（应用数学专业论文）捕食与被捕食模型的非常数正解的稳定性.pdf

捕食与被捕食模型的非常数正解的稳定性 n o n - c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d ys t a t e s o fap r e y p r e d a t o rs y s t e m 学科专业：应用数学 研究生：王海兰 指导教师：黑力军教授 天津大学理学院 二零零八年五月 中文摘要 本文研究了两个种群且带有h o l l i n gi i 及交叉扩散项的耦合模型，其中两种群 是捕食与被捕食的关系该模型如下： j 鲁= ( c 一1 ，j + 嘭，c 一，+ 。奶：) ( 盒：) + 乃c s ，j = - ，2 x e $ 1 , t o , i 嘉= o ，j = 1 ，2 z a q ，t 0 ， i 勺( z ，0 ) 0 ，歹= l ，2 $ q 这里 ( 8 1 ，8 2 ) = s l 舰( 8 1 ，8 2 ) ，2 ( 8 1 ，s 2 ) = s 2 m 2 ( s l ，s 2 ) ， m i ( s 1 ，s 2 ) = 0 1 1 1 ( 1 一急) 一i 0 1 2 而8 2 ，m 2 ( s 1 s z ) = 石0 1 1 2 而8 1 一等 全文共分为八章 第一章为前言，介绍了问题研究的背景和该模型的实际意义，以及本文的主要 工作和有待解决的问题 第二章主要给出了一些相关预备知识和基本的定理及定义，这些定理及定义 都是解决后面问题必备的基础知识和重要工具，在下文中将不再证明而直接应用 第三章主要研究上述模型对应的常微分方程的非负常数解的稳定性 第四章研究该模型的非负常数解的稳定性 第五章给出该模型对应的椭圆方程的正解的先验估计 第六章和第七章分别讨论椭圆方程的非常数正解的存在性与不存在性 第八章为结束语 关键词：非常数；捕食与被捕食；正解；交叉扩散；稳定性 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，ap r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t hc r o s s - d i f f u s i o n si sc o n s i d e r e d t h ef o l - l o w i n gm o d e lw i l lb ec o n s i d e r e d ： ，鲁= ( c 一1 ，+ 嘭。，c 一1 ，+ 2 吗。) f ，n s 8 2 l 、+ 办c s ，j = l ，2 z q ，t 。， l 瑟孔j = 歹l 幺 竺 饧e r e ，1 ( s 1 ，8 2 ) = s 1 尬( s 1 ，s 2 ) ，丘( 8 1 ，8 2 ) = s 2 m 2 ( s 1 ，s 2 ) ， 尬( s 1 s 。) = a l l ( 1 一急) 二 o c l 2 8 2 o q 2 + s 1 尬( s l ，s 2 ) = 面o q 2 而8 1 一篙 t h eo r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： a st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r ，w es t a t et h eb a c k g r o u n da n dm a k ep l a n s f o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m n e x ts e c t i o no ft h ep a p e rp r e s e n t s8 0 m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dk n o w nt h e o r e m s ， w h i c ha r et h ef o u n d a t i o n sa n dt o o l so ft h el a t e rw o r k t h et h i r ds e c t i o no ft h i sp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h es t a b i l i t yo ft h eo d es y s t e m t h ef o r t hs e c t i o no ft h i sp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h es t a b i l i t yo ft h ea b o v es y s t e m t h ef i f t hs e c t i o no ft h i sp a p e rw i l ld i s c u s st h ep r i o r iu p p e ra n dl o w e rb o u n d s t h es i x t hs e c t i o na n dt h e s e v e n t hs e c t i o nw i l l ，r e s p e c t i v e l y , d i s c u s st h en o n e x i s t e n c e a n dt h ee x i s t e n c eo fn o n c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n s a tl a s t ，w es u m m a r i z et h ew o r ko ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：n o n - c o n s t a n t ；p r e y - p r e d a t o r ；p o s i t i v es o l u t i o n ；c r o s s d i f f u s i o n ；s t e a d y 8 t a t e 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：毛均羔 签字日期：砌萨加2 - 日 导师签各 力罾 签字日期：沙d 睁夕月上日 第一章前言 第一章前言 j - 象a ，- ：( ( - 1 ) j + l d j - ，c 一1 ，5 + 2 碍，z ) ( 龛：) 1 歹j c s ，j ：= 1 ，2 z f 2 ，t ： 。，。1 1 ， i 鲁= o ，j = 1 ，2 z a q ，t o ，、7 尬( 8 1 ，8 2 ) = e 1 1 ( i 一急) 一而g 。1 2 8 2 ，尬( 8 1 7 8 2 ) = 五c 。1 而2 8 1 一 qc r ( 1 ) 是一个有界且具有光滑边界a q 的区域，q 中包含两个相互作 用的种群，礼是a q 上的外法向量；d l l ，d 2 2 ，口1 1 ，q 1 2 ，口1 3 ，口2 l ，g 2 2 是正常数；d 1 2 ， d 2 1 是非负常数在( 1 1 ) 中，8 ，和8 2 分别是在q 中食饵与捕食者两种种群的 密度，s i ( x ，o ) ( i = l ，2 ) 连续 黎曼边界条件说明模型( 1 1 ) 的边界没有种群出入，d l l ，d 2 2 表示种群的 自扩散力，而d 1 2 ，d 2 表示两种群之间的交叉扩散力 对于一个带有黎曼边界条件的生态模型，我们感兴趣的是该模型在稳定 状态下是否有非常数正解例如参考文献【1 4 】中首先研究了具有交叉扩散且 带有黎曼边界条件的捕食模型 为了研究方便，我们令q 2 1 = g 2 2 = 1 ，d l l = d l ，d 2 1 = d 2 ，d 1 2 = d 3 ，d 2 2 = d 4 ， 1 第一章前言 f 筹= d a s + f ( s ) ，z f t , t 0 ， 舞= 0 一 z a q ，t 0 ， ( 1 2 ) 【s ( x ，o ) = s o ( z ) 0 ，z q 这里 s = ( s l , s 2 ) t , d = ( 三- 血d 3 ) 删= c a $ 1 - - b s ；一罴，卷咄严 模型( 1 2 ) 的椭圆型方程是 一d s = f ( s ) z q 0 0 ( 1 3 ) 、l 上 j i 器= 0 ， z a q ，t 0 我们将要研究( 1 2 ) 的非常数正解的稳定性，我们主要用l e r a y - s c h a u d e r 度理论许多文章中也用到了这些方法，如阻8 】中应用这一理论讨论了含有 黎曼边界条件的模型 显然( o ，o ) ? ，( 苫，o ) t 是( 1 3 ) 的非负常数解，并且当仇 1 且口 籍时， ( 1 3 ) 有唯一的正常数解( 晶，( a - ( b m ) m 一2 1 1 - ：a m ) t 我们记0 = ( o ，o ) t ，s + = ( ：，o ) t ，= ( 剪，藐) = ( 器，与擎) t 本文主要结构如下：第二章给出了本文需要用到的一些基本概念和基 本定理第三章，讨论o d e 方程的非负常数解的稳定性第四章，我们通过讨 论( 1 2 ) 的线性化来讨论该方程在0 ，s + ，吾的稳定性第五章，我们给出了系统 ( 1 3 ) 的正解的先验估计第六章，讨论了( 1 3 ) 的非常数正解的不存在性第七 章，给出了( 1 3 ) 的非常数正解存在性的一个充分条件 2 第二章基本概念和定理 第二章基本概念和定理 在本章中，首先介绍一下本文中涉及到的一些基本概念和定理请参考 文献 1 ，2 ，1 6 设有抛物型的初边值问题 i 家+ l u = ，o ，t ，牡) ，( z ，t ) q 。 ( n ) b u = 9 ( z ) ， ( ( z ，t ) s 矗 ( b ) ( 2 1 ) 【u ( z ，o ) = 妒( z ) ， z f t ( c ) 它的特殊情形是 l 瓮+ l u = ，( 。，仳) ，( 。，t ) q 。 ( 口) b u = 9 ( z ) ， ( z ，t ) s 矗( b ) ( 2 2 ) 【u ( x ，0 ) = 妒( z ) ， z f t ( c ) 其中，q o 。= qx ( 0 ，o o ) ，氏= 讹( 0 ，。o ) ；l ，b ，g 满足以下条件 1 0l 由( 2 3 ) 给出，一l 是q 上的一致椭圆算子，o f t c 2 + a ； 2 0 口巧( z ) ，玩( z ) ，c ( x ) c n ( q ) ( o v ( x ，t ) ( ( ，t ) q r ) 4 第二章基本概念和定理 定义2 1 若对v e 0 ，j 6 0 ，当l i t ( z ，0 ) 一u ( z ) 0 = ( z ) 一u ( z ) | i o 应用【1 4 】中类似的方法，我们通 过考虑系统( 1 2 ) 的o d e 系统在0 ，舻，季的线性化来讨论在这些点的稳定性 的 ( 1 2 ) 对应的常微分方程为 瓦0 s = f ( s ) ，z q ，t o ( 3 1 ) 当m 1 ，口 黯时( 3 1 ) 也有非负常数解o ，s ，季 因为 蹦耻r ( m + s i未8 1l 卜) 2 m + 所以f s ( 0 ) 的特征值是a , - - i ；f s ( s + ) 的特征值是一o ，名字，因为口 黯， 所以1 ( a - 丽b ) m - a 0 ，因此可以得到( 3 1 ) 在0 和s 处是不稳定的 f s ( ) 的特征多项式为 因此有以下定理 “b m 2 而- c a 矿- b ) m + a 入+ 学_ 0 定理3 1 假设m l ，口 黯则 当黯 l ，口 黯，则而 d 2 d 3 令0 = 伽 p 1 p 2 地 0 对于任意的i 0 ，五在算子d a + f s ( 0 ) 作用下是不变的，而且入是d a + f s ( 0 ) 在置上的特征值当且仅当它是矩阵一地d + f s ( 0 ) 的特征值而一a d + f s ( o ) 的特征多项式是 入2 一打卜- 胁d + f s ( 0 ) a + d e t 一胁d + f s ( 0 ) 】= 0 通过直接计算得到 t r - t t i d + f s ( 0 ) = 一 ( d l + d 4 ) 胁一a + 1 】， d e 亡 一p i d + f s ( 0 ) 】= ( d l d 4 一d 2 d 3 ) l 霹+ ( d 1 一a d 4 ) m 一口 令t t l ( d ) 和p 2 ( d ) 是d e t 一# i d + f s ( 0 ) 】= 0 的两个根且p 1 ( d ) 之d 2 ( d ) ，因为 p 1 ( d ) p 2 ( d ) = 一面点 0 ，所以e i f wp 1 ( d ) 音时，有d e t 一地d + f s ( 0 ) 】 0 和打卜一弘t d + f s ( 0 ) 】 暑，d 2 0 ，d 3 0 固定，则存在正常数d 4 ( d l ，d 2 ，d 3 ) ， 使得当d 4 0 4 ( d l ，d 2 ，d 3 ) 时，( 1 2 ) 在0 点是稳定的 ( i i ) 假设d 2 0 ，d 3 0 ，d 4 0 固定，则存在正常数d l ( d 2 ，d 3 ，d 4 ) ，使得当 d l d l ( d 2 ，d 3 ，d 4 ) 时，( 1 2 ) 在0 点是稳定的 系统( 1 2 ) 在s + 点的线性化系统为 ! 甓= d a s + f s ( 铲) s ，蚝叩 0 ， ( 4 2 ) 【舞= 0 ， z a q ，t 0 。 ( 4 2 ) 对应的矩阵是一p i d + f s ( s + ) ，它的特征多项式是 入2 一打 一p t d + f s ( s ) 】入+ d e t 一# i d + f s ( s ) 】= 0 通过计算容易得到 圳啪d + f s ( s + ) 】- - ( d l - b d 4 ) p t 一鼎+ 口+ l 】， d e t 一地。+ f s ( s + ) 】= ( d 1 如一d 3 d 4 ) p ；+ ( 口d 4 一鬲r n 。a 十d l 。 - d l + m m 6 a + d 2 n ，肌+ 。一磊m 而a 2 一- - a l p ；+ b 1 p i + c 1 因为a 丽m b ，所以研 0 记p l ( d ) 和p 2 ( d ) 为a i , u 2 + b l 地+ j a = 0 的两个根，且p 1 ( d ) p 2 ( d ) 则 显然有 州d ) d 4 ( d l ，如，d 3 ) 时，( 1 2 ) 在s + 点是稳定的 ( i i ) 假设d 2 o ，d 32 o ，d 4 ( m ( 。- - 1 ) a 。- - ) p m 。b 固定，则存在正常数d 1 ( d 2 ，d 3 ，d 4 ) ，使 得当d l d l ( d 2 ，d 3 ，d 4 ) 时，( 1 2 ) 在s 点是稳定的 8 第四章( 1 2 ) 的非负常数解的稳定性 下面考虑( 1 2 ) 在季点的稳定性 系统( 1 2 ) 在季点的线性化系统为 筹。d a s + f s ( ) s ，联叫 0 ， ( 4 3 ) 【蒙= 0 ， z a q ，t 0 、 一# i d + f s ( 季) 的特征多项式为 a 2 一打 一地d + f s ( 季) 】a + d a 一胁d + f s ( 季) 】= 0 ， ( 4 4 ) 这里 打 一胁。+ f s ( ) 】= 一【( d 1 + d 4 ) 胁+ b m 2 - m ( l a ，n - 一b 上) m j + a ， d e t 一胁d + f s ( ) 】= ( d i d 4 一c f 2 如) p + 塑宅篙芸宁垫d 4 一鱼学如+ 如】地+ 鱼芋 = ：a 2 詹+ b 2 # i + q ( 4 5 ) 令p l ( d ) 和p 2 ( d ) 为a 2 肛；+ 玩胁+ c 2 = 0 的两个根，且p 1 ( d ) p 2 ( d ) ，再 假设b m 2 一( a b ) m + a _ _ b i n p 2 ，- m ( a ( m - b 一) m 1 ) + a 时，有0 ( m + 1 ) 黯 ( i ) 如果d l _ _ b r n p 2 - - ，m ( a ( - m b ) m 1 ) + a ，d e o ，d s 0 固定，则存在正常数d 4 ( d 2 ，d s ) ， 使得当d 4 d 4 ( d 2 ，d 3 ) 时，( 1 2 ) 在s 点是稳定的 ( i i ) 如果d 2 0 ，d s 0 ，d 4 0 固定，则存在正常数d 1 ( d 2 ，d 3 ，d 4 ) ，使得当 d 1 d l ( d 2 ，d 3 ，d 4 ) 时，( 1 2 ) 在s 是稳定的 。 定理4 4在定理4 3 的条件下，( 1 2 ) 的正常数解季是一致渐近稳定的即 问题( 1 2 ) 在季的某些领域不存在非常数正解 9 第四章( 1 2 ) 的非负常数解的稳定性 证明：令a = 胁e ，则( 4 4 ) 变为 妒( ( ) = ：p ；e 2 + a p ；( + a 2 p ；+ c = 0 ， 这里a = d 1 + d 4 ， c = b i n 2 - ( 、a - b ) n ：t + a p ( + 玩胁+ q 因为当t _ o 。时，地一o 。，所以有 j i m 妒( e ) p ； = e 2 + ( d l + d 4 ) e + a 2 = 0 ，( 4 6 ) 又a 2 0 ，故( 4 6 ) 的两根白，包都有负的实部因而存在一个正常数正使得 融 e 1 ) ，黜( ( 2 ) - 5 由连续性有，存在i o l ，使得妒( e ) = 0 的两个根厶l ，( t 2 满足 r e _ 矗1 】，觑 q 2 ) 一昙，v i i o 从而( 4 4 ) 的两个根a m 入i 2 满足 兄e 九1 ) ，r e 入t 2 ) - m 6 2s 一丢，v t i o n 取 一拈1 m s 。a s x ；。 r e ) ，r e ) 】- ，6 = m i n 6 ，, y 2 ) 有万 0 ，及r e a n ) ，r e 【入i 2 ) 一夏由【9 ，p 9 8 定理5 1 1 中的方法知百是一致渐 近稳定的 对于a 2 p ；+ b 2 d i + c 2 = 0 ，有 定理4 5( i ) 对任意给定的佗1 ，可以取d 1 ，如，如和也使得当0 d l - - b m p z ，- 仇( a ( 。- b 一) m 1 ) + a ，如o ，d 3 0 且d 4 任意大时，有0 0 时，有0 0 时，有0 d 3 从( 1 3 ) 我们可以得到 j 一s = d - 1 f ( s ) z q 0 ( 5 1 ) 【舞= 0 ， z 讹，t 0 、。 ( 5 1 ) 还可以写成 l a s l = d l d 4 1 d 2 d 3 n d 4 8 1 一b d 4 s ；一d 3 8 2 一( d 4 一如) 嚣晕署】，z q ，t 0 ， 一a s 2 = a d 2 s 1 一b d 2 s i d 1 8 2 + ( d l 一如) 景 磬】， z q ，t 0 ， ( 5 2 ) 【鲁嚣= 名等= 0 ， z a q ，t 0 为了得到解的先验估计，首先给出下面一个引理 引理5 1 ( 最大值原理) 1 2 】假设g c ( a r 1 ) ，b c ( 豆) ，歹= l ，2 ， ( 1 ) 若u c 2 ( q ) n c l ( 豆) ，并且满足 u ( z ) + 幻( z ) u 即+ 9 ( z ，u ( z ) ) 0 ， z f l ；乱0 ，z a q ， 如果w ( x o ) = m u ，则g ( x o ，u ( z o ) ) 2 0 ( 2 ) 若u c 2 ( q ) n c l ( 瓦) ，并且满足 n u ( z ) + 乏二6 ，( z ) j + 夕( z ，u ( z ) ) 0 ， z q ；乱u 0 ，z a q ， j = l 如果w ( z o ) = m i n h w ，则g ( x o ，u ( $ o ) ) 0 在这篇文章里，所说的古典解指的是解在u c 2 ( q ) n c l ( 豆) 中( 1 3 ) 的上 界可以由以下的定理5 1 给出： 定理5 1 ( 上界) 对于( 1 3 ) 的任意的正古典解( 8 1 ，8 2 ) t 有 ad 1 一c 1 2a 口 警s 1 否2 ：否1 ，斧8 2 d 4 - 一d 3 一b + 面2 ：- 2 。 1 1 第五章( 1 3 ) 的非常数正解的先验估计 证明：令s 1 ( z 1 ) = m a x 西s l ( x ) ，s 1 ( z 2 ) = m i n 孬s l ( x ) ，s 2 ( 可1 ) = m a x 西s 2 ( = ) ，s 2 ( 抛) = m i n 丽s 2 ( x ) 对( 5 2 ) 的第一个式子用最大值原理有 a d 4 s 1 1 ) 一6 d 4 s ( z 1 ) 0 ， s - ( z ，) 詈 i a ( d l s l d 3 s 2 ) = a s l 一的i 一嚣芊磬， z q ，t 0 ， 一( 一d 2 s 1 + d 4 s 2 ) = 业r e + s 1 一s 2 ， z f t , t o ， ( 5 3 ) 【鬻= 筹= 0 ， 茁a q ，t 0 。 j 一( z ) = 璺皆( z ) ，z q ，t o ， ( 5 5 ) 【貉= 0 ， z a q ，t 0 s 2 ( 。) 帆( z 。) “s ；( z 。) 篆， m a x 西s 2 ( z ) 蕊1 ( d 1 一d 2 ) s l ( x o ) + ( d 4 - - d 3 ) s 2 ( z o ) 】d 4 d 1 一- d 3 d 2a 6 + 裘 m 孬i n s 1 重， 喘n s 2 曼 ( 5 6 ) 第五章 ( 1 3 ) 的非常数正解的先验估计 证明：假设( 5 6 ) 式不成立则存在一个序列 d l i ，d 2 i ，d z i ，d 4 d , 篓l ，其中 d l ，d 2 i ，d s ，d 4 隆l ，co ) 毖，o 。) 比，c o ) 匝，c o ) ，使得( 1 3 ) 相应的正解( s l i ，s 2 1 ) r 满足 m _ a x s l i _ 0 或m a x s 2 i _ 0 ，当i _ o o 时( 5 7 ) qn 利用积分可以得到 ( 5 8 ) 其中i = l ，2 ，由椭圆方程的正则理论知存在一个 8 1 i ，s 一 o ；。1 的子序列，在 这里仍用 8 1 t ，s 2 d i 1 来表示，及非负函数8 1 ，s 2 c 2 ( - f i ) ，使得当i _ 0 0 时，在 c 2 ( 豆) 】2 上，( 8 1 ，s 2 t ) t 一( 8 1 ，s 2 ) t 由( 5 7 ) 式可得s 1 三0 或8 2 兰0 而且，我们假 设( d “，d 2 t ，d 3 i ，d 4 i ) _ ( - 1 ，刁2 ，a 3 ，一d 4 ) 匿1 ，c k ) ) 窿2 ，0 0 ) k 1 3 ，0 0 ) 窿1 4 ，o 。) 现在考虑以下两种情形： ( 1 ) 8 1 兰0 因为s l i s 1 ，当i _ 0 0 时则 卫堕一一1 1 ， 得出矛盾 ( 2 ) 8 2 兰0 ，8 1 0 ，则由h o p f 边界引理得，在孬上，s l 0 因此，s l 满足 对上式积分得 所以 一d l a s l = a s l 6 s ， z q ；o , , s l = 0 ， 茹a q ( a s l b s ；) 如= 。 1 3 如 篓 一。b 毗耥如如 第五章 ( 1 3 ) 的非常数正解的先验估计 又口碧，所i 以有 m 一1 ，一 当等一1 0 ，z 豆，v i 1 m 十s “ 从而 上( 罴1 ) 鼢出 。，z _ 1 ， 得出矛盾证明完毕 1 4 第六章 ( 1 3 ) 的非常数正解的不存在性 第六章( 1 3 ) 的非常数正解的不存在性 这一章中，我们主要得到不存在非常数正解的条件，也对下一章证明存 在性打下了基础 这里依然假设m 1 ，口 啬我们主要用 1 2 ，1 4 中的方法来讨论非常 数正解的不存在性 定理6 1 假设m 1 ，o ( m + 1 ) 啬，同时假设( 3 5 ) 中的b 2 0 ，d 1 ，d 2 和d 3 是给定的正常数，这里d 1 足够小，d 2 和d 3 足够大，令d 4 ( d 2 ，d 3 ) = 皇主蓥 0 ，则存在一个正常数d 0 d 1 , 使得当d 。 d o ，d 2 d 2 ，d 3 d 3 m ( r n - - 1 ) 及0 d 4 d 4 ( d 2 ，d 3 ) 时，问题( 1 3 ) 没有非常数正解 证明：( 1 3 ) 可以写成 对任意的妒l 1 ( q ) ，令 矿= 丽1 上妒如 将( 6 1 ) 第一式的两边同时乘以( 8 1 一s ：) ，并在q 上积分就有 ( 6 1 ) ( d l d 4 一d 2 d 3 ) l v 8 1 2 如= m ( s 1 ，s 2 ) 一九( s i ，s ；) 】( s 1 一s ：) 如 = 胁( s 1 ，8 2 ) 一九( s ：，8 2 ) 】+ 陋( s i ，8 2 ) 一九( s i ，s ；) 】) ( s 1 8 i ) d x = 丘差( 乳蚴( s - 一蝴2 如+ o h i ( 叼- ) ( s t 一( s z s ；) 出， 这里f 1 在8 1 和s i 之间，叩1 在8 2 和s ；之间 通过计算得到， 差俺，s 2 ) _ 0 d 4 2 蚴_ ( d 4 - d 3 ) 高备，否o h ( + 1 巾) = 一如_ ( d 4 侧焉， 利用定理5 1 和定理5 2 知，存在一个正常数毛，使得 筹恕) | c ， 1 5 l 面c g h ( s 1 ，酬 0 ，有 所以 i v s i l 2 如c 上( s ，一刚2 如+ c 上h s 刊8 2 - - 8 ；i 如， c 上i s l s j | s 2 一蚓如譬上( s 一s i ) 2 如+ 上( 8 z s 扩如， ( d 1 也一d 2 如) i v 8 1 2 如( c + 譬) 上( s ，一2 如+ z ( s 。一s 扩妇 ( 6 2 ) o ，q，n 同理在( 6 1 ) 第二式的两边同时乘以( 8 2 一s ；) ，并在q 上积分就有 警，上l v s z l 2 如譬上c s 一2 如+ 2 上c s z s 护如 结合( 6 2 ) 和( 6 3 ) 有 ( d l d 4 一d 2 d 3 ) 上i v s 1 2 如+ ( d 4 一d 2 d 3 ) 乏i v s 。i a lj 2 如 0 ( c + 芋) 小叫胁+ 3 胁叫胁 用 1 0 】中的p o i n c a r e 不等式 p - 上( s 一固2 d z _ fi v s 1 2 如，p ，上( s 。一s 扩d z _ d p ，d 2 d 2 ，d 3 d 3 ，0 3 ， 所以，只有 8 1 于s ：且8 2 = s ； 雨明：挈旦 1 6 ( 6 3 ) 第七章非常数正解的存在性 第七章非常数正解的存在性 前一章里，讨论了( 1 3 ) 没有非常数正古典解的一些条件这一章我们主要 讨论( 1 3 ) 的非常数正解的存在性所用的主要理论是【2 ，3 】中的l e r a y - s c h a u d e r 度理论 从定理4 1 得到，存在一个正数尬使得m 一1 0o i l _ ) ， b ( m ) = s x i m 一1 0 ，d s 日( ) 可逆的充要条件是对任意的i 三1 ，矩 阵 j一亡id一1f(s)+i】1+ 地 、一。 是非奇异的记 g ( p ) = g ( ；p ) = ：d e t 【# i - d - q e s ( s ) = 面_ 1 丽妣【p d - f s ( s ) ( 7 2 ) 如果g ( 地) 0 ，则对任意的1 d i m e ( p i ) ，d s h ( s ) 在翰上的负特征值的 个数是基数的充要条件是g ( m ) 1 ，g ( 雎) 1 且口 ( m + i ) m b ，0 d 1 d 4 ( d 2 ，d 3 ) ，如果存在 某个整数n2l ，使得伽 d o ，d 4 ( 0 ) = z 。d 4 ( d 2 ，d a ) ( o ，v 4 ( d 2 ，如) ) ， 应用定理6 1 知，在x + 上，日( o ；s ) = 0 只有正解 当t = 1 时，a ( o ) 0 ，即g ( 伽) 0 ，由定理的条件，当i 竹时，g ( 以) 0 ，因此 d i m e ( z i ) = 出m e ( 胁) = 1 8 第七章非常数正解的存在性 这是一个奇数用引理7 1 我们有 i n d e x ( h ( 1 ；) ，s ) = ( 一1 ) “= - 1 当t = 0 时，d 4 ( o ) = d 4 ( d 2 ，d 3 ) ，由( 4 4 ) 得，对v i 0 ，g ) 0 ，从而 i n d e x ( h ( o ；) ，) = ( 一1 ) o = 1 因为存在m 0 ，使得m 一1 8 1 ，s 2 m ，故对任意t 【0 ，1 】，日( t ；s ) = 0 在 o b ( m ) 上没有正解所以由拓扑度的同伦不变性得 d e g ( h ( 1 ；) ，0 ，b ( m ) ) = d e g ( h ( o ；) ，0 ，b ( m ) ) ( 7 4 ) 如果在b ( m ) 上，日( 1 ；s ) = 0 没有非常数正解，则 d e g ( h ( 1 ；- ) ，0 ，b ( m ) ) = i n d e x ( h ( 1 ；) ；s ) = - 1 ， 另一方面，日( o ；s ) = 0 在b ( m ) 上没有非常数正解，所以 d e g ( h ( o ；) ，0 ，b ( m ) ) = i n d e x ( h ( o ；) ；s ) = 1 ， 这与( 7 4 ) 相矛盾因此问题( 1 3 ) 有非常数正解证明完毕 1 9 第八章结束语 第八章结束语 本文主要研究了两种群的捕食食饵反应扩散方程的定性分析，所涉及 的模型是具有h o l h n gi i 功能反应函数的反应扩散方程除了讨论方程组的常 数解的稳定性和非常数正解的上下界估计外，还讨论了何时该方程组不存在 非常数正解及正解存在的条件但是这类方程组的渐近性等问题的研究还 有待继续解决 逊 参考文献 【1 】叶其孝，李正元，反应扩散方程引论，北京：科学出版社，1 9 9 9 ( 2 1 郭大均，非线性泛函分析，山东：山东科技出版社，2 0 0 2 【3 l n 1 r e n b e r g ，t o p i c si nn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，n e wy o r k c o u r 锄t i n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e ，1 9 7 3 。 【4 】p y hp a n g ，m x w a n g ，n o n - c o n s t a n t p 。s i t i v es t e a d y 8 t a t e s 。fap r e d a t 。r - p r e ys y s t e mw i t hn o n - m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s ea n d d i f f u s i o n ，p r o c l o n d o nm a t h s o c ，8 8 ( 2 0 0 4 ) ，1 3 5 - 1 5 7 f 5 r p e n g ，m x w a n g ，p o s i t i v es t e a d ys t a t e s 。fh 。i n n g - t 姐n e rp r e y p r e d a t 。r m o d e i 丽t hd i f l u 8 i 。n ，p r 。c r o y s o c c e d i n b u r g h s e c t a ，1 3 5 ( 2 0 0 5 ) ，1 4 9 - 1 6 4 6 】w y - c h e n ，m x w a n g ，q u a l i t a t i v ea n a l y s i s0 fp r e d a t 。r - p r e ym 。d e l s 祈t hb e d d i n g t o n - d e a n g e l i sf u n c t i o n a lr e s p o n s ea n dd m s i o n ，m a t h c o m p u t m o d e l l i n g ，4 2 ( 2 0 0 5 ) ，3 1 4 4 f 7 】y h d u ，y l 。u ，q u a l i t a t i v eb e h a v i o u r 。fp 。s i t i v es 。l u t i o n so fa p r e d a t 。r p r e ym o d e l ：e f f e c t so fs a t u r a t i o n ，p r o c r o y s o c e d i n b u r g h s e c t a 1 3 1 ( 2 0 0 1 ) ，3 2 1 3 4 9 f 8 】m x w a n g ，s t a t i o n a x yp a t t e r n sf o rap r e y p r e d a t 。rm 。d e l w i t hp r e y - d 印e n d e n ta n dr a t i o - d e p e n d e n tf u n c t i 。n a lr e s p 。1 1 5 ea n d d i i f u s i 。n ，p h y s d 。 1 9 6 ( 2 0 0 4 ) ，1 7 2 1 9 2 f 9 】d h e n r y , g e o m e t r i ct h e o r yo fs c m i l i n e a rp a r a b o i i c e q u a t i o i l s ，l e c t u r e n o t e si n m a t h ，8 4 0 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，19 9 3 10 z q w u ，j x y i ，c p w a n g ，a ni n t r o d u c t i o nt oe l l i p t i ca n d p a x a b 0 1 i c e q u 砒i o i i s ，s c i e n c ep r e s s ，b c i j i n g ，2 0 0 3 ，( i nc h i n e s e ) f 11 1l j h e i ，y y u ，n o n c o n s t a n tp o s i t i v es t e a d ys t a t eo fo n c r e s o u r c ea n dt v 旧 c o r u s 啪e r sm o d e lw i t hd i f f u s i o n ，j m a t h a 丑a 1 a p p l ，3 3 9 f 2 0 0 7 ) ，5 6 6 5 8 1 2 1 参考文献 【1 2 】y l o u ，w n n i ，d i f f u s i o nv sc r o s s - 幽i o n ：a ne l l i p t i ca p p r o a c h ，