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太原理工大学硕士研究生学位论文 一类分形函数的分数阶微积分及其维数 摘要 近年来有关分形函数的研究引起人们广泛的关注，分形函数以 w e i e r s t r a s s 函数为典型函数，人们对它的维数以及它的分数阶微积分函数的 维数进行了系统的研究。本文主要针对分数阶微积分的定义展开讨论，得 出了它的一些性质，并且讨论了一类更一般的分形函数，研究了这类分形 函数的分数阶微积分函数及其维数。论文的主要研究工作详述如下： 第一，我们定义了分形函数的分数阶积分和分数阶微分且针对分数阶 微积分的定义研究了它的一些性质。 第二，我们讨论了一类分形函数的分数阶微积分函数以及它们的k 一 维数。 第三，我们估计了这类分形函数的分数阶微积分函数的计盒维数。 主要结论： 对一类分形函数： ( r ) = 口”e o s ( b ”x + 以) 它的v 阶分数阶积分函数是 i o ( t ，l ，) ：= d 1 ( p ) ) = 口“( e o s o c , ( v ，b ”) 一s i n o 。s , ( v ，b ”) ) ( o a b 1 , 0 a 1 , 0 a b 4 1 ) 对于函数图像的k - 维数，我们获得如下结论： 定理o 1 设0 口 1 ，o a b 一 1 ，o a b 4 1 ，l o ( t ，v ) ，g a ( t ，) 是如上定义 的分数阶积分函数与分数阶微分函数，当口充分小，b 充分大时，我们有 m m 川挑1 】) 1 2 + 叫，d i i i l 以引啪- 2 + + 其中f ( f ， 口，6 】) 表示函数，在区间 口，h i 上的图像，万为取定的任意小的正数。 对于函数图像的计盒维数，我们有下列结论： 定理o 2 设0 口 1 ，了1 a b 一” l ，_ 1 a b ” 1 ，l a ( t ，) ，g a ( t ，y ) 是p n _ k 定义 1 7d 的分数阶积分函数与分数阶微分函数，我们有 d i 咐( 挑1 】) 2 + 器叫，d i m b f ( g a 柳胚2 + 器协 其中f ( f ，陋，6 】) 表示函数，在区间豳，6 】上的图像，j 为取定的任意小的正数。 关键词：分形，分形函数，分数阶微积分，k - 维数，计盒维数 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h ef r a c t i o n a lc a l c u l u so fat y p eo f f r a c t a lf u n c t i o na n dt h ed i m 匝n s i o n a b s t r a c t i nr e c e n t y e a r s ，t h es u b j e c t o ff r a c t a lf u n c t i o na t t r a c t e d m a n y m a t h e m a t i c i a n sa n ds c i e n t i s t s m o r ea n dm o r ea t t e n t i o n p e o p l ed i s c u s s e dt h e f u n c t i o no fw e i e r s t r a s sa sat y p i c a lf u n c t i o na n ds h o w e dt h i sk i n do fr u n i o n d i m e n s i o na n di t sf r a c t i o n a lc a l c u l u sf u n c t i o n s d i m e n s i o n s t h ep a p e rd i s c u s s e s s o m ed e f i n i t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u sa n dg e t ss o m ep r o p e r t i e sa b o u tt h e m t h e nw es t u d yak i n do fm o r eg e n e r a lf r a c t a lf u n c t i o na n ds h o wt h ef u n c t i o n s 丘a c t i o n mc a l c u l u sr u n i o n sa n dt h e i rd i m e n s i o n s t h em a i nr e s e a r c hw o r ki s d e s c r i b e di nd e t a i li nt h ef o l l o w i n g ： f i r s t ，w ed e f i n et h ef r a c t i o n a li n t e g r a la n df r a c t i o n a ld e r i v a t i v eo ff r a c t a l f u n c t i o n a n dw es t u d ys o m ep r o p e r t i e sa st ot h ed e f i n i t i o no ff r a c t i o n a l c a l c u l u s s e c o n d l y ，w ed i s c u s s ak i n d o ff r a c t a lf u n c t i o ns ：6 阻c t i o n a lc a l c u l u s f u n c t i o n sa n dt h e i rk d i m e n s i o n s t h i r d l y , w ee s t i m a t et h eb o xd i m e n s i o n so ft h ek i n do ff r a c t a l f u n c t i o n s f r a c t i o n a lc a l c u l u sf u n c t i o u s i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h em a i nc o n c l u s i o n sa sf o l l o w f o raf r a c t a lf u n c t i o n w a t ) = 口“c o s ( b ”x + 见)( o 4 1 ) n - 1 t h ef r a c t i o n a li n t e g r a lo fo r d e rya n dt h ef r a c t i o n a ld e r i v a t i v eo fo r d e r ao f ( f ) a r ed e f i n e dr e s p e c t i v e l yb y i o ( t ，y ) # d 一”( ( ，) ) - - z 矿( c o s o c , ( v ，b ”) 一s i n o , s , o , ，b ”) ) ( o a b 一7 1 , 0 a 1 , 0 a b 4 1 ) f o rk - d i m e n s i o n so ft h e g r a p h so ft h ef u n c t i o n sa b o v e ，w eg e tt h e c o n c l u s i o ni nt h ef o l l o w i n g t h e o r e m0 1l e t0 口 1 ，0 a b 一” 1 ，o a b 4 l ，i a ( t ，y ) ，g a t ，) b e t h e f r a c t i o n a l i n t e g r a l f u n c t i o na n df r a c t i o n a ld e f i v a t i v ef u n c t i o n d e f i n e d a b o v e t h e n 以孙1 】) - 2 + 器叱d 峨r ( g o 捌】) = 2 + 器+ h o l d sf o rs u f f i c i e n t l ys m a l l 口 1 w h e r er ( f ， 口，6 】) d e n o t e st h eg r a p ho ft h ef u n c t i o nfo nt h ei n t e r v a l 【口，6 】， 占i st h e p o s i t i v ec o n s t a n tt h a ti sa r b i t r a r ys m a l l f o rb o xd i m e n s i o n so ft h eg r a p h so ft h ef u n c t i o n sa b o v e ，w eg e tt h e c o n c l u s i o na sf o l l o w ： i v 太原理工大学硕士研究生学位论文 t h e 。r e mo 2l e t o 口 1 ，丢 口6 一” 1 ，吉 口6 ” 0 ：k 。叮) = o ) = s u p s 0 ：k ( r ( s o ) = 0 0 ) k 一维数常用来研究分形函数图像的性质。 这三种维数之间存在如下关系 3 1 d i m h f d i m l f d i m 口f d i m b f 。 以上三种维数是我们常用的维数定义，此外，还有许多维数的定义，显然它们的定 义各不相同，所以对同一集合而言，维数的值也不尽相同，但它们各有特点，在不同程 度上反映了分形集合的特征性质，分形维数的研究是分形分析的主要课题之一。 2 2 分数阶微积分的定义 作为微积分理论的发展，分数阶微积分的概念人们早已提出，分形理论的介入为它 注入了新的生机。分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ) 成为研究分形函数的有力工具， 他被应用于分形集合、分形函数、分形p d e 、函数空间等领域的研究。 分数阶微积分定义有各种不同形式，下面我们给出分形函数研究中最重要的一种分 数阶微积分的定义，r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶微积分。 定义2 2 1 设f 宅e ( o ，+ ) 上连续，即f c ( o p ) ，且在j = 【o ，+ m ) 的任何有限子区 间上可积，对t o ，r e ( v ) 0 ，称 d - 仰) 2 志j ：( 卜拟x 协 ( 2 2 1 ) 为函数f ( t ) 的y 阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分( 简称r - l 积分) 7 其中r ( 矿) = f p 。r ”1 西为伽马函数。 显然，( 2 。2 1 ) 可以改写为： 。一”f ( t ) = 而1 p ，( f x 逑 ( 2 捌 当y = n 为正整数时，d - 八f ) = ，( f ) 出d t 为普通意义下的h 次积分，也称为 以阶积分。 关于这一定义满足的一些性质以及它的证明过程我们将在下一章介绍。 我们结合上面的y 阶r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶积分的定义以及经典微积分中的整 数阶微分可以给出如下的阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微分的定义： 定义2 2 2 设厂c ， 0 ，聊是大于或等于的最小正整数，记y = 埘一l a o 则称 d o f ( t ) = d ”【d 一”，( f ) 】， u 0 ，r 0( 2 2 3 ) 为函数厂的u 阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微分。 应用定义2 2 1 可得阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微分如下： d ”，( f ) = d d 厂( r ) 】 _ d “高j ：( 卜。1 f ( x ) d x = i ：丽钞肛矿叫似逑 = 而( 争p 川厂。一x 陟( m - l g 0 ，则珂于所伺阴r 【u ，佃) ，列伺 d 【d 一一厂( f ) - d 咄”厂( r ) = d 一”【d ”厂( f ) 】 证明： 。一”【。一”，( f ) 】= i 彳1 万j ：孝。1 。厂( ，一。蟛 = 而1 舻而1 n 川加一善一叩) d 褙 = 高志盯善v - l r l , - l f ( 刊d 栲 = 南，而1 驴“儿一手刊鸳却 其中d ：( 善o ，r l o ，善+ r l 吩 同理 【埘】2 南南驴“广1 邝一可啕d 硝 即 d ” d ，( ，) 】= d 【d “厂o ) 】 男一方面 太原理工大学硕士研究生学位论文 胎d p 。叩”4 邝一善一珂) d 跏。三：砌r ( ) v - i s p - i 邝一“冲 ：甜叫邝一“) d u r ( 1 一xv - 1 x - i d x = 曰( w ) r ( y + a ) d 廿 邝) = r ( p ) r ( ) d p + 力厂( f ) 其中b ( w ) = j = z “( 1 一x ) 川d r 即得 d 1 【d 一”，( f ) 】= d - 一”厂( f ) = d 一9 【d “厂( ，) 】 性质2 ：设p3 0 i e 整数，d f 在( 0 ，+ o o ) 上连续，y 0 ，则对v t ( 0 ，+ ) ( 1 ) d - v - p 【d 9 厂( r ) 】= d ”厂一q ( ，p ) 其中啪咖塞斋以( 0 ) ( 2 ) d 9 【d “厂( r ) 】= d “【d 9 厂( f ) 】+ g 。( f ，l ，一p ) p ，或沩分数) 证明：( 1 ) d - i 【2 矿o ) 】= j = ，( 善) 菇= ，( f ) 一，( o ) d - 2 【d 2 厂( f ) 】= d 一1 d 一1 【d 2 厂( r ) 】= d 一1 ( j ：d 2 ( f ) 蝣) = d 一1 l 厂( t ) - f ( o ) 】= d 一1 厂7 ( t ) - d 一1 厂( o ) = 厂( f ) 一厂( o ) 一r 厂7 ( o ) 够 = ( f ) - f ( o ) - f 7 ( o y 所以我们猜测： 叫哪) 】- 邝) 一茎芋矾心) 下面我们用数学归纳法试证之： 当阼= 1 对，显然成立： 假设当胛= k 时成立，即 矿 d k ，( ，) m o 一篓华 则当厅= k + i 时，有 d 一“1 d “1 厂( ，) 】= d 一1 d “d 。( o f ( f ) ) 】 太原理工大学硕士研究生学位论文 而 因此 珂1 d - k d k 删 - d 弋一篓等等) 珂1 邝篓严训1 2 u 碘h 一喜华碘，一喜华 f “( o ) ， ( f + 1 ) ! 胖：高) a 争= 7 r - 硎o 煳协拶砂 = 而1j 0 1 t v + a y v - i ( 1 训4 砂= 高v + a 旷1 l ( 1 训4 咖 一竺舶，。州：兰f ( v ) f ( o t + 1 ) tk v ) t 懈- r t ) ：! t ! t t 堡z - 1 1 - ! t ) 1 2 斋附“) 2 高+ 而而2 币而j d - v - p 【d 9 ( f ) 】+ q p ( t ，y ) = d “【d 。，d 9 厂( ，) 】+ q ( f ，v ) 巧佻) 一薹芋心v ) =一1鬈华+qv(td-”f(t)d = 一1 半+ ，y ) t z o 二 彬7 俐一薹掣d - v t k + 驰d 巧一篓挚案卷+ y ， 巧张，一薹竽考十啪y ， ：z ，。，c r ， l ；i ：；：；r ”+ l r l ；i ：i 石：；：；i ；：i i 上，7 c = d “f ( t 1 得证， 1 3 ( 2 ) 对( 1 ) 的两边求p 阶导数d 9 ，即 d v d ”，( ) 】- d 9 p - v - p p ，( 溯+ d 9 0 p p ，p ) = d 9 【d 一”( d 厂( f ) ) 】+ d 9 绋( r ， ，) - d 1 d 一9 d 1 ( _ d 9 厂p ) ) 】+ d 9 绋( l ，) = d - ”( d 9 厂( f ) ) + d 9 q ( r ，y ) = 。”c 。，厂o ) ) + 。，萋；f i ；：而。，( o ) = 上，一c z ) 9 厂c r ，- ；l ；i ：! ； ：； ! ：；i i 上，9 ，”+ i = ：。一”c 。9 厂c ，+ ；l ；- i ：j ；：；c y + 七，c v + k - 1 ，c v + k - p + l ，r ”+ 一p ；。1 ( 。9 邝”+ 箭r ( y d k p f + ( o 七) 十1 ) t 州 = d 一”( d 9 厂( r ) ) + q ( f ，p - p ) 得证 性质3 ：设，在( 0 ，+ 呦上具有连续p 阶导数，p 为正整数，且l ， p ，则对于所有的 t ( 0 ，斗) ，有 d v d 一( 明= d 。p 训， 证明：应用性质2 中的( 1 ) ，得 d 一( 一p 厂0 ) = d 一”一，卜9 【d ，( r ) 】+ q ，( f ，一p ) = d - ( v - p + 9 d 9 厂p ) 】十q ( r ，y p ) = d 一”【d 9 厂( f ) 】+ 岛( f ，y 一力 应用性质2 中的( 2 ) ，得 d 1 d 厂( f ) = d 1 【d 9 厂( ，) 】+ g ，o ，l ，一力 所以 d p d 一”，( f ) 】= d - ( v - d ，( r ) 得证 1 4 3 1 2l e i b n i t z 公式 设，在【o ，x 】上连续，如果对所有的f 【o ，x ，g 是解析的，则对于矿 0 ，0 o ，r e ( t ) 0 ，r e ( a ) 0 ，则： 性j 贞1 ：d ”u ( t j + g t t ) j = d “，v j + d ”g u j 性质2 ：d “( 矽( f ) ) = a d 4 厂( ，) 性质3 ：。“f 4 = i r 石( i a t + i 1 ) 酉4 ，当l 1 t - a _ m 为整数时，。9 ( f 8 ) = 。 证明： 。4 = 亓：丽( 丢) ”j ：o x ) m - t - i x a 出( m - 1 。 n 证明：d 。一”们) = i ：i 丽1 邢) + 丽1 p ) + + 士f v 一1 厂- 1 ( o ) + d 一f o ) + + 一f 。，”( u ) + 、。v j f ) 。 = q o ，i ，一) + d 一f ”( f ) = d “d ”，( f ) + ) ( f ，v - n ) 因此 d 1 d ”f ( t ) = d ”d 1 ，( f ) 一q ( f ，l ，一) 性质8 ：当0 l a 1 ，a + a = 为正整数时，d ”d 4 厂( f ) = d ”( r ) + 级( f ，一) 1 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 证明：d 4 d 。，o ) = d 一( d ”d 一”一4 ，o ) ) = d “( d 一”一2 d ”，0 ) + q _ 。o ，n a - ) ) = d u d - “一1 d ”，) + d ”q ( f ，一= d ”一。d 一”一2 d ”，( o + d 9 q o ，一 = d ”厂o ) + d ”d 2 q i ( ，0 ) = d ”，( d + 鳊( f ，一) 特别地， 1i11ll， d 2 d 2 厂( r ) 】= d 2 d ( d2 厂o ) ) 】= d2 d2 d f ( t ) + 乏i ( f ，妄一1 ) 】 ：毛d一；z)厂(f)】+d；qo，一i1)：of()+ddd o f ( t d d 一；q l ( ，一与】 = 2 【d2 z ) 厂( f ) 】+ d 2 q o ，一i ) =) + 2q l ( ，一二) 】 = d f ( t ) + d q l ( f ，o ) = o f ( t ) 3 3 第三章小结 本章我们首先针对r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶积分的定义，讨论了它的交换性， l e i b n i t z 公式和l a p l a c e 公式，并给出了其证明，与一般的整数阶积分形成比较；接着 把r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微积分相结合，讨论了有关它们的一些性质。 2 0 第四章关于一类分形函数的分数阶微积分函数及其k 维数 分数阶微积分作为研究分形函数的一个有力工具，近年来引起人们广泛的重视。文 2 8 】在这方面作了较详细的综述，该文作者在【2 9 】中对一类w e i e r s t r a s s 函数： o ) = 刀州s i n ( 2 j t )( o 口 1 ) 止i 的分数阶积分函数与微分函数以及它们的k - 维数进行了讨论。下面针对一类更一般的 分形函数： w a ( t ) = 口”e o s ( b ”x + 幺)( o a 1 ) n = l 展开讨论，并给出其分数阶积分函数，分数阶微分函数以及它们的k 维数。 4 1 分数阶积分函数与分数阶微分函数定义 据定义2 2 1 首先给出s i n a t ，c o s a t 的分数阶积分： d - 。s i n 甜= 而i ：( f x ) “s i l l 础= ：墨( 哪) ， 。1 c o s 讲= 矗专r ( f 一功v - i c o s 麟出号g ( y ，4 ) ， s t ( v ，口) 与e ( ，口) 之间关系为： s ) - 口e “，口) c f ( y 纠= 志卜鹕( v + l , a ) 它们的导数如下： 啦( 哦= 掣咧川 d g ( v ，口) ：= ! 竺二i i ! 堕= c ：( y 一1 ，口) 下面给出w a ( t ) 的分数阶积分函数，对于o y 1 , 0 4 1 ，注意到 d 1 ( ( f ) ) = d 1 ( 口”c o s ( b ”x + 或) ) = 口”d 1 e o s ( b ”x + 只) n = l n = l 2 l 奎堕堡三盔堂堡主翌塞竺兰垡堡苎一 则称 = ：口“d 一”( c o s b “x c o $ 目n n = l s i n b “x s i n o ) = 口“( c o s a 。c , ( v ，b ”) 一s i n o s , ( v ，b ”) ) i e ( t ，y ) _ d ”( ( r ) ) = 口”( c o s 见e ( y ，b ”) 一s i n 0 s ( v ，b ”) ) ( o a b ” 1 ) 为( f ) 的y 阶分数阶积分函数。 对于0 1 , 0 口 1 , 0 0 ：k 。( r ( 厂) ) = 0 0 ) 命题4 2 1 ( 3 】) 设厂( f ) 是定义在a = o ，1 】上的连续函数，1 s 2 ，记 1 7 = o = 岛 f 1 f ： 0 ，函数，( 功= x 1 在区问 0 ，+ 】上是一非负的凸函数，并且单 调递减 在讨论k 维数之前我们首先看下列命题1 3 0 1 ： 命题4 2 3 设0 _ - c 2 t d 一1 ) a “成立 我们取c 2 u ) = m i n l c 2 ；( y ) ，c 2 。( v - 1 ) ，则 奠+ 。，一( k a ) c 2 ( v ) a 一，“一1 ，口) 一曩o 一1 ，a ) c 2 ( v ) a 1 ( i i i ) r o ，记c 如) = 高( 孚纠o m 口) i 羁( 咖“ ( i v ) f o 1 ，。 0 ，我们分两种情况讨论。 情况1 f s 竺，则 口 酬= 岛肛卅t n 础卜而1j ：( 卜。1 凼= 南蒜口” 情况2 r 竺，取正整数n ，使其满足塑丛生造 o = j ! z q + 一曲”1 j 进( ( 0 + 一功”1 一心 。”1 ) s n 再由命题4 2 2 可得 4 ，f l = j 进“o + | j i x ) ”一( t j x ) ”1 ) s i n a x d x ：窆箧严( ( 训一一( t j 叫“) s i n 础 t 一2 j 一34 2 ，_ 1 ( 2 i + l h = ( 丘三- ( ( + 厅一膏) ”1 一q - x ) ”1 ) s i n a x d x k = 2 j 一34 2 ( k + 1 ) x + j 三逊( 也+ 矗一x ) ”1 一( t j x ) ”1 ) s i n a x d x ) 2 - 1 ( 2 k + 1 ) a = ( 三r ( ( o + 矗一x ) “一( 一矿1 ) s i n 协 k 。2 1 - 34 一謦咖工一好x 一种s i n 施) 2 ，一1( 2 “1 弦 = j ：i ；一( ( o + 一x ) v - l _ ( t j 一工) ”。 一o ，+ 愚一x 一与“+ ( ，一工一马“) s i n a x d x 0 。 口 。 口 l = r ( 心+ 而一x ) “一n - x ) “) s i n a x d x ：窆蘑。( ( f ， 一) s i l l 础 = 薹辱( q广1 ，”l ( o 吖寺“+ i 。”i ) s i l l 础 而 = 警，因此存在仉( t j x 一吾矿概e 吒训丝, t j - - x + a争和矧删：)口4 。 口 使下式成立： ( t j + 叫州一心叫“一( 。+ 而一x 一予“t s - x - , 。r ) “ 太原理工大学硕士研究生学位论文 于是有： 所以有 啪，一一( t j - - x r 忆1 盹7 2 7 “川，争“】 = ( 1 - - v ) 刁，”一2 i 7 一( 1 一v ) 刁z ”一2 i 7 9 = ( v 一1 ) ( y 一2 ) 善”一3 i 叩t 一, 7 2 1 ”- a口口 ( v - d ( 卜2 ) 等弓吖+ 等厂3 = ( 卜1 ) ( 一2 ) 2 1 2 a - 2 ( f ，吖+ 詈广3口 口 。 订 厶妒顶川坳2 口- 2 2 荟j - 4 轳旷h s m 础 独- 1 ) ( 蹦) 2 砌。2 j - 4 岳等等盱h ；r ) v - 3 s z j - q i n 础 独- 1 ) ( 蹦m 2 矿荟军心吖+ 口i n 础 孚c y 卸c y 叫z 如4 善筐摹q x + 詈厂3 出 瓦”1 ) ( 岫2 棚( 堡等坐) r 一：一( ! ：二! ：! ! ：! ：! 生) r z ) a 压( 1 一p ) t t 2 a _ 2 ( ( ( 8 - 3 4 + 3 ) ；, r ) v - ：一( 生三坐盟冯一) = - , 2 矿( 1 - v ) y r ( 4 1 v - 2 _ 4 3 v - 2 ) 口一y 墨+ h ( v ，口) 一( y ，4 ) q ( v ) a 1 其中c 2 ( i ，) = 型r 川( v 州) 4 v - 2 “( 4 1 * - 2 - 4 3 v - 2 ) 同理我们可证明下式 最+ ( y 一1 ，口) 一s t j ( v 一1 ，a ) - g 1 ( 1 ，一1 ) a 一“ 其中c 2 ，u 一1 ) = 1 吖r 2 丽( 2 = - 矿v ) x v - ( 4 1 v - s - 4 3 v - s ) 我们取c 2 ( y ) = m i n g 。( y ) ，c 2 。( v - 1 ) ) ，则 瓯+ 一，4 ) 一s t j ( v ，口) c 2 ( v ) 口” s 。+ ( y 一1 ，口) 一s ，( 1 ，一1 ，2 g ( v ) a 一”“ 2 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( i i i ) n t 蔓j 彰( p ，口) = a c ；( p + 1 ，口) = a c , ( v ，口) ，所以 跏，加口，高j ：( h ) v - 1c o s 础 荚似( 1 ) 的证明，首先我们估算一下】c t ( v ，口) j 如果f s 竺，则 刮_ j 南j ：( t - x ) ”- ic o s a x d x h l f 。t ( t - - x ) v - i 出= 南口1 如果r 丝，取正整数n ，使其满足型! 生 1 ，设o 矗 0 x ( o ，n ，则有 ( ，一功”1 一o + j i l 一砷”- 1 0 所以有 厶= ij ：( ( f + 厅一x ) ”l o z ) “) s i n 甜凼卜j ：( o x ) ”l 一( ，+ 一x ) “) j s i n 倒陋 r ( o x ) “- ( t + h - x ) ”1 ) 出= ：厶 如果f h ，则 l j ：( r 叫“出= 告l v h v h ，取正整数，使其满足n h f ( 2 v + 1 ) h ，则 ，3 = r ( o x ) “一o + h x ) “) e x + l ( ( f x ) “一( f + 矗一曲”。) d r 太原理工大学硕士研究生学位论文 篓 叫。1 一( t + h - x r 协l y ( t n h ) ” 毛n - ij o h ( ( f 一曲一x ) “一( f + 矗一乃一x ) ”1 ) 出+ 吉 = r ( ( ，一( - 1 ) 而叫一d + j i 叫“+ 吉矿 r ( f 一( 一1 ) 一x ) ”1 出+ l y h ” l 矿h ”+ 吉= 吾吾a y 所以有结论 l 墨+ 。( y ，口) 一墨( y ，口) l 了1 仃一”+ 吾口一p = 吾口。“ 因此 ) 一墨) i 而3d = 志口一 由此命题得证。 类似地我们证明下列