（计算数学专业论文）满足约束条件的曲线曲面造型.pdf

摘要 曲面片间的光滑拼接是个基本而又十分灵活的问题对已知曲面片通过调节 它们的控制顶点来提高光滑阶是设计中常常遇到的一类实际问题和行之有效的解 决问题的方法 几何连续是对参数曲面中参数连续度量进一步深刻的认识和研究它是可微 性的代数概念的几何抽象，克服了参数连续对曲面苛刻，高阶及结果失真等缺点 本文首先考虑参数曲面片上几何连续的特性和在几何造型中的应用它相应地赋 予设计者更多的自由度和灵活的调整手段接着在分析张量积形式曲面片g t ，g 。 连续条件的基础上给出了一种运用过渡曲面片拼接两瞎面的人机交互模型，它可 以针对具体的约束条件利用形状参数实施形状控制和调整从而构造理想曲面 用b l o s s o m 方法对三角片上b b 曲面进行相关性质的研究，是一种有别于传统 的恩路它是用一种较几何和自然的视角认识瞌面造型的方法文章的第二部分 在考虑三角片b b 曲面的b l o s s o m 特性后，给出了一种提升光滑拼接连续阶的控 制顶点调节方法反过来它也使我们对b e l i e r 及b 样条曲线曲面有更形象的认识 和启发性的反思 文中最后一部分考虑将弧长约束条件作用于b 样条曲线时，控制顶点选择的 一种尝试，试图通过能量积分优化几何问题一曲线光顺，将对控制点的约束最终 转化为非线性问题给予求解通过实例，我们运用此法得到一些满足具体约束条 件的曲线 关键词tb e z i e r 曲线；b e z i e r 曲面；b b 曲面片；几何连续；光滑拼接；弧长 约柬 a b s t r a c t s m o o t hc o n n e c t i o nb e t w e e nt w o a d j a c e n ts u r f a c ep a t c h e si sab a s i ca n d f l e x - i b l ep r o b l e m t h ec o n s t r u c t i o nm e t h o do fi n c r e a s i n gs m o o t h d e g r e et h r o u g ha d j u s t i n gc o n t r o lp o i n t si sag e n e r a lh a n d i c a pa sw e l l a sa na p p r o a c hi ns u r f a c e d e s i g n ， s u r f a c eb l e n d i n gi nt e r m so f g e o m e t r i cc o n t i n u o u si sm o r ep r a c t i c a la n d w e l c o m ew i t hv i e wo fg e o m e t r i ci n t e r p r e t a t i o nw h i c hi sd i f f e r e n tt ot h et r a d i t i o n a l d i f f e r e n t i a lm e t h o db a s e do na l g e b r a f i r s to fa l l ，t h ea u t h o rg i v e sam e t h o df o r m e r g i n gt w ob e z i e rs u r f a c e sw i t ht h ec o n s t r u c t i o no ft r a n s i t i o nb a n d a f t e rd i c u s s i n gt h eg 1 g 。c o n t i n u o u sc o n d i t i o n so ft w ob e z i e rt e n s o rp r o d u c ts u r f a c e s a n dt h e i rg e o m e t r i cp r o p e r t i e s s e c o n d l y 】s o i n er e s e a z j a e so nt h ep a r a m e t r i cc o n t i n u o u sc o n d i t i o n so ft w ot r i a n g u l a rb bs u r f a c e sa r ei n v o l v e di nt h i sp a p e r ，w h i c hs u g g e s tt h a tb l o s s o m sa n d t h em u l t i a f f i n ep o i n to fv i e wh e l p e dt oc l a r i f ya n ds i m p l i f yt h ee x i s t i n gt h e o r y c o n s e q u e n t l y t h ea u t h o rd i s c u s s e s am e t h o df o ri n c r e a s i n gt h ec o n t i n u i t yb e - t w e e nt w of u n c t i o n a lt r i a n g u l a rp o l y n o m i a lp a t c h e sb ya d ：i u s t i n gt h e i rc o n t r o l p o i n t sw i t ht h ec o n t r o lp o i n t su n c h a n g e di ft h ep a t c h e sa l r e a d ym e e tw i t ht h e d i s i r e dl e v e lo fc o n t i n u i t y f i n a l l y , t h ea u t h o rp r e s e n t sam e t h o dt oc o n s t r u c ta s m o o t hc u b i cb s p l i n e c u r v ew h i c hf a i r l yf i t s3 dp o i n t sw h i l ea tt h es a m et i m es a t i s f i e st h el e n g t hc o n - s t r a i n t s a tt h ee n db yu s i n gt h el a g r a n g em u l t i p l i e r sc o n d i t i o n a le x t r e m e ，r e s o r t i n gt ob r o y d e nm e t h o d ，f i n d i n g t h el e a s ts q u a r es o l u t i o no ft h ec o n t r o lp o i n t s ， w ec a no b t a i nt h ef a i rq u a s i - f i t t i n gm o d e l i n gb - s p l i n ec u r v e k e y w o r d s ：b e z i e rc u r v e ；b e z i e rs u r f a c e ；b e r n s t e i n - b e z i e rp a t c h ；g e - o m e t r i cc o n t i n u o u s ；s m o o t hc o n n e c t i o n ；l e n g t hc o n s t r a i n t i i 第一章绪论 1 1 参数曲面在c a g d 中的发展 自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面 前首要解决的问题在传统的飞机工厂和造船厂星，采用模线板法表示和传递自 由型盐线曲面形状随着现代航空，汽车等工业的发展采用模拟量传递的设计 制造方法由于其因人而异，繁重复杂，周期长，精度低，协调差等特点逐步的不 能满足需求1 9 6 3 年，美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示 为参数的矢函数方法他最早弓f 入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的 位置矢量及两个方向的切矢定义的f e r g u s o n 双三次曲面片这些方法由f m i l l 系统实现在它之前，曲线的描述一直采用显式的标量函数y = 可( z ) 或隐方程 f ( x ，y ) = 0 的形式曲面相应的采用o = z ( z ，y ) 或者f ( x ，y ，z ) = 0 的形式 f e r g u s o n 所采用的曲线曲面的参数形式从此成为形状数字描述的标准形式+ 1 9 6 4 年，美国麻省理工的c o o n s 发表了一个具有一般性的瞌面描述方法，提出了用围 成封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲面片，它的特殊形式一c o o n s 双三次曲 面片也成为c a g d 中应用广泛的表示形式但两者都存在形状控制和连接问题 s c h o e n b e r 9 1 9 4 6 1 4 5 】年提出的样条函数是解决连接问题的一种技术，用于形状描 述的样条方法是它的参数形式即参数曲线，曲面样条方法用于解决插值问题， 在构造整体达到某种参数连续性阶的插值曲线，曲面是方便的。但不存在局部形 状调整的自由度，同时样条曲线，曲面的形状难以预测 法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b e z i e r 1 9 】在1 9 7 1 年发表了一种由控制多边 形定义曲线的方法设计员只要移动控制顶点就可以方便地修改曲线的形状，丽 且形状的变化完全在预料之中这种方法即简单易用，又漂亮地解决了整体形状 控剃闯题。b e z i e r 方法在c a g d 学科占有重要的地位，它广为人幻接受，并为 c a g d 的进一步发展奠定了坚实的基础，尽管如此，b e z i e r 方法仍然存在连接 问题和局部修改问题d eb o o r 于1 9 7 2 年给出了关于b 样条的一套标准算法 美国通用汽车公司的g o r d o n 和r i e s e n f e l d 在1 9 7 4 年将b 样条理论应用于形状 描述，提出了b 样条曲线，曲面，它几乎继承了b e z i e r 方法的一切优点。克服了 b e z i e r 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题与控制多边形和节点相 联系，1 9 8 0 年分别由b o e h m 和c o h n 等人给出地节点插入技术是b 样条方法中 最重要的配套技术，其次有f o r r e s t 与p r a u t z s c h l 9 8 4 年的升阶技术 上述各种方法尤其是b 样条方法较成功的解决了自由型曲线蓝面形状的描 述问题然而应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的，都只能给出近似表 满足约束条件的曲线曲面造型 示，不能适应大多数机械产品的要求代数几何里的隐方程形式可以满足这一要 求在参数表示范围里，f o r r e s t 首先给出了表达式为有理b e z i e r 形式的圆锥截 线b a l l 在他的c o n s u r f 系统中提出的有理方法在英国飞机公司得到普遍的 使用，然而，欲在几何设计系统中引入这些与前述自由型蓝线曲面描述不相容的 方法将会使系统变得十分庞杂，人们希望找到一种统一的数字方法美国锡拉丘 兹大学的v e r s p r i u e l 9 7 5 年在他的博士论文首先提出有理b 样条方法，以后主要 的由p i e g l 和t i l l e r 等人的工作，至1 9 8 0 年代后期，非均匀有理b 样条方法成 为用于曲线曲面描述的最为流行的技术于1 9 9 1 年，颁布了关于工业产品数据 交换的s t e p 国际标准，把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数字方 法非有理与有理b e z i e r 及非有理b 样条曲线曲面面都被统一在n u r b s 标准 形式之中n u r b s 技术仍在发展 当今世界上流行的曲面的三种主要表示方法有c o o n s 方法，b 网方法和b 样条方法 1 2 曲线的参数表示 一条曲线可表示为参数t 的向量形式 p ( t ) = k ( t ) ，g ( t ) ，g ( t ) 】 在t = o 处的微商向量是 壹( 幻) = p ( t o ) ，y ( t o ) ，2 ( 南) 】 若条件 p ( t o ) 0 成立，则说曲线t = t o 是正则的，我们称曲线的非正则点为奇点 知，为满足正则性，圣( o ) ，雪( t o ) ，2 ( o ) 一定不能同时为零 ( 1 1 ) 由条件( 1 1 ) 如果曲线p ( 氓( 亡b ) 上诸分量z ( t ) ，掣( t ) ，z ( t ) 的r 阶微商存在且连续， 又如果曲线在整个区间是正则的，则说曲线是属于类g ”的如图1 1 ，在曲线 p ( d 上考虑v ( t o ) 到p ( t o + a t ) 的向量p ( t o + a t ) 一p ( t o ) ，并除以a t ： p ( t o t ) 一p ( t o ) a t 这个向量从v ( t o ) 指向p ( t o + a t ) ，若在曲线t = t o 处是正则的，则当t 一0 时，这个向量收敛到有限值p ，( t o ) ，称( t o ) 为曲线段在t = t o 处的切向量 现在以曲线的弧长s 作为参数，为了区别其它参量t ，符号表示关于参数s 2 满足约束条件的曲线曲面造型 c 1 ( ) 仍l l i l t ( 吣 l p “+ 以l 一产“- ，l 如 t 二 ( b ( 呻单使切阿t 妒l h kr、 菡1 1 ： f k 1 ，1 的微商因为 塑：口，：塑竺：垒 云5 p2 素。五5i 磊d s = s = ( 害) 2 + ( 象) 。十( 塞) 。= 痧 所以若空0 有 痧2 詈。旁 ( 1 2 ) p 2 i 。历 l l 2 即l p ，l = 1 与空方向相同，但一的数值长是1 ，我们称一为单位切向量 从方程看出是切向量的值，我们常常以o t 表示切向量的数值。以t 表示单位切 向量，因此有 = q ，p 兰t 在曲线的正贝i j 点，切线是唯一的然而在奇点会出现各种异常现象例如图1 2 所显示的情况t( a ) 是尖点，( b ) 是用参数表示的直线段，它在整个区间上是正 则的 ( c ) 显然与( b ) 表示的同一个线段，但在区间内部出现了两个奇点 另一种类型的奇点是，整条曲线退化为一点，则该点也是一个奇点 若一个平面过曲线上的点p ( t o ) 且垂直曲线在该点的切线，则称此平面为法 平面，法平面的方程是 一p ( t o ) ) p ( t o ) = 0 若v ( t ) 是单位向量，则p pi1 刚 掣= o 锄一d td 亡 。 。1 满足约束条件的曲线曲面造型 图l2 ： f i g 1 2 所以对于任意单位向量p p 象= o 即p 和罢是两个相互垂直的向量 由于t 是单位切向量 譬是个与t 垂直的向量，现将与面d s 平行的单位向 量记作礼，于是 塞= l 争仲= 尤他= 1 p n ( 1 s ) 忑2l 五| - 仲2 尤他2 n 【1 圳 k 他叫做曲线的曲率向量。它的模既是曲线的曲率咒，p 是曲率半径 对于任意空间曲线，全体垂直于切向量t 的向量都四法向量，它们所在的乎 面称为法平面我们把平行于向量n 的法线叫做曲线在这点的主法线，n 称为 单位主法线向量。向量b = t x n 是第三个单位向量，它垂直于t 和7 l ，将平行于 向量b 的法线叫做曲线的副法线，b 称为单位副法线向量 由，竹，b 三个单位向量组成的一个相互垂直的右手坐标架，分别包含向量t 和他，9 7 , 和b ，b 和t 的平面分别称为密切平面，法平面和化直平面如图1 3 设曲线上有参数为s a 8 和s + a s 的r ，p ，q 三点，曲线在p 点的密切圆 是通过这三个点所作圆，当s 一0 时的极限情形曲线上点p 的密切圆的半径 等于该点的曲率半径，密切圆心q 做曲率中心 由式( 1 3 ) 有 ， 1 p2 一n 。k n p 此处珏是指向曲率中心的单位向量，是一个向量，他的数值等于在点p 的曲 率，它的方向指向曲率中，5 - ，有时称p ，为曲率向量曲率是单位切矢量关于弧 长的扭转速率，换言之，它是表示曲线扭转快或慢的一个量 4 满足约束条件的曲线出面造型 图i3 ： f i g l _ 3 ： 令妒表示两个很靠近的点p ( s o ) 和p ( s o + a s ) 处密切平面间的夹角，则曲 线在点p ( s o ) 处的挠率定义为 丁= “。箬 挠率是密切平面关于弧长s 的扭转的数值的度量换言之，挠率是一个量， 它之时曲线扭转的快或者慢，借助关于参数的微商氟参和p ( 3 ) ，挠率可以数学 地被表示为 ，一( 塑：兰翌2 ：竺! 竺；鱼! 堂! 里竺! ! ：( 塑! 塑! 望! 竺! ( 空却2 ( 声多) 2 6 k 2 与非参数方法相比，参效方法具有如下的优点，因而能较好地满足形状数学 描述的要求： ( 1 ) 满足几何不变性的要求 ( 2 ) 易于规定曲线曲面范围 ( 3 ) 易于表示空间曲线， ( 4 ) 仿射变换与投影变换易于执行 ( 5 ) 易于计算曲线曲面上的点及其它信息 ( 6 ) 易于处理多值问题 ( 7 ) 易于处理无穷大斜率 ( 8 ) 易于曲线曲面分段，片描述 5 满足约束条件的曲线曲面造型 ( 9 ) 提供对曲线曲面形状控制的较多自由度 ( 1 0 ) 为向多维推广提供了可能 1 3 参数曲面几何连续问题 1 9 8 4 年在联邦德国o b e r w o l f a c h 召开的“c a g d 中的曲面”国际学术会议 上，r e b a r n h i l l 提出了八个有关曲面研究的公开问题，其中后三个公开问题是； 一几何连续性 一封闭曲面的构造 一矩形曲面片与三角曲面片的混合使用 这三个公开问题的核心是几何连续性，而后两个问题是可以借助几何连续性 概念加以解决的挑战性问题 b e z i e r 方法为设计员提供了强有力的工具，但在实践中，经常会遇到一个普 遍的问题，就是难以用单一的b e z i e r 曲线段与b e z i e r 曲面片描述更复杂的形状， 如果定要这样傲，只能靠提高次数来增加潜在的控制灵活性。但这也有局限性， 因为b e z i e r 方法对形状的定义是整体方案，欲对其局部修改时，必然会影响到 整体，即b e z i e r 方法具有整体控制性质，但却缺乏局部控制性质因此，次数就 不能提的太高 f a r i n 2 8 1 提到，用于实际目的， b e z i e r 曲线的次数超过1 0 次 是禁忌的，即单一的b e z i e r 曲线曲面不能满足复杂形状的需求，就必须采用组合 b e z i e r 曲线曲面即对复杂形状的曲线曲面在满足一定的光滑连接条件下，分别 采用分段与分片拟合，以满足实际要求，这里要解决的关键问题是怎样实现光滑 连接的问题 有两种不同的关于连接的光滑度( 光顺性s m o o t h n e s s ) 的度量，它也代表曲 面间的几何连续经历的两个阶段：一种是多年来沿用的函数曲线的可微性，典型 的把组合参数曲线构造成在连接具有直到礼阶连续性导矢即扎次连续可微，这 类光滑度称之为g “或n 次参数连续性以至使得多年来人们几乎总在函数连续 和几何连续性之间划等号另一种称为几何连续性在1 9 8 0 年代，有些作者开始 看到这两者的差别，认识到数值分析理论不是解决曲线，曲面设计的唯一工具， 而几何理论在这方面却可具有很大的潜力，可以发挥重要的作用，于是人们借助 古典的微分几何理论，对c a d 几何造型中普遍使用的光滑概念进行了广泛深入 的理论研究与实践，使几何连续与切向量( 平面) 连续。曲率连续和密切圆连续等 几何概念紧密联系起来，他们较谨慎地提出在曲线，曲面拼接处的方向导数的连 续性或者跨界的连续性等术语，并且通过仿射变换来扩大跨界连续性的自由度 它是组合曲线在连接处满足于不同于g “的某一约束另外需要说明的是：缎合 6 满足约束条件的曲线曲面造型 曲线在连接处的光滑度或光顺性与组合曲线整体的光顺性是不矛盾的，前者包含 在后者之中 b e z i e r 曲面间的几何连续拼接问题有着重要的应用，不仅仅是因为它具有更 多的自由度，更灵活的构造复杂的几何形体，还因为它是曲面间的本质连续曲 面闻几何连续拼接条件及其拼接曲面构造问题是c a d c a m ，c a g d 中重要的研 究课题 b a r s k y 1 7 1 利用二阶几何连续条件导出了b e t a 样条并得到了成功的应 用 f a r i n 2 5 研究了三角域上b b 衄面的一节及二阶几何连续性b o e l u u 2 0 3 导出了曲率连续样条d er o s e 2 4 1 构造了b b 曲面的一阶几何连续基函数 k a h m a n 3 3 1 得到了b e z i e r 凿面闯二酚几_ 何连续魄篱单条件。并讨论b e z i e r 曲面 片的连接性拼接且只限在很特殊的情况下研究其问题梁友栋 1 3 】从内在不变量 出发，定义了几何连续性并导出了其充要条件，同时也讨论了它的理论基础和实 际应用 7 第二章矩形域参数曲面片间几何连续 2 1 参数曲线的几何连续 我们知道，参数曲线的参数连续性实际利用函数曲线的可微性，与参数的选 取有关与函数曲线的光滑度相一致的函数曲线的可微性当用于参数曲线时，出 现了可微性与光滑度不一致的问题例如在参数曲线上出现零切矢处虽然仍然可 微的，但却可能是不光滑的反之，光滑的曲线可能是不可微的人们从经验视 觉中就发现两曲线段相连接时，只要在连接点有相同的切线方向就认为是光滑 而按照参数连续性度量光滑度，还必须有相同的切矢模长才是c 1 曲线具有切 向连续并非具有连续的对一般参数的切矢，曲线具有曲率连续也非必得具有连续 的对一般参数的的切矢与二阶导矢参数连续是对参数曲线连接光滑度的过分限 制，是人为强加的限制参数连续与参数选取及具体的参数化有关，而形状的客 观内在几何特性例如光滑度是不依赖于参数选取及具体参数化的正是由于参数 连续性不能客观准确度量参数曲线连接的光滑度取而代之的就是曾被称为视觉 连续性的几何连续性几何连续性与参数选取及具体的参数化无关，逸就排除了 由参数选取引起的非正则情况几何连续是对参数连续性度量正则参数曲线连接 光滑度苛刻而不必要的限制的松弛亦即对参数化的松弛，它只要求较弱的限制 条件随之雨来的为形状定义和形状控制提供了额外的自由度由于几何连续性 摆脱了对参数选择的依赖，着眼于形状内在几何特性的描述，获得了对形状控制 的更大的灵活性这一发展无疑为人机交互进行形状设计中施展与发挥人的创造 能力提供了扩大的空间与有效的工具 b o e h m 提及早在1 9 6 2 年g e i s e 就应用所谓的n 阶切触定义光滑的组合曲 线，b e z i e r 首先讨论了切向和曲率连续曲线，m a n n i n g 通过介绍他的鞋垫造型和 n i e l s o n 独立地引入所谓的n u 样条使得视觉连续传播开来b a r s k y 提出了定义 在等距节点上的b e t a 样条，使用了所谓形状参数几乎同时，f a r i n 应用简单的 欧几里的距离关系构造了曲率连续性样条曲线，b o e h m 用仿射与递推的关系给 出了这种三次样条曲线的b e z i e r 点的构造方法，被称为g a m m a 样条曲线，以后 又推广到扰曲率连续的四次样条曲线1 9 8 3 年，b a r s k y 和b e a t t y 引入几何连 续性概念，应用链式法则即礼阶切触的原理定义了高阶几何连续性 g o o d m a n 使b e t a 样条的形状参数由均匀的改为独立可变1 9 8 8 年，b o e h m 对几何连续 性的定义进行了分类比较 本章根据上述理论研究了c a g d 中最基本也最重要的自由型曲面b e z i e r 曲 面间的几何连续拼接条件及其拼接曲面构造，将b e z i e r 曲面间的k 阶几何连续 8 满足约束条件的曲线曲面造型 归结为相应的控制顶点网及拼接函数间的一组关系，并给出了拼接函数应满足的 相容条件，将几何连续问题化为可判断求解的问题 2 2参数曲线几何连续等价定义 工业产品的形状是与描述它所取的参数无关的，即是独立于具体参数化的 作为形状的内在几何特性的光滑度及作为度量光滑度的几何连续性定义理应独立 于具体参数化的 零阶几何连续g o 与零阶参数连续c o 是一致的进一步，若两曲线段在公 共连接点处具有公共的单位切矢( 即关于弧长的一阶导矢) ，则称它们在该点处具 有一阶几何连续性或者g 1 连续性或g 1 的若在该点处又具有公共的曲率矢( 即 关于弧长的二阶导矢) ，则称它们在该点处具有二阶几何连续性 有多种关于参数曲线几何连续的等价定义； 定义一：当且仅当两曲线段的相应的弧长参数化在公共连接点处具有c ”连 续性，则称它们在该点处具有g ”连续性或是伊的 弧长是曲线的内在几何性质，取弧长参数化使曲线的定义与参数无关因其 切矢模长恒为单位长，排除了非正则情况，它表明在弧长参数化下，几何连续性 g “与参数连续性c ”是一致的然而并非所有的参数曲线都能取自身弧长为参 数，例如非正则曲线就不能在c a g d 中广泛采用的参数多项式曲线与有理多 项式曲线也不能取自身弧长为参数，这就限制了这一定义的应用范围， 定义二：若能将两曲线段之一经参数变换，重新参数化使它们在公共连接点 处具有正则的伊连续性，则称它们在该点处具有伊连续或者伊的 根据该定义，就不必鄱变换成弧长参效化，而只须换其中之一，将老参数改 取为特定的新参数，这个定义的应用有赖于重新参数化，并未能给出现成可用的 结果，仍不够直接，定义三直接给出了经重新参数化得到的可付诸实用的结果 在给出第三种等价定义之前，先介绍所谓的b e t a 约束 据定义二，若两曲线段在公共连接点p 是伊的，则可对其中之一经参数变 换，重新参数化以至它们在该点处具有正则的伊连续性 假设对公共点p 的左侧段p ( 钍) 取参数变化u = u ( t ) 以至重新参数化成为 p ( ) ) 且设在公共点p 有参数铴= u ( t o ) 则坐侧段关于新参数上的k ( k n ) 阶导矢，按。连续性，就等于右侧段在公共点p 关于老参数的k 阶导矢p # 由链式法则得 9 满足约束条件的曲线曲面造型 九= 警壹一 西+ = 面d 2 i u p 一十( 象) 强一 p 掌= 面d 3 r u p 一+ 3 象象芦一+ ( 客) 3 p ! 其中p 一，参一，p 掣为左段关于老参数u 的一，二，三阶导矢 令伪一面d u ，屁= 丽d 2 u ，侥= 万d 3 u ，并把公共连接点p + = p 一考虑进来可得 如下用矩阵表示的一组关系式 p + 空+ 叠4 p 譬 ： _ p 鼍 夙 屈所 压3 芦- 口2饼 p 44 8 1 8 3 醒6 鼹8 2 0 8 。 p 2 p 一 由一 芦一 p 9 ： _ p 兰 ( 2 1 ) 其中历 0 ，p ，与p 分男为公共连接点处的两侧k 阶导矢上式表明，在 正则的公共连接点处一侧k 阶导矢可以表示成为另一侧直到k 阶的诸导矢的线 性组合由上式表示的一组关系被称为b e t a 约束右端的方阵称为关联矩阵 它是一个下三角阵 现在，我们可以用b e t a 约束来定义一般的几何连续性 定义三；当且仅当存在实数反，i = l ，2 ，扎其中反 0 使两蓝线段在正 则的公共连接点p 的两侧( 左右) 导矢满足( 2 1 ) 给出的一组b e t a 约束时，则称 它们在该点处具有g 竹的连续性或者是 的 设计人员可以通过改变卢值来控制相邻两曲线段之一，即以p + 为端点那一 曲线段的形状，同时又使b e t a 约束得到满足，曲线段间连接的光滑度得到保证 所以卢值又称为形状参数，在用控制多边形定义的曲线里，设计员不用改变控制 多边形，而仅仅改变形状参数就可以改变曲线的形状在满足b e t a 约束条件下， 对应两曲线段间的伊连续形就存在n 个形状参数，对于参数多项式曲线段其中 可调形状参数不会超过次数，这可调形状参数就提供了对曲线形状控制的额外自 由度它为在c a g d 环境里的设计员提供了实现曲线形状控制的方便手段 采用b e t a 约束的几何连续性定义提供了现成可用结果，然而我们注意到了 另一方面，几何连续性定义在这里用代数形式的b e t a 约束关系给出，其中形状 参数p 又出现了几何意义不明显的问题 b o e h m 把参数曲线的光滑度归结为两种类型，其中之一就是经典微分几何 1 0 满足约束条件的曲线曲面造型 中的n 阶切触根据切触阶的定义，两曲线段在公共连接点具有n 阶切触，则它 们在该点具有一致的直到n 阶的关于弧长的导矢两曲线段在公共点处的札阶 切触也可由两曲线段在该点处有f t + 1 个公共点的一条n 次密切抛物线( 即过该 点且在该点具有与两曲线相一致的直到n 阶导矢的参数n 次曲线，亦即在该点 直到霸次的泰勒展开) 2 3 参数曲面几何连续 如图2 1 ，两参数曲面的零阶几何连续即g o 是与g 。一致的两参数曲面 间的g 1 又称切平面连续其定义为t 若两参数曲面p ( u ，口) ，q ( 札，v ) 有公共连接线 p ( 7 ) = q ( 7 ) 则沿它们的公共连接线是g 1 的，当且仅当它们沿公共连接线处处 有公共的切平面或者公共的曲面法线数学上可表示为 ( p 。p t ) ( p u p 。) = 0 特殊地，当公共连接线为两曲面的等参线p ( s o ，t ) = 口( 钍o ，廿) ，v 一口( t ) 时，在公共 等参线上任一点处p 。与q 。平行( 如图2 2 ) ，于是公共切平面要求就成为p 。，q 。，吼 三矢共面的条件，数学上表示为将一矢量表示成为另两个矢量的线性组合 p = 危( 钍) q 。+ 9 ( u ) i 乳，h ( 札) 0 ( 2 2 ) 两参数曲面沿它们的公共连接线具有g 2 连续性当且仅当它们沿公共连接线 处处具有公共的切平面外，又具有公共的主曲率，及在两个主国率不相等时具有 公共的主方向，或一致的杜潘标线这不仅要求满足条件( 2 2 ) 还必须满足如下 条件 p t s = 9 吼。+ 是g 。+ 。+ 6 譬。( 2 3 ) p “= 9 2 q 。+ 2 9 h q 。+ h 2 q + c q 。+ d q 。( 2 4 ) 一般的曲面几何连续性即g “连续性定义为：两曲面p ( s ，t ) 与q ( u ， ) 沿它 们的正则公共连接线具有g ”连续性或是g “的。当且仅当其中之一是譬如口可 以被重新参数化为可( 西，西) ，以至于它们沿公共连接线是伊的，即 黑p ( r ) ：熊可( r ) 一j _ l 2 ，。石雨石p = 丽口。+ j = l ，2 ，n 。 若给定mx 拜与z 札次b e z i e r 越面片 s t ：p ( u ，”) = a j b i ，。( 让) 马，。( ) ，0 ，。 0 ，另外为满足p 1 2 1 )( 3 1 ) f o r m = lt o 【k 2 j f o ri = ot on - kw i t hj = n - k - i 9 ( 盱协，铲，掰扣一，v 0 ，d o ) + n 9 ( 邛。，肾，蹯卜，瞬一b ，h ) + 耽g ( 野b ，p ，蹯卜，婿一1 ，) ，( 盱移，v p ，盼扣，哳一b ，d o ) = d o ，( 野伽，吁妒，蹯扣，珩一1 ，) 4 - d i ，( k 侈，v 产，d 手卜，v 铲一“，k ) 4 - d 2 i ( v 1 ，) 表hl a i 算法的推导步骤 t a b l e1 ：c o m p u t a t i o nr e q u i r e db yl a i sc c o n t i n u i t yt e s t 若k 为奇数，两曲面片达到c 连续的充要条件是，对任何i + j = n 一，i ，j 0 满足约束条件的曲线曲面造型 有 9 ( 盱一，v ，瑶慷2 j + 1 ，晤2 j ) = ，( 盱。，铲，瑶l k 2 j + 1 谅酬) ：d 0 ，( 盱侈，瞪p ，甜7 2 j ，晤悻2 j + 1 + d l f ( v 1 ，睁陋7 副) + d 2 f ( v t ，d 驴2 j ，晤晴7 2 p 1 3 2 ) 表1 描述了计算这些b l o s s o m 值的过程其中v 0 = 1 d o ，1 1 = - d l d o ，屹= d 2 d o 下面我们将讨论运用上述条件及均等原则来调节相邻两片的控制顶点使其满 足c 连续，这种方法的优点是如果两片已经达到c 连续则控制顶点可保持不 寝 3 5 曲面片连续阶的提高 给定两个相邻的曲面片，已知它们已经达到一定的连续阶，现在我们要通过 调整控制顶点来增加它们的连续阶，并且同时保持那些已经满足连续要求的控制 顶点不变 伊连续 设计者在调整内部顶点之前，一般会首先使它们有相同的边界，即它们满足 伊连续如果两曲面片的边界都不重合，那么我们可以将边界线的对应控制顶 点去平均作为调整后的公共顶点 g 1 连续 若两片有公共的边界，为使c 1 连续，图3 7 中的每相邻的四个顶点组须共 面若他们不在同一个平面，我们分别将它们延伸，如图3 8 中所示，这个算法 的具体步骤由f o l e y - o p i t z 给出 众汊禊 g 2 连续 图3 8 ：为满足c 1 对控制嘎点进行调节 f i g 3 8 ：a d j u s t i n gt h ep a n e lt om e e tc 1 满足约束条件的曲线魄面造型 如果我们将f o l e y - o p i t z 模型推广用到曲面片的第二层控制顶点就可以得到 结果假设f 和g 分别定义在和k d o 上，并且g 1 连续，那么它 们g 2 连续当且仅当 g ( 吁”，瞪抄，d o ，v o ) = ，( 野珏，蟛p ，d 0 ，v o ) ，i + j = n 一2 i ，j 0 我们可以直接构造满足这个条件的点，因为 ，( 盱珏，哼p ，d o ，) =d o ，( 盱o ，吁p ，) d 。，( 盱b ，盱扣，) d 2 ，( 盱o ，蟛挣，k )( 3 3 ) d ( 盱b ，吁p ，d o ，v o ) = 这里( d o ，d 1 ，d 2 ) 是d o 相对于三角形的重心坐标( 峋，n ，地) 是碥相 对于d o 的重心坐标从图3 9 中看到它们每组条件中需要9 个点来协调 满足图中的阴影部分显示了三组需要协调的顶点组图3 1 0 表示了为满足协调 条件对控制顶点的调节过程为达到g 1 黑影部分需要共面，f 中的三个相邻顶 点构成的平面( 网格显示) 将它们按式( 3 3 ) 延伸得到点f ( d o ，v o ，盱护) ，对 g 在相反的方向上作同样的延长得到9 ( d 0 ，c 珏，啄p ) ，如这两点共点，那 么两个曲面片有g o 连续 若不共点，我们对这g 个点采取以下的措施进行调整，即称均值调整我们 取 - f ( d o ，v o ，盱珏，嘭) = y ( d o ，v o ，盱侈，旺) = ( f ( d o ，v o ，盱侈，v 夕) + g ( d o ，v o ，盱，1 产) ) 2 最终得到图3 1 0 中的方块点，然后依次为基点再反求原控制点可得图3 1 0 右 7 ( k ，v o ，吁6 ，铲) = 虿( d 0 ，d o ，盱b ，铲) = 高阶的情况 0 7 ( d o ，v o ，盱侈，蟛) - i 1 f ( v 1 ，v o ，盱b ，嘭挣) - b v 2 f ( v 2 ，v o ，吁b ，吁) 叼( k ，d o ，盱“，悸) + 1 9 ( m ，d o ，盱6 ，盱) + 屹9 m ，d o ，吓b ，1 ，夕) 砌砌 玩儿坛 虹 牡 晗盱蟛 盱盱盱哪哪哪 满足约束条件的曲线曲面造型 图39 ：c 2 连续的相关顶点 f i g 3 9 ：q u i n t i cc o n t r o lp o i n t sa f f e c t i n gc 2c o n t i n u i t y 图3 1 0 ：g 2 连续的约束和构造 f i g 3 1 0 ：t h ec 2c o n s t r a i n t s ( 1 e f t ) a n dc o n s t r u c t i o n ( m i d d l ea n dr i g h t ) g 1 和g 2 的连续条件描述了需要满足的两种条件一种控制点间共面，一种 是控制点间共点对于更高阶的情况我们可以从式( 3 1 ) 及式( 3 2 ) 中得到满足 连续条件的b l o s s o m 值关系下面给出在已知曲面片满足a “1 连续时，通过调 整控制顶点来达到g 的方法 当k 是奇数时 虿( 盱b ，蛞p ，瑶州+ 1 ，话n t 2 j ) = ( 9 ( 铲，嘭扭，西陋2 j 十1 ，盼) + ，( 盱b ，吁p ，西酬+ 1 ，晤酬) ) 2 7 ( 盱侈，嘭p ，d ，面峰2 j 枷) = ( g ( 盱o ，v 夕，d ，曙酬+ 1 ) + ，( 野b ，盱p ，d 严2 j ，蛞舭1 + 1 ) ) 2 当k 为偶数时 可( 球b ，盱p ，d 手l k l 2 j ，话l k l 2 p ) = 虿( 盱侈，嘭挣，瑶蜊，婿陋倒) = ( 9 ( 盱b ，吁挣，d 手 k 2 j , v o , v 0 ，y o ，) 7 ( 邛b ，嘭p ，婿肛”，瑶”彤，k ) = 蜘7 ( 野b ，嘭护，曙卜，d o 一“，d 0 1 + v l f ( ：邛b ，嘭”，聒b ，d o ，) + 屹，( 邛o ，嘭”，盼枉，d o ，k ) 表2 ：7 和i 推导过程 t a b l e2 ：c o m p u t a t i o nt oc o r a p u t e7a n d i 最后我们以e 3 为例来具体描述这一过程f 见图3 1 1 ) 9 ( ，d 0 ，d o ，碥) = ，( ，d 0 ，d o ，k ) - d o f ( v 1 ，d o ，k ，v o ) + d i y ( v l ，d o ，) + 如，( m ，d o ，v o ，) 为达到c 3 ，我们延伸a 和d 来建立b 和c 的第三个点我们利用g 1 连续 的调整模式使黑影部分共面，这将导出a ，b 不再共面，再将b , c 延伸可得到满 足c 3 连续的控制顶点 图3 1 l ：g 3 连续的约束与构造 f i g 3 1 1 ：c 3c o n d i t i o n s 第四章带有弧长约束的光顺曲线 在实际工程中，外形曲线除了满足一定的插值，逼近和连续外，还需要满足 一定形状特征要求，即约束条件这些约束条件的满足通常有两种实现方法一 种是对已经生成的曲线进行调整来达到要求 3 9 ，1 6 】另一种方法就是在曲线生 成时进行控制，构造不同特性的曲线【2 2 】本章中采用后一种方法对具有弧长约 束的空间光顺曲线的构造进行了研究由于3 次b 样条曲线能够达到g 2 连续， 并且具有局部修正及边界条件容易处理等优点，因此用b 样条来解决此类问题 比较方便另外考虑到曲线光顺性的改进常需要整体修正，因而用曲线的逼近来 代替曲线的插值 4 1问题的提出 三次均匀b 样条曲线s 的第i 段的表达式有下面的形式。 以“) = ；( 1 l 1410 、i 一3 o3o j l3 63 0 i1331 ( 4 1 ) 其中仇为3 次b 样条曲线的控制顶点 给定空间舒中的一组数据点 玑) 鐾o ，要求作一条段数为m 且整体光顺的 3 次均匀b 样条曲线s k ，拟合已知点 吼) 罂o ，使得n ( o ) = q i ，r i ( 1 ) = q i + l ( i = 0 ，1 ，m 一1 ) ，且满足厶= k ，其中“为给定常数，厶为曲线j s ：。第i 段弧的 弧长 4 2具有约束条件的三次b 样条曲线 曲线段r d u ) 的阳个端点p i ，p i + 1 分别是 p 2 n ( o ) 2 ；( 吼+ 4 ”i + l + ”件2 ) p t + 1 = n ( 1 ) 掌石1 ( 口蚪1 + 4 t ，“一2 + 勘t + 3 ) 曲线段r d u ) 的弧长表达式为 厶= 0 1 ( r ：( 钍) ，r ：( u ) d u (