（计算数学专业论文）用q1rot元解三维poisson方程特征值问题.pdf

摘要 q ? t 元是一简单的非协调元，它首次被r a n n a c h e r 和t u r e k b 钔提 出及分析，并从数值上解决s t o k e s 问题它定义在矩形网格上，形式 简单，自由度少例如，对三维问题，它只有六个自由度在实际工程计 算中具有广泛的应用价值已有一些理论分析表明用它来求解晶体的 微结构方程，也取得了较好的结果乜捌 对于二维椭圆特征值问题，林群、林甲富2 1 得n 7 q 譬。t 非协调元 特征值渐近误差展开式刘会坡，严宁宁瞄3 计算结果验证了文 3 2 特 征值问题的有限元渐近误差展开理论的正确性，并得到q 非协调元 解近似特征值不能确定是真解的上界还是下界 对三维情形，石钟慈，王家城1 0 1 用广义分片检验n 引和f e 州检验钔 分析了这种非协调元的收敛性，指出用它求解一般的二阶椭圆边值问 题能够获得收敛的结果三维情况计算量相当大，因此关于q i 。t 元的 理论研究的文章相当少，目前也没有见到相应的三维的数值例子 本文介绍了町非协调元基本关系式，在文 3 2 的基础上讨论正 方体区域上町2 元的渐近展开式理论分析和数值实验结果表明了三 维町t 非协调元特征值的外推公式是有效的，可以把特征值的精度从 二阶提高到四阶 i 关键词：三维q p t 非协调元，误差估计，特征值，渐近展式，p o i s s o n 方 程 a b s t r a c t q e l e m e n ti sas i m p l en o n c o n f o r m i n ge l e m e n t i ti sr a i s e d a n da n a l y z e db yr a n n a c h e ra n dt u r e k 3 4 】，a n dt os o l v et h ep r o b l e m o fs t o k e s i tisd e f i n e do nr e c t a n g l eg r i d ，a n dh a ssi m p l ef o r m a n dl e s sf r e e d o m s f o re x a m p l ei th a so n l ys i xf r e e d o m sf o rt h e 3 - dp r o b l e m i ti sw i d e l yu s e di nt h ep r a c t i c a l e n g i n e e r i n g c o m p u t i n g s o m ee x i s t i n gt h e o r e t i c a la n a l y s i ss h o wt h a tr e s o l - v i n gt h ee q u a t i o no fc r y s t a lm i c r o s t r u c t u r eu s i n gq r t e l e m e n th a so b t a i n e db e t t e rr e s u l t s 2 8 ，2 引 f o rs e c o n d o r d e re l l i p t i ce i g e n v a l u ep r o b l e m ，l i n q u na n d l i n - j i a f u e x p a n de i g e n v a l u eo fp o i s s o n e q u a t i o nu s i n gq t t e l e m e n ta n do b t a i n a s y m p t o ti c e r r o re s ti m a t e t h e c o m p u t a ti o n a l r e s u l t s 同d e m o n s t r a t et h ef i n i t ee l e m e n ta s y m p t o t i ce x p a n s i o n t h e o r yf o re i g e n v a l u ep r o b l e mp r o v i d e di n 3 2 ，a n di n d i c a t e 旰2n o n c o n f o r m i n ge l e m e n ta p p r o x i m a t e st h ee x a c te i g e n v a l u e s f r o me i t h e ru p p e ro rl o w e rb o u n d f o r3 - dc a s e ，s h i z h o n g c ia n dw a n g j i a c h e n g 1 刖a n a l y z et h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t yo ft h i sn o n c o n f o r m i n ge l e m e n tu s i n gg e n e r l i z e dp a t c ht e s t n 鲫a n df - e - mt e s t 3 9 】，p o i n to u tt h a tr e s o l v i n g g e n e r a ls e c o n d o r d e re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m su s i n g 町t e l e m e n tc a ng e tc o n v e r g e n c er e s u l t s t h ea m o u n to fc a l u l a t i o nisv e r yc u m b e r s o m ei n3 - dd o m a i n t h e r e f o r ep a p e ra b o u t r es e a r c ho f3 - dq r tele m e n ta r ev e r yf e w ，a n dt h e r ea r en o a c c o r d i n gn u m e r i c a le x p e r i m e n t sa tp r e s e n t t h isp a p e ri n t r o d u c e dt h eb a si cf o r m u l ao fq ? te l e m e n t ， d i s c u s s e dt h ee i g e n v a l u ee x p a n s i o no fp o i s s o ne q u a t i o nu s i n g q r te l e m e n ti nac u b ed o m a i n t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d n u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h e3 - dn o n c o n f o r m i n g q ? t e l e m e n te i g e n v a l u ee x t r a p o l a t i o nf o r m u l ai sv a l i d ，w h i c h e n h a n c et h ea c c u r a c yo ft h ee i g e n v a l u ef r o ms e c o n do r d e rt ot h e f o u ro r d e r k e y w o r d s ：3 - dq ? tn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t ，e r r o re s t i m a t e ，e i g e n v a l u e ，a s y m p t o t i ce x p a n s i o n ，p o i s s o ne q u a t i o n i v 学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 所取得的成果。除文中已经注明引用和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人或集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 敛萋静 砂oc | 年3 旯；d 日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅； 本人授权贵州师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编学位论文。 同时 授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。( 保密论文在解密后适用本授权声明) 论文作者签名：伍喜静导师签名：育a 一邙 2 7 年岁月3 口日 1 1当前发展 1 介绍 2 0 世纪6 0 - 8 0 年代，b a b u s k a ，b r a m b l e ，c h a t e l i n ，g r i g o r i e f f ，l e m o r d a n t ，o s b o m ，s t u m - r e e l ，v a i n i k k o 等对特征值问题有限元逼近作了系统、深入研究，论述了在”强稳定性”条件 下有限元特征值保持代数重数收敛于准确特征值，这是特征值有限元逼近中最重要和 最深刻的结果，还给出了谱逼近的基本误差估计式，并用于协调有限元和混合有限元这 些成果在f c h a t e l i n 的著作f l q 及b a b u s k a ，j o s b o r n 的著作f i s 中作了较全面的论述2 0 世 纪8 0 年代以来，新的成果不断涌现，林群，吕涛，r a n n a c h e r ，许进超，杨一都等众多学者研究 了特征值问题有限元法的超收敛、外推、插值有限元、后验误差估计、特征值下界、迭代 伽略金法和2 网格法，特征值问题非协调有限元法得到进一步发展 为了提高精度应用外推技术对数据进行处理，能够得到更精确更深刻的结果外 推是一种简明使用的计算方法，通过两次粗细网格的值作线性组合，可获得精度更高 的外推值数值积分中的r o m b e r g 积分法，常微分方程数值解法中的g b s 算法就是外推 法1 9 7 9 年m a r c h u c k ，s h a i d u r o v p t 系统地研究了差分法外推并获得了成功1 9 7 8 年黄鸿 慈和刘贵银1 1 】的多维数值例子肯定了有限元外推有效夕 推的理论基础是渐近展开 式，1 9 8 3 年林群，吕涛，沈树民对三角形剖分首先证明了有限元渐近展开式【3 3 1 这项工作是 有限元外推的重大突破，这以后有限元外推迅速发展成为国际性研究课题 二网格离散方案首先是1 9 9 2 年被许迸超【2 1 - 2 3 】引入用于解非对称和非线性椭圆问 题在这种方案下，在细网格上求特征值问题被减化为算粗网格上的特征值问题，而在细网 格上只需求线性代数方程组的解，且计算结果仍然保持渐近性的最佳精度以后进一步 被许多研究人员所研究，例空n m a r i s o n 和许进超【2 4 1 ，s l o a n 捌，林群，谢干权1 3 0 1 ，许进超，周爱 辉【2 0 】2 0 最近杨一都和范馨月【3 6 】把它用于解非自共轭微分算子特征值问题，更重要的是定义 了两种新的二网格离散方案杨一都【3 5 】把他用于非协调有限元特征值逼近问题，得到了一 些新的成果 r a n n a c h e r 和t u r e k 【弘】构造了所谓的q p 非协调元，并用该元离散s t o k e s 问题而利用 该元求解晶体的微结构方程1 2 9 1 ，数值效果非常好同时给出了该元的误差估计【2 9 】林群、 林甲富【3 2 】给出了二维区域的q ，非协调元的特征值的误差展开式刘会坡，刘力军【4 】给出 了二维区域的q p 非协调元的展开式及外推刘会坡，严宁宁【5 】给出t q t 元等四种元的 特征值，并进行比较得到q 非协调元解近似特征值不能确定是真解的上界还是下界通 过比较还得出q p 非协调元形式简单，自由度少但是其精度非常高石钟慈，王家城在 文【1 0 】中指出用q p 非协调元来解一般的二阶椭圆边值问题能获得收敛的结果 由于理论和实际应用的需要，用非协调元求解高维椭圆问题引起学术界重视最 1 近：w a n g ，s h i 和x u t 2 5 , 2 6 】把m o r l e y 元，a d i n i 元和b o g l l e r - f o i x s c h 血t 元推广到任意高维杨一 都，林府标，张智民嘲x c n - 维2 阶椭圆方程n 单纯形c r o u z e 谗m m a r t 非协调元证明了它的 收敛性和误差估计由于三维情况计算量相当大，因此关于q p 元的理论研究的文章相当 的少，目前也没有见到相应的三维的数值例子本文给出三维区域的q p 非协调元的特征 值收敛性和误差估计，展开式和外推，及2 网格的离散方案的结果 1 2 准备 首先在这一部分引入一些定义： 1 2 1 s o b l e v 空间【3 】 设m 为非负的整数，1 p o 。，当m 芝1 时，定义 m p ( q ) = u ：u 扩( q ) ，v q ，1 川m d 口u 护( q ) ) 当m = o 时，w o ，p ( q ) = ( q ) 在m ，p ( q ) 中定义范数 i l u l l 帅q = i d 口u q ) ) ；， 0 f 口i 竹。 i l u l l , n ，则。o 翔i i d 口u l l l 唧) 对p = 2 ，w i n , 2 ( q ) 写成h m ( q ) ，相应的范数f i i | m ，2 ，n 改写成i | i i m , n 除上述空间外，还定 义了盱p ( q ) = 曙( q ) 在m p ( q ) 中的闭包当p = 2 时，记町2 ( q ) = 钾( q ) 赋予范 数”l i r a , p , q 的空间m p ( q ) ，孵p ( n ) n q 索伯列夫空间 1 2 2 迹定理【1 4 】 若u 沪( 两) ，勰是m 阶光滑曲面( 曲线) ，m p n ，礼一m p 扎一1 f l j j u 作为a q 上的函 数属于l t ( 0 1 2 ) ，且有不等式 i i u l l o ，1 ，踟c l l u l l m , p , f l ， 其中f 指标满足 1 z i ：( 兰二! 狸 礼一m p 若有某正整数尼 m 使( m k ) p 佗，扎一( m k ) p n 一1 , 贝, l j k 阶导数俨让( 1 q i = 七) 作 为施上的函数属于l t ( 0 1 1 ) ，且有不等式 i i o 1 1 0 f 踟c l t u l l m , p , n ，( i q i = 七) ， 其中指标f 满足 l z 0 是与训及允。无关的常数 证 e v w m ，2 ( e ) ，利用参考单元芭上的迹定理，我们得到 定义 i 叫1 2 如2 i 西1 2 丽m e a s ( o e ) 。_ 5 c 磋。1 l j 西惦盔鼬c 纠西幅盔e = c 尼； i i 西i 瞌z ，善+ i 西i ；，：，a ) c h 2 1 i l 训| j 3 ，2 。+ 。i 叫臣2 。) p ff 一 1 0j 一 戢 = 磊1 i a s 砥 - _ p f 3 。 m e a s ( e )f y d x 瑞| = | 一k | 类似的，我们定义焉 引理2 设舻中的两个开子集e ，芭仿射等价，嘶，2 ( e ) ，则成立 证 由臂的定义 j 。p i 丫d 毫= | 。 r ；f l l o ，2 ，。c h l l f l l l ，2 m e a s ( 乏)j 如p d 爱= 由s o b o l e v 嵌入定理，m ，2 ( 苣) 连续嵌入l 2 ( 芭) 于是 焉1 1 0 ，2 ， m s ( 芭) 即焉：眦，2 ( 爸) _ l 2 ( 芭) 是线性有界算子并且 片多= m e a s ( 芭) 5 m e a s ( 芭) c i i l l o ，2 ，乏c l l y l i1 ，2 ，乏 = 痧坳p o ( 芭) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) sd 2 & p如， o ，f zd ； 如 p 占 由文【2 7 】的t h e o r e m1 5 3 ，我们得到( 2 3 ) 式 引理3 l l 豸州o 2 fs l i f l l o ，2 一 i i 硝，i | o ，2 ，f 2 1 i f u l l o ，2 ，f ，讹岛( e ) 证 由礤的定义，我们有 ( p s ) 2 = 南( ，d s ) 2 m e a s ! i ，了严( i ，1 2 d s ) x 2 ( 1 2 d s ) 2 一 ( 。) 2 、， 、， m e a s ( f ) m e a s ( f ) f 1 3 ，2 ，f ， m e a s ( f ) 一i ：1 2 0 ，2 ，f ， 两端积分得 i l 礤川3 2 f = r ( 礤胪d s 厂m 淄( f ) 一1 i 朋，。d s = l 朋2 因此( 2 4 ) 式得证 注意硝u = 0 ，v u 岛( e ) 在( 2 4 ) 式中取，为，一u 得 由三角不等式 由上两式得 所以 ( 2 5 ) 式得证 礤( ，一 ) 1 1 0 ，2 ，f i i f v l l o ，2 ，f 路，一礤训o 2 ，f = 0 路，一v l l o ，2 ，f = i i ( 礤，一，) + ( ，一v ) l l o ，2 ，f = l l 一硝，+ ( ，一v ) l o ，2 ，f l i 硝，i i o ，2 ，f i i ( ，一v ) l l o ，2 ，f 硝：l l o ，z ，f l l ( ，一v ) l l o ，z ，f i l ( f v ) l l o ，z ，f l i p 芬l l o ，2 ，f 2 1 1 ( f u ) i l o 2 ，f 6 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 定义l = ( i ，。) ，”忆：= ( i i i i 2 ，。) ee 定理1 设u ，2 ( q ) 是( 1 3 ) 的解，u s a 是( 1 7 ) 的解q p 非协调有限元的非协 i 周项e h ( u ，w h ) = a h ( u ，w h ) 一( f ，w h ) 则有估计式 证 e h ( u ，w h ) c h l u l 2 ，2 i 伽_ i l “，v w a ，2 ( q ) os ( 2 6 ) 我们应用文【1 1 】中7 2 1 的方法证明定理1 ，也可见文 3 8 】由格林公式，我们有 玩( 乱，w h ) = a h ( u ，w h ) 一( ，w h ) e e l r hj 奄8 如州卜l m z ： j = 1 焉 | 。一u f 、) 叫h d z + f h u ；是( 1 1 ) 的解知，( 一u f ) w h d x = 0 ，所以 既( u ，w h ) = 记【叫 】f = ( 伽毒一叫i ) 又 么跏幽， o u i ：- ：=whd8 u v 3 c 3 j u w h v j d s j = t = o j u w h i 。+ - - c 9 j u w hl e - - ) v + d s j = lf c a f 2 备 + o j u w h v j d s j = lf c a q 台 l f ，它是w h 在f 上的跳跃 先估计( 2 7 ) 右端第一项f ，岛u 】哼d s ，f 茌a q 由( 2 2 ) 式知， = 才驯训d s = 哆埔( 岛让) m d s 十f ff p ：) ( o , u ) 】d s ff 豸( 岛u ) 【】幽= 豸( 岛u ) 代入( 2 8 ) 式，再联系( 2 1 ) 式，我们得到 j8 t 如矗v ；d s = p ； = 哆 瞒( 岛u ) w h d s ( 2 7 ) ( 2 8 ) 弼( 岛u ) 硝( 【叫 】) d s + 才瞒( 岛u ) 芹( 【叫枷d s ( 2 9 ) f f 7 & 帆 & 帆 sd ”，d 彬u 岛 p o = sd d p ，jp 由于 由( 2 9 ) 知 由引理1 及引理2 ， 礤( 【伽 】) =m e a s ( f ) i 岛缸【伽 哼a s i = l 哼靥( 岛札) 硝( 【姚m s ，- ， ff s2 2 j ， ff c ( h f il l r ；+ ( 叫去) i 瞌。，。+ + e + l 焉+ ( 训丰) i ；，。，。+ ) + ( i i 焉一( 叫未) 惦，2 ，。一十h 。一i 靥一( - ，f 2 1 , 2 , e - ) ) c h e + i 叫未i i ，2 ，e + + h e - 1 w ；l i ，2 ，。一) ( 2 1 2 ) 由( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 及( 2 1 2 ) 推出 驯训哆如c 讣i i ：，2 ，。i 呲i 2 ，。+ u e 一 ( 2 1 3 ) 用类似方法估计( 2 7 ) 式右端第二项对fca q ，注意到z 舰，w h ( z ) = 0 ，推出 8 ( 2 1 4 ) o = 8d j 驯 p d u r l p = sd 卜 d 礤 p + 叫 f r j l p = e2lh e22 u e c 一 sd 吩 h u 岛 p 把( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 代入( 2 7 ) 得 玩( u ，w h ) c h l u l 2 2 。i 1 1 2 。c h l u l 2 2 n i 叫j l l i ：2 定理2 设u w 2 ，2 ( q ) 是( 1 3 ) 的解，u h s 是( 1 7 ) 的解，则有 0 u 一u l l h c hiu1 2 , 2 ， ( 2 1 5 ) 并r i i 白( 1 5 ) 成立，知 l l 札 一u l l o ，2 c h 2 u 1 2 2 证 回顾s t r a n g e ly 2 7 1 ，我们有 让一乱 i i c ( 。i n s f i l u - v i i h + 叫。s s u 。，p 。 由插值误差估计 由有限元的逆性质 联系( 2 6 ) ，得 所以 蒜i l u 一口i i c h l u l 2 t 2 伽 b = ( 蚓；，2 ，。) c 1 1 w h l l h ， 玩( 让，w h ) c hlu1 2 , 21 1 w h l l h ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) h s s u 。，p 加。掣c h iui ：，2 ( 2 1 9 ) 把( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 代入( 2 1 7 ) 得( 2 1 5 ) 下面进行如模估计，n i t s c h e ( 1 9 7 4 ) ，l a s c a u x 和l e s a i n t ( 1 9 7 5 ) 2 7 】证明了下面的不等 卜吼，2 c ”也州s u p 赢i n f 。一妒h i i g e l 2 ( n ) 1 90 , 2 。p h e s ) l i n + g 器) _ 志眯i n s f 。( 历( 让，妒一+ 而( 刚一枷) ， ( 2 2 0 ) 这里，v g l 2 ( f ) ，妒啊，2 ( q ) ，且妒是下列变分问题的唯一解 a ( v ，妒) = ( g ，u ) ，讹硪( q ) ( 2 2 1 ) 9 现在我们定义q p 元的插值算子厶：，2 ( q ) 一妒，由插值误差估计，逆性质，( 2 1 5 ) 和( 1 5 ) 推 出 i l 妒一妒 l | ：2 妒一厶垆i l ：，2 + i l 厶妒一妒 l l ：，2 c i 妒1 2 ，2 + i i 厶妒一 , o h l l l ，2 c h l 妒1 2 。2 + c ( i i 厶妒一妒i i + i i 妒一妒h l l h ) c i 妒1 2 ，2 + c i 妒1 2 ，2 冬c h l 妒g 2 c h l l g l l o ，2 代入( 2 6 ) 得 e u ( u ，妒一妒h ) c 危lu1 2 ，2i l 妒一妒h 忆，2 c 2l u 1 2 ，2i i g l l o ，2 ( 2 2 2 ) 类似方法推出 风( 妒，u u ) c h 2i “1 2 , 2i i g l l o ，2 ( 2 2 3 ) 把( 2 1 5 ) ，( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 代入( 2 2 0 ) 绢j l ( 2 1 6 ) 引理4 设w 2 ，2 ( q ) ，则下列估计式成立： c h 2i l u j1 1 2 2 ， sc h 2 i l 哟1 1 2 ，1 证设r 3 中i 两个开子区间e 与乏仿射等价，2 ( 乏) ，e ( i = 1 ，2 ， 由砰的定义和迹定理 ( 露铲出= ( 萎志户f l $ , d g 砂“炉凼刚a 。 虎 于是堙：，2 ( 占) 一l 2 ( 邑) 线性有界并且对晰p 1 ( 芭) ，我们有 圩p 2 歪6 i 、，f 南矽i 或幽$ t 2 庐 e h ( 2 2 6 ) 式，知 奶一露奶= ( ，一砖) ( 奶+ 庐) v 奶，2 ( 乏) 由文【2 7 】的( 1 5 1 9 ) 式，知 l 一z e 妨l l o ，2 ，占 奶一奶，童 i i i - 嘲圣( 帆碱l ：( 句) 砖i p l n f ( 旬1 1 奶+ p l l 2 ，2 ，e c ( 堙，e ) l 奶1 2 舶 c ( 堙，a ) l 奶1 2 1 a 1 0 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ，6 ) 是乏的面 ( 2 2 6 ) 据此，由仿射等价有限元之间s o b o l e v 半范数的关系，和砬一堙也：t 高及文【2 7 】的( 1 5 1 4 ) 5 戈，得 i 吻一f f u j l l o ，2 e c l i b 一1 | 1 0 i d 觇b l j li i 奶一硭1 1 0 ，2 ， c l d e t b i 1 1 一贯1 1 0 1 2 ，a s c l d e t b 1 奶| 2 2 ，e c l d e t b i 1 1 b i l 2 i 如芒b i 寻i | 2 ，2 ，。 c h 2 i 1 2 1 2 e 一路u j l l o t l 。g l i b 一1 i i o i d e t b i l l 一露1 1 0 ，。，e c l d e t b i1 1 一i f f u jo ，l ， c l d e t s ll 奶2 ，1 ， c l d e t b i i i b i l 2 i d e t b i 。i 1 2 ，1 。 c h 2 l 札j 1 2 1 ，。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 7 ) 两端平方后求和再开平方根，再用柯西不等式得( 2 2 4 ) ，n 样m ( 2 2 8 ) 糨i j ( 2 2 5 ) 引理5 对札，2 ( q ) ， s 且e 为正方体单元，我们有： 证 a h ( u 一u ，u ) = 0 为t i 删j ( 2 2 9 ) 式，我们要用到分步积分 f o o v r ( u 一曙u ) 如= + + l 谢o ( u - i u ) 。o 。v ：如 宴( 让一路乱) 瓠 丽【让一。左乱膨 。j 、一j 0 吨一i 乏z d 正曲 l 卜“u ) v = d y a z ( 厶一厶一黝呐兆 ( 2 2 9 ) 也在面f l 和尼上是常数，在b 和只上是常数，在r 和r 上是常数，又由( 1 6 ) 式，我们得 到 l o v - ( u 一并u ) d s = 。 1 l ( 2 3 0 ) 。 = 口v 砂曙 一 v 。 & +如 叻硌 一u “ 。 一 = 因为e 是正方体单元，所以 进一步得到 m ( 2 3 0 ) 式和( 2 3 1 ) 式，知 引理5 得证，即 a v2 + u l ，l ，+ 口z 2 = 0 a u ( u 一路让) 如= 。 v ( 让一瑶“) 丫u - 0 a h ( u i f hu ，u ) = v 0 , 一i u ) v v = o 讹q ：砒( e ) c e l t hj e 2 2 q j o t 非协调元的渐近展开式 ( 2 3 1 ) 为了把文【3 2 】中给出的结果推广到三维，我们在文【3 2 】的基础上，通过更复杂的推导得 到了一些新的结果 2 2 1 引入次加性泛函 设函数b ( u ) 是w 七+ 1 p ( q ) _ c 的一映射，( 其中c 为实数) b 是一线性泛函，若 b ( u + u ) = s ( u ) + b ( u ) ，b ( o r u ) = 口b ( u ) b 是一有界泛函，若 l b ( 让) l c l l 2 l l k + l ，n b 是一次加性泛函，若 i b ( u + u ) i ij e 7 ( “) i + i b ( v ) l ，i b ( q u ) i i a l l b ( u ) 1 文【3 2 】给出了下列两个引理( 注：在下面的推导中经常用) 引理6 若b ( u ) 是七+ 1 p ( q ) 上的有界线性泛函或次加性泛函，若b ( r ) = 0 , 贝u i b ( u ) i c l u l 血+ l ，p ，n 条件c i ：( u ，u ) h k + z ( q ) s ( q ) ，若b ( p k ，钉) = 0 ，v v s ( q ) 贝, u i b ( u ，u ) i c l u l k + , ，n i u b n 其中s ( q ) 是有限维多项式空间满足：r ，n c l v l 歹，n ，7 j v v s ( q ) 1 2 条件c 2 ：若u r + l ，当i q l = k + l 时，d a 缸是常数，贝j j k + 1 次t a y l o r 多项式u ) = r ) + 刍t 扩，b ( u ，可) =丽丽1厶d 卢d 7 u ，若口：川= k - i - 1 ，则7 的选择满 i 芦l = 七+ l 。l p l = 七+ 1 足：b ( z 。， ) = 鬲五1 丽厶d 1 ，7 歹 引理7 若双线性泛函b ( 心，u ) 满足条件c 1 ：和c 2 ，则 b ( “， ) = = 七+ 其中1 日( 钍，u ) i c l u l , , + 2 ，q i t ，b q 2 2 2 渐近展开式的推导 f ad z u 。1 u + 日( u ， ) ， 定义q ；以( 芭) = s p a n 1 ，z ，y ，z ，z 2 一y 2 ，z 2 一名2 】，类似定义q r o t ( e ) 引理8 设乏为标准正方体单元，对q p 的基函数组成的向量u y 2 ，z 2 一z 2 ) 我们有 证 睇让) u = 一：1 ( u z z + = ( 1 ，x ，y ，名，z 2 一 刍( 缸船掣吻+ ：+ 。u y y z v z 卜 u z z x + 让：耖) + d ( 1 ) i u l 4 a 川。争 当u s 时i h f u = u ；又插值函数臻乱满足( 1 6 ) ，因此当让p 3 ( 3 次多项式空 间) 时，通过计算得到下表 i uz 2 y 2x yy z z zx y z l 曙“3 + 百l ( x 2 一2 ) + ( z 2 一z 2 )3 一；( z 2 一y 2 ) + x 2 一z 2 ) 0 oo 0 i 乱z 3 y 3 z 3 x 2 y x 2 z y 2 xy 2 z z 2 x z 2 y z 2 i 臂缸 z 可 z y z z z z 秒3 + j 1 ( z 2 一y 2 ) 一百2 ( z 2 一z 2 ) 受【3 2 】的启发，我们对基函数来计算，已知u = ( 1 ，z ，可，z ，x 2 一y 2 ，z 2 一z 2 ) ，= ( 0 ，1 ，o ，o ，2 x ，2 x ) ，吻= ( 0 ，0 ，1 ，0 ，一2 y ，0 ) ，也= ( 0 ，0 ，0 ，1 ，0 ，- 2 z ) 令 当札足时， b ( x y ，u ) = ( z y ，z 2 ，z y 2 ， 0 ， x y z ，x y ( x 2 一y 2 ) ，x y ( x 2 一z 2 ) ) 1 3 高 l 一 o 秒 、l ， u 曙 一 u ， 爸 = 、l ， ，f b 、- ， 2 z一 2 z 2 y 一 2 zz y zl ，fl、l ， o y z ， 又因为 那么由引理7 得 即 b ( y z ， ) b ( x z ，钉) b ( x 2 ， ) b ( y 2 ，u ) b ( z 2 ，u ) 缸0 ，0 0 o 0 ) 缸0 1 0 0 0 7 0 ) 缸o ，0 ，o ，0 7 0 ) b ( u ，t ，) = h ( u ， ) =b ( u ，t ，) b ( 乱，口) y ，z ，x 2 一y 2 ， y ，z ，z 2 一y 2 ， 扎奶+ 丢 ，0 ，0 ) ， ( z 2 一名2 ) ) 】 秒2 ) + 亏l ( x 2 z 2 ) ) 】u 秒2 ) 一j 2 ( x 2 z 2 ) ) 】u u z z 钉， u y y u ， 让：u ， 让= z 2 u2y 2 让= z 2 u 鲫+ 札：) 丽1 百1 6 t ，+ 日( t 上，u ) u 鲫+ 札：。) 丽百 + 月( t 上，u ) 1 4 u z ：t ， 仇 仉 # 驴 一 一 z z 1 3 ， 一 护 a 乙弘 一 2 ， 1 犁 m l l 十 o 一 0 o ( ( l l -、0 叭 叭 5 9 p 5 9 5 9 门 一 一 一 l l l 名 z 2 ( p 矿 堡9 堑9 眵 堑9肛毫卜乏户童寺少专寺户。寺 ooo l 一9 1 9 1 9 、l ， u ，f l 日+u ： u o 1 9 一 v矿 u o l 一9 移 卜 正 五 z k 厂毒-0 三虬。厂e 一 一 ，e 1 9 件 m 铲 铭 伽 仳 厂、。一 + 机 珏 蚍 k o占 1 9 1 9 十 + 其中 因为 h ( x 2 ， ) h ( y 2 ，u ) 即2 m + 百1 2 ( 1 , x , y , z , x 2 - y 2 , z 2 _ z 2 ) 一缸0 o o ，0 ，0 ) + 扣0 1 0 1 0 0 ) 0 ) = 0 ， b ( y 2 ， ) + 否1 2 ( 1 , x , y , z , x 2 - y 2 , x 2 _ z 2 ) = 。， h ( z 2 , v ) = j e 7 ( z 2 ， ) + 百1 2 ( 1 , x , y , z , x 2 - - y 2 , x 2 _ _ z 2 ) = 。- h ( p 2 ，v ) = 0 ， 所以由范数等价引理，即条件c l 可知：i h ( u ，u ) i 6 1 乱1 3 , 川o ， 或者 b ( u ，u ) = 一：1 ( u + 乱p 管+ u ：z ) ”+ d ( 1 ) u i s ，a i 口i 。，e 回顾引理7 ，我们选d 7 口= 一百1 6 u ，贝 、4 4 。- - 足条件c 2 ： 上m e a s ( 芭j 厂。7 口) 一。 百1 r 一萼u = 一百1 6 ( 1 ，0 i o ，0 0 ，0 ) 百一百忙一百( 1 ，o ，o ，o ，o ，o ) b ( x 2 ， ) = b ( y 2 ，u ) = b ( z 2 ，u ) 当乱1 3 时，再看h ( u ， ) 是否为零，经计算得到下列式子 h ( x 2 y , v ) = j e 7 ( z 2 可， ) + j 1 ( 乱+ u 耖掣+ u ：) = 两1 6 ( 。，。，1 ，o ，。，o ) ， h ( x 2 z ，v r ) = j e 7 ( z 2 z ，u ) + 1 1 ( 让+ 札v v + 钍：) u = 两1 6 ( 。，o ，o ，1 ，o ，。) ， h ( y ：x , v ) = j e 7 ( y 2 x , v ) + 言( z + 让耖y + 训 = 万1 6 0 ，1 0 ，0 ，o ，0 ) ， h ( y 2 z , v ) = 鼬2 础) + 吾( u 嚣+ + ) 口= 芴1 6 ( 0 1 0 ，o ，1 ，o 0 ) ， h ( z 2 x , v ) = b ( z 2 x , v ) + 言( u 嚣+ + ) u = 万1 6 0 ，1 0 1 0 ，0 ) o ) ， h ( z 2 y , v ) = 坼2 ) + 吾( 仳嚣+ v + ) u = 西1 6 ( o ，0 ，1 ，0 ，o ，o ) ， 1 5 h ( x 3 ，秒) h ( y 3 ， ) h ( z 3 , v ) = 耶3 m + 吾( - i - u y y 1 - u z z ) u = 磊3 2 ( 0 0 1 0 1 ，0 ，0 ) ， h ( x y z , v ) = b ( x y z , v ) + 言( u 嚣+ u 掣v + u z ：) 钉= 。 则有9 项日( 心，v ) 0 ，又因为 瓢1 i o ，0 ，0 o ) 瓢0 1 ，o 0 ) 0 ) 那么 h ( u ， ) = + 孙1 o ，o ，0 1 0 ) = 孙0 1 0 0 0 ) = i 2 u “= z 3 ， t 2 乱删坳u = y 3 , i 2 也貂也u = z 3 ， ：而u x 。掣吻u = x 2 y ， 丢卜兆u = 屯 去u 掣剪z u 正u = y 2 x , 丢卜一；u = y 2 z , 丢卜池u = 赶 去ju 刈。u - - z 2 y x ( 乱， ) + i 2 ( u 一u y y y - - l - u z z z v z ) 1 1 ( 札v + u ：+ u 掣王4 u y y z v z f u z z x j r u z z y v y ) 1 6 、门、 0 0 0 0 o o 0 1 1 o 0 o 2 5 2 5 s ；一诣 ：；一钙 = = 口 口 ： = u u + + 可 y 删 彬 + + 船 彬 彬 o厂、； 1 9 1 9 + + 口 口 3 ， 3 ， z y b b o 0 o 0 1 o o 1 o 0 o 0 ，fl，f 2 5 6 7 3 4 1 2 = = = 、-，、，、i， 0 o 0 0 0 o 1 0 1 o 0 o o 1 0 0 o 0 6 7 6 7 6 7 1 2 1 2 1 2 此时 x ( u ，u ) = 日( u ，口) 一i 2 ( u 窭+ 札掣掣v + u 二貂) 一i 1 ( 牡z z v 吻+ 仳：+ 心舻 j r u y y z l j z 4 - ? 2 z z x u z z y v y ) x ( x 3 ，口) = 0 ，x ( v 3 ，u ) = 0 ，x ( z 3 ，v ) x ( v 2 z ，u ) = 0 ，x ( y 2 z ， 1 2 ) = 0 ，x ( z 2 z ， = 0 ，x ( x 2 y ，口) = 0 ，x ( z 2 z ，