（概率论与数理统计专业论文）跳跃—扩散模型下的期权定价.pdf

摘要 跳跃一扩散模型下的期权定价是当前期权定价研究的热点课题之一 本文通过定义跳跃一扩散模型下的风险中性测度，利用鞅方法、g i r s a n o v 定 理和多维正态分布着重讨论了利率为常数、利率随机情况下的期权定价以 及外汇重置期权的定价问题，最后利用有限差分方法给出了跳跃一扩散模 型下期权定价的数值模拟，得到了一些有价值的结果 跳跃一扩散模型下利率为常数的期权定价问题一直是期权定价研究的 重点问题之一但是，在以往的研究中一般都是利用倒向随机微分方程法 解决这类定价问题本文从另一个侧面出发，利用鞅方法解决这类期权的 定价问题我们首先建立跳跃一扩散模型下的金融市场模型，建立风险中 性测度以及等价鞅测度，然后利用g i r s a n o v 定理非常巧妙的得到了期权定价 公式 跳跃一扩散模型下随机利率的期权定价一直是一个难点，这方面的研 究较少，而且研究的方法基本上是倒向随机微分方程法本文将扩散模型 市场中常用的方法成功运用到跳跃一扩散模型市场中，利用鞅方法解决了 当利率服从v a s i c e k 模型的期权定价 跳跃一扩散模型下外汇重置期权的定价考虑了多维情况下带多个重置 点的期权定价我们首先建立一个多维的跳跃一扩散模型金融市场，定义 多维的风险中性测度，最后利用鞅方法和多维正态分布给出了一种特殊情 况下的外汇重置期权定价 有限差分方法是期权定价数值模拟中最基本的一种方法，广泛应用于 扩散模型的数值模拟，本文利用有限差分方法实现了跳跃一扩散模型下期 权定价的数值模拟 关键词：跳跃一扩散模型鞅方法随机利率外汇重置期权 a b s t r a c t n o w a d a y s ，p r i c i n go p t i o n su n d e rj u m p d i f f u s i o nm o d e l si sav e r yh o t t o p i ci no p t i o np r i c i n gr e s e a r c h b yt h eu s eo fr i s kn e u t r a l i t ym e a s u r e ，m a r - t i n g a l el a w , g i r s a n o vt h e o r e ma n dm u l t i d i m e n s i o n a ln o r l i l a ld i s t r i b u t i o n t h i s a r t i c l ed i s c u s s e st l l ep r i c i n go fo p t i o n sw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tr a t eo rs t o c h a s t i c a n dt h ep r i c i n go ff o r e i g ne x c h a n g er e s e to p t i o n su n d e r j u m p - d i f f u s i o nm o d e l s f i n a l l y ，t h i sa r t i c l ed e m o n s t r a t e st h es i m u l a t i o nu n d e ri u m p d i f f u s i o nm o d e l s u s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t l l o da n do b t a i n ss o m ev a l u a b l er e s u l t s p r i c i n go p t i o n sw i mc o n s t a n ti n t e r e s tr a t eu n d e r - j u m p d i f l u s i o nm o d e l si s a l w a y sav e r yi m p o r t a n tp r o b l e mi no p t i o np r i c i n gr e s e a r c h g e n e r a l l y , w eu s e b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt os o l v et h i sk i n do fp r o b l e m b u t t h i sa r t i c l ee m b a r k sf r o ma n o t h e rs i d e ，s o l v i n gt h i sp r o b l e mb yu s eo fm r t t i n g a l el a w f k s f l y ，w ee s t a b l i s ht h em o n e ym a r k e tm o d e lu n d e ri u m p d i f f u s i o n m o d e l s ，r i s kn e u t r a l i t ym e a s u r e ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l e ，t h e ng e tt h ep r i c i n gf o r - m u l au s i n gg i r s a n o vt h e o r e m p r i c i n go p t i o n sw i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t eu n d e ri u m p d i f f u s i o nm o d e l s i sa l w a y sad i f f i c u l t yi no p t i o np r i c i n gr e s e a r c h t h e r ea r el i t t l er e s e a r c ha b o u t t l l i s m o s t l yu s i n gb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h i sa r t i c l ea p p l i e s t 1 1 em e t h o di nd i f f u s i o nm o d e l st oi u m p d i f f u s i o nm o d e l ss u c c e s s f u l l ya n dg e t s t h ep r i c i n gf o r m u l ab ym a r t i n g a l el a ww h e nt h ei n t e r e s tr a t eo b e y st h ev a s i c e k m o d e l p r i c i n gf o r e i g ne x c h a n g er e s e to p t i o n su n d e r j u m p d i f f u s i o nm o d e l sr e f e r s t om u l t i d i m e n s i o n a lc o n d i t i o n sa n dr e s e tt i m e f i r s t l y w ee s t a b l i s ham u l t i d i m e n s i o n a lm o n e ym a r k e tm o d e lu n d e ri u m p d i f l u s i o nm o d e l sa n dd e f i n ea m u l t i d i m e n s i o n a lr i s kn e u t r a l i t ym e a s u r e ；f i n a l l y b yu s eo fm a r t i n g a l el a wa n d m u l t i d i m e n s i o n a ln o r m a ld i s t r i b u t i o n w eg e tt h ep r i c i n gf o r m u l ao fm i so p t i o n u n d e rs p e c i a lc o n d i t i o n s t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di st h em o s te s s e n t i a lo n ei no p t i o np r i c i n g s i m u l a t i o n w i d e l ya p p l i e di ns i m u l a t i o no fd i f l u s i o nm o d e l s t h i sa r t i c l er e a l i z e st h es i m u l a t i o ni ni u m p d i f f u s i o nu s i n gt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d k e yw o r d s ：j u m p d i f f u s i o nm o d e l sm a r t i n g a l el a w s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e f o r e i g ne x c h a n g er e s e to p t i o n s i i 跳跃一扩散模型下的期权定价 第一章引言 1 1 跳跃一扩散模型简介 现代期权定价理论的最新革命始于1 9 7 3 年，美国芝加哥大学教授b l a c k 与s c h 0 1 e s 发表了“t h ep r i c i n go f o p t i o n sa n d c o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”一文，推导出基 于不付红利股票的任何一种衍生证券的价格必须满足的微分方程，提出了 著名的b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式b l a c k s c h o l e s 模型为投资者提供了适用于 股票的任何衍生证券且计算方便的定价公式，但是该模型假定所有股票都 是连续变动的，而现实市场股价分布往往并非光滑移动，呈现间断的“跳 空”现象这些跳空现象可以视为由经济中的某些不寻常情况带来的不正 常变化，如突发战争、一国政变、重大政治事件、人为投机等基于上述考 虑m e r t o n 首先提出了一种股票价格遵循跳跃过程的模型，在股票价格几何 布朗运动之上加了各种跳跃 m e r t o n 假定标的资产服从如下跳跃一扩散过程： d s ( t ) = s 0 ) 【( 肛一a ) d t + 口d w ( t ) 十p ( t ) d j 】v ( ) 】 ( 1 - 1 ) 这里，口为股票预期回报， 为跳跃发生频率，k 为平均跳跃幅度占股票价格 上升幅度的比率因此，由跳跃带来的平均增长率为a k ，由几何布朗运动提 供的增长率为p 一 k a 为无跳跃发生时股票收益的方差，为常数：w ( t ) 为 布朗运动；( t ) 是参数为a ( a o ) 的泊松过程；p ( t ) 为跳跃大小百分数，服从 独立且恒同的对数正态分布，其无条件期望为k ；( t ) 与( t ) 独立 以该模型为基础，很多作者利用倒向随机微分方程法做了很多工作， 并且均假定跳跃幅度的对数值是正态分布 本文假定标的资产服从如下跳跃扩散过程：。 d s ( t ) = s ( t ) 【“( t ) d t + 口( t ) d w ( t ) + p ( t ) d ( t ) 】 ( 1 - 2 ) 这里，u ( d 为股票预期回报，a ( t ) 为无跳跃发生时股票收益的方差，为常 数；( t ) 为布朗运动；n ( t ) 是参数为a 的洎松过程；p ( t ) 为跳跃大小百分 数；( t ) 与( t ) 独立本文的结论都以该模型为基础 硕士学位论文 1 2 论文的研究思路及安排 期权定价的方法一般有两种：倒向随机微分方程法和鞅方法鞅方法 比较广泛的应用于扩散模型的期权定价中，在跳跃一扩散模型市场中应用 得很少；倒向随机微分方程法比较广泛的应用于跳跃一扩散模型市场中 本论文的研究目的是从另一个侧面，利用鞅方法解决跳跃一扩散模型下的 期权定价问题但是由于这个课题涉及的范围很广，要研究的方面很多，不 可能对问题的方方面面进行研究，重要的是研究方法和思路因此本文利 用鞅方法着重研究了利率为常数、随机情况下的期权定价以及外汇重置期 权的定价问题，最后与实际结合进行数值模拟 本文的主要工作如下： ( 1 ) 在跳跃幅度服从任何分布的情况下，建立跳跃一扩散模型下的风险 中性测度 ( 2 ) j 备g i r s a n o v 定理成功运用到跳跃一扩散模型金融市场中 ( 3 ) 利用鞅方法解决利率随机的跳跃一扩散模型下的期权定价问题 ( 4 ) 在跳跃一扩散模型下，利用鞅方法解决n 维外汇重置期权的定价问 题， ( 5 ) 首次非常详细的给出跳跃一扩散模型下欧式看跌期权和美式看跌期 权定价的数值模拟 本文的安排如下： 第二章首先建立跳跃一扩散模型金融市场，建立风险中性测度，然后 利用鞅方法和g i r s a n o v 定理给出利率为常数的欧式看涨、看跌期权定价公 式，并与b l a c k s c h o l e s 公式对比 第三章讨论当利率服从v a s i c e k 模型时，跳跃一扩散模型下欧式期权定 价公式，结果非常简单、漂亮 第四章首先建立多维外汇市场模型，建立风险中性测度，然后利用鞅 方法、多维正态分布以及布朗运动和泊松过程独立的性质解决跳跃一扩散 模型下外汇重置期权的定价问题在当今外汇市场受各种突发事件影响的 情况下，具有非常重要的实际意义 第五章首先推导出当跳跃幅度服从对数正态分布、标的资产是无红利 跳跃一扩散模型下的期权定价 支付股票且服从跳跃一扩散过程的期权价格f 所满足的微分方程，然后利 用有限差分法给出跳跃一扩散模型下欧式看跌期权和美式看跌期权定价 的数值模拟，并与扩散模型下欧式看跌期权和美式看跌期权定价的数值模 拟进行比较分析 第六章指出本文主要结论及进一步研究的问题 硕士学位论文 第二章利率为常数f l , n g 跃一扩散模型欧式期权定价 跳跃一扩散模型欧式期权定价研究始于1 9 7 3 年，随后，国内外一批学者 开始了这方面的研究卜“】但是国内外文献中关于股票价格遵循跳跃过程 的期权定价理论基本上都是采用倒向随机微分方程法，而且假定跳跃幅度 的对数值是正态分布本文通过建立更一般意义下的风险中性测度，利用 等价鞅测度；和g i r s a n o v 定理，讨论了无论跳跃幅度服从何种分布的跳跃扩散 模型下欧式期权的定价公式 2 1跳跃一扩散型金融市场 假设金融市场中有三种资产( 或称为证券) 在时n o ，7 1 内连续交易其中 一种资产称为债券，其在时刻的价格s o ( t ) 满足： d s o ( ) = r ( t ) s o ( t ) 出，0 t ；t 3 0 ( o ) = 1 ( 2 - 1 ) 其它两种资产称为股票，它们的价格由下列跳跃扩散型正向随机微分方程 给出： r i d s , ( t ) =最( t 一) l u i ( t ) d t + 吼( t ) d w ( t ) + m ( ) d ( 亡) 】， n m 1 ( 。) = & 。i = 1 ，2 z z 其中 ( t ) ，0 t t 是定义在完备概率空i n q ( a w ，, - r w ，p w ) 的标准1 3 t o w n 运动 7 w = 口( ( s ) ：0 s t ) 是p ”下由( t ) 生成的完备口代数n = ( t ) ，0 t t ) 是定义在完备概率空间( n _ ，t n ，p n ) 上带有强度 ( t ) 的泊松过程，记贾( t ) = ( ) 一届a ( s ) 如，则( t ) 是鞅测度列。= 一( ( s ) ：0 s t ) 是p 下由泊松过 程( f ) 生成的完备。代数假定 ( t ) 在【o ，州上l e b e s g u e 可积设( f 2 ，p ) = ( n o n ，7 w ，_ ，p p 。) 为乘积空问，其上的信息流 五：0 t t ) 满足通常条 件，且w 与n 是相互独立的随机过程 眦( t ) ：0 t 。) 表示第i 种股票的瞬 时收益率过程，慨( t ) ：0 。) 表示第i 种股票在无泊松跳时受随机因素 影响的波动率过程，f 麒( ) ：0 t oi ：1 ，2 ，3 ，4 ，n 其中( ( t ) = ( ( t ) ，w 2 ( t ) ，一l ( t ) ) t ，0 t t ) 是定义在完备概率空间( n w ， 3 ：w ，p w ) 上的一1 ) 维标准b r o w n 运动硝，= 口( w ( s ) ；0 8 t ) 是p 下由( t ) 生成的完备一代数n = ( t ) ，0 t ) 是定义在完备概率空间( n ，p ) 上带有强度a ( t ) 的泊松过程，记鞅测度( t ) = ( t ) 一露a ( s ) d s 刀ko ( ( s ) ) ，( o s t ) 是p 下由泊松过程( t ) 生成的完备一代数假定 ( ) 在【o ，卅上l e b e s g u e 可 积设( q ，只p ) = ( n w x f l n ，7 w x ，n ，p w x p n ) 为乘积空间，其上的信息流 兀；o t t ) 满足通常条件且与是相互独立的随机过程( 砒( t ) ；o t o o 表示 第i 种汇率的瞬时收益率过程，慨，( t ) ；0 t o 时，期权的执行价重新设定为当时的标的资产值，否则不重设 即看涨期权的收益等于 ： 训即棚0 0 ) 当q ) k , k q ( t ) 1 q ( t o ) ，( 4 跏 l q ( t ) 一k ，当q ( t o ) k ，且q ( t ) k 于是t 【o ，t 】时刻的期权值为 矿( ) = e k - r a ( 7 一。) f 陋j ， ( 4 5 ) 进一步地有 v ( t ) = f 【e - - r d ( t - t ) ( 0 ( t ) 一0 ( 抽) ) 厶。( 。) k ，q ( 丁) q ( 。) f l g l + e 【e 一一( t 。( q ( t ) 一) 厶曰( c 。) ，o ( t ) k i 五】 ( 4 6 ) 15 硕士学位论文 为t n 用鞅方法和标准正态分布函数，下面我们定义相对风险过程为： 吣) 刊圹1 + r f - ( 蛐= ( 口粥) ， ( 4 7 ) 这里，钆( ) = ( 吖( t ) ，口各l ( t ) ) 7 ，o n ( t ) 分别是舻，r - 的随机过程由一( t ) ，“( t ) ，r ) ，一( t ) 的假设可知口( t ) 是有界可测且可料过程记( t ) ，i ：1 ，2 是以下方 程的解： d z l ( t ) = 一z 1 0 ) 钆( t ) 7 d w ( t ) ，z 1 ( o ) = 1 ，( 4 8 ) d z 2 0 ) = 一z 2 ) ( 目( t ) 一1 ) d 霄0 ) ，z 2 ( o ) = 1 ( 4 - 9 ) 扫i t o 公式平f l d o l e a n s - d a d e 指数公式有 z1“)=一t0(s)tdw(s)一；z。)112dsexp 1 i i o ( s ) 1 1d s ， (410)0 z 1 “) = 一 s ) s ) 一百 ，( 4 j z 2 0 ) = e x p 一( 口_ v ( 5 ) 1 ) a ( s ) d s + i n 口n ( s ) d ( s ) ) ( 4 1 1 ) j 0j 0 再定义z ( o = z 1 ( t ) z 2 ( t ) ，故有 z(t)=exr(一o仉一(s)tdw(s)：。1n口(s)dn(s)；z。f|口。(s)1100 2 d s j zj n 一 一( 口_ ( s ) 一1 ) a ( s ) d s ) ，( 4 1 2 ) j 0 并且有 d z ( t ) ：z ( ) 一钆0 ) d w ( o 十( 口( t ) 一1 ) d ( t ) ) ( 4 1 3 ) 我4 f $ o 用文1 1 2 的思想构造新测度如下： p = p 1 p 2 ，舞纠( 巩筹= z 2 ( 叼 在五上关于p 是绝对连续等价的过程w ( t ) = w ( o + 启钆( s ) 如是，适应的 标准一1 ) 维b r o w n j 垂动过程过程丙( ) = ( t ) 一石( ( s ) 一1 ) ( s ) d s = ( t ) 一 j ； o n ( s ) a ( s ) d s 是，鞅，且n ( t ) 为f ，泊松过程，其强度为( s ) a ( s ) 于是在下， d q ( t ) = 【q ( t ) 】( 【r “( t ) f 一7 , i ( t ) 】d t 十o ( t ) d w ( t ) + p ( t ) d ( t ) ) ，( 4 1 5 ) 即， d q i ( t ) = q ；( t ) 【r 。o ) 一一( t ) l 出+ 吼，o ) d 印j ( t ) + p i ( t ) f i n ( t ) ( 4 1 6 ) j 2 l 因此，i 扫l t o 公式有 q t ( t ) = 国。( ) e x p r d 一巧一； 2 十( i n ( 1 十雕) 一p d o s a l ( t t ) + 。j = l 1 6 跳跃一扩散模型下的期权定价 以j w j ( t ) - w j ( t ) + i n ( 1 + 用) 回( t ) 一g ( 0 l ( 4 - 1 7 ) j 盎1 本节讨论当汇率过程组和无风险证券组中的系数为常系数情形下，外 汇重置期权的定价问题亦即假设： “。( t ) ! ，c r q ( t ) ；口凤( t ) e n ， 玎( t ) 兰r ! ，一( ) 三一 a ( t ) 兰 ，i = 1 ，2 ，他 在下，我们引入下列记号： 研一= i n ( 1 + 成) ( ( 丁) 一丙( t ) ) ，正= ( i n ( 1 + 以) 一p | f ) o n a ，鼠( ) = k i n ( 1 + n ) ， 屏一f ( 而。( r ) 一w l ( t ) ，_ 2 ( r ) 一矾( 札，矾一1 ( r ) 一矾一1 ( t ) ) 。， z t 一= ( w 1 ( t ) 一f 旷1 ( t ) ，w 2 ( t ) 一w 2 ( t ) ，矾一l ( t ) 一w 。一1 0 ) ) 1 ， z t 一，= ( 谚l 口) 一w 1 ( r ) ，- 2 ( t ) 一w 2 ( r ) ，砜一1 ( t ) 一砜一( r ) ) 1 ， z = ( z 1 ，忍，磊一1 ) 丁，吼= ( 盯m g i 2 ，a i r * - 1 ) ， f r - t ( 耻胁( r 一圳掣e x p 一怨) 则有 o 。( t ) = 印t ( t ) e x p ( r r j 一；吼盯：+ 正) ( t t ) + 吼z ，一e + b ，一) ， ( 4 - 18 ) q ，( t ) = 印 ( r ) e x p “r r j 一；吼盯：十正) ( t t ) + 以z t 一，+ b ，一7 ) ， ( 4 1 9 ) q ，( t ) = 印，( r ) e k ， ( 4 - 2 0 ) 其中 k = p 一一一；吼口；+ 正) ( t r ) + g i z t 一，+ 且，一7 ( 4 2 1 ) 由于布朗运动和泊松过程的增量相互独立，我们知酝( r ) 和m 相互独立 下面我们讨论一种特殊的外汇重置未定权益，每种外汇的重置时问均 为，f o ，t 1 ，执行价格为= ( k 1 ，k 2 ，) ，终期收益是n 种外汇重置期权 终期收益的线性组合 定理4 1 跳跃扩散模型下，一类线性组合外汇重置期权的定价公式为： y ( t ，t ，k ) = e - r ( t - t ) ( 1 1 一如+ 厶一厶) ， ( 4 - 2 2 ) 其中 1 1 = e - - ( t - t ) 妻妻避芈鲣训te x p ( r o 删( ) 仙( m ) + 脚) ) 1 7 硕士学位论文 妒( 盯；五k 1 ( ，一t ，) ) 砂( 盯；x k 2 ( t 一下，髓) ) ，( 4 2 3 ) 1 _ 2 = e - ) ( t - t ) 曼塞竽艺竽e x p ( f 删( ，叫仙( 州 妒( q x k 1 p t ，凰) ) 砂( 口。x 叩( t r ，凰) ) ，( 4 2 4 ) 扣叫h 卜。薹黑笋警竽删e x p 卜巧一扣删c t 叫 + b i ( n ) ) 【e r 1 2 ( d 。( t t ，。) ) 一。妒( 盟二兰卫! ) 1 14 一一。 + e - - n ( d i ( t t ，n ) ，d i ( r t ，m ) ，p ) 】，“一2 5 ) 1 4 = e - x ( r t ) - ) , ( t - t ) 熹麦旺严唑产刚c 一笺掣mc 一等掣， + v ( d i ( t 。