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文档简介
中圈科技人学向学院0 l 级侦士毕业沦义蝴纽含纛削蠡燃k 究 | 9 f 帆纽含投资理论年茜匀均丧号子螽型研究 摘要 基于随机组合投资理论的均值方差模型研究_ o 芍、 0 2j 、占) 自从1 9 5 2 年马科维茨发表他的经典的论文证券组合选择以来,t 现代组 合投资理论已经经过了半个多世纪的发展,随着1 9 9 5 年随机组合投资理论的产 生,现代组合投资理论的发展进入了崭新的一页,随机组合投资理论是源自于马 科维茨的经典组合投资理论,随机组合投资理论使用一个新的数学框架来分析组 合投资行为,作为一个理论工具j 它为市场均衡问题提供了一个新的研究视角。 在实践方面,随机组合投资理论能用来优化组合投资及进行技术性分析。 通过研究了含有几何布朗运动的股票价格模型,本文根据随机组合投资理论 中含有多个不确定性资源的均值一方差模型,在可以卖空和不可以卖空条件下分 别对模型进行了研究,并对模型进行了实证分析。 本文首先回顾了现代组合投资理论;接着,详细介绍了组合投资理论中的均 值一方差模型;在第三部分中本文先从股票价格的行为模式谈起,给出了含有 维纳过程的股票价格模型,然后根据随机组合投资理论下的均值一方差模型,给 了i j 丁以卖空条件下模型的解集以及刁i 允y f :卖空下求解的算法。最后,我们运用 卜述随机组合投资列论模,弘进行了实i i l l i j 究,从卜证a 股c p 选取了十只股票,从 2 0 0 4q - :3 月lh 起2 0 个交易r i 的数据进 j :分析,估汁出其对数增长率和波动率, 通过计算得出最后的组合投资权重及方差,并对结果进行了分析。 关键词:组合投资随机组合投资均值一方差准则 中国科技人学商学院0 f 缀碳 毕业沦立 ;f f 机组含投资理论- 扣的均篮方筐模型 j f 究 t h es t u d yo ft h em e a n v a r i a n c em o d e lb a s e do i ls t o c h a s t i cp o r t f o l i o t h e o r y a b s t r a c t s i n c eh a r r ym a r k o w i t zp u b l i s h e dt h ec l a s s i c a lt h e s i s p o r t f o l i os e l e c t i o n i n19 5 2 , m o d e r np o r t f o l i ot h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e df o rh a l fac e n t u r y i n1 9 9 5 ,s t o c h a s t i c p o r t f o l i ot h e o r yw a sp u tf o r w a r d ,w h i c hb r o u g h tm o d e r np o r t f o l i ot h e o r yi n t oan e 、, v e r a s t o c h a s t i cp o r t f o l i ot h e o r y , an o v e lm a t h e m a t i c a lf r a m e w o r kf o ra n a l y z i n g p o r t f o l i ob e h a v i o r , i sd e s c e n d e df r o mt h ec l a s s i c a lp o r t f o l i ot h e o r yo fh a r r y m a r k o w i t z a sat h e o r e t i c a lt o o l ,s t o c h a s t i cp o r t f o l i ot h e o r yp r o v i d e si n s i g h ti n t ot h e q u e s t i o n so f m a r k e te q u i l i b r i u m i np r a c t i c e ,s t o c h a s t i cp o r t f o l i ot h e o r yc a r lb ea p p l i e d t op o r t f o l i oo p t i m i z a t i o na n dp e r f o r m a n c ea n a l y s i s b a s e do nt h er e s e a r c ho ft h em o d e lo fs t o c kp r i c ei n c l u d i n gg e o m e t r i cb r o w n i a n i l t o v e l l l e r l ia n dt h em e a n v a r i a n c em o d e li n c l u d i n gm a n yu n c e r t a i nr e s o u r c e s ,t h i s p a p e rs t u d i e sa p a r tt h em o d e lu n d e rt h ec o n d i t i o n so fs h o r ts a l e sa n dn os h o r ts a l e s , a n dm a k e sa na n a l y s i so fa ne x a m p l em o d e l a tt h eb e g i n n i n g ,t h i sp a p e rr e v i e w sm o d e r np o r t f o l i ot h e o r na n dt h e ni n t r o d u c e s p a r t i c u l a r l yt h em e a n v a r i a n c em o d e l ;i nt h et h i r dp a r t ,t a l k e df r o mt h em o d e lo f s t o c kp r i c e ,t h i sp a p e rg i v e st h em o d e lo fs t o c kp r i c ew h i c hi n c l u d e sw i e n e rp r o c e s s e s a n dt h e na c c o r d i n gt ot h em e a n v a r i a n c em o d e lb a s e do ns t o c h a s t i cp o r t f o l i ot h e o r y , g i v e st h es o l u t i o n a tl a s t ,w em a k eu s eo ft h em e a n v a r i a n c em o d e lb a s e do n s t o c h a s t i cp o r t t b l i ot h e o r yt op r o c e e dt h ei n s t a n c er e s e a r c h ,s e l e c tt e ns t o c k sf r o m s h a n g h a is t o c ke x c h a n g e ,a n a l y z et h ed a t ao nm a r c h12 0 0 4u n t i lm a r c h2 72 0 0 4 , e s t i m a t et h el o g a r i t h mg r o w t hr a t ea n dt h ew a v er a t e ,t h e nw ec a ng o tt h ep o r t f o l i o w e i g h t sa n dt h ev a r i a n c e ,a n da n a l y z et h er e s u l t k e y w o r d p o r t f o l i o s t o c h a s t i cp o r t f o l i ot h e o r y t h em e a n v a r i a n c er u l e 2 巾m 科技人学前学院o 【级坝i7 毕业论文随莉【组合投资理论中的均位方差模塑珂f 究 1 1 传统组合投资理论 第一章绪论 广义来说,投资包括债券投资、股票投资、不动产投资等,其中债券、股票 投资合称证券投资。由于以汪券投资为例讨论的组合投资理论同样适用于包含其 他资产的组合投资,所以我们在进行纰合投资理沦研究时,主要以证券特别 是股票为例来进行。这也是组合投资理沧被称为证券组合投资理论的原因。证券 组合投资理沦按照研究方法的不同可以分为传统组合投资理论和现代组合投资 理论。 传统的组合投资理沦,主要是解决三方而的问题:一是决定适当的组合投资 目标;二是决定在一定目标下,组合投资中包含哪些证券以及各自的投资比例份 额:三是监视和调整组合投资。 传统的组台投资目标是投资者建曲:并管理一个“投资组合”,它首先必须考 虑并种制约条件,确定纰合成达剑的ii 机i 。组合的旧标人体分为如i - 7 1 类:小仓 寅个几标,它包括收回本金和保持小命原来的价值:收入稳定日标,一般指把投 资f 二f 标定为按时获得一定的稳定收入;资本增长目标,般指在证券的总收益中 较多地考虑资乖增值i l 标,较少地考虑经常收入。传统的组合证券选择一i - 要根据 :f 标而进行。虫果投资目标是追求经常收入,则以购买固定收入债券、优先股票 为主:如果是追求资本增长,则选择增长型的股票为主:如果目标是两者的结合, 则在所购买的证券中应该包括经常收入旺券和增长型证券两部分,证券组合投资 的选择应遵循多元化分散化的原则,这包括证券种类分散化、到期r 分散化、时 问分散化等。传统的组合投资i j , 1 整是在组合投资建立之后,对组合内的证券进行 监控,视址券的价格、收益、风险丑何变化,选择适当的时机进7 - d :阱墼,以防止 组合的结果与目标不一致。 传统的红f 合投资理论和分析方法有如下缺陷:一是选择证券种类及比例,多 数山投资者或组合管理者主观判断所确定,没有套精密计算的科学方法,无法 确定组合所预期的最大收益或最小风险;二是无法肯定回答证券需分散到怎样的 程度才能达到较高的收益、较低的风险的最佳配置。为克服传统组合投资理论的 c p 陶科技人学j 蹦学院0 l 级顺l j 毕业论义舢目l 组合投资理沧中的均值一方差模型研究 缺陷,现代细合投资理论应运而h 它刁i j 】:是根撕 投资者对收入或增值的需要选 择证券组合而是从风险和收益的关系方丽着手,定量选择组合。 1 。2 现代投资理论的产生与发展 现代投资理论是在马科维茨( h a r r ym a r k o w i t z ) 1 9 5 2 年发表的具有历史意义 的论文i i :券组合选择和1 9 5 9 年出版的同名专著基础上发展起来的理论框架。 继马科维获之后,经济学家夏t “l c , :( w i f i a ms h a r p ) 在1 9 6 3 年发表了汪券组台分析 的简化模型一文,提出了资本资产定价模型( c a m p ) :罗j 折( s t e p h e n r o s s ) 随后 于1 9 7 6 年提出了套利定价理论( a p t ) 。这些模型运用经济计。量学的方法,通过 建立复杂的数学方程式,从不同角度剥证券纰合理论进行了丰富和完善,使现代 投资理沧在近儿卜年内得到迅速发胺并逐步走向成熟。 1 2 1 均值一方差模型的提出 尽管投资崭早就知道分散化可以降低风险,并且希克j 圻( h i c k s ,1 9 3 5 ) 也提出 过分敞化理沦,仍总体:波1 9 5 2 q - 脯足缺少如何进行分做化的理沦的。1 9 5 2 年 ,j 科维茨和外打:沦文组合投资选择l i ,川】均仪一方差方法( m e a n v a r i a n c e ) 分折了1 i 确定性条件下的投资决策,标志着爿i 确定性条件下金融资产的配置 现代组合投资理沦( 简称m p t ) f l q 丌端,1 9 5 9 年马科威茨在组合投资:7 f 效的 分散化。杉巾进一步对此进行了充实。现订! ,马科维茨的方法已成为现代投资 理论的一个重要的基础,他在证券组合理论方面的贡献引发了大量的对现代证券 组合的分析工作。马科威茨因此被誉为“现代组合投资理论”之父,获得i9 9 0 年诺贝尔经济学奖。 在均值一方差模型中,马科维茨假设投资者均是期望效用最大化者,假设证 券组合未来收益率的概率分布服从正态分前i ,可用预期收益率和方差这两个参数 来刻画,以此假设为基础,马科维茨旺明了证券组合风险分散的一般规律:随着 证券组合中包含的证券的数目增加,啦个证券的风险对证券组台的风险的影响越 来越小证券之叫的相互作,h 成为亚券组合风险的主婴来源;给定汪券组合,证 券之间的相关程度越小,证券组合的风险分敞效应越大。如果投资者基于证券组 6 中川科技人学商学| 皖0 i 宝 坝卜毕、沦史随机组合投资埋硷中的均值- 方差模型f j | _ 究 合的预期收益率和力馐进行投资决策,_ ;u j j 么根据均值一方差模型,投资者运用期 望效用最大化的决策准则,可在所有可能的投资方案集中求出最优组合投资。 鉴于马科维茨的方法在计算i :特别复杂,1 9 6 3 年马科维茨的学生夏普对证 券组合理论进行了简化,提出了所谓的单指数模型( s i n g l e ,i n d e xm o d e l ) ,证券组 合理论的这种简化形式在实践上特别有用。 在证券缎合理论中,做出过突出贡献的还有詹姆斯托宾( 1 9 5 8 ) 和肯尼 斯阿罗( 1 9 5 2 ) ,在肯尼斯阿罗的证券市场一般均衡模型中提出的套利、最 优化和均衡思想为后来的资产定价理沦的发展提供了基础。 事实l ,马科维茨理沦还是丛于有效市场假没之上的,有效市场假设( e m h ) 魁现代1 7 9 方微观会融础沦的丛本范式,也足现代投资理论的核心思想之一,著名 经济学家、诺贝尔经济学奖捩缁者保罗萨缪尔森( p a u l a s a m u e l s o n ) 普l 指出,如 果会触经济学足社会科学二l 冠一i - - f l j 土石,那么有效市场似设( e f n c i e n im a r k e t s h y p o t h e s i s ,e m h ) 必定构成这颗:蠢石一半f 内刻丽。有效市场理论的起源至少可追 溯剑2 0i 瞳纪初巴舍利耶的先驱性理论贡献和30 年代考尔斯的经验研究。之后, 经过许多学者对资本市场征券价格的时川序列的统计分析。建立了投机价格随机 行走的标准模型。在6 0 年代中;啊以后,经过萨缪尔森( 1 9 6 5 ) 、法玛( 1 9 6 5 ) 、卢 斯( 1 9 7 8 ) 、格罗斯曼和斯蒂格利茨( 1 9 8 0 ) 等的努力,形成并发展了资本市场 的仃效l j 场理沦。法玛t 1 9 7 0 ,1 9 9 1 ) 仃效资本1 1 j 场理论进行了综台总站。 有效i h 场似没( e m h ) 涉及资奉i l j 场谯肜成证券价格中对信息的反映程度。 如果资本市场在汪券价格中充分f n 州e 确地反映全部相关信息,则称其为有效:在 。个有效的市场上,证券交易不可能获取经济利润。e m h 对金融工程和公司余 融具有重要的意义。如果e m h 成:立,那么公司的市值就反映了该公司未来净现 金流的现值,公司经理的基本目标就在刁:使股东财富最大化,抑或浇公司市值最 大化。 资本市场有效的程度依据哈里罗伯茨( h a r r yr o b e a s ) ,可按信息在市场上 得到反映的程度不同定义为三利t 有效市场: ( 1 ) 弱式有效市场:弱式有效市场是这样一种市场,交易者在市场上按以价格和 收蒲率的历史为基础的交易规则进行交易,不可能获得超额收益。 ( 2 ) 半强式有效市场:半强式有效市场是这样一种市场,交易者在市场上按以大 中田科救人学商学院o i 级顺:l j 毕业论_ ! :c =| 5 i 甘【鲺l 台投资理论中的均值方羞模型 i j f 究 家都能得到的信息为基础的交易舰则进行交易,不能得到超额收益。 ( 3 ) 强式有效市场:强式有效市场是这样一种市场,投资者在市场上按以任何信 息来源为基础的交易规则进行交易都彳i 能秋得超额收益。 这三种效率形式只是将所有的信息集分为三大类,它们之问的准确界限是难 以定义的,不过这种划分对于市场效率的经验研究是有用的。这三种效率形式相 互联系,强式有效意味着半强式有效,半强式有效又意味着弱式有效,但是相反 的顺序不成立。 1 2 2 证券组合理论 在上述两个假设丛彳i 之一i :码科维获发眨了资产组合理沦,这使得投资理沦发 生了场革命,从而导致现代资本市场驯论的发展,他运用概率沦和规划沦的方 法,提出的组合证券最优化模型被视为现代“券理论的基石现将马科维茨提出 的组合证券最优化问题及其他学者的研究成果统一表示为如下二次规划模型: n f i nx s t x 么r ,w = 1 u i = ( 1 “1 1 ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 这艰,x = ( 工一x 。) 表示资产组合系数向量;x ,表示投资在第j 科t 证券的金额 占总投资额的比例;= 【t 一t t 。】表示收益的期望值向量;表示收益的协方 差矩阵:r 表示投资者所期望的目标收益率:l = ( 0 ,。) 和u = ( 1 ,) 分别 表示买空卖空限制,比如,当,= o ,鸬= 1 时,表示不允许买空卖空第i 种证券; 式( 1 2 1 ) 表示投资者的目标是使投资风险x 戳最小;式( 1 2 2 ) 表示投资者的收益 率不小于预期的收益率r ;式( 1 2 3 ) 表示投资者投资在各部分证券的资金比例之 和是1 ;式( 1 2 4 ) 表示对投资者的买空卖空| :i ! ! 制。 该模型与任何其他经济模型一样,是建立在一系列严格的假设条件上的。马 中田科技人学商学院0 i 级颁j 二毕业论文 随机组合投资理论中的均值- 方差模型研究 科维茨的真知灼见是:风险为整个投资过程的重心,不能用所有资金购进一种股 禁。这确实能舰避了一定的风险,但是山予i :多假设条件无法满足,使模型在现 实中失效。叫使基本满足这些条件,当n 较大时,模型的计算也十分困难,不 仪需要汁算n 个方差和竹( ”+ 1 ) 2 个协方差,而且当计算完后,还要解决由方差 钏阵产生的人型二次规划。 1 2 3 资本资产定价模型( c a p m ) 资本资产定价模型是由威廉夏普、约翰林特和简莫森在1 9 6 5 年前后 分别独立地提出。 资本资产定价模型成立的前提假发条件包括: ( 1 ) 存在众多投资者所有投资者都是价格的接受者,市场处于完全 的竞争状态。 ( 2 ) 行有投资者都只汁划持订投资资j “。一个柑剜的剧埘。投资者只关 心投资训划划内的1 胁况,不考虑计划期后发生的事情。 ( 3 ) 投资者只能交易公丌交易的金融工具如股票、债券等。并假设投 资者可以不受限制地以固定的无风险利率借贷。 ( 4 ) 无税、无交易成本,i _ 【| 】r l r 场是无磨擦的。 ( 5 ) 所有投资者的行为都是理性的,都遵循马科维茨的组合投资选择 模型来优化自己的投资行为。 ( 6 ) 所有投资者都以川州的脱,囊和分析方法来对待各种投资工具,他 们对所交易的金融t 典未来的收益现金流的概率分夼、预期值和 方差等都有柏州的估计,这就是一敛性预期似设。 c a p m 是根据资本市场线理沦得出的,通过引入无风险资产,导出无风险资 产和市场组合( 包括市场上所有的资产种类,各种资产所占比例和每利t 资产市值 占市场所有资产总市值的比例相同的组合投资) 的线性组合即为最优组合投资, 所有这样的线性组合就构成了资本市场线。可表示为: ( r ) :,+ 鲤坠型仃。( 1 删 盯” 其【| e ( r ) 为最优组合投资r 的预期收益率,e ( r 。) 为市场组合m 的预期收益率, 9 中测科挫大学幽学院o 级硕j ,毕业论史艇甘l 组合投资删| 仑中的均值方差模型研究 r 为无风险资产收益率,盯。、盯。,是r 和1 1 1 的标准差,如下图所示: p 1 目r i 彳 f ( 玎:,) r i 图( 1 - 1 ) :资本市场线 根扔:资本前场线,我们就可以得出仃,i i f 券j 册朔望收镒率,如下图所示 e r 图( 1 2 ) :求解c a p m 示意图 e r i = i 七( z r 。一n p i 0 中周科技人学商- 学院o i 织碗u 卜毕业论文 耻机纽台投资删论中的均值方差模型 ;| | _ 究 这翟,:2 盯二 这就是c a p m 模型。 1 2 4 套利定价理论( a p t ) 套利定价删沧是罗斯在1 9 7 6 年发表的。 所渭“套利”是指投资者寻找这样种组合投资:其初始净投资为零,而未 来收益为非负值。如果存在套利机会,投资抒都将投资这种组合。结果,组合的 价格将发1 1 - 变化,直到套利机会消失,市场就达到了均衡。 套利定价耻论的基础假殴有: ( 1 ) 收益率由某些共同因素和一些公司特有事件决定。这被称为收益产生 过程。 ( 2 ) 市场中存在大量刁i 同资产。 ( 3 ) 允许:卖空,所得款项归卖空者所有。 ( 4 ) 投资矗+ 偏向1 :获利较多n 勺投资策晰。 社冈索的套利定价理沦_ j 表述为: 剥于笫i 项金融:l :具,铂: r j = e t r j 、+ b j f + e j 其中l 是第i 项余融工具的实际收益率,( ) 就是其预期收益率,f 是宏观 经济因素的实际值与其预期值的偏离,e 则是该项金融工具的自身收益的扰动。 对于不同的i 和j ,e 和p ,是互不相关的。 设有个非系统风险被充分分散的组合投资p ,在这个组合罩,n 项会融工 具的权重为i i ,f - 1 , 2 ,n ,组合的收黼率平l i 方羞为: r p = e 0 i 、+ bp f 仃;= p 2 口r 2 出上两式可以得到,如果两个充分分散化的组合投资有相同的值,它们的 f ,涮科丰土人学商学院o l 级坝i j 毕业论史鼬机组台投资耻沦。 j 的均值力篮模堡! 型堕 预期收益必定也相同。否则将出现套利机会,对于有不同值的充分分戡化的组 合投资,其预期收益率中风险补偿必须正比于值,不然也将发生无风险套利。 由此,我们可以得出:所有充分分散化的组合投资的预期收益率和风险的关 系都应落在从无风险收益率0 出发的直线上,如下图所示。 e ( r ) 图( 1 3 ) :预期收益率与风险补偿的关系 单一资产定价表示为: e t r ) = r f + j 8 l k 式中k 为常数,对于任意充分分散化的组合投资p ,都有 兰盟二2 ;k 8p 如果我们将市场组合代入上式,可得: 毗h + 每( h ) 这就是c a p m 中的证券市场线。 我们可以方便地将套利定价理论推广到多因素的情况。 1 ,i q f = | 找人学 = :i 院0 1 级f ! l 毕业沦史随机组合投资理论中的均值方差模趔f j f 究 多l 卅豢套利定价理论模型为 r ? = 脚? ) + 8 + e 其中,岛为资产i 对影响因子的系数。 单一资产定价为: e ( ) :。十宝岛陋( 。) 一r ,】 中删科挫人学商学院0 i 级坝毕业睑义| 9 f j 机组台投资理论中的均值方差模型究 第二章均值一方差模型 2 1 投资决策的均值一方差准则( 即m - v 准则) 我们假设投资者是风险厌恶型的,即具有或不自觉地具有如下形式的效用函 数“( x ) 。 “( r ) 2o ,“”( z ) 0 ( 不等号至少在一点上成立) 这个条件并不严格,然后我们只考虑投资对象证券本身的信息,因为这 些信息是客观的,表征种证券的投资收益率r 的水平和分以的最主要的两个 量是它们的期鞭值e r 和方差口2 ( r ) 。对1 :风险厌恶型投资者而言,只根据实际 的征券收益率的期望值和方差来进行决策,而不是依据“虚无缥缈”的效用函数 来进行决策这样要好决策得多,基于上述的内容,我们假定这些风险厌恶型投 资者的决策规则是:在具有相闻的期望收益率的诸剥t 证券中,总是选择收益率方 差最小的证券;或者在具有同样的收益率方差的诸种证券中,总是选择期望收益 率最大的证券,这就是m v 准则。 现在我们来具体描述一下m v 准则,设证券投资收益率为随机变量r ,其 期望为e r ,方差为仃2 ( r ) 。如果有证券f 和g ,则f 优于g 当且仅当 r ,r 和盯;( 尺) s 盯j ( 月) ( 至少有一个不等号成立) 综观m v 准则,我们不难看出,实际上我们这里已经用投资收益率的方差 来表示证券投资风险了,而且币是这种表匠,我们就可以按照m v 准则,应用 数学规划的方法来对证券进行选择。 需要指出的是,虽然我们在上面提出m v 准则的初衷是基于可操作性而避 开效用函数,但我们要指出,m v 准则并不违反期望效用最大化准则,在某些 条件下,结果总是保持完全致。 中困科拄人学旆! 学院0 i 级倾。卜毕业论史 | 5 f 【机组台投资理论中的均值方差模型研究 2 2 组合投资理论 如果我们同时买或卖某些不同种类和不同收益的证券,我们就构成一个证券 组合。 从证券组台的定义,我们至少可以发现两点:首先,证券组合是个总体概念, 这个总体是由若干个体组成的,其次,这些个体在种类和收益上可能各不相同, 实际上就更广泛的内容来说,我们可以用“组合投资”这个词,而当所有个体均 是证券时,则称“证券组合”:如聚只是债券或股票,则分别称为“债券组合” 或“股票组合”,目前用的最普遍的是“股票组合”。 为什么向证券进行投资要用组合的形式呢? 西方有句谚语洗得好:不能把所 有的鹏蛋放在一个篮子甩,在证券投资的实践中,人们发现,有相当多的投资者 都不愿把其伞椰资会都投放z 【;个别旺券一f :,因为那样做会有较大的风险。 所以人们在投资【卜f ,叫以选j h 一纽m j 不是一种证券来进行投资,当然,这利 选择升:是任意的,而是有特定意向的。选扦哪儿种证券、各种证券所占的比例等, 都是可以应j 伺,“密的数学方法推导而术的,返样选择的结果,可能会大大降低投 资的风险。 从理论上来讲,我们要构造一个含有n 种证券的组合。就是要选择一组系数 x ,、x :,x 。,f t l x ,表示向第j 种蚯券投资的资金总额占整个组合投资的资会数额 的比例,1 二足有: 令r = ( r 一,月。) 7 ,r ,= x ,r ,则根据随机变量的期望和方差的定义, 得到该证券组合收益率的期型值平【j 方差为 e ( r ,) = x f e ( r f ) + 工2 e ( r 2 ) + 一4 - x e ( r 。) 盯2 ( r ,) = e x r 一彤r x x x e x r = 甄 r e r i r e g 7 ) x = 甜= ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 中国科技人学商学院0 1 级硕士毕业论文| 鞋f 机组上台投资理论中的均值- 方差模型研究 这早要注意的是,仃。= 盯, 现在我们来举一个例子。晚明上面两式的应用。 有一个投资者面对着两种股票,第一种股票的期望收益率是 ( ) = 1 0 ,t t ( r , ) = 1 5 ,第二种股票的期望收益率是e ( r 2 ) = 8 ,盯( 也) = 1 2 ; 两种股票收益率之吲的相关系数是o 4 0 。这个投资者把他的钱向这两种股票各投 资一半,这样就构成了一个股票组合。根棚式( 2 2 2 ) 和( 2 2 - 3 ) 。该组合的收益率 的期望值和标准差分别为 e ( r p l = 0 5 1 0 + 0 5 8 = 9 盯( ,。) = 0 52 1 5 2 + 2 0 5 x0 5 x 0 4 x 1 5 1 2 + 0 52 1 2 2 2 = 1 1 3 原来两种股票的标准差分别为1 5 和1 2 ,通过组合,整个投资收益率的 标准差降到1 1 _ 3 ,即风险降低了。 式( 2 2 1 ) 中的x ,通常被称为组合系数或组合权数。一股泌来,组合权数可 讵可负;如果工, o ,则说明我们是在买进第j 利,股票,用句金融术语就是,这 种股票一旨了一个长的位置:如果x , o ,则、既明我们是卖出第j 种股票,用句金 融术语就是卖短,但是无论怎样,式( 2 21 ) 的条件必须满足。 最后,我们来介绍一下市场证券组合( m a r k e t i n gp o r t f o l i o ) 因为它在我们后 面的叙述中要反复用到。 市场缸券组合这一概念,赴i l i j _ i 玛1 :1 9 6 8 年提出的,它是指包括市场上每 一种l :券( 股票) 的总的组合其一 一俅剥t 证券的组台权数,等于浚种证券在市场交 易中尚未清偿部分的价值在市场上全部证券的总价值中所占的比例。在理论上 讲,市场证券组合是风险性证券的理想组合证券,每个“具有高度理性”的投资 者都按照一定的比例持有它。例如,假定某个股票市场有两平【f r 股票,股票a 的 均衡市场价值量为2 5 0 万美元,股票b 的均衡市场价值量为7 5 0 万美元,则显 然 x d = 丽2 5 0 = o 2 5 叶i i 回车_ l 故人学府学院0 l 级侦j 。毕业论史蚰帆l :【含投资删沧中的均值方差摸型研宄 x 。:! ! ! :0 7 5 。 。 7 5 u + 2 ,u 这就意味着所有“具有高度理性”的投资者,均以o 2 5 :0 7 5 = 1 :3 的比例向 a 、b 两种股票进彳亍投资。当然这只是理论上的抽象,在实际生活中找不到这样 一个市场征券组合,人们普遍认为可以来用一些覆盖面比较大的股票价格指数来 代表它。如美幽的标准蒲尔5 0 0 种股票价格指数( s t a n d a r d & p o o r s5 0 0 s t o c k i n d e x ) 和道琼斯价格指数( d o w j o n e sa v e r a g ei n d e x ) 。 2 3 最小方差集 我们在选择最优组合权数时,既考虑到组合的收益,又考虑到组合的风险。 具体来讲,就是在期望收益率给定的情况下,选择方差最小的组合,和在方差给 定的情况下,选择期望收益率最大的组合,f 静者产生了最小方差集,后者产生了 有效集。 我们在f 搿一节已经知道在和e r 已知的情况下,当给定一个x 时,根据 式( 2 2 7 ) 干| 3 ( 223 ) r 就有个相应的盯( 只,) 平e ( r ,) 。但如果给定一个e ( r ,) = r , 那么根据式( 2 2 2 ) x t e r = r 和 j w = 1 ,其中i = ( 1 ,l ,1 ) 显然有许多x 与之相适应,即有许多期望收益率等于r 的组合。在这些组合中, 我们可寻找一个方羞最小的组合,我们把它称为最小方差组合。如果比f 变化, 则将产生新的相应的最小方差组合:这样,当r 连续变化时,则会得到一系列最 小方差组合。我们把由这些最小方差组合所产生的集合,称之为最小方差集 ( m i n i m u mv a r i a n c es e 0 ,通常用m v s 表示。 从这个思路出发,我们不难得到求最小方差集的模型 m i nx 艺 中围科技人学商学院o l 级坝【毕业论史 随机组合投资理沦中的均位方茬模型研究 “ f w :l( 2 3 1 ) l i = ( i , i ,1 ) 现在我们来求解这个模型。作l a g r a n g e 函数,有 = x y _ :x + 五, ( e 尺) 爿一,】+ 厶( f x 一1 ) 故根据l a g r a n g e 条件极值定理有 j o i l :2 z x + 丑i e r + 五2 f :o ( 2 3 _ 2 ) 硝 : 、 丁8 l :e r x 一,:0( 2 3 3 ) 融 、7 百o l :i x 一1 :o ( 2 3 4 ) 融, 7 从( 2 3 2 ) 式得 x :一三( e r ,f ) ( 五。,兄2 ) ,( 2 3 5 ) 而根据( 2 3 2 ) 式和( 2 3 4 ) 式,则有 c e r ,f j ,= ( ,1 ) ( 2 3 6 ) 4 q - ( 2 3 5 ) 式代入( 236 ) 式中可得 一i ( e r ,f ) 7 ( e r ,) ( i , 2 ) ,:( ,1 ) , 注意到矩阵j f i 定和有关因子的阶数,敬二阶1 i i 定矩阵 a = ( e r ,f ) ,( e r ,f ) ( 2 3 7 ) 那么得 ( i ,五2 ) = 一2 a “( ,1 ) 代入( 2 3 5 ) 式有 = z - ) ( e r ,o a 1 ( r ,1 ) ( 2 3 8 ) 此时对应组合的方差为 盯2 ( r ,) = x x x = ( ,0 a 一1 ( ,1 ) ( 2 3 9 ) 上式表达的是,如果假定任意收益率re ( o ,+ m ) ,那么在期望收益率为r 的 幽技人学商学院oj 级f 晚l 。唪业沦立舳机纰台投资圳| 中的均值方蕾摸型研究 众多组合中,按照( 2 3 9 ) 式构造的组合方差最小,其值由( 23 9 ) 式来表示。 如粜以o - 2 ( 或盯) 为横轴,r 为纵轴建立直角坐标系,那么( 2 3 9 ) 式则表示 为抛物线( 或双曲线) ,如下图所示。 图( 2 一1 ) :最小方差集 其,5 1a ,b ,c 兰点表示三种证券,则矗圭小方差集就是图中d g e 所示,如采不 一u 以卖矩,则最小方差集就是蚓r f ic q z a 所示在q 点与z 点右侧,对相同的 收益率r ,不可以卖短条件下的方差明显火1 i 可以卖空条件下的方差,这是显然 的,因为刁;可卖短是在模型中加了一个约束条件z 0 ,优化效果自然比较差。 9 牛网科技人学商学院0 1 级颁l 毕业论文随机纰合投资理论中的均值方差模型研究 第三章随机组合投资理论 3 1 股票价格的行为模式 如果某变量的价值以某利不确定的方式随时间变化,则称浚变量遵循某种随 机过程( s t o c h a s t i cp r o c e s s ) :随机过程分为离散时间( d i s c r e t et i m e ) 衣l 连续时间 ( c o n t i n u o u st i m e ) 两种。一个离散时间随机过程是指标的变量值只能在某些确定的 时间点上变化的过程,雨一个连续时间随机过程是指标的变量值的变化可以在任 何时刻发生的过程。随机过程也剐分为连续变量( c o n t i n u o u sv a r i a b l e ) 和离散变 量( d i s c r e t ev a r i a b l e ) 两种过程。在连续变量过程中,该变量在某一范围内可取任 意值,而在离散变量过程中,变量只可能取某些离散值。 实际上我们观察到的股份并不是按照连续变量、连续时问过程来进行的。股 票价格被限制为离散值( 通常为l 8 美元的倍数) ,而且只有当交易所_ 丌市时才能 观察到股价变化。但是在大多数应用中可以看到连续变量、连续时间过程是一 靴有用的模型。 3 1 1 马尔科夫性质 j 尔科犬过程( m a r k o vp r o c e s s ) 是一种特殊类型的随机过程。这个过程说明只 有变鞋的当 j u 值与未来的预测有关变嫩过去的历史和变量从过去到现在的演变 方式则与未来的预测不相关。 人们通常假设股票价格遵循马尔科夫过程。假设现在i b m 股票价格为$ 1 0 0 。 如果股价遵循马尔科夫过程,那么一个星期以前、一个月以前、或是一年以前的 股价并不会影响我们对将来的预测,唯一相关的信息就是股票的现价为$ 1 0 0 。对 将来的预测是不确定的,必须以概率分布的方式表达。马尔科夫性质隐含了在将 来任何特定时刻股价的概率分布仅仅取决于股票当前的价格$ 1 0 0 。 股价的马尔科夫性质与弱型市场有效。肚( t h ew e a kf o r mo fm a r k e te f f i c i e n c y ) 相一致,也就是说,一种贩票的现价已经包含了所有信息,当然包括了所有过去 阿价格记录。如果弱型市场有效性不正确的话,技术分析师可以通过分析股价的 过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益。事实上,几乎没有什么证据表明 巾j 日科技人中崩学院o i 级坝i j 毕业t 仑支随机组合投资艇沦中的均值有差筷型t i j d ( , 他们能够做到这点。 丁i 是市场竞争保证了弱型1 h 场有效性成立。有许多许多投资者紧刚着股票市 场并试图从中获利,这种实际情况导致了在任何指定时刻的股价包含了以往价格 的信息。假设已经发现以往股价中某种特殊模式总是给出6 5 的未来价格上涨机 会。这种方式旦被观察到,众多投资者就会购买股票,从而股票的需求就会突 然增加。其结果为股价骤然上涨,过去观察的效应将失效。任何可盈利的交易机 会都会如此。 3 1 2 维纳过程( w i e n e rp r o c e s s e s ) j l i 价行为模型通常用著名的维纳过l ( v 。i e n e rp r o c e s s e s ) 来表达。维纳过程是 马尔科夫随机过程的一种特殊形式。物理学中这种观察用于描绘某个粒予受到大 量小分于碰撞的运动,有时称为稚朗运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 。 我们业理解遵循维纳过程f f j 变量zf i j t :为,可以考虑在t , i b j i i j | 1 :j j 隔上变量z 值的变化。设一个小的时间问隔长度为,定义止为在,时i h j 内z 的变化。要 使z 遵循维纳过程,& 必须满足两个基本性质: 性质1 :a z 与m 的关系满足力j f i ! 式: a z :, 其r h 为从+ , j i4 = f t - 正态分, t l i ( t - t l j 均值为0 、标准差为1 0 的正态分d i s ) c - b 取的一个随 机值。 性质2 :对于任何两个不 , + , 1 i l i j + f + t j l l + j 隔,& 的值干日互独立。 从性质l ,我们得到血本身具有正念分机, 位的均值= 0 垃的标准差= , 岔的方差= a t 性质2 则隐含z 遵循马尔科夫过程。 下面我们考虑在一段相当长的时问t 中z 值的增加。我们将它表示为z ( t ) 一z ( o ) 。这可以被看作是在n 个k 度为出的小时间间隔中z 的变化的总量,这里: 中周科挫人学商学院o l 级颁j 二毕业论立| 5 f i 机组合投资脞论中的均值- 方差模型 i j f 究 :三 , 因此, :( 丁) 一:( o ) :窆厄 其中g = 1 , 2 ,) 是从标准正态分布的随机抽样值。从性质2 中可知 s ,是相互独立的,从方程中可以得到z ( t ) - - z ( o ) 是正态分布的, z ( t ) - - z ( o ) 酗j 均值= o z ( t ) 一z ( o ) 的方差= t z ( t ) - - z ( 0 ) 的标准差= 7 、 因此,在任意长度为t 的时问间隔内,遵循维纳过程的变量值的增加具有 均值为o 、标准差为丁的j 下态分布。我们现在很清楚看到,为何位被定义为与 ,的柔彰 而不足占与,的乘移 。对于干h 丑:独立的矿态分布方差具行列加性, 而标准差刁i 县有可加性。很自然这样定义随机过程就可以使变量变化的方差( 而 不是标准差) 与所考虑的时| 日j 段的长度成比例。 当,寸o 时,以上描述的z 过程的极限就是维纳过程: 出= e 4 a t ( 3 1 1 ) 3 1 3 一般化的维纳过程 到现在为止我们讨论的基本维纳过程漂移率为0 ,方差率为1 0 ,漂移率( d r i f t r a t e ) 为0 ,意蛛着在未来任意时刻z 的j 5 i :j 望值等于它的当前值。方差率为1 0 意 味着在长度为t 的段时间段后z 变化的方差为1 o 7 。变量x 的一般化维纳 j 据( g e n e r a l i z e dw i e n e rp r o c e s s ) r 田如定义如下: d x = a d t + b c z ( 3 1 2 ) 其中a 和b 为常数。 理解方程( 3 1 2 ) 较好的方法是分别考虑方程右边的两个组成部分。a d t 项说 明了x 变量单位时问的漂移率期望值为a 。如果缺省b d z 项,方程变为 d x = a d t 中田h 技人学f f :i 学院0 i 级领 j 毕业论史 1 9 f f 帆纰台投资理论中的均值方茬模型研究 其t 为x 在零时刻的位。经过长度为t 的时间段后,x 增加的值为a t 。 方程( 3 1 2 ) 右边的6 出项可被看作为| j f 寸加到x 轨迹上的噪声或波动率。这些噪声 或被动率的值为维纳过程的b 倍。短时问,
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