（课程与教学论专业论文）提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践.pdfVIP

h 。； 摘要 平面几何在初中数学中具有非常重要的地位，同时高中数学新 课改中也增加了几何证明选讲课程，而且大学的自主招生考试中平 面几何也占了一席之地，然而，笔者通过问卷调查发现，许多初中 学生对其存在畏惧情绪，觉得平面几何难学，究其原因，主要是不 会审题或者审题能力不强，所以如何提升初中学生对平面几何的审 题能力成为教育工作者不可回避的问题；同时，很多初中数学教师 由于对平面几何缺乏深入的研究，造成平面几何审题教学效果并不 理想。于是笔者提出了“提升初中学生平面几何审题能力的研究与 实践”这个课题。 和代数一样，平面几何有自身独特完整的知识体系。针对平面 几何的审题问题，笔者查阅近十年的参考文献，发现极少有人去专 门从事初中学生平面几何审题能力的研究。于是，根据初中学生以 形象思维为主的心理特征和平面几何图形特点，笔者提出“基本图 形”研究法，引导初中学生利用基本图形对平面几何进行审题。 本文研究的重点是平面几何中典型的基本图形以及如何利用 基本图形来审题。就中学阶段平面几何中比较典型的基本图形，笔 者做了深入的研究，还借助基本图形进行了审题分析，并列举了两 个审题教学的案例。通过理论研究和实践教学，笔者发现，让学生 发现、研究基本图形，并引导学生利用基本图形进行平面几何题目 的审题，可以较大幅度的提升初中学生对平面几何的审题能力。同 时，结合新课程研究和教学理念，本文针对平面几何审题提出了教 学建议：注意教学顺序，把握教学要求，选择合适教学内容，加强 新旧知识的联系，重视书写能力，引导学生探究、发现基本图形， 鼓励学生自己去研究基本图形，提高平面几何的学习兴趣。 关键词：初中学生，平面几何，基本图形，审题能力，教学设计与 建议 a b s t r a c t p l a n eg e o m e t r yn o to n l yo c c u p i e sa ni m p o r t a n tp l a c ei nj u n i o rm i d d l e s c h o o l ，a n di ss e l e c t e da sas e l e c t i v ec o u r s eo fg e o m e t r i c a lp r o o fd u r i n g t h en e wc o u r s er e f o r m a t i o ni nh i g hs c h o o l ，b u ta l s or a n k sa m o n gc o l l e g e a d m i s s i o nt e s t s n e v e r t h e l e s s ，t h r o u g ht h eq u e s t i o n n a i r es u r v e y , if o u n d m a n yj u n i o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t sa r ea f r a i do fp l a n eg e o m e t r y , a n d t h e yt l l i l l l ( i td i f f i c u l tt ol e a r n b yi n v e s t i g a t i n gt h ec a u s e ，it h i n k t h em a i n r e a s o ni st h a t 廿l e yc a n tm a k ea na p p r o p r i a t ea n a l y s i so fq u e s t i o n sa n d d o n te m p l o yt h es t r o n gc a p a b i l i t yt oa n a l y z et h ep r o b l e m t h e r e f o r e ， h o wt op r o m o t et h es e c o n d a r ys t u d e n t s a b i l i t yo fa n a l y z i n gp l a n e g e o m e t r yb e c o m e sa ni n e v i t a b l ep r o b l e mt oe d u c a t o r s m o r e o v e r , m a n y j u n i o rs c h o o lm a t ht e a c h e r s l a c k i n gf o rf u r t h e ra n dd e e pi n v e s t i g a t i o no f p l a n eg e o m e t r yl e a d st ot h ei m p e r f e c tt e a c h i n ge f f e c ti nt h ef i e l d s o ，i p r o p o s et h es u b j e c to f t h ep r o m o t i o no fa n a l y z i n gp l a n eg e o m e t r yf o r j u n i o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t s j u s tl i k e a l g e b r a p l a n eg e o m e t r yh a s i t so w nu n i q u e c o m p l e t e i n t e l l e c t u a ls y s t e m b yr e v i e w i n gn e a r l yad e c a d eo fr e f e r e n c e s ，if o u n d f e wp e o p l ea r es p e c i a l l ye n g a g e di nr e s e a r c ho nt h ea b i l i t yo fa n a l y z i n g t h ep l a n eg e o m e t r y a c c o r d i n gt op s y c h o l o g i c a lf e a t u r e so fs e c o n d a r y s c h o o ls t u d e n t sa n dt h eg e o m e t r i c a lc h a r a c t e r i s t i c s ，ip r o p o s et h em e t h o d o fr e s e a r c h - b a s i cp a a e m t og u i d et h es t u d e n t st oa n a l y z ep l a n e i i i g e o m e t r y t h ef o c u so ft h ee s s a yi st h et y p i c a l p a t t e r ni np l a n eg e o m e t r ya n dh o w t ou s ei tt oa n a l y z ep r o b l e m s s oim a d eaf u r t h e rs t u d yi nb a s i cp a t t e mo f j u n i o r m i d d l es c h o o la n dc i t e dt w oc a s e so f t h ep r o b l e mo ft e a c h i n gb y m e a n so ft h ea n a l y z i n gb a s i cp a t t e m t h r o u g ht h e o r ya n dp r a c t i c ei n t e a c h i n gr e s e a r c h ，if o u n dt h a tl e t t i n gt h es t u d e n t sf i n da n dr e s e a r c ht h e b a s i cp a a e ma n dl e a d i n gs t u d e n t st ou s et h eb a s i cp a t t e mo nt h es u b je c t o fa n a l y z i n gt h ep l a n eg e o m e t r yc a nb r i n gar e m a r k a b l ep r o m o t i o no f j u n i o r m i d d l e s t u d e n t s a b i l i t y o fa n a l y z i n gt h e p l a n eg e o m e t r y m e a n w h i l e ，w i t ht h en e wc o u r s eo fr e s e a r c ha n dt e a c h i n gp h i l o s o p h y , i p u tf o r w a r dp r o p o s a l sf o rt e a c h i n g ：p a y i n ga t t e n t i o nt ot h ei n s t r u c t i o n s e q u e n c e ，b a l a n c i n gt h et e a c h i n gr e q u i r e m e n t s ，c h o o s i n gp r o p e rt e a c h i n g c o n t e n t ，s t r e n g t h e n i n g t h ec o m m u n i c a t i o nb e t w e e no l da n dn e w k n o w l e d g e ，t a k i n gw r i t i n ga b i l i t y i n t o a c c o u n t ，l e a d i n g s t u d e n t st o e x p l o r ea n df i n dt h eb a s i cp a r e m ，a n de n c o u r a g i n gt h e mt os t u d yi ta n d r a i s et h ei n t e r e s ti ni t k e y w o r d s ：j u n i o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t s ；p l a n eg e o m e t r y ；b a s i cp a t t e r n ； t h ea b i l i t yo fa n a l y z i n go f j u n i o rm i d d l es t u d e n t s ；t h ed e s i g n a n ds u g g e s t i o no f t e a c h i n g i v 目录 中文摘要i 英文摘要一i 第一章绪论：( 1 ) 第一节问题的提出( 1 ) 第二节研究的意义( 2 ) 第二章关于平面几何审题的现状调查与分析( 5 ) 第一节调查的目的及样本分析( 5 ) 第二节对初中数学教师平面几何审题教学现状的调查结果与分 析( 6 ) 第三节对初中学生平面几何审题现状的调查结果与分析( 1 0 ) 第四节调查结果小结：( 1 4 ) 第三章研究思路与方法( 1 7 ) 第一节初中学生关于平面几何的认知特点( 1 7 ) 第二节理论基础及与平面几何审题的关系( 18 ) 第四章用基本图形进行审题的系统研究( 2 5 ) 第一节关于直线与折线的基本图形及审题分析( 2 5 ) 第二节关于三角形的基本图形及审题分析( 2 9 ) 第三节关于四边形的基本图形及审题分析( 4 4 ) 第四节关于圆与多边形组合问题的基本图形及审题分析( 6 2 ) 第五章本文研究的两则审题教学案例( 8 9 ) 第一节关于射影定理及其逆定理、推广形式的审题案例教学( 8 9 ) 关于“折四边形的一个基本图形的审题案例教学( 9 4 ) 教学结果与教学建议( 9 9 ) ( 10 3 ：) 献。( 10 5 ) ( 1 0 9 ) ( 119 ) 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 第一章绪论 第一节问题的提出 几何，不仅仅是对我们所生活的空间进行了解、描述或者解释的 一种工具，而且是我们为认识绝对真理而进行的直观可视性教育的合 适学科，是训练思维、开发智力不可缺少的学习内容。作为初中学生 首先学习的几何就是平面上的几何，即平面几何。平面几何的学习是 学生从直观、操作性数学学习转向理性思维、演绎思维、证明性学习 的关节点。平面几何在对学生进行逻辑思维训练的同时也进行着形象 思维的训练。人的左右半脑在思维上是分工合作的，左半脑主管逻辑 思维，右半脑主管形象思维。平面几何的学习恰好使左右脑得到均衡 发展。平面几何“最能发展学生智能，提高学生思维素质，是其他任 何学科难以企及的”。学习平面几何的目的是让学生在学习过程中领 悟到严谨的逻辑推理与证明的思维方式，正如冯劳厄说“教育无非是 一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西。 平面几何对中学生来说，它可提供生动直观的图像和严谨的逻辑 结构，这有利于发掘青少年的大脑左右两个半球的潜力，促使学习效 率增强，智力发展完善，为今后从事各类创造活动打下坚实的基础。 平面几何试题以优美和精巧的构思吸引着中学生，以丰富的知识、技 祁乐珍1 3 1 4 岁学生思维的发展与平面几何的学习【j 】北京教育学院学报， 2 0 0 7 ( 2 ) ：3 4 l 硕士学位论文 巧、思想给我们的研究留下思考和开扩的广阔余地。 然后平面几何难学，这是很多初中学生面临的问题，这里面有客 观原因，也有主观原因，有认识问题，也有方法问题。笔者通过实验 调查发现，初中学生在学习平面几何过程中，常常面临无从下手，找 不到解决问题的突破口，题目考什么，学生无所事从。这就提出了一 个非常重要的问题，中学生不会审题或者审题能力不强的问题。 数学解题的过程，即实现条件与结论沟通的过程。不少数学问题， 并非一目了然、唾手可得其解，往往条件非常隐晦，这就增加了解题 者探索思维的层次，使题设与结论的沟通出现了困难。因此，面对较 复杂的问题的求解，一项重要任务就是努力搜集解题所需信息，解读 信息，分析与综合，揭示解题思路，确定解题方向，寻求解题途径， 此谓之审题。 综观近十年的文献发现，几乎没有人去专门从事研究平面几何审 题的研究，而且中学生的平面几何审题能力也没有引起足够的重视。 因此，本文专门研究探讨中学生平面几何的审题能力，是具有一定的 意义的。 第二节研究的意义 一、理论意义 审题是对解题所需信息的搜集、解读、分析综合，可见它是解题 的第一步。另一方面，只有通过培养仔细审题的良好习惯，善于从题 目的实际出发，具体问题具体分析，去发现思路，制定解题方案，方 能有助于克服盲目、定势的活动，从而有效的培养解题者的逻辑思维 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 能力等。所以审题又是关键的一步，必须高度重视。 平面几何和代数一样，有自己独特完整的知识体系，它以图形为 载体，正确识别图形，提高学生对平面几何的审题能力，可提升其对 平面几何认识的深度和广度，对初中学生学好平面几何具有非常重要 的理论意义。 二、实际意义 几何课程虽然目前在中学课程有所削弱，但是几何课程本身具有 众多的教育价值：几何有利于形成科学世界观和理性精神；几何有助 于培养良好的思维习惯；几何有助于发展演绎推理和逻辑思维能力； 几何是一种理解、描述和联系现实空间的工具；几何能为各种水平的 创造活动提供丰富的素材；几何可以作为各种抽象数学结构的模型， 毫无疑问，几何的这些教育价值是其立足中小学课程之根本，这决定 了它在中学课程中具有不可替代的地位。 几何课程具有如此众多的教育价值，那么学好平面几何，提高初 中学生关于平面几何的审题能力具有很重要的现实意义。关于平面几 何审题能力提高了，可以帮助学生走出平面几何学习的困境，提高平 面几何学习的兴趣，可充分发展学生的智能，提高学生的思维素质。 鲍建生几何的教育价值与课程目标体系【j 】教育研究，2 0 0 0 ( 4 ) ：5 3 - 5 5 硕士学位论文 4 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 第二章关于平面几何审题的现状调查与分析 第一节调查的目的及样本分析 一、调查目的 ( 1 ) 查阅近十年的文献，发现几乎没有人去从事初中学生平面几何 审题现状的研究，于是，笔者希望通过调查了解初中学生的审题现状； ( 2 ) 了解初中一线教师关于平面几何审题的教学现状。 二、样本的分析 笔者选择南雅中学、广益中学。麓山国际实验学校、长沙二十八 中、张家界市一中、市二中、市三中、益阳第六中学共八所完全中学 进行了调查，教师共发放了1 0 0 份问卷，回收有效问卷1 0 0 份；学生 共发放了1 0 0 0 份调查问卷，回收有效问卷9 2 0 份。 样本的选取基于如下考虑：选择的学校全部是完全中学，既有国 家示范性学校，又有省重点、市重点以及一般中学，还有地方性学校， 因此学校的分布比较广，比较具有代表性。 选择的教师既有工作多年的老教师，也有中青年骨干教师，还有 才工作一两年的大学生教师。教师的职称既有中一、中二的，还有高 级、特级教师。 总之，选择的学校，教师分布的层次尽可能广一些，范围尽可能 大一些，为这次问卷调查的客观性提供了较多的保证。 硕士学位论文 第二节对初中数学教师平面几何审题教学现状的调查结果与分 析 问题1 _ 4 教师的基本情况如下表： ， 表2 - 1 教师基本情况 性别教龄所属学校所教班级 男女 1 5 6 1 0 1 0 年重点普通初一初二初三 年年以上中学中学 4 2 人5 8 人3 6 人4 5 人1 9 人5 2 人4 8 人2 3 人3 7 人3 0 人 问题5 ：你觉得平面几何审题难教吗? ( ) a 很难教b 有点难c 一般d 不算难e 很简单 调查发现，有4 4 的教师觉得难教，3 0 的教师觉得一般，2 6 的教师觉得不难教。 问题6 ：学生对平面几何的作业完成情况( 与代数比较) 怎么样? a 很好b 还行c 一般d 较差e 很差 调查发现高达4 l 的教师认为平面几何的作业完成情况较差， 比代数要差一些。 6 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 问题7 ：你觉得学生平面几何解题能力提升的快慢如何? a 很快b 有点快c 一般d 较慢e 很慢 你觉得学生平面几何解题能力提升的快慢 如何 盈盘 调查发现：6 2 的教师认为学生平面几何解题能力提升较慢。 问题8 ：您觉得学生平面几何审题能力如何? a 很好b 较好c 一般d 较差e 很差 你觉得学生呢个平面几何审题能力如何 4 7 的教师认为学生的审题能力较差。 问题9 ：你觉得自己所教班级学生关于平面几何分析问题的能力怎 么样? a 很强b 较强c 一般d 较差e 很差 、 硕士学位论文 你觉得自己所教班级学生关于平面几何分 析问题的能力如何 只有3 7 的教师认为自己学生平面几何分析能力还可以，4 5 的教师对自己学生平面几何分析能力并不乐观。 问题i 0 ：你认为大多数学生对平面几何的喜欢程度如何? a 很喜欢b 比较喜欢c 一般d 不是很喜欢e 讨厌 关于学生对平面几何的兴趣，只有4 1 的教师持乐观态度，4 3 的教师认为并不理想。 问题1 1 ：你觉得学生学习平面几何的困难在哪里? ( 可多选) a 看不懂题目，不知道题目考什么b 不会分析，盲目的尝试 c 不知道如何添加辅助线d 基本图形没有掌握好e 不会逆 向分析 调查发现超过7 0 的教师都选择了上述内容。 问题1 2 ：你认为在平面几何学习中，是否只需要学生把教材上的题 目搞懂就可以了? a 十分赞成b 基本赞成c 不太同意d 不同意e 无所谓 只有1 6 的教师同意只需要学生把教材上的题目搞懂就可以了， 8 4 的教师希望能另外训练题目。 问题1 3 ：在平面几何教学中，你认为是否有必要对题目适当对做一 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 些扩展，适当得拔高一点难度? a 很有必要b 有必要c 无所谓d 不必要e 视学生的基础而定 4 5 的教师认为很有必要，只有3 的教师认为不必要。 问题1 4 ：在平面几何学习中，你是主张学生多做一些题目还是把基 本的平面几何题目搞透? a 大量题目b 适当多做一些题目c 因学生而异 d 只要把基本题目弄懂就可以了 e 重视基本图形的学习和理解，然后再适当做一点题 4 5 的教师认为要多做一些题目，只有2 6 的教师认为要重视 基本图形的教学。 问题1 5 ：你认为是否有必要在平面几何教学中，适当得讲一点竞赛 题目? a 很有必要，可以提升学生的学习兴趣，发现数学美 b 有点必要，让学生开阔视野 c 一般d 不是很有必要e 没必要 5 9 的教师认为有必要讲一点竞赛题目，可提高学生的学习兴 趣，但也有2 2 的教师认为没有必要。 问题1 6 ：下面几种平面几何教学方式中，选出你认同的几种( 可多 选) a 教师讲授b 学生自学c 学习小组讨论 d 在教师的引导下探究发现e 狠抓基本图形，使用基本图形教学 法 硕士学位论文 调查发现：超过7 0 的教师倾向于前几种教学方式，只有2 l 的 教师比较认可基本图形教学法，可见基本图形教学并没有引起足够的 重视。 第三节对初中学生平面几何审题现状的调查结果与分析 问题1 _ 4 学生的基本情况如下表： 表2 - 2 调查学生基本情况 性别所属年级所属班级 男女初一初二初三实验班普通班 4 6 3 人4 5 7 人2 8 0 人3 2 6 人3 1 4 人2 2 5 人6 9 5 人 问题4 ：你学习平面几何，感觉吃力吗? () a 不吃力b 有点吃力c 有点吃力d 感觉一般 问题5 ：你对平面几何学习感兴趣吗? ( ) a 非常感兴趣b 有点兴趣c 兴趣一般d 不感兴趣 表2 - 3 问题a bcd 你学习平面几何，感觉吃不吃力有点吃力有点吃感觉一 力吗?力般 5 4 7 1 5 3 3 你对平面几何学习感兴非常感兴有点兴兴趣一不感兴 趣吗?趣趣，兴趣般趣 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 调查发现，大部分初中学生对平面几何是不反感的，但是6 2 的学生认为平面几何学习是有一定困难的。 问题6 ：你学习平面几何感觉难在什么地方?( 可多选) () a 不知道如何做辅助线b 盲目尝试，感觉很难找到问题的突破口 c 技巧性强，很难想到d 不难学 调查发现：只有9 的学生认为平面几何是不难学的，高达7 5 的学生都选择了前三项，这说明了中学生学习普遍存在感觉审题难 的问题。 问题7 ：你在平面几何学习方面，花的时间多吗? ( ) a 很多b 有点多c 一般d 不多 问题8 ：你对学好平面几何有信心吗? ( ) a 很有信心b 一般 c 有点难，没多大信心d 太难，没信心 表2 - 4 恫题 abcd 你在平面几何学习方面，花的时很多有点多一般不多 间多吗? 2 1 4 9 2 3 7 你对学好平面几何有信心吗?很有信一般有点太难， 心难，没没信 硕士学位论文 多大信心 心 3 7 1 0 4 1 1 2 调查发现：高达7 0 的初中学生认为自己在平面几何学习花了 不少时间，5 3 对学好平面几何感觉信心不足，这需要我们教师改进 平面几何教学力式，提升初中学生学习半回几何的信心。 问题9 ：你课后，做一道学校老师布置的平面几何试题平均需要多 长时间? ( ) a 十五分钟以上b 八分钟到十五分钟 c 五n a 分钟d 五分钟以内 你课后做一道学校教师布置的平面几何试 题平均需要多长时间 4 0 * 暖雹 3 0 囫 瓤 2 0 斗 丹 l o ， ” abcd 调查发现：超过一半以上的学生需要花费八分钟以上的时间来解 决一道很普通的平面几何题目，说明学生对平面几何知识的熟练程度 不够，学生的平面几何解题能力不够强。 问题1 0 ：对于学校老师布置的道平面几何作业题，你平均需要多 长时间能找到解题的方向? () a 三分钟以内b 三到八分钟 c 八分钟到十二分钟d 十二分钟以上 1 2 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 调查发现：只有3 9 的学生能在三分钟以内快速找到解题的方 向，说明初中学生应用能力平面几何知识解题的能力不够强，审题能 力不够强。 问题1 1 ：你学习平面几何的目的是什么? ( 可多选) () a 系统的学习平面几何的基本知识，加深对平面几何知识点的理解 b 了解平面几何的思想方法，训练自己的数学思维；了解平面几何的 有关名人和历史，提高自己的数学学习兴趣 c 提高平面几何的解题能力，为考高分做准备 d 提高奥数解题能力，参加数学竞赛 调查发现：8 0 以上的学生都是非常愿意学好平面几何的，学习 平面几何的目的都很明确。 问题1 2 ：对于平面几何课程，你希望老师用什么教学方式上课可以 让你更容易接受知识? ( 可多选) ( ) a 教师主导讲授，自己一直听b 师生之间问答 c 学习小组讨论d 在老师的引导下探究发现 调查发现：高达6 2 的学生希望在老师的引导下进行探究发现， 说明我们教师可充分利用学生的好奇心进行探究式教学，效果会比较 好。 问题1 3 ：你在业余时间喜欢做平面几何的难题吗? ( ) a 很喜欢，经常做b 有点喜欢，偶尔做一道 c 一般，偶尔看一道d 不喜欢，从来不做 硕士学位论文 问题1 4 ：对于初中数学竞赛的平面几何试题，你一般需要多长时间 能找到解题的突破口? () a 八分钟以内bj k n - - 十分钟以内c 二十分钟以上d 没做过 表2 - 5 问题a bcd 你在业余时间喜欢很喜欢，经一般，偶尔做一般，偶不喜欢， 做平面几何的难题常做 、j 上 尔看一道从来不做一迫 吗?2 8 4 3 1 7 1 2 对于初中数学竞赛八分钟以内八到二十分二十分钟没做过 的平面几何试题，你钟以内以上 一般需要多长时间 5 2 9 3 4 3 2 能找到解题的突破 口? 调查发现：初中有7 1 的学生还是愿意去专研平面几何难题的， 对于解平面几何竞赛题，大部分学生都要二十分钟以上，说明中学生 对平面几何的审题能力还是不够强。 第四节调查结果小结 通过上述调查发现，初中学生对平面几何的审题还存在不小的困 难，而且初中教师对平面几何的审题教学也没有引起足够的重视，绝 大多数初中数学教师对平面几何中的基本图形并没有深刻的认识和 进行系统的研究，因此，对基本图形进行系统研究和应用它进行审题 1 4 、 是有实际意义的。初中数学教师可根据学生的具体情况，有选择性的 教授基本图形，并引导学生应用基本图形进行平面几何的审题，不失 为一种提升初中学生关于平面几何审题能力的可行的办法。 硕士学位论文 1 6 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 第三章研究思路与方法 第一节初中学生关于平面几何的认知特点 初中学生的思维仍以形象思维为主，他们感知事物往往不精确， 不易抓住本质特征。因此，对学生而言，平面几何概念的引入要借助 于直观、经验，必须要联系实际，要利用实物、教具、图形等多种形 式丰富感知。通过看、画、写、说、想等多种方式，让眼、耳、手等 多种感官协同活动增强概念的识记，强化进入大脑的信息。还要加强 对概念本质属性的刺激程度，引导学生将感知精确化。在概念学习的 后期要帮助学生分清概念之间的关系，进行概念及其性质的分类、归 纳，使所学的几何知识系统化，使之纳入一个良好的知识结构中，完 善学生的认知结构。 几何用于处理图形的信息，它研究客观事物空间形式加以抽象化 之后的“图形 的性质。人们通过几何学的学习可以认识丰富多彩的 图形，建立与发展空间观念，培养运用几何知识认识世界与改造世界 的能力。从更深层次看，几何学有一个更重要的教育功能：以几何图 形为载体，培养学生逻辑思维能力，提高理性水平。因此，几何图形 在平面几何学习中具有举足轻重的作用。 1 3 - - 1 4 岁正是青少年思维发展的关键期，也是数学推理能力发 祁乐珍1 3 1 4 岁学生思维的发展与平面几何的学习【j 】北京教育学院学报，2 0 0 7 ( 2 ) ：3 5 硕士学位论文 展的关键期。故此时对他们进行平面几何教学，尤其是积极、合理的 加强推理的训练，定会对他们的思维发展起到推波助澜的作用。因此， 在初中阶段，平面几何教学要充分抓住学生以形象思维为主的特点， 可以充分利用基本图形分析几何问题，帮助中学生摆脱平面几何学习 难，审题难的问题，增强中学生审题的信心，提高他们的审题能力。 第二节理论基础及与平面几何审题的关系 一、波利亚的审题思想 波利亚指出：“解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎 样想到这个解法的? ”、“是什么促使你这样想，这样做的? ”这就 是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思 考、分析、探索的过程。他在怎样解题一书中论述了“怎样解题 表”，在这个表中前两个问题就是弄清问题和拟定计划。 “弄清问题”包括如下：未知数是什么? 已知数据( 指已知数、 已知图形和己知事项等的统称) 是什么? 条件是什么? 满足条件是否 可能? 要确定未知数，条件是否充分? 或者它是否不充分? 或者是多 余的? 或者是矛盾的? 画张图。引入适当的符号。把条件的各个部分 分开。你能否把它们写下来? “拟定计划 包括如下方面： 你以前见过它吗? 你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题? 你是否知道一个可能用得上的定 理? 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 看着未知数! 试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的 问题。 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用 它吗? 你能不能利用它? 你能利用它的结果吗? 为了能利用它，你是否 应该引入某些辅助元素? 、 你能不能重新叙述这个问题? 你能不能用不同的方法重新叙述 它? 回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。 你能不能想出一个更容易着手的有关问题? 一个更普遍的问题? 一 个更特殊的问题? 一个类比的问题? 你能否解决这个问题的一部 分? 仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到 什么程度? 它会怎样变化? 你能不能从已知数据导出某些有用的东 西? 你能不能想出适合于确定未知数的其它数据? 如果需要的话，你 能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据 彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据? 你是否利用了整个条 件? 你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念? 事实上，在波利亚提的这两个方面揭示了一个非常重要的问题： 李求来、昌国良中学数学教学论【m 】长沙：湖南师范大学出版社，2 0 0 6 ( 1 ) ：3 0 9 1 9 硕士学位论文 审题。那么如何审题，怎么去思考，如何利用所学的几何知识去处理 平面几何问题，波利亚提供了明确的步骤，可以指引我们进行平面几 何的审题。他提出在处理陌生的问题时，可先解决相关的问题，降低 解题的难度。平面几何是以图形为载体，复杂图形都是由基本图形组 合而成，为了降低解题的难度，我们可以考虑相关的问题：弄清基本 图形，用基本图形去分析复杂的几何问题。 二、有意义接受学习 在教学中，教师的首要工作是向学生传授明确科学、稳定而系统 的知识体系，学生通过有意义的接受学习方式获取和牢固掌握有组织 的知识，形成良好的认知结构。教师要清晰的组织教材，要使学生出 现稳定而明确的有意义接受学习，使有组织的知识体系长期保存下 来，学生的接受学习才是有意义学习。合理的知识结构有利于知识的 灵活应用，有利于促进进一步的学习。平面几何中基本概念，基本公 里、定理是基础，是需要教师系统科学的讲授给学生的，这需要有意 义的接受学习。除此之外，与代数最大的不同就是平面几何有几何图 形，而这些图形中最重要的是基本图形。几何图形都是由基本图形组 合整理而成，因此，在平面几何审题当中，对基本图形的掌握的深与 浅对几何题目的审题具有非常重要的作用。 三、现代建构主义学习理论 在皮亚杰“发生认识论”中：认识是由主体主动建构，而不是 外界被动吸收的，即认识具有主动性；主动认识过程，不是去发现独 立于他们头脑之外的世界，而是通过先前个人的经验世界，重新组合 建构一个新的认识结构，认识具有建构性。 建构主义者强调，教学过程中不能忽视学习者的先前经验，而 应当是促进学习者在现有经验基础上生长出新的知识和经验。学习者 以自己的方式构建对事物的理解。 建构主义学习观具体的表明了学生在教学活动中的主体地位，这 应当成为指明教师作用的直接基础，特别是，教师应当成为学生学习 活动的促进者。 平面几何入门时，几何图形对中学生来说往往是有很强的吸引力 的，教师应该充分抓住学生的兴趣，让其主动建构基本图形，在头脑 中建构起基本图形的映像，并分析基本图形的特征，将有用的定理和 结论融合到基本图形中，让学生主动建构基本图形的知识结构。在平 面几何审题时，主动应用基本图形，这样往往能找到问题的突破口， 增强解题的信心，提高中学生的审题能力。 四、发现法 发现法又称探索法、研究法、现代启发式或问题教学法。发现教 学法是指在教师的指引下，学生利用资料或情景自觉地主动地探索， 从而不断发现问题和解决问题，培养独立思考能力的一种教学方法。 理解发现法要注意以下几点：第一，发现的主体是学生；第二， 发现的过程主要是一种“再发现 过程；第三，发现过程是在教师的 指导下进行。 发现法包括如下四个步骤：创设问题情境，激发学生的兴趣和 学习的主动性，明确发现的目标。推测问题的结论，探讨问题的解 硕士学位论文 法。在教师的启发下，学生积极思考，回忆有关知识和方法，进行分 析综合、猜测结论，探索解决问题的途径和方法。验证结论。采用 反驳或论证去验证所得猜想。完善问题的解答，总结思路方法，并 对获得的知识用于应用和巩固。 在学生解答平面几何题目时，第一步就是审题。审题一般离不开 图形，图形的识别是非常重要，它可以为解题带来突破口。图形的识 别最重要的就是分解出其中的基本图形，这样，命题背景很容易把握， 然后使用常用的辅助线技巧，往往问题就能获得解答。这里，分解和 识别图形就需要中学生利用自己头脑中基本图形的知识结构，去发现 几何图形中的基本图形，深度挖掘题目的隐含条件和结论，科学的完 成审题过程，逐步地提高审题能力。 五、用基本图形进行审题 鉴于中学生关于平面几何的认知特点和有意义接受学习理论、建 构主义学习理论和发现法，笔者提出用基本图形来帮助中学生进行平 面几何的审题。几何是研究( 空间性质所寄寓的) 几何图形性质的学 科，它的每个概念、命题、公式、法则，都关联着一个图形，这个图 形就是这知识的直观体现、代表，它们密切相关基本的几何知识( 概 念、命题、公式、法则) 关联的图形，就简称为基本图形。一个平面 几何图形，常可分解成若干个基本图形。因此，基本图形是构成复杂 图形的细胞，在处理平面几何问题时，若从基本图形入手，先将题中 图形分解( 构造) 成几个基本的几何图形，然后充分利用这些基本图形 的性质去解决，常可使审题容易，思路广阔。 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 正确的识别图形，特别是复杂图形和变式图形，是正确推理的前 提。所谓“识图 就是要认识表示概念的图形的本质特征，分清表示 相关或类同概念的图形间的联系与区别，并进而能识别复杂图形和变 式图形。1 3 - - 1 4 岁学生处于以具体形象思维为基础，发展形式思维 的阶段。在图形教学中要摸清学生的实际水平，掌握好识图、作图教 学的深度。 作图教学也是图形教学的重要组成部分，又是难点。1 3 - - 1 4 岁 学生而言，他们记忆知识仍以机械记忆为主，抽象思维的能力较弱， 这就造成他们在作图时有两难。一是分析难，不易把握好作图的顺序； 二难是符合条件的图形不唯一时，容易漏掉。在教学中要注意总结作 图步骤，大胆思考，确定图形的各种可能性。为了比较系统的了解和 分析平面几何的基本图形，笔者将在下一章对平面几何中比较典型的 基本图形进行分类介绍，并进行审题分析训练。 硕士学位论文 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 第四章关于用基本图形进行审题的系统研究 第一节关于直线与折线的基本图形及题组审题分析 一、“人字形和“z 字形 基本图形及审题分析 ( 1 ) 设a b c d 是一个“人字形 四边形，如图l ，则 z b c d = 么b + 么d + 么a d c d ( 2 ) 设a b c d 是一个“z 字形”四边形，如图2 ，则 么a + l b = 么c + l d ( 3 ) 对“人字形 和“z 字形”的评价： 这两个基本图形主要用于处理求角度及其角度之和的问题，关 键是要通过连接辅助线，构造出“人字形”和“z 字形”的基本图形。 例1 ：试分别求出如图( a ) ( b ) ( c ) 中三个折五边形的顶角和么a + 么b + l c + l d + z e 的度数。 硕士学位论文 j d c d c 审题分析：图( a ) ( b ) ( c ) 中四边形d c b e 为“z 字形 四边形，从 而可知么f b e + 么f e b = 么d + 么c ，于是么a 、z b 、z e 、么d 、么c 之和可 转化为a a b e 的内角和；也可看出四边形a b f e 为“人字形 四边形， 从而z d f c = z b f e = z a + z b + z e ，从而将么a 、么b 、z c 、z d 、l e 五 角之和转化为a d f c 的内角和。 例2 ：试分别求出如图( a ) ( b ) 中折六变形和折七变形的顶角和。 d f 效 一r c 审题分析：图( a ) 中，折四边形d e f c 可组成“z 字形 四边形，故 考虑连c f ，从而将折六变形的内角和转化为四边形a b c f 的内角和； 图( b ) 中，四点c 、d 、b 、e 可组成“z 字形”四边形，可考虑连接 b e ，这样么c 、么d 、z e 、z b 转化为z a b e + z b e f ，显然四点b 、e 、f 、 a 可组成“z 字形”四边形，故连接a f ，从而将折七变形的顶角和转 化为a g a f 的内角和。 6 提升初中学生平面几何审题能力的研究与实践 例3 ：如图( a ) ，d 是a a b c 的内心，e 是a a b d 的内心，f 是a b d e 的内心，若z b f e 的度数为整数，求z b f e 至少是多少度? 彳 彳 c 审题分析：( 1 ) 由于题目中涉及内心，考虑几何图形( b ) ，显然四边 形a b d c 为“人字形 四边形，从而知b d c = z a + z a b d + z a c d = z a + z z ( z a b c + z a c b ) = 9 0 。+ 妻么a ，得出内心张角公式；( 2 ) 应用内心张角 公式将么b f e 表示出来：z b f e = 9 0 。+ i ，z b d e = 9 0 。+ i ，i ，z a d b = 9 0 。+ 丢( 9 0 。+ i ，z a c b ) = l1 2 。+ i q ( 4 。+ 么c ) ，从而警b f e 表示成关 428 一 砩 于z c 的一次函数；( 3 ) 欲使z b f e 最小且为整数，只需考虑使4 。+ c 为8 。的最小倍数，从而问题可获解。 二、线段之和大小比较的基本图形及审题分析 ( 1 ) 如图( a ) ，设p 为a a b c 内部任意一点，l 为凸多边形的周长，则 b c p b + p c a b + a c或者2 b c l ( a p b c ) l ( a a b c ) c d c ( 2 ) 如图( b ) ，设p 为凸四边形a b c d 内部任意一点，则 硕士学位论文 a b p a + p b a d + d c + c b 或者三l ( a b c d ) p a + p b + p c + p d l c d b ，则a b + a d b c + c d d 例l 周 d 例2 图 审题分析：对于第( 2 ) 问，联想基本图形( a ) ，c 点若在a a b d 内部 则显然成立，但是命题中c 点在外部，可考虑将其转化到内部，只需 作c 关于b d 的对称点p 。结合已知：l a b d l