（计算数学专业论文）非线性偏微分方程的函数展开法与精确解.pdf

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t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ee x p l i c i ts o l u t i o n ，e s p e c i a l l yt h et r a v e l i n g w a v es o l u t i o n ，c a l lb eu s e dt od e s c r i b em a n yp h y s i c a lp h e n o m e n a w e l l ，s u c h a 8o s c i l l a t i o n ，p r o p a g a t i o nw a v ee t c u pt on o wt h ee x a c ts o l u t i o n sf o r m a n yi m p o r t a n te q u a t i o n sc a l ln o ts t i l lb er e c e i v e ds i n c et h ec o m p l e x i t yo f t h en o n l i n e a re q u a t i o n s t h u ss e e k i n gh e wm e t h o da n de x t e n d i n ge x i s t e d m e t h o d ，b e t hc o m et ob ea l li m p o r t a n ta n dv a l u a b l ew o r k i nt h i sp a p e r ，w eg e n e r a l i z et h et a n h - f u n c t i o nm e t h o d ，e x h i b i tt h eu n i t e d f o r m l l l a et os o l u t i o n so fc o n s t a n tc o e f f i c i e n te q u a t i o n sa n dv a r i a b l ec o e f h - c i e n te q u a t i o n s 。b yt h eg e n e r a l i z e dm e t h o dw ec a ng e tm o r ee x a c ts o l u t i o n s m e a n w h i l ei ti sc o n v e n i e n c et ob ed e a l tw i t hb yt h ec o m p u t e r i no r d e r t 0 笼西v em o r es o l u t i o n s w ea l s om o d i f yt h es u b s i d i a r ye q u a t i o nt oh e 嬉) = 护嬉) + 6 ) ，w h e r e6 嬉) i sa na r b i t r a r yf u n c t i o no f t l ea r b i - t r a r i n e s so fb 嬉) m a k e st h es o l u t i o n sm o l ef l e x i b l e s p e c i a l l y , t h ec a s ew h e n 6 任) = 妒i sd i ；l e di nt h i sp a p e r a n db ya p p l y i n gt h eg e n e r a l i z e d m e t h o dt ok d v e q u a t i o n ，( 2 + 1 ) d i m e n s i o nk de q u a t i o n sa n do t h e rn o n l i n - e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s w eo b t a i na b u n d a n te x a c ts o l u t i o nf a m i l i e so ft h o s e e q u a t i o n s b a s e do i lt h eh o m o g e n o u sb a l a n c em e t h o d ，b yi n t r o d u c i n gt h ep a r a m - e t e r ew eg i v ean e wm e t h o do fs o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a r t i o n ( n l p d e ) - - m e t h o do fp a r a m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n f o r8 0 l n es p e c i f i c n l p d ew eo b t a i n t h em u l t i - s o l i t o ns o l u t i o n s ，s e l f - s i m i l a rs o l u t i o n sa n dt r u n - 2 兰州大学研究生学位论文 c a t i o ns e r i e ss o l u t i o n sa s s o c i a t e dw i t ht h eg m ( g a r d n e r - m o r l k a w a ) t r a n s - f o r m a t i o n k e yw o r d s ：a u x i l i a r yr i c c a t i e q u a t i o nm e t h o d e x a c ts o l u t i o n sh o - m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sm e t h o do f p a r a - m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n t r u n c a t i o ns e r i e ss o l u t i o n 3 c h a p t e r1 绪论 1 1 非线性演化方程研究概述 随着近代物理学和数学的发展，许多的实际问题大部分以非线性演化 方程( 组) 来描述，为更好地刻划或反映实际问题，寻求非线性演化方程( 组) 的 解( 精确解) 将是重要而有意义的工作但由于非线性方程的复杂性，至今 仍有大量的重要方程无法求出精确解，即使能够求出精确解，也各有各 的技巧，尚无一般的求解方法所幸的是孤立子理论中蕴含着一系列构造 精确解的有效方法，如反散射方法f 1 1 ，b i i c k l u n d 变换法f 2 1 ，d a r b o u x 变换 法【3 】1 4 1 ，h i r o t a 方法 1 1 1 5 4 ，p a i n l e v 6 分析法 5 5 1 一【5 8 】等随着孤子理论的深 入，各种求解方法不断的出现，过去不能求解或难以求解的方程得以解 决，并且发现了许多非线性方程具有重要意义的新解 1 9 6 7 年，g g k m ( g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k a la n dm i u r a ) 发现了反散射 方法 5 9 1 ，最初用来求解k d v 方程初值问题获得成功，后经l a x ，a k n s ( a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l la n ds e g u r ) 等人推广到一大批非线性演化方程， 使之成为一种线性精确求解的较普遍方法 1 9 7 1 年，h i r o t a 给出了一种用于求解非线性演化方程多孤子解的直接方 法，称为h i r o t a 方法【6 0 】又称为双线性导数法进而通过这种方法还可 以求得非线性演化方程的b f i c k h n d 变换 1 9 8 0 年，a b l o w i t z ，r a m a m 和s e g a r 发现可反散射求解的偏微分方 6 第l 章绪论兰州大学研究生学位论文 程，用精确约化得到常微分方程都具有p a i n l e v 6 性质，1 9 8 3 年，w t c f w e i s i s ，t a b o ra n dc a r n e v a l e ) 通过推广常微分方程的p a i n l e v 6 性质，提 出了偏微分方程p a i n l e v $ 性质和可积性的联系，使之能有效地用于研究许 多非线性系统的可积性 5 5 5 s 1 1 9 世纪后期，l i e 引进了连续群的概念( 称为l i e 群，又称不变群或对称 群1 l i e 证明了：一个微分方程如果在单参数l i e 群作用下不变，则其阶数 可减少一次之后，l i e 又考察了偏微分方程情形，建立了热方程的局部变 换群，开创了l i e 群在偏微分方程中的应用1 9 6 9 年，b l u m a a n 和c o l e 推 广了l i e 群方法，提出了非经典l i e 群方法f 6 1 】在此基础之上，c l a r k s o n 和k n l 8 k a l 等发展了一种简单而有效的对称约化直接方法，称为c - k 直接 法，并将此方法应用于非线性演化方程得到方程的相似解，而l i e 群方法只 是直接法的一些特例1 6 2 】，由于直接法并不涉及群理论，因而，g k 方法比 经典l i e 群更容易实现，可获得新的相似约化和精确解 同时，在非线性演化方程的求解中，除了上述系统而有效的方法之外， 还有许多的其他方法如王明亮提出了齐次平衡法f 5 1 f 9 1 ，用于求解一大批 非线性演化方程的精确解，范恩贵用推广的齐次平衡法研究了非线性演化 方程的b a c l d u n d 变换和相似解( 6 3 】，并从理论上证明了齐次平衡法、c - k 方法及w t c 方法的联系【6 4 】【6 5 1 曹策问提出了对于线性谱问题，非线性 方程l a x 表示和零曲率表示的一般框架f 6 6 1 ，乔志军分别推广到一般线性和 非线性谱问题f 6 7 】【6 8 1 ，之后乔志军、马文秀等人对方法进行变形、简化、 推广，提出了构造代数几何解或有限带势解方法：另一类重要而直接的方 法是基于符号计算直接构造非线性演化方程精确解的函数展开法或辅助 方程方法 1 4 1 1 4 8 1 ，该方法具有确定的步骤，非常方便的可以实现计算机求 解，自动化程度较高； 在许许多多的求饵方法中，展式法在求解非线性方程的精确解方面具 有不可替代的作用这是因为，随着计算机的发展，对于复杂的非线性问 题仅靠手工进行运算求解显得十分无力，如何发展系统而有效的借助于计 算机的高效计算方法成为一种趋势，因此，直接构造非线性方程精确解的 函数展开法越来越受到人们的重视，使复杂，冗长的代数运算可在计算 7 第1 章绪论兰州大学研究生学位论文 机上完成，并可发现新解，在众多的展式法中一种简单、直观、实用的方 法是“t a n h “函数展开法本文第二章从一阶非线性常微分方程出发， 将t a n - 展式方法扩展为更一般形式，实现统一构造演化方程的展式解，并 给出一般的求解步骤，便于统一编程处理，进一步应用该方法求解非线性 演化方程，以获得更多精确解齐次平衡法反映了自然界的某种规律性， 从提出到现在，在求解非线性偏微分方程中显示了强大的生命力，成为许 多非线性数学物理方程求解精确解和构造其它方法的依据，文中第三章基 于齐次平衡方法，通过引入一些变换讨论了非线性方程的截断级数解为 便于阅读和后续各章需要，首先对t a n h - 函数展式方法和齐次平衡法做以介 绍： 1 2t a n h - 函数展式法 在研究非线性演化方程时，人们注意到绝大多数有物理意义的非线 性方程的孤波解都可以表示成“t a n h “函数的多项式形式1 10 】一【1 3 l ，例 如，b u r g e r s 方程 毗+ 毗一地口= 0 的孤子解为：= c e t a n h f 其中= c 扛一a ) 2 ，c 为一常数； 再如，k d v 方程 毗+ 6 1 毗+ = 0 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 具有孤子解：t = 2 d 一2 d t a n h 2 其中= c 仁一4 t i t ) ，c 为一常数 这一现象启发人们用较少的技巧和更直接的方法构造方程的孤波解，由 此产生了构造孤波解的。t a n h “函数方法现将方法叙述如下： 1 对给定的非线性方程 f ( ，u t ，) = 0( 1 2 3 ) 设其行波解具有形式 t 0 ，力= ，( ) ，= h 一沁+ 印( 1 2 4 ) 8 第l 章绪论兰州大擘研究生学位论文 其中k ，a 。e 0 为待定常数 2 将( 1 2 4 ) 代a ( 1 2 3 ) ，得到，关于f 的常微分方程 f u ，f n 、= 0l 1 2 5 3 设方程( 1 2 5 ) 有形如 m ，( f ) = 啦代) ( 1 2 6 ) d - - - - 0 咖代) = 伽l l l ) = t a n h ( k x 一, x t + 印)( 1 2 7 ) 的解其中啦为待定常数m 为一正整数，可通过平衡方程( 1 2 3 ) 的非线性 项和最高阶导数项得到 3 将( 1 2 6 ) ，( 1 2 7 ) 代入( 1 2 5 ) ，并令t a n h 代) 的的系数为零，可得到 一组关于变量k ，a ，e o ，啦0 = 0 ，1 ，m ) 的代数方程组，从中确定这些变 量，代入( 1 2 4 ) ，( 1 2 6 ) ，再将( 1 2 7 ) 代入，即可得到方程( 1 2 3 ) 的孤波解 然而，利用这种方法只能得到非线性方程孤波型解，如果用t a n f 替换 t 8 n h ，得到t a n 形式的解，需要重复大量的工作，如果方程根本没有这种 解，所作的工作将是徒劳，因此，自然的问题是：是否可以用统一的方法 构造这些行波解? 进而，对“t a n h ”函数方法进行了扩展1 1 4 一1 16 】： 1 对给定的非线性方程 f ( ，砘，u ) = 0 设其行波解具有形式 ，t ) = ，代) ，= k x 一沁+ o ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 其中毛a ，e o 为待定常数 2 将( 1 2 9 ) 代入( 1 2 8 ) ，得到，关于的常微分方程 f ( ，) = 0( 1 2 1 0 ) 设方程( 1 2 1 0 ) 有形如 ，代) = 啦矿代) d = 0 9 ( 1 2 1 1 ) 第1 章绪论兰州大学研究生学位论文 的解，其中毋= 妒佳) 满足 母= 妒七b ( 1 2 1 2 ) 由于方程( 1 2 1 2 ) 具有三种类型的一般解： ( 1 ) 当b 0 时 妒= “t m 候，咖= 一以c o t 候 ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) 式( 1 2 1 1 ) 中a , 为待定常数通过平衡方程( 1 2 8 ) 的非线性项和最高阶导数项 可得到m 的值 3 将( 1 2 1 1 ) ，( 1 2 1 2 ) 代入( 1 2 1 0 ) ，得毋的多项式，并令的的系数 为零，得到关于变量k ，九e o ，a i ( i = 0 ，1 ，m ) 的代数方程组，从中解出变 量，代入( 1 2 1 1 ) ，再根据b 的取值，确定出毋，结合( 1 2 1 3 ) ，( 1 2 1 4 ) ，( 1 2 1 5 ) ， 得到方程( 1 2 8 ) 的解 由于这种构造方法依赖于r i e c a t i 方程( 1 2 1 2 ) ，因此又被称为r i c c a t i 辅助 方程方法本文第二章将以此方法为基础，推广到更一般的常系数方程和变 系数方程展式解的统一构造 1 3 齐次平衡法 王明亮教授于1 9 9 4 年首次提出的齐次平衡方法【5 卜 9 1 ，也称为齐次平衡 原则，是求解非线性方程的一种指导性原则依据该原则，可事先简单地判 定某非线性方程是否可能具有一定形式的精确解存在，如果存在，则可按 确定的步骤求出方程的精确解来下面对该方法的关键步骤做一简要介绍： 1 0 第1 章绪论 兰州大擘研究生学位论文 考虑给定两变元z ，t 的非线性偏微分方程 f ( 钍，m ，t i 托，缸“，) ；0 ( 1 3 1 ) 这里f 一般具有多项式形式，其中应包含非线性项和线性最高阶偏导数项 引入函数= 毋( $ ，t ) 称为方程( 1 3 1 ) 的拟解，如果存在函数f = ，( 庐) ， 使得方程( 1 3 1 ) 的解u ( x ，t ) 可以表示为f ( g b ) 各阶偏导数的线性组合，即 “o 力= i ；：；铲+ ，( 妒) 低于( m + n ) 阶偏导数的组合项 ( 1 3 2 ) 或将( 1 3 2 ) 表示为 0 ，t ) = ，( ”押) 西卵+ ，( ) 低于( m + n ) 阶偏导数的组合项 ( 1 3 3 ) 其中整数m ，n ，函数，= ，( 妒) ，妒= 妒( z ，t ) 待定于是，齐次平衡法求解非 线性方程包含下述四个步骤： 1 确定( 1 3 2 ) 或( 1 3 3 ) 式中的整数m 和n 是否存在目的是确定( 1 3 2 ) 中 ，( 妒) 的最高阶偏导数形式 2 确定( 1 3 2 ) 或( 1 3 3 ) 式中函数，= ，( 妒) 是否存在 3 确定拟解= 毋( 甄t ) 和( 1 3 2 ) 中的组合系数；有时问题转化为：选 择合适的系数使拟解庐= 毋( 。，t ) 存在 4 如果上述各步骤中答案存在，将相应结果代入( 1 3 2 ) 或( l 3 3 ) ，经 过一些计算即可得到非线性偏微分方程的精确解 实际中，许多的非线性数学物理方程和方程组，通过上述方法，大都能 够确定所需要的量，因此，齐次平衡方法在求解非线性偏微分方程时具有 一定的普适性本文第三章在上述过程中，通过引入一些参数变换，讨论了 非线性方程的多孤子解，相似变换解及截断级数解 1 4 本文安排 在非线性方程求解中，应用t a n h - 展式方法求出的解的形势比较单一，而 本质上非线性方程具有丰富的解和相关行为，因此获得具有各种不同形式的 精确解仍将是一种必要且有重要意义的工作，本文第二章在t a n h - 展式法的 1 1 第1 章绪论兰州太擘研究生学位论文 基础上给出了相应的推广，实现了常系数和变系数非线性演化方程展式解的 统一构造并应用该方法求解非线性偏微分方程，给出了方程丰富的解的 形式同时包括已求出的各种形式的解和一些新解第三章通过引入参数方 法，结合一些参数变换，给出了一种同时可考虑非线性演化方程多种形式 解的参数变换方法，通过此方法，对一些特定方程，可讨论其多孤子解、 相似变换解、截断级数解；文中第四章对未来研究中提出了一些构思和展 望 注：本文所涉及到展式法的结果均是在符号计算软件m a p l e1 0 的环境 中运行得到 1 2 c h a p t e r2 推广的r i c c a t i 函数展开法 随着计算机的发展和符号计算的出现，直接构造非线性方程的精确解越 来越受到人们的重视，基于求解非线性代数方程组系统而有效的工具吴消 元法删扭1 1 和g r s b n e r 基方法【4 2 】【4 3 1 ，构造非线性方程精确解最有效的直接 方法之一是“t a n h ”函数法【4 4 】及更一般的r i c a t t i 方程方法【4 5 h 4 7 】本章是 在r i c a t t i 方程方法基础之上做了进一步的改进，建立了求解非线性方程更一 般的展式方法由于常系数非线性演化方程可以看作不显含时间变量和空 间变量的方程，那么，在解的构造上，也不必要求完全采用常系数构造式，可 更一般地按变系数方程统一处理，因此，构造式中，将常系数换成与时间变量 和空间变量有关的量，可实现方程展式法的统一构造，从中可得到一些新形 式的解同时，文中也对辅助r i c c a t i 方程也作了进一步的改进，携带了任意 函数项，因而，更大地拓宽了求解的范围，给出更多的解 关键词：r i c c a t i 辅助方程方法精确解一般展式方法b e s s e l 函数解 2 1推广的r i c c a t i 函数展开方法 利用推广的r i c c a t i 函数展开方法求解1 + 1 维非线性演化方程 f m ，饥，) = 0 大致来说，可分为如下几个步骤： ( 2 1 1 ) 第2 章推广的r i c c a t i 函数展开法兰州大学研究生学位论文 1 对给定的非线性方程( 2 1 1 ) 引入中间变量 ： u ( x ，t ) = ，( z ，t ，) ，= ( z ，t ) ( 2 1 2 ) 其中为待定函数，则可将方程( 2 1 1 ) 转化为含 ，( z ，t ，) 的方程( 可能同 时含有时间t 和空间变量$ ，本质上仍为$ ，t 的方程) 2 构造方程( 2 1 1 ) 的解设方程具有如下形式的解 m ，o ，t ，f ) = 啦0 ，t ) 传) ( 2 1 3 ) j 0 其中= ( ) 满足 ( ) = 扩恁) + 6 代) ( 2 1 4 ) 这里啦( 文t ) 为待定函数，6 是中间变量 的任意己知函数m 是一整数， 通过平衡方程( 2 1 1 ) 的非线性项和最高阶导数项得到 3 将( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 代入( 2 1 1 ) ，并令代) 的的系数为零，得到 关于变量啦( $ ，t ) ( i = 0 ，1 ，m ) ，的( 变系数) 偏微分方程组，从中解出待 定变量，代入( 2 1 3 ) ，( 2 1 2 ) ，再从方程( 2 1 4 ) 解出曲( f ) 代入，即得非线性 演化方程( 2 1 1 ) 的解 本方法与t a n h 函数展式法及推广t a n h 展式法相比： ( 1 ) 式( 2 1 2 ) 中，= ( z ，t ) 表达更一般，特别地，当= k x 一址+ o 时，可得到行波解：当 = 烈t 扣+ q ( t ) 时，得到类行波解 ( 2 ) 辅助常微分方程( 2 1 4 ) 中，b = 6 代) 可以取 的函数形式，因而具有 更大的任意性 ( 3 ) 将构造式( 2 1 3 ) 中系数统一为变系数形式，使方法既可用于构造常 系数非线性演化方程，又可构造变系数非线性演化方程，同时可得到其 它不同形式的解特别地，若取a i ( x ，t ) = 啦“= 1 ，2 ，m ) ，b ( ) = b ， = z a t + 印，则上述方法成为第一章中所提到的推广t a n h 一展式方法 2 2 辅助方程的解 辅助方程( 2 1 4 ) 属r i c c a t i ，y 程，是一般形式 口 ) 必= _ 1 1 2 如) ! ，2 + 1 0 ) y + 0 ) ( 2 2 1 ) 1 4 第2 章推广的r i c c a t i 函数展开法兰州大学研究生学位论文 下9 0 ) = j 1 2 ( 习= 1 ，_ 1 1 1 0 ) = 0 所对应方程这里取自变量为f ，函数为( f ) r i c c a t i 方程( 2 1 4 ) 可以通过下述方法获得其解【2 0 】： 1 若已知特解如= 如健) ，则( 2 1 4 ) 的一般解为 妒= 如+ 看啬篱 仁z 埘 其中= 毋任) 2 引入代换 妒= e x p 一咖d 针 ( 2 2 3 ) 则( 2 1 4 ) 可化为二阶线性方程 矿+ 6 馐) 妒；0( 2 2 4 ) 此方程较( 2 1 4 ) 容易求解 3 设6 “) 是多项式，若a = 一曲( f ) 是奇次多项式，则r i c c a t i 方 程( 2 1 4 ) 没有多项式解；若= 一曲( ) 是偶次多项式，则r i c c a t i 方 程( 2 1 4 ) 具有下列多项式解： 咖= 士；【、勾( 2 2 5 ) 其中【_ 】为v 伍的展式中的有理整函数部分如【以万= 五耳司= 一1 4 特别地，一般r i c c a t i 方程( 2 2 1 ) 在变换 z = “z ) ，g ，= 瓦1 ( ，一j 1 瓦f 1 + 弘1 瓦i 儿, ( 2 2 6 ) 下，约化为标准型： 吐= u 2 + 妒( z )( 2 2 7 ) 其中最( 。) = 爱浮a = o ，1 ，2 ) ，”= ”( z ) 函数妒( z ) 定义为 妒( z ) = 昂易一：f + ；日一；f l 鬈一；( 是) 2 + ；爱 5 特定简易方程也可借助于符号计算软件f 如m a p l e 、m 且_ t h e m a t i c a ，m a x j m a 等软件) 获得其解 1 5 第2 章推广的r i c c a t i 函数展开法 兰州走学研究生学位论文 2 3 方法的应用 2 3 1 经典k d v 方程 在非线性领域中，越来越多地发现，相当广泛的一批描述弱非线性作用 下波动方程和方程组，在长波近似和小有限振幅假定下，均可归结为k d v 方 程 t t + 6 “t b + = 0( 2 3 1 ) 其中n = ( z ，) ，下标表示对该变量的偏导数例如冷等离子体的磁流体波的 运动，非谐振晶格的振动，等离子体的离子声波，弹性杆中的纵向色散波 动等都可用k d v 方程近似描述下面通过推广的r i c c a t i 函数展开方法，来 给出方程( 2 3 1 ) 丰富的精确解簇 利用2 1 所介绍的方法，设方程( 2 3 1 ) 具有如下形式的解 u 0 ，t ) = 伽扛，t ) + 1 0 ，t ) 妒嬉) 4 - a 2 ( x ，t ) 毋2 幢) ，= f 0 ，t ) ( 2 3 2 ) 其中印( z ，t ) ，a l ( x ，t ) ，a 2 ( x ，) ，f ( 而t ) 是z ，t 的待定函数，函数毋馐) 满足辅助 r i c c a t i 方程 嬉) = 扩 ) + 6 代) ( 2 3 3 ) 6 ( ) 为的可选已知函数 ( i ) 选取6 ( ) = b 为常值函数此时方程( 2 3 3 ) 有解( 1 2 1 3 ) ，( 1 2 1 4 ) ， ( 1 2 1 5 ) 1 当f = p 口一q t + e o ，0 0 0 ，t ) = a o ，a l ( x ，t ) = a l ，n 2 扛，t ) = 2 时， 将( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 代x ( 2 3 1 ) ，并令妒( ) 各幂次系数为零，得到代数方程组 一口1 曲+ 2 a 1 矿b 2 + 6 a o a l v b = 0 2 a 2 q b + 1 6 n 2 矿b 2 + 1 2 a o a 2 p b + 缸2 砷= 0 一。l q + 8 a l p 3 b + 6 a 0 0 1 p + 1 8 a l a 2 p b20 ( 2 3 4 ) 4 0 a 2 p 3 b + 6 n i p + 1 2 0 勃b 一2 a 2 q + 1 2 a o a 2 p = 0 1 8 a l a 2 p + 6 0 1 矿= 0 1 2 咖+ 2 4 = 0 第2 章推广的p d e z a t i 函数展开法 兰州大学研究生学位论文 解关于变量知，b 1 ，叻，p , q ，翮的代数方程组( 2 3 4 ) ，得到 a o = a o ，a l = 0 ，a 2 = 一2 p 2 ，q = 妒6 + 脚，印= o ，p = p 将其代入( 2 3 2 ) ，并结合( 1 2 1 3 ) ，( 1 2 1 4 ) ，( 1 2 1 5 ) ，得到方程( 2 3 1 ) 的行波解 为： ( 1 ) 当b 0 时，方程( 2 3 1 ) 有三角函数解 u 4 ( x ，t ) = a o 一2 p 2 6 t 姐2 哌 u s ( z ，t ) = a o 一妒b e o t 2 候 。 其中= p x 一( 酽6 + 6 a o p ) t + 印 注：上述a o ，p ，印，b 为任意常数此类解可用推广的“t a n h ”函数法直接 获得 2 当= p ( t 净+ q ( t ) ，如0 ，t ) = a o ( x ，t ) ，a l ( x ，t ) = a l ( x ，t ) ，眈( 甄t ) = 啦( $ ，t ) 时，将( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 代入( 2 3 1 ) ，并令( ) 各幂次系数为零，得到偏 微分方程组 6 a 2 ( x ，t ) 岳啦( $ ，t ) + 1 8 a l ( x ，) 眈扛+ t ) p ( t ) 4 - 6 a l ( z ，枷( t ) 3 + 1 8 p ( t ) 2 爱0 2 ( z ，t ) = 0 1 2 a z ( x ，) 2 v ( t ) + 2 缸2 ( z ，t ) p ( t ) 3 = 0 6 爰眈( 七，t ) p ( t ) 2 6 2 + 3 貉0 1 扣，t 扫( t ) 6 + 器0 0 ( z ，t ) + 2 0 1 扛，t ) p ( t ) 3 6 2 + a a ( x ，t ) b 蛊i p ( t ) x + a a ( x ，t ) 6 岳q ( t ) + 是0 0 p ，) + e a o ( z ，t ) 0 1 和，t ) p ( t ) b + 乩。扛，t ) 差如( z ，t ) = 0 爰0 1 0 ，t ) + 1 2 a o ( x ，t ) 0 2 0 ，t ) p ( t ) b + 2 0 a ( x ，t ) 6 差q ( t ) + 1 6 0 1 2 ( ：r ，t ) p ( t ) 3 b 2 + 磊n l o ，t ) + 6 籀衄0 ，t ) p ( t ) b + 6 a 1 ，t ) 2 p o ) 6 + 6 岳。1 0 ，t 功( t ) 2 6 】7 第2 章推广的r i c c a t i 函数展开法 兰州大学研究生学位论文 + 缸。仁，t ) 鑫n 1 ( z ，t ) + 2 眈扛，t ) 6 蛊p ( t 净+ 6 a l ( z ，t ) 番n 0 0 ，t ) = 0 a l ( x ，t ) 岳p o 净+ 6 0 0 扛，t ) 爰0 2 0 ，t ) + a l ( z ，) 岳g o ) + 6 印0 ，t ) a l ( 2 ：，t ) g t ) + 2 4 番n 2 ，) p ( ) 2 6 + 6 眈( z ，t ) 岳印( z ，t ) + 是啦( 蜀t ) + 茹a 2 ( 2 ：，t ) + 6 a 1 ( 2 ：，t ) 岳d l ( 毛t ) + 3 差a 1 ( 2 ：，) 烈t ) i _ - 8 1 1 ( ：g ，t ) p ( t ) 3 b + l s a x 0 ，t ) 眈( 。，t ) p ( t ) b = 0 2 a 2 ( 2 ：，t ) 岳p ( t ) $ + 6 鑫z a l ( x ，咖( d 2 + 2 0 a ( 2 ：，t ) 岳q ( t ) + 1 2 a o ( 2 ：，) n 2 ( z ，t ) p ( t ) + e a d 2 ：，t ) 2 p ( t ) + t a l ( x ，t ) 番0 2 扛，t ) + 4 0 眈( z ，t ) p ( t ) 3 6 + 6 。e a ，a 2 ( x ，t ) p ( t ) + 1 缸2 0 ，t ) 2 p ( t ) b + 6 0 2 扛，t ) 鑫0 1 0 ，t ) = 0 ( 2 3 8 ) 求解关于变量知0 ，t ) ，a l ( x ，t ) ，眈扛，t ) ，双t ) ，q ( t ) 的偏微分方程组( 2 3 8 ) ， 得到 c a s e l ： 咖扛，力= 一：二! ! ；考查一2 c 2 t a n h 2 ( c l + ( 1 2 z + 西。， ( 2 3 9 ) a l ( 2 ：，t ) = 啦扛，t ) = 0 ，p ( t ) = 烈t ) ，q ( t ) = q ( t ) c a s e2 ： a o ( z ，t ) = 面c 1 z 丽 4 - 6 c 4 产扛，t ) = 一面丽1i ， 1 。) n 2 扛，t ) = 0 ，p ( 力= 0 ，q ( t ) = c s c a s e3 ： 知( 州) ：丝芸掣，0 1 ( 圳；o ， 毗”2 习三i 季_ 。1 刚刮 ( 2 3 1 1 ) 眈( 。，t ) ：a ，p ( t ) ：千孥，q ( t ) ：c 2 t + 岛 、。 说明：( 1 ) c a s e1 直接给出了k d v 方程的一个t a n h - 蝴 u ( 马t ) = 一石1 - s c 酉a a + 一c a 一2 谚t a n h 2 ( c l + 嘞+ 岛t ) 其本质来源于“t a n h ”函数展式法( 这是因为用于计算结果的软件m a p l e 系 统内部采g j 此法 5 1 1 ) ( 2 ) 将c a s e3 的解代入( 2 3 2 ) ，并结合( 1 2 1 3 ) ，( 1 2 1 4 ) ，( 1 2 1 5 ) ，仍得到 类似于1 中所讨论的解( 2 3 5 ) ，( 2 3 6 ) ，( 2 3 7 ) 蔓! 童堕箜墅! ! 壁! 鱼墼垦茎鲨 兰塑垄茎堑垄兰羔竺! ! 竺墨 ( 3 ) c a s e2 的解是“t a n h ”函数展式洼及扩展方法所不能得到的，属新 类型的有理函数解 蛳仕幻：c f l z + = 6 c 5 ( 2 3 1 2 ) t | 6 2 丽丽 p 这里c b = a 一妒( c ) 为常数函数大致图像如下： f i g u r e2 1 ：当a = q = g = 1 时，式( 2 3 1 2 ) 对应精确解 ( i i ) 选取6 代) ；缝n 则辅助方程( 2 3 3 ) 有b e s s e l 函数解【2 0 | ( a ) 当n - 2 时 绯) = 一等 跚3 ) 其中 眯) = 弧p 。l ，击( ：孤铲) + 岛强( ：厩，) ，a = 字 这里j 击( b 磁9 ) ，强( 寺瓜4 ) 为b e s * 1 函数【2 1 1 ( b ) 当n = - 2 时 绯) ；誓1 ( 熹f 旧一 ( 2 3 j 4 ) 其中a 是二次方程a 2 + a + k 一0 的根 例如，当n ：1 时，除了上述给出的求解方法外，还可以利用符号软件 直接给出解的形式由m a p l e 软件，方程 ( ) = 护( ) + k ( 2 3 1 5 ) 1 0 第2 章推广的r i c c a t i 函数展开法兰州大学研究生学位论文 的解为 删；鐾等票掣 仁。朋， 删2 、丽丽万面不了瑟厂 ( 2 。j 6 ) 其中c a 为任意常数，a i 扛) ，b i ( x ) 为a j r y 函数，a i ( 1 ，z ) ，b i ( 1 ，动为它们 的一阶导数 a i ( z ) = ；伊c o s ( 扩+ z t ) d t ( 2 3 1 7 ) b i ( x ) = 昙j 铲【e x p ( 一庐+ 硼+ 咖( 庐+ ：a ) l d t 此时，当= “t 净+ g ( t ) ，n 0 ( z ，t ) = d o ，t ) ，a l ( x ，t ) = a a ( x ，) ，却0 ，t ) = 眈( 戤t ) 时，将( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 代入( 2 3 1 ) ，并令咖( ) 各幂次系数为零，得到偏 微分方程组 1 2 a 2 0 ，t ) 2 p ( 力+ 2 4 a 2 扣，t ) p ( t ) 3 = 0 6 a 2 ( x ，) 岳0 2 ( z ，t ) + l s a l ( x ，t ) n 2 ( z ，t ) p ( t ) + 6 a l ( x ，t ) p ( t ) 3 + 1 8 鑫0 2 ( 毛) p ( t ) 2 = 0 叠a o ( x ，t ) + 器n o 扛，t ) + 3 鑫a l ( x ，t ) p ( t ) 2 k + a l ( x ，t ) k p ( t ) x 2 岳p ( t ) + a l ( x ，t ) k p ( t ) x 岳q ( t ) + a l ( z ，t ) k q ( t ) d p ( t ) x + 陋o ( ，) 8 1 0 ，) p ( t ) 2 k x + 6 n o ( 甄t ) 0 1 ( 而t ) p ( t ) k q ( t ) + 3 器口1 ( 甄t 加( t ) 2 k x 4 - 3 鬈- t a l ( x ，t ) p ( t ) k q ( t ) + 6 a o ( z ，) 叠印( 甄t ) + 2 a l ( x ，t ) p ( t ) 5 胪+ 缸1 ( 。，) p ( ) 4 k 2 x q ( t ) + 6 番n 2 ( z ，t ) p ( t ) 4 2 护+ 6 a 2 ( x ，t ) p ( t ) 3 2 9 ( t ) + 6 鑫眈0 ，t 扫( t ) 2 k 2 9 ( t ) 2 4 - 0 1 ( x ，t ) 口 ) 蛊q o ) + 6 啦( 每，t k t ) 4 k 2 z + 2 n 1 ( x ，) p ( t ) 3 2 q o ) 2 + 1 2 鑫眈( z ，t ) p ( t ) 3 k 2 x q ( t ) = 0 2 a 2 ( ，t ) k p ( t ) x 2 岳p ( t ) + 2 a 2 ( x ，t ) k p ( t ) x 岳q ( t ) + 2 0 a ( z ，t ) k q ( t ) 岳q ( t ) + 6 m ( z ，t ) 2 p ( t ) k q ( t ) + 6 番口1 0 ，t ) p ( t )