（计算数学专业论文）一个非协调四边形元的数值积分的影响.pdf

摘要 本文主要考虑一个非协调的四边形单元的数值积分对二维空间中二阶椭圆边 值问题的影响我们给出并分析了一些数值积分格式，利用一些新的技巧，我 们得到了一个仅有三个积分点的数值积分格式，并且得到了最优误差估计最 后，我们给出了大量的数值算例来验证我们的理论分析，其数值结果与我们的 理论分析是相吻合的此外，该文的结果对设计数值求解二阶问题并减少运算 量是很有意义的 关键词：数值积分非协调元误差估计 a b s t r a c t t h em a h la i m ( ) ft h i sp a p e ri st o 站u d yt h ee n b c t ( ) fn u m e r i ( a li n t e g r a t i o nf o ran o n - c o n f o r m i i l gq u a d r i i a t e r a l 矗n i t ee l e m e i l tf o rg e n e r a ls e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m s s o m e n u m e r i c a lq u a d r a t u r ef o r m u l a sa r ep r e s c n t e da n d a n a l y z e d b yan ( ) v c la p p r o a c h ，、t ed e r i v e af o r i n u l a sw i 七h 。n l yt h r e es a m p l i h gp o i n t s ，w h i c ha l s oi e a d st ot h eo p t i m a le r r o re s t i n l a t e n l r t h e r m o r qt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sv e r i f yt h ev a l i ( 1 i t yo fo u rt h e o r e t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s ：r m m e r i c a lq u a d r a n l r e ；n o n c o n f o r m i n g 丘n 让ef j 】e m e n t ；t h eo p t i m a le r r o r e s “1 1 1 a t o 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果，特此郑重声明。 学位论文作者：多疃驴 2 0 0 6 销肛6 日 引言 有限元方法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法，它比传统解法 具有理论完整可靠、物理直观意义明确、解题效能强等优点有限元离散化的思 想早在2 0 世纪4 0 年代就已被提出( r c | 一r o 札，1 9 4 3 ) ，并在5 0 年代被西方的一些 结构工程师所采用自六十年代这种方法奠基以来，这一方法将固体力学、弹性 力学、航天结构、石油运移等实际计算得以实现，并建立了一套比较完整的数学 基础和框架理论我国数学家冯康院士参与了开创性工作f 1 1 ，赢得国际计算数 学界的认可，形成具有我国特色的有限元理论研究方法 有限元方法的基础是变分原理和剖分插值一方面，有限元方法以一种大范 围，全过程的数学分析即变分原理为出发点，而不是从自然规律的局部的，瞬时 的数学描述即微分方程出发，因此它是传统的r i t z _ g a l 惯k i n 方法的变形，与经典 的差分方法不同另一方面，有限元方法又采用了分片多项式逼近来实现离散 化过程，它依赖于由小支集基函数构成的有限维子空间，其离散化代数方程组 的系数矩阵是稀疏的，这又与传统的r i 魄g a l e r k i n 方法不同，而可看作是差分方 法的变种有限元方法正是这两类方法相结合而进一步发展的结果它具有广 泛的适用性，特别适合几何与物理条件比较复杂的问题，且便于程序标准化， 从而适用于工程应用由于有限元方法有上述优越性，它自6 0 年代以来已作为 一种独立的数值计算方法获得了迅速发展和广泛应用2 。5 1 在有限元方法的运算中，我们要计算刚度矩阵和荷载，他们是由区域n 上 定义的黎曼可积函数，( z ) 构造的定积分如_ ，( ) d z 组成的在实际问题中，我们 往往会遇到被积函数，( z ) 的原函数无法用初等函数来表示或者函数，( z ) 使用表 格形式给出的，对于这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式我们在实 际应用中的标准数值积分格式有着求积节点不规则，节点数目多的缺点不象 标准的数值积分格式，本文给出了一种新颖的数值积分格式不需要对二次也不 需对双线性多项式空间精确成立，只需对有限元空间自己精确成立就行了并 且该格式利用了最少的积分点，减少了运算量，加快了运算速度，节省了大量的 运算时可，同样我们可以得到最优的误差估计 本文的写作安排如下： 第一章：介绍预备知识，列举本文所用到的记号和定理，并给出了几个重要的推 论 第二章：分析五节点四边形元数值积分性质，并由此得到与传统数值积分相似 的结果，得到了相同的误差估计 第三章：分析了五节点四边形元数值积分性质，给出了相应的数值算例，计算了 相应的模型问题，减少了运算量，加快了运算速度，得到了与理论相同的数值结 果， 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及嵌人定理 设形为礼维欧式空间，q 为船中的区域用口( n ) 表示一切定义在q 上 的p 次可积函数组成的集合l 。( n ) 表示一切在q 上本性有界的可测函数组成 的集合则按范数 郴) _ ( 上) ) ；，1 p o 。 f | “| | 工( n ) = e s ss u p l “( 茁) l ，p = 。 z n ， 扩( q ) 为b a n a c h 空间，而l 2 ( q ) 为h i l b e t t 空间，其内积定义为 ( u ，”1 = ，札 ( i x 、7 1 用g ( n ) 表示区域f 2 上m 次连续可微的函数组成的集合，e 。( q ) 表示区域 n 上无穷次连续可微函数组成的集合，简记伊( q ) 为g ( n ) 记区域n 上的偏微分算子俨= d ? - d 托其中破：鑫，a h ，。为非负整 数n = ( n 一，。) 称为n 重指标，记：。+ 。+ + 。 定义1 1 - 1 设上艺。( q ) 为区域n 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间，。l 乙。( n ) 如果存在”l ( q ) ，使得 厶u d 。d x = ( 一1 ) 正”d x ，w 常( n ) ， ( 1 1 ) 则称w 是乱的f 。j 阶广义导数，并记为。：d 设m 为非负函数，1s p ，考虑函数空间 w “9 ( n ) = 扣：d 。“口( q ) ， 。i m ， 这个空间依范数 一一l 纛z 酬州，p o 。 m ，o 。2 嚣臻| | d 。，p = o 。 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o i e v 空间，并定义半范数 一一 三二m ；，1 sp 。 l l 。，。= 瑚a 。( | | d “。，p = 。 又令w 伊9 ( q ) 为c 铲( n ) 按范数i 。在空间一( s 2 ) 内的完备空间，则伊，一( n ) 也是一个b a n a c h 空间 简记 日”( n ) 一w ，“，2 ( n ) ，月矿( f 2 ) = w 伊，2 ( q ) ， | | - i l m = | f i i m ，。1 i m i m ，z 于是h “( n ) ，卵( n ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( 饥 ) 。= ( d d 。”) ，“， 日“( n ) i n f 曼m 定义11 2 设x 和y 是两个线性赋范空间，如果xcy ，并且把。x 映 为儿y 的恒等算子，是连续的，即存在常数m 使得 | | 。| | ysm l l o f x ，b b x 则称x 嵌入y 、记为x y ，又称j 为嵌入算子，m 为嵌入常数 s o b o l e v 嵌人定理设ncr n 为有界区域，其边界a n 是局部l i p 8 c h i t z 连续 的，m ，为非负整数，1sp o ，则存在常数c ， 使得 i l 饥l f ，p g ( i u l l ，+ l 上u d s l ) ，“w 1 9 ( q ) ，l p 墨。 ( 1 3 ) 特别当u 础( e 1 ) 时，此不等式给出了h 3 ( ( 2 ) 中范数与半范之间的等价性此时 有 l i “| | 1 ，psg l 1 1 ，p ，u 苫护( q ) ，1sp 。( 14 ) 1 2 有限元空间及其性质 微分方程数值解法的实质是用有限维空间近似无限维空间，从而将在无限维 空间中求解的问题离散化为一个近似的有限维空间中的问题有限维近似空间 的选取方法可有多种，一个最常用的近似空间就是有限元空间，它是建立在区 域剖分基础上满足一定约束条件的分片多项式空间 在区域而上建立一个剖分死将而分割为有限个具有l i p s c h i t z 连续边界的， 相互之间没有公共内点的内部非空的有界闭集之和，即晓= u k ：k 死， 称为剖分单元， = r n a x d i r ：丁死) ，也称为剖分直径常用的剖分形式有 三角形剖分，矩形剖分，任意四边形剖分等 定义1 2 1 有限维空间k 称为相应于剖分霸的有限元空间，如果对每一个 死集合段= p ：p = “ k ，坛) 是k 上的某一多项式类，并且存在一个自 由度集合( 一组泛函) k = 0 ，1 兰f ，它是唯一可解的，即任给( a ，1s ) 存在唯一的一个函数p 斥满足 f ，( p ) = n j ，1 2 三元集合 k ，玖，n ) 称为一个有限元此外，一般要求属于某一个s o b o l e v 空间 有限元空间作为求解问题所在的无穷维空间的一个近似空间，必须具有一定 的逼近性质 定义1 2 2 两个有限元 ，攻，) 和 詹，段，宝 称为仿射等价的，如果存在 可逆的仿射变换f ：圣霞一z = f ( 霞) ，使得 k = f ( k ) ，攻= p = 】；of ，西p = 0 ：f ，( p ) 与0 ( 多) 定义形式一致，v 宝 一族有限元称为仿射族，如果其所有有限元都仿射等价于某一参考有限元 f k ，斥， ， b r a m b l e - h i l b e r t 引理设q 为具有l i p s c h i t z 连续边界的酽中的一个开子集 对整数三o ，p ( 1 ，。o ) ，( w ，一( q ) ) 7 ( w 川，一( n ) 的对偶空间) 有 ，( “) = 0 ，v “最( q ) 则存在常数c | ( q ) ，使得v t ，w m ，( n ) 有 1 厂( 圳曼e ( q ) 4 1 删扎，n ( 1 5 ) 其中，r ( n ) 为q 上所有的次数。的多项式集合，1 1 川：扎加2 。；鬻咖、哉 为( w 蚪1 ，( q ) ) 7 上的范数 定义1 2 3 给定有限元 k ，忍，k ) ，称”k ”为w 酽( ) ( s 是k 中出现的最 高阶偏导数的阶数) 的政一插值，如果 7 r u p 膏，f ( 7 r 1 ，) 此时”：驴( ) 一戌就称为段一插值 ” ”为 驴( n ) 的一插值，如果 = 蜘) ，v f ( 1 6 ) k 为相应于剖分孔的有限元空间，称 丌 1 嘱， f ( 7 r 勘l ) = 丌( 训) ，v k 死 ( 1 7 ) ”n ：伊( 而) 一k 就称为k 一插值算子 定义1 2 4 称剖分死是正则的，如果存在正常数盯使得 竺丝口，v 乃，h + 0 p k 其中 2 d i a m ( k ) ，p 一s u p d i a m ( s ) ：球s k ) ， = 簇畿 插值逼近定理 给定一个有限元仿射族，假设相应的剖分孔 则的，在参考元 詹戌，) 上成立下列关系 w 扎”( 露) 一e 5 ( 露) ，抖1 ，( 霞) 一w n 。( 膏) ，淼( 露) cw m ，。( 露) 6 f 1 8 1 u 耳) 是正 其中s 为宝中出现的最高阶偏导数的阶数，m ，为非负整数，1 p ，q 。则 存在不依赖于k 的常数e 使对任何k a 和函数 蚪1 一( ) 、有 i u 一7 r k u l m 崩k g ( ) 孑； 铲1 一m i 甜i 七+ 1 ，( 1 9 ) 特别当p = g = 2 时，有 一7 r 削i m ，g 铲1m l l + 1 ，a n ( 1 1 0 ) 1 3 椭圆边值问题的有限元逼近 设n r 7 。为有界区域，其边界a n 是局部l i p s c h i t z 连续的考虑下面二阶椭 圆d 矾c h l e t 边值问题： 一u = 工2 几n( 1 1 1 ) i “2o ，。n 酬2 设，上2 ( q ) ，根据微分方程正则性理论有k ( 。) s 钏川叩 求解微分方程数值解的有限元方法是将微分方程转化为与其等价的变分形 式，并在有限元空间上求解对应的离散变分问题得到离散解“。作为精确解“ 的近似，这种近似的精确程度与的构造有关 例如上面问题的变分形式为： 老眷等芑墨箩 其中n ( “，口) = 如v “v 硼x ，( ) = 厶， d x 大量的数学物理问题都可以表示为形如( 11 2 ) 的变分问题 关于变分问题( 11 2 ) 的解的存在唯一性，我们有 l a x - m i l g r a m 定理 设h 为h i l b e r t 空间，n ( ，) 是定义在日日上的双线性 泛函，如果满足： ( 1 ) 有界性，即存在正常数m ，使 i o ( “， ) l 彳| | “| jj | | 、讹， 日， ( 2 ) 强制性，即存在常数c o ，使 i n ( ，u ) i e l 口i 2 ，v 2 ，h 则对任意，日7 ，存在唯一的“h ，使 n ( u ， ) = ，( ) ，咖日， 其中日7 为日的共轭空间 l a x - m i l g r a m 定理对变分问题( 1 1 2 ) 的解的存在唯一性给出了明确的回答，但 是如何实际计算出这一精确解，直接从这一定理中找不到答案只有少数非常 简单的数学物理问题用分析方法可求出其精确解人们自然要问：是否能求出 其近似解? g a l e r k i n 方法就是求解变分问题近似解最有效的方法之一 求变分问题精确解的主要困难在于v 是一个无限维空间若( 11 2 ) 中的无限 维空间v 用一个有限维空间坛来代替，即用有限维空间来逼近无限维空间 v ，( 1 ，1 2 ) 化为离散变分问题： ， i 求札 ，使得 ( 1 1 3 ) in ( “ ，) = ( ，) v 这就是g a l e r k i n 方法的基本思想 关于离散变分问题( 1 1 3 ) 解的存在性，只须有限维空间是h i l b e r t 空间， 双线性泛函n ( - ，) 于坛上有定义，线性泛函，于k 上有定义，并且满足 l a x - m i l g r a m 定理条件，由l 阱m i l g r a m 定理立即可知离散变分问题( 1 1 3 ) 的解在 k 上是存在唯一的 没 批) 罂。为有限维空间k 的一组基，则“n ，k 是基函数 m ) 翟。的线性 组合： “ = 屈批，= m t = l o = l 8 ( 1 1 4 1 把( 1 1 4 ) 代入( 1 1 3 ) ，由于n ( ，) 是双线性的，是线性的，得 。( 眠，) 臃= ( ，批) l = 1 j = lj = 1 亦丑口 ( a 。屈一乃) = o j = 1 t = 1 其中 a 玎= 。( ：! ，屿) ，玛= ( ，屿) 因为是任意的，故1 ，也是任意的，从而 a 玎屈= 玛，j = 1 ，2 ，- - ，m 这是一个线性方程组，其系数矩阵a = ( 4 。) ：。称为刚度矩阵，f = ( 只，f m ) t 称为荷载向量求其解 屈) 垩，由( 1 1 4 ) 即得离散变分问题( 11 3 ) 的解这样， 求解离散变分问题( 11 3 ) 最终实际上成为求解线性方程组的问题 需要说明的是，在实际工程计算中发明了一种分片构造多项式并生成单刚矩 阵，最终合成为总刚矩阵的方法它方便灵活有效，更适合于有限元方法的实际 使用，因而被广泛采用 作为变分问题( 1 1 2 ) 的解u y 的近似，离散变分问题( 1 1 3 ) 的解“h 逼 近“的程度如何，自然是理论上和实际计算中都非常关心的问题若ck 则 称有限元空间为协调元，否则称为非协调元c 。引理和m r n 蛳引理分别就协 调元和非协调元的误差给出了解答 c d a 引理如果a ( - ，- ) ，l ，满足l m i l g r a m 定理的条件，则离散问题有唯一解， 且 l l “一u n 怯c 。巍l l u 一怯 其中”忙为能量模， l 。= ( n ( ”，”) ) 因一札坛，结合插值逼近定理和c 如引理可以得到协调元的能量模误差估 计i l u 一“n 进而利用n i t j j c h e 对偶技巧可以得到“。的l 。模估计 9 对于非协调元，即不属于y ，可以定义分片双线性型( ，- ) 变分问题的 离散形式为 n ( “ ，削h ) = ( ， ) v t 饥v t 关于收敛性分析，有下面引理 s t r a n g 第二引理设n 。( ，) 为s s 上的连续双线性型，并且满足强制性， _ 厂s7 ，则离散问题有唯一解，并有估计式 陋圳s 蚓。剐训溉世掣) 其中i l “，i i s = ( n ( “，w ) ) ，v s ，s 右端第一项为插值误差，第二项为相容误差插值误差可由插值逼近定理估计， 相容误差可由非协调元分析的标准技巧来估计 下面的引理给出了非协调有限元的抽象l 2 误差估计。该估计最早见于 1 2 ， 也可参见【1 3 ( 第三章引理1 4 ) 引理设h 是一个h i f 6 e r 空间，其范数定义为i ，内积定义为( ，) v 连 续嵌入到日中若kch ，则 l “一札一l 船南u u 肌n 一圳蛐 + l 。 ( u 一“ ，九) 一( “一u h ，g ) i + ln ( “，一妒f 。) 一( ，如一曲 ) 1 九v 且咖坛，其中九为变分问题n ( u ，g ) = ( “，9 ) 的解，9 日 具有数值积分的有限元逼近问题的形式为 且 n u 刨) ( 乜) 即一 塑眠 一u 尺 n i 。州。dh加 r 、1 正 岖 蚴 。d m 卜 砺 加 s t r a n g 引理若“n ( 。) 是一致坛椭圆的，则 “圳y 蚓。剐u 圳v + 黑丛笋) + 恶警硫刨) 。h l l u h i l 矿 第二章一个非协调的四边形单元的数值积分的插值误差分析 2 1 引言 众所周知，有限元方法已经应用于各种不同的领域，例如固体物理学和流体 物理学等但当我们计算变分等式的左边和右边时，积分极少能被精确计算的， 因此我们通过数值积分来求变分等式的左面和右面的积分协调元的误差估计 已经被p g c i a r l e t 建立，现在我们分析一个来自 6 】的非协调四边形元不象标 准的数值积分格式，我们给出的数值积分格式即不需对二次也不需对双线性多 项式空间精确成立，只需对有限元空间自己精确成立就行了同样我们可以得 到最优的误差估计 2 2 解决的问题 考虑变分问题 v = 嘲( n ) ， o ( u ， ) = ，( ) ，v u ，甜yf 21 ) 其中 n c “，”卜厶毫n 玎差筹+ n u 州削u ，”v m ) = 五，”出，v ” 并且q r 2 ，n ，p ( n ) ，n 俨( q ) ， n o 和，l 2 ( n ) ， 磊) 是f 2 的一族 剖分。 五 = ，k w ) ，q = u 虬。矗甄尬是任一单元。我们也假定椭圆条件 成立，存在卢使得 口 o 1 2 f 2 2 1 并且对所有的z 丽和所有的6 r ，1 曼z 墨2 成立。 给一个有限元空间并且根据( 1 1 ) ，我们得到离散问题： 。 ( “ ，) = ，( ) ，( 2 3 ) 其中 州) _ 。三上( ，毫n 廿等等扣酬妣 k 矗。”t ，= 1 u 山iu 。， m n ) _ ：至上，珐 矗 2 3 两种非协调有限元 首先我们介绍两种q 上的非协调四边形元，它们是由韩厚德 6 定义的： 段= s p a n 1 ，q ，g ( ) ，g ( q ) 9 ( ) = j ( 3 t 2 1 ) ) 是实形函数空间并且有两种不同的定义 镱和噜 c a s e1 ：露= 乒，p 。，p 。，p a ) 和叼= + 坛1 ，+ 眩1 ，血+ 啄1 ，p 。+ 巧1 ， 有限元空间是 嗽= ? 协i l 膏p 嚣v k 五；” 。( m ) = i 虬( m ) 和m 是 f 1 2 的中点，日z = k ln 拖；( ) = o 和n 是a kr a n 的中点1 i ( ，q ) 露可表示为： i ( ，”) = 吨慨( ，”) ， 1 = 0 其中 让= t ，( 尬) ，1 i 4 ；咖= u ( ) ，是单元k 的中心点 1 3 们 计 一 p 2 p ，一 1 2 1 2 | | | | 、j ， ， 幢 幢 仇 忱 矿 l 一 一 f o 一 + 一 一 幢 幢 0 1 2 l 一2 | | 【 | | ) j 0 _ r ， 咖 仇 吼 $ m c a s e2 ：景= 如，每，硒z ，如，讧) 和p 蚤= 慨+ 眩1 ，乒t * 巧1 ，西。+ 咏1 ，审。+ 巧1 ，也+ 眩1 ) 硒。嬉，”) ：；( 4 3 2 3 口2 ) ，每1 ( ，q ) = ；( 3 q 2 2 ”一1 ) ， 有限元空间是 妒2 ( ，卵) 矽4 ( ，町) u 西。( 钿) = ；( 3 矿+ 2 ” 1 1 1 ) = l ”川j 磁，v k 磊；k 。l 。= 厂f 1 。 l k 。f 1 2 = k 1n 魁；居= o f = a 耳n a q ， i ( ，_ ) 赣可表示为： j ( ，q ) = t ，f 帆( f ，q ) l = 0 ”f = 击厶t 产，ts zs a ；= 去，厶”“妇 记，n 为嗽或 非协调有限元空间上的范数和半范数定义为b 和i b 易知i h 是k ，。 上的范数 推论2 1 【7 假设单元满足b i s e c t i o n 条件【8 】并且v 日2 ( k ) ，我们有 成立 定义2 1 勘一n l 七，曼c 2 f 1 2 、r ，七= o ，1 丁嚣：c ( k ) + r ，t 嚣( u ) 野：h 1 ( k ) 一r ，邛( u ) 1 4 ( 2 4 ) f 2 5 1 2 4 数值积分格式 在参考元霞= 一l ，1 2 定义数值积分格式： 。l 厶p ( ) 如“苫勘9 ( 毛) 驴e ( 霞) ， ( 2 6 ) 其中权重觑 o ，积分点屯= ( 矗吼) 膏，j _ l ，l 考虑如下积分格式： 格式1 ：l = 5 ， o z ) _ 。= j ，j ，j ，；、；， 南) i 。= ( 一1 ，一1 ) ，( 1 ，一1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 一1 ，1 ) ，( o ，o ) 格式2 ：l = 5 ， o f 5 _ 。= i ，；，；，；，；， 乱 i 。= ( 一l ，o ) ，( o ，一1 ) ，( 1 ，o ) ，( o ，1 ) ，( o ，o ) ， 格式4 ：l = 3 ， 血 警。 勃) i ， 乜) 4 _ 1 = ( 一1 一1 ) ，( 1 ，o ) ，( o ，1 ) ，( o ，o ) 6 f ) 苎，= ( 1 ，一1 ) ，( 一1 o ) ，( o ，1 ) ，( o ，o ) 0 矗冬，= ( 1 ，1 ) ( 一1 ，( ) ) ，( o ，一1 ) ，( o ，o ) d 1 ) 冬1 = ( 一1 ，1 ) ，( 1 o ) ，( o ，1 ) ，( o ，o ) 6 1 ) 鼍1 = ( 一1 ，一1 ) ，( 1 ，1 ) ，( o ，o ) ， 协) 整1 = ( 1 ，一1 ) ，( 一1 ，1 ) ，( o ，o ) 以上四种积分格式对户精确，并且最后一种只有三个积分点事实上，还有 其他数值积分格式也是满足上述条件的例如，对第一种数值积分格式，若权重 为o ，+ o 。= ；，蕊+ 白a = ；，瓯= ；，我们也能得到同样的结果 2 5 分析数值积分格式 单元k 上的积分格式可表为 厶曲“酗脚( 玩，嚣) 其中权重蛐，和积分点玩、耳定义如下 u l 耳= 以k ( 岛) 白，玩，耳= 取( ) 1 5 f 2 7 1 = = = | | 渔掩掩难m 协慨似 屯 l3式格 一致的，数值积分误差泛函记为： 既( 妒) = 厶妒( z ) 妇 翰沪厶) 如一砉洲轴 并且二者有关系 e 。( 妒) = 亩膏( 巩) 现在把数值积分格式应用到有限元方程定义 ( 28 ) 州“，”，= 篆耋毗c 。奏，筹筹+ ， c 。， ；( ”) = u z ，x ( ，”) ( 钆x ) 则原问题转化为求解如下问题： 五 ( “ ， ) = ， ( ) ，v k ， 从现在起，我们假设b i s e c t i o n 条件 8 成立 定理2 1若m ，。w 1 一”( n ) ，1 ，。( 吼q 2 且“墙( q ) u ，h ，是原问题 ( 1 1 ) 和( 4 4 ) 的解，则 l u 一儿h l c l l u lj 2 + i l ，1 ，。 ( 2 1 1 ) 该定理是以下各引理的直接推论： 引理2 2带积分格式的修正变分形式砜( ，) 是椭圆的，即 稚( ，? 饥) c i p h 晾v 吡k 小( 21 2 ) 证明：对积分格式1 ，2 和3 ，( 4 6 ) 显然 2 ，t l ，e o r e r n2 7 1 我们只考虑第四种格式， 因为他不包含一个p 1 ( k ) 唯一可解集，故1 2 】的结果不适用我们在此仅给出当 嗽的证明由椭圆性我们知 砉岫一：毫等等c 。，c 耋x 砉m “。汗 1 6 与 2 中的定理4 1 2 一样，确 h ( 。聂。；赂( 锄) 。；躲高擎蚤俐铘 容易得到 o = ( 1 2 叩2 ) o ( o ) + j ( 叩2 一叩) o ，。( 1 ) + j ( f 2 + ) o ，。( 2 ) + j ( 叩2 + 叩) o h ( 3 ) + ；( f 2 一f ) 西 ( 4 ) 因而 娑娑：a + b ， a 3 警：伏+ d ， 其中a = 一；魄( o ) + i ( 2 ) + 砜( 4 ) ，b = ；( i ( 2 ) 一玩( 4 ) ) ，g 一一；o ( o ) + 魄( 1 ) + j ( 3 ) ，d j ( 如( 3 ) 一魄( 1 ) ) 因此 静x ：塞i 警m 洲= 抄+ g 2 ( n d 2 ) 另一方面，经直接计算有i 讥艮= ；( a 2 + g 2 ) + 4 ( b 2 + d 2 ) 从而 州。磊。；罐霄( 阳) 。慕膏丽蠢苦丽吾白r 蚤i a 州) 1 2 c ；， k 矗 c i h 慷 因此引理22 证明了对于唿问题的解存在且唯一对于证明 是类似的 引理2 3 假设u 明( q ) ，“i 坛，u h ，h 是( 1 1 ) ，( 13 ) 和( 4 1 ) 的解，其抽象误 差估计是 “圳舱。，巍。怯圳”。裟，丛半萨 1 7 + 。黜。掣+ 。裟、丛掣) ( 2 1 3 ) 证明：设是。中的任意元素并且由双线性型的一致椭圆性，我们已 在引理2 2 中证明了，我们有 血l l 札h 一勘 l i 五( 札 一 ，u 一t 7 ) 一 n ( u 一 h ，t 正 一 ) + n ( 研l ， 一z 协) 一面h ( 计 ，t 地一t 饥) + a h ( 札h ，札 一研。) 一o ( u ：，“ 一 + n h ( 札i ，札 一 h ) 一n h ( “，札 ) = ( u 一削h ，仳 一 ) + n ( 廿h ，“ 一 ) 一a h ( ，u h 一削 ) + ( ( “ 一2 饥) ，( “h u h ) ) + ，( u h 一 h ) 一n h ( ，“ 一q 。) ) 因此 n i i “h 一 九l i h 且彳i l “ 训。黑。丛半秽o h ，hi l u l 十s u p 皿掣+ s u p u h hl i u i l u h h 丛兰! 坐) 二! 坐! | | u 利用三角不等式 j “一u l i h | | 一砷。i l 丘+ l | “ 一口 l h 并且对t ， 取下确界，我们得到引理2 3 引理2 4 。黑。丛掣驯圳。“h l i u l f 证明：定义相容误差泛函 分布积分可得 f 2 1 4 1 f 2 1 5 1 f 2 1 6 1 1 8 m 耽 u c 蔷一曲 毗 + 他u a 耄一劬 + 蛳 丝如 瓦 垫如 + n 如 + ，k 厶毒 = = u 艮 由坛空间的逼近性质 厶2 轰如，爱删s 2 轰纛加一去如笔c 一眦枷州s + 轰磊去胁出厶胁一驰枷州s 1 5 + 1 6 易见 l 毛l 曼c 酬u | | 2 | | u h 忆 为估计厶，我们首先考虑叼逼近： = i 磊纛去厶蛳出厶( 笔一砰( 象) ) ( u n 一邛( “枷n ，酬 s 曲州忆 至于v p 逼近，我们也有 i 凡l c 圳训。lj u n 综上所述 茎c 圳“u h 忆 相同的估计式对如，厶和厶也成立故 l r ( 1 z ，u ) i c i i i | 2 | l u h | | ( 2 1 8 ) 我们仍然需要估计引理2 3 余下的两部分，首先考虑积分误差 引理2 5 若，。w 1 ，。( n ) 对v k 磊和，u 欺：k 川，有 i 取( n ，警等l 既( n 。等等卅l 取( 毗等警卅i ( n 。等等卅陬( 训l c 圳乱u 忆f 21 9 ) 1 9 证明：事实上，只需估计以下两式： e k ( 。却6 f ) i c h x | l p | | 。，k l l p ，| l - ，k 及 l 酲( 二i p 引c l i p l l l ，i i p o ，k 注意e k ( n 却却7 ) = 靠( 6 i c ：? ) 且 6 = 。后1 an 。r 晚弓( 。) n f k 岛弓( f ) 2 ，。( 霞) i = 辞p p 1 ( k ) ， 白= 巩b ( k ) ， 对6 ( 1 ) p 2 6 2 ) 有以下估计 1 6 l 。，。c 舻l l o 眦，。，i = o ，1 令占= 城 1 2 k ( c ：f ) i 茎c | i o i l o ，。，矗c l l 驴| i - ，。，宜f f 白i l o ，膏 注意敏( ) = o ，v 乒p 0 ( 霞) ，由b r a m b l e 一砌b e r t 引理 l e 膏( 妒o ) l c i 咖1 1 o 。膏l l 白| | o 戽 有 i 上强( 6 0 0 ) i sc ( 16 1 0 ，疗i o l l ，膏+ 1 6 l 。，d 。，宜| o l o ，膏) l 由i o 膏 茎 c ( 1 6 l 。，。，膏l p | 2 ，j 十1 6 l 。，o 。，膏l 西i ，j ) i 茹7 l 。，矗 c 旧f 2 ，n i p 1 1 ， 可得( 2 2 0 ) 同理可证( 2 2 1 ) 接着的引理考虑的( 2 7 ) 式右面部分的积分误差 引理2 6 若，w 1 一，g 2 ，对v k 五和 斥，有 f 2 2 0 ) f 2 2 1 1 i k ( ，”) i c 九”m e s ( k ) 一；| | 州i ，。，l l u 忆( 22 2 ) 2 0 证明： e k i ”、= 叠& l j x 自1 i 令= 奴，和画= 蛾那么 e k ( ， ) = 应膏( 互i ) ：啻j ( 够) c ij 硒j | o ，。c l i 西| | 。 注意e k ( 西) = o ，坳局( 膏) ，则 e k ( ，口) sc i 砂l ，as c ( 鸯i ，岛膏j | 甜l l o ，j + j 鸯o ，“膏l j 。，费) ( 2 2 3 ) 用s c 甜i n g 技巧，结论得证 结合引理2 2 2 6 ，我们得到定理21 下面用a u b i n n i t s c h e 得到l 2 误差估计。 定理2 7 假设。n 2 ，。( n ) 且，2 ，4 ( f 2 ) ，则若“ 是( 2 1 0 ) 的解，则 j | “钆 | | l 。( n ) a 2l l “| | 2 ，f 2 2 4 ) 非协调元的抽象l 2 ( q ) 误差估计 1 2 为 j | 札一“ l f l z ( i 2 ) s u p 。昨口( n 】研去忑i n f p ， ，。( “一“ 、咖g 一砂 ) + lo ( “，g 一砂 ) 一( ，妒。一妒h ) + i ( 毋g 、扎一h ) 一( 札一h ，9 ) i + 。 ( u ，妒h ) 一五h ( 九， ) j + i ( ，缈 ) 一( ，妒h ) hm f 2 2 5 1 九矿且叱山九是下列变分问题的解： 。( ，岛) = ( 叫，g ) 在q 上，九= o 在r 上( 2 2 6 ) 下面分项估计( 2 2 5 ) 右端各项 引理2 8 n ( “，驴，一妒h ) 一( ，九一咖) + j 。 ( 庐，“一u ) ( 札一” ，9 ) f g 2j | 札1 1 2 | | gi l l 。f 。1 证明：令，n e ( 而) n 嘲( q ) 为双线性有限元空间，q ：c ( 囝) 一，。是双线性 插值算子，令妣= ”( 吼九) ，有 “ ( “，砂 一咖，) 一( ，妒h 一九) 。n ( “，机一q + q 九一) 一( ，妒h q h 咖，+ q h 一九) 2 1 2 哪t 【“，缈h q 曲9 j 一( ，4 ， 一q h 咖9 ) ， 令胁= 丌( 九) 九，则b x n = o 我们把j 。n ( “，一) 一( _ 厂，一慨) 1 分解为 n ( 哪，刊- ( ，妒2 乏z 耳蛳勃n l d t 。跏删sm t h 、 u 怕。孰啦抱。铷啦 = j l + j 2 + j 3 + j 4 = i 轰加- 鼢州s = i 磊篆正c 一。高厶n ，d z ，笔c x n 高二x n h a s + 磊篆高。胁如上c 筹一南正塞n 一高知m se | | 。l lf i l ，o 。，n | | u1 1 2 f | ) ( hj l 。 g 2 | | a ，1 ，。，n | j “f | ：| | 毋。| 。 g 2l f o ，忆。，n | lu 9 怯 对如，以和山有同样的估计，因此 n ( 札，。一咖) 一( ，九一砂 ) j c 2l f n ，j j - ，。，n | lul izj | gf l l 。【n ) v n ( ，札一“ ) 一( 一 ，9 ) = ( 九，“一q “+ 0 “一“ ) 一( “一q “+ q h “一“h ，口) = n ，。( 妒9 ，q h u 一7 r h ( q “) ) ( q 札一7 r ( q h ) ，9 ) + n h ( ，7 r h ( q “) 一乱 ) 一( 7 r ( q u ) 一9 ) = j 5 + 氏 如i sg 九2 | | q 忆h | j 九i l 。e 2 | | u l9 l l 。 矗i g | j 9 | | 2 | | 7 r ( q “) 一“ 1 1 ， 2 9 sg | | 9l l 。( | | 丌，。( q u ) 一a h “1 1 1 、h + | iq u 一札i i l l + | | “一 1 1 1 ，h ) c 2 | | u 酬l z 因而 n h ( 鸡，u u ) 一( 一“ ，9 ) l c 九2l u1 1 2 | | 9l l l 。f n ) 下面的引理建立了由于数值积分所带来的相容性误差 引理2 9 若。玎，o 2 ，。( q ) 对v k 磊和，u 攻：川盯，有 陬( 蛳等警卅l 眈( 毗罄等卅i 咏( n t z 等等l 既( 嘞等等卅i 取( n i s c 蚤i 旧 i f 2 ，lj u 1 1 2 ，耳( 2 2 7 ) 证明：事实上，只需估计以下两式： i e k ( n a 扫，p ，) l c 刍| | p i f z ，k l i p ， 1 2 ，v p ，p ，尸k ( 22 8 ) 及 l e ( n p p 引sc 免| | p lj 1 、i l p ，l ，k v p ，尸k f 2 2 9 1 只证( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 同理可证j 注意魄r ( n 却却7 ) = 如( j i o ) 且 6 = 坛1 a 。r 侥弓( 。) 兀z ka 乃( f ) 2 ，。( 疗) 0 = 辞庐p l ( k ) ， 0 = 仇p 1 ( ) ， 令亓0 是从三2 ( 露) 到分片常数空间的三2 投影，即亓0 毋= 志屈i ，因而可把如( 6 i 。) 分解为： ( 6 i o ) 2 ( ( 。一开0 白) ) + 颤( 6 一亓o o ) 亓0 0 ) + 豆膏( i 亓0 0 亓0 白) = 4 l + a 2 + 4 3 2 3 a 。可以和引理( 2 5 ) 同样估计 a 1gi i6 01 1 1 o 。，矗| | ( 2 ，一亓o ( 2 li i o ，霞 sgl i 的| | 1 。，霞lo l l ，膏 茎gb 01 1 ，、j l 白1 1 、膏 e ( 16 1 1 ，。，矗| | ol i o ，疗+ i6i o ，o 。，j i 西1 1 ，疗) i di l ，靠 交换i 和白的位置可得 1 4 2i e 6 | 1 ，o 。，j | | 亓。白1 1 0 ，膏io1 1 ，膏茎c b1 1 ，霄1 lol l o ，_ l lo1 1 ，膏 应用b r a n l