（理论物理专业论文）randallsundrum膜模型及其不稳定性研究.pdf

摘要 b r a n e 模型是近年来的研究热点。本文在回顾b r a n e 模型的基础上，重点讨论了 r a n d a l l s u n d r u m ( r s ) 双膜模型的不稳定性和紧致额外维的量子特性。我们从五维测地 线方程出发，研究了r s 双膜模型中b u l k 检验粒子的引力，此引力导致了r s 模型不稳 定。为平衡两个膜之间的引力，我们在b u l k 中引入了五维流体并得出了一族b u l k 精确 解：由有效四维曲率的极小值条件，我们讨论了额外维的紧致大小。为研究紧致额外 维的量子特性，我们首先从直接量子化方法给出了五维f r w 宇宙的哈密顿公式，并用 后时近似方法分解了五维宇宙波函数，进而得到因第五维的紧致性而量子化的第5 维 动量。 关键字：高维；b r a h e 模型；紧致性；量子宇宙。 a b s t r a c t t h e r eh a v e b e e ne n o r m o u si n t e r e s t si nt h eb r a h ew o r l dt h e o r i e sr e c e n t l y a f t e r r e v i e w i n gt h eb r a n et h e o r i e si nd e t a i l ，t h ei n s t a b i l i t yo ft h er a n d a l l s u n d r u mb r a h em o d e l a n dq u a n t u me f f e c t so fa ne x t r ac o m p a c td i m e n s i o nh a v eb e e nd i s c u s s e di nt h i st h e s i s f i v e d i e n s i o n a lg e o d e s i ce q u a t i o ni su s e dt os t u d yt h eg r a v i t a t i o n a lf o r c ea c t e do nat e s tp a r t i c l ei n t h eb l t l ko ft h er a n d a l l 一s u n d m mt w o b r a n em o d e l i ti st h i sf o r c et h a tc a u s e st h em o d e lt ob e u n s t a b l e s oa5 df l u i di si n t r o d u c e dt ob a l a n c et h eg r a v i t yf r o mt h et w ob r a n e s a n dac l a s s o fe x a c tb u l ks o l u t i o n si so b t a i n e d b yr e q u i r i n ga4 de f f e c t i v ec u r v a t u r et oh a v eam i n i m u m ， t h ec o m p a c t i f i c a t i o ns i z eo ft h ee x t r ad i m e n s i o ni sd i s c u s s e d i no r d e rt os t u d yt h eq u a n t u m e f f e c t so fa ne x t r ad i m e n s i o n ，ah a m i l t o n i a nf o r m u l a t i o nf o ra5 df r wc o s m o l o g yi s d e r i v e dt h r o u 曲t h ed i r e c tq u a n t u ma p p r o a c ha n dt h ef u l lw a v ef i m c t i o no ft h e5 du n i v e r s e i ss e p a r a t e du s i n gal a t e - t i m ea p p r o x i m a t i o n d u et ot h ec o m p a c t n e s so f t h ee x t r ad i m e n s i o n ， t h em o m e n t u mp sa l o n gt h ef i f t hd i m e n s i o ni sq u a n t i z e d k e yw o r d s ：h i g h e rd i m e n s i o n s ；b r a n em o d e l s ；c o m p a c t n e s s ；q u a n t u mc o s m o l o g y 1 前言 自k a l u z a ( 1 9 2 1 年) 和k l e i n ( 1 9 2 6 年) 为试图统一引力和电磁场相互作 用而提出k a l u z a - - k l e i n 理论【1 2 1 以来，高维理论得到了广泛地研究。如在 此基础上发展起来的“诱导物质”理论，做了许多建设性的工作p 。7j 。超 对称理论、弦超弦理论和m 理论的蓬勃发展使高维引力理论得到了人们 的普遍关注。 最近，源于强耦合的弦理论( e 8 e 8 的杂化弦理论1 【8 - 13 1 ，人们提出了膜 ( b r a n e ) 模型。该模型认为人类是生活在一个内嵌于高维空间的四维子空间 ( 3 一b r a n e ) 当中，标准模型( s t a n d a r dm o d e l ) 的物质和作用被限制在四维子空 间中f 3 一b r a n e ) ，而引力可以在所有的维中进行传播。 这一模型的提出立即引起了人们的广泛关注。1 9 9 8 年，a r k a n i h a m e d 等人从大尺度的紧致维出发解决了等级问题( h i e r a r c h yp r o b l e m ) ( 即引力作 用标度m 口i ( = g n - 1 2 1 0 1 9 g e v ) 与弱电标度m e w ( 1 0 3 g e v ) 之间的巨大量级 差1 【8 ，9 】；b i n e t r u y 等人研究了膜模型下的宇宙演化，得出“非传统”的类 f r i e d a m n 方程【1 4 ，”】；实验方面，2 0 0 0 年1 1 月，h o y l e 等在2 18 1 1 m 精度下 考查牛顿反平方引力【1 6 j 等等。 为了解决等级问题，r a n d a l l 和s u n d r u m 于1 9 9 9 年5 月提出了不同 于a r k a n i h a m e d 等人的大尺度的紧致维的另一种模型【1 7 ，1 8 1 。r s 模型认为， 我们的宇宙位于一个有负张力( t e n s i o n ) 的可见膜( v i s i b l eb r a n e ) 上，另一 个镜像宇宙位于正张力的隐藏膜( h i d d e nb r a n e ) 上。这两个膜由一个5 维 a n t i d es i t t e r ( a d s5 ) 的b u l k 空间所隔开。等级问题由该模型引入的含弯益 因子( w a r pf a c t o r ) 的度规，d s 2 = e - 2 j ：l y g 。，d x “d x ”+ d y 2 的特性所解决。 人们对r a n d a l l s u n d r u m 膜模型的特性进行了广泛深入的研究。相关 方向的文献很多，几乎可以用“海量”来形容。内容涉及r s 模型的推广、 弦理论和超对称理论的嵌入问题、宇宙学和唯象学、广义相对论方面的特性等方方面 面( 可参见文献【”“0 1 ) 。 本文在回顾膜模型的基础上，重点讨论了r a n d a l l s u n d r u m 模型的不 稳定性，并在此基础上给出了一族b u l k 精确解；继论述膜模型中额外维的 紧致性问题之后，本文详细讨论了紧致维的量子特性。本文分五个部分加 以阐述。继引言之后，我们在第二章详细介绍了膜模型的发展及其主要工 作，论及了等级问题及其高维解决方案、r a n d a l l s u n d r u m 双膜模型、 g o l d b e r g e r - w i s e 模式稳定机制、膜宇宙及b r a n e 上的e i n s t e i n 方程。在第三章，我 们从五维测地方程出发，由b u l k 中粒子的引力特点详细讨论了 r a n d a l l - s u n d r u m 膜模型的不稳定性；在给出b u l k 流体的平衡方程后，我们 得出一族五维b u l k 精确解；最后，我们讨论了第五维的紧致尺度。就额外维的紧致性 问题，在第四章，我们从直接量子化方法出发，讨论了紧致额外维的量子特性。结论 与展望将在第五章给出。 2b r a n e 模型 为了理解b r a h e 模型的思想，我们先举一个形象的例子。假设我们生活在计算机 屏幕上，并且只能在此二维平面上运动。虽然计算机屏幕存在于三维空间中，但我们 只能在由屏幕决定的子空间中运动。这样我们所经历的时空是三维时空( 二维空间加一 维时间) 而非四维时空这就是高维b r a n e w o f l d 理论的思想：我们所能观察的四维时 空就像一台计算机屏幕，是内嵌于一个大空间中的子空间。这个大空间不能为我们觉 察，因此所有的标准物质和力只能约束在我们的子空间( 3b r a n e ) q b 运动。因为引力是决 定时空流形的力，所以其可以在所有的维中传播。我们将整个空间称为b u l k ，而将我们 生活的子空间称之为膜( d o m a i nw a l l ，b r a h e ) 。 f i g u r e1 ab r a h ee m b e d d e di naf i v ed i m e n s i o n a ls p a c e 2 1 h i e r a r c h y 问题及a r k a n i - h a m e d 高维解决方案 当我们逆着宇宙发展的方向外推宇宙的历史时，根据大爆炸理论，宇宙应该愈来 愈密，愈来愈热：宇宙中物质的距离变得愈来愈短。如果距离的量级足够短，如达到 原子大小的量级或更小，量子效应将占主导地位。所以，当我们逆时外推宇宙的历史 起源时，最终宇宙将达到一个足够的温度和密度，此时，将需要引力的量子理论。这 个年代称之为p l a n c k 年代，相应的距离、能量和时间大小称之为p l a n c k 标度，如表一 所示： t h ep i a n c ks c a l e q u a n t i t y v a l u e p l a n c km a s s1 2x1 0 1 9g e v c 2 p l a n c kl e n g t h1 6x1 0 ”c m p l a n c k1 1 m e5 4x 1 0 “s p l a n c kt e m p e r a t u r e14x 1 0 ”k r l b l e1 t h ep l a n c ks c a l e 当前，与粒子物理的标准模型相符合的粒子物理实验中的质量标度即弱电标度，其 量级大致为1 t e v 。 两种“基本”能量标度一弱电标度? b 与p l a n c k 标度 = g 1 “1 0 ”g e v ， 之间的巨大量级差称之为等级问题( h i e r a r c h yp r o b l e m ) 。为解决这一问题，之前采用的 方法是将标准模型推广，如色相法( t e c h n i c o l o r ) 模型、低能超对称模型。推广标准模型 的这些方法有一个共同的显著特点：它们都是建立在“假设确实存在两种基本能量标 度”这一假设上。然而，弱电标度和p l a n c k 标度之间确实存在着显著的差异，具体表 现在：弱电相互作用在接近m 。，。1 的距离内已为实验所证实：但目前的实验仅在1 c m 的范围验证了牛顿反平方引力，在m 。1 的范围内缺少实验证据。将p l a n c k 标度m ，解 释为基本能量标度之一的前提是假设引力在3 3 个量级上是不变的，即从c m 至p l a n c k 长度1 0 。c m 之内。这一假设的准确性与否直接影响到p l a n c k 标度m ，作为基本能量标 度的地位，为此有必要探求另一种新方法。 n a r k a n i h a m e d 等人利用高维方法( 4 + n 维时空) 成功地找到了解决等级问题的新 途径。我们简单地回顾一个他们的工作。 考虑到弱电标度的基本特性已为实验所证实，我们有理由认为弱电标度m 。，是自 然界唯一的短距离基本标度，它甚至决定引力相互作用的强度。假设存在半径为r 的 n 维额外空间紧致维，取( 4 + n ) 维中的p l a n c k 标度m 和弱电标度研。，同数量级，而将4 维p l a n c k 标度视为导出标度。根据这种思想，我们考查两个质量分别为m l 和m 2 的检 验物体之间的势能和牛顿引力，分两种情况： ( 1 ) 如果两个物体之间的距离，r 时，它们之间的引力势能为： 矿( ，) 器击( r r ) ( 2 1 ) 坦， 由此两物体之间的牛顿引力为 f g 4 _ + n m ：广i m 2 ( ，r )( 2 2 ) ( 2 ) 如果两物体之间的距离，r ，它们之问的引力流线不能穿透额外维，所以它 们之间的势能即为人们所熟知的1 r 势： 附) 书籍 ( r r )( 2 3 ) 牛顿引力为 根据式( 2 3 ) ， 令m m e ， f 鱼华( ，r ) ， 我们可以得出有效4 维p l a n c k 标度 ： 聊f m ”2 r 2 并取r 值如下： ( 2 4 ) ( 2 5 ) r 1 0 詈1 1 7 册( 1 t e v ) 1 专 r 2 6 1 m 我们就可以得到熟知的有效4 维p l a n c k 标度m ，的量级1 0 1 9 g e v 。 现在我们根据( 2 6 ) 式进行一下估算。当n = l 时，r 1 0 n c m ，牛顿引力的偏离已超 出太阳系的距离，所以这种情况应该排除。当n 2 时，引力的修正只有在小于当前实 验所能探测的距离范围内才能被感知。等别的，当n = 2 ，r 1 0 0 m l m m ，在不久的 将来，人们在新的实验中也许可以探测出引力的偏离。这是非常令人鼓舞的。 由于引力在小于m m 的距离内还没有被人们所探测，但标准模型的规范力在弱电 标度的距离内已被精确测定，所以标准模型粒子不能在额外1 1 维中自由传播，而是局 限于4 维子流形内。m ，是唯一的短距离基本标度，而我们的4 维世界在额外维中有 一厚度m 。，一。引力子是在( 4 + n ) 维全空间( b u l k ) 中自由传播的唯一场，其( 4 + n ) 维p l a n c k 标度与m 。，同数量级。 2 2 r s 双膜模型 n a r k a m i - n a m e d 等人的模型是通过引入大尺度的额外紧致空间维来消除弱电标度 肌，和引力基本标度p i a n c k 标度之间的等级。然而，此方法却引入了另一个等级问 题，即：以1 r 与m 目之间的巨大量级差。为此，r a n d a l l 和s u n d r u m 提出另一种方 案：用背景度规自身的特性来解决等级问题。这就是为大家所熟知的r s 双膜模型。 r s 双膜模型所引入的背景对空含有单个s 1 z o r b i f o l d 额外维。带相反张力的两 个三维膜位于o r b i f o l d 的固定点上。时空度规是含“弯曲因子”的不可因子化的度规， 其在x ”方向上具有4 维p o i n a r e 不变性，其形式假设如下： 西2 = p 一2 4 伸叩，d r “d x 。+ d 2( 2 7 ) 其中r c 是o r b i f o l d 前额外维圆圈的半径；妒是额外维坐标，其取值范围为一石庐s 石， 且具有z 2 对称性，即：( x ，庐) 与( x ，一声) 是等同的。两个三维膜分别位于o r b i f o l d 的固定 点庐= 0 和痧= 石上。位于庐= 万的三维膜称为可见膜，位于妒= 0 的三维膜则称之为隐藏 膜。在三维膜中，3 + 1 维场论是完全适用的。可见膜和隐藏膜上的时空度规由全空间的 纯4 维部分耦合而成： g 茹( x “) 三6 i ，( x 4 ，庐= 石) g 。h i ，d ( x ”) ；g 。，( x ”，痧= o )( 2 8 ) 其中g 赫是五维度规，m ，n 取遍所有5 维指标一，妒。 下面，我们写出体系的作用量 s = s | y s 。h + s h s 。时= p x 厢卜a + 2 m 3 = p 4 工二i 一扎) = f d 4 z 二石隔。一)( 2 9 ) 注意到在上述三维膜中的拉氏量中，我们将“真空能”常数项分离开来， 这样即使在没有粒子激发的情况下，“真空能”仍可作为引力源。 与上述作用量对应的五维e i n s t e i n 方程为： 一g ( t 一一( ? r ) = 一赤 a x f z - g g m n + i 盈品彤占( 一万) + i ：盈，h i ，d l a 咖v j ( ) 】 ( 2 1 0 ) 将度规的具体形式( 2 7 ) 式代入，上述5 维e i n s t e i n 方程可化为 譬：筹， ( 2 1 1 ) 7 。面 等= 砸 2 v s 猁) + 惫删叫 ( 2 1 2 ) 方程( 2 1 1 ) 满足o r b i f o l d 对称性庐斗一痧的解为 一州i 寿 ( 2 1 3 ) 这里我们省掉了积分常数项( 因为我们总可以通过重新标定而将此常数消 除) 。显然，解( 2 13 ) 式只有在人 0 才有意义，从现在开始，我们将这一点 作为假设条件。这样，在两个b r a n e 之间的时空度规便是4 弧的曲面片。 考虑到度规是的周期性函数，而呵庐兰疗，计算方程( 2 1 3 ) 的导数可 6 知： 厂了 一= 2 、意【占( 庐) 一占( 痧一石) 】 ( 2 1 4 ) 比较( 2 1 4 ) 并4 1 ( 2 1 2 ) ，可以发现参数矗。， 人是精确自调的，他们之间 的关系如下： 矗w = 一f l 。v l s = 2 4 m 3 k ， a = 一2 4 m 3 k 2 ( 2 1 5 ) 为了使b u l k 曲率相对于高维p l a n e k 标度是小量，我们假设k m 。将所得 结果代入度规( 2 7 ) 式，最后我们得到b u l k 度规为 d s 2 = e 一2 虹眵l 巩，d x ”d x 7 + 2 d 2( 2 16 ) 接下来，我们来考查一下r s 双膜模型所揭示的物理意义。 首先考虑度规的零质量引力波动，其可以导出有效理论的引力场。度 规的零模式如下： d s 2 = e _ 2 虹g u ，( 石) 西，d x ”+ 2 d 2 ( 2 1 7 ) 其中毛，( x ) = 巩，+ ，( x ) 不依赖于额外维坐标。将度规( 2 1 7 ) 代入作用量表达式( 2 9 ) 中，从含曲率r 的式中我们可以得出引力相互作用的4 维有效作用量的范围： s 咀 k 4 x e d 2 m 3 r c e - 2 k r , l l0 二毛夏 ( 2 18 ) 其中，我们用豆表示由爵，( 功构建出来的4 维r i c c i 标量，以区别于由 g m u ( x ，庐) 所构建的5 维r i c c i 标量。在低能波动情况下，有效场只依赖于坐标x ，而与 无关，所以我们可以对作用量( 2 1 8 ) 沿庐积分，并与4 维e i n s t e i n 理论相比较，可以得 到： m 三= 肘3 d 加2 蚓“= 等 1 - - e - 2 k r c x 】 ( 2 1 9 ) 从上式，我们可以看出，在红到取值很大的情况下，m e ，微弱地随变化而变化。 其次，考虑三维膜场与低能引力场的耦合。由( 2 8 ) 式知，g 等= 瓦，而 g 嚣= e - 2 k r , x 毛，这将对可见膜部分的物质的物理质量产生影响。下面以基本h i g g s 场 为例来说明这个问题。位于可见膜上的h i g g s 场的作用量如下： 5 k ) l d 4 x 一g 。 g = q 月+ 见h a ( h 1 2 一v 0 2 ) 2 ) ( 2 2 0 ) 其中v 0 是表示质量的参数。将( 2 8 ) 式代入上式，有 5 k j d x 4 ：i e 。4 机4 亭”p 2 也。q 日+ 见日一旯( i h l 2 一y 0 2 ) 2 ) ( 2 2 1 ) 进行波函数重整化：时p 咕日，我们得到 ) j d 4 x 一季 虿t v e 2 e r ：q h + d v h 一五( i h l 2 一e - 2 k ”2 ) 2 ) ( 2 2 2 ) 由上式，我们不难发现，物理质量的大小由对称破缺的大小所决定： v ie 也”v 0 ( 2 2 3 ) 也就是说，在基本高维理论中任意质量为m o 位于三维可见膜上的物体， 当以有效度规瓦，进行度量时，其物理质量为： m e e - k 。r m 0 ( 2 2 4 ) 其中瓦，是有效e i n s t e i n 作用量中的度规，其他所有算符都根据自身的4 维 共形权重重新获得标定。如量p ”取1 0 ”的量级，由上述机制，从p l a n c k 标度1 0 x 9 g e v 基本质量中以产生量级为t e v 的物理质量。因为弯曲因子是 1 e 指数的形式，我们不再要求基本参数v 0 ，k ，m 及以；二之r n q 有巨大的量级 差。事实上，仅要求舡“5 0 就足以解决问题。 至此，我们可以将m “蚝视为基本标度，而认为t e v 标度是由度规 中的e 指数因子压缩而产生的结果，即t e v 是导出标度。当然，我们也可 以反过来认为t e v 是基本标度，而p l a n c k 标度是导出标度，因为弱电标度 ，与p l a n c k 标度之间的比值是无量纲的。 2 3 g o l d b e r g e r - w i s e 机制 在r s 双膜模型方案中，标志两个膜之问的距离大小的量的值是任意的。因为在 r s 模型中，是和零质量的4 维标量场相关的，而标量场的势能为零，故不能由r s 模型的动力学性质所决定。为了寻求产生稳定的c 值的势能项，g o l d b e r g e r 和w i s e 提 出一种机制：在b u l k 中引入一标量场，同时包括b r a n e 上的相互作用项。通过这种方 法，他们得到了的势能；此势能取最小值时，在无需其他参数精确自调的情况下， 可以使碗1 0 ，从而达到稳定的目的。人们将这种机制称之为g o l d b e r g e r - w i s e 机制。 g o l d b e r g e r 和w i s e 在r s 双膜模型的b u l k 作用量中加入一标量场巾， 既= 一告p 4 x e 却二石( g 钆，o 一埘2 。2 ) ( 2 2 5 ) 同时引入位于隐藏膜( = 0 ) 及可见膜( 妒= 石) 上的相互作用项： 瓯“= i d 4 x 一g 讨扎耐( 0 2 1 乞) 2 ( 2 2 6 ) 鼠。= f d 4 x 一( 中2 一吨) 2 ( 2 2 7 ) 其中g h 。和g ，。分别是位于隐藏膜及可见膜上的诱导度规的行列式；以。和y 。是正定耦 合常数。对于“。、，。取值较大的情形，有中( o ) = v h o 协) = v 在乜取值较大的 8 极限情况下，忽略沏2 4 k 2 ) 2 阶小量，可以得到的4 维有效势能： ( ) 一- - n 6 2 “+ 4 k e _ 4 缸“( v 峭一v 耐e - d o d r ) 2 ( 1 + 争一i s 耐p 一( 4 + f ) 也。( 2 v ，。一v d e - 曲矿) ( 2 2 8 ) 其中小量= 州2 4 k 2 。忽略占的一阶项，我们发现势能以) 在 也= 等h ( 老 2 。， 处取得最小值a 所以，用势能( ) 的极小值这一条件，可以稳定t 的大小： = ( 昙 嘉h s 。， 当l n ( v u v 。) 取单位量级时，仅需m 2 k 2 取1 1 0 量级就可以使虹1 0 。这样，在无需 其它参数精确自调的情况下，可以得到虹的合适大小。 g o l d b e r g e r - w i s e 机制忽略了标量场对度规的反向作用( b a c k r e a c t i o n ) ，也没有考虑 不同的标量真空期望值( v e v ) 对b r a h e 上张力的影响。d e w o l f e ，f r e e d m a n ，g u b a c r 和 k a r c h 在文献3 3 考虑了上述效应。 2 4 b r a h e 宇宙 在详细讨论b r a h e 宇宙之前，让我们简单推导膜上度规的匹配条件i s r a e l 连接条 件1 38 1 。 2 4 1 i s r a e l 匹配条件 令m 是带有膜( d o m a i l l 、v a l l ，b r a n e ) e 的d 维流形，z 将m 分成 t 两个部分。我们 要求度规处处连续，度规的导数除了在上外也应该处处连续。将的两边记为。 流形m 上的e i n s t e i n - h i l b e r t 作用量为 = 一芝ll d d x x ；r 其中是m 上的度规，m ，n = i 一2 d 。 的诱导度规定义如下： h m n = g w n u n n 其中n m 是m 。上的单位法矢量。在 t 上对作用量( 2 3 1 ) 式变分得： 6 s e h = 一苌蔓：d “t x 二i g n m 6 9 。p 司p 6 9 m n 、 ( 2 3 1 ) f 2 ，3 2 ) r 2 3 3 ) 将g = “+ 代入( 2 3 3 ) 式可得： 慨。= 一吉d “x 而“n ( v 。8 9 。_ v ，j ) ( 2 _ 3 4 ) 其中我们考虑到( v 。j g 。一v ，j g 。) 用r t m n ”n 收缩时等于零。a ( 2 3 4 ) 含有度规变分的 协变导数项( v 占g 。一v ，6 9 t t 、，) ，其在上可以是不连续的，所以两个b u l k 区域的贡 献并不一定等于零。为了消除这一项，必需引入g i b b o n s h a w k i n g 边界条件，即在膜 ( d o m a i nw a l l ) 两边都加上作用量： 5 刍= 一【d “1 x 二 置( 2 3 5 ) 其中k 是+ 上的外部曲率的迹，k = h u u k 。t 。，k 。= 碡碍v ，n o 。为了计算( 2 3 5 ) 的变 分，先计算k 的变分。当度规变化时，法矢量是变分为 6 r i m = i 1 n e n 。6 9 口口( 2 3 6 ) 由( 2 3 6 ) 式我们可以求出k 的变分，结果如下： 6 k = 一k ”6 9 一h a 4 v n p m 6 9 一妥p 6 9 、+ 吉k n e n 。6 9 e o q 3 7 ) 于是，g i b b o n s h a w k i n g 项的变分为： 峨一= 一d “1 x 鬲( 船+ 寺砀8 9 m u ) ( 2 3 8 ) 注意到6 k 中的去办“v ，6 9 w v 正好和e i n s t e i n - h i l b e r t 作用量变分中相应的协变导数项 相抵消，我们可以得出整个作用量的变分： 6 s e h + 6 s g h = d “x 、瓜弓 m v n e v m 6 9 v e + k 万g 。一丢k n m n u 6 9 m s 一丢硒一曲赫】( 2 3 9 ) 为了进一步简化上式，引入。的切矢量，有 m x m = 转。可m x n + 妒矿q x n = 鼋h x m x m 妒n x mq 。4 0 ) v 是与t 上的诱导度规矗。相联系的协变导数。n n ( 2 4 0 ) 和外部曲率巧。的定义，我 们有： h u n n p v m 6 9 n p = w m ( h a e a n p 6 9 q 0 8 9 n p v m ( h m u n p 、 = 专m ( h u x n p 6 9 n 0 + k 铲n h 6 9 一k “6 9 q 。4 1 ) 将( 2 4 1 ) 式代入( 2 3 9 ) 式，并将全微分项积分掉，得： 占+ 占鼢= 吉。d “1 x 瓜( k “勘) 8 9 u u ( 2 _ 4 2 ) 因为。在上可能是非连续的，所以+ 对上式的贡献并不一定等于零。 如果膜( d o m a i nw a l l ，b r a n e ) 2 9 _ 有作用量： = ed “1 x j k 其中一代表b r a h e 上的物质。( 2 4 3 ) 式i y j 变分为： 6 s m = td d - 1 x 幅严6 9 。 其中r s 了器是b r a n e 上的能动张量。作用量原理要求总变分为零： 8 s = 6 s e h + 6 s g h + 6 s h = 0 给出大家熟知的i s r a e l 连接条件： 【尉 = 一 其中【朋表示l i m x l i m x 。 x - - - r z 斗z ， 2 4 2 不考虑宇宙学常数的膜宇宙 ( 2 4 3 ) r 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 在本节中，我们详细讨论五维时空的膜宇宙问题。考虑描述五维时空的作用量： s = 一击p 5 x = 办+ f d x 二玻 ( 2 4 7 ) 二k 5 式中第一项是e i n s t e i n - h i l b e r t 作用量，第二项是物质项。r 是五维曲率标量：常数与 五维牛顿常数g 及五维p l a n c k 质量膨的关系如下所示： r 5 2 = 8 z g 5 = 肘一3 ( 2 4 8 ) 为简单起见，考虑如下五维时空度规： d s 2 = g m n d x ”d x ”= g u 。d x “d x ”+ 6 2 方2 ( 2 4 9 ) 其中y 是紧致化的第五维坐标，其取值范围为一1 2 ys1 2 ，且两端点等同。根据 h o r a v a w i t t e n 紧致化理论，第5 维坐标有z 2 对称性y 斗一y ，这样我们只需将y 的间 隔取为0 j ，1 1 2 。两个三维膜分别位于y = 0 和y = i 2 上，形成时空的边界。因为我们 的宇宙位于y = o 的三维膜上，所以在本节中我们将详细考虑超曲面y ：0 上的情况。 假设度规( 2 4 9 ) 式取如下具体形式 d s 2 = 一竹2 0 ，y ) d t 2 + 口2 0 ，y ) 5 # x 。d x + 6 2 0 ，y ) a y 2 ( 2 5 0 ) 这里为简单计我们采用了平坦的普通三维空间度规。对应于作用量( 2 4 7 ) 中的物质项， 假设物质分布在b u l k 及b r a h e 上，于是作用量( 2 4 7 ) 对应的能量张量可分解成两部分： 彤= 酵k + 碟i 。( 2 5 1 ) 取b r a h e 上的物质为理想流体，有 互i b m , = - 学a a g ( 一p ，p ，p ，p ，o ) ( 2 5 2 ) 其中p ，p 分别为能量密度和压强。在( 2 5 2 ) 中我们已经假设b r a h e 是无限薄的，其厚度 可以忽略。 为研究五维时空几何的动力学性质，我们应该求解五维e i n s t e i n 方程： = b 2 ( 2 5 3 ) 为此，将度规的具体形式( 2 5 0 ) 式代入( 2 5 3 ) 式，不难求出非零的e i n s t e i n 张量如下： q 。o = s 鲁( 鲁+ 导) 一手( 鲁+ 鲁( 等一等 c z s 。， 呜= 矿a 2 i i a l i a + 2 鲁) 一瓣+ ：书+ z 等+ 鲁 + i a r 2 1 f i a l t 一昙+ 2 鲁 一z 詈+ 鲁( 一z 鲁+ 鲁 一鲁l c z s s ， g o ，：3 f 兰鱼+ 一a i b 一生1(256)n iaa0a 、 g k = s 丢( 鲁+ 等) 一箬( 鲁( 鲁一鲁 + 芸 c z s ， 式中撇号表示对y 求导，点号表示对t 求导。 首先，我们考查4 维能量守恒方程是否满足。由5 维毕安基恒等式侣i a i l c l l ii d e n t i t y ) v h 硝= 0 ，并结合5 维e i n s t e i n 方程，我们可以得到 p + 3 ( p 训等划 ( 2 - 5 8 ) 其中是口在b r a h e ( y = o ) 上的值。很明显，( 2 5 8 ) 和普通的4 维能量守恒方程是一致的。 其次，我们考虑e i n s t e i n 方程( 2 5 3 ) 式在y = o 邻域内的解。为推导方便起见，我们 将从i s r a e l 连接条件出发。 对于度规( 2 5 0 ) 式，b r a n e 上的法矢量n m 可取如下形式： 胛”= ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 b ) f 2 5 9 ) 故诱导度规= g m x 一= ( 以，o ) 。根据b r a h e 上的外部曲率定义：磁带， 可知： 硝= 锄岛丢，0 ( 2 6 。) 将b r a h e 上的能动张量写成如下形式 形l = 掣踏 ( 2 6 1 ) 后，我们发现i s r a e l 连接条件可以写为： 1 2 】_ 0( 2 6 2 ) 【一彤 _ 一蚝2 ( 2 6 3 ) 注意，在上式中我们恢复了i s r a e l 连接条件( 2 4 6 ) q b 的系数。( 2 6 3 ) 又可写为 足。】= 一k 2 ( s u u 一妻勋) ( 2 6 4 ) 其中s ；是的迹。将和s o 的具体形式代入( 2 6 4 ) 式，可以得到： 单：一芷p ( 2 6 5 ) 6 0 3 。 。 单：x 2 ( 3 p - 2 p ) ( 2 t 6 6 ) 6 0 3 其中 【a 】= d ( o + ) - d ( o 一)( 2 6 7 ) 【n 】- ( 0 + ) 一n ( 0 一)( 2 6 8 ) a o = a ( t ，0 ) ，b o = b ( t ，0 ) 。选择时间t 使= n ( t ，o ) = 1 ，即使t 对应于标准宇宙的宇宙时 间：同时对e i n s t e i n 方程的( 5 ，5 ) 分量( 2 5 7 ) 式加上z 2 反演对称性_ y 专一y ，并利用( 2 5 2 ) 、 ( 2 6 5 ) 、( 2 6 6 ) 式，我们可以( 2 5 7 ) 式改写成： 等芦a o 一篆如却卜等 b 6 9 ) 其中毛。是b u l k 中的能量张量。( 2 6 9 ) 式即是描述膜宇宙演化的类f r i e d m a r m 方程a 定义h u b b l e 参数日；鱼，方程( 2 6 9 ) 可写成 a o z 肌扛要加俐一案 眨 上式有两个重要特征：1 h u b b l e 参数日s 氐c l o * p ，而非大家所熟知的4 维宇宙中的 h * 万；2 方程仅与有关；特别地，在露与时间无关的情况下，方程完全决定了 ( r ) 。 我们再回到能量守恒方程( 2 5 8 ) 式，如果状态方程为p = c o p ，有 p a o 3 1 + 。 f 2 7 1 ) 这正是标准宇宙的情况。然而，若标量因子是时间t 的幂次方的形式，即 a o ( t ) o c ， ( 2 7 2 ) 由类f r i e d m a n n 方程( 2 6 9 ) ，我们得到 驴舞高 b 7 3 ) 这和标准宇宙的结果。一= 夏再2 面是不同的，它说明b r a u 宇宙的比标准宇宙演化 要慢。 2 4 3 考虑宇宙学常数的膜宇宙 在2 4 2 节的b r a n e 宇宙，我们没有考虑b u l k 和b r a n e 上的宇宙常项的影响，上节 所得出的反映b r a h e 宇宙演化的类f r i e d m a n n 方程( 2 6 4 ) 式与广义相对论的结论不一致。 具体体现在h u b b l e 参数h = 岛 a oo c p ，而非h0 c p 。本节将考虑宇宙常学常数项的 引入所引起的修正。 假设我们的b r a h e 上( v i s i b l eb r a h e ) 存在宇宙学常数五。( 相应的，镜像宇宙的宇宙学 常数为矗“= 一五。) ，b u l k 中的宇宙学常数记为人。很容易验证，度规( 2 5 0 ) 与时间无关 的解 咖) 副( 加g o p “l ，拈器，坳) = ( 2 7 4 ) 正好是r a n d a l l s u n d m m 的弯曲因子的度规。在本节中，我们将考虑由于所用 e i n s t e i n - h i l b e r t 作用量( 2 4 7 ) 式与r a n d a l l - s u n d r u m 所采用的作用量( 2 9 ) 式之间的差异所 引起系数差。 由( 2 1 5 ) 式，我们有： j2 a = 一土鲁( 2 7 5 ) 6 m 、 原始的五维p 1 a n e k 质量与4 维p l a n c k 质量之间的关系碥m 3 b o 扩等人b o 1 的时 可修正为【3 9 】： 厶：等 ( 2 7 6 ) 2 面 ( 2 7 6 其中分别适用于我们的宇宙和镜像宇宙。在下面我们将看到，式f 2 7 6 ) i e 好可以将 b r a n e 宇宙的膨胀率调整到标准宇宙所描述的情况。 考虑b r a h e 上的宇宙学常数项后，我们可以将可见膜上的理想流体能动张量( 2 5 2 ) 式中的能量密度及压强写成如下形式： p = 扎。+ p 。 p = 一五m + p ，。( 2 7 7 ) 其中a 。，p ，。满足状态方程 p 。= p 。q 7 8 ) 这里我们将成。看成是 。的微扰，即p k i 。l ，也就是将b r a h e 上的物质看成是 1 4 r a n d a l l s u n d r u m 解的微扰。 综合考虑上述情况后，并取b o = 1 的规范，2 4 2 节中反应b r a h e 宇宙演化的类 f r i d e m a n n 方程( 2 6 9 ) 可以改写成： 堕a 0 2 + 毒一赤( k 十) ( 2 五。一几3 p m ) 十刍 ( 2 7 9 ) 考虑( 2 7 5 ) 和( 2 7 6 ) 式后，上式可以写成 摹+ 坠( 1 争一掣(2s。)o 3 6 m n ：6 m 乞 b ( 2 8 0 ) 式右边的第一项恢复了广义相对论中的膨胀率h ；氏a o0 c n 括 第二项是平方 修正项。 在小密度微扰p 。峨的情况下，因为石；l m ；，( 在r a n d a l l s u n d r u m 模型中， e ”1 0 ”，k m 满足等级问题的解要求尼茁；2 ”m ，。) ，( 2 8 0 ) 式中右边的第二 项可以忽略，第一项与普通4 维f r i e d m a n n 方程相差一个负号。( 说明：( 2 8 0 ) 式是r s 双膜模型的结论，在r s 单膜模型中，( 2 8 0 ) 右边第一项的负号差可以消除。) 2 5b r a n e 上的e i n s t e i n 方程 在本节中，我们将推导3 - b r a h e 上的有效e i n s t e i n 方程。为简单起见，我们考虑5 维的情况。在推导过程中，为不失一般性，我们在前期不对b u l k 时空加任何条件：紧 接着，为了和b r a n ew o r l d 模型相一致，我们假设z 2 对称性并将标准物质的能动张量 限制在b r a n e 上，对b r a n e 上的有效e i n s t e i n 方程进行推演。 在b r a h e 模型中，我们的4 维世界是由内嵌于5 维时空( 矿，g 。) 的膜( d o m a i nw a l l ) ( m ，矗。) 所描述。记m 的单位法矢量为，m 上的诱导度规为 。= g m n 一。我 们从g a u s s 方程 一月岛= p 礤硝硭醒+ 霹j i 。一群岛。( 2 8 1 ) 和c o d a c c i 方程 d 碟一巩k = p( 2 8 2 ) 出发。其中m 的外部曲率= 碡瑶v ，其迹k = ，是与相联系的 协变导数。缩并( 2 8 1 ) 式的指标a ，c ，可得： h r = 牡r e 。蟛砖一r n 略玎。磅+ 瓯“一蟛巧“ ( 2 8 3 ) 由上式我们