2 ，知道存在m 与a 无关，使0 v 以0 p ( n ) a 2 时，使得下式： c ( 圣 ，皿) c 2t l 乒1 2 + l 西1 2 ) d 石 j n 成奇 g r o s s - p i t a e v s k i i 纛稷在寇譬瓣舔壤秘秘稳燕性 我秘参考 j z l 串虢方攘，霉懑蕊t 熬撩匿冀子秘褥征馕阉邃： f ( i ) 十( ：翁至；翼弋) + c m 一暇h v ( i ) 一2 a 呶( ：) + 芦( 耋) 一0 ) 在q 串 鬈= 嚣一。 巍溉 设 胁) 罂。怒特诬值，而且是按递增顺序排列的，其中肛1 ( ) = 0 ( 象) 卜酸妫卿， 是薄盎羲将鬣爨数，飘i a z l 串稳结论皴特征函数楚究务簧交熬。 注意剁 a z l 中的弓f 理1 5 ： 对任懑的c 0 ，_ ，7 0 ，存程常数知一 2 ( c ，叩) o k c 一( c 川) o 使得 ( 蛰 ，零) e l $ f + ( # 也a ) 一霉) i i “l k 一。一番， 瓠参娜) 辩整意靛矗 2 殿参，蓼h 1 渤。 由于该弓f 瑷的证瞬与【j z 】中凳全桐同且较为繁笺，在此我们略去澈明。注 崽到当皿( 氓) 时，谚，职) 知( n ) 一兄( 札妒一 咖) 洳一o 。可以取叩= - 心- y ( m - ，我 翻魏我裂c 2 。黼i 拄 掣，磅，恐，誊a a 2 薅，窝： ( 圣 ，零) 鳓； l 拳1 2 l 审p 交8 成立。 最后，磊 v 散1 2 鼢20 ，鼹以磐程啦 v 如 一。黠，魄= 码，搜褥下式畿立： 7 l 善| 2 + | 够1 2 + l v 茹| 2 + | v 参| 2 如一? ( 1 l v e 1 2 ) ( | 垂1 2 + i 妒1 2 ) | v 簪| 2 + i v 簪1 2 2 v 苏，穆乎+ 2 宰苏，v 毋) 妒孓鼢 c 4 f 西1 2 十i 妒1 2 + f v 咖1 2 + i v 妒1 2 ) 觑 综合戳上淫谂，筏翅褥饕；存滋e 0 ，南 0 ，当a a o 辩，寿： 第三章g p 方程稳定援静迁臻 ( 啦 ，皿) c | f m | | 斋，( o ) 我弱褥到了二睑变分豹绩计。 结合以上的结论，我们有下而的性质： 性质3 1 2 在定理a ，l ，的假设下，存在与a 存关的常数 0 ， o 使得 7 厶( 垂 + 皿) 一“ ( 圣 ) c ， l 母l 斋t q ) 一c ，| i 皿i i 刍，( n ) 残立，对a k 。 证明：设下面的问题的解蛾= + v i l 圣+ a ( 1 一| 圣| 2 ) 零= 0 在q 巾， i 筹= 0 在毗 遵过计算，妇 咒 ( 西 + m ) 一“ ( 壬 ) = ；j i c ( 氓，皿) 一五( 圣 ，1 ；l ，)( 3 5 ) 簇孛 取( 氓，皿) = 一是( a ( 姐+ 母) ( 扩+ 妒2 ) + ；( 2 十妒2 ) 2 ) 如 n 4 量= 垂+ l 移 ( 3 。5 ) 式右边第一项为泛函在m 处的二阶变分，这可以由命题3 1 t 的不等式 来控鞠。警a 透当大辩，有 c ( m ，霍) c i jm i l 蚤，( n ) 我们只要估计剩余的项瓦( 氓，皿) 。 上| 珏+ 封妒l ( 矽+ 妒) 如上5 u 2 + v 2 ) ( 扩_ 卜扩) + g ( 矿+ ) 教 sdr 1 诤x ( 1 扎1 2 + 1 w 1 2 ) ( 扩十砂2 ) d z o “。n ”一7 + 岛毋| | 刍t f n ) + l | 妒| | 备t n ) 1 4 垒塾q 逝堕里e v s k i i 方壤攫定常撰邻域内的稳定性 上( 护+ 眵2 ) 2 ) 如2 z 母4 ) d x 一2 ( i n i 刍- ( n ) + l i 妒l | 4 盯，( n ) ) 取适当小的j 0 ，使m m a ( 川2 十f v l 2 ) 沁时， 砥( 釜 + 霍) 一起 ( 蛋 ) l 霍l l 斋t ( 啦一| | 零| l 螽t ， 性质证毕。 性质3 1 3 存在q ( a ，蛾) 0 ，有以下的估计： ( 垂 ，重) 一 ( 铣，掣，拳，妒，) c , 1 i 零t i 备t 建) 证喷： c p l ，山j = 厶 l v 咖1 2 + l v 妒1 2 一a ( 1 札2 一即2 ) ( 扩+ 妒2 ) + 2 a ( 钍妒+ 砂) 2 ) 如 j n 英孛圣 = 嚣+ 撅，零一妒嘏。 现在我稍绘出右边的各项估计： 上2 撕+ 喇2 d x 2 a ( u 2 + v 2 j n ) ( 丹妇如 j 0 s2 a 鼍擎( | n i 2 + i v l 2 ) l 啦i 2 出 ，n 上瞰l 一 氓1 2 ) l 霍1 2 l 如a 上| ( 圭+ 1 弧i 。) l 零i 。 如 冬岬+ 蛩( 川2 + i 呐i ) z 挪i 恤 故取q = a ( 1 + 3 m 憾( 吲2 + i v l 2 ) ) 即可以得到性质中躲结论。 褒在我裁缝念毪爱3 。1 。2 中五( 舐，鼙) 豹毽诗，餐羁教下戆结论： 定理3 1 4 在定理a 。i 的假设下，存在常数g 0 ， o 使得 州 ( 垂 十皿) 一咒 ( 蛋 ) q i i 1 l 备( q ) + c t t i l w i l 4 口。( n ) 成立，对a 乜。 第三章g p 方程稳定性的证明1 5 3 2g p 方程稳定性定理证明 在定理1 2 1 中我们知道了能量e ( t ) 是守恒的，在此用能量泛函毋( 口) 表示。 设皿是g p 方程的混合问题( 1 7 ) 的解，其的初值为m o ，那我们就有： h ( m ) = 7 厶( v o ) 于是，我们得到： “ ( 皿) 一爿 ( 圣 ) = h ( 皿o ) 一h ( 圣 )( 3 6 ) 其中叽是我们限定的g p 方程的定常解。 在上面一节，我们建立了两个函数的能量差与这两个函数的差在h 1 ( q ) 空 间的范数值之间的联系。当a m a x ) o ，a 3 ) 时，对等式( 3 6 ) 左边应用性质3 1 2 ， 对右边应用定理3 1 4 ，我们有下式成立： 为了简便，我们令 整理后，得： c l l 皿一西 l i 备( n ) 一c l l 皿一垂 i l 备t ( n ) “ ( 皿) 一h ( 垂 ) = h ( 皿o ) 一咒 ( 垂 ) c d l 皿。一垂a l i 备，( n ) + c ，i | 霍。一圣 i 备- ( n ) 可0 ) = | i 皿一垂 l 备t ( n ) 可( o ) = b = l i 皿。一垂 i l 备，( j ) z = c o y 2 一c y + q 6 + c 2 o ( f 0 ) 分析二次函数图像的对称轴及截距： 三魏砌 ， 此二次函数的判别式为： = ( c 7 ) 2 4 d ( c l b + c b 2 ) 1 6 g r o s s p i t a e v s k i i 方程在定常勰邻域内的稳定性 图3 1 ：z = c ，7 y 。一d y 十c l b + c ，b 2 ( 可0 ，z 0 ) 我们对任意的e 0 ，考虑选取d 的方法。首先，我们在选取初值。时， 让b b l 适当缝小，可以馒a 0 ，设二次方程寥2 一d y + g 6 十d b 2 一o 豹两个 根为y 1 ，y 2 ，其中0 y l 玑。由二次黼数的性质知，甬数图像如图3 1 所示。 在此，还注意到可以取适当小的b = b 2 ，搜得y l 0 。 在 s s 2 中，他们证明h 。比皿稍大并且h 。，极小状态是一种混和状态， 含有类似漩涡状结构的电流。在 g p i 中g i o r d 和p h i l l i p s i 证明，对h 。- 2 其 中c 是一常数，超导将被完全抑制，在z 的所有平衡状态下皿；0 。 不均匀的超导材料自然界大量存在，一般是由于材料含有杂质或边界不 规则，也可以人为地在纯超导材料中掺入非超导( 一般) 材料得到( 见 c d g i 1 8 g r o s s p i t a e v s k i i 方程在定常解邻域内的稳窳性 和【c 我】) ，不均匀材辩静一个结论楚超导电流趋两予定点或稳定魏形式。将 经典的g i n z b u r g - l a n d a u 理论作修溅，以便考虑更一般的结论。因为临界激度 依赖于材料上点的位置，即n = n ( 搿) ( 见i l l ) 。o ( z ) 脊可能在材料中取0 溅改 变符号。在 a s s 中，a f t a l i o n ，s a n d i e r 和s e r f a t y 作了含有变量a ( x ) 的能缀泛 函真的g i n z b u r g - l a n d a u 方程的一个工作，谴识考虑 a ( x ) l 豹情况，溅 葭了当_ o 露，竣缳藉与| l o g ( e ) l 游狳。a n d r e ，b a u m a n 窝p h i l l i p s 夔王馋爨考 虑q 在有限个煮处包含杂质的情况，含杂质的点记作 飘，嚣2 ，z 。 ，n ( 茹) 在这些 般材料的点处取值为0 。他们找到了作为出现或消失涡电流的分界的h 。的转变 临界点，记作h c = 士t ( ) ，且当e 。0 时，是1 阶的。另外，对每个k 和充分小的s ， 他们证明了只有局部极小勰且在每个敝处呈现涡流结构，与q 茁1 ，茁z ，x n 的 圈豫类一致，还可殴莛8 江) 零点瓣潺褥趣导电滚定位。 隘上q 帮蹙攀连逯的，还育努一释菲均匀耪褥愚游的，瑟q 蹩多造遴 的。在【j m l ，【r s 】及 j z l 中，文在o = 1 ，h 。一0 ，q 是多连通的情况 由j i m b o 和m o r i t a ，r u b i n s t e i n 和s t e r n b e r g ，j i m b o 和z h a i 分别做了工作，在备自 设定的条件下，有涡流结构且与q 中阿怆类一致的局部极小解被证明是存在的。 在 j z i 中，磅究戆泛函如下： ，1、，1 7 颤( 圣，a ) 篇f ；l ( v i a ) 圣1 2 十；王一l 圣 2 ) 2 6 醅+ f；l 即蠢1 2 d x ( a 1 ) j i 2 j 冰 其中( 西，a ) 为变嫩，圣是一定义在q 中的复值函数，a 愚定义在i 护中的三维盛值 函数，a 为大于0 的参数。 这神泛函出现予低温超导理论中( 参见【f l 】o 注意副第一项对应材料q 中 豹毫滚链量，第二凌对应磁场熬戆夔。霉要着重豢滋静跫这里静磁场纛整 个r 3 空阕中部露在。 理论认为一种物理上可实现的状态对应一个相关能量泛函的局部最小锵。 因此，我们在假设条件下一个局部最小解就是以下变分方程( g l 方程) ( a 2 ) 的 个解( 圣，a ) 。 | v g a ) 2 垂+ a ( 1 一 圣1 2 ) 蚤= 0 在转孛， 雾警一 ( a p 圣= 0在豫上， ( a 2 ) lr o t r o t a + ( i ( 面v 币一垂v 举) 2 + 圣1 2 a ) a a 。o 在b p 中 这里的( ，) 是r 3 中的标准向量内积，是a q 的单位外法向量。a n 是q 的特征函 数，即在q 中a q 一1 ，在r 3 q 中a q 一0 。 附录a 有关g i n z b u r g - l a n d a u 方程研究背景介绍 1 9 在【j m l 】中，已经证明了n 是环状( 旋转对称) ，当a 充分大时，许多种稳定 状态解的存在性，而把这个结果推广到一般的非平凡的区域q 上就是【j z 】的工 作。这里的一般的非平凡的区域是指非单连通区域。在【j m z 】中，研究了忽略 磁场作用后简化的g l 泛函和它的变分方程( ( a 3 ) ，( a 4 ) ) ，并且在这种情况下构 造出若干种稳定解。在( a 1 ) 和( a 2 ) 中令a ；0 就可以得到 咒! ( 垂) = ；l v 圣1 2 - i - 寻( 1 一i 垂1 2 ) 2 ) 如， ( a 3 ) 对应的变分方程： 薰兰州0 卜p | 2 净。0 囊器 c 从， 1 裙= 在a q 上 m 4 其中q 为群中一个有界多连通区域，边界为c s 光滑。一是a q