（应用数学专业论文）涡旋rossby波的非线性演化及稳定性研究.pdf

磅壬学岔趁之嚣旋l z o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 中文摘要 涡旋r o s s b y 波的传播和发展问题是研究台风运动的重要问题。本文根据大 气动力学原理，在极坐标的模式下，对非线性的大气动力学方程进行摄动分析， 得到受r o s s b y 参数影响的涡旋r o s s b y 波的波包振幅的演化方程为非线性 s c h r i ，d i n g e r 方程，并在具有实际意义的参数条件下对该方程求解。通过对本征 值问题的讨论，得到涡旋r o s s b y 波的相速表达式，分析显示，r o s s b y 参数口在 涡旋r o s s b y 波的传播过程中有不可忽略的影响，它对涡旋的演变起到稳定的作 用。计算表明，受r o s s b y 参数卢影响的涡旋r o s s b y 波的移速的理论值与实测 台风移速比较接近。 另外，通过对非线性涡旋r o s s b y 波的正压稳定性分析，得到波动稳定和不 稳定的判据，该判据说明纬度及r o s s b y 参数均对波动稳定性造成影响。根据 判据，进一步给出了正压稳定波和不稳定波的相速的约柬条件。 关键字：涡旋r o s s b y 波，相速度，稳定性 堡兰丝i 垒苎塑鲞塑! ! ! ! 婆笪斐垡竺塑塑塑壅丝竺塑 a b s t r a c t s i n c et h er e s e a r c h0 1 1t h es p r e a da n de v o l u t i o no fv o r t e xr o s s b yw a v e si st h e k e yp r o b l e mt os t u d yt h em o v e m e n to ft h et y p h o o n , t h i sp a p e rs t u d yt h en o n l i n e a r a t m o s p h e r ed y n a m i ce q u a t i o nb yu s i n ga m o d e li nt h ep o l a rc o o r d i n a t ea c c o r d i n gt o t h et h e o r yo fa t m o s p h c r ed y n a m i c s i ti sf o u n db yt h ew k bm e t h o dt h a tt h ep a c k e t o fn o n l i n e a rv o r t e xr o s s b yw a v ew h i c hi se f f e c t e db yr o s s b yp a r a m e t e rpi s g o v e r n e db yt h en o n l i n e a rs c h r d d i n g e re q u a t i o na n dw es o l v et h e s c h r i x d i n g e r e q u a t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a th a sp r a c t i c a lm e a n i n g s i t i ss h o w nt h a tt h er o s s b y p a r a m e t e r 卢i si m p o r t a n ti nt h es p r e a do f t h ev o r t e xr o s s b yw a v e sa n dm a k e st h e m o v e m e n to ft h ev o r t e xr o s s b yw a v e ss t e a d y g o i n g w eg e tt h ec o n c l u s i o nt h a tt h e r a n g eo f t h et h e o r e t i c a lv a l u eo f i t so u tw a r d - p r o p a g a t i n gs p e e di sc o n s i s t e n tw i t h t h e o b s e r v a t i o n a lo n eo f s p i r a lr a i nb a n d s i na d d i t i o n , w es t u d yt h es t a b i l i t yo fv o r t e xr o s s b yw a v e sw h e nt h er o s s b y p a r a m e m r f li sr e g a r d e d w eg e ts o m en e wd e t e r m i n a n tb a s i so ft h es t a b i l i t y o f v o r t e xr o s s b yw a v e s k e yw o r d s ：v o r t e xr o s s b yw a v e ；s p e e d ；s t a b i l i t y 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 ，坚持以。求实、创新4 的科学精神从事研究工作 2 ，本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 ，本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其它人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 、其它同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名= 隧鉴 日瓤幽：= 二竺 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留，使用学位论文的趣定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：趁垫： 日期：妇：! z f 质士岔赶玄涡旋r o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 第一章绪论 1 1 大气中的涡旋r o s s b y 波 大气中的涡旋r o s s b y 波一直是气象学界所关心和重视的问题，最近= 十多年来，在这 方面已经取得了很多研究成果。m a c d o n a l d l i 最早发现台风基本气流中的螺旋雨带和北半球 绕极大气环流( 即基本流) 上的槽脊和r o s s b y 波相比较在许多方面的特征有着惊人的相似。 他们不仅在流型外观上相似。在能量转换和动量输送方面也有一定的相似，于是，他把台 风中的螺旋雨带称作类r o s s b y 波。事实上，旋转流体一个可观测到的特性是在垂直于旋转 轴的水平或球面上常表现为波状运动，这种波状运动表明流体中存在一种有组织的扰动结 构。实际大气环流中的a o s s b y 波槽就是这种波动的一个典型实例，因此可以推测螺旋雨带 可能和类r o s s b y 波波动密切相关。这种在涡旋中的类r o s s b y 波通常也称为涡旋r o s s b y 波。 涡旋r o s s b y 波的成波的动力学原理是绝对涡度或位涡守恒原理。 1 2 学者对涡旋r o s s b y 波的研究 早在几十年前，人们就开始了对r o s s b y 波的研究，但是对涡旋r o s s b y 波的动力学分 析却是从2 0 世纪9 0 年代以后才有的，到目前为止，已有了一系列的研究结果。m o n t g o m e r y 和k a l l e n b a c h 2 j 在模式初始场台风环流区域放置了沿方位角方向两波分布的中尺度涡旋， 他们采用极坐标系的线性模式作为模型。研究发现，这些涡旋不仅沿径向向外传播，而且 沿径向向内传播。后来。r e a s o p 和m o n t g o m e r y l 3 1 做了改进，将线性模式扩张为非线性的 模式。m 占l l e r 和m o n t g o m e r y 4 1 利用该模式，得出中尺度涡旋激发出涡旋对并传播进内区 的结论。 罗哲贤嗍对初始位于台风外区的一个中尺度涡旋与台风涡旋的相互作用进行了研究， 用一个高分辨率厂平面直角坐标系的正压准地转模式，实施了l o 组积分时间为3 6 h 的试验， 研究结果表明，这种相互作用可以激发一个从外区伸展到内区的较小尺度的涡旋对，以此 爱掣岔趁之涡旋r o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 方式将涡量内传至台风中心附近。同时，中尺度涡旋呈现涡量集中化的特征。涡量内传与 涡量集中化共存，使内区涡量增多，导致台风增强。此外。在一定条件下，这种相互作用 还可以使涡量带破碎和断裂，形成一系列空间尺度更小的涡块。周后福、马镜娴【6 i 在正、 负值涡旋相问分布和只有正值相对涡度涡旋这两类条件下对涡旋r o s s b y 波的传播特征进 行了数值分析，对比这两类初始分布随后的演变情况，发现两类涡旋r o s s b y 波向外传播的 特征相似。两者之间的主要差别是前者在最大风速半径附近的初始涡量迅速衰减，后者在 最大风速半径附近的初始涡量始终保持。 郝咏梅、周伟灿【7 】采用非线性模式对涡旋r o s s b y 波的演变特征作了研究，发现非线 性的涡旋r o s s b y 波在弱非线性相互作用时，其波包振幅的演变满足非线性的s c h r b d i n g e r 方程。并且通过对本征值问题的分析，得到涡旋r o s s b y 波相速值的量级与螺旋雨带实测移 速的量级一致。 然而，目前对涡旋r o s s b y 波的研究更多的是一些数值模拟计算工作，因此，对涡旋 r o s s b y 波的动力学分析值得进一步深入的研究。 1 3 涡旋r o s s b y 波研究的目的及实际意义 通过地面观测、雷达回波、卫星云图和飞机探测等，均观测和分析到台风中存在着螺 旋云雨带。最早飞机探铡台风是在1 9 4 3 年，之后多次飞机探测有的沿着雨带，有的垂直雨 带。因此，从2 0 世纪4 0 年代就已被探测分析到的台风螺旋云雨带，再经过半个多世纪来 多种探测新技术的观测结果。人们对它的认识就更加深入细致了。从2 0 世纪4 0 年代到8 0 年代的很长一段时间内，人们对台风中螺旋雨带的形成、移动是用重力惯性波来解释的。 陈联寿【s 1 、伍荣生和余志豪【9 1 均著书阐述了台风螺旋云雨带及其解释的内容。a n t h e s ”i 和 e l s l r r y 叫的著书中，较全面的提出了螺旋雨带的几种可能解释，其中提到了涡旋r o s s b y 波，可是作者们还是倾向于用重力惯性波来解释。然而用重力惯性波说锝到的相速理论值 普遍偏大，这是美中不足的地方。 质士掣岔趁之涡旋r o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 直到二十世纪六十年代中期，m a c d o n a l d i l l 提出了类r o s s b y 波导致螺旋雨带的假设， 然而当时正直重力惯性波说处于热点时期，因此在类r o s s b y 波面世后，即不再有紧接着后 续的工作，直到二十世纪九十年代，几乎是三十年以后对此才重新进行了研究。 在m a c d o n a l d 的研究基础上，最近许多研究表明，涡旋g o s s b y 波可能存在热带气旋核 心区域，并可能在结构和强度变化中起重要作用。m o n t g o m e r y 2 1 等重新定义了涡旋r o s s b y 波为由涡旋的切向基本气流的涡度径向切变作用所引起的波动，并建立了一个， 平面上的 涡旋非对称的涡旋g o s s b y 波理论指导模型。研究表明具有强切变的切向流的非对称扰动的 轴对称过程是通过向外传播的涡旋r o s s b y 波来实现的。他们认为，通过与平均流的相互作 用，径向向外传播的涡旋r o s s b y 波能激发内区螺旋雨带，并能影响平均涡旋的结构和强度。 台风作为移动涡旋，本身移动性比较强，涡旋的结构和稳定性会随着环境而改变，因 此，研究涡旋r o s s b y 波能帮助我们更好的解释台风的发展和变化。 1 4 本论文研究的内容 过去，人们对涡旋r o s s b y 波的研究是基于厂平面的，然而通过分析发现，在涡旋的发 展演变过程中，r o s s b y 参数口有着不可忽略的作用即，- 不能再看作常数了- 因此，本文 在非线性波动特征的基础上，进一步考虑r o s s b y 参数口对涡旋r o s s b y 波的影响，以期待 能给涡旋g o s s b y 波以更合理的解释。 本文主要从以下三个方面分析涡旋g o s s b y 波： 1 根据大气动力学原理，推导出了受r o s s b y 参数口影响的涡旋r o s s b y 波的控制 方程，并且利用w k b 方法推导出了该涡旋r o s s b y 波的波包振幅的演变方程。 2 对受r o s s b y 参数口影响的涡旋r o s s b y 波的本征值问题进行了分析，并且指出 r o s s b y 参数口对涡旋r o s s b y 波的传播的影响 3 涡旋r o s s b y 波的波动稳定性和不稳定性。 3 癣士掣岔趁丈涡旋r o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 第二章涡旋r o s s b y 波的波包演变方程及方程的解 2 1 引言 虽然强的热带气旋在核心区域( 气旋中心半径为l o o k m ) 有非常显著的对称结构，但是 许多学者( s i m p s o n 1 习；s h e a 等【1 6 1 ；l e w i s 等【1 7 】；g a l l 等【l s 】；k u o 等1 1 9 】；r e u o r 等【7 1 ) 经常发现气旋核心区域具有不规则多边形的台风眼壁结构和向外传播的内区螺旋雨带。表 现为非对称性。这种非对称性不仅仅与气旋的运动性质相关联，而且还与气旋结构和强度 的变化密切相关，因此，了解这种非对称结构的动力机制有重要的意义。大多数早期的非 对称结构动力学研究都是以惯性重力波理论为理论基础，取得了许多成果。值得一提的是， m a c d o n a l d 首次提出类r s b y 波导致螺旋雨带的假设。这种在涡旋中的类r o s s b y 波通常也 称为涡旋r o s s b y 波。 然而，迄今为止，人们除直接应用球坐标系讨论h a u r w i t z 波( 球面上的r o s s b y 波) 外， 一直采用厂平面近似讨论r o s s b y 波，从波的形成、传播和稳定性方面都取得了许多重要的 结果。 那么，在大气涡旋运动中，r o s s b y 参数口的作用又如何昵? 涡旋r o s s b y 波的波包演变 状况是怎么样的? 这个就是本章讨论分析的主要内容。 2 2 基本方程 为了研究r o s s b y 参数是否在涡旋r o s s b y 波的演交过程中起作用，根据文献【2 0 】， 对c o r i o l i s 参数厂进行如下分析： 对于南北运动范围在l 。3 拥( 大约9 个纬度) 左右的大气运动，有么 1 ，( 么) 2 。 v o ( 1 + y os i n l ) 一” 4 0 0 ( 1 + y os i n l ) 一4 线届s i n 名 盍l 五+ y os 巫i n i 一“如 u o () 即当纬度五，和相速c 满足以上条件时，波动是稳定的。 而波动在空间上不稳定的条件是 等1 兰y os i n l 等锄：一 ( +) 。 。 即当纬度力，和相速c 满足以上条件时，波动是不稳定的。 由此，对于具有效应的涡旋r o s s b y 波而言，正压稳定波的相速必须满足 。 麟堂型，5 u o ( 1 + y o s i n t ) 一4 r & as i i l 幻 i， ， l 正压不稳定波的相速必须满足 2 l ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 缉王学岔越之涡旋r e s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 c 一 业掣，( 籍 业掣+ 等半 4 3 小结和讨论 ( 4 9 ) c 4 1 0 ) 本章利用微分方程对应的动力系统的理论，直接求得了受r o s s b y 参数口影响的涡旋 r o s s b y 波的稳定以及不稳定的判定依据，该判据说明纬度的变化以及口项均会给波动的稳 定性造成影响。而且通过以上判据还进一步给出了正压稳定波和正压不稳定波的相速的约 束条件。 但是，上述结论还是很初步的，采用的方法也是非常直接的，许多工作尚待进一步的研 究如再考虑地形以及非绝热加热的作用，结果又将如何。更多的工作有待力学、数学和 气象方面的工作者们共同研究。 质士勃 越之涡旋r o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 第五章总结和展望 5 1 本文的结论 本文根据大气动力学原理，对受r o s s b y 参数口影响的涡旋r o s s b y 波进行了讨论，通 过对无量纲扰动流函数方程的分析，推导出了涡旋r o s s b y 波的波动控制方程，并且用w k b 方法对该方程进行了摄动展开，得到了受项影响的涡旋r o s s b y 波的波包振幅的演变方 程，并对该方程进行理论研究和实际意义上的求解。通过对波的传播相速度、传播过程以 及波动稳定性三方面的研究，得到了如下有意义的结果： 1 通过对非线性扰动流函数方程的研究，得到受r o s s b y 参数口影响的涡旋r o s s b y 波的 波动方程如下： 筹= b ( r 届如a + 吾争吾+ 巫d r ： ) 业0 2 一詈吾 + 吾( 等等一警筹) 对上述方程进行约化摄动，得到波包振幅的演变方程满足非线性的s c h r 艿d i n g e r 方 程： r 熹一q 豢- 8 ：a 2 w 一：o 而一q 矛 肛u 在实际大气背景下再对上述方程进行求解，得到非线性的s e h r i ，d i n g e r 方程存在如下 2 通过对本征值问题的分析和计算，得到受r o s s b y 参数影响的涡旋r o s s b y 波的相速 度的表达式如下： 云( 万2 + 4 k 2 - 5 ) 4 屹r 届s i n a ( 万2 + 4 k 2 1 ) 厅2 + 4 k 2 1 万 毒 生捣蒜 羼士拿岔趁之涡旋r o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 从该表达式可以看出，当a = 要时，r o s s b y 参数的作用最强，此时涡旋的相速度为 二 最大；当五= o ，万时，r o s s b y 参数的作用最弱，此时涡旋的相速度为最小。由此，涡旋 的能量频散不对称，南北方向能量频散的最慢，东西方向能量频散的最快。从而判断出 r o s s b y 参数口对涡旋的演变起到了稳定的作用。另外，相速度c 与波数七2 成反比关系，故 波长较短的波能量频散的慢，波长较长的波能量频散的快。 另外，若我们对( 6 2 ) 式中的相关量采取适当的数值，可以得到一个非常有意义的值。 取d 为特征水平速度1 0 0 l b l ，l ，_ l ，波数七取为2 ，= 2 0 k i n ，五 o ，万】，把这些量代入 ( 6 2 ) 式中。得到波的理论传播速度为4 2 1 u n h 一7 4 k m h ，这一点与雷达实测移速接近 于3 6 k m h 是非常相近的。 3 讨论了受r o s s b y 参数口影响的涡旋r o s s b y 波的波动稳定性问题，得到波动稳定性和 不稳定性的判据如下： 4 v o ( 1 + y os i n 2 ) 一4 线届s i n a 当j = 7 = _ _ _ x 一+ 1 0 时，波动是稳定的。 3 鱼! ! 丝! 垫兰! 一。 “”“一”。 当4 0 o ( 1 。+ 弓0 s i n 2 ) 不4 r r o f l t s i n a a 1 2 1 时，波动是不稳定的。 $ r ，h * * e z * 3 ( 1 + y os i n 2 ) 一。1 ” ( 1 ) 正压稳定波的相速满足 c 一盟生型，型幽一4 线as h l 卅 l，i ( 2 ) 正压不稳定波的相速必须满足 续譬笋岔碰之涡旋r o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 c 叫业掣，( 赛 掣+ 掣半 5 2 工作展望 本文研究了受r o 船b y 参数影响的涡旋r o s s b y 波的传播特征以及波动稳定性，得到 了一些结论。但是本文的工作还是比较初步的，采用的方法也比较直接。大气中的涡旋 r o s s b y 波会受各种因素的影响，如果再考虑波动的耗散作用以及水平辐散的影响，那涡旋 r o s s b y 波的发展以及传播情况又将如何，这有待于进一步的研究。 质壬学岔趁之 涡旋r o s s b y 波的非线性演化及稳定性研究 参考文献 【1 】m a c d o n a l dn j t h ee v i d e n c ef o rt h ee x i s t e n c eo f r o s s b y - t y p e w a v e si nt h eh u r r i c a n e v o r t e x y t e l l u a ，1 9 6 8 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so b s e r v e di nh u r r i c a n e s a n d r e w , h u g o ，a n de r i n m am o nw e ar e v , 1 9 9 8 ，1 2 6 ：1 7 4 9 - 1 7 6 6 1 9 k u ohc w i l l i a m srt , c h e njh