（运筹学与控制论专业论文）不连续动力系统的渐近行为及其应用.pdf

y 。9 9 5 5 4 8 婴型盔堂苎圭堂垒望奎 一 摘要 不连续动力系统的渐近行为及其应用 运筹学与控制论专业 研究生杨志春指导教师徐道义教授 本文研究一类不连续微分动力系统脉冲动力系统的渐近行为，以及它在神经网 络、种群生态系统和混沌控制上的应用 第一章涉及具有脉冲的无穷维动力系统的渐近性质首先，通过估计脉i 中型c a u c h y 矩 阵并获得系统的拟不变特征，找到系统轨道随其参数变化的代数关系，从而给出此类脉冲 泛函微分方程的吸引集、吸引盆和渐近稳定域的存在范围进而，通过建立脉冲泛函微分 不等式，并构造一个按段连续函数的b a n a c h 空问和剥用不动点原理，讨论一类非自治脉冲 泛函微分方程周期解的存在唯一性和全局指数稳定性最后，利用半群理论和矩阵的谱半 径性质，给出一类含脉冲的偏泛函微分方程的不变集和吸引集 第二章研究几类脉冲时滞神经网络的稳定性和稳定化问题首先讨论具有脉冲和时 滞的h o p f i e l d 型神经网络模型的指数稳定性然后研究由测度微分方程描述的神经网络模 型，获得一致稳定、渐近稳定和指数稳定的结果最后我们讨论脉冲c o h e n - g r o s s b e r g 时 滞神经网络模型的指数稳定性和脉冲稳定化问题我们采用的主要方法是通过引入m 一锥 的概念和建立一系列脉冲时滞微分不等式 第三章研究两类具有脉冲效应的竞争系统和捕食系统的动力学行为首先，利用拓扑 度方法( m a w h i n 连续性定理) 并结合同伦不变性质，以及利用分段l y a p u n o v 泛函方 去，讨论 具有脉冲效应、反馈控制和无穷时滞的竞争系统的正周期解的存在性和全局渐近稳定性 其次，对于具有脉冲效应和h o l l i n gi i i 类功能反应的捕食系统利用脉冲比较原理和脉冲 型b a r b a l e t 5 l 理，得到系统的持续生存性，正周期解的存在性和全局吸引性 第四章讨论具有时滞的混沌系统的脉冲控制问逮首先，通过建立具脉冲和时滞的微 分比较定理讨论一类普遍意义的时滞混沌系统的脉冲镇定和脉冲同步问题，并获得实 现脉冲控制的一些具体步骤然后，通过估计脉冲c a u c h y 矩阵，讨论具有时滞的关联涡 沌大系统的分散脉冲镇定问题最后，通过扩展关于时间混沌的方法，结合c a u c h y 不等式 和p o i n c a r e 不等式，讨论一类含时滞的时空混沌系统的脉冲镇定和同步化问题 美键词脉冲微分方程、泛函微分方程、偏泛函微分方程、神经网络系统、捕 食一食饵系统、竞争系统、混沌系统、稳定性、渐近稳定域、吸引集( 笳) 、不变集、周期 性、持久生存性、功能反应、反馈控制、脉冲控制、脉冲l 司步 四川大学博士学位论文 a b s t r a c t a s y m p t o t i cb e h a v i o r so f d i s c o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m sa n di t sa p p l i c a t i o n s m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c h a n dc y h a m e t i c s a u t h o r ：z h i c h u ny a n gs u p e r v i s o r ：d a o y ix u t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ha s y m p t o t i cb e h a v i o r sf o rac l a s so f d i s c o n t i n u o u s 由，n a m i c a l s y 曲陷一i m p u l s i v ed y n a m i c a ls y s t e m s ，a n di t sa p p l i c a t i o n s t on e u r a ln e t w o r k s ，p o p u l a t i o n s y s t e m sa n dc h a o t i cs y s t e m s 丑l c h a p t e r l w e d i s c u s s t h e a s y m p t o t i c b e h a v i f o r i m p u l s i v e f u n c t i o n a l ( p e r a a o d i f f e r e n - t i a le q u a t i o n s f i r s t l y , w eo b t a i ns o m ec r i t e r i at od r a m m i n et h ea t t r a c t i n gs e ta n da 珩a c t m gb a s i n b ys o m em e t h o d so f m o d e ma n a l y s i s t h e n , t h ee x i s t e n c ea n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f i m p u l s i v e n o n l i n e a r f u n c t i o n a ld i 丘h e 岫le q u a t i o n s b y u s i n g t h a i m p u l s i v e d e l a y i n e q u a l i t i e s a n d i n t r o d u c e ab a n a c hs p a c ep q l a s t l y , w ed i s c u s st h ei n v a r i a n ta n da t t r a c t i n gs e t so f oc l a s so f i m p 岫i v e p a r t i a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i n c h a p t e r 2 ，b y i n t r o d u c i n g m - c o n e a n d d e v e l o p i n g t h e i m p u l s i v e d i f f e x _ e n t i a l i n e q u a l i t i e s ， w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h es ；t a b i l i t yf o rs o m en e u r a in e t w o r k sw i t l ld e l a y sa n d i m p u l s e s ，i n c l u d i n gh o p f i e l dt y p en e u r a ln e t w o r k 3 c o h a n - o r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sa n dt h e n e u r a ln e t w o r k sd e s c r i b e db y m m d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ef i r s td i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dg l o b a la s y m p t o t i c e ls t a b i l i t yf o rl o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i v es y s t e m sw i t hf e e d b a c kc o n t r o l s 。i m p u l s i v ee f f e c t sa n di n f i n i t ed i s t r i b u t e d d e l a y sb ya p p l y i n gt h em a w h i n sc o n t i n u o u st h e o r e m dt h el y a p u n o vf u n c t i o n a la p p r o a c h a l s o ，b yt h ei m p u l s i v et y p eb a r h a l e tl e m m aa n df f n p u l $ i v ec o m p a r e dm s u l t ，w ei n v e s t i g a t et h e p e r s i s t e n c e ，t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fh o l l i n g - h it y p ep r e d a t o r - p r e y s y s t e m sw i t hi m p u l s i v ee f f e c t s i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s si m p u l s i v ec o n t r o lf o r t h es t a b i l i z a t i o na n ds y n c h r o n i z a t i o no f s o m e c h a o t i cs y s t e m si n c l u d i n gd e l a y e dc h a o t i cs y s t e m s ，l a r g e s c a l ec h a o sa n ds p a t i o t e m p o r a lc h a o t i c s y s t e m s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p a r t i a l f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n e u r a ln e t w o r k s ，p r e d a t o r - p r a ys y s t e m s ，c o m p e t i t i v es y s t e m s ， c h a o t i cs y s t e m s ，s t a b i l i t y , a s y m p t o t i c e ls t a b l er e g i o n 。a t t r a c t i n gs e t s ( b a s i n ) ，i n v a r i a n ts e t s ，p e n o d i c i t y , p e r s i s t e n c e ，f e e d b a c kc o n t r o l ，i m p u l s i v ec o n t r o l ，i m p u l s i v es y n c h r o n i z a t i o n 一i i 四川大学博士学位论文 引言 动力系统源于1 9 世纪末p o i n c a m 的工作。可以分为由微分方程描述的连续动力系统和 由差分方程描述的离散动力系统近二十年来。一种新型动力系统脉冲动力系统引起 人们的关注，它既不属于纯粹的连续动力系统，也不是离散动力系统，而是表现出二者的综 合特祉该系统口j 以描述这样的现象：在许多连续渐变过程或系统中。由于诸多原因， 在极短的时间内会遭受突然的改变或干扰，从而使系统状态发生跳跃，称之为脉冲效应 ( 由于变化时间段往往可以忽略不计。其突变或跳跃过程可看作在某时刻瞬时完成，该 时刻称作脉冲时刻) 这种脉冲现象在自然界中是广泛存在的，例如，药剂学中的定时给 药的过程种群生态系统的定时捕捞或补给，神经系统中的外部刺激，电路系统中开关 的闭合，通信中的调频系统，经济学中的一些最优控制模型。机械运动过程或其它振动 过程突然遭受的外加强迫力( 如打击或碰撞) ，等等，都可能导致脉冲现象的发生这类 现象在脉冲跳跃时刻的规律可由差分形式描述，在非脉冲时刻可由微分形式刻画，从而构 成一般形式的脉冲动力系统，它属于典型的不连续微分动力系统 本文将研究脉冲动力系统的渐近行为。以及它在神经网络、种群生态系统和混沌控制 上的应用 一、脉冲动力系统的理论分析 脉冲微分方程的一些理论研究最早始于二十世纪六十年代前苏联一些学者的工 作( 如 1 ，2 ，3 ，4 ，5 】) ，在随后四十年问得到较大发展特别是到上世纪八十年代，许多重要 成果相继问世，并由l a k s h m i k a n m m n ，b a m o s i m e o n o v - 一人所总结【6 ，7 】，标志着这一方 面的基本理论已经形成 一类典型的脉冲微分方程( d e ) 可以表示为 签篡尝n t 0 ( 亡一) ) ，t t o ， t = 下k ( 2 ( t 一) ) ，七z ， ( m e ) 这里a z = x ( t + ) 一z ( t 一) ，1 厶：rx q _ r ”，n c 舯，靠：n - + r 满足：珏一l ( z ) b ) 四 晟 e “。( a ) ，k “) p ( a ) i i a i i p i a 】+ p ( a ) a a a q j l f ( a ) z 2 ( t ：) ，( 坛) d + z ( t ) 陋( t ) l + 忙( t ) h 【纠# 胁l i r 说明 自然数集合 整数集合 实数集合 n 维实向量空间 每个分量非负的n 维实向量空间 mxn 的实矩阵构成的集合 从拓扑空间x 到拓扑空间y 的连续映射构成的空间 c = c ( 卜r ，0 】，r ，) ，r 0 p c = 静：【- r ，0 】一取，i 妒在 - r , 0 1 h 除有限个点外都是连续的， 在这有限个点处右连巍左极限存在，- f 0 ) p c u r n l ； 毋：，一r n l 咖在- ，上除点“外都是连续的， 在这些点处右连续，左极限存在1 ，“为脉冲序列，区间- ，c 取 的每个元素都大于等于( 大于) b 的对应元素，这里a ，b r “或豫p 适当维数的单位矩阵 n 维行向量，第i 个分量为l ，其他分量为0 n 维列向量，每个分量为1 的最小和最大特征值，这里a r n “ 方阵a 的谱半径 矩阵a 的p 一范数，p = l ，2 ，o o ，若无特殊说明表示其中某种范数 矩阵a 的每个元素都取绝对值构成的相应矩阵 矩阵以的莱种测度 a 属于非奇异m 矩阵类 m - 锥q m ( a ) = k 舯 0 ，o o ) ，这里a m 函数。的增量：z = $ ( t 毒) 一z ( ) 函数z 的左、右极限 函数z 的右上i n i ) 导数：d + z ( t ) = l i r a s u p 。o + 世! = 盟 陋( t ) l + = ；( 1 l ( t ) l ，i 。2 ( t ) l ，l z 。o ) i ) r k o ) 1 ，= ( 陋l o ) 】，【z 。( t ) 】，) 7 ，忙t ( t ) l r = s u p , e 卜。0 1 氟忙+ 。) 【叫亨= ( i i l ，l c h ，i 咖i 。，) r ，也，= s u p s 6 f r o ll a c 8 ) 1 ，这里毋p c 1 1 4 , 1 1 ，= s u p 。i 一，o l 咖( 8 ) 0 ，这里毋p c q 一 第一章含脉冲的无穷维动力系统的渐近行为 脉冲( 偏) 泛函微分方程是用以描述动力系统存在脉冲现象和时滞效应( 或空间影 响) 的数学模型。现有的一些工作主要集中在解的稳定性和振动性等性质的研究，对周 期解的存在性和吸引性也有一些学者讨论，对于在理论研究和实际应用中具重要价值的 稳定域和吸引域，吸引集和不变集等问题，却很少有人关注 本章将主要讨论脉冲( 偏) 泛函微分方程的吸引集，吸引盆和不变集的估计，以及周 期吸引子的存在性等问题第一节给出有关脉冲泛函微分方程的基本准备和解的基本性质 在第二节中，通过估计脉冲型c a u c h y 矩阵，获得系统的拟不变特征。并找到系统轨道随其 参数变化的代数关系，我们给出了一类脉冲泛函微分方程的吸引集、吸引盆和渐近稳定 域的存在范围的估计在第三节。通过建立脉冲泛函微分不等式和利用不动点原理，讨论 了一类非自治脉冲泛函微分方程的周期解的存在唯一性和全局指数稳定性第四节中，利 用半群理论和矩阵的谱半径性质，一类含脉冲的偏泛函微分方程的不变集和吸引集被第 一次给出 1 1 预备知识 下面我们将给出脉冲泛函微分方程解的存在唯一性，解的其它基本性质也可进一步参 考文【1 9 ，2 0 ，2 1 等 设，= 【口，6 ) ，0 s 口 6 o 。，q c 是开集考虑下列脉冲泛函微分方程 塑篡曩j - 是瓮嚣禳n ， q ， i = 厶( t 一，甄一) ，t = 仇扛( t 一) ) ，知n ， 。吖 其中，函数， 矗：j x p c _ 舭，c c n ，r + ) ，并且满足：0 ；匍( 动 n 扛) 屯( 喾) 0 使得：l l y c t ，训m ，v ( t ，妒) i t o ，t o + 口) 尸c ( 【一r ，o i ，矿) 定义1 1 3 称函数。：f t o r ，t o + 叫- q ，口 0 ， t o ，t o + 口| cj 为满足初值问 题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的解，如果 一l o ( i ) t ；o ( t o ，t o + a i t = 靠扛( t 一) ) ) 是有限集合，为某个自然数； ( i b 在t t o ，t o + a ) v 处右导数存在并且连续： ( i i i ) 。在t l t o ，亡0 + a ) ? 处满足方程( 1 1 1 ) 的第一个式子，对t t f 蘸足( 1 1 1 ) 的 第二个式子 ( i v ) z ( t o + 8 ) = 毋( 8 ) ，8 【一l0 j 若任意a 0 上述4 条都成立，则称z ( t ) 为定义在【t o r ，o 。) 上的解类似于连续泛函微分方 程。我们也可定义解的延拓和解唯一等相关概念。在此不再赘述 定理1 1 1 假设f c t ，母) 是复合按段连续，拟有界且关于1 j f ，连续；靠c 1 ( q ，r + ) ，n ；并且 只要对某个，矿) ，n 和t = 飞( 矿) 。都有一个6 0 ，【1 ，t + 毋c ，使得 x 7 住0 ( 亡) ) f ( t ，x t ) 1 ，t ( t ，t + 司，z p c ( i t + 一r r + 田，q ) 其q ，x ( t + ) = a e ，i i z c s ) 一矿0 0 推论1 1 1 假i 殳f ( t ，妒) 是复合按段连续，拟有界且关于妒连续； r h c 1 ( n ，r + ) ，七n ；并且 对每个p 以存在j o p ，+ 田c 雅得 v n ( 砂( o ) ) f ( g ，妒) 1 ，v ( t ，妒) ( t + ，r + 6 1 p e n 那么，对每个( t o ，毋) jxp g ，存在初值问题c 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的个解z ( t ，t o ，毋) ，t 【t o r ，t o + 用，其中某卢 0 定理1 1 2 设j = r + ，f l ；舻假定f ( t ，妒) 是复合按段连续，拟有界且关于妒连续；住 g 1 m ，r + ) ，n ，l i m j , ( z ) ；关于g 一致成立；并且 以及 v 亿0 ( t ) ) f ( t ，) 1 ，v ( t ，妒) ( r ，矿+ 研x p c ，n 妒( 0 ) + j ( 7 ( 妒( 0 ) ) ，妒) eq ，7 k ( 妒( o ) ) + j ( 7 ( 妒( o ) ) ，妒) 7 x ( 妒( 0 ) ) 其中，妒p c ，妒( 0 一) = 妒( 0 ) 如果存在函数h l h 2 p c ( r + ，r + ) 使得i i f ( t ，1 ；f ，) 0s 2 ( 圳l 妒+ l ( t ) ，( t ，妒) r x p o ( - r , o l ，r “) 那么。对每个( t o ，西) ，x p c c i - r , o ，p ) 存在初值问题( l 1 1 ) ，( 1 1 2 ) f f 口。个解。( t ，t o ，) 定义在t t o r ，o 。) 上 定理1 i 3 假设，( f ，妒) 是复合按段连续且关于妒局部l i p h i 仨连续，那么最多存在一个初值 问题的解定义在【t o r ，亡o + 口) 上，这里0 0 ，使得对任意的初始值毋d ，( 1 2 1 ) 的解满足：l z ( t o 。咖) d ，其 中轨( 亡o 。毋) = 扛+ b ，t o ，) ，8 卜lo l ，d 称为拟不变集特别地，若l = e ( 甲位矩阵) ，d 称 为不变集 一1 2 茎= 兰茎登蒌塑丝垫垄墨丝笪堑堑堑垄q 璺型盔堂塑圭竺堡垒壅 定义1 2 3 集合scp c 称作系统( 1 2 1 ) 的一个吸引集g dcp c 称作s 的吸引盆，如果对 任意的初始值妒d ，( 1 ) 的解矾( t o ，钟都收敛到集合s 当t 一十o o 即， d i s t ( 轧( o o ，s ) _ 0 ，拍t _ + + ， 这里击鞋( 妒，研2 湛也班( 帆母) ，4 吼( 妒，母) 2 s 卜u p ，o 】( 8 ) 一妒( 8 ) ，对于妒p c 特别地，当d = p c 时，集合s 被称为系统( 1 2 1 ) 的全局吸引集若z = 0 是 系统( 1 2 1 ) 的解，并且对任意毋ed ，。= 0 吸引系统的解( t ，t o ，咖) ( 即，s = o ) 称d 为( 1 2 1 ) 的吸引域此外，若零解还是稳定的，我们称d 为( 1 2 1 ) 的渐近稳定域 定义1 2 4 设nci p 称向量函数f 扛) ：n r ，在0 上是单调不减的，如果对任 意一。e q ，一s 矿满足f ( 一) f c x ) 对系统( 1 2 1 ) 我们引入假设： c 矾) 存在常数o ，口使得o 口“一t i l s “ e n ( 磁)矿o ，妒) 】+ s 烈m ) 对t o ，妒p c ，这里向量函数p ( ) ：r ；一 r 2 在皿：上是单调不减的连续函数 ( 日3 ) ( t 妒) 1 + sq ( m ) ，对t t o ，i p p c ，这里向量函数g ( ) ：i 哗一 r ：在取2 上是单调不减的连续函数 1 2 2 吸引集和吸引盆 动力系统的( 拟) 不变性质，对周期解( 或不动点) 的存在性。稳定域和吸引域、吸 引集和吸引盆的估计等性质的研究都是非常重要的下面，通过估计脉冲型c a h y 矩阵， 我们首先建立脉冲系统( 1 2 1 ) 的拟不变性质 引理1 2 1假设( 风) 一( 曰j ) 成立，且存在- - g 甸t z 0 使得 9 ( m z ) + 【e e - w 。 一1 q ( m z ) 一w z o ，m 1 ，i = 1 ，n ，并且 地；( = 二举i fo 删l l + 扎b , i “，n = l 南l + b , i i fo ” i 1 + b , l i 1 ；2 3 ) 那么系统( 1 2 i ) 是拟不变的，即：对仟意初始值击d = p c f 酾i + ； ，系 统( 1 2 1 ) 的解都满足 i x ( t ，t o ，母) 】+ 曼 ，：，t t o 一1 3 一 证明：对任意币d = 和p c i 【纠# s 矿，t t o ，系统( 1 2 1 ) 的解满足 ) 圳+ 即确南) d 5 + t 口聂。即础和一， ( 1 2 4 ) i 吝里k ( t ，。) 是下列脉冲线性系统的c a h y 基本解矩阵 v 州c t ) - - 瑚a v ( t ) , a 黯 不难用数学归纳法。可表出基本解矩阵为 k ( t ，。) = e 4 0 一。i i ( e + 口) ，t f t o a t d t 由于0 0 如一t k l s “七n ，我们有下列估计 础h 固i i + b d _ m 瘩：离菁恐川f ro i i + b d 0 ，我们可推导 e - w ( t 一埘e w ( t - t - 旧一e - w ( t k - - t k - - i ) l i e e - w o 一1 t o t , - 曼ct o 0 满足 p ( m z ) + w e e - w o 一1 q ( m z ) 一w z 0 一1 4 一 兰= 耋堕登歪塑丝垫垄墨竺堕塑重箜垄q 璺型奎兰堡主堂垡堡塞 下面，我们将证明：l + z 蕴涵 扛( t ) l + = 睁( 厶t o ，种l + 亡0 和下标毛使得 i 孔8 ) f2m ；毛， k o ) 1 + s m z ，t o t o ，以及向量函 数p ( ) ，q ( ) 的单调性，我们得到 睁( 亡+ ) 】+se - w ( r 一幻朋【纠，+ f o - w ( t ) v ( m o d 甚 + m e - - w ( r - “) q ( m z ) t o 再乏t e - w o 一幻) 肘：+ m ( 冒一e - - w ( t 一t o ) ) i 矿一i p ( m z ) + f ( e e - w ( r 一缸) 陋一e - w 6 1 1 q ( m z ) 一e - w ( r 一幻m 仰r 一1 w z p ( m z ) 一w t e e - w $ 1 1 口( 脚z ) l 十l 矿一1 m p ( m z ) + m 旧一e - - w o 】一1 q ( m z ) m w 一1 【w ；一v ( m z ) 一w 【e e - w e 一1 q ( m z ) 1 + 一1 m p ( m z ) + m 陋一e - w 8 一1 q ( m z ) = m 2 由此和式( 1 2 1 0 ) 矛盾，因而估计式( 1 2 9 ) 成立令s 一0 ，从( 1 2 9 ) ，对任意声d ( 即m # s 矿) 睁( t ，t o ，纠1 + sm z ，t t o 证毕 下面，利用拟不变性质，我们将讨论系统( 1 2 1 ) 的吸引集和吸引盆存在的充分条件 事实上我们也给出确定吸引集和吸引盆的。个估计方法 定理1 2 1假设引理l2 1 的所有条件成立，并记向量函数( 其中参数w ；m p h ( i 2 3 ) 确定) 以及集合 0 ) = p 如) + 怛一e - - w # r 。1 q ( ：) 一m 一1 w z ，z r ； n i = f z r 罩i a c m z ) t 0 使得 砖( t ) l + 扭+ “t 正 ( 1 _ 2 1 3 ) 由= d i 8 9 ( 锄h ” 0 ，对上述5 0 和n ，一定可找到乃 o 满足 ， e - - w s d sse e ，( 1 2 1 4 ) j n 和 e 娟m 。s e ，t 乃 t o t - n 利用式( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ，( 1 2 1 2 ) ，( 1 2 1 3 ) ，( 1 2 1 4 ) 和( 1 2 1 5 ) ，当t r + 丑+ 疋时，有 p 水) 】+e - w ( 一t o 彳【叫# + ，一“一。m ( 【z j ) 出 + m e 州( “口【i ) j + ) 冬e - w ( t - 如) f 【纠，+ ( + ) p w ( t 一) 和( 陋。1 ，) 如 ，l 。，c 1 6 一 ( 1 2 t 5 ) 箜二兰墼登差塑丝垫查墨鏊盟堑堑堡塑雯婴业盔堂堡主堂堡垒塞 + + m e - w ( “g ( k 】) t o t k t x 孔( “曼t se - w ( t - t o ) m z + l - w a m p ( m z 1 d 3 + |e - w u 一1m p 疆e + d 8 + 肘 e 彬一“q ( m z ) + f e - w ( 一- ) 口( e e + 口) e 一矿( 。一t * ) m z + e m p ( m z + ) + ( e e - w t , ) w t m p ( e e + 矿) + e m q ( m z ) + m ( e e - w ( “孔) 【e e - w o r l q ( e e + e 一”( t - - t o ) m z + e m p ( m z ) + q ( m z ) 】 + h ，+ 1 m p ( e e + 口) + m e e - - w o 】一1 q ( e e + 口) 这蕴涵 f = l i 。m s 。u p x ( t ) + e m p ( m 矿) + 口( f 矿) 】+ w 一1 m p ( e e + a ) + m 陋一e w 。】1 口( e e + 口) f + 十 。 令e o + 。则 仃w 一1 m p ( a ) + m 【e e 一讳7 。l 一1 9 ( 口) 因此，( 口) 0 ，即仃从而， 。 口n ；n n 3 从矿和s 的定义，当t 一+ 时。d i s t ( z t ( t o ，西) ，s ) 一0 证毕 利用非负矩阵的性质，我们可以得到： 推论1 2 i假设( 风h z r 3 ) 成立且 ， p ( i v l + ) = p m + 地p = 慨j ) 。20 ，弘= 似“，h ) ? 0 ， 口( m # ) = q ( 纠# + p ，q = ( 口玎) 。x 。0 ，= ( h ，h ) r 0 如果谱半径 p ( a ) 0 使得；a ( z ) 0 并且对 某个z ，l ( 习 0 ，这里任意：弘r ；i osz z , z o ) ，l ( ：) 为向量函数( z ) 的第z 个 分量，则系统( 1 2 1 ) 的零解是渐近稳定，其渐近稳定域为d = 静p c i 渊， m - 1 z ， 证明如果oea q l 。则存在向量序列 硌) 使得：张ef l x y i ：b r t r a k - 强z0 利 用( m ) o 和( 2 ) 的连续性，可知 ( 0 ) 穹 l _ i r a ( 埘强) s o 结合( o ) = p ( o ) + w 俾一e 一删】一1 q ( o ) 0 ，则 ( 0 ) = 0 ，i e p ( o ) = q ( o ) = 0 ( 1 2 1 6 ) 因而，( t ，o ) = 厶( t 0 ) 一o - 即z = o 是( 1 2 1 ) 的解利用引理1 2 1 ，对任意钆和咖满足【纠# 钰，系统0 2 1 ) 的解都有 k o ，如，妨l + s m 张，t t o 注意到以o 和k m k 。张= 0 ，我们不难得到( t ) 0 是系统( 1 2 1 ) 稳定的平衡点利用系 统的拟不变性质，类似予定理i _ 2 1 的证明，我们可以得到，s = o ) 是系统( 1 2 1 ) 的吸引集， d 是s 的吸引盆( 域) 从而结论成立证毕 定理1 2 3 假设( e h h r 3 ) 成立且 p ( m ) 一p m # ，p = ( p 甜) “x n 之0 ， 口( 【司+ ) = 口【司+ ，q ；( g o ) n x n 0 如果谱半径 p ( a ) 1 ，a = w - - i m p + m 啤一e 一9 w j - 1 q ， 那么，系统( 1 2 1 ) 的零解是全局渐近稳定的 证明从p ( z ) = e z 和q ( z ) = q 磊不难推出。( t ) = 0 是系统( l 2 1 ) 的解，并且直接计算 得 a ( z ) gm 一1 矿( a s ) z 。a ( m z ) = 矿f a e ) = 由p ( a ) 0 ，那么条件( 1 2 2 ) 成立，即 a ( m z 、= - z 0 一1 8 一 ( 1 2 1 7 ) 利用引理1 2 1 和z 的任意性，可知系统( 1 2 1 ) 的零解是稳定的。而且，由式子( 1 2 1 7 ) ， ( e a ) 一1 w 一1 z n l ，m ( e a ) 一1 w 一1 z n 2 从z 的任意性，可得q ：= 弼= 驳3 另外， q 3 = 石r 宰i ( 。) o ) = ；r ；i ，一1 w ( a 一司z 芝o ， 墨t 名r ；i ( e a ) ：o ) c0 r ! 1 z s0 ) 因此一t o ) 从而利甩定彗a 1 2 1 ，知s 一 o ) 是系统( 1 2 1 ) 的全局吸引集所以，系 统( l 2 1 ) 的零解是全局渐近稳定的证毕， 1 2 4 数值例子 下面的例子将说明我们方法的有效性，也显示了在脉冲系统和相应连续系统间不同的 渐近行为 例1 2 l 考虑一枥遣的脉冲泛函微分方程 $ ( 。t ) ( 如f f i ) a 。z c 。t ) ( “+ ) b z 2 窜( t ( - ) r ：) + e , e z ( t d 。芳“k 言，幻= 0 ( 1 2 1 8 ) i z ( 如) 一z ( “) 一窜( ) = ，n ， ”7 这里6 0 ，0 p “一“一1sp + o o 从( 日1 ) ，( 1 1 2 ) ，p ( ：) = l b l z 2 + i c l ，q ( z ) = 0 关 于( 1 2 1 8 ) 的新近行为，我们讨论下列情形： 情形i ) ：o 口= l l + 司 1 记l 扛) = 兽z 2 + ( o + 警净+ 兽若。+ 警 一缮亘， 则代数方程a t ( z ) = 0 有两个不同实根 一迎型虹舔霉囹 g i i i a , ( z ) 0 ，：( z l ，现) 根据定理1 2 1 度其集合的计算，我们可以得到：s i = 枷 p c i i i q , i i ，s 。1 ) 是( 1 2 1 8 ) 的吸引集，且d 1 = 西p c i l l c s l l ， o t z 2 是s l 的吸引盆 特别地，当c 。o 和d + 警 o 时，从定珂1 2 2 ，( 1 2 1 8 ) 是渐近稳定的，且渐近稳定域 为d l = 庐p c l l l o l | l l t 一箭( o + 警) ) 情形i o ：口一p + d l 1 记2 ( ：) ；a l b l z 2 + 扣+ 学) z + a l c l 如果o + 宁 一2 口俑 则代数方程2 ( z ) = 0 有两个不同实根 孙= 尘型监磊圃雹婴， 且a 2 ( z ) 0 对于；仇，忽) 由定理1 2 1 ，岛= 伽p c i i i 咖i i ，s 以) 是0 2 i s ) 的吸引 集，且d 2 = 伽p c i l l l l ， 鲁) 是岛的吸引盆特别地，当c ；0 和口+ 学 0 时，从定 理1 2 2 ，( 1 2 18 ) 是渐近稳定的，且渐近稳定域为d 2t 伽ep c i i i 庐i i ， 一阿( 口+ 学) ) 取a ；6 ；l ，c = 1 0 ，r = 1 ，厶( = - 0 缸和“一如一i + o 0 2 5 从情形i ) ，口= 0 8 ， p 一0 0 2 6 。有z l = 2 9 4 4 9 ，砘= 3 3 9 5 6 ，从而毋= 咖p c i i i 毋i i ，2 9 4 4 9 是( 1 2 1 8 ) 吸 引集，d 1 = 伽p c i i i 毋i i ， 0 ，口 0 ，使得 一0 ( t ) + p ( t ) d ( t ) + q ( t ) 【d ( t ) 】，e l ：- r ( ) d l 0 t ( f ) sn d ( t k c ( ) 出，t 陋，6 ) 一2 3 引理1 3 2 【8 4 】假设系统( 1 3 1 ) 是n 周期的那么( 1 3 1 ) 有一n 周期解当且仅当存在 一壬p c 使得 霉f + t ( 口，咖) = ， 这里善( t 以棚是经过( 以的解 我们引入一类按段连续的p c 子空间： p c t ：= 伽：卜r ，0 】一鼠一i 毋( 矿) = 咖( 8 ) 茸8 【- - , f ，o ) ，毋( 5 一) 存在对于。( 一r ，o l ， 0 一) = 毋( 对于a 簪( - r , 0 n t 一t z ) ) ，这里t r 被给