（计算数学专业论文）水环境数学模型参数反演方法研究与应用.pdf

摘要 论文题目：水环境数学模型参数反演方法研究与应用 学科专业：计算数学 研究生：艾克锋 指导教师：闵涛教授 郭文艳讲师 摘要 签名：盖盘垒 签名：皿 签名：童1 支圭差一 水环境数学模型是指用于描述水体的水质要素在各种因素作用下随时间和空间变化 及控制条件的数学表达式。对所建立数学模型的参数研究具有重要的意义，通过对参数的 确定可以预测水质状况，通过对参数的调整可以使得系统向人们所要求的方向发展。因此， 如何确定数学模型中的参数引起很多人的关注，可以毫不夸张地说，如果不解决参数计算 问题，不能给出可靠的参数，则预测和控制问题就会变成空中楼阁，再好的预测和控制方 法也解决不了实际水质的计算问题。因此，无论从理论方法或实际计算上看，研究参数反 演问题都具有重要意义。 数学是科学的语言，是自然科学与工程技术的基础。在科学与技术的研究与实践中， 为获得定量的分析与描述，必须用数学的语言，通过数学的表达来实现。本文对已有的比 较成熟的b o d d o 水质数学模型进行了研究。用数值解法( 直线法) 求解正问题的解， 用正则化迭代法和遗传算法进行参数反演，主要研究了用遗传算法反演水环境数学模型中 的参数。首次研究了非稳态b o d d o 水质数学模型中多个参数的反演，用数学的思想建 立了参数反演的理论和方法，把水环境数学模型参数反演纳入反问题的理论中，从而为 水环境数学模型参数反演问题的研究奠定了一定的数学理论基础。 把遗传算法的理论和方法引入水环境数学模型参数反演的求解中，数值模拟和实 际应用表明，用遗传算法处理水环境数学模型参数反演具有很好的适应性。为求解水 环境数学模型中的参数提供了一种方法。对本文提出的各种算法，编制了数值计算程 序，并把它应用于水环境数学模型参数反演中。 关键词：反问题；优化理论；直线法；遗传算法 本课题由国家自然科学基金( n o 5 0 5 7 9 0 6 1 ) 和教育部博士点基金( n o 2 0 0 5 0 7 0 0 0 0 3 ) 资 助。 a b s tr a c t t i t l e ：r e s e a r c ho np a r a m e t e r l n v e r s i o nm e t h o da p p l i e dt o 、，a t e re n v i r o n m e n tm a i t h e m a t i c a lm o d e l m a j o r c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e ：k e f e n ga i s u p e r v i s o r ：p r o f t a om i n s u p e r v i s o r - i n s t w e n y a ng u o a b s t r a c t s i g n a t u r e ：罡笔鲤垒工 s i g n a t u r e ：卫q 筮世 s i g n a t u r e ：划码灿血 t h em a t h e m a t i c a lm o d e l so fw a t e re n v i r o n m e n ta r ed e s i g n e dt od e s c r i b eh o w t h ev a r i a b l e s i n d i c a t i n gt h eq u a l i t yo fab o d yo fw a t e re v o l v ew i t ht i m eu n d e r av a r i e t yo fi n f l u e n c es u c ha s s p a c i a lv a r i a t i o na n do t h e rc o n t r o lc o n d i t i o n i ti so fi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e t os t u d yt h e p a r a m e t e r si nt h ee s t a b l i s h e dm a t h e m a t i c a lm o d e l o n ec a np r e d i c tt h ew a t e rq u a l i t yb y d e t e r m i n et h eu n d e r l y i n gp a r a m e t e r si nt h em o d e l o n ec a ne v e ni n d u c et h ew a t e rs y s t e mt o e v o l v et om o r ef a v o r a b l ec o n f i g u r a t i o nb ya d ju s t i n gt h ec o r r e s p o n d i n gp a r a m e t e r s t h e r e f o r e ，i t h a sb e e naf o c u si nt h er e s e a r c hc o m m u n i t yt h a th o wt od e t e r m i n et h e s ep a r a m e t e rp r e c i s e l y w i t h o u tt h er e l i a b l ep a r a m e t e r si nt h em o d e l ，i ti si m p o s s i b l et om a k ea n yr e l i a b l ec a l c u l a t i o n o nt h er e a l i t yp r o b l e m ，r e g a r d l e s ss o m ev e r yp o w e r f u lp r e d i c t i o na n dc o n t r o lm e t h o d st h a ta r e a l r e a d yd e v e l o p e d i nc o n c l u s i o n ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt ou n d e r s t a n dt h ep a r a m e t e ri n v e r s i o n p r o b l e m ，j u d g e df r o mb o t ht h et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lp o i n to fv i e w m a t h e m a t i c si st h el a n g u a g eo fs c i e n c ea n di st h eb a s i so fn a t u r a ls c i e n c ea n de n g i n e e d n g i no r d e rt oq u a n t i t a t i v e l yd e s c r i b et h ep h e n o m e n a ，m a t h e m a t i c si si n d i s p e n s a b l ei nt h ep r a c t i c e o fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ew e l le s t a b l i s h e db o d d ow a t e rq u a l i t y m o d e l w en u m e r i c a l l ys o l v et h ep r o b l e ma n da p p l yt h er e g u l a r i z e di t e r a t i o nm e t h o da n d g e n e t i ca l g o r i t h mt os o l v et h ep a r a m e t e ri n v e r s i o np r o b l e m t h i sw o r kf o c u s e so nt h ep a r a m e t e r d e t e r m i n i n gi nt h ew a t e rq u a l i t ym o d e l i nt h e f i r s tt i m e ，w es t u d ys e v e r a lp a r a m e t e ri n v e r s i o n s i nt h eu n s t a b l eb o d d ow a t e rq u a l i t ym o d e l ，d e v e l o p e dar i g o r o u sm a t h e m a t i c a lb a s i sf o r i n v e r s i o np r o b l e mo ft h i sm o d e l w ei n t r o d u c et h et h e o r ya n dm e t h o do fg e n e t i ca l g o r i t h mt ot h ei n v e r s i o np r o b l e mo f w a t e rq u a l i t ym o d e l t h en u m e r a ls i m u l a t i o na n dp r a c t i c a lc a l c u l a t i o n sr e v e a l st h a tt h eg e n e t i c a l g o r i t h mi sv e r ye f f e c t i v ei ns o l v i n gt h ei n v e r s i o np r o b l e mi nt h ew a t e rq u a l i t yp r o b l e m a b o u t v a r i o u sc a l c u l a t i o n st h a tw ei n t e n t i o nb e f o r e ，w ea l s oc o m p i l ec o m p u t e rc o d e st on u m e r i c a l l y 西安理工大学硕士学位论丈 s t u d yt h i sp r o b l e m k e yw o r d s ：i n v e r s i o np r o b l e m ；o p t i m i z a t i o nt h e o r y ；m e t h o do fl i n e s ；g e n e t i ca l g o r i t h m n o t e ：t h i sr e s e a r c hi ss u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( g r a n t n o 5 0 5 7 9 0 6 1 ) a n dd o c t o rs p o to f t h em i n i s t r yo f e d u c a t i o n ，c h i n a ( g r a n tn o 2 0 0 5 0 7 0 0 0 0 3 ) i i 独创性声? 明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明；本人所呈交的学位论文是我企 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果：。尽我所知；除特别加以标注和致谢的地 一， ，1 一 、：。 一 一 r 方外，论文中不包含其他人的研究成果：与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢d 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 诘支秸善塞篡丝之缝二么蠢歹月匆画论文作者签名r 建如缝2 西痹歹月刃日 学位论文使用授权声明 本入堑丞窒鳘在导师的指导下创作完成毕业论文d 本人已通过论文的答辩，：并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位o 本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权：7 即t l - 1i ) j t 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 ， 、， 学位论文_ 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) ；为教学和 。，1一 + - 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览口 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理o ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名： 导师签名i 鹤盎：盔亡瓣j 月2 日 绪论 1 绪论 1 1 研究目的及意义 水是生命之源，是人类赖以生存和发展的物质条件。我国水资源的主要特点，一是人 均水资源占有量低，二是水资源时空分布不均。为此，我国政府采取了一系列有效措施， 基本保障了人民生活和经济社会发展的用水需求。但是水污染仍是我国当代水问题，水环 境局部好转，但整体形势严峻的状况依然没有改变n 1 。 水污染是水资源短缺的一大“凶手”，预防和治理水污染，既能促进水环境的改善， 又能增加可利用的水资源。为了有效利用水资源，提高水质量，水环境的研究越来越重要。 随着社会、经济的发展、人口增加和生活水平的提高，淡水资源的需求量不断增加，对用 水的质量要求越来越高，水环境保护己成为水资源开发利用的重要控制要素 2 1 0 水质问题 是水环境的主要研究内容。因此，建立水质数学模型用模型来预测和控制水质是一个重要 的研究课题。 水环境数学模型是指用于描述水体的水质要素在各种因素作用下随时间和空间变化 及控制条件的数学表达式。对所建立数学模型的参数研究具有重要的意义，通过对参数 的调整可以使得系统向人们所要求的方向发展。因此，如何确定水质数学模型中的参数引 起很多人的关注，可以毫不夸张地说，如果不解决参数计算问题，不能给出可靠的参数， 则预测和控制问题就会变成空中楼阁，再好的预测和控制方法也解决不了实际水质计算问 题。因此，无论从理论方法或实际计算上看，研究参数反演问题都具有重要意义。确定数 学模型参数的问题我们把它称为参数确定反问题，近几年，不少学者致力于反问题的研究 工作，也取得了很多成果。 对所建立的数学模型中的变量和参数进行处理，对容易得到的数据用一定的工具得 到，而对不容易得到数据可以用反问题的方法给予求解，即由易知数据求解未知数据。还 可以改变某些介质( 参数) 达到人们想要的结果，即控制系统的运行符合人类的需求。这 是一个变被动为主动的过程，达到了对目标函数进行控制的目标，可以对系统进行最优化 处理。 水环境污染的防治和环境管理决策的制定，需要水环境数学模型预测和控制的支撑。 为了能较准确地预测和控制水质污染发展趋势，应努力进行水质模拟工作。建立水质污染 数学模型，使数学模型的预测和控制结果通过可视化形式较逼真的展示在水环境保护决策 者和管理者面前，为环境标准和污染物的排放标准的制定，不同治理方案的经济性和有效 性比较等方面提供辅助决策依据d 1 。 1 2 国内外研究现状 近十年来，越来越多的学科领域提出和研究了各自领域中的反问题，不少学科领域的 权威专家把反问题列为本学科的发展方向和学术前沿，特别值得一提的是，我国学者金忠 西安理工大学硕士学位论文 青、周志芳的专著工程水力学反问题综述了十几年来反问题在工程水力学方面的突出 成果，系统描述了这方面的方法和理论及实际应用背景，是一本理论和实践上都很有价值 的著作。 近几年，闵涛在他的博士论文环境水力学反问题中从数学角度出发，论述了反问 题尽管形式各式各样，但都可以纳入算子理论的范畴，一方面使得反问题能在算子理论框 架下统一处理，另一方面用算子理论方法可以更深刻地了解反问题的本质并指导解决问题 的方法，从而为环境水力学反问题的研究奠定了必要的数学理论基础。就求解反问题而言， 国外比国内做的研究工作多。早在1 9 7 9 年，美国麻省理工学院( m i t ) 完成的阿根廷 r i c c o l o r a d 流域的水资源开发计划，提出了多目标规划理论和水质数学模型，并加以应用。 2 0 世纪8 0 年代初兴起的智能优化方法包括遗传算法，人工神经网络，模拟退火法等1 4 1 。 这类算法通过模拟或揭示某些自然现象或过程而得到发展，为解决复杂问题提供了新思路 和手段。 在水环境模型研究领域，1 9 9 1 年w a n g 首次运用遗传算法来校f 降雨径流模型。 m c k i n n e y 和l i n ( 1 9 9 2 1 9 9 4 ) 用遗传算法解决地下水管理模型，并与非线性规划的计算结果 进行了对比；c i e n i e w s k i ( 1 9 9 4 ) 等运用遗传算法解决了地下水监测的多目标优化问题。 d o u g h e v e y 和m a r r y o t t 等( 1 9 9 1 1 9 9 3 ) 运用模拟退火法优化地下水水量和水质管理模型。 r o g e r s 和d o w l a ( 1 9 9 4 ) 运用人工神经网络法对地下水污染运移模拟模型进行最优和污染物 最优控制。事实上，对于不同类型的反问题只要有相应的正问题的算法，就很容易与 遗传算法相结合，形成遗传反演计算模型。2 0 0 3 年闵涛、周孝德、冯民权在河流水 质多参数识别反问题的演化算法一文中验证了这一方法的有效性，一方面说明遗传 算法解反问题的可行性，另一方面也为处理一类反问题开辟了一条新途径。2 0 0 5 年崔 凯等用同伦方法反演非饱和土中溶质迁移参数b 1 。近年来，许多学者探讨了寻求高效率的 智能优化算法，以解决环境系统最优识别和管理问题。到目前为止，国外仍以方法的探讨 为主，用算例验证方法的可行性，而很少见到实际应用。 由于国内研究起步较晚，国内与国外在该研究领域有很大的差别。近年来，全局非线 性优化方法在我国亦迅速发展起来，大大缩短了国内外研究的差距，我国在这一研究领域 正逐步赶超国际先进水平。 本文从几个具体的水环境数学模型来研究参数反演的方法，期望为具体的水环境数学 模型找到相对精确、高效率的求解方法。 1 3 本文研究的主要内容 本论文从数学的角度出发，首先对实际生活中水环境的污染所建立的数学模型用数学 语言给以叙述，说明要解决哪些问题。由此，引出反问题这个概念，从反问题的相关方面 对水环境数学模型进行研究。给出了用遗传算法和正则化迭代法反演参数的步骤，对所给 出的数学模型用遗传算法和正则化迭代法进行参数反演，说明用遗传算和正则化迭代法获 取参数的有效性。主要做下面几个方面的工作： 2 绪论 l 、用数学的思想建立了参数反演的理论和方法，把参数反演纳入反问题的理沦中从 而为水环境数学模型参数反演问题的研究奠定了一定的数学理论基础。 2 、用数值方法( 直线法) 求解水环境数学模型正问题的解。 3 、阐述了非线性优化方法一遗传算法在环境水质模型反问题中的基本思想方法，步 骤及流程图，在此基础上，介绍了数值反演方法的新进展和今后非线性反演方法 的研究重点。 4 、用遗传算法和正则化迭代法同时反演模型中的多个参数。 5 、首次反演非稳态b o d d o 耦合模型中的参数。 6 、用汾河水质监测数据和数学模型计算了模型中的相关参数。 最后，对全文的研究内容和得到的成果进行了总结，并指出了进一步的研究方向。 3 西安理工大学硕士学位论文 2 水环境数学模型反问题的理论 长期以来，人们在水环境系统模拟及水环境预测方面做了大量的工作，主要是在研究 河流、湖泊、水库、海洋等水体的水质变化机理和规律的基础上，建立水环境模拟模型， 根据将来的排污、水文气象等条件，对未来水环境状态进行预测，这些归为水环境正问题。 随着研究的不断深入，人们发现仅靠研究正问题还不能解决水环境领域的诸多问题，更多 的是需要对水环境实行有效的控制，从数学的角度看就是要研究水环境领域中的反问题。 对水环境而言就是研究所建立的数学模型的未知参数，通过对参数的研究来控制系统的运 行。例如当系统模型的某些参数不能直接测量，或者直接测量的成本太大时，利用可测量 的相关的实验数据去推知系统的参数，就是一个可行的方法1 6 0 中外民间流传甚广的“瞎 子听鼓 的问题就是一个经典的反问题，即通过听到鼓发出的声音来推测鼓的形状h 1 。 2 1 反问题的数学理论 反问题顾名思义与j 下问题有关，是相对于正问题而提出来的一些与实践生活和理论知 识相关的问题n 1 。所以首先交代一下什么是正问题，对于现实生活中的一些现象可以用系 统来解释。对系统而言有其控制方程( 对数学而言一般为常微分方程或偏微分方程) 和适 宜的边界条件一起构成数学上的适定问题。求解适定问题，碍到因变量在空间的分布和随 时间演化的规律，实现对因变量的预测称为正问题。在水环境领域，有许多系统的数学 模型可由常微分方程或偏微分方程及适宜的初始条件及边界条件来描述，它们构成了 数学上的适定问题，求解适定问题从而得出因变量在空间的分布和随时间演化的规律， 实现对因变量的预测，是正问题。设有边界r 围成的区域q ，则典型的正问题可提为1 在q 内 在f 上 ( 2 1 ) t = o 时在q 和r 上 式中为因变量，t 为时间，三、艿、，分别为控制方程的微分算子，边界条件算子和 初始条件算子，正问题的目标是求出满足上式中的= ( x ，f ) ，x 为空间矢量。 显然，正问题( 2 1 ) 可解的必要条件是：微分算子三是确定的，具体地说， 泛定方程中各项的形式及其系数都必须是确定的；区域q ( 从而其边界r ) 必须是 确定的；边界条件是确定的，具体地说，边界条件的类型( 一类或二类或三类) 和 参数必须是确定的；对于非定常系统，初始条件必须是确定的。 如果将正问题的某种必须已知的确定因素变为未知的待求解的变量，而将正问题的求 解目标( 五f ) 的一部分( 例如在r 式q 的子域上的分布) 作为已知的必须满足的条件，就 构成了某类反问题，这里，正问题的部分求解目标成了已知条件，正问题中必须已知的某 种因素成了求解目标，对确定的系统进行预测变成了调节系统的某种因素以实现对系统的 控制 9 1 0 4 0 o o i i = = 卿嘞即 水环境数学模型反问题的理论 2 1 1 适定与不适定问题 当针对具体的物理问题建立了相应的数学模型( 定解问题) 之后，我们首先是要考虑 该问题提法的合理性，或者说数学模型的可解性。然后才能考虑该问题的求解方法。 根据阿达马7 0 1 在1 9 2 3 年提出的定义，同时满足如下三个条件的问题，称为是适定 的： 1 、问题的解存在； 2 、问题的解唯一； 3 、问题的解连续依赖于定解条件( 解稳定) 。 否则，问题称为是不适定的。很显然，解的存在性依赖于解的定义和数据( 定解条件) ； 解的唯一性依赖于解空间的大小和输入数据；而解的连续依赖性取决于解空间的拓扑结构 ( 解和输入数据的度量) 。 我们给出问题适定性的严格的数学定义为：设a ：x y 是赋范空间y 的一个算子。 方程 彳矽= 厂 ，称为是适定的，如果么是一一对应的并且逆算子a 叫：y 专x 是连续的。否则称为是不适 。定的7 1 。 把不满足上述三个条件之一的问题通称为不适定问题。 不适定问题在数学、物理及其它学科研究中广泛出现。例如：下列问题在z 的度量 中不稳定，因而不适定。解第一类积分方程；对近似已知的函数进行微分；对于其系数在 厶的度量中近似已知的f o u r i e r 级数求和；l a p l a c e 方程的c a u c h u y 问题；函数的解析延 拓问题；重量测定的反问题。其它的不适定问题还有：解病态线性代数方程组；不收敛 极小化序列的泛函极小化；线性规划与最优控制中的各种问题；最优系统的设计与结构 最优化( 电信和其它物理系统的综合问题) ；由微分方程描述的各种其它控制问题( 特别是 微分对策问题) 在物理、技术及其它科学分支中提出的一大类所谓反问题，特别是物理试 验的数据处理问题，都属于这类不适定问题7 9 1 。 求解不适定问题面临的本质困难是近似解的不稳定性，即：很小的观测误差会导致近 似解与真解的巨大偏差，而实际中观测误差总是不可避免的。因而，对于不适定问题需要 采取一些特殊方法。 数学物理问题可以分为两大类：适定与不适定问题。解不适定问题的方法是由 a n t i k h o n o v 于1 9 6 3 年提出的d 1 ，并且得到了基本的结果。随后，很多学者将他的思想 和方法发展成为数学的一个新的分支一解不适定问题。它已解决了许多有重大实际意义的 问题。 2 1 2 线性与非线性 对任意一个数学问题( 或称“数学运算”或称“算子”) ，我们可以仿效“直线与曲线 的思想，将它们划分为线性问题与非线性问题。纯代数意义上的线性算子的定义如下： 5 西安理工大学硕士学位论丈 若一个映射t ：x 岭y 满足 t ( c t x + 】，) = c t t x + r y( 口，k ，x ，y 彳) ( k = r c ) ( 2 2 ) 则称r 为x 到】，的线性算子，否则为非线性算子。恒等式( 2 2 ) 意味着丁保持线性运算， 它可推广为更一般的 丁( 口，而) = a , r x , ( 2 3 ) ff 其中e a i x i 是x 中元的任一有限线性组合。恒等式( 2 2 ) 、( 2 3 ) 决定了线性算子具有一 系列良好的性质t i l l 。 例如矩阵算子是线性的，因为a ( a x , + 屯) = 口如+ 如其中么为n x n 方阵，玉，x 2 为n 维向量，口，为二个任意常数。 对一般的反问题，它常常属于非线性问题的范畴。这是因为t ( c t v + f l u ) 不同于 丁( y ) 也不同于丁( u ) 的缘故。所以此时该问题为非线性的。非线性问题在数学理论和数值 计算中所特有的困难，就是反问题除掉不适定性之外必须克服的又一个困难。 2 1 3 算子理论 尽管在许多科学领域和工程技术中，存在着大量的反问题，其形式各式各样，千差万 别，但都可以统一在形式为 a z = u 的算子理论框架下，其中z 和u 取值范围分别为度量空间f 和u ，空间f 和u 也可为 b a n a c h 空间( 或h i l b e r t 空间或s o b o l e v 空间) ，a 是定义在，上到u 的一个算子 1 2 l 。 以下以对流一扩散方程参数识别反问题为例来说明这一情形。 考虑对流一扩散方程的初边值问题 瓦o c 一昙( 尼( x ) 塞) + 口( 彬) 害= 厂( 础) o x o c ( x ，o ) = c o ( x ) 0 x 1 c ( o ，f ) = g o ( f ) 0 t c o ，f ) = g 。( f ) 这是一个具有重要应用背景的方程，在水环境数学模型的研究中，有许多实际问题都 归于上述方程。当尼，a ，f ，c o ，g 。，g 。均为已知，且满足一定的正则性及相容性时，上述定 解问题构成适定的定解问题。现在的问题是：如果尼( x ) 未知，如何根据上述方程组及 其它已知信息来确定尼( z ) ，就是参数识别反问题，这类问题在研究水污染水质模型中 非常重要，它们的确定，对改善模型的精度起关键作用，为了辨识尼( x ) ，通常要附加 一些先验条件。如何附加这些条件，在理论与实践中都是十分重要的。在理论上，这 些附加条件的给法应保证解的存在性，唯一性 1 3 1 0 在实践中附加条件往往由测量给出， 因此应当考虑这些量的可观测性与易观测性，例如取 c ( x ，乃= 伊( x ) 0 x 1 或c ( x o ，f ) = y o ) 0 t t 6 水环境数学模型反问题的理论 其中o ( x ) 与( f ) 为已知，其实际背景是如果得到各点在瞬时丁的c 值或某一空间位置x 。 上c 的长期观测值，上述附加条件与方程结合在一起便构成了求解参数尼( x ) 反问题的数 学模型。 很容易把上述问题归结为算子方程的形式，取尼( x ) c 0 ，1 】，若a 、f 、c 。、g 。及 昌均为已知，k ( x ) 取不同函数时，其相应的解是不同的，即确定了一个k ( x ) 到c ( x ，t ) 算 子么l ，即4 【尼( x ) 】= c ( x ，f ) ，显然么l 为非线性算子，由附加条件可知，又存在一个从c ( x ，f ) 到缈( 石) ( 或y ( f ) ) 的算子彳2 ，有4 c ( x ，f ) 】缈( x ) ( 或4 c ( 五f ) 】= 沙( f ) ) 。因此反问题就 归为下述算子方程砸尼( x ) 】_ 4 【4 尼( x ) 】_ 妒( x ) 或4 尼( 石) 】兰4 4 【尼( x ) 】= e ( t ) 的求解。 上述关于把反问题转化为算子方程的形式，对其它类型的反问题也是类似的。因此， 我们得到所有正问题实质就是已知算子彳和，中的元素z ，计算彳z 即u 值，而反问题是 已知算子么和u 中的元素u ，解算子方程a z = u 中的z ，即： 正问题：给定算子a 和z ，计算a z 得u 。 反问题：给定“和4 ，解算子方程a z = “得z 。 这样就把反问题纳入了算子理论的范畴，一方面使得反问题能在算子理论框架下统一 处理，另一方面用算子论方法可以更深刻地了解反问题的本质并指导寻找解决问题的有效 方法“1 。 2 2 水环境反问题 污染物质在水体中的输移，转化，累积过程，可采用常微分方程或偏微分方程来 描述，对于均匀混合的河流，常采用一维水质方程进行描述。用于水质评价的常规水 质参数很多，从水质组分看，有机污染是一种典型的水体污染物，而综合反应耗氧有 机物的b o d d o 模型具有普遍重要意义，也是较成熟的模型。1 9 2 5 年，斯特里斯 ( h s t r e e t e r ) 和菲尔普斯( e p h e l p s ) 建立了第一个描述河流水质的模型，s 。p 模型， 它是第一个真正意义上的水质模型，被广泛地应用 1 4 1 0 它是水环境数学模型的代表， 从这个数学模型我们引入水环境数学模型反问题的相关概念。 具体的数学模型为： l 丝+ “丝：e 粤一k 三 o t o x o x ： 1 ( 2 4 ) l翌+“丝：e磐一k，三+k：(d，一d)o【to xo x 2 15 7 其中l 一一x = x 处河水b o d 浓度，m g l ；o 一= x 处河水d o 浓度，m g l ； d 一一河水在某温度时的饱和溶解氧浓度，r a g l ；u 一一河水平均流速，m s ； k 一一b o d 的衰减系数，d q ；砭一一河水复氧系数，d ； e 一一河流离散系数，m 2 s ；z 一一离排污口处( 工= 0 ) 的河水流动距离，m ； t 一一河水流动时间，s ； 从数学的角度来讲可以概括成以下的数学模型求解： 7 西安理工大学硕士学位论文 丝+ “丝：d d 0 2 l k l 三( o ，) = o ) o t t ( 2 5 ) l ( x ，o ) = 似x ) 0 墨x 1 孰，= 鲋 若“、d 、k 、f ( t ) 、( x ) 、g ( t ) 为已知，则上述问题构成适定问题。 2 2 1 水环境反问题的提法 当已知式( 2 5 ) 的解，来决定方程的系数的问题，在数理方程理论中称为反问题曲1 。 泛定方程中的系数常常表征介质的某种性质，因而求解参数识别反问题的目标通常是 推求介质的特性参数，从而推求介质的种类。例如，在水环境数学模型中，求河流水 质某些系数问题，就是一类重要的参数识别反问题。对式( 2 5 ) ，若“，d ，k 。未知，希 望通过对三的某种观测来确定参数“，d 。，k ，即构成了参数识别反问题。这些水质要素 是距离和时间五t 的函数，因此合理确定分布参数u ，n ，k i 值将对改善模型的精度起着 非常重要的作用。通过对模型中参数的确定和调整可以使得系统向人们所要求的方向 发展。 下面以水环境数学模型为例，给出不同类型反问题的解释。 a 参数识别反问题 参数识别反问题是最典型的一类反问题，此类反问题可陈述为由泛定方程给出的 结构和及娑在区域和边界上的部分信息或完整信息来确定方程的一个或多个或全 d 陀 部系数的问题。泛定方程中的系数常常表征介质的某种性质，因而求解参数识别反问 题的目标通常是推求介质的特性参数，从而推求介质的种类。例如，水环境数学模型 中，求河流水质纵向弥散系数问题，就是一类重要的参数识别反问题n 钉。 污染物质在水体中的输移，转化，累积过程，可采用偏微分方程来描述，对于均 匀混合的河流，常采用一维水质方程进行描述，由于分子扩散、紊动扩散远小于由于 断面内流速分布不均匀引起的剪切离散，一般不考虑扩散系数d ，常用纵向弥散系数 e 。表征因断面脉动平均流速分布不均匀引起的混合过程，e 。与流速、水深、断面面积 及污染物浓度分布的关系密切。这些水力水质要素是距离石的函数，因此合理确定分 布参数e 。值将对改善模型的精度起着非常重要的作用。 对于河流中降解有机物的水污染问题，可提出式( 2 5 ) 描述的定解问题 在地下水流场的计算问题中，也会提出相类似的反问题，我们知道，恒定、无源、 达西( d a r e y ) 渗流的控制方程为 昙( e 譬) + 晏( k ，娑) + o ( k ：譬) ：o 8 水环境数学模型反问题的理论 式中，矽为渗流的速度势，k 。、k ，、k ：分别为x 、y 、z 方向的渗透系数，对均匀介 质为常数，否则为空间位置的函数，当介质为各向同性时，k 。= k ，= k ：= k 。若能 根据地下水流场的部分浅层信息( 例如，自由表面附近的部分流速场或与地下水连通 的地表水的部分流速场) 推求k 。、k k ：的分布，作为整个地下水流场的计算依据， 可省去大量的钻孔取样，实验测定工作。 b 源项控制反问题 已知泛定方程中源( 汇) 项以外各项( 包括其结构和系数) ，在区域( 和边界) 确 盎m 定的情况下，根据、娑在区域和边界上的部分信息或完整的信息来确定方程的源项， 0 n 即为源项控制反问题。水环境数学模型中对污染源的控制堪为典型的源项控制问题。 污染物浓度输运的控制方程为对流一扩散方程 a ( 心) + v ( p u o = v ( 。v c ) + s d f 式中，p 为含污染物的流体密度，c 为质量浓度，u 为流速矢量，仃，为扩散系数，s 为 源( 汇) 项，一般情况下s = m ，万( x 一而) ，m ，为污染物浓度强度，一为污染源位置， i = l 对于污染物质泄放到江河海洋的情况，经常提出这样的问题：为使下游某处或若干处 的浓度不超过水质标准规定的临界浓度，应如何规划上游污染源的位置和限制其强 度? 这相当于在确定的区域内根据c 的部分信息反求s ( x ，力，即求m ，与x i 。此类问题 的解决对于环境工程的发展具有愈益重要的意义。 含源( 汇) 项的恒定、均质介质中地下水的控制方程为 k v 2 矽+ s = 0 为使地下水位保持在一定的高程，应如何安排抽水井的位置和限制其抽水量，即 如何根据水位限制条件求s ? 地下水补给问题的研究中也会提出相类似的反问题。 c 边界条件反问题 已知控制方程各项的结构和系数，对确定的区域( 和边界) 根据、挲在区域和 d 绍 边界上的部分信息或完整的信息确定相应的边界条件的类型或参数，即为边界条件反 问题。污染物输运可由下述方程组描述： 9 西安理工大学硕士学位论文 丝+骂笋+雩笋=瓦a(k。ac)oto x + 杀( b 考) 一z c却却 舐却v 却7 以川l r = o = c o掣k 。= 。 c ( x ，y ，f ) i 脚= 0 掣卜。掣卜。 其中z 为河流的降解率，c = c ( x ，y ，f ) 为污染浓度，c o 为污染源排放浓度，u = u ( x ，y ) ， 1 ，= v ( x ，y ) ，k x = k x ( 毛y ) ，后，= k yx ，y ) 分别为水流的纵、横向流速及扩散系数。 当“，k k ，k 。，c 。，z 均已知时，求解上述方程得到c ( x ，y ，t ) 的正问题。现在的问题是根据 环境容量标准，要求在下游某区域q 。内的污染物浓度不超过c ( q 。，t ) ，即 c ( x ，y ，f ) k ，冲。c + ( q o ，f ) 如何控制上游污染源的排放浓度，这个问题与前述正问题相比，不同之处在于正问题 中应属已知边界条件参量c o 现成为未知待求目标，正问题中属于求解目标一部分 c ( 艽，y ，f ) 1 w 。成为已知的限定条件，由于所需确定的目标是边界上的参数，称为边界条件 控制反问题 t e l 。 水环境数学模型中的温排放问题常需确定水表面的散热系数。热输运的控制方程 亦为对流一扩散方程 a 云( p r ) - 4 - v ( p u t ) = v ( 仃r v 丁) + s l ， 式中，丁为温度；万r 为热扩散系数。水表面的边界条件为第三类边界条件 娑= 善( 乙一疋) j ，、p“， o n 式中，孝为散热系数，乙、疋分别为水和空气的温度。求解边界条件反问题，便可根 据温度的实测资料求出孝。 d 初始条件反问题 已知控制方程各项的结构和系数，对确定的区域( 和边界) 根据边界条件和t = t 时 刻变量的分布推求t t 时刻变量的分布，即为初始条件反问题。例如，考虑一维非恒 定紊动扩散问题： 1 0 水环境数学模型反问题的理论 砉一等叫刈，0 x 0 c ( x ，0 ) = 畎x ) 0 x l ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中c ( x ，t ) 为浓度，( x ) 为浓度在仞始时刻的分布，若、f 、g 。、g ：为已知，则上 述方程组构成适定的定解问题，是正问题。现在的问题是已知f 、g 。、g ：，且知道时 刻t = t 的浓度分布为w ( x ) ，欲求出t = 0 的浓度，这是一类典型的反问题，称为初始条 件反问题 t s i 可提为： 害一等= 服，0 x 0 c “乃= 甲 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 问题( i i ) 中的条件( 2 1 1 ) 不同于问题( i ) 中的条件( 2 8 ) ，它不是初始条件 而是附加条件，求解的目标是在满足方程和边界条件下，根据( 2 1 1 ) 中的甲( x ) 推求 初始条件( 2 8 ) 中的( x ) 。这类初始条件反问题在生产实际中是很有用的，例如，河 流上游有化工厂向河中排放污染物质，下游城市希望此处河中的污染物浓度有一个符 合环境保护要求的理想分布，问如何控制化工厂排出的初始污染物浓度及总量，才能 达到目的、这类问题就有待于反问题( i i ) 的解决。 e 形状控制反问题 已知泛定方程各项的结构和系数，对己知边界r l 未知边界r 2 ( r = f l - i - r 2 ) 界定的不 a 爪 确定区域根据、娑在区域和边界上的部分信息或完整的信息确定r ，即为形状控 o n 一 制反问题。形状控制反问题又可大致分为以下四类： 1 、选形在几种允许的形状之中选择优者。 2 、定位对已知形状的物体，确定其在介质中的最佳位置以满足某种要求。 3 、形状识别已知边界r l 可达、其上的或。可测，未知边界r 2 不可达亦不可 测，欲由r l 上的信息确定。 4 、自由边界问题r i 为已知边界，r 2 为未知边界，r 2 上除应满足适定边界条件 之外必须满足附加边界条件，后者恰为确定r ，的条件。 上述反问题分类( 参数识别反问题、源项控制反问题、边界条件控制反问题、初 始条件反问题、形状控制反问题) 的前提是，系统的控制方程为兼含时间导数和空间 导数的偏微分方程；这类系统称为分布参数系统( d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ) 。诚然， 西安理工大学硕士学位论文 水环境数学模型中研究的系统多为分布参数系统，但也有一些问题，其控制方程可表 为仅含时问导数的常微分方程，这类系统称为集中参数系统。还有一些水环境数学模 型问题，迄今尚未得出精确的微分方程形式的控制方程，只有根据实验资料整理得到 的经验公式。这些代数方程形式的经验公式只要经过充分的验证亦可作为系统的控制 方程，据以求解某种类型的反问题。如果将这类系统称为经验参数系统，则又可根据 系统控制方程的类型将水环境数学模型参数反演问题分为三类：分布参数系统反问 题、集中参数系统反问题和经验参数系统反问题“ 。前述五类反问题均属于分布参数 系统反问题。本论文主要研究参数识别反问题，即水环境数学模型中相关参数反演的 问题。 2 2 2 水环境数学模型定解问题的适定性 对于式( 2 5 ) 所描述的表示物理实体的定解问题应该满足如下条件： l 、存在性，即解必须存在； 2 、唯一性，即解必须是唯一确定的； 3 、稳定性，即解必须对定解条件或自由项( 源汇项) 是连续依赖的。 第一个条件明确规定，物理现象本身是客观存在的，它的迁移规律是确定的，因而 正确反映这个规律性的物质迁移扩散方程定解问题的解，也应该是存在的，如果定解问 题无解，则这个定解问题没有意义，从而说明人们对实际问题抽象出来的数学问题的“理 想化”过程有错，或者定解条件的给法有错。所以解的存在性是检验定解问题提法正确 与否的必要条件之一。 第二个条件要求，从实际问题得到的定解问题，必须反映某一确定的物质迁移扩散 过程，如果解存在，但不唯一，则表明定解问题提法尚欠确切。 第三个条件是说，当定解问题的定解条件或自由项做很小变化，定解问题的解也相 应发生很小变化，由于从实际问题中提出的定解条件或源汇项的函数值是通过实验或测