（运筹学与控制论专业论文）引入随机费率因素的风险模型破产概率的研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本文在经典风险模型的基础上，引入随机费率因素，建立了几类风险模型： 保费率遵循交替更新过程的风险模型，马氏调制费率下的更新风险模型，将排队 理论考虑在内的s p a r r ea n d e r s o n 风险模型。本文主要研究了这几类风险模型的调 节系数，最终破产概率及生存概率，破产概率与保费率之间的关系以及排队系统 中等待时间与破产概率函数的关系等问题。 首先在连续时间的情况下，对所建立的保费率遵循交替更新过程而索赔总额 过程是复合泊松过程的风险模型进行研究，对所建模型的基本性质进行讨论，得 到了其盈余过程的平稳增量性和风险过程的统计特征；利用鞅方法，得到了新模 型下破产概率所满足的一般公式和l u n d b e r g 不等式；根据保险公司期望收益与破 产概率负相关的一般性原则，得到了最优阈值条件下破产概率的最小上界，并通 过算例分析了破产概率上界与初始资本，保费率以及时间阈值的关系。 其次考虑保费率交替变化的马尔科夫调制风险模型，研究保费率变化为两状 态平稳遍历马氏过程下该模型的生存概率，推导出具有平稳初始状态分布的生存 概率满足的积分一微分方程；通过l a p l a c e 变换对该方程的解进行了讨论，并利用 方程组系数矩阵的非负特征根得到了初始资本为零时生存概率的精确表达式：作 为特例，考虑了索赔额为指数分布下生存概率的具体表达式。 最后在s p a r r ea n d e r s o n 风险模型的基础上，通过引入一个排队模型，推导了 该排队模型中等待时间的极限分布与风险模型中破产概率的关系：将模型中保险 公司的亏损过程用一个随机游动过程描述，利用鞅方法和停时理论得到了保险公 司破产概率的一个上界；根据模型的特点给出了一般情形下终极破产概率所满足 的递归积分方程并采用数学归纳法导出了一个与排队模型相比较更为准确的破产 概率上界，并给出了在索赔额服从指数分布情形下破产概率的精确表达式。 关键词：风险模型；破产概率；生存概率；鞅；停时：积分一微分方程；l a p l a c e 变换：排队模型 引入随机费率因素的风险模型破产概率的研究 富鲁晕穹詈詈鼍= 皇阜鲁皇詈墨葺皇置i = i l lr,e m a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，i n t r o d u c i n gt h es t o c h a s t i cp r e m i u mr a t e ，w ec o n s i d e rs e v e r a ln e w m o d e l sb a s e do nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l r i s kr e s e r v em o d e lo nc o n d i t i o nt h a t p r e m i u mr a t ei s a l la l t e r n a t i n gr e n e w a lp r o c e s s ，r e s e a r c ho fs u r v i v a lp r o b a b i l i t yi n m a r k o v m o d u l a t e dr i s km o d e lw i t ha l t e r n a t e l yp r e m i u mr a t e ，a n dr e s e a r c ho n r u i n p r o b a b i l i t y o fi n s u r a n c eb a s e do n q u e u i n gt h e o r y w em a i n l ys t u d y t h e a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，t h eu l t i m a t e r u i np r o b a b i l i t ya n ds u r v i v a l p r o b a b i l i t y , t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er u i np r o b a b i l i t ya n dp r e m i u mr a t e ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h el i m i td i s t r i b u t i o n so fw a i t i n gt i m ea n dr u i nf u n c t i o n f r i s t ，u n d e rt h ec o n d i t i o no fc o n t i n u o u st i m e ，w ec o n s i d e rt h er i s km o d e l w h i c h t h ep r e m i u mr a t ei sa na l t e r n a t i n gr e n e w a lp r o c e s sa n dt h eo c c u r r e n c eo fc l a i mi sa h o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s a n a l y z i n gt h ep r o p o s e dm o d e l ，w eo b t a i nt h es t a t i o n a r y i n c r e m e n tp r o p e r t i e so fp r o f i tp r o c e s sa n dt h es t a t i s t i c a lc h a r a c t e ro fr i s kp r o c e s s ；b y m a r t i n g a l ea p p r o a c h ，t h ef o r m u l ao ft h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h el u n d b e r gi n e q u a l i t y a r ed e r i v e d ；i na c c o r d a n c ew i t ht h en e g a t i v e l yc o r r e l a t e dr e l a t i o nb e t w e e ne x p e c t e d p r o f i ta n dr u i np r o b a b i l i t y , t h es m a l l e s tu p p e rb o u n d a r yo fr u i np r o b a b i l i t yu n d e r o p t i m a lt h r e s h o l dc o n d i t i o n i so b t a i n e d ，a n db yt h ec o n c r e t ee x a m p l e ，t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h er u i np r o b a b i l i t y , t h ei n i t i a lc a p i t a l ，p r e m i u mr a t ea n dt i m et h r e s h o l di s d i s c u s s e d s e c o n d l y , w ec o n s i d e ram a r k o v - m o d u l a t e dr i s km o d e lw i t ha l t e r n a t e l yc h a n g i n g p r e m i u mr a t e ，w h e np r e m i u mr a t ei sc o n t r o l l e db ym a r k o vp r o c e s sw i t ht h et w o s t a t e ， t h ei n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ns u r v i v a lp r o b a b i l i t i e sa r eo b t a i n e d ；t h ee q u a t i o n s o fl a p l a c et r a n s f o r m so fs u r v i v a lp r o b a b i l i t yi sd i s c u s s e d ，a n da c c o r d i n gt ot h e n o n - n e g a t i v eq u a l i t yo ft h er o o to ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no nc o e f f i c i e n tm a t r i x ， e x p l i c i tf o r m u l a ef o rs u r v i v a lp r o b a b i l i t i e sa r eg i v e nw h e nt h ei n i t i a lr e s e r v ei sz e r o ； w h e nt h ec l a i m sa r ee x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d ，w eo b t a i nt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n so f s u r v i v a lp r o b a b i l i t i e s l a s t l y , w er e s e a r c hr u i np r o b a b i l i t yo fi n s u r a n c eb a s e do nt h es p a r r ea n d e r s o n r i s km o d e l c o n s i d e r i n gr u i np r o b a b i l i t yo ft h er i s km o d e la n di n t r o d u c i n gaq u e u i n g m o d e l ，w ed e r i v et h ee q u i v a l e n tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h el i m i td i s t r i b u t i o n so fw a i t i n g t i m ea n dr u i nf u n c t i o n ；w h e nt h el o s sp r o c e s so fi n s u r a n c ec o m p a n yi st r e a t e da sa r a n d o mw a l kp r o c e s s ，w eo b t a i nt h eu p p e rb o u n do fr u i np r o b a b i l i t yi nt e r m so fs o m e t e c h n i q u e sf r o mm a r t i n g a l et h e o r y ；a c c o r d i n gt ot h ef e a t u r eo ft h er i s km o d e l ，t h e r e c u r s i v ea n di n t e g r a le q u a t i o nf o rt h er u i np r o b a b i l i t yi so b t a i n e d i np a r t i c u l a r , u n d e r h 硕十学位论文 t h em a t h e m a t i c a li n d u c t i o n ，w eg e ta nu p p e rb o u n do fr u i np r o b a b i l i t yw h i c hi s s m a l l e rt h a nt h a ti nt h el u n d b e r gi n e q u a l i t y ，a n dn u m e r i c a le x a m p l ew i t he x p o n e n t i a l c l a i mi sg i v e n k e yw o r d s ：r i s km o d e l ；r u i np r o b a b i l i t y ；s u r v i v a lp r o b a b i l i t y ；m a r t i n g a l e ；t h e s t o p p i n gt i m e ；t h ei n t e g r a l - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；l a p l a c et r a n s f o r m ； q u e u i n gm o d e l i i i 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律后果由本人承担。 作者签名：昏忑、走日期：z 口f o 年多月午日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 白乏、久 癸欲子 日期：2 0 1 0 年b 月午日 日期：沙，口年石月) 日 硕士学位论文 第1 章绪论 风险是保险的本质，保险是将投保人的风险转移给保险公司的一种机制。风 险受各种随机因素的影响，需要考虑建立相应的数学模型。从盈余的角度看，保 险公司一方面有连续不断的保费收入，另一方面则是不断地会有损失发生并进行 理赔支付，如果在某一时刻发生一次很大的理赔，或是连续的小理赔导致总量巨 大，保险公司的盈余就有可能出现小于零的情况，这就意味着保险公司面临“破 产 。破产概率作为综合保费和索赔过程的保险公司稳健性的一个指标，是风险管 理的一个有用工具。破产概率高意味着保险公司不稳定：这时保险人必须采取诸 如进行再保或者提高保费等措施，或者还可以设法吸收一些额外的资本金。破产 概率的计算是精算学的一个经典的问题，它对保险公司设计相应的财务预警系统 以及保险监管部门设计某些监管指标系统等问题有直接的参考与指导作用。 1 1 风险理论综述 1 1 1 风险理论的产生与发展 风险理论是当前精算和数学界研究的热门话题，作为保险精算的一部分，它 以风险事件为研究对象，以概率论和数理统计知识为基础来构造保险经营中的风 险模型，从而来研究风险发生的索赔事件及索赔额的分布规律、保险人承担风险 的平均损失及其分布规律、保险费、初始准备金、破产概率与调节系数等具体的 风险理论问题。近年来，风险理论的研究十分迅速，研究问题的范围也逐渐扩大， 其中破产概率的计算和估计一直是风险理论的核心内容，其研究溯源于瑞典精算 师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，至今已有近百年的历史。风险理 论中破产论的研究具有很强的实际应用背景，同时在数学上也具有其概率论上的 浓厚兴趣。如：一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这 篇论文中提出的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格 化是以h a r l dc r a m e r 为首的瑞典学派完成的口。5 1 ，正是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作 奠立在坚实的数学基础之上的。与此同时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。 现已公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作为经典破产理论奠定了坚实的基础。 g e r b e r 是c r a m e r 之后，当代研究破产理论的国际领先学者。随着随机过程、 随机点过程等理论的发展，g e r b e r 随1 ，g r a n d e l l 口1 以及a s m u s s e n 阳1 等人系统的论述 了风险理论的思想。其后，波兰的t o m a s zr o l s k i 等人在其著作中阳1 对这一理论进 行总结推广完善，至此风险理论的研究进入了相对成熟的阶段。 风险理论中最令人瞩目的是方法论的改进。w i l l i a mf e l l e r n 们用更新方法 证l u n d b e r g - - c r a m e r 逼近，h a n sug e r b e r 1 用鞅方法证明了l u n d b e r g 不等式。 引入随机费率冈素的风险模型破产概率的研究 f e l l e r 和g e r b e r 弓i 入的更新论证技巧和鞅证明技巧已成为经典风险理论的主要数 学工具，近期大量文献对经典风险模型作了不同程度的推广，但所使用的方法基 本上不外乎这两种。 由于方法上的改进，近几十年来，风险理论得以快速发展。一方面，对经典 风险理论以多视角作了深入探讨，得到了一些经典风险理论的重要结果，如破产 时赤字、破产前瞬时盈余以及著名的b e e k m a n 卷积公式等；另一方面，对经典风险 模型进行更符合经营实际的推广。 1 1 2 风险理论的介绍 风险理论作为保险数学( 也称精算数学) 的一部分，其中的风险模型是处理保 险业务的随机模型，描述通常如下1 ： 【，o ) 一比+ c s 。 其中u o ) 表示时刻t 时保险公司的盈余额，“为初始盈余，c 。表示t 时刻时总 保费收入，墨表示时刻t 时总索赔额。如果在时刻t 盈余u ( t ) 为负值，我们则称破 产发生。 按照总理赔的方式划分，风险模型可以分为个体风险模型、短期聚合风险模 型和长期聚合风险模型三种。个体风险模型总理赔是以每张保单为研究对象，而 聚合风险模型则以每次理赔为研究对象，理赔发生过程由一个点过程来刻画，保 险公司支付给客户的理赔额序列被看作是一列随机变量，目前讨论的主要是聚合 风险模型。按照保费的收取方式划分，风险模型可以连续模型和离散模型。一般 地，我们主要考虑后一种划分方式。连续模型采用连续收费的原则，即以时间为 连续变化的连续地收费；离散模型采取离散收费的原则，即以一定时间长度为收 费的单位区间，在每个单位区间只收取一次固定的保费。目前讨论最多的连续模 型是复合p o s s i o n 风险模型，又称经典风险模型；讨论最多的离散模型是复合二项 风险模型。 关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究。在风险理论中，破产概率( 与 其相对应的是生存概率或称为生存函数) 是一个主要的研究问题。破产概率表示一 个风险企业破产风险的大小，它是对风险的一种数字度量。人们当然是希望破产 概率越小越好，这就需要找出估计破产概率的方法。一般来讲，找出破产概率精 确的并且方便计算的解析表达式( 极特殊的情况除外) 是相当困难的，这就迫使我 们去研究破产概率的性质、寻找破产概率的界。从实用观点来讲，足够精确的破 产概率上、下界具有一定的实际意义。直观上看，当公司初始资金较大时，其破 产概率应相对变小。反之，则其破产概率应相对变大。但如果无论初始资金有多 大，公司的破产概率都很大，那么就不应该选择这样的风险投资。所以有很多学 者这样来描述风险理论，称风险理论主要处理保险事务中的随机风险模型，讨论 2 硕士学位论文 其在有限时间内的生存概率以及最终破产概率等问题。 1 1 3 风险理论的研究方法 风险理论的发展趋势是其应用的数学工具越来越新，越来越复杂，这使得风 险理论研究者无一例外具有很强的数学背景。当今作为风险理论的研究者如果不 懂随机分析、鞅论、马氏过程的相关知识，对于相关著作和文献只能望文兴叹。 在应用风险理论研究不同应用领域的实际问题时，人们根据具体问题的要求和特 点采用了不同的研究方法。这些方法主要分为两大类。 一类方法是从矩的观点出发，目的主要是基于由观测数据估计得到各种不同 的矩函数作模型拟合，这样母泛函、l a p l a c e 变换和矩密度自然就成为有力的研究 工具。r a m a k r i s h n a n 为了研究随机点过程的高阶相依性而引入了矩密度的概念并 考察了它们的性质n 。后来r a m a k i i i s h n a n ，j a n o s s y ，s r i n i v a s a n ，m o y a l ， w e s t c o t t 和m a c c h i 等人在这一方面进一步作了许多工作。 另一类方法是从随机强度出发描述过程模型。概略地讲，随机强度反映了在 任一固定时刻，当已给过程的历史信息时，过程在未来时刻发生新的事件的可能 性。q u e n o u i l l e ( 1 9 4 9 ) 引入了重泊松过程( 也称为c o x 过程) ，这是具有随机强度的 一类特殊点过程n 羽。1 9 7 5 年s n y d e r 给出了许多具有这种随机强度的随机点过程的 例子n 引。b r e m a u d ( 1 9 7 2 ，1 9 7 4 ，1 9 8 1 ) 利用现代随机过程的一般理论( 特别是近代 鞅论) 对过程的随机强度作了系统而严格的描述n 4 。嘲，从而使风险理论的研究以及 它的应用和统计分析的研究进入了一个新的阶段。 1 2 经典风险模型的研究现状 风险理论主要研究和处理与保险业务有关的各种随机风险模型。传统上按保 费的收取方式划分，把经典的风险模型分为连续时间模型和离散时间模型。 对于离散时间模型的研究大都集中在完全离散复合二项风险模型上，例如 g e r b e r n 刀和s h i u n 町以不同的定义方式考虑该模型下的最终破产概率，w i l l m o t n 9 1 则是利用概率母函数给出该模型下有限时间内生存概率的清晰表达式，并揭示其 与索赔为混合p o i s s o n 分布时的复合p o i s s o n 模型破产概率之间的联系。d i c k s o n 心町 用离散时间模型去逼近连续时间模型，得到许多相应结果。同时以几何索赔量的复 合二项风险模型为例来讨论破产相关问题。p i c a r d 乜1 1 等用多项式推广a p p e l l 结构 得到任意算术索赔分布下破产时刻的各阶矩性质。成世学和伍彪乜2 1 研究了生存到 固定时刻刀( 刀20 ) 并且在此时刻盈余为某数x ( x 之0 ) 的概率。他们都用相对简单的 方法得到了许多漂亮的结果，这些离散时间下的结果不仅有自己独立的意义，而 且可以使我们更好的理解连续时间模型中出现的类似结果。 连续时间模型是以连续变化的量连续地收取保费。风险理论中大部分结论都 3 引入随机费率冈素的风险模型破产概率的研究 是关于连续时间模型的，其中连续时间经典风险模型是复合p o i s s o n 模型( 即 l u n d b e r g - c r a m e r 经典风险模型) 其表述如下： 令( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，模型中的所有随机变量和随机过程均定 义在此概率空间上，令 r ( t ) - - - u + c t - - 薹墨卸 其中r q ) 是保险公司在时刻f 的盈余，h 是初始资本，c 是公司每单位时间收取的 保费，x 。表示第k 次的理赔额，是非负独立同分布的随机变量序列，它们的分布 函数为f ) ，记= e x 。】一f ( 1 一f ( x ) ) d x 。o ) 表示至时刻f 为止发生的理赔次 数，是以a 为参数的p o i s s o n 过程，且o ) 与x t 相互独立。记s o ) 。薹以，它表 示至t 时刻为止的理赔总额。于是有g s q ) 】= 占【o ) 忙【x 。】= 枷。保险公司为了 稳健经营，要求c t e s q ) 】；( c a l , ) t 0 ，也就是假定相对安全负荷系数0 一 p 一1 0 在相对安全负荷系数条件下，并不排除在某一瞬时，盈余有可能为负值，这 时称保险公司“破产 ，记z 为保险公司首次破产的时刻，简称破产时刻，即 t = i n f t ：t o , r q ) 0 ， 扰动项w q ) 则是b r o w n 运动。假定 o ) ，t 町和 s o ) ，t 乏吣是相互独立的。 此时破产概率 f ， ) 可分解为：妒 ) a 妒。 ) + 妒， ) 该破产概率的分解式是由d u f r e s n e 和g e r b e r 心刚提出的。随后，g e r b e r 和l a n d r y 盥7 3 在此基础上考虑了贴现罚函数，得到了贴现罚函数满足的更新方程。 ( 5 ) 随着保险业的发展，保险公司形成了巨额的资金。在西方发达的资本市 场，雄厚的资金实力和科学的投资管理使得保险公司成为金融市场中举足轻重的 机构投资者。科学地预测保险公司未来的保费收入、可能发生的理赔额以及投资 带来的收益和损失，进而估计保险公司的破产概率，已成为保险公司面临的重要 课题。因此考虑投资收益情况下的破产论应运而生，并且逐渐演变成风险理论中 很重要的一个分支。 如在经典风险模型下，保险公司进行无风险投资，有一个常值利息力，。设 “1 u q ) ；c t 一罗x 。，则保险公司的财富过程r ( t ) 可以这样描述： 局 尺o ) = e x p ( r t ) ( u + e x p ( - r s ) d u ( s ) ) 6 硕+ 学何论文 同样新模型下的生存概率定义为： 妒( “，丁) 一p r o ) 0 ，对所有tsr ) ，0 r c 2 ；5 为保险 公司设定的一个时间阈值； o ) l ：。表示( 0 ，t 】内理赔到达的总次数， 1 ( f ) l 。表示 ( o ，t 】内理赔到达间隔时间小于等于s 的次数， ：( f ) ) f ：。表示( o ，t 】内理赔到达间隔 时间大于s 的次数， o ) x ；。， 1 p ) l 。和 2 0 ) l 柚分别是强度为a ， 和九的 p o i s s o n 过程；霉表示第i 次理赔到达的间隔时间，t = 仍难。是取值于( 0 ，0 0 ) 上的 独立同分布随机变量序列，其分布函数为f ，且e 彳一p 。 + 0 0 ；l 表示每j 次发 生理赔的索赔额，y = ) 暑，是取值于( o ，) 上的独立同分布随机变量序列，其分 布函数为g ，且必= 段 + 。本章假定r ，l ( f ) ，1 0 ) ，2 0 ) 相互独立。 根据模型定义，可见s o ) 2 c 1 薹五+ c z 薹五+ n z ( t x q c 2 ) s 一善匕为保险公司 在时刻f 的盈利过程。 本章中以瓦= i n f ( t ：r ( f ) f ) ；p n ( t ) = 阱一e 一，因此瓦具有均值为r 1 的指数分布。 现在p 匝 ， = e e t 2 f i t j 】，然而 p r 2 f l 瓦一j 1 ) 5 p ( j l ，h + f 】中有。个事件l 瓦；j 1 1 ) = p q ，h + f 】中有卟事件) ( 由独立增量性) = p ( 0 f 】中有0 4 事件)( 由平稳增量性) 上式表明疋与互相互独立，疋也是一个均值为r 1 的指数随机变量，重复同样 的论证可证明引理2 3 1 。 f t “l 定理2 3 1 若p ) p ( a ) ，则1 0 ) = ，( 瓦。) p ( x ( 1 一p 咖”，n 2 0 ) = ，( 和，) 1 0 硕七学位论文 一p ( a e 墙) ，且n 。o ) 与n e ( t ) 是相互独立的随机变量，其中p ( ) 表示p o i s s o n 分布， ，( ) 为示性函数。 证明 由所建模型，l ( f ) 4 善亿”) n 2 ( t ) 。善k 叫，则对- ( f ) ，由引理 2 3 1 得到 p ( ，( 五甜) ；1 ) = 尸( is s ) 2 f o a e 一勿d y = 1 一e 一知，j p ( ，( 五。) 一o ) = 尸( 1 s ) = e 一知，即 随机变量乇叫服从参数为1 一p 也的0 - 1 分布。由全概率公式得 p ( l ( f ) 一九) = p ( 1 0 ) ，以i n ( t ) = m + 刀) p ( ( f ) 一棚+ 厅) 。磊p ( 荟k 矿n ) p ( ( f ) = = m - t - n ) 根据二项分布与o - 1 分布的关系知随机变量善乇。) 服从二项分布 b ( m + 咒，1 一e 如) ，因此 她m 炉蠢f 卜m 一知躁 ，e 一知f 丝g 二! ：2 r 专( 丝：；e 一知f 丝g 二曼：! ! e 船，n n ! 知 m !n ! ：e 州k 知) 坦g 二! ：遁 故1 1 3 f ) = 甜) 是强度为m ( 1 一e 咖) 的p 。i s s o n 过程。 而对2 0 ) ，k 叫服从参数为p 抽的o - 1 分布，则2 ( f ) = ，) 是强度为舭山的 p o i s s o n 过程。再证1 0 ) 与2 0 ) 的相互独立性，由于 p ( 1 (