（运筹学与控制论专业论文）变分包含组、变分不等式组和平衡问题组的算法.pdf

变分包含组：变分不等式组和平衡问题组的算法 运筹学与控制论 研究生王中宝指导教师丁协平 论文摘要：本文主要对变分包含组，变分不等式组和平衡问题组的算法做了一些 分析和研究，对已有一些文章的结果进行了改进和推广在第一章我们在一致 光滑b a n a c h 空间内，引入和研究了两类新的含松弛一( 日棚) 一单调算子的广义混合 拟似变分包含组问题利用松弛一( 日，卵) 单调算子的豫解算子技巧，给出了求这两 类广义混合拟似变分包含组近似解的新逼近算法，并证明了这两类广义混合拟似 变分包含组问题解的存在性和由迭代算法生成的迭代序列的收敛性然后，我们 在没有光滑性的一般b a n a c h 空间内引入和研究了涉及松弛一( 日，卵) 单调算子的集 值混合拟似变分包含组fs s m q v l i ) 利用与松弛一( e 叩) ，单调算子相联系的豫 解算子技巧，建议和分析了一类寻求s s m q v l i 近似解的新迭代算法在适当 假设下，证明了由算法生成的迭代序列强收敛于s s m q v l i 的精确解在第二 章，我们在h i l b e r t 空间引入和研究了包含集值的t 个新广义混合隐拟变分不等式 问题组( s g m i q v i p ) 利用投影算子技巧，构建和分析了求s g m i q t ，p 逼近 解的一个新算法在集值映射l i p s c h i t z 连续和松弛余强制的假设下我们证明了 由这个算法生成的迭代序列强收敛至：u s g m i q v i p 的一精确解接下来，我们 在自反b n a n c h 空间中引进和研究了一个新的广义集值混合似变分不等式问题 组( s g s m v l i p ) 用辅助原理技巧，我们研究这个广义集值混合似变分不等式问 题组的解的存在性和迭代算法首先，我们证明了关于这个广义集值混合似变分不 等式问题组的辅助问题的解的存在性和唯一性其次利用辅助问题解的存在性和 唯一性，我们给出了这个广义集值混合似变分不等式问题组的一个迭代算法最后， 我们证明了这个广义集值混合似变分不等式问题组的解的存在性和讨论了这个算 法的收敛分析在第三章我们考虑了一个新的广义混合隐拟似平衡问题组这个 新的广义混合隐拟似平衡问题组包含了许多平衡问题组平衡问题变分不等式组 和变分不等式作为特殊例子我们把辅助原理技巧发展成为一个三步迭代算法来解 第i 页共埝页 中文摘要 这个广义混合隐拟似平衡问题组在适当的假设下，我们证明了我们新算法的收敛 性 关键词：广义混合拟似变分包含组( i ) ；广义混合拟似变分包含组( i i ) ；集 值混合拟似变分包含组；广义混合隐拟变分不等式组：广义集值混合似变分不等 式问题组；广义混合隐拟似平衡问题组；豫解算子技巧；松弛一( 日叩) 一单调算子； 松弛余强制映射；投影算子技巧；辅助原理；迭代算法；部分松弛一叩一夕强单 调；部分松弛隐强单调；h i l b e r t 空间；b a n a c h 空间 第i i 页共8 s 页 i t e r a t i v ea l g o r i t h mo fs o l u t i o n sf o rt h es y s t e mo f v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，t h es y s t e mo fv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa n dt h es y s t e mo fe q u i l i b r i u mp r o b l e m s m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s p o s t g r a d u a t e ：w a n gz h o n gb a os u p e r v i s o r ：d i n gx i ep i n g a b s t r a c t ：t h i sp a p e rm a i n l yf u r t h e rs t u d i e si t e r a t i v ea l g o r i t h mo fs o l u t i o n sf o r t h es y s t e mo fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s t h es 3 ，s t e mo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n d t h es y s t e mo fe q u i l i b r i u mp r o b l e m s ji t , a l s oi m p r o v e sa n dg e n e r a l i z e ss o m e k n o 矾m r e s u l t si nr e c e n tl i t e r a t u r e s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t w on e ws y s t e m so fg e n e r a l i z e d m i x e dq u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n sw i t hr e l a x e d ( 日7 7 ) m o n o t o n eo p e r a t o r s a r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e di nu n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e s b yu s i n gt h e r e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u ea s s o c i a t e dw i t hr e l a x e d ( 日，叩) 一m o n o t o n eo p e r a t o r s ， w ec o n s t r u c tn e wi t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rs o l v i n gt h et w os y s t e m so fg e n e r a l i z e d m i x e dq u a s i v a r i a t i o n a l 1 i k ei n c l u s i o n s 、v - ea l s op r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s a n dt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e dt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m s n e x t ，an e ws y s t e mo fs e t v a l u e dm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n s ( i n s h o r t ，s s m q v l i ) i n v o l v i n gr e l a x e d ( h ，? 7 ) 一m o n o t o n eo p e r a t o r si si n t r o d u c e d a n ds t u d i e di ng e n e r a lb a n a c hs p a c e s 研t h o u tu n i f o r ms m o o t h n e s s b yu s i n g t h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u eo fr e l a x e d ( 日叩) 一m o n o t o n eo p e r a t o r s ，an e w i t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rf i n d i n gt h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n so ft h es s m q v l ii s s u g g e s t e da n da n a l y z e d i ti sa l s op r o v e dt h a t t h ei t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e d b yt h ea l g o r i t h mc o n v e r g es t r o n g l yt ot h ee x a c t , s o l u t i o no ft h es s m q v l i u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d ya n e ws y s t e mo fg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s ( i ns h o r t ，s g m i q v i p ) i n v o l v i n gs o m es e t v a l u e dm a p p i n g si nh i l b e r ts p a c e s b yu s i n gt h ep r o j e c t i o no p e r a t o rt e c h n i q u e ，an e wa l g o r i t h mf o rf i n d i n gt h e a p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n so ft h es g m i q v i p i ss u g g e s t e da n da n a l ) z e d u n d e r t h ea s s u m p t i o n so ft h el i p s c h i t zc o n t i n u i t ya n dr e l a x e dc o c o e r c i v i t yo ft h e s e t v a l u e dm a p p i n g s ，i ti s p r o v e dt h a tt h ei t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db y t h ea l g o r i t h mc o n v e r g e s t r o n g l yt ot h ee x a c ts o l u t i o no ft h es g m i q i i p t h e n ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e ws y s t e mo fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e dm i x e d v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i wp r o b l e m s ( i ns h o r t 、s gsm vl ip 、a n di t sr e l a t j e d a u x i l i a r yp r o b l e m si nr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s t h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e i sa p p l i e dt os t u d yt h e e x i s t e n c ea n di t e r a t i v ea l g o r i t h mo fs o l u t i o n sf o rt h e s y s t e mo fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e dm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t yp r o b l e m s f i r s t 1 y , t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n so ft h ea u x i l i a r yp r o b l e m sf o r t h es y s t e mo fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e dm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t yp r o b l e m s i ss h o w n s e c o n d l y ，a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h es y s t e mo fg e n e r a l i z e d s e t v a l u e dm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t 3 ，p r o b l e m si sc o n s t r u c t e db yu s i n gt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t l a s t l y , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f t h es 3 ，s t e mo fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e dm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t yp r o b l e m s a n dd i s c u s st h ec o n v e r g e n c ea n a l 3 s i so ft h ea l g o r i t h m i n t h et h i r dc h a p t e r w ec o n s i d e ran e ws 3 r s t e mo fg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i e q u i l i b r i u m l i k e p r o b l e m s t h en e ws y s t e mo fg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i e q u i l i b r i u m l i k e p r o b l e m si n c l u d e sm a n yk n o w ns 3 s t e m so fe q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，e q u i l i b r i u m p r o b l e m s ，s y s t e m so fi n e q u a l i t i e sa n di n e q u a l i t i e sa ss p e c i a lc a s e s w ee x t e n d t h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u et od e v e l o pan e wt h r e e - s t e pi t e r a t i v ea l g o r i t h m f o rs o l v i n gt h e s y s t e mo fg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i t q u a s i e q u i l i b r i u m l i k e p r o b l e m s u n d e rv e r ym i l da s s u m p t i o n s ，w ee s t a b l i s ht h ec o n v e r g e n c ef o ro u r n e wa l g o r i t h m k e yw o r d s ： s t 7 s t e m o f g e n e r a l i z e d m i x e dq u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n s ( i ) ；s y s t e m o fg e n e r a l i z e dm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n s ( i i ) ； s y s t e mo fs e t - - v a l u e dm i x e dq u a s i - v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n s ；s y s t e mo fg e n e r a l i z e dm i x e di m p l i c i tq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ；s y s t e mo fg e n e r a l i z e d s e t v a l u e dm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t yp r o b l e m s ；s y s t e mo fg e n e r a l i z e d m i x e di m p l i c i tq u a s i e q u i l i b r i u m l i k ep r o b l e m s ；r e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ； r e l a x e d ( h ，叩) 一m o n o t o n eo p e r a t o r s ；r e l a x e dc o c o e r c i v em a p p i n g s ；p r o j e c t i o n o p e r a t o rt e c h n i q u e ；a u x i l i a r yp r i n c i p l e ；i t e r a t i v ea l g o r i t h m ；p a r t i a l l yr e l a x e d n 一n g - s t r o n g l ym o n o t o n i c i t y ；p a r t i a l l yr e l a x e di m p l i c i ts t r o n gm o n o t o n i c i t y ； h i l b e r ts p a c e s ；b a n a c hs p a c e s 第i 、r 页共沁s 页 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师工边垩麴援指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中己经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，。即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 论文作者签名： 2 0 0 9 年月 日 引言 变分包含是经典变分不等式的一个重要推广j 因此在许多领域例如，物 理学、最优控制、非线性规划、经济与工程学中，有着广泛的应用变分 包含的逼近可解性问题已被许多作者广泛研究为了证明各类变分不等式 和变分包含的逼近可解性投影型方法及其变型辅助原理方法和豫解算子 方法已被广泛应用在豫解算子方法中算子的极大单调性起着关键作用 文献 1 】，【2 ，【3 和【4 在h i l b e r t 空间分别引进了卵一次微分算子，( 日，叩) 单调算子， a 单调算子和叩) 单调算子，并定义了相应的豫解算子，文献f 5 】引进了一 类新的g 一7 7 一单调算子，并利用与g 一7 7 单调算子的豫解算子讨论了求解一类变 分包含问题文献 6 在b a n a c h 空间引进了一类新的松弛一( 日棚) 单调算子，并 利用与松弛一( 日，叩) 一单调算子的豫解算子讨论了求解一类变分包含组问题文 献f 6 在b a n a c h 空间内的松弛一( 日，7 7 ) 一单调算子推广了前面提到的单调算子，并且 它与文献f 7 和【8 中的( a ，卵) 增生算子是完全不同的，因为，当作为研究基础的 空间是b a n a c h 空间时，单调算子和增生算子属于不同的映象类最近v e r m a 15 在h i l b e r t 空间内研究了含( a ，7 7 ) 单调算子的变分包含组解的迭代算法l a n e ta 1 f 1 4 在h i l b e r t 空间内研究了含4 单调算子的集值变分包含组解的迭代算 法在b a n a c h 空间内，l a nf 1 6 引入和研究了求解一类含( a ，叩) 一增生算子的变分 包含问题的一个新逼近算法k a z m i k h a n 2 4 为求解实b a n a c h 空间内的多值 似变分包含，引入了p - 叩近似点映射，构造了一迭代算法和讨论了该迭代算法的 收敛分析p e n g z h u 1 1 茬e h i l b e r t 空间内引入和研究了- 类新的涉及( 日川) 一单 调算子的广义混合拟变分包含组，这类变分包含组包含了文献 2 ，1 2 ，2 2 ，2 3 1 中 的数学模型作为特殊情形本文第一章，在一致光滑b a n a c h 空间内，引入和研究 了含松弛一( 日，卵) 一单调算子的广义混合拟似变分包含组( i ) 和广义混合拟似变分 包含组( i i ) 在没有一致光滑性的一般b a n a c h 空间内，研究了一个集值混合拟似 变分包含组利用松弛一( 日，叩) 一单调算子的豫解算子技巧，给出了求解这三类广 义混合拟似变分包含组的新逼近算法，并证明了由这些新算法生成的迭代序列 强收敛于这些变分包含组的精确解这些结果是新的且改进与推广了文献2 6 ， 1 1 ，1 2 ，1 垂2 0 2 7 2 9 1 中的相应结果 第1 页，共8 8 页 引言 在变分不等式理论中最重要的问题之一是为计算变分不等式变分不等式组 的近似解而构建高效迭代算法许多作者用投影方法来研究解各种变分不等式 和变分不等式组的迭代算法，如，看f 3 1 5 8 1 但是用投影算子技巧来研究包含集 值映射的广义混合拟变分不等式组几乎没有众所周知，投影方法的收敛需要 所涉及的算子是强单调禾d l i p s c h i t z 连续的这些严格的条件限制了投影方法的 应用另外，似变分不等式和混合拟变分不等式是变分不等式一个重要且有用 的推广，同时在非凸优化上有着非常重要的应用我们注意到投影方法和它的 变化形式一般不能够用来构建混合似变分不等式和混合拟变分不等式的算法 这个事实刺激许多作者来发展辅助原理技巧来研究混合似变分不等式的解的存 在性和算法对更多细节，我们可以看参考文献f 5 9 6 8 及其中的参考文献近来， c h a n ge t a lf 4 0 1 研究了广义松弛余强制变分不等式组h u a n g 和n o o r 3 s m 投 影方法研究了有着不同( 7 ，r ) 一余强制映射的非线性变分不等式组m a n o o r 和k i n o o r 5 6 研究了解一般变分不等式组的投影算法k a z m i 和k h a nf 6 4 用 辅助原理技巧在h i l b e r t 空间研究了一个广义似变分不等式问题组d i n g y a o 和z e n gf 6 3 1 在b a h a c h 空间引进了一新的迭代算法来解一类广义强非线性混 合拟变分不等式另外，d i n g 和y a o 6 9 在b a n a c h 空间研究了混合拟似变分包 含解的迭代算法由近来这些结果的刺激和影响，在第二章我们在h i l b e r t 空 间内引进和研究一个新的包含集值的广义混合隐拟变分不等式问题组；在自 反b n a n c h 空间内，研究了广义集值混合似变分不等式问题组和它的相关辅助问 题我们用投影算子技巧分析和构建了求广义混合隐拟变分不等式问题组的逼 近解的一个新算法在集值映射l i p s c k i t z 连续和松弛余强制的假设下我们证 明了由这个算法产生的迭代序列强收敛到广义混合隐拟变分不等式问题组的一 个精确解用辅助原理技巧，我们研究了广义集值混合似变分不等式问题组的 解的存在性和迭代算法首先，我们证明了关于这个广义集值混合似变分不等 式问题组的辅助问题的解的存在性和唯一性其次，利用辅助问题解的存在性 和唯一性，我们给出了这个广义集值混合似变分不等式问题组的一个迭代算法 最后，我们证明了这个广义集值混合似变分不等式问题组的解的存在性和讨论 了这个算法的收敛分析这些结果改进，统一和推广了当前许多文章中的相应 耻甲 当日木 平衡问题理论是应用数学的一个重要和有趣的分支，在工业物理理论和 第2 页共s 又页 引言 应用科学上有着广泛应用，看f 7 2 7 4 8 6 它为金融，经济，网络分析交通力 学，优化上产生的非线行问题提供了统一，自然和强有力的结构平衡问题已 经在许多不同的方向上进行了推广看7 5 ，7 7 ，8 3 1 众所周知，解各种各样的变 分不等式有许多数值方法n o o r 7 8 8 2 ，8 6 引进和研究了预解修正迭代算法解 一般混合变分不等式广义变分不等式和混合拟交分不等式d i n g 6 6 ，8 9 9 5 利用辅助变分不等式技巧推广和完善了n o o r 在参考文献f 7 8 8 2 ，8 6 1 中的结果近 来，n o o rf 9 0 9 1 和d i n gf 9 2 ，9 3 进一步研究了广义混合拟平衡问题，广义混合 隐似平衡问题和广义混合隐拟平衡问题和解这些平衡问题的迭代算法也被考 虑和分析为解广义混合拟似变分包含组，z e n gf 6 5 引进了一新的三步迭代算 法在第三章我们引进和研究了一个新的广义混合隐拟似平衡问题组这个新 的广义混合隐拟似平衡问题组包含了许多平衡问题组，平衡问题变分不等式 组和变分不等式作为特殊例子我们把辅助原理技巧发展成为一个三步迭代算 法来解这个广义混合隐拟似平衡问题组在适当的假设下，我们证明了我们新 算法的收敛性 第3 页共8 氏页 第一章变分包含组算法 1 1 g 一致光滑b a n a c h 空间内的变分包含组问题 1 1 节，在一致光滑b a n a c h 空间内引入和研究了两类新的含松弛一( 日叩) 单 调算子的广义混合拟似变分包含组利用松弛一( 日7 7 ) 单调算子的豫解算子技 巧给出了求这两类广义混合拟似变分包含组近似解的新逼近算法并证明了 由这个新算法生成的迭代序列强收敛于这两类变分包含组的精确解这些结果 是新的且改进与推广了近期文献中的相应结果 1 1 1预备知识 设e 是实b a n a c h 空间。驴是其对偶空间，”i 表e 上的范数，( ，) 表e 和e 4 之间的对偶对，c ( e ) 表e 的切非空闭子集的族，2 表e 的一切非空子 集族我们称疗：2 e 2 e 一( 一，+ 。 是h a u s d o r f f 伪度量，若 日( a ，b ) = m a x s u p z i n f ! ，e bi iz yf l ，s u p bi n f a | lz 一可1 1 ) ，v a ，b 2 e 注意，如果日( ，) 的定义域被限制在有界闭子集族上，那么膏( ，) 是h a u s d o r f f 度 量 广义对偶映象厶：e _ 2 e 定义为： 厶( z ) = ，e ：( z ，厂+ ) = l | ，i ii iz 。l l ，1 1 厂+ i i = 1 lzl q - 1 ) ， vz e ， 其中q 1 是常数特别的当口= 2 时，以( z ) 是通常的正规对偶映象若z 0 ，我 们有4 ( z ) = 0zl l 口- 2 如( z ) 若e 4 是严格凸的，则山( z ) 是单值的在这一节，我 们总是假设厶( z ) 是单值的 设e 是一实b a n a c h 空间，称e 为一致光滑的，若其光滑模 p e ( t ) = s u p ( 1 iz + yi l + i iz 一可i | ) 一1 ：i lzi | 1 ：i l 可i l t ) t 0 满足条件 t 、 l i m 丝迎：0 称e 为g 一一致光滑的，若存在一常数c 0 ，使得船( 亡) 矗口，q 1 引理1 1 1 1 1 9 设e 是一致光滑的实b a n a c h 空间，则e 是q 一一致光滑的当 且仅当存在常数e 口 0 ，使得 第4 页共s 8 页 第一章变分包含组算法 | lx + y 酽j | z g + 口( 秒，山( z ) ) + c 口l | y ” vz y e 定义1 1 1 1 6 7 设叼：e e _ e ，t ：e _ p ，乃：e _ e 是单值算子 ( 1 ) 称t 是单调的，如果 ( f ( z ) 一t ( 可) ，z y ) 0 vz ，y e ； ( 2 ) 称丁是严格单调的，如果丁是单调的且( 丁( z ) 一t ( 可) ，x y ) = 0 当且仅 、r ， 壹z = y ； ( 3 ) 称丁是r 一强单调的? 如果存在常数r 0 使得 ( t ( x ) 一t ( 可) z y ) r | | z yf f 2 ；。 ( 4 ) 称丁是s l i p s c h i t z 连续的? 如果存在常数8 0 使得 i | r ( z ) 一7 ( y ) i l sl lx yi l ，vz ，y e ； ( 5 ) 称丁是( n 叩) 一强单调的，如果存在常数r o 使得 ( r ( z ) 一丁( 可) ：叩( z ，可) ) 7 i iz y1 1 2 ； ( 6 ) 称乃是6 一强增生的，如果存在常数6 o 使得 ( t ( x ) 一丁( 可) ，厶( z 一夕) ) 6i lx yi l 口 定义1 1 1 2 1 6 设m ：e _ 2 p 是多值算子，h ：e _ 驴，卵：exe _ e 是 单值算子， ( 1 ) 称a ，是单调的如果 ( z 一可，u u ) 0 ，vt 工，t ，e ，z a 彳( u ) ，y m ( u ) ； ( 2 ) 称m 是叩一单调的，如果 ( x y ，叩( 让，u ) ) 0 ，v u ，v e ，x a f ( 乱) ，y z ( 钞) ； ( 3 ) 称m 是( r ，叼) 一强单调的，如果存在常数r o ，使得 ( z y ，叩( 仳，可) ) r l l 让, 一v i i 2 ，vu ，u e ，x m ( u ) ，y 彳( 口) ； ( 4 ) 称m 是m 松弛一叼单调的，如果存在常数7 0 使得 ( z y ，卵( u ，u ) ) 一m l l u t ) 1 1 2 ，v u u e ，z m ( u ) ，可m ( 口) ； ( 5 ) 称m 是极大单调的，如果a 彳是单调的且在e 中没有极大单调扩张即对 一切u ，v 0 e ：z 彳( 钆) ，若( z y o ，u v 0 ) 0 贝0 必有y o a 彳( 咖) ； 当e 是自反b a n a c h 空间时，m 是极大单调算子等价于m 是单调的且对任 何a 0 ，( 以+ 入m ) e = e + ； 第5 页共8 k 页 第章变分包含组算法 ( 6 ) 称m 是极大卵单调的：如果m 是7 7 一单调的且在e 中没有极大叩单调扩 张当e 是自反b a n a c h 空间时，m 是极大叼一单调算子等价于 z 是7 7 单调的且对 任何入 0 ，( j 2 + a a 彳) e = e + ； ( 7 ) 称m 是日一单调的，若m 是单调的且对任何入 0 ，( h + 入m ) e = e + ； ( 8 ) 称m 是( 日，叩) 一单调的若m 是叩一单调的且对任何a 0 ，( h + 入且，) e = e ； ( 9 ) 称m 是松弛一( 日叼) 单调的，若 彳是m 松弛- 叩单调的且对任何入 07 ( 日+ 入 彳) e = e 。 注1 1 1 1 1 若e 为h i l b e r t 空间则松弛( 日卵) 单调算子变为文献 5 中 的g 一叩一单调映射和文献 4 中的( 4 叩) 一单调映射因此利用松弛( 日叩) 单调算子 可以统一处理h i l b e r t 空间内涉及7 7 一次微分算子日单调算子，极大叼单调算子? a 一单调算子，( a 叩) 一单调算子和( 日卵) 单调算子的许多广义变分包含( 组) 的 求解问题详情可见参考文献f 1 5 ，6 - 8 ，1 1 1 2 1 4 1 7 2 b a n a c h 空间内的松弛一( 日：叩) 单调算子推广了前面提到的各类单调型算 子，并且它与文献 7 和 8 中引入的( 4 ，1 = 7 ) 一增生算子完全不同 定义1 1 1 3 1 6 设日：e f ? 7 7 ：e e _ e 是单值算子，m ：e _ 2 f 是松弛一( 日，叩) - 单调算子，广义豫解算子r 嚣玉：e + _ 2 e 定义为 兄( 让) = + ( 日+ a ，) 一1 ( u ) ，v “e 4 ， 其中入 0 是一常数 因为对任何a 0 7 有( 日+ 入m ) e = e + 所以对任何u e + ，r 刍3 ( u ) 是有意 义的下面结果是l o u - h e - h e 6 1 的定理2 1 引理1 1 1 2 1 6 设e 是实b a ；n a c h 空间，卵：exe e 是具有常数7 - 0 l i p s c h i t z 连续算子，( 即对任意的z ，可e 有| | 叩( z ：y ) i l 7 | | z y1 1 ) 日：e e 4 是( r ，叼) 强单调算子，m ：e 一2 f 是松弛( 日，7 7 ) 单调算子则广 义预解算子r 识：e + _ e 是单值的和具有常数急的l i p s c l l i t z 连续算子，其 中0 0 使得 l lf ( ，。1 ) 一f ( ，2 2 ) l l s 2l lz l 一2 2l j ， vz 1 ，z 2 e 定义1 1 1 5 设e + 是g 一致光滑的实b a n a c h 空间，vu ：e _ 2 e 是两 个集值映射夕：e _ e + ，h ：e _ e 4 和a t ：e e _ f 是三个单值映射， 称( ，) ( 1 ) 在第一变元关于y 和夕是矽强增生的，若存在常数卢 0 使得 ( n ( w l ，) 一n ( w 2 ，- ) ，以( 9 ( u ) 一夕( z ，) ) ) 2 | f9 ( 乱) 一夕( 2 ，) i l 。 vu ! v e ，w l y ( u ) ，w 2 y ( 钞) ； ( 2 ) 在第二变元关于u 和h 是q 强增生的，若存在常数q 0 使得 ( ( ，2 1 ) 一( ，2 2 ) ，以( 赶( 札7 ) 一h ( v 7 ) ) ) 0 1l i 九( u 7 ) 一 ( 掣7 ) i i q v 乱7 ，口7 e ，z l v ( 乱7 ) ，z 2 u ( 掣7 ) 其中露：e 一2 f 。为驴上的广义对偶映射 注1 1 1 2 若ku ：e _ c b ( e ) ，e + = e ，以= 厶：e 一2 e + 则上速的概 念变为文献 1 0 中相应的概念其中c b ( e ) 表示e 的所有非空有界子集簇 定义1 1 1 6 设e + 是g 一一致光滑的实b a n a c h 空间g ：e _ e 和h ：e _ p 是两个单值映射， ( 1 ) 称日关于夕是衲一松弛余强制的，如果存在常数m o 使得 ( h ( x ) 一日( 秒) ，露( 9 ( z ) 一夕( 可) ) ) 一m ，i | h ( x ) 一h ( y ) l i 口，v z ，可e ； ( 2 ) 称日关于9 是( a ，p ) 松弛余强制的：如果存在常数口， o 使得 ( 日( z ) 一日( ) ，龙( 9 ( z ) 一夕( 可) ) ) 一ai lg o ：) - 日( y ) 1 1 9 + pl lx - y1 1 9 ，v x ，! ，e 其中0 ：e + 一2 p 为f 上的广义对偶映射 注1 1 1 3 若e + = e ，露= 山：e 一2 p 则上速的概念变为文献【1 6 中相 应的概念。 定义1 1 1 7 设e 是实b a n a c h 空间，称a ：e _ 2 e 为a h l i p s c h i t z 连续 的，如果存在常数a 0 ，使得 日( a ( t 1 ) ，a ( t 2 ) ) sa1 1z l z 2l l ， vx l ，：r 2 e ， 其中日( ，) 为h a u s d o r f f 伪度量 第7 页共s l 、页 第一章变分包含组算法 1 1 2 广义混合拟似变分包含组问题( i ) 对i 1 2 ，设骘是b a n a c h 空间丘的对偶空间且是q 一一致光滑b a n a c h 空 间仇：磊e i _ e ，皿：e _ 日，仇：蜀一最，g ，置：e 1x 易一日为单值 映射对i 1 ，2 ) ，设m i ：e i e 叫2 9 关于第一变元是松弛( 皿，耽) 一单调算 子仇( 易) nd o r a 坛( ，z t ) 仍vx i 互对i 1 ，2 ) ，设a ：易_ 2 厶是集值 映射考虑如下广义混合拟似变分包含组( i ) ：对任意给定的( ， ) e ；垦， 求( z 可) e 1 e 2 ，札a l ( x ) ，v 4 2 ( y ) 使得 只( 砌) + g l ( u ) + 且( z ) ，z )( 1 1 - 2 1 ) l 庀1 2 ( z ，y ) + g 2 ( u ，口) + a 如( 鲍( 3 ，) ，3 ，) 、7 我们考虑下面的特殊情形： 。 ( 1 ) 女口果f l = 足= 0 ，m 1 ( 夕1 ( z ) z ) = m 1 ( 夕1 ( z ) ) ，m 2 ( 9 2 ( y ) ，y ) = m 2 ( 9 2 ( 可) ) ， a 1 = a 2 = ，是在e 上的恒等映射，则变分包含组( 3 1 ) 退化为l 0 1 1 h e h e 6 1 的问 题( 2 1 ) ：求( z ，y ) e 1 易：使得： j g 1 ( z ，) + a 缸( 夕1 ( 叠) )( 1 1 2 2 ) i 厶g 2 ( x jy ) + a 如( 夕2 ( 秒) ) 、 7 由定义2 3 ，易知下面结论成立 引理1 1 2 1 对i 1 ，2 ) ，设g 是b a n a u c h 空间局的对偶空间且是口一致光