（理论物理专业论文）核磁共振下的量子门.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名： 壹垂 日期： 论文使用授权声明 伽5 。参。， 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：童五导师签名：日期：竺生! ：! ! 中文摘要 在这篇文章中，我们提出在核磁共振( n m r ) 体系中的2 个量子比特，能够通过 选取合适的磁脉冲参数( 包括脉冲振幅、脉冲频率、脉冲相位、以及脉冲作用时间等) ， 通过一步操作来实现没有动力学相位的a a 量子相位和任意量子控制相位门，然后在 第一步的基础上另外加一次操作来实现量子受控非门。本方案中，假定这两个量子比 特被初始化，外加单个多频相干磁脉冲同时操纵“活动态”，即满足共振条件的基矢， 而其它所有“非活动态”保持不变。在一个推广的旋转框架中，推导出个有效h a m i l t o n i a n ，使我们可以描述在磁脉冲作用下“活动态”随时间的演化。本方案的关键是 设计具有适合的振幅、频率、相位以及作用时间的单个多频相干磁脉冲。 我们分四章来讨论这个过程，第一章，我们简单的回顾一下量子信息和量子计算 的一些背景知识和前人完成的工作，以及未来的发展方向。第二章，我们简单介绍几 种重要的量子门。第三章，我们引入讨论的系统，描述在n m r 模型中如何通过简单 的操作来实现双量子比特相位门和量子受控非门。最后一章我们将对本方案的结果进 行小结并展望量子计算的未来。 关键词：量子相位门，量子受控非门，受控非门，核磁共振，旋转波近似。 a b s t r a c t w es t u d yan m rm o d e lf o r 咒a l i z i n gs o m ef u n d a m e n t a lu n i v e r s a lq u a n t u mg a t e sb ym e a n s o fn o n a d i a b a t i co p e r a t i o n as i n g l ep u l s eo fm u l t i f r e q u e n c yc o h e r e n tm a g n e t i cf i e l di s a p p l i e dt om a l l i p u l a t et w oq u b i t ss t a t es i m u l t a n e o u s l y w eu t h er e s o n a n ta p p r o x i m a t i o n , a t i m ei n d e p e n d e n th a m i l t o n i a ni sd e r i v e di na g e n e r a l i z e dr o t a t i n gf r a m ew h i c h a l l o w su st o o b t a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o no ft h et i m ee v o l u t i o no ft h es t a t eu n d e rt h ea p p l i e dm a g n e 雠 p u l s e t h ep a r a m e t e r so fa p p l i e dm a g n e t i cp u l s e ，s u c ha si t sf r e q u e n c i e s ，a m p l i t u d e s ，p h a s e s a n dd u r a t i o nt i m e ，a r ed e t e r m i n e df o ra c h i e v i n ga l la r b i t r a r yg e o m e t r i cp h a s eg a t ea sw e l la s t h ec o n t r o lp h a s eg a t e s r e a l i z i n gt h ec o n t r o ln o tg a t ei sa l s oa d d r e s s e d i nt h i s r e p o r t ，as i m p l eo p e r a t i o nt op r o d u c eaq u a n t u mp h a s eg a t e ( q p g ) a n d c o n t r o l l e d n o tg a t e ( c n o t ) i nn m rm o d e lh a sb e e ni n v e s t i g a t e d t h r e ep a r t sa r eg i v e na s f o l l o w s ： i nt h ef i r s tp a r t , w ew i l l t a l ka b o u th i s t o r yo nq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t e r i no r d e rt oi m p l e m e n tq u a n t u mg a t e so p e r a t i o n , i nt h es e c o n dp a r t , t h eb a s i cb u i l d i n gb l o c k s o faq u a n t u mc o m p u t e ra r eq u a n t u ml o g i cg a t e s au n i v e r s a lq u a n t u mc o m p u t e r 啪b eb u i l t f r o mo n l yt w ok i n d so fg a t e s ，n a m e l y ，ao n eb i tu n i t a r yg a t ea n dat w o - b i tc o n d i t i o n a l q u a n t u mg a t e ，f o re x a m p l e ，t h eq u a n t u mp h a s eg a t e ( q p g ) o rt h ec o n t r o l l e d n o tg a t e ( c n o t ) i nt h et h i r dp a r t ，w ew i l lp r o v i d eat w o - s p i nn m rm o d e li nw h i c ho n es p i ni n t e r a c t sw i t ht h eo t h e rs p i nt h r o u g hi s i n gi n t e r a c t i o nt oi n t e r a c tb e t w e e nq u b i t s a n dt h e c n o tg a t ei m p l e m e n t a t i o n t e c h n i q u e su s i n gap u l s e db i a ss c h e m ea sd e s c r i b e di n s e c o n dp a r t a n da f t e ro b t a i n i n gq p g ，w ea p p l ya n o t h e rs i n g l ef r e q u e n c ym a g n e t i cp u i s et og a i nc n o tg a t e k e yw o r d s ：q u a n t u mp h a s eg a t e ，c o n t r o lp h a s e ，c o n t r 0 1 n o tg a t e ，n m r ，g e n e r a l i z e d r o t a t i n gf r a m e 2 第一章引言 1 1 量子计算和量子信息的历史 2 0 世纪一项最伟大的智慧成就是：计算机科学【1 3 1 。计算机科学的起源可以追溯 到很久以前的历史，例如汉默拉比的锲型子板显示巴比伦人有相当复杂的算法思想， 有些思想起来可以追溯到更早的年代。伟大的数学家a l a nt u r i n g 在1 0 3 6 年发表的一 篇论文向世人宣告实现了现代的计算机【4 】。t u r i n g 以一种抽象的方式详细的描述了我 们现在所说的可编程计算机。这篇文章发表没多久，建成了第一台电子计算机。到1 9 4 7 年，晶体管的发明后，硬件的发展才真正起飞。以至于到1 9 6 5 年，g o r d o nm o o r e 把这种成长概括为m o o r e 律【4 6 】，即每两年增加一倍，而且在接下来的几十年时间 里都近似成立。今天，信息科学在推动社会文明进步和提高人类生活质量方面发挥着 令人惊叹的作用，随着人类对信息需求的日益增加，人们也在不断地推进信息技术的 发展，但是现有信息系统的功能已接近于极限值。电子计算机在过去，每个芯片上集 成的晶体管数目随时间呈指数增长，这个被称为摩尔定律的经验法则预示着1 0 多年 以后计算机存储单元将是单个原子，电子在电路中的行为将不再服从经典力学规律， 取而代之的是量子力学规律。所以，虽然传统的计算机可以模拟量子计算机，但似乎 不可能以一种有效的方式去模拟，量子计算机从速度上对经典计算机有本质的超越， 这种速度上的优越性太重要了，以至于许多研究者相信在经典计算机和量予计算机的 能力之间有着无法超越的鸿沟。 2 0 世纪初叶，科学经历了一场出人意料的革命，物理学家遇到了一系列危机。问 题在于当时的物理学理论( 现在称为经典物理学) 出现了一些荒谬的预言。起初这些 预言是通过在经典物理学中附加一些假设来解决的，但是随着人们对原子核辐射的更 好了解，原来的解释越来越让人费解。到了2 0 世纪2 0 年代，量子力学这一现代理论 成为了科学上不可缺少的一部分。于是就提出了量子效应究竟会对计算机运算速度产 生什么样影响的问题。因此，信息科学的进一步发展必须借助于新的原理和新的方法。 量子率揭示了经典物理学对物质世界的描述仅在宏观条件下才是正确的，微观世界遵 循的是量子规律，世界本质上是量子的，经典规律是量子规律在宏观条件下的近似。 微观粒子具有波粒二象性，它的运动状态、性质、描述方法、运动规律和经典物理根 本不同，对结果的预测不再由它的位置决定的，而是概率的、统计性的。量子力学的 发现改变了我们对微观世界的描述方法，加深了我们对物质世界本质的理解。从2 0 世纪2 0 年代量子力学诞生至今8 0 多年来，量子力学理论取得了巨大的成功。它不仅 解释了原子、原子核结构、化学键、物体超导电性、固体结构、半导体性质、基本粒 子产生和湮灭等许多重要物理问题，而且也促进了现代微电子技术、激光技术、新材 4 料科学的出现和发展。尽管人们对量子力学理论的理解和解释还存在着这样和那样不 同的看法，但它作为一个成功的物理理论，没有人怀疑它的正确性。 量子计算和量子信息的一个目标在于增进我们对量子力学直观的认识。对量子力 学和量子信息的发展做过贡献的相关历史论据还可追溯到2 0 世纪7 0 年代对单量子系 统的完全能控性研究。量子计算和量子信息的研究很自然的适合这样一项计划，即试 图更好的操作单量子系统的人们提供了一系列的有价值的挑战性课题，也刺激了新的 实验技术的发展，还指出了实验研究最有意义的方向。反过来，控制单量子系统对于 强大的量子力学工具运用到量子计算与量子信息研究起着根本的作用。 尽管人们有这样的强烈兴趣，但建造量子信息处理系统的努力到目前为止只是取 得初步的成果。在几个量子比特上进行几十步操作的小型量子计算机代表着量子计算 的最高水平：用于长距离保密通信的量子密码术的实验原型也已经出现，并且在某些 实际应用的水平也即将被采用。然而，制造解决实际问题的大规模量子信息处理装置 的技术，仍将是物理学家和工程师未来面临的极大挑战。 以量子力学原理为基础的一类新的量子状态的变化可以利用量子计算的语言来 描述，其中一种算法是由c _ n - o v e r 提出的随机数据库搜索问题【5 ，6 】。不同于别的量子算 法，g r o v e r 算法只需要利用单粒子量子态的叠加。2 0 0 0 年a l a n 等人利用r y d b e r g 原 子成功实现c a o v e r 算法【刀。最近，利用大自旋系统，例如分子磁体和g a a s 中的核自 旋，进行量子信息处理的问题也开始被研究。l e u e b e r g e r 和l o s s 理论上提出通过控制 多频相干磁脉冲并利用磁性分子m n 。2 来实现c a o v e r 算法【8 】。在l e u e b e r g c r 和l o s s 的 模型中，他们利用s 矩阵和含时高阶微扰理论推导出，外加一个弱的横向交变磁场脉 冲，该磁场脉冲具有适当数目的匹配频率，则可以产生自旋叠加激发态并对其进行操 作，这些自旋叠加态被用来储存多比特信息。我们在l e u e b e r g e r 和l o s s 理论模型的基 础上利用数值方法计算含时s c h r 6 d i n g e r 方程来研究在一个外加交变磁场下自旋叠加 态的产生和操作【9 1 。详细讨论为实现g r o v e r 算法对交变磁场的约束条件。我们发现， 除了对磁场的交变频率和振幅的要求外，在设计利用磁性分子m n 。实现量子计算的装 置时，同样必须精确考虑磁场脉冲的作用时间。 以量子叠加和量子纠缠现象为基础的量子计算有着超越经典图灵计算机的巨大 优越性 1 0 ，1 1 】。量子计算机是由一系列的量子逻辑门组成【1 2 】，实现可集成的量子计 算的关键步骤是实现保真度足够高的一组两种，即一个q u b i t 的幺正门和两个q u b i t 的 可控量子门，包括受控相位门【1 3 ，1 4 和受控非门【1 5 1 8 】。普适量子受控相位门到目 前为止，许多物理系统已经被提出作为量子计算和量子信息处理可能物理实现，诸如， 离子阱【1 9 ，2 0 】、核磁共振( n m r ) 【2 1 】、腔q e d 系统1 2 2 ，2 3 】等。在所有这些物理 系统中，均被认为是有一定的微扰存在，即为绝热几何量子相位1 2 4 】。然而我们更愿 5 意实现非绝热情况下的几何量子相位，这样更易于实验操作。在这篇文章中，我们将 实现所需的纯几何非绝热量子相位【2 5 】。量子受控非门有两个输入量子比特，分别是 控制量子比特和目标量子比特，近来在线形光学介质中有很好的实现 2 6 2 9 。其中， n m r 由于有着相当长的退相干时间而特别被关注，也是目前实现量子计算方案中最 有进展的方法。d e u t s c h - j o s z a 量子算法1 3 0 3 2 、g r o v e r 量子搜索算法 3 3 3 5 、7 个 量子比特的s h o t 量子因数分解算法 3 6 1 、量子纠错 3 7 ，3 8 1 、量子f o u r i e r 变换 3 9 1 、 5 个量子比特排序算法 4 0 l 、量子隐形传态【4 1 】以及几何量子计算 4 2 ，4 3 1 等等都已在 n m r 实验中成功实现。 实现可集成的量子计算的关键步骤是实现保真度足够高的一组普适量子逻辑门。 逻辑门操作特别是远距离q u b i t 间态的控制是实现量子通讯和量子计算的一个关键组 元。在量子计算机里面，有两种最基本的门变换：一种是对单个比特的旋转变换， 如非门、h 门；另一种是两个比特的控制变换，如可控非门、可控相位门等。研究发 现，任何的量子幺正变换都可以通过对这两种变换组合加以实现，所以如何有效地实 现这两类变换就成了构造量子计算机的前提。事实上，单比特门实现起来比两比特门 要简单的多，所以两比特门的实现就成为构造量子计算机的关键。在这方面，近年来 各个领域的科学家提出了许多实现方案。主要有如下几种：一、核磁共振( n m r ) 系统。 二、量子点系统。三、势阱离子系统。该方案建立在三能级的离子与光场发生相互作 用的基础之上，利用其中的两个能级作为量子比特，而另外一个作为中间比特。四、 腔q e d 系统。它的主要优点是两个量子位之问相互作用的时间尺度远小于离子阱系 统，这样在单位时间内可能完成的操作可以更多。最近，有许多文献尝试将势阱离子 系统和腔q e d 系统两种方案结合起来，利用离子同时与两个外场发生相互作用，提 出了一些量子逻辑门的实现方案，并且取得了令人鼓舞的成就。 6 1 2 未来量子计算和量子信息的发展方向 量子计算和量子信息给人类产生了全新的计算机科学领域，教会我们以物理的方 式思考计算，也许哪天会导致发明远超过当今计算和通信体系能力完全不能替代的信 息处理装置，给社会带来不可估量的影响。 然而量子计算和量子信息仍然给物理学家们带来了很多挑战，从长远来说，它们 作为一种新型的信息传达系统，可以用来跨越微小和相对复杂的事物之间的鸿沟，计 算和算法为构造这类体系提供了系统的手段。我们希望这个方向将来能发展成为一个 理解物理学所有分支的方向。 为了避免在能预见的将来出现m o o r e 定律的完全实效，探索一种基于全新量子力 学理论的“量子计算机”的实现已经成为目前信息技术革命的一个重要的研究方向。 量子计算机己被证明可用来处理某些用经典计算机很难完成的任务，它的实现将引起 信息技术新的革命。量子计算机的实现原则上已不存在不可逾越的障碍，但技术上的 实现仍有严重的困难，其中一个主要障碍是如何克服消相干的影响。量子计算的优越 性体现在它利用了量子系统与经典体系的两个本质差别：量子态的叠加及纠缠。但是 这两个性质都很脆弱，容易被称为消相干的过程破坏掉。如何克服消相干的影响已成 为能否制造出真正实用的量子计算机的关键。而实现可集成的量子计算的关键步骤是 实现保真度足够高的一组普适量子逻辑门。当量子计算由量子逻辑门来操作，最近的 估计表明【4 4 ，4 5 1 ，如果每一个量子门的保真度能达到9 9 9 9 ，则通过量子纠错编码方 式，即使存在消相干，仍可以实现大规模的量子计算。但要达到如此高的保真度，量 子门本身必须具有内在的容错( f a u l t - t o l e r a n t ) 能力。 7 1 3 本课题的研究意义和研究方法 量子计算机( q u a n t u mc o m p u t e r s ，o c ) 是一类遵循量子力学规律进行高速数学和 逻辑运算、存储及处理量子信息的物理装置。当某个装置处理和计算的是量子信息， 运行的是量子算法时，它就是量子计算机。 无论是量子并行计算还是量子模拟计算，本质上都是利用了量子相干性遗憾的 是，在实际系统中量子相干性很难保持。在量子计算机中，量子比特不是一个孤立的 系统，它会与外部环境发生相互作用，导致量子相干性的衰减，即消相干。因此，要 使量子计算成为现实，一个核心问题就是克服消相干迄今为止，世界上还没有真正 意义上的量子计算机。但是，世界各地的许多实验室正在以巨大的热情追寻着这个梦 想。如何实现量子计算，方案并不少，问题是在实验上实现对微观量子态的操纵确实 太困难了。以量子逻辑门为基础的量子计算有着超越经典图灵计算机的巨大优越性， 到目前为止，许多物理系统已经被提出作为量子计算和量子信息处理的可能物理实 现，诸如，离子阱、核磁共振( n m r ) 、腔q e d 系统、j o s e p h s o n 结、量子点以及硅 基中的核自旋等。自从b e n y 几何相被发现以来，几何相的研究已经深入到物理学的 各个领域。量子力学几何相问题的研究还有若干值得研究的领域，如纠缠态和混合态 等。由于几何位相具有较强的容错能力，最近不少工作研究如何用几何相来实现量子 门在所谓的和乐量子计算研究方面，工作建议消除动力学相位，用绝热b e r r y 几何 相来实现普适量子计算。然而，因为介观量子系统的退相干时间普遍极短，绝热几何 量子计算方案是不实际的，因此非绝热几何量子计算近来被不少研究者关注。同构造 绝热几何量子门类似，非绝热几何量子门也要设法消除动力学相，而只用几何相来构 造普适量子门。因此几何相量子门的几何性质，它对随机噪声和参数小的涨落有较强 的抵抗能力，所以这方面的研究有很重要的意义。在过去能实现量子逻辑门的各种物 理系统中，n m r 由于有着相当长的退相干时间而被特别的关注，也是目前实现量子 计算方案中最有进展的方法。d e u t s c h - j o s z a 量子算法、g r o v e r 量子搜索算法、7 个量 子比特的s h o t 量子因数分解算法、量子纠错、量子f o u r i e r 变换、5 个量子比特排序 算法、量子隐形传态以及几何量子计算等等都已在n m r 实验中成功实现。最近几年 来，n m r 技术在这方面取得了一些重要的实验进展。c h u a n g 等人成功地在两自旋系 统中利用有效纯态作为输入产生b e l l 态。利用n m r 演示g r e e n b e r g e r h o m e z e i l i n g e r ( g h z ) 关联的思想由l l o y d 提出，l a f l a m m e 等人的实验第一次产生出一个有效g h z 态，而且这个实验也是一个量子系统被使用纠缠两个以上的量子比特。k n i l l 等人 利用七个核自旋产生出7 个量子比特的“猫态”，即由两个等权重的态叠加而成：一 个态是所有自旋向上，另一个态是所有自旋向下。最近，利用4 个量子比特液态n m r 实现了纠缠输运。l l o y d 描述了一种方法，在一个弱耦合的量子系统中利用具有确 8 定频率和振幅的一系列磁脉冲去执行任意的一个量子线路。 n m r 的广泛应用以及技术成熟，使得我们能够更方便操作量子比特。几何量子 门有两种情况，一为含有几何相位和动力学相位，但其门仅依赖于几何特性。另外一 种是消除了动力学相位的几何量子门本文将提出在n m r 模型中通过简单的操作方 案实现2 个量子比特的量子相位门( 没有动力学相位) 和量子受控非门( c n o t ) 。 9 第三章基本量子门介绍 量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究，而研究可逆计算机是为了克服计算 机中的能量消耗问题。早在六七十年代，人们就发现，能量消耗会导致计算机芯片的 发热，影响芯片的集成度，从而限制了计算机的运行速度。l a n d a u e r 最早考虑到了这 个问题，他考察了能量消耗的来源，并指出：能量消耗产生于计算过程中的不可逆操 作，而导致能量不可避免地消耗的原因正是丢弃信息的行为。b e n n e t 后来更严格地考 虑了此问题，并证明了，所有经典的不可逆的计算机都可以改造为可逆的计算机，而 不影响其计算能力。例如，对于一个两比特的传统的异或门，如果输出信号为0 ，那 么两个输入信号为以下的两种可能之一，0 0 和1 1 ，你不可能根据输出结果推出输入 结果，因而是不可逆的。不可逆的关键在于有两比特的输入却只有一比特的输出，在 这一过程中损失了一个自由度，按照热力学，必然会产生一定的热量。但是这种不可 逆性是不是不可避免的呢? 事实上，只要对异或门的操作进行一些简单改进，即保留一 个输入的比特，该操作就变为可逆的。因此物理原理并没有限制能耗的下限，消除能 耗的关键是将不可逆操作改造为可逆操作。 量子状态的变化可以用量子计算机的语言来描述，类似于经典的计算机是由包含 连线和逻辑门的线路建造的，量子计算机是由包含连线和基本量子门排列起来，形成 的处理量子信息的量子线路建造的。在经典逻辑电路中，门电路是逻辑电路的最基本的 单元它是利用半导体材料中电子的宏观运动所表现的特性来表征。量子逻辑门同样是 量子逻辑电路的最基本单元，只不过它己不再是用电子的宏观特性来表征，而是用微观 粒子的行为状态来描述，它将一个态演化为另一个态。例如，电子等微观粒子的自旋、 电子在不同能级上的跃迁等等。理论和实践技术证明，由最基本的量子逻辑门所组成 的通用逻辑门以及逻辑关系是经典通用逻辑门和逻辑关系不可比拟的，是经典逻辑门 和逻辑关系的进一步的拓展与延伸。量子逻辑电路中。最基本的逻辑门有与门、非门和 复制门，以此为基础构成一位量子逻辑门、二位量子逻辑门和三位量子逻辑门。在量子 信息理论中，量子信息的基本单位是量子b i t ( q u b i t ) ，称为量子位。一个q u b i t 是一个 双态量子系统，即是说一个q u b i t 就是一个二维h i l b e r t 空间。量子逻辑门的本质是对 量子位实施最基本的么正操作。 任意的多量子位比特门都可以由控制非门和单量子位比特门组合而成，在某种意 义上说，控制非门和单量子位比特门是所有其他门的原型，该结论是与非门通用性作 为经典计算的通用门在量子计算中的推广本文将重点介绍如何实现2 - q u b i t 的量子逻 辑门( 量子相位门和量子受控非门) ，也是量子计算过程中最重要的逻辑门。 1 0 2 1 1 量子从相位 “，瞳 0 0 10 01 o o ( 2 1 ) 量子门可表示为幺正算符u ( 口o ) ) ，其中a 0 ) 是一组在实现量子门操作中积累的 位相。通常每一位相口p ) 都同时含有几何6 。( f ) 与动力6 d ( f ) 学部分。如果量子门u ( a p ) ) 中的位相口p ) 是纯几何位相( 即动力学位相o ) 为零) ，则该量子门被称为几何 量子门。几何位相的最简单例子是随时间作周期性( 周期为t ) 变化的外磁场b ( t ) 中的 自旋为1 2 的粒子。如果8 ( 0 的变化足够缓慢，保证体系是绝热演化，即初态是能量本 征态的态矢在演化中一直保持在与之对应的瞬时能量本征态中。当剐t 1 循环一周，b e t r y 证明了除熟知的动力学位相外，还存在一个非可积的几何相因子，它的值是t - q 2 ， 这里q 是外磁场单位方向组成的轨迹所围的面积( 或立体角) ，符号由系统所处的能量 本征态来确定。这个位相就是著名的( 绝热) b e r r y 位相。在非绝热条件下，存在非绝热 几何位相。如果态矢在t 时间时和初态仅相差一个位相，这叫循环演化。在循环演化 中，几何位相有类似的结果，如也可写成- t - q 。2 ，但q 。是定义在投影希尔伯特空间中 由自旋极化矢量的演化轨迹所围的面积。循环但非绝热几何位相被称为a p t 位相，它 在绝热条件满足时和b e r r y 位相一致。几何位相已被发现在许多物理领域中有重要应 用。已经证明普适的量子计算可由一个非平庸的二量子比特逻辑门及两个非对易的单 量子比特逻辑门实现。在一个具体的量子体系中，设计合适的可容错的普适量子门是一 个重要的步骤。可容错的普适量子门已被证明可用几何位相来实现。 2 1 2 量子可控相位门 100o o10o o0 10 000e i ( 。+ “ 1 1 2 2 量子受控非门 受控非门按照如下的方式对两个量子比特进行操作 i o o ，呻1 0 0 ， 1 0 1 叫0 1 1 1 叫1 1 1 1 1 ，叫1 0 ， 1o o1 o o o 0 o o o o 01 1o ( 2 3 ) 这个门有两个输入量子比特，分别是控制量子比特和目标量子比特。受控非门的 量子路线如图： 彳 口， 1r 厂 、 a ， 曰o a 上面的线表示控制量子比特，下面的线表示目标量子比特。该门的作用描述如下， 若控制量子比特置为0 ，则目标量子比特将保持不变。若控制量子比特置为1 ，目标 量子比特将翻转。用方程形式表示有：i o o - 1 0 0 ，1 0 1 - - * 1 0 1 ，1 1 0 * 1 1 1 ，1 1 1 _ 1 1 o 任意的多量子比特门都可以由受控非门和单量子比特门复合而成，某种意义上说， 受控非门和量子比特门是所有其他门的原型。 构建一台量子计算机有几个实验要求? 理论的基本单元是量子比特。为了实现量 子计算机，我们不只是要赋予量子比特系综物理表示，还要选择量子比特在其中按期 望方式演化的一个系统，而且我们必须要能够把量子比特制备到某个特定的出台机 和，并测量系统的输出状态。 1 2 第三章量子门在核磁共振中的实现 3 1 核磁共振的基本原理 用射频电磁波直接操作和探测核自旋状态是一个成熟的领域，称为核磁共振。该 类技术广泛的应用于化学中，如测量液体、固体和气体的性质，确定分子结构和绘出 材料甚至是生物系统的图像。进而使得核磁共振的技术相当的成熟，并可在实验中对 大量的核子进行控制和观测。 在n m r 量子计算机中，充当量子比特的是原子核的自旋，酉演化的任意变换是 由强磁场中施加于自旋的磁场脉冲构造，自选之间的耦合是通过相邻原子间化学键提 供。核磁共振的原理和技术本身已经相当成熟，因此核磁共振技术成为最早用于实现 量子计算的实验技术之一。在1 9 9 6 年c o r y 研究小组，1 9 9 7 年g e r s h e n f e l d 和c h u a n g 研究小组分别独立提出了利用液态n m r 系统实现量子计算的方法，其中关键的部分 是把n m r 系统这样一个系综体系制备到一种特殊状态一等效纯态一作为初始态， 等效纯态的演化行为与真实的量子纯态类似，从而使得利用液体n m r 系统这样一个 系综体系用于实现量子计算成为可能。1 9 9 8 年c h u a n g 等人等利用胞啼陡( c y t o s i n e ) 分 子中的两个氢的原子核自旋作为量子比特载体实现了d e u t s c h - j o z s a 算法，这是第一个 实验实现量子算法。不久，他们又利用异核体系实现了g - r o v e r 量子搜索算法差不多同 时j o n e s 等人也用n m r 方法实现了g r o v e r 算法。随后n m r 量子计算和信息处理在 少量子位体系中得到了蓬勃发展，多位和改进的d e u t s c h j o z s a 算法，g r o v e r 搜索算法， h o g g 搜索算法b e m s t e i n - v a z i r a n i 算法u s c h w e i l e r 算法量子计数算法量子傅立叶变换 算法，s h o t 算法和量子寻阶算法等陆续被核磁共振技术实现。另外一些特殊量子计算 方法，例如量子绝热算法和几何量子算法也被核磁共振技术实验实现。除了量子计算 核磁共振技术还被用来进行量子信息方面的研究，例如：量子远程传态、远程态制备， 量子态近似克隆，g h z ( g r e e n b e r g e r h o m e z e i l i n g e r ) 2 q 缠态的制备，量子密集编码的实 现、以及量子纠错和避错。核磁共振还被用来进行量子模拟的实验研究和量子博弈。 核磁共振实验研究几乎涵盖了量子计算和量子信息的所有方面。 3 2 核磁共振的物理装置： 构建一台量子计算机有几个实验要求? 理论的基本单元是量子比特。为了实现量 子计算机，我们不只是要赋予量子比特系综物理表示，还要选择量子比特在其中按期 望方式演化的一个系统，而且我们必须要能够把量子比特制备到某个特定的出台机 和，并测量系统的输出状态用射频电磁波直接操作和探测核自旋状态是一个成熟的 领域，成为核磁共振( n m r ) ，该类技术广泛应用于化学中，测量液体、固体和气体 的性质，确定分子结构和绘出材料甚至是生物学系统的图像。 这里讨论的是针对液体样品的脉冲n m r 系统的两个主要部分，样品和n m r 谱 仪。所用的典型分子包含n 个自旋为1 2 ( 其他可能的核子有”c 9 ，“，3 1 p ) 的 质子而且当置于1 1 7 r 磁场时产生约5 0 0 m h z 的信号。因为由于化学环境屏蔽效应， 造成了局部磁场的不同分子种不同的核子的频率差可达几千赫兹到几百赫兹，通常将 分子溶解到溶液中，降低浓度到分子间相互作用可以忽略的程度，得到一个可以很好 的描述为，n 量子比特量子计算机系综的系统。 最近几年来，n m r 作为反应体系取得了一些重要的实验进展。c h u a n g 等人成功 地在两自旋系统中利用有效纯态作为输入产生b e l l 态。利用n m r 演示 g r e e n b e r g e r h o m e z e i l i n g e r ( g h z ) 关联的思想由l l o y d 提出，l a f l a m m e 等人的实验 第一次产生出一个有效g h z 态，而且这个实验也是一个量子系统被使用纠缠两个以 上的量子比特。文献也报导了利用n m r 实现g h z 关联。k n i l i 等人利用七个核自旋 产生出7 量子比特的“猫态”，即由两个等权重的态叠加而成：一个态是所有自旋向 上，另一个态是所有自旋向下。最近，利用4 量子比特液态n m r 实现了纠缠输运。 l l o y d 描述了一种方法，在一个弱耦合的量子系统中利用具有确定频率和振幅的一系 列磁脉冲去执行任意的一个量子线路。上面提到实现多量子比特纠缠态的n m r 实验 都需要一系列磁脉冲。下面将提出通过简单的操作步骤来实现在n m r 模型中两量子 比特的量子相位门，并假定2 个量子比特被初始化处。本方案关键是设计具有确定振 幅、频率、相位以及作用时间的单个多频相干磁脉冲。外加单个多频相干磁脉冲同时 操纵“活动态”，即满足共振条件的基矢，而其它所有“非活动态”保持不变。利用 多频磁脉冲的想法在大自旋系统的量子信息处理中己被提出。我们将描述在n m r 模 型中如何利用单步操作实现双量子比特的量子相位门，以及量子受控非门( c n o t ) 。 1 4 3 3 系统 本篇论文中，我们将按照l e u e b e r g e r 等人操纵g a a s 中核白旋的思想，提出利用 磁性分子肋l ，：在多频相干磁脉冲的作用下共振相关的能级，进而通过演化实现量子逻 辑门的一个新方案。因为本文是讨论两个量子比特的逻辑门，所以作为说明，在肋l 。： 分子中的2 1 个量子态我们选择n - - 4 个态。分别记为i o o ，1 0 1 ) ，1 1 0 ) ，1 1 1 ) 态。我们将计算 实现量子态演化满足的所有控制参数，而且要求磁脉冲的作用时间少于胁l 。分子中量 子态的退相干时间。这种体系的方案我们不需要低频纵向场，因此，也将更容易操纵 自旋态。 于是我们的n m r 体系为多频交变横向磁场作用下肋分子。 系统的h a m i l t o n i a n 表示为 日- 神+ v q ) ( 3 1 ) 其中 月二“一卅s ：2 一b ：4 + g l a 口6 1 t ：s ： ( 3 2 ) y ( f ) - 薹j ! ! ! ! ：芋q 一( q h q ) s + + e 4 ( q h i ) s 一】 ( 3 3 ) h m 是具有s = 1 0 的磁性分子胁1 1 2b 的单自旋h a m i l t o n i 姐。a * ub 分别取作0 5 6 k 和1 1 1 x 1 0 。k 。i m i i ；s ，s - 1 , - s ，i - l 2 , 2 s + 1 ) 是h m 和自旋算符z 分量( ) 的共同本证奋，本征值分别是。，和优；壳( 一1 ) 。m n 。：分子中的自旋声子相互作用 常数由实验确定为0 g x l 0 5 h z k 3 ，工作温度假定低于1 k ，由此肋l 。：分子的能级寿命 大约为1 0 4 s 。m n 。：的每个分子受到来自核自旋的随机挠动场，大约1 6 m t 。f f j 夕l m n 。： 的每个分子之间的耦极相互作用约为0 0 3 t 。这些挠动场导致m h 。：分子的退相干时间 约为1 0 - 9 s 。引入偏置场甜：抑止量子隧穿。v ( t ) 是描述外磁场与旋s 之间耦合的 z e e m a n 项。n 是本方案信息处理的基态i m 。) 的个数。本方案中磁场h 。的频率q 相对 于能级间隔 可以正失谐和负失谐。只考虑对于壳i 以1 c a 2 f f j = q 一哆我们这 里取q ( h ) 一5 0 0 m h z ，0 3 2 ( 劢) 一i o o m h z 和j ( 扬) - 5 m h z 。 为了系统地描述操作方案，假定这两个量子比特分别从四种不同的单态出发，即 1 0 0 ，1 0 1 ，1 1 0 ，1 1 1 ，这些可以通过在z 方向上加磁脉冲的方式实现。 h 锄i j t o n i 柚日2 “本征态的完全集 1 l ，1 0 ，0 1 ，0 0 ，、| ， 全正交基矢，相应的 本征能级分别是l 一一( q + c 0 2 + j ) 2 ，2 一一( q - 9 0 2 - y ) 2 ，f 3 一一( 一q + 6 0 2 - 1 ) 2 ， - 一( q + 吐一j ) 2 。于是我们能很容易的得出本证能级的具体数值：f 。一- 6 0 5 j r ， 2 一- 3 9 5 r ，3 4 0 妇，8 一5 9 5 r 1 7 现在问题成为设计一个磁脉冲的各参数，导致自旋态么正演化并产生期望的量子 逻辑门。为了达到这个目的，我们外加一个具有四个频率q 。，q ：，q ，q 。的矩形横向磁 脉冲到上述双量子比特系统。 h a m i l t o n i a n h 2 - 础本征能级的示意图如图所示： 一一旦上一一1 1 0 ， 墨毒一 0 3 ； 因此，总的h a m i l t o n i a n ( 3 1 1 是 h 一h2 呻蝻+ h 脚 其中( 3 3 ) 的y ( f ) 也可转化成， 1 0 0 ) 日础- 三；| ；塞p “却吨h * + e - i ( o d + o d q + ， ( 3 5 ) ( 3 6 ) 这里，仃一矿i o ，k g j g l t k ( t ) 和h n 9 2 t o ) ，g l , 9 2 是两个核自旋的 g - i 圈：j ：，并且是不相等，u 是核磁子。h 。( t ) ( k - - 1 ，2 ) 是矩形脉冲，即以o ) - h j ，如果 f ( 0 ，t ) ，否则以( f ) 一0 。磁脉冲的频率、相位为q ，中和作用时间f ，从上面的图， 我们可以看到外磁场的频率q 。与1 0 0 ，一1 1 0 ，的跃迁频率共振，频率q ：与 1 1 0 ，一1 1 1 ，的跃迁频率共振，频率q ，与i o o ) 一1 0 1 ，的跃迁频率共振，频率q 与 i o b 1 1 1 的跃迁频率共振。那么，当两个量子比特在脉冲下演化时，具有四个频率 ( q 。，q 2 ，q ，q ) 的矩形横向磁脉冲将导致四个基矢 1 1 ，1 0 ，0 1 ，0 0 的相干演化。我 们称这些满足共振条件的并被多频相干磁脉冲同时操纵基矢 1 1 ，1 0 ，0 1 ，0 0 ) 为“活动 态”，而剩余其他基矢是所谓的“非活动态”，它不满足共振条件而在磁脉冲作用下 保持不变。所以可以很容易得到四个脉冲频率的值分别为：q q + j ，q ：；：- j ， 1 r q 3e 0 ) 2 + ，q 4 0 ) 1 - ja 在这种情况是，于是，h a m i l t o n i a n 被截断近似为 w ( f ) 一h 2 1 m + 日脚 - f l l 0 0 + f 2 1 0 1 + 占3 1 1 0 + f 1 1 1 ， + 却+ 。i o o ，t + 争徊p 2 ) 1 1 0 i ，锄，+ 日r + 。p ，i o o ，锄，+ 等e “町。i o b 锄，埘r 用矩阵形式近似的表示即为： 其中， ( f ) 一 f l 生h ， 2 鲁肌 0 鲁日， 占 o 丛日。 2 冬日。 0 3 每肌 0 等以 等： e 日f ( f ) 一e 0 4 4 。( i l 2 , 3 ，4 ) h + i o ) 是h ，( f ) 的复共轭。 脉冲振幅h 的表达式为， h l l = h i ，h 一h 2 u ；h 3 , h m h 4 这里我们定义 i i ，o ) ，= v + o ) i 妒( f ) ， ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 含时s c h r 6 d i n g e r 方程为 i 8 i l i ，o ) ，o r - r ( t ) 1 1 l ，( f ) ， ( 3 1 0 ) 在这里的i 掣( ) 描述在时刻t 整个量子计算机的系统态，经过时间f 以后量子计 1 9 算机系统态演化成l v ( f + f ) ，h 。( 1 ) 是系统的h a m i r o n i a n 量，决定系统状态的任 意演化。量子态iv ( f ) 从任意态出发，在h a m i l t o n i a n t ( t ) 作用下的演化表示为 l p ( f ) i c l ( f ) 1 0 0 + c 2 0 ) l o l + c 3 ( f ) 1 1 0 + c 4 ( f ) i i i ( 3 1 1 ) 现在我们可以推出有效h a m i l t o n i a n ，得到这个问题的解析解。首先我们利用推广 旋转框架， l l ，( f ) 能产生一个等效的方程， i o i 妒( f ) ，a t h 。i 妒o ) ( 3