（应用数学专业论文）障碍期权的定价及其应用.pdf

摘要 y6 2 5 3 盘0 本文基于连续时间模型，运用期权的风险中性定价理论，通过分析资产价格 过程鞅的性质，建立了障碍期权价值的数学模型。通过变量代换，将模型转化为 热方程进行求解。同时，本文针对曲线边界和双常数边界的障碍期权，运用等价 鞅概率测度、反射原理及留数定理，求出标的资产价格首达边界的概率密度，进 而对在有效期内期权被敲出给予现金补偿及敲入期权的定价情况进行了讨论。本 文还讨论了障碍期权定价在会融衍生产品定价中的应用。 关键词：障碍期权热方程等价鞅测度反射原理留数定理期权定价 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sb a s e do nt h es u p p o s eo fb l a c k s c h o l e s b yu s i n gt h er i s kn e u t r a l p r i c i n gt h e o r yo fo p t i o na n da n a l y s i s i n gt h em a r t i n g a l ep r o p e r t yo ft h ea s s e tv a l u e p r o c e s s ，w ec o n s t r u c tt h em o d e lo f t h ev a l u eo fb a r r i e ro p t i o i l s b ys o l v i n gt h eh e a t e q u a t i o n ，w eo b t i o n t h ep r i c eo f t h eb a r r i e ro p t i o n s m e a n w h i l e ，t ot h ec u r v e b o u n d a r y a n dd o u b l ec o n s t a n tb o u n d a r y s ，w eo b t a i nt h ep r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h e t i m ew h i c ht h ev a l u eo fu n d e r l y i n gf i r s tr e a c ht h eb o u n d a r yb e f o r em a t u r i t yd a t eb y u s i n ge q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，r e f l e c t i o nt h e o r ya n dr e s i d u et h e o r e m o nt h e o t h e rh a n d ，w ed i s c u s st h es i t u a t i o no fp a y i n gas u mo fc a s hw h e nt h eo p t i o ni s k n o c k e do u ta n dk n o c k - i no p t i o n s w ea l s od i s c u s sh o wt om a k eu s eo ft h eo p t i o n p r i c i n gi nt h ep r i c i n g o fo t h e rd e r i v a t i v e s k e yw o r d s ：b a r r i e ro p t i o n ，h e a te q u n i o n ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ，r e f l e c t i o n t h e o r y ，r e s i d u et h e o r e m ，o p t i o np r i c i n g 硕f j 论文障碍期权的定价及j 应用 引言 期权交易是指期权持有者拥有在将来某一确定时间或时期内以某一确定价 格买卖确定数量的某种资产的权利。普通的欧式期权收益是由到期日的标的资产 价格决定的，而与标的资产过去的价格运动轨迹无关。然而，在金融市场上还有 另外一种期权，其收益不仅与到期日标的资产价格有关，还与标的资产价格的运 动轨迹有关，障碍期权就属于其中一种。所谓障碍期权是指在以标的资产价格s 和时间f 构成( s ，r ) 空间的某些事先确定的边界上，期权价值可能出现，也可能消 失。如果标的资产价格在有效期内达到预先设定的边界，期权合约废止，则称之 为敲出期权，这样的边界叫敲出边界；相反则称之为敲入期权。对于单障碍期权 已有许多文献介绍了其定价公式，m e re , o n ( 1 9 7 3 ) 5 给出了向下敲出看涨期权的 定价公式；c o xa n dr u b i n s t e i n ( 1 9 8 5 ) 得出向上敲出看跌期权的定价公式；而 g o l d m a n ( 1 9 7 9 ) 4 则通过l e v y 公式直接求解得出某些路径依赖期权的定价公 式。由于单障碍期权的定价和套期保值相对简单明了，所以其在证券市场上已成 为- $ 十t f 常流行的金融工具。 对单障碍期权的自然推广则是考虑双障碍期权的定价问题。这类期权有一条 上障碍线和一条下障碍线，在其有效期内，一旦标的资产达到上、下障碍线的任 一条，期权即被敲进或敲出。近几年也有些文章讨论了双障碍期权的定价问题。 k u n i t o m oa n di k e d a ( 1 9 9 2 ) 1 6 求出标的资产价格在有效期内停留在两个曲线边 界的概率密度，这种概率密度是用无限项和表达出来的。通过这个概率密度得出 双敲出期权的定价公式。g e m a na n dy o r ( 1 9 9 6 ) 1 8 通过l a p l a c e 变换得出双障 碍期权的定价公式模型。a n t o o np e l s s e r ( 2 0 0 0 ) 1 2 利用c o x a n d m i l le r ( 1 9 9 5 ) 2 0 和g e m a na n dy o r 1 8 的一些已有结果，运用围道积分得出双 障碍期权的定价公式。 本文在总结上面结果的基础上主要做了以下几方面工作： 首先，在风险中性假设下，从理论上证明了障碍期权价值满足b l a c k s c h o l s 方程，再根据各种障碍期权所满足的边界条件得出其定价公式模型。 其次，对于单曲线边界期权则运用等价鞅测度及变量代换将变边界转化为常 硕1 一论文障碍期权的定价及其脚用 数边界，再运用反射原理得出标的资产价格首达边界的分布函数。 第三，对双障碍期权，在证明了标的资产价格首达上、下边界的时间期望有 界的前提下，运用随机分析有关知识及留数定理得出标的资产价格首达上下边界 停时的概率密度。 倾卜论文障碍期权的定价殷其应用 1 1 期权概述 第一章预备知识 在投资业中，期权被认为是两个人之间的一种合约。它的基本含义是：买卖 特定商品或有价证券合约，并在合约到期时由合约买方决定是否执行这一合约。 从形式上看，期权是一种交易双方签订的，按约定价格，约定时间，买卖约定数 量的特定商品或有价证券的合约。期权和一般的合约相比有一个本质的区别，即 购买并持有这种合约的一方在合约规定的交割时间有权选择是否执行这一合约， 而出售这种合约的一方则必须服从买方的选择。正是这种选择权使期权合约成为 一种特殊的合约。 概括地说，期权是一项选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖。期权的 一方向对方支付一定数额的货币后，即拥有在一定时间内以一定价格向对方购买 或出售一定数量的某种商品或有价证券( 称为标的资产) 的权利，而不负必须买 进或卖出的义务。期权的标的资产包括股票、股票指数、外汇、债务工具、各种 商品和期货合约。本文讨论的期权标的资产为股票。股票期权于1 9 7 3 年首次在 有组织的交易所内进行交易。从此，期权市场发展十分迅猛。现在，在世界各地 的不同交易所中都有期权交易。银行和其它金融机构同时也进行巨额的期权合约 的场外交易。 按照期权中包括的选择权利不同，期权可以分为两种基本类型：看涨期权和 看跌期权。看涨期权的持有者有权在某一确定时间以某一一确定的价格购买标的资 产，看跌期权的持有者有权在某一确定时间以某一确定的价格出售标的资产。期 权合约巾的价格被称为执行价格或敲定价格，合约中的日期称为到期同、执行日 或期满日。根据期权能否在有效期内任何时候执行，期权又分为美式期权和欧式 期权。本文讨论的期权为欧式期权。 在标准化的期权合约中，期权的有效期、敲定价格、标的资产的种类和数量 等都是事先规定的。只有期权的价格是期权合约中唯一的变量，是交易双方在交 易所内用公开竞价方式决定出来的。它是期权购买人付给期权出具人用以换取期 权所赋权利的代价。 标准期权的定价考虑了一些普通因素对期权价值的影响。在现实中，根据市 场的需要司以设计出不同定价方式的期权，即期权的价值决定于交易双方选定的 条件。这类盈亏状态与标准期权不同的期权，通常称为新型期权( e x o t i co p t i o n ) 。 常见的新型期权有打包期权、复合期权、任选期权、障碍期权、两值期权、回望 硕l 论文 障碍期权的定价及其应用 期权、亚式期权等。 障碍期权与标准期权不同，在期权有效期内，当标的资产的价格达到某一水 平时，期权就生效或失效。如，敲出期权，其他方面与标准期权相同，只是当标 的资产的价格达到某一特定障碍时，期权就自动失效。而敲入期权则相反。障碍 期权主要有以下几类：向上敲入期权；向下敲入期权；向上敲出期权：向下敲出 期权。 本文将从理论上讨论障碍期权的合理价格。 1 2 基本概念和基本定理 定义1 2 1 1 ：套利( a r b i t r a g e ) 指的是不需支付成本或承担风险就能立即 获取无风险收益的机会。 从理论上说，只要市场上存在无风险的套利机会，套利者会倾向于构筑无穷 大的套利头寸来套取无穷大的利润。这种巨大的套利头寸马上就成为推动市场价 格变化的市场力量，迅速地消除掉套利机会。无套利均衡分析是现代金融学特有 的研究分析方法。所有金融工具的定价都是根据无套利均衡关系给出的，期权也 如此。因此期权的价格必须遵循以下基本的无套利关系。 1 ) 看涨期权的价值从不高于标的物股票本身的价值，看跌期权的价值从不高于 敲定价。 2 ) 欧式看跌期权的价值从不高于敲定价用无风险利率贴现的价值。 3 ) 期权的价值决不为负值。 4 ) 美式期权的价值决不低于欧式期权。 5 ) 到期日时间长的美式期权的价值决不低于距到期日时间短的同一个美式期权 的价值。 6 ) 美式期权的价值决不低于现在马上就执行该期权所实现的期权价值，即有 c ( t ) m m x s ( t ) 一k ，0 e ( t ) m a x k s 0 ) ，0 ) 其中，是目前的时间，s ( t ) 是目前标的物股票的价格，k 是敲定价，c ( t ) 和p ( t ) 分别是目前美式看涨和看跌期权的市场均衡价。 定理1 2 1 ( 打j 定理) 【4 0 ：设置是一爪j 芗过程，捌：“衍+ v 船，。设 g ( t ，x ) c 2 ( o ，0 0 ) r ) ，即g 在 0 ，o 。) r 上二次连续可微。则z = g ( t ，爿，) 也是一 个i f 6 过程，并有 硕【。论文障碍期权的定价及其麻用 皑= 粤o t 置) 西+ 豢置) 捌，+ 圭磐o x ( f ，一) ( 折f ) 20 xz 一 其中础d t = d t d b ，= d b ，d t = 0 ，d b ，- d b , = d l 定义1 2 2 ( 停时) 6 ：设( q ，f ，p ) 上有一个非降的o - 一代数族 f ；r t ) 个取值于，u + o 。 的随机变量f ) 称为一个相对于 f ) 的停时，如果对 v t t ， ；r ( c o ) 玉r ，。 定理1 2 2 6 ：首达时是停时。 证明：设 孝。；m z + 是状态空间为( s ，) 的一个随机序列，x 寸v a ， 定义r 沏) = m i n n ：己 ) a ) ，r = 盯( f l ，己) 由于 r ( ) r ) = 。：邑a ，v n ( s ( r ) 一k ) + 。所以，在t = o 时，期权的公 平价格v ，应该是其相应的最优投资导致的资产。过程y ( ) 满足： v ( t ) = ( s ( 7 1 ) 一k ) + ( 1 3 ) 下面我们来构造这一套期保值的头寸。 设投资者投资于股票市场的资金为z r ( t ) ，剩余资金v ( t ) 一万( r ) 投资于债券。 则v ( t 1 满足下列方程： f d v ( t ) = p 矿u ) + ( 一r ) 丌o ) 】出+ 盯z r ( t ) d b ( t ) ，( 1 4 ) i y ( 丁) = ( s ( 丁) 一k ) + 设( 矿( ) ，s ( ) ) 是1 4 的适应解，则 w ) ：v ( t s ( f ) ) ，r 0 ，t ，口j ( 1 5 ) 6 坝卜论文障碍期枞的定价及j e 成用 k t m d 忡) = d ( 蜩( 啪= ( k + k 跏+ 圭s 2 矿2 ) 出+ k s a 地( f )( 1 6 ) 由( 1 4 ) 、( 1 6 ) 得： 因此有 k + ，v s s + ；s2 盯2 = r 矿，( f ，s ) o ，丁】( o ，m ) 此即b l a c k s c h o l e s 方程。 同时矿( f ，s ( r ) ) 应该是以下方程的解： u + ，v s s 十昙k s z 盯z ：，y ( ，s ) 【o ，r 】( o ，o o ) ， ( 1 _ 8 ) ( s ( r ) 一k ) + x ( 0 ，。) 如果v ( t ，s ( f ) ) 是( 1 8 ) 的古典解，则在s ( t ) = o ，矿( f ，s ( r ) ) 作为t 的函数满足线性 o d e ，且具有终值0 。因此y i 。= o ，r 【o ，r 从而 对其求解得 其中 一+ r v s s + 1 _ v 。s 2 盯2 = r 矿( f ，s ) 【o ，r 】( o ，。) ( s ( t ) 一k ) + s ( 0 ，o 。) ， v l 。= 0 t o ，t l ( 1 9 ) v ( t ，s ) = s n ( d + 9 ，s ) ) 一k e 。7 。“n ( d o ，s ) ) ( 1 1 0 ) ) = 去唧( 一詈膨 州蟠，：生挲0 - 2 从而，欧式看涨期权价格 d0 万 叫乩 矿 r 铲 燃 o ： h脚惦艄 ” 一咿 硕士论文障碍期权的定价及其应用 c ( t ，s ) = s n ( d + ) 一k e “n ( d ) 应用看涨一看跌平价公式c p s k e ”。及恒等式n ( d ) + ( 一d ) = 1 得欧式看 跌期权价值： e ( s ，r ) = k e 一7 。“ ，( 一d 一) 一s n ( 一d + ) 1 4 风险中性假设 期权定价中，总是用无风险利率进行贴现。然而，期权是有风险的金融工具， 要训算现值，贴现率不应该是无风险利率。这就涉及到风险中性假设。为了搞清 什么是风险中性假设，我们先来看下面这个例子。 1 8 世纪著名数学家d a n i e lb e r n o u l l i 在研究赌博问题时发现，人们往往对 赌博可能输掉的钱看得比可能赢到的钱重。例如有一个掷硬币的赌局，假定硬币 是完全对称的，正面朝上可以赢得2 0 0 0 元，反面朝上则1 分钱也收不回。现在 问，赌注应当多大，才能使这一赌局成为一场公平的赌博? 所谓公平的赌博是指赌博结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等， 即其结果从概率平均的意义上来说应当是不输不赢。所以上例的赌注应该是： 1 0 0 0 元。然而，对许多人来说不愿花1 0 0 0 元来参加这一虽然公平的赌局，因为 赌博有风险。有人只愿花2 0 0 元甚至只愿花1 0 0 元来入局。他们要求有8 0 0 元甚 至9 0 0 元的预期收益作为承受风险的补偿。这些人是风险厌恶型的。现代金融学 认为理性的市场参与者都是风险厌恶型的，但各人对风险的厌恶程度有所不同， 有人激进，有人保守。 不过，如果有人愿意无条件地参加公平的赌博，则被认为是风险中性的，风 险中性者对风险的大小无所谓。如果我们把购买未来收益不确定的资产的投资活 动看作赌博的话，风险中性的投资者对所有资产所要求的预期收益都是一样的， 为无风险收益率，而不管其风险大小如何。 在一个假想的风险中性的世界罩，所有的市场参与者都是风险中性的。那么， 所有的资产不管其风险大小或是否有风险，预期收益都相同，等于无风险收益率。 而且，所有资产现在的市场均衡价格都应当等于其未来收益的预期值，加上资金 时间价值，就是未来预期值用无风险利率贴现后的现值。这就是采用无风险利率 作贴现率的原因。 我们在给期权定价总是假定无套利存在。其实，风险中性假设和无套利均衡 分析紧密相连。当无风险套利机会出现时，所有市场参与者都会进行套利活动， 顾卜论文障碍期权的定价及其应用 而不管其对风险的厌恶程度。另外，在期权定价问题的分析过程中，总不会把投 资者的风险偏好考虑进去。这样我们就可以把问题放到一个假设的风险中性的世 界早进行分析，这样可以大大简化问题的分析，所得结果在真实世界罩也成立。 1 5 风险中性测度 假没股票价格满足几何布朗运动： d s f n = p s d t + o s d b , ，硝常数，b ，为一维布朗运动 为了在风险中性理论下研究期权的定价问题，我们首先需要寻找市场概率测 度p 的等价鞅测度，即风险中性测度。 定义1 5 1 ( 风险中性测度) 1 ：设( q ，p ) 为一概率空问，p 为市场概率 测度。与p 等价，使所有贴现的资产价格为鞅的概率测度称为风险中性测度。 令 吾( f ) = 坚r 十b ，：0 h b ， 0 ：盟( 风险的市场价格) ，r 为无风险利率 令z = e x p ( - 一观一l o 2 t ) = e x p ( 一目三r + 圭o 2 t ) 定义尸( 一) = f z ( f ) 卯，v a ， 由定理1 2 5 可知，p 为风险中性测度，且b 在p 下是布朗运动。 在j df 矗s o ) = r s d t + f _ r s d b ， 颂 。论文 障碍期救的定价及其心用 第二章常数边界的期权定价 2 1 向下敲出看跌期权定价 文 1 4 对吸收边界为常数的向下敲看涨期权的定价进行了讨论。下面我们来 讨论向下敲出看跌期权的定价模型。首先我们设定期权有一吸收边界l ( 为常 数) 。假定当标的资产( 股票) 价格在期权有效期内向下达到l 时，期权价值变 为0 。如果资产价格在有效期从未达到l ，到期时期权支付函数为：l l l a x ( k - s ( t ) ，0 ) 其中t 为到期时，s ( t ) 为到期时股票价格，k 】j 。只要s ( t ) l ，0 f t ，则期 权价值v ( s ，t ) 满足b 1 a c k s c h o l e s 方程：+ r s i i s + 去盯2 s2 一r v = 0 ，终值条 件为：v ( s ，t ) = m a x ( k s ( 丁) ，0 ) 于是向下敲出看跌期权价格满足： k + r s v s + 妻盯2 s2 y 目一r y = oo ，s ) 【o ，r 】( 三，c o ) ， ( 2 1 ) v 1n ： = 0 ， 矿k = ( k s ) + 作变量代换： s = e 4 , r = 7 2 r 川鼢归2 a r 雎孵，小+ 专( 卜争2盯一 z 盯z 卢：一1 1p 一_ 0 - 2 ) 盯。2 在这些新变量里，障碍期权问题变为： y ，+ 嚣= 0 ， p ，f ) o ，k t x 0 ，o o ) 其中t = 霎，障碍线：x = l n 三， 边界条件：( z ，f ) = 0 ，f 1 0 ，k t 】 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 终值条件：妒l ，= e - a c - 5 4 ( k p ) + ， 善( x ，。) ( 2 - 4 ) ( 2 2 ) 式可看作是在半无限的细长棒上求解热传导方程，因为在孝= x 点，温度 1 0 顺j 一论文障碍期权的定价及其应用 为0 。又变量度量的变化，不会影响棒中热传导问题，如果p ( f ，f ) 是( 2 2 ) 的解 则对任意帝数，y ( f + 而，f ) 和y ( + ，f ) 也是方程的解。为7 保证在某点上的 温度为o ，只要将一冷一热两根温度绝对值相等的棒连在一起，连接点的温度相 互抵消，变为。度。由这一思想，可以将2 2 2 ：4 所示的x 0 ，b 0 ( 若b k ) ，k 为敲定价，s ( o ) a ，否则期 权在0 时，即被敲出。则到期时期权买方可获得收益为m a x ( s ( t ) 一k ，0 ) 。 否则， 该期权合约无效，期权买方收益为o 。 在期权有效期内，若基础股票价格没有达到上障碍线，则与标准期权相同。从 而，该期权价值应满足b l a c k s c h o l e s 方程。 于是该期权价值v ( s ，r ) 满足： 1 k r v + ，s k + 去仃2 s2 k “= 0 ，0 s o ) 三o ) ，0 f 0 ，b 0 作变量代换 川。s 等磐，旧一：形：， 。 s f n 口 一e x 啦+ 2 ：) 郴( f ) ，r ) 口= r + 三仃2 口2 u ，= u 埘，x ( o ，) ，f ( o ，三盯2 丁) u ( o ，f ) = 0 ， 名 一 2 盯 l 一2 +8 ( = 口 为化转) 1 程方则 硕l 论文障碍期权的定价及其应用 u ( x ，0 ) = e “( a e x p ( b t x ) 一k ) + 由分离变量法得 e “( b e k ) + = p ( x ) ，其中b = ae x p ( b t ) ( 3 2 ) ( x ，f ) ：6 e x p ( ( 口一1 ) x + f ( d 一1 ) 2 ) ( l o g b - i x 了i - ；2 r ( 一o r - 1 ) ) 一( 一k 。p + 缎z ) j v ( l o g1 b k - i x - - 2 一r c 。) 一( 百- x - 2 f o r ) b e x p ( 一( 口一1 ) x 十f ( a 一1 ) 2 ) 【( + k e x p ( - c o c + w 2 ) ( x + 2 r a 压 、厉 x 一2 r ( a 2 f ( - l o g b - 压x + 2 r ( a - 1 ) ) 】 一l o g 鱼一x + 2 聊 ) ( 二 ” 其中( x ) = 了杀e x p ( 一等) 鸳 ，为标准f 态分布 于是，我们得 定理3 1 1 ：障碍线为三( f ) = a e x p ( b t ) 的向上敲出看涨期权在0 时的价值 y ( s ，。) = ( 昙) 。e x p ( 一f r ) u ( 1 0 9 鲁，三盯2 r ) 叫。纂+ 竽一譬一争州巢一譬一等， p ( - r t ) f 垡+ 堕十丛 n 。 m 意+ 等十字 ， k 等m c 幕+ 华一每 叫丢，型笋簪+ 华+ 了r 4 y m 。巢一竽+ 丛2 + 等， 1 4 硕十论文障碍期权的定价及其应用 州等要唧驯。饕a2 一堑2 + r , 。z ， 州鉴4 t o 一竽一巫2 + 等如 盯盯 推论l ：若令b = 0 ，我们可得到障碍线为常数a 的向上敲出看涨期权在0 时 的价值： 郴聊叫。巢一华一年州巢一譬一等， 式 删卅州。纂+ 譬一等m 。攀+ 华一等， s 孚叭攀+ 竽+ 等m 。幕a + 譬+ 等， + k 孚唧删簪一譬+ 等， 州纂一譬+ 锈 推论2 ：若令b ：0 ，a 斗+ 。，则可得出标准欧式看涨期权的b l a c k s e h o l e s 公 哪：删f 鉴+ 生+ 生) ( s ，o ) = 删意+ 等+ 寺) 融p ( - r t ) f 骘一生+ 堑) n 。 意一等+ 寺) 3 1 2 标的资产支付红利时的障碍期权定价公式 前面我们讨论期权定价总是假设基础股票不支付红利。但是，现实中的情 1 5 硕卜论文障碍期权的定价及其应用 况往往并不是这样。现在考虑基础股票支付红利的情况，假定被支付的红利是当 时股票价格和时间函数j d ( r ) 的乘积，即d ( s ，f ) = d ( f ) s ( f ) 。d ( s ，f ) 表示每单位时 间一股股票所支付的红利。在这种情况下，没有任何影响股票价格的额外不确定 源，所以期权价格仍然是股票价格和时间的函数。此时，股票价格满足随机微分 方程 d s ( o = ( “一d ( t ) ) s ( t ) d t + f f s ( t ) d b ( t ) 相应的期杈价值万程是： 矿一，v + ( r d ( t ) ) s v s + 去盯2 s2 u 翁= 0 ，0 s o ) 上( r ) ，0 f r 终值条件和边界条件与( 3 1 ) 式相同。 作变量代换x ：s e 一护“，得： k r v + 联+ 去盯2 x 2 吃= 0 ， 终值条件：v ( x ，t ) = ( x k ) + ，x 0 ，s ( t ) = a e x p ( b t ) 函数f ( ) 是带吸收壁a e x p ( b t ) 的股票价格在t 时刻的概率密度，它以股票价格s 为条件函数g ( ) 是s ( r ) ，f 0 ，】第一次上穿吸收壁爿e x p ( 勘) 的概率密度 上式右边第一项表示无现金支付的向上敲出看涨期权的价格，在3 1 1 中已 求出。第二项 r e ”7 lg ( s o ) ，f ；s ，o ) ( f r 2 r - e x p ( - r r ) p ( r sr ) 为期权被敲出将给予现金支付在0 时所对应的价值。 下面我们令 s ( t ) = l 。g 兰兰；磐，( ，) = 雪( 。) 一亏( 。= l 。8 i i i ；万， s ( o ) = s ，s ( o ) = 0 在风险中性测度下，d s ( t ) = r s ( t ) a t + o - s ( t ) d b ( t ) 显然 s ( o = 爿e x p ( b t ) 一v 专( f ) = l 。g 昙 由伊藤定理：d - s ：( ，j 一去盯2 一b ) 疏十o v j b , 令臼= r 一= 1 盯2 一b ，贝4 矗手= o d t + d b , ，季o ) = 毋t + a b ， 令衲：塑：旦h e 邵) = e x p ( 一知) + 等) = e x p ( 一) - 箸)盯z 盯o u 则 杞= c 一导以一导出，z + 鲁劢一詈如， 所以，z ( t ) 是鞅 又z f 0 ) = 1 ，e z ( t ) = 1 ，v t 0 顾卜论文 障碍期权的定价及其应用 定义声( 爿) = f z ( t ) d p d p ( a ) = z ( t ) d p ( a ) 由定理1 2 5 ，b 在p 下是布朗运动 令 m ( 丁卜m 。a 。x b ( t ) 由定理1 2 6 ，p ( b7 x ，my y ) = p ( b7 2 y x )( x y ) 于是 从而 p ( b7 x ，m 7 y ) = p ( b7 x ) 一p ( bx x ，m r y ) = p ( b7 x ) 一p ( b7 2 y x ) p ( b t d x ，m ， y ) = b ( x t2 ) 一庐( ( x 一2 y ) t2 ) i t 2 其中o ( x ) 2 去e x p ( j 么) p ( b 一墨m 小y ) = p ( b r 以，m r y ) d z = j ! ：e x p ( 0 z 一等激讥忽m 胆 = h c 导z 一等 孵r 一；h c 等茅眦 我们只对第一项求解，第二项类似 h c 等而c 刀一j 肛击h c 导z 一等沁卅嘉t ) d z 所以 去e x p ( ( z 一翌) z 仃 肛( 等) 如q m 钏_ ( 等1j _ e x p ( 掣o - ) ( 警1 )d d 令m7 = m a x s ( t ) ，于是： 0 1 f 7 p ( j x ，西， y ) ：尸p 云 x ，o - m ， ，当且仅当西z r ：j d 西， 6 ) = p ( s t ) 小一v c 等1m x p ( 警川等1 ，盯、， u 盯、， 州弓等m 唰等m 二筹， 因此： 兄e x p ( 一r r ) fg ( f ，s ( f ) ；s ，o ) d r = r e x p ( 一r 丁) p ( f s r ) 罐唧r ) 【( 南1 野唧( 等) ( 弓茅，】仃、 u 仃 其中6 - l 。g 昙口= ，一吉仃2 一b 若现金支付发生在敲出时，则此收益对应的价值为： 矿( o ) = r fp g ( 0 ，s ；f ) 咖 若基础股票价格在有效期内达到障碍线，敲入一个看涨期权，则其价值为： 矿( o ) = f 。c ( s ( f ) ；f ) g ( o ，s ；r ) d r 其中c f 剐f ) ，f 1 表示刑1 标准欧式看涨期权的价值 硕十论文 障碍期权的定价及其威用 3 3 向下敲出看涨期权定价 第一节我们讨论了向上敲出看涨期权的定价问题，下面我们考虑向下敲出的 情况。假如在到期前股票价格跌落到期权买卖双方事先商定的障碍线 l ( t ) = a e x p ( b t ) 以下时，该期权无效。否则，在到期时期权有收益m a x ( s ( t ) 一k ，0 ) 1， 一r v + ，s k + 盯2 s2 站= 0 ，s o ) 三( f ) ，0 r 蔓t ， 终值条件：y ( s ( 丁) ，r ) = ( s ( t ) 一k ) + ，s ( r ) l ( t ) 边界条件：矿( e ( f ) ，) = o ，t t ) 令 7 = l o g 丽丽v 盟然旷( 。) = 。，且矿( f ) = l oe x p 肛等价于旷= l 。8 丙l 丽o = 三。这样我们把变边 界问题转化为常数边界问题。 根据n j 定理，在f 。f d 矿= p 一：1 口，2 一) 出+ 口，d 配o ) 令阳一氓舭矿= 觎坶佤 从而矿= 0 f + 盯，瓦 硕【j 论文 障碍期权的定价及其应用 再令罾= o 仉l + b v ( m 婴a t p ( - 堕o v + 笔z o v ) 盯” 由g i r s a n o v 定理，百( r ) 在概率测度芦下是标准布朗运动。 令m ( 丁) 2 0 ( f r a i g n b ( t ) 由布朗运动的对称性： 户( 瓦x ，m ( r ) y ) 由此得：p ( 8 ，x ，m ( r ) y ) = f ( 豆x ) 一p ( b ，2 y x ) 于是： l i ! 声( 豆d x ，( r ) _ y ) = o ( x t2 ) 一【( 2 y x ) t2 】扣2 从而有： 砸 删( 珍y ) = r e x p 告巨一篆威豆咄岬) 力疽 ：( ! 善丝) 一e x p ( 2 y o ) n ( - c r v x + 2 c r v y + t o ) 4 t c r ro v l a y 令m 口) = m i r ) = p ( f r ) = p ( 厨( 丁) 厶) = p ( t y ( t ) l i 厨( 丁) l i ) = ( 等卜警o - ，l 嚣4 tjl 仃， 1 i l 盯f f = ( 等h 等) 设以表示在 o ，丁 内矿穿过下边界厶的所有路径的结合，则在概率测度芦 下矿( f ) 在沿路径既的条件下的概率密度函数： 碗j 。论文障碍期权的定价及其心用 所以 磊( 矿( 丁) ，o p 丁) = 矗( 旷( 丁) ，2 l ，i f 7 ) = ，j ( 矿( 丁) ，2 l 。) g ( z ，2 l 1 ) = b ( 盯，百，( 7 1 ) + 2 l ， z ) 叫啪 等，= 萨击唧c 一旁出。o。l?一z 玎i z i 椭删瑚，= 赤唧卜掣 埘r 加郎耻面1 唧( _ 驾笋 等 = 赤唧( - 嘎笋 e x p ( 孑0 阳，一筹 由弓( 矿( 丁) x ) = 斥( y ( o ) e x p ( 旷( 丁) + 矽) x ) 2 辟( 矿( 丁) r ) 表达式可推得： 1 。g 攀 f ( r t ) = i 二e l 4 2 ，r o ，吒j 【l o s ”尹1 2 坝i 论文障碍期权的定价及其应用 第四章双障碍期权定价 4 1 双敲出期权价值的数学模型 考虑这样的双障碍看涨期权，上下障碍线分别为“f ：，且 0 ，： k ，世，“，：为常数，k 为期权的敲定价。假定标的资产( 股票) 的价 格在 o ，7 _ 】时间内向上达到，或向下达到，：时，期权自动失效。若股票的价格在 0 ，7 1 】f h j 内没有达到，和f ：，则在到期时t ，期权的收益为：( s ( r ) 一世) + 因此，该期权在t 时的价值为： v ( t ，s 口) ) = e t , s p 州一( s ( r ) 一瓦) + ( 。，。n ，【7 卜，： ( 4 1 ) 0 f t ，f 2 s ( t ) ，1 其中s ( ，) _ m 。a 。x s ( t ) ，s ：( 丁) 2 啤 函数y ( f ，s ( f ) ) 满足终值条件： v ( t ，s ( 丁) ) = ( s ( r ) 一k ) + ，2 s ( 丁) f ( 4 2 ) 边界条件：v ( t ，= 0 v ( t f 2 ) = 0 0 r t ( 4 3 ) 下面我们将证明v ( t ，s ( f ) ) 当f 2 s ( f ) o 满足，： s ( o ) t ，r 硕卜论文荤碍期权的定价及其j 叫蔼 设0 3 q 已知，选取f 0 ，t 】。如果f ) f ，则 e p ”7 ( s ( r ) 一k ) + i s i ( t ) i ： i f , 1 = 0 但是，当r ( c o ) f 时我们有： v ( t r ( c o ) ，s ( t r ( c o ) ，c o ) = v ( t f ( ) ，。) = 0 ， i = l 或2 所以： e e - r t ( s ( 丁) 一k ) + 隔( r ) 。“s ：( 7 ) 、2 1 f = e r ( t r ) v ( t a f ，s ( f r ，珊) ) 另一方而，如果r r ，则根据马尔可夫性： e 已叫7 ( s ( 丁) 一k ) + ，“( 7 1 ( f 。 ( ，f 2 l f = e 跚p 吖7 ( s ( r ) 一k ) + ， s i 1 2 】 = e 一“y ( r ，s ( f ，) ) = e - r o a r ) v ( t f ，s ( t f ，) ) 从而无沦r t 还是f r ，我们都有： ee r t ( s ( r ) 一k ) +