（概率论与数理统计专业论文）随机过程样本轨道的一些极限定理.pdf

摘要 r d 口8 知 2 - l j 、 也是概率统计学科中极为重要的理论基础，随 研究中的最重要的热门方向之一l v ，连续 挟定理和不可微模定理描述了w i e n e r 过程样本轨道精确的局部性质，c s s r 9 6 r v s z 建立 了w i e n e r 过程样本轨道精确的整体性质( 最大振动模等) 这些基本结果出现在2 0 世纪7 0 年代，都已被收录在c s s r g j 和r d v s z 的著名的专著 ( 1 9 8 1 ) 一书中2 0 世纪8 0 年代后期，一些学者在将上述理论进一步完善的 同时开始研究其它类型的g a u s s 过程的样本轨道的上述性质，其中的主要的成果都已被收 录在林正炎和陆传荣的专著强极限定理( 1 9 9 2 ) 及林正炎，陆传荣和张立新的专著 商斯过程的样本轨道性质( 2 0 0 1 ) 中在上述提及的各专著中，人们主要研究的是随机过 程轨遭的上极限性质和下板狠性质，但相应的泛函型的极限性质以及与之相关的分形性质 都因其难度大而较少被研究泛函型的极限结果往往蕴涵了经典的“v ，连续模定理，最 大撮动模定理等，因此这种类型的极限性质能更为精细地刻触随机过程的样本轨道性质 与之相关的分形性质除了更为精细的刻划随机过程的样本轨道性质外，同时能将极限性质 与分形性质联系起来因此对这些性质的研究都是非常有意义的 ，。 最近几年来，这些方面的研究有了一些新的进展，但一直来只限于w i e n e r 过程，本文 的目的是深入地研究与w i e n e r 过程相关的其它若于类重要的量囱。过程榉本轨遭的些经典 而精细的极限性质，致力于研究学者们普遍认为具有较大难度的泛函型极限性质及相关的 分形性质值得指出的是尽管我们研究的是特殊的过程靠事实上在第四章第二节中研究的 是一般的g a u s s 过程) j 但其中的某些方法可以应用于研究一般的g a u s s 过程全文分为五 章侄不同的章节用不同的方法讨论各种随机过程轨道的极限性质厂、 第一章研究布朗局部时过程增量的泛函型极限性凰( 周知，布朗局部时过程是非g a u s s 的，并且其增量是不平稳的不独立的，因此难以建立精细的关于增量的大偏差不等式，本 章通过利用著名的布朗局部时过程的l v y 表示定理解决了这些难点，得到了布阙局部时 过程增量的一个精细的大偏差不等式，并利用此不等式得到了布朗局部时过程的泛函连续 模和瑟函大增量定理借助于局部时过程的强逼近，也得到了关于随机游动的泛函大增量 定理所得的结果加强了h a w k e s ( 1 9 7 1 ) 和c s d k i 等( 1 9 8 3 j 的结果夕 4 第二章研究坌夔壶朗运勤和m 重煎皇墅塑至曼坌的极限性蹿龟效布朗运动，m 重布朗 运动积分以及第四章中要研究的o r u s t e i n u h l e n b e c k 过程都是具有重要的物理背景的g a u s s 过程，一直来倍受国内外学者的关注，研究成果层出不穷分敬布朗运动是布朗运动前推 广，它也能表示成关于布朗运动的随机积分m 重布朗运动积分是关于布朗运动的m 重 的随机积分第二章第一节，研究分数布朗运动泛函型对效律的分形性质找到了一个集 合和分致布朗运动的蓖函型对效律成立的时间点集相交非空的临界值，抬出这一临界值是 由这集合的p a c k i n g 维数所决定的前人只对w i e n e r 过程取得一些进展本节中得到了 如下关于分数布朗运动的一个不等式： + ，一 p ls u pl ( x 0 + h z ) 一x ( t ) ) a 2 h 2 。l o gh 一1 一，扛) l 工( 7 ) ， o s r l l 一 、 s u p ( 膏( 4 - h z ) 一x ( 。) ) 、2 2 0l o gh 一1 一，( z ) l 上( 7 ) j o ! 。1 1 ， 7 、 ( ) ( 1 + e ) p s u pi ( 互( t + h z ) 一x ( t ) ) 2 v f f 而l o g h 一1 一，( z ) i 工( 7 ) 0 1， ，一一 一 、 p s u pl ( x ( f + h z ) 一工( 8 ) ) 、2 如l o gh - 。一，( z ) l 0 ，0 0 ，适当的。，t 0 ，l 】j ”) 和上( ) 是适当的函敷在 k h o s h n e v i s a n 等( 2 0 0 0 ) 的文章中他们验证了当z = l 且没有，这一项时上述不等式成立， 但是他们的方法不再适用于现在的情形这章第二节，首先利用g o o d m a n 和k u e l b s ( 1 9 9 1 ) 的一个结果，得到了关于一般g a u s s 过程的一个精细的大偏差不等式，由此不等式建立了 关于分致布朗运动增量的一个精细的大偏差不等式，然后利用此不等式证明了关于分数布 朗运动增量的某些泛函型极限性质，所得结论包含了经典的关于分数布朗运动的连续筷和 大增量定理在此之前还没有见到关于一般g a u s s 过程的这一精细的大偏整不等式第三 节，证明了m 重布朗运动积分的s t r a s s e n 重对数律这一g a u s s 过程的特点是它的增量是 不平稳且不独立的，7 第三章，研究布朗运动在容量意义下的增量的泛函型极限性质 ( 这章中陈述的结果者5 是 著名的，但现在是在容量意义下证明成立所谓容量是w i e n e r 空间上的一个集合函数，具 有下列性质：容量为0 则测度必为0 ，但反之不然，洌度为0 但容量仍可取正值因此容量 意义下的极限性质比概率1 意义下的性质更为精确这章通过建立联系容量和概率测度的 一个精细不等式，得到了布朗运动在容量意义下的增量的一个精细的大偏差不等式，证明 了布朗运动在拟必然意义下的泛函连续筷和泛函大增量定理广矿 第四章研究o u 过程的极限性质；( 在第一节，得到了独立o u 过程无穷级数的泛函连 续模和s t m s s e n 重对效律所得的结果加强和推广了c s l k i 等( 1 9 9 1 ) 的连续模的结果第二 节，研究c ，值g a u s s 过程的快点问题证明了某个集合与f ，值g a u s s 过程重对数肇不戚立 的时间点集相交的概率是由这一集合的p a c k i n g 维效决定的所得的结果加强了z h a n g ( 1 9 9 7 ) 的结果本节中还得到了个关于一般g a u s s 过程分形性质的结果。改进和推广了前人的 相关的个结果，他们的证明深深依族于独立增量性第三节，通过运用第二节的一些技 巧，结合关于o u 过程的精确的w i e n e r 表达式，直接研究独立o u 过程无穷级数的泛函型 对数律的分形性质证明了一个集台和独立o u 过程无穷级数的泛函鹫对致律成立的时间 点集相交的概率是由这一集合的p a c k i n g 维致决定的对于这种类型的结果费们只对布朗 运动和分致布朗运动( 在本文第二章第一节中讨论的) 取得过某些进展，采用的方法都是通 过利用如上所提的( ) 式，但对独立o u 过程的无穷级数要验证( - ) 式似乎难以办到，必须 建立新的方法厂u 第五章研究两参数w i e n e r 过程增量的泛函型极限性质( 得到了关于两参数w i e n e r 过 程增量的一个精细的大偏差不等式，并由此证明了关于两参数w i e n e r 过程的大增量和小增 量的泛函型极限性质 在以上讨论随机过程样本轨道的极限性质过程中，除了要通过些新的途径建立一些精 细的大偏差不等式外，还遇到独立化问题在前人的基础上，一些独立化方法在不同的章 节得到了大大的改进和发展即使在讨论具有独立增量性的两参效w i e n e r 过程的第五章中 亦是如此本文的不少结果都已是完美的，不可再改进的所有结果都已分成不同的几篇 文章投稿到国内外的各种杂志上，其中的一些巳被正式发表或被录用( 见文末) ) - - - 才 a b s t r a c t p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yi so n eo ft h el m p o r t a n tb r a n c h e so fp r o b a b i l i t yt h e o r y i ti so n eo f t h e m o s t i m p o r t a n t f u n d a m e n t a l so fp r o b a b h i t ya n ds t a t i s t i c s t h et h e o r yo ns a m p l ep a t hp r o p e r t i e so f 6 t o c h a s t i cp r o c e s s e si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf i e l d so ft h er e s e a r c ho fm o d e mp r o b a b i l i t yl l r 【i i t t h e o r y t h el & y sm o d u l u so fc o n t i n u i t yt h e o r e ma n dt h en o n - d i f f e r e n t i a b i l i t ym o d u l u st h e o r e m d e s c r i b et h ee x a c tl o c a lp m p e r t i e so fs a m p l ep a t h so faw i e n e rp r o c e s s mc s s r 9 6a n dp r 4 v s z i n v e s t i g a t e d t h ee x a c tg l o b a l p r o p e r t i e so f s u m p l ep a t h so f a w i e n e r p r o c e s s ，w h o s e r e s u l t sa r ec a l l e d t h el a r g ei n c r e m e n tt h e o r e m t h e s ef u n d a m e n t a l r e s u l t sw e r eo b t a i n e di n1 9 7 0 s ，w h i c hw e r ec o h e c t e d i nt h ef a m o u sw o r ko fb l c s s r 9 6a n dp r 4 v d s zn a m e d “s t r o n 9a p p r o z i m a f i o n si np r o b a b i l i t ya n d s t a t i s t i c s ( 【9 8 【) i nt h e l a t e ro f 9 8 0 s ，s o m ea u t h o r si m p r o v e dt h et h e o r i e sm e n t i o n e da b o v e m e a n w h i l et h e yb e g a nt os t u d yt h e s es a m p l ep a t hp r o p e r t e sf o ro t h e rk i n d so fg a u s s i a np m c e s s e s m o s to f t h ei m p o r t a n tr e s u l t sw e r ec o l l e c t e di nt h ew o r ko fz h e n g y a nl i na n dc h u a n r o n g l un a m e d “s f r o n # l i m i tt h e o r e m d f i 0 0 2 ) a n dt h er e c e n tw o r ko fz h e n g y a nl i n ，c h u a n r o n gl ua n d 她 z h a n gn a m e d “p a t hp r o p e r t i e s g a u s s i a np r o e e s s e ，( 2 0 0 i ) a l m o s ta l l t h er e s u l t se o d e c t e d i nt h ew o r k sm e n t i o n e da b o v ea r ea b o u tt h e “l i r as u p a n dt h e l i m i n f b e h a v i o u r so fs a m p l e p a t h so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，b u tl i t t l ei sk n o w na b o u tt h es t r a s s e n sf u n c t i o n a lt y p er e s u l t sa n d r e l a t e df r a c t a ln a t u r e sb e c a u s eo ft h ed l f f i e u l t yo ft h ep r o o f b u tt h er e s e & r c hf o rt h e s ep r o p e r t e si s v e r ym e a n i n 旷u 1 t h ef u n c t i o n a lt y p er e s - 山t su s u a l l yi m p 圩t h ec l a s s i c a l x d l tr e s u l t s ，s u c ha st h e s t r a s s e n sl i b ，t h em o d u l u so fc o n t i n u i t ya n dt h el a r g ei n c r e m e n tt h e o r e ma n ds oo n s ot h i sk i n d o fr e s u l t sc a nd e s c r i b et h el i m i t i n gb e h a v i o u r so fs t o c h a s t i ep r o c e s s e sm o r ec a r e f u l l y t h ef r a c t a l n a t u r e so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e sr e l a t e dt ot h el i m i t i n gb e h a v i o u s sc a nn o to n l yd e s c r i b et h el i m i t i n g b e h a v i o u r so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e sm o r ec a r e f u l l y ，b u ta l s oc o n n e c tt h e1 l m i t i n gb e h a v i o u r sw i t ht h e f r a c t a ln a t u r e s i nt h el a s ty e a r s ，s o m en e wd e v e l o p m e n t sw e r eg o t t e n ，b u tt h e ya r eo n l yf o rbw i e n e rp r o c e s s t h e p u r p o s eo ft h ep r e s e n tr e s e a r c hi s t oi n v e s t i g a t es o m ef a r t h e rc l a s s i c a la n df i n er e s u l t so nt h e l i m i t i n g b e h a r i o u r so f s o n d e i m p o r t a n t k i n d s o f s t o c h a s t i c p r o c e s s e s r e l a t e d t ow i e n e r p r o c e s s e s t h e r e s e a r c he m p h a s i z e st h es t u d yo ft h ef u n c t i o n a lt y p er e s u l t so nt h el i m i t i n gb e h a v i o u r so fs t o c h a s t i c p r o c e s s e sa n dt h es t u d yo ft h ef r a c t a ln a t t l r e so ni n c r e m e n t so fg a n s s i a np r o c e s s e sr e l a t e dt ot h e l i m i t i n gb e h a v i o u r s t os t u d yt h ea s 1 i m i t i n gb e h a v i o u r so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，t h e r ea l et w om a i n w a y s o n ei st o t u mt os t u d yt h ec o r r e s p o n d i n gb e h a v i o u r so fr e l e v a n tb r o w n l a nm o t i o n s t h eo t h e ri st h ed i r e c t w a y t os t u d yt h en o n - g a n s s i a np r o c e s s e s it h ef i r s tw a yi su s u a u yu s e d i nc h a p t e r1 ，w eo b t a i n t h e m c t i o n a lm o d u l u so fc o n t i n u i t ya n dt h ef u n c t i o n a ll a r g ei n c r e m e n tt h e o r e m o f t h el o c a lt i m eo f ab r o w n i s hm o t i o n w i t ht h eh e l po fs t r o n gu p p r o x i m a t i o n ，d u et oe c s 4 k ia n dp ，r 6 v s z ( 1 9 s s ) ， w ea l s oo b l a i nt h ef u n c t i o n a ll a r g ei n c r e m e n tt h e o r e mo fr a n d o mw a l k t h em a i nt h e o r e t i c a lt o o l o ft h i sc h a p t e ri st oe s t a b l i s hs o m el a r g ed e v i a t i o ni n e q u a l i t i e sf o ri n c r e m e n t so ft h eb r o w n i a nl o c a l t i m ep r o c e s s e s ，w h o s ep r o o f sa r eb a s e do naf a m o u st h e o r e mo fpl v ，( n 4 s ) ，n a m e l yt h a tt h e b r o w n l a nl o c a lt i m ep r o c e s sh a st h es a m ed i s t r i b u t i o na st h ep r o t e s s s u p o 0 使得对每一hsh o 有 其中下面的记号被使用： 上述定理等价于： 定理1 1 1 并且对每一 k 0 lck kc o ： n = fe 岛【0 ，l 】嚣鹏刊l 。 c ) 溉0 ( 1 s u p ，一l 麟一。2 o ” 溉。 越一i 一 2 o “ 定理1 1 1 ( 或定理1 1 1 ) 意喙着h a w k e s ( 1 9 7 1 ) 的结果( 冕下面的推论1 1 1 ) 推论1 1 1 我们有 溉。黑。帆忆2 1 。 设o r 是一r 的正的函效，定义如下记号： 艮= a r ( 1 0 9 ( t a ；1 ) + 2 l o g l o g 研) 。2 甄。t ( x ) = 卢r 工i ( z a r ) ，01 。s l ，0 冬t s t o r ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 第一章从极限点集看布朗运动局部时增量的性质 定理1 1 2 设d t 是一t 的函效满足o n t 曼t 以及条件 ( i ) n ，和驯o r 都是单调不硪的， 则 恕。f ( r s u p 蒜慨r 一。2 o ” 进步，若o r 还满足条件 ( n ) 熙l 丽o g ( t a ；1 ) = o 。， 鄂么对每一i k ， r l i r a “。疆，慨f 一2 o “ 定理1 1 2 意味着c s 撕等( 1 9 8 3 ) 定理l 的结果( 见下面的推论1 1 2 ) 推论1 1 2 设n f 是