（应用数学专业论文）rulkov模型在化学耦合下的同步分析.pdf

t a 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权北京交 通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：如l 9 年1 月t 日 导师签名： 藩f 嘲 签字日期：少【9 年1 月p 日 中图分类号：0 1 7 5 1 2 ；0 1 7 5 1 4 u d c ：x x x x 学校代码：1 0 0 0 4 密级：公开 北京交通大学 硕士学位论文 r u l k o v 模型在化学耦合下的同步分析 s y n c h r o n i z a t i o na n a l y s i so f r u l k o vm o d e lc o u p l i n gb yc h e m i c a ls y n a p s e s 作者姓名：崔晓丽 导师姓名：曹鸿钧 学位类别：理学 学科专业：应用数学 学号：0 8 1 2 2 1 3 6 职称：教授 学位级别：硕士 研究方向：非线性系统分岔和混沌 北京交通大学 2 0 1 0 年7 月 致谢 本论文所涉及到的研究工作都是在导师曹鸿钧教授的悉心指导下完成的他 渊博的知识、宽广无私的胸怀、夜以继日的工作态度、对事业的执著追求、诲人 不倦的教师风范和对问题的敏锐观察力，都将使我毕生受益，在此特向我的导师曹 鸿钧老师表示我最崇高的敬意和感激还要感谢我的师母蒋尧珍老师，两年来，她 在生活和学习上给了我极大的关心和帮助，在这里让我表示最衷心的感谢 感谢同门的师姐，师兄和师妹们，我们共同的学习、探讨与合作使我收获很多 感谢我所有的同学和朋友，感谢他们多年来在学习和生活中给予我的关心和帮助 感谢二十多年来抚育我成人，支持我完成学业的家人，感谢他们的鼓励和教诲， 当我取得成绩时，他们比我开心，当我遇到挫折时，他们总是我最坚强的后盾他们 对我无私的支持和鼓励是我前进的最大源泉和动力 最后，感谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见和 建议，并期待您的批评和指导 北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要：神经元在中枢神经系统信息处理过程中起着关键的作用，神经元信息的产 生和传输体现了丰富的非线性特征因此，单个神经元与多个神经元耦合系统的非 线性动力学研究具有重要意义本文对两个相同的r u l k o v 神经元在化学耦合作用 下的系统进行分类讨论，求出系统不动点稳定性所需的参数条件，并且仿真出不动 点的稳定性区间，得出两个r u l k o v 神经元在化学耦合作用下产生同相和反相同步 的条件 论文包括如下几个方面： 第一章，简要介绍与本文有关的非线性动力系统方面的知识，包括：混沌理论、 同步理论、互相关函数，并且简要叙述r u l k o v 神经元网络提出的背景 第二章，分析带有化学耦合的r u l k o v 神经元模型，讨论两个神经元的快变量都 大于预先设定的阈值( 秒) 时，计算该模型的特征值与参数的关系并且仿真出不动点 稳定性区间，得出在i n h i b i t o r y 条件下( u py = 一2 时) ，神经元模型产生同相同步；在 e x c i t a t o r y 条件下( u pi = l 时) ，神经元模型产生反相同步 第三章，运用相平面分析、互相关函数及波形图，讨论两个神经元的快变量一 个比p 大，一个比口小的情况研究表明：在i n h i b i t o r y 条件下( 即i = - 2 时) ，神经元 模型产生近似同相同步；在e x c i t a t o r y 条件下( u py = 1 时) ，神经元模型表现为近似 反相同步 第四章，分析当神经元的两个快变量与预先设置的阂值口处于随机状态下，神 经元模型的同步行为研究表明：两个神经元相关性比较大，且同步行为比较明显 在i n h i b i t o r y 条件下( 即y = 一2 时) ，神经元模型产生反相同步；在e x c i t a t o r y 条件下 ( 即y = 1 时) ，神经元模型产生同相同步 第五章，对全文进行总结 关键词：r u l k o v 模型；不动点；耦合；同步 分类号：0 1 7 5 1 2 ；0 1 7 5 1 4 ， a b s t r a c t a b s t r a c t ：t h en e u r o n sa r eb e l i e v e dt ob et h ek e ye l e m e n t si nt h es i g n a lp r o c e s s i n go f n e u r a ls y s t e m s t h eg e n e r a t i o na n dt r a n s m i t t i n go fn e u r a li n f o r m a t i o na r en o n l i n e a r , s o t h ed y n a m i c a lp e r f o r m a n c e so fi n d i v i d u a lo rc o u p l e dn e u r o n sr e c e i v em u c ha t t e n t i o ni n t h ef i e l do fn e u r o s c i e n c er e s e a r c h i nt h i st h e s i s ，as y s t e mc o n s i s t i n go ft w oi d e n t i c a l r u l k o vm a p b a s e dn e u r o n sc o u p l e db yc h e m i c a ls y n a p s e si sd i s c u s s e d t h ep a r a m e t r i c c o n d i t i o n sf o rs t a b i l i t i e so ff i x e dp o i n t sa r ed e r i v e d ，a l o n gw i t ht h e s t a b l er e g i o n so f f i x e dp o i n t s t h r e ec a s e sa r et a k e ni n t oa c c o u n ti no r d e rt oi d e n t i f yw h a tc o n d i t i o n sa r e s a t i s f i e dw h e nt h es y s t e mt a k e sp l a c ei n - p h a s ea n da n t i p h a s es y n c h r o n i z a t i o n s ， r e s p e c t i v e l y t h el a y o u to ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c eab r i e fr e v i e wc o n c e r n i n gd y n a m i c a lt h e o r y , s u c ha st h e c h a o st h e o r y , s y n c h r o n i z a t i o nt h e o r ya n dc r o s s c o r r e l a t i o nf u n c t i o n , a sw e l la s t h e b a c k g r o u n do fr u l k o vm a p b a s e dn e u r o nm o d e l i n c h a p t e r2 ，as y s t e mc o n s i s t i n g o ft w oi d e n t i c a lr u l k o vm o d e lc o u p l e db y c h e m i c a ls y n a p s e si sc o n c e m e d w h e nt h et w of a s tv a r i a b l e so ft h es y s t e ma r ea l ll a r g e r t h a nt h ep r e s y n a p t i ct h r e s h o l d ( 臼) ，t h es y s t e mi sd i v i d e di n t ot w os u b s y s t e m s w h e nt h e c h e m i c a l s y n a p s e s a r e i n h i b i t o r y ( y = 一2 ) ，t h es y s t e m t a k e s p l a c ei n 。p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n , w h i l e t h ee x c i t a t o r y ( y = 1 ) s y n a p s e sg i v er i s et oa n t i p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h et w of a s tv a r i a b l e so ft h es y s t e m ，i nw h i c ho n ei sl a r g e r t h a np a n dt h eo t h e rs m a l l e rt h a n 秒t h ec r o s s c o r r e l a t i o nf u n c t i o ni sa p p l i e dt o i n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w on e u r o n s w h e ns y n a p s e s a r ei n h i b i t o r y ( i ，= 一2 ) ，t h es y s t e ms y n c h r o n i z e sm o s t l yi n - p h a s e ，w h i l ee x c i t a t o r y ( y = 1 ) s y n a p s e s o c c u rm o s t l ya n t i p h a s es y n c h r o n i z a t i o n i nc h a p t e r4 ，ab r i e fa n a l y s i si sg i v e nw h e nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w of a s t v a r i d b l e sa n dt h ep r e s y n a p t i ct h r e s h o l d 秒 i si nt h er a n d o ms t a t e t h er e s e a r c hh a s s h o w nt h a tt h es y s t e mh a ss t r o n gs y n c h r o n i z a t i o nb e h a v i o r s i np a r t i c u l a r , t h er e s u l ti s t o t a l l yd i f f e r e n tw i t ht h ea b o v et w oc a s e s w h e ns y n a p s e sa r ei n h i b i t o r y ( y = 一2 ) ，t h e s y s t e ms y n c h r o n i z e sa n t i - p h a s e ，w h i l ee x c i t a t o r y ( y = 1 ) s y n a p s e ss u p p o r ti n 。p h a s e s y n c h r o n i z a t i o n i nc h a p t e r5 ，w eb r i e f l yc o n c l u d et h et h e s i s k e y w o r d s ：r u l k o vm o d e l ；f i x e dp o i n t ；c o u p l i n g ；s y n c h r o n i z a t i o n c l a s s n o ：0 1 7 5 1 2 ：0 1 7 5 1 4 ， ， 北京交通大学硕士学位论文 目录 目录 中文摘要i i i a b s t r a c t i v 目录v 1 研究意义1 1 1 非线性动力系统1 1 2 混沌与神经元网络的结合1 1 2 1 混沌的定义及基本特性2 1 2 2 神经元网络系统3 1 - 3 神经元同步6 1 3 1 神经元耦合同步6 1 3 2 神经元同步研究方法9 1 3 3 神经元混沌的应用1 0 2 带有化学耦合的神经元定性分析1 1 2 1 系统快慢分解1 l 2 2 x t ( t ) ，x 2 ( t ) 秒时12 2 2 1 求不动点1 2 2 2 2 系统不动点的稳定性分析及稳定区间1 3 2 2 3 同步分析16 3 ( f ) 9 ，x 2 ( t ) 0 ；月 ( i i ) 对任意x ，y 5 ，l i m i n ff “( x ) - f ”( y ) i = 0 ； ( i i i ) 对任意z s 和f 的任意周期点y ，：t 旨l i m s u pf “( x ) 一”( y ) i 0 定义1 2d e v a n e y 定义下的混沌 3 设x 是一个度量空间，一个连续映射f ：x 专x 称为x 上的混沌，如果 ( 1 ) 厂是拓扑传递的； 这说明混沌系统不能被细分或不能被分解为两个在厂下不相互影响的子系统， 其轨道具有规律性的成分 ( 2 ) 厂的周期点在x 中稠密； 这说明混沌的映射具有不可分解性，也就是混沌行为具有稠密的周期轨道，其 运动最终要落在混沌吸引子之中，使其呈现出多种看似混乱无序却又颇具规则的 自相似图形混沌吸引子中的运动能在一定的范围内按其自身的规律遍历每一条 轨道，既不自我重复也不自我交叉 ( 3 ) 厂具有对初始条件的高度敏感依赖性 这说明混沌的映射具有不可预测性，如果初值具有一极微小的变化，在短时间 内的结果还可以预测，但通过长时间的演化后，它的状态根本无法确定，即差之毫 厘、失之千里，这就是著名的“蝴蝶效应 系统长期行为对初值微小变化的高度 敏感依赖性，产生确定性系统的非周期性和长期行为的不可预测性等混沌特性 除上述对混沌的定义之外，还有诸女l w i g g i n s 4 系统等定义混沌现象只能出 现在非线性动力系统中，是确定性非线性动力系统中所特有的复杂运动形态混沌 运动是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动它有时被描述 为具有无穷大周期的周期运动和貌似随机的运动混沌系统具有一些独有的特征： ( 1 ) 有界性：混沌是有界的它的运动轨迹始终局限于一个确定区域，这个区域 称为混沌吸引区无论混沌系统多么不稳定，它的轨线都走不出这个混沌吸引区， 2 北京交通大学硕 士学 位 论 文正文 所以从整体上看，混沌是稳定的 ( 2 ) 分维性：分维性是指系统的运动轨道在相空间的行为特征可用分数维来 描述，系统的混沌运动在相空间无限缠绕，折叠和扭结，构成具有无穷层次的混沌 吸引子的自相似结构 ( 3 ) 普适性：所谓普适性，是指不同系统在趋于混沌时所表现出来的共同特征 不依具体的系数以及系统的运动方程而变 ( 4 ) 遍历性：混沌运动在其混沌吸引子域内是个态历经的即在有限的时间内 轨道经过混沌区内每一个状态点 ( 5 ) 随机性：这是完全确定性系统内部随机性的反映，而不是外在随机性，无 需任何附加的随机因素混沌的内在随机性就是它的不可预测性和对初始值的敏 感性，同时也说明混沌是局部不稳定的 ( 6 ) 敏感性：只要初始条件稍微有差别或微小扰动，则系统的最终状态则出现 巨大的扰动 1 2 2 神经元网络系统 ( 1 ) h o d g k i n h u x l e y 模型 对神经元活动的模型研究开始于上个世纪5 0 年代英国生物学家h o d g l d n 和 h u x l e y 将毛细玻璃管电极从切口纵向插入乌贼巨型轴突内，对其施加刺激，首次实 现了静息电位( r e s t p o t e n t i a l ) 和动作电位( a c t i v ep o t e n t i a l ) 的细胞内记录，并对记录 的数据进行了精确的定量分析和大胆的假设，建立了精确描述细胞膜电行为的微 分方程组h h 模型 5 h h 模型如下式，为四个变量的动力学方程，这四个动力学变量为每单位膜面积 表示的膜电压、处于膜内分子几率( 用n 表示) 、处于膜外激活分子几率( 用m 表示) 、 处于膜外未激活的分子几率( 用h 表示) ： c m 望芋：季。以。( 圪一y ) + 害胁m ，h ( v o 一矿) + 雪( 圪一矿) + i 譬= ( 1 一，z ) 一孱n i d m = ( 1 一，1 ) 一尾聊 竺= 吒( 1 一j j l ) 一孱j j l 其中吒，孱，尾，孱为与膜电位有关的速率，表达式如下： 3 北 京交 通 大 学硕 士 学位论文正文 。一1-exp(-(v+55)10) 孱= o 1 2 5 e x p ( 一( y + 6 5 ) 8 0 ) 。一 0 1 ( y + 4 0 ) u ”一l e x p ( 一( v + 2 5 ) l o ) 尾= 4 e x p ( 一( v + 6 5 ) 1 8 ) = 0 0 7e x p ( 一( v + 6 5 ) 2 0 ) ， 疗： ! 尸6 e x p ( 一( v + 3 5 ) 1 0 ) + 1 其中，矿为神经元的膜电位，量纲为m v c m 2 ；t 为时间，量纲为m s ；磊。，喜胁，或，为钾 离子通道，钠离子通道和氯离子决定离子通道的最大值，量纲为m s c m 2 神经元细 胞内主要有三种电流：一种是可以通过四个激活通道的带有持久电流的钾离子所 形成的电流，r ，一种是可以通过三个激活通道的带有暂时电流的钠离子所形成的 电流k ，另一种是大部分有氯离子携带的以欧姆测定的电流t ，模型中的参数可以 参照参考文献 6 】 ( 2 ) f i t z h u g h n a g u m o 模型 由于h h 模型为四阶非线性刚性系统，很难得到解析解和进行数学分析随后 f i t z h u g h 对h h 模型进行了简化，建立了二维系统，并与n a g u m o 提出n a g u m o 路结 合，建立了f i t z h u g h n a g u m o ( f h n ) 模型 7 ，在这个模型中引入了一个恢复变量 ( r e c o v e r yv a r i a b l e ) 来描述动作电位的慢变过程f h n 模型比较精确的描述了动作电 位的产生，并且把模型降成礴维，为进一步研究提供了基础r a l l 8 在1 9 7 7 年将科希 霍夫定理( k i r c h h o f f sl a w s ) 应用到神经纤维的电活动研究中，提出了定量描述外加 电刺激柱状神经细胞电缆模( c a b l em o d e l ) 由于神经元模型具有非常复杂的非线性 动力学行为，随着非线性动力学的飞速发展，为神经科学的研究提供了一些新的手 段其具体形式如下： v = v ( a y ) ( y - i ) 一w + l 咖= b 矿一删 在此模型中，矿表示的是神经元细胞膜上的电压，而恢复变量w 表示的是细胞膜表 面的活动电量参数是系统接受外界刺激的电流在讨论中我们为了可以简化分 析一般令i = 0 模型中口，b ，c 均为常数，其中b 0 ，c 0 6 ，c 是用来描述恢复变量w 运动行为的参数，而参数a 是用于描述立方抛物线v ( a y ) ( 矿一1 ) 形状的 ( 3 ) r u l k o v 模型 由于在真实的神经网络中，我们总是能找到不少混沌现象，而原来的方程建模 的方式并不能很好地模拟出神经网络各式各样的脉冲以及产生混沌现象r u l k o v 提 出了二维映射神经元模型，该模型用两个变量描述神经元的特性，当模型中的参数 4 北京交通大学硕 士 学位论文正文 取不同值时，此模型可以模拟神经元体系的静息( s i l e n c e ) 、连续神经脉冲( b u r s t so f s p i k e s ) 和爆发式神经脉冲( b u r s t so fs p i k e s ) 等不同的动力学行为，r u l k o v 神经网络 模型就是在这样的背景下被提出动力学方程为： x ( t + 1 ) = ，( x ( f ) ，y ( f ) + 屈) y ( t + 1 ) = y ( t ) - ( x ( t ) 一盯) 这里，t 表示迭代次数；x ( f ) 表示快变量，表示神经元的膜电位；y ( t ) 为慢变量，表示 神经元细胞膜上离子通道的门控离子浓度，为了使y ( f ) 随时间缓慢变化，我们一般选 取0 t l ，由于a 的取值很小使得x ( f ) 的变化对y ( t + 1 ) 的影响十分微小；屈和盯 描述外部对系统的输入或影响，仃也可以用作控制单个神经元动力学行为的参量 根据f ( x ，y ) 方程式的不同，我们把r u l k o v 模型分为以下几种： ( 1 ) 非混沌的r u l k o v 模型( n o n c h a o t i cr u l k o vm o d e l 1 0 ) f ( x ，y ) = 熹咄f x 0 i 两+ y 口+ y ，矿0 x 口+ 工 一1 ，矿石口+ y ( 2 ) 超临界r u l k o v 模型( s u p e r c r i t i c a lr u l k o vm o d e l ) f ( x , y ) = 了_ 6 2 一口奶f x - l - 詈r 一口+ y ，i 口石m + 1 ) 2 协矿_ 1 一号z o 1 + j ，f0 ；，ii1 - 1 6 ， 审= g ( u ，v ) j 啸= h ( u v ) l 响应( 1 3 3 ) 其中1 1 - - - - ( u l ，“2 ，u 。) ，v 三( ，屹，v a ，w 三( 嵋，w 2 ，w ) ，且t i = m + 后+ z 方程 ( 1 3 2 ) 定义了驱动系统，而( 1 3 3 ) 表示响应系统，并且响应系统的演化过程通过 驱动信号u 受驱动系统的影响 在这种分解方案下，首先复制一个接受相同响应驱动信号u 的响应系统w ，满 足方程啸7 h ( u ，w ) ，当两个响应系统w 和w 的运动轨道一致时，则称系统达到了 完全同步 ( 2 ) 主动一被动分解方案 对于系统( 1 3 1 ) ，这种方案将一个混沌自治系统改写成一个非自治系统： j = f ( y ，j ( f ) ) ( 1 3 4 ) 其中驱动信号s ( t ) = h ( x ) 或j ( f ) = h ( x ，s ) 令 夕= f ( y ，s ( f ) ) ( 1 3 5 ) 夕是受到相同驱动s ( f ) 的非自治系统( 1 3 4 ) 的一个复制系统如果这两个系统的 差满足的微分方程 毒= f ( x ，s ) - f ( y ，s ) = f ( x ，s ) 一f ( x - e ，s ) 并且不动点e = 0 稳定，则系统( 1 3 4 ) 和系统( 1 3 5 ) 的同步状态x = y 是稳定的 一般地，当非自治系统( 1 3 4 ) 的所有条件l y a p u n o v 指数都为负时，就达到了完全 同步 b ) 对于双向耦合的混沌系统，考虑如下方程： j = 厂( x ) + c ( j ，一工) 2 ， ( 1 3 6 ) 夕= ( y ) + c ( x - y ) 1 ， 这里x 和y 表示两个混沌系统的n 维状态变量，f ：r 4 专r ”是一个向量函数，e 是 一个耦合矩阵，其中的元素决定了耦合方式 随着耦合的增强，上述系统会经历从不同步到完全同步的转变，但是临界值决 定于耦合矩阵的结构特别的，当0 = j ( ，是单位矩阵) 时，两个系统达到完全同步 北京交通大学硕 士 学位 论 文正文 的临界值为c = 去k ，这里k 是耦合系统的最大l y a p u n o v 指数 z 定义1 4 互相关函数 互相关函数是两个随机变量间相关的程度和方向的有效测度，给定两个随机 过程，以，t = o ，l ，2 ，如果薯，只都是一味平稳过程，r x , ，y t 之间的互协方差函 数c o y ( x , ，只) 只是时间差o f ) 的函数时，我们称和只是联合平稳的在这种情况 下，我们可以得到下述t 和只的协方差函数： ( 后) = 研一以】 只+ t 一，】，k = o ，1 ，垃， 其中，, i t 为均值函数，并且段= 研t 】，= e y t 】，将其标准化后我们得到如下的互 相关函数( c c f ) ： ( 尼) ：型，尼：0 ，l ，监， 其中，q 和c r 是t 和y t 的标准差互相函数是两个随机变量间相关程度和方向的 有效测度，正数表示同相同步，负数表示反相同步并且有下面结论： 相关系数表 相关系数相关程度 0 0 0 一一0 3微相关 0 3 一一0 5实相关 0 5 一一0 8显著相关 0 8 一一1 0 0高度相关 1 3 2 神经元同步研究方法 在早些年对同步现象的研究中，学者们主要运用线性方程模拟，并得到了一些 很好的结论在神经元及其神经元网络的研究中，使用的快、慢分解技术，将一个神 经系统分解为一个二维快子系统和一个二维慢子系统，再把两个慢变量视为一个 分岔参数来研究t a n a k a 等 1 6 应用主稳定函数方法，研究n 个相同r u l k o v 混沌神经 元在既有电子突触耦合又有线性化学突触耦合作用下的离散神经元网络的同步性 和e m e r g e n c e 现象线性化学突触耦合是指每个神经元的快变量与预先取定的突触 可逆电位差的线性组合，当神经元之间有化学耦合时，线性组合系数取值为1 ，否则 为0 t a n a k a 等考虑离散r u l k o v 混沌神经元的平面环式结构，即每个神经元只跟离它 9 北京交通大学硕 士学 位 论文正文 最近的另外两个神经元耦合在线性耦合条件下，可以计算出2 n 维离散神经元网络 所对应的耦合矩阵和限制在同步流形上的j a c o b i 矩阵的特征根，并在二维主要参数 平面上算出等高线值曲线，分别表示特征值大于1 、等于1 、小于1 的区域划分，从而 得出同步流形的全局稳定性，最后得到耦合系统同步行为的稳定性区域和簇放电 模式的同步区域 在本文的模型中，快速阈值模块模型包含一个h e a v i s i d e 符号函数，当突触前神 经元电压大于预先设置的阈值时，突触后神经元才会接收到外部电压；否则，突触 前神经元电压对于突触后神经元没有任何影响；反之，突触后神经元对突触前神经 元施加同样的影响文献 1 7 中把快变量x 的大小与h e a v i s i d e 函数中的口相比较，讨 论了两个耦合神经元的快变量一个比口值大，一个比曰值小的情况，运用相关函数等 方法得出同步类型但此文章只讨论了一种情况，对于两个快变量都比p 大的情况没 有给予解答因此，我们有必要对两个耦合神经元的快子系统x 都比口的情况给予讨 论 1 3 3 神经元混沌的应用 随着混沌同步理论的长足发展，它在生物医学中也得到非常广泛的应用相同 步的分析方法最早应用于心肺系统在研究呼吸窦心率不齐( r s a ) 的时候，人们开 始认为呼吸和心脏的节律之间只有相当微弱的耦合但是当相同步的分析方法应 用以后，发现在自然呼吸的时候，心肺之间就隐藏有长周期的同步应用相同步理 论来分析癫痫病人的脑电图，发现在病人抽搐一放松间隙和迫近抽搐的时候记录 的脑电信号之间相位同步有显著的差别，表明病人在将要抽搐的时候，大脑的动力 学状态有一个显著改变近年来，一些学者提出从系统科学和系统复杂性的角度诠 释中医理论和应用系统复杂性对中医症候规范化的思想，这对用混沌及混沌同步 理论来研究神经元放电和神经系统内的同步放电行为已经取得了一些有意义的成 果 1 0 北京交 通 大 学硕士学 位 论文正文 2 带有化学耦合神经元的定性分析 带有化学耦合项的r u l k o v 神经元模型 五( f + 1 ) = 门( f ) 】+ m ( f ) 一g 。茚o ) m o + 1 ) 2 y l ( t ) 一【五o ) 一仃】 ( 2 1 ) x 2 ( t + 1 ) = i j f 2 0 ) 】+ y 2 ( f ) 一g 。蛭( f ) y 2 ( t + 1 ) = y 2 ( f ) 一4 x 2 ( t ) 一仃】 其中变量x 表示的是神经元细胞膜上的势能，为快变量，y 表示慢变量，口，仃，y 为 参数，r o _ l ，参数表示化学耦合强度，o 1 ，( x ) = h l ( t ) = 日【x 2 ( t ) 一目】( ( f ) 一y ) 蛭( f ) = 日【o ) 一9 】( ( f ) 一，) 日c 一d 是h e a v t s i d e 函数，日c 毛一印= 三乏三三 文献 1 7 中把快变量石的大小与h e a v i s i d e 函数中的0 相比较，提出了两个耦合 神经元的快变量一个比0 大一个比0 小的问题，运用相关函数及波形图等方法得出 同步类型但作者只讨论了一种情况，下面我们对两个耦合神经元的快变量x 与秒关 系的另外两种情况给予讨论 2 1 系统快慢分解 因为0 口时，日 五( f ) 一口】_ 日【而( f ) 一目】- 1 由此可知 h f ( t ) = h x 2 ( t ) 一目】( o ) 一1 ，) = ( f ) 一1 ， 蟛( f ) = 日 ( f ) 一目】( t ( f ) 一v ) = 屯( f ) 一 ， 那么系统( 2 1 ) 可以化为 o + 1 ) = 厂【五( f ) 】+ j ，。( f ) 一g c o ) 一y 】 少l o + 1 ) 2 见0 ) 一4 x , ( ) 一盯】 ( 2 2 1 ) x 2 ( t + 1 ) = f x e ( t ) 】+ j ，：0 ) 一g c 吃( f ) 一1 ，】 y 2 ( t + 1 ) = y 2 ( t ) 一4 x e ( t ) 一盯】 2 2 1 求不动点 根据不动点的定义，我们得到如下方程： 少- o + 1 ) 2 咒( ) 一【( f ) 一盯】2 少- o ) ( 2 2 2 ) y 2 ( t + 1 ) = y 2 ( t ) 一“恐( f ) 一o r 】= y 2 ( t ) 可以求出玉( ，) = x e ( t ) = o r ，代入( 2 2 1 ) 的快子系统知 y l ( f ) = y 2 ( f ) = 盯一f ( t y ) + g 。( 仃一，) 求此系统的唯一不动点为 五2x 22 仃 m = y 2 = o r f ( c r ) + & ( 仃一v ) 1 ， 图2 1 系统( 2 2 1 ) 的不动点曲线，口= 4 1 5 ，= 0 2 ，y = - 2 1 2 ， 北京交通大学 硕士 学位 论文正文 2 2 2 系统不动点的稳定性分析及稳定区间 j = 厂：三，兰厂； = ( 二二：) 了。( 三三) ( 二： - 1 2 l ( 三三) = ( 三：) 。( 二二： 一( 三： 圆( 三三) 令匕归巩自此i 俎叫斗 日 再令g = 一& ( 三? ，则g 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵尸，使 尸_ 1 g p = ( 曼s ：) ，其中吣s ：为g 的特征值 2 e - g i = r 乞五? i = c 名+ ，2 可得特征值为嘞嘿，凹= ( _ g c 噌。) 肚尸( _ g c 一) ，1 = p 一心。一p ( - g c 一 p - l 。叫 = l 允e 一厶。f 一( 一一g 。 p 日i = l 兄e 一，+ g c 日2 e - f + g , h = r 1 1 1 2l 名一l 1 3 北 可求 我们 上面 经元 不动 的不 下面 ( 1 ) 要想使1 名l o ，h ( 一1 ) 0f o ，2 + 2 f - 2 9 。+ 0 对于日( 兄) 来说有 - 2 a + 五 2 推出 一2 l + f - g c 2 【- 1 a l 五 l【 一l 厂7 一+ 1 由于0 1 ，整理得一去一1 + f 0 时，不动点稳定需满足一去一1 + f 1 + 一 ( 2 ) 当a 0 时，有两对共轭虚特征值 钆：丛学以。：丛警掣 要想使i 丑i 1 ，( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，需满足下面条件： 由于a 0 ，所对应的共轭特征值，满足： i a i = i 五i - - i s 一g 。+ i ljg c - 1 - # f 7 1 + g 。一 综上可知，不动点稳定需满足g c - 1 - # f 1 + 毋一 ( 3 ) 当a = 0 时，有四个相等的实特征值 j一! 二墨 。1 ，2 ，3 ，4 2 要想使i 丑i l ，( f = l ，2 ，3 ，4 ) ，需满足下面条件： 1 4 北京交通大学硕 士 学位 论文正文 i 五i = l 五i = i 乃i = l 五i = i 二笋l 1 整理的- 3 + g 。 l + 由此可知，当a = 0 时，动点稳定需满足- 3 + g 。 1 + 根据以上分析我们得到如下性质： 性质2 1 ：对于系统( 2 2 1 ) ，当0 1 ，0 & l ， o f a 0 o t 一三z - 1 + g 。 厂 1 + g 。一2 t g 。- 1 - , u f l + & 一 ( 3 1 _ 3 + f r 1 + 在耦合神经元模型中我们一般把耦合系数& 的取值限制在 0 ，0 5 之间，所以， 在图2 2 中我们所选取的范围为 0 ，0 4 ，- 1 9 ，- 1 5 ，对系统特征值的稳定区间进 行仿真我们得到如下图形 八4 , 2 ，3 ，4 1 5 1 6 1 7 1 8 0 0 10 20 30 4 g c 图2 2 对应于第一二三四个特征值等高线，从上图我们可以看出，当在区间 0 ，0 4 ，一1 9 ，一1 5 特征值都是小于1 的，这也是不动点的稳定性区间 1 5 北京交通大学硕 士 学位论文正文 2 2 3 同步分析 把系统( 2 2 1