（概率论与数理统计专业论文）多元logistic分布的构造及其参数估计.pdf

摘要 摘要 对一元l o g i s t i c 分布及其性质的研究已经有比较完善的结果，但是目前 有关多元l o g i s t i c 分布的定义还尚未统一，由不同方法所定义的各种所谓的多 元l o g i s t i c 分布各有其应用范围。为了使多元l o g i s t i c 分布的随机向量的任意 分量所组成的随机向量服从l o g i s t i c 分布，或者至少是各分量的边缘分布是一 元l o g i s t i c 分布，本文利用垂直密度表示方法( v d r ) 构造多元l o g i s t i c 分布， 并研究了其参数估计方法和性质，主要内容分三部分； 第一部分首先介绍l o g i s t i c 分布的研究背景，并对一元l o g i s t i c 分布的定 义、性质等方面的内容做了简要介绍；然后介绍垂直密度表示方法及其应用 垂直密度表示方法是构造多元l o g i s t i c 分布的基础 第二部分讨论多元l o g i s t i c 分布的构造问题首先利用垂直密度表示方 法构造多元l o g i s t i c 分布，由这种方式构造的多元l o g i s t i c 分布具有很好的性 质，如其任何边缘分布还是多元或一元l o 舀s t i c 分布等。然后对所构造的这种 多元l o g i s t i c 分布的性质进行研究，着重讨论二元l o g i s t i c 分布的性质 第三部分讨论多元l o g i s t i c 分布的参数估计问题有多种评价估计量优劣 的准则，如无偏性、相合性这一部分主要研究多元l o g i s t i c 分布的参数估计 是否具有这些好的性质 关键词：垂直密度表示；多元l o g i s t i c 分布；协方差阵；数字特征；参数估计 a b s tr a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ep r o b l e ma b o u tt h ep r o i ) e r t i e sa n dp a r a m e t e re s t i m a t i o nf o r t h em u l t i v i a t i a t el o g i s t i cd i s t r i b u t i o ni sr e s e a r c h e d i tc o n t a i n st h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，i ti n t r o d u c e st h er e s e a r d lb a c k g r o u do ft h el o g i s t i cd i s t r i b u t i o n a n di tm a k e sas i m p l ei n t r o d u c t i o no ft h ed e f i n i 七i o na n dp r o p e r t yo ft h ed i s t r i b u t i o n a n ds oo n t h e ni ti n t r o d u c e st h ev e r t i c a ld e n s i t yr e p r e s e n t a t i o nm e t h o da sw e l l a st h ea p p l i c a t i o no fi t t h i sm e t h o di j 5t h ef b u n d a t i o no fc o n s t r u c t i n gt h el o g i s t i c d i s t r i b u t i o n i nt h es e c o n dp a r t ，i td i s c u s s e st h ep r o b l e mo fc o n s t r u c t i n gt h em u i t i v a r i a t e l o g i s t i cd i s t r i b u t i o n f i r s ti tc o n s t r u c t st h em u l t i v a r i a t el o g i s t i cd i s t r i b u t i o nb y u s i n gv e r t i c a ld e n s i t ye x p r e s s i o n t h em u l t i v a r i a t el o g i s t i cd i s t r i b u t i o nw h i c hi s c o n s t r u c t e db yt h i sw a yh a sm a r l yg o o dp r o p e r t i e ss u c ha st h a ta n ym a r g i n a ld i s t r i b u t i o ni sa l s ot h el o g i s t i cd i s t r i b u t i o n a n dt h e n1 w er e s e a r c ho nt h ep r o p e r t yo f t h i sl o g i s t i cd i s t r i b u t i o n ，e s p e c i a l l yt h ee m p h a u s i so nt 、舳一d i m e n s i o n a ll o g i s t i cd i s t r i _ b u t i o n i nt h et h i r dp a r t ，i td i s c u s s e st h eq u e s t i o na b o u tt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no f m u l t i v a r i a t e1 0 9 i s t i cd i s t r i b u t i o n i nt h ep a r to fe s t i m a t i o no fp a r a m e t e r s ，t h e r e a r em a n ys t a n d a r d ss u c ha sb e i n ga g o n i c ，c o m p a t i b i l i t ya n dv a l i d i t ya n ds oo n i n t h i sp a r t ，i tm a i n l yr e s e a c ho ni ft h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no fm u l t i v a r i a t el o g i s t i c d i s t r i b u t i o nh a st h e s eg o o dp r o p e r t i e s k e y w o r d s ： v e r t i c a ld e n s i t yr e p r e s e n t a t i o n ；t h em u l t i v a r i a t el o g i s t i cd i s t r i b u t i o n ； c o v a r i a n c e m a t r i x ；d i g i t a lc h a r a c t e r ；p a r a m e t e re s t i m a t i o n 一1 l 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：缸象3 日期：坦：2 。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 1 研究背景 用l o g i s t i c 函数作为增长曲线是v e r h u l s t ( 1 9 3 8 【1 】) 在进行人口统计学研究时 首先提出的，此后该曲线在人口统计学研究中的应用一直持续到十九世纪末进 入二十世纪，l o g i s t i c 函数、l o g i s t i c 回归模型已经在生物、经济、农业、医疗等方面 得到了广泛应用，取得了丰硕的成果p e a r l 和r e a d ( 1 9 2 0 2 】，1 9 2 4 3 】) s c h u l t z ( 1 9 3 0 4 】) ，p e a r l ，r e a d 和k i s h ( 1 9 4 0 6 】) 先后用l o g i s t i c 曲线来建立生物机体增长模 型，s c h u l t z ( 1 9 3 0 【5 】) ，o l i v e r ( 1 9 6 4 7 】) 用l o g i s t i c 函数建立农产品数量增长模型许 多学者，包括p e a r l ( 1 9 4 0 【8 】) ，b e r l 【s o n ( 1 9 4 4 【9 】，1 9 5 1 1 0 】，1 9 5 3 1 1 】) ，f i n n e y ( 1 9 4 7 【1 2 ， 1 9 5 2 【1 3 】) 先后讨论了l o 幽t i c 函数在计量生物学上的应用在p l a u c k e t t ( 1 9 5 9 【1 4 】) 将l o g i s t i c 函数应用到生存分析后，f i s k ( 1 9 6 1 【1 5 】) 又将l o 舀s t i c 函数应用到计量 经济学 c o x ( 1 9 6 6 1 6 】) ，d a y 和k e r r i d g e ( 1 9 6 7 【17 】) ，a n d e r s o n ( 1 9 7 2 【1 8 】，1 9 7 3 1 9 】， 1 9 7 4 2 0 】) 等先后又将l o g i s t i c 函数应用到医疗诊断 在l o g i s t i c 函数与l o g i s t i c 分布在各领域内应用研究的同时，关于l o g i s t i c 分布的参数估计及其分布的拟合优度检验等方面的理论研究也取得了一系列重 要成果，如g u i n b e l ( 1 9 4 4 【2 1 】) ， g u m b e la n dk e e n e y ( 1 9 5 0 2 2 】) ，g u i n b e la n d p i c l ( a n d s ( 1 9 6 7 2 3 】) ，d u b e y ( 1 9 6 9 【2 4 】) 给出了l o g i s t i c 分布与极值分布的多种关 系，g e o r g ea n dm u d h o l k e r ( 1 9 8 1 2 5 】，1 9 8 1 【2 6 ，1 9 8 2 【2 7 】) 先后给出了l o g i s t i c 分 布与指数分布的之间的关系这些理论研究成果的取得，对l o g i s t i c 分布的参数 估计及其分布的拟合优度检验等理论问题的研究起了极大的推动作用例如： b a l a k r i s h n a nn 等人( 1 9 9 1 【2 8 】) 给出了：基于完全数据和截尾数据给出了两个参 数的最优线性无偏估计， b a l a k r i s h n a nn 等人( 1 9 9 2 【2 9 ) 考虑了基于型截尾 数据的半l o g i s t i c 分布参数的估计问题 p a t r i c kg o ( 2 0 0 1 3 0 】) 给出了l o g i s t i c 分布参数的近似最优线性估计，等等，在这些成果中，对分布性质方面的研究多 一些，对参数统计推断方面的研究相对较少 北京工业大学理学硕士学位论文 对于多元的l o g i s t i c 分布的研究相对晚很多，直到1 9 6 1 年， g u m b e l 【3 1 】提 出了二元的l o g i s t i c 分布，1 9 7 3 年m a l i k 和a b a h a m 3 2 】才提出了多元的l o g i s t i c 分布，但随后，在此方面的系统研究却一直没有太大的进展，而且研究的内容多 放在分布本身的产生上，偶尔提及其分布的不多性质和参数估计的问题，但没有 比较深入系统的研究成果出现 2 国内外研究现状 目前有关多元l o g i s t i c 分布的研究成果很少，主要集中在以下两方面： ( 1 ) 多元l o g i s t i c 分布性质的研究 多数情况是，当定义一类所谓的多元l o g i s t i c 分布时，都说明其分布范围包 含的广泛性，有时也对其性质的某一方面给出不多的讨论( 均值，方差，相关系 数，特征函数，母函数，与其它随机变量的关系、有关独立性的研究等) ，令人 遗憾的是：这种多元l o g i s t i c 分布性质的研究成果非常有限 ( 2 ) 多元l o g i s t i c 分布参数推断的研究 这一方面独立成文的相当少，多数都是在较为特殊的情况下对参数估计的方 法进行研究，如b 甜r yc a r n o l d 提及了对分布函数为： f ( z ) = 1 + ( e q 1 + e q z 2 + e q ( 。l + z 2 ) 圭 一1 的参数估计的方法，相关的文献还有a r n o l d ，b c ( 1 9 8 7 4 5 】) 关于多元帕累托分布 的参数估计，但对其估计性质方面的研究却几乎没有讨论其主要原因是：由一 些常见的参数估计( 如极大似然估计) 不能得到参数估计的解析表达式，这为估 计性质的研究带来了一定的困难，从对一元l o g i s t i c 分布参数估计的研究就能看 到这一点 目前为止，有关多元l o g i s t i c 分布的定义问题还尚未统一，由不同方法所定 义的各种所谓的多元l o g i s t i c 分布各有其应用范围。以下是几种定义多元l o g i s t i c 分布的方法： 2 第l 章绪论 ( 1 ) 由多元极值分布的差产生多元l o 凼t i c 分布 由文献 2 8 】可知：两个独立的极值分布的差是一元l o g i s t i c 分布那么，具 有极值边缘分布的两个独立随机向量的差就可定义成一类特殊的多元l 0 9 i s t i c 分 布。这类分布的分布函数为： f c z - ，z 七，= + ( 妻e 一凹) 吉 一1 ，q 1 分布的特点是： 1 ) 相关系数p ( 五，玛) = 1 一( 2 q 2 ) ，t ，歹= 1 ，七，i 歹； 2 ) 当q = 1 时，边缘分布是一维l o 百s t i c 分布 l i n d l e ya i l ds i n g p u r w a l l a ( 1 9 8 6 【3 3 1 ) 考虑了这一类分布，但没有见到后续的 研究工作 ( 2 ) 由多元几何分布产生的多元l o g i s t i c 分布 设历，历，磊是独立的标准的一元l o 幽t i c 分布，与它们独立，且 有如下概率分布 p ( = n ) = p ( 1 一p ) n 一1 ，竹= 1 ，2 ，一 令： z 1 ( p ) = m i n z 1 ，汤，磊) 一l n ( p ) ； 历( p ) = m a x 【z 1 ，汤，磊) + l n ( p ) 则z 1 ( p ) ，汤0 ) 也服从标准的l o 百s t i c 分布由此，产生一类多元l o g i s t i c 分布， 其分布函数为： f ( 如，m ，) = l1 + e - z 1 1 + 。e 一观1 + 引2 + 勺1 j 2 j 3 e 一观1 + 现2 + 现3 + + 勺l j 2 血e 一观1 + 引2 t 一+ 吼di 1 一l 但此分布的分布函数的形式过于复杂这类分布的特点是： 北京工业大学理学硕士学位论文 1 ) 边缘分布是一维l o g i s t i c 分布； 2 ) 分量间相关程度较为灵活 ，a r n o l d ( 1 9 9 0 3 4 】) 讨论了这类分布，并且给出了系数的限制条件a l i ， m i k h a i l ( 1 9 7 8 【3 5 】) 提出了这种形式的二维模型，简单讨论了这类分布的特性 在二维情况下，a r n o l d ( 1 9 9 2 3 6 ) 指出：分布函数具有如下更一般的形式： f c z ，z 2 ，= + c e q z l + e n z 2 + e 一口c z l + z 2 ，吉 一1 但有关这一分布的性质及其相关问题都没有涉及 ( 3 ) 条件分布为一维l o g i s t i c 分布的二维分布 有时我们可能对条件分布为一维l o g i s t i c 分布的多元随机变量感兴趣，a r n o l d ( 1 9 9 2 【3 6 】) 提出了密度函数为： m ) = 等弘- 啪讹) 1 “一川“驴p 2 ) + 硝 p 叫。2 的二元分布，但并未讨论该分布的其他问题这类分布的特点是： 1 ) 条件分布是l o g i s t i c 分布； 2 ) 当日= 1 时，边缘分布是独立的l o g i s t i c 分布 3 研究内容与方法 为了使多元l o g i s t i c 分布的随机向量的任意分量所组成的随机向量服从l 伊 舀s t i c 分布，及各分量的边缘分布都是一元l o g i s t i c 分布，本文利用垂直密度表示 方法构造多元l o g i s t i c 分布，并对所构造的分布进行研究。 1 2 预备知识 1 一元l o g i s t i c 分布 定义1 2 1 ：设随机变量x 的分布函数为 f ( z ；p ，盯) = _ _ j ， 一o o z + ( 1 2 1 ) 1 + e 一产 一4 第1 章绪论 其中一o o p o 为未知参数。则称x 为服从参数p 和盯的l o g i s t i c 分布，记作x l ( p ，p 和盯分别称为分布的位置参数和尺度参数 若x l ( p ，仃) ，则其概率密度函数为 m ；咿) = 矗再，一锄 + o 。 ( 1 - 2 2 ) 仃l l + e 一彳1 2 ( 1 ) 矩的计算 由公式( 1 2 2 ) ，得 x 的七阶中心矩 e ( x ) = p ， e ( x p ) 七= ( z p ) 2 厂( z ；p ，盯) d z = 盯七 札e u ( 1 + e 一) 一2 砒，七= 1 ，2 ， j 一j 一 e c x p ，知= 2 盯。m 旷u 。m e 二。1 + e 一。，一。d u ，乏三三二一1 e ( x p ) 2 m = 2 ( 2 仇) ! 口2 m ( 一1 ) n 1 嘉啬，m = 1 ，2 ， o 。 争厂1 去= 等，一忽 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 其中且m 为b e r n o u l l i 常数 特别地，当m = l 时，b 1 = 丢从而，可得到 ( x ) = 刚刊2 = 孚 ( 1 2 5 ) ( 2 ) 样本均值与样本方差 若z l ，z 2 ，z n ( n 2 ) 为l 。g i s t i c 分布l ( p ，仃) 的简单样本，记瓦和s ：分别 为样本均值和样本方差，即 1 n _n 瓦2 寺s ：= 击( 铲瓦) 2 则l 。9 1 s t i c 分布l ( p ，仃) 简单样本z 1 ，z 2 ，( 几2 ) 的样本均值磊，样本方差s ： 的期望与方差分别为 d ( z n ) 2p ( 1 2 6 ) ( 瓦) = 筹 ( 1 2 7 ) e ( s ：) = 等 ( 1 2 8 ) 巾耻知刊4 一满m 驯2 = 篆f 1 6 + 当1 ( 1 2 9 ) ( 3 ) 与其它分布的关系 l o g i s t i c 分布与贝塔分布、指数分布、双侧指数分布( l a p l a c e 分布) 和极值分 布等有如下关系： 字理1 - 2 1 设x 和y 是随机变量， i 和n 为自然数，i n ，记y ： 1 nf 专，o x 1 ，则x 服从参数i 与他+ l i 的第一型贝塔分布，即x 有概 率密度函数 厶( z ) 2 丽万苦习。1 ( 1 一z ) 舾，o z 1 的充分必要条件是： y 与样本大小为佗的，标准l 。g i s t i c 分布l ( o ，1 ) 简单样本 的第i 个次序样本同分布 6 一 第1 章 绪论 推论1 2 1设x 和y 是随机变量，且y = l nr 妥o x 1 ，则 y l ( o ，1 ) 的分必要条件是：x 一【，( o ，1 ) ，即x 为( o ，1 ) 区间上的均匀分布 注：在定理1 2 中，取i = l ，凡= 1 ，即可得上述推论 定理1 2 2 设易j 为独立随机变量序列，且对i = 1 ，2 ，邑j 有概率密度 函数 危，( z ) = 歹e 一归，0 z y 为随机变量，且y = ( e 1 j 一局j ) ，则y l ( o ，1 ) j = 1 定理1 2 3 设嵋是独立随机变量序列，且对歹= 1 ，2 ，有概率密度函 数 吻( 叫) = 罢e j l t l ，i ， 一o o 枷 + y 为随机变量，且y = ，则y l ( o ，1 ) j = 1 定理1 2 4设x 1 和恐是独立同分布的随机变量，它们有相同的概率密 度函数 九( z ) = e z e 8 2 ， 一o o o 为某一常数若随机变量y = 可固定时，x 的条件分布函数为 z u p ( x o 即条件分布服从极值分布，其中p 为某一常数，则x l ( p ，盯) 证明过程蚓 2 垂直密度表示方法 ( 1 ) 垂直密度表示 一7 一 北京工业大学理学硕士学位论文 垂直密度表示( v e r t i c a ld e n s i t yr e p r e s e n t a t i o n ，简记成v d r ) 是由n o u t t ( 1 9 9 1 1 ) 首先提出的设x d 是d 维随机变量，它的密度函数和分布函数分别是，( ) 和 f ( ) 众所周知，当d = 1 时，u = f ( x d ) 的分布是( o ，1 ) 上的均匀分布，那末， y = ，( x d ) 的密度函数是什么 叶o u t t 给出了y 的密度函数9 ( - ) ： 9 ( u ) ：一u ! 掣 ( 1 2 1 。) 9 ( u ) = 一u = 岽尘土 ( 1 2 1 0 ) 其中 d ( ，l ( ) = x d ：，( x d ) u ) 给定y = 口的条件下，x d 的条件概率密度记作，( x d l u ) ，那么， r l q ，( x d ) = ，+ ( x d i u ) 9 ( ) 咖( 1 2 1 1 ) 其中 如= s u p ，( x d ) ：x d 剌 表达式( 1 2 1 1 ) 称作i 一型垂直密度表示( t y p eiv d r ) t r o u t t 没有给出，+ ( i u ) 的表示f a n gk t ，y a n gz h 和k o t zs ( 2 0 0 1 ) 提出了i i 一型垂直密度表示( t y p e i iv d r ) ，p a n gw k 和y a n gz h ( 2 0 0 2 ) 基于i i 一型垂直密度表示的结果，给出 了，( i u ) 的表达式 ( 2 ) i i 一型垂直密度表示 i 一型垂直密度表示的条件密度，+ ( i ) 是退化的，概率为1 地取值于超曲面 ，( ) ( d ) = 钉上，处理起来不方便i i 一型垂直密度表示就没有这一不足令 d 【，l = x d + l = ( x d ，z d + 1 ) ：，( x d ) z d + l o ) d 【，】的几何意义是明显的，只要，是非负的q ，l 就有定义，不必要求，( 。) 是密 度函数 设x d + 1 = ( x d ，x d + 1 ) 是随机向量，若x “1 均匀分布在d 【，】上，则x d 的密 度函数是厂( ) 这一结论可以由下面的引理得出： 一8 一 第1 章绪论 引理1 2 1 设a 掣+ 1 是l e b e s g u e 可测集，x d + l = ( x d ，扎+ 1 ) 均匀分布 于a 上的充要条件是： 1 ) 翔+ 的密度函数是九+ ( 口) = 专等警窘，其中 a d ( u ) = x d ：( x d ，u ) a ，x d 蹰d ) ， 功( ) 是剌上的l e b e s g u e 测度 2 ) 给定弛+ 1 = u 的条件下，x d 的条件分布是a d ( ) 上的均匀分布 证明过程见参考文献【3 9 】 该引理对表示x d + 1 = ( x 七，x d 一七) ，x d 一七= ( 甄+ 1 ，拖) 也是正确的在引 理中交换施+ 1 和x d 的位置，就得到x d 的概率密度函数 舶，= 错= 氅黜= 等南 当，( ) 是密度函数时，三d + 1 ( d 【，j ) = 1 由引理1 2 1 可以直接得到以下i i 一型v d r 引理 引理1 2 2，( ) 是随机向量x d 的概率密度函数的充要条件是：随机向 量x d + 1 = ( x d ，施+ 1 ) 的分布为d 【，】上的均匀分布，等价于 1 ) 托+ 1 的概率分布密度是玩( d 【，】( ) ) ； 2 ) 给定托+ 1 = u 的条件下，x d 的条件分布是d | ，1 ( u ) 上的均匀分布即 随机向量x d 可表示为： x d u ( d 【，1 ( y ) ) ，y 一厶i ( d 【，】( y ) ) ， 这里d 【，l ( 口) = x d ：，( x d ) ) ，( 4 ) 表示可测集a 上的均匀分布我们称引 理1 2 2 为i i 一型密度垂直表示 由引理1 2 2 很容易可以推出，n o l t t 的结果，事实上：因为 x r j ：，( x ) 口】= ( x d ? z d + 1 ) ：r d + 1 l ， 一 ( x j ，z d + 1 ) ：厂( x d ) u ) 9 一 北京工业大学理。孝硕士学位论文 所以 p ( ，( x ) ) = l d + l ( z d + 1 ) 一l d + 1 ( z d + 1 u ) n ，( x d ) u ) ) = 石l d ( d 【，】( s ) ) d s l d ( d 【，】( ) ) 两边同时对 求导，得到y = ，( x d ) 的密度函数 夕( u ) = l d ( 。【，1 ( t ，) ) 一l d ( 。【，1 ( u ) ) 一u 掣= 一口掣 上式正是n o u t t 的结果 引入如下记号： r 【，】( ) = x d ：，( x d ) = u 从而由i i 一型密度垂直表示可以 导出给定y = ，( x d ) = 口的条件下，x d 的条件密度，( x d i y = t ，) ，定理如下： 定理1 2 6设随机向量x d 的密度密度函数，( x d ) ，x d 剌假设： 1 ) v ，( x d ) 是连续的，且在r 【爪u ) 上不为o ； 2 ) 对任意固定的单位向量d 刺，( x d ) 是r 的减函数。则在给定 ，( x d ) = u 的条件下，x d 条件概率密度函数为，( i 移) ： 似加，= 揣志弘) 。1 其中： o v ，( x d ) i i = 墨( 蕞) 2 ，厶是曲面r 【，l ( ) 上的l e b e s g u e 测度，s 是曲面元 素 1 3 本章小结 本章首先介绍l o g i s t i c 分布的研究背景，并对一元l o g i s t i c 分布的定义、性 质等方面的内容做了简要介绍；然后介绍垂直密度表示方法及其应用垂直密度 表示方法是构造多元l o g i s t i c 分布的基础 一1 0 第2 章 多元l o g i s t i c 分布 第2 章多元l o g i s t i c 分布 2 1 多元l o g i s t i c 分布的构造2 1 多兀l o g i s t i c 分布的构遁 首先，由( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 两式可得标准一元l o g i s t i c 分布的分布函数f ( z ) 和概率密函数p 1 ( z ) 分别为 f ( z ) = 再，一。o z + 。o ( 2 1 1 ) 。一z p 1 ( z ) 2 南舞，一 z + 。o ( 2 工2 ) 根据v d r 原理，我们先找出一元l o g i s t i c 分布的概率密函数p 1 ( ) 的u 一型 垂直表示 令 d 2 ，【p 。】 = ( z ，可) ：o y p 1 ( z ) ) = ( z ，y ) ：。 秒i r ：詈毛三i f ，。 可丢) = c z ，可，：e z 秒c 1 + 2 e z + e 一2 z ，。 y 丢) = c z ，y ，：掣e 一2 z + c 2 可一1 ，e z + 。，。 可丢) 设7 1 和7 2 是方程o z 2 + ( 2 0 一1 ) z + o = o ，o 口1 4 的两个根： 州。) = 里喾巾( 0 ) = 坚 易见 州班阳，邶，：蠢璺等婴：溉兰垂：。 r 2 ( 1 4 ) = 1 ，7 2 ( o ) = 。o 北京工业大学理学硕士学位论文 及 d 2 ，加1 1 d 2 ，【p 。】( ) z z 可) ： 1 2 y 一胡两 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。- 。_ 。- _ _ _ - 。_ - 。- - 。_ _ _ - _ 。- - _ _ _ 。_ 一 2 可 e z ! 二二，。 可) ：一l n ( ! 二学) zs l n ( 三二学) ，。 z z 4l 在y = 可的条件下， 一n ! 二学z 一n ! 二学 n 三一= = - 呈学，一n ! - = 二呈学 ，。 0 ) 一1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 的体积 啪，= 躺糟 因为 s 9 ) = c z ，z 2 ，z n ，：喜i z i i - 所以在( 2 1 4 ) 式中，令q = 1 则得 对( 2 1 5 ) 式中的r 求导，得 所以 令r = 1 ，得 哳，= 端= 警 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 晰) = 孚= 高 ( 2 邶) 船。坠铲= 而晰) = 等等 r o 7 n “、7 ( n 一1 ) ! = 锹 ( 2 1 7 ) 令鼽几( r ) = 与2 p 尘筹箬，断言肼一) 是非负随机变量的密度函数， z 鼽以，打= 2 z 。0 学，掣办 =2 z 。踩广1 掣打 = 2 z o o p ，( r ) d r = 1 一 1 4 第2 章多元l o g i s t i ( 1 分布 并且对7 ( ) 令 则 二印，_ ( 0 一r ：_ f 2 ” d r ( 一1 ) 2 c f 2 p 1 ( r ) 打2 ( 一1 ) 3 d 3 p 1 ( r ) 打3 ( 一1 ) + 1 d 七+ 1 p 1 ( r ) 咖+ 1 ( 1 + e 一) 3 o e 二；曼# o ( 1 + e ”) 4 。 生些斋筹芷 o f 1 + e 一) 。 嚆掣：震篆扣， -?-一=：一：=1z 咖七 ( 1 + e 一7 ) 七+ 2 。 1 因此，对后= 1 ，2 ，有 七+ 2 q + 1 ，t e 叫r ! 三! ( 1 + e 一7 ) 七+ 3 + 1七+ l ( 1 + e 一) i q 七，i e 一打一( 后+ 2 ) e 一q 七，i e 一开 i = 1t = 1 ( 1 + e 一) 2 + k + 1七+ 1七+ 1 i q 南，i e 一打+ i q 七，t e 一( i + 1 ) 7 一( 七+ 2 ) q k ，i e 一( i + 1 ) r ! 三! 三! 三! ( 1 + e r ) + 3 七+ 1七+ 2岛+ 2 i q 七，i e 一押+ ( i 一1 ) q 七，仁1 e 一开一( 七+ 2 ) q 七，i 一1 e 一押 i = 1t = 2i = 2 ( 1 + e 一7 ) 七+ 3 q 七+ 1 ，12q 七，1 = 1 ，q 南+ 1 ，知+ 2 = 一a k ，+ 1 = ( 一1 ) 詹 a 七+ 1 ，i = i q 七，i 一( 七一i + 3 ) q ，t 一1 ，i = 2 ，七+ 1 注意剑n 1 ，1 = 1 ，q l ，2 = 一1 ，因此所有的q 都能计算出来，下表列出了部分计算 结果。 北京工业大学理学硕士学位论文 表2 1 q 七。的值i = 1 ，1 0 产lp 2扣3 j = 叫j 蕾5 卢毒6扣7净8净9净1 0 扫lll 7 加2lil 加31i i1 1一l 知1 4l一为6 6 2 8 1 知1 5 l 玎2一a d 25 7一l 知1 6 i1 0 21 1 9 l一2 4 1 61 1 9 l1 0 2l 加7i- 2 4 74 约3- i 弱1 9i 弱1 94 2 9 32 t一1 加8l 2l 馅 一2 3 41 5 6 l 一2 3 41 4 85 0 c 2l 舾9 i一1 0 1 3q 7 8 4 0 4 5 5 i 铊1 3 1 0 3 s 1 3 i 嗡i4 5 s l 吆一4 7 飘01 0 1 3 一i 以下将定义随机向量x n = r u n 为n 维l o g i s t i c 分布，其中u n 。u ( s 9 ) ， r 一肼，n ( - ) 首先指出x n = r u n 的边缘分布为l o g i s t i c 分布： 设u 1 为u n 的第一个分量， ( u ) 和f 1 ( u ) 分别为其分布密度和分布函数， 则 舯) = 厶h 阻小。i 缸l ，l u i l 1 一i t 1 i z ” = 芸厶h 图+ ，i 毗 n12 n 一1 ( 1 一f u l ) n 一1 2 n ( n 一1 ) ! = 善( 1 一i u n c札，=三主二+二。一u，几】， ：二乏二 。 = o 5 + e p ( o p 证明 设r = ( ) n x n 为正交阵，且啊= 1 而，歹= 1 ，2 ，佗，令 z = ( 茎 = r ( 篓 = r x 几 对i = 1 ，2 ，n ，历= ( x ( 1 ) ，x ( n ) ) ( m 1 ，m n ) 7 = m 七x ( 七) 为x ( 1 ) ，x ( n ) 七= 1 的线性组合，也是p 维l o g i s t i c 随机向量，且有 e ( 互) ：壹m 七e ( x 。刚：妻m 七p ：( 而壹似h 七) p ： 0 洋m e ( 互) = m 七e ( x ( 七) ) = m 七p = ( 而似h 七) p = 一 一” 枉1忙1皓1 i 饰，江佗； c 伽c 磊，乙，= c 删( 喜m 惫x c 蛳喜七x c t ) ) = 喜m 七后= 七= 1七= 1屉= 1 l 0 ( 1 ) 因磊2 赤三) 5 而又姒何儿) ，故 叉= 去磊一岛( p ，n 1 ) ；、n 因玩况= z z 7 = x x 7 = x ( 凫) x 函，且 缸瓦= x ( 凫) x 函一磊瓦= x ( ) x & ) 一n x ，= a 一2 7 一 i j ， z = j 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 2 ) 令z 。= ( z 1 ，一，z n 一1 ) 7 由a 兰z ：z ，知r o 礼七( a ) = r n n 七( z ：乙) = r n n 后( 互) 而乙为( n 一1 ) p 随机阵，各行向量独立同分布，故p ( a o ) = p ( r 口几七( a ) = p ) = p ( r o n 七( z 。) = p ) = 1 佗一1 p ，即礼 p 3 2 多元l o g i s t i c 分布的参数估计 豇= 叉和宝= 面兰可熹作为多元l 。g i s t i c 总体的矩估计，具有许多优良的 性质这是本节要解决的主要问题 1 无偏性 显然又是“的无偏估计，且 e ( a ) 由文献 4 1 1 可以得到： e ( x ( i ) x 0 ) 一n 叉- ，) t = 1 住 e ( x ( t ) x 乙) ) 一几e ( 叉，) i = 1 n e ( x ( 1 ) x ：1 ) ) 一n e ( x 又) e ( x ( 。) x f ，) ) ：c d y ( x ( 。) ) + ( e ( x ( 。) ) ) ( e ( x ：。) ) ) ：萼+ p 肛7 e ( 又影) ：c d y ( 叉) + ( e ( 又) ) ( e ( 叉，) ) ：去萼+ p p 7 将( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 代入( 3 1 3 ) 式中可得： e c a ，= n 萼+ p p 7 一n 去萼+ p p 7 = ( 川) 萼 故宝= 面兰可昙是的无偏估计，称s = 雨兰可熹为样本协方差阵 2 8 ， ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 第3 章多元l t ，凼t i c 分布的参数估计 2 相合性 因为 可 1 = 一 n 几 t = 1 x ( i ) ，= a3 ( n 一1 ) 丌2 由k 0 1 m o g o r o v 强大数定律( 若x n 是相互独立同分布的随机变量，则 有限数c 铮ex 1i 。，且c = e x l ) 可以得叉强相合的 又 = 去以= ( 熹口订) ，nn 。 去。巧= 去静t 吲c 一弓， 易见ez 航l 。，故 = 去砉z 航z 幻一c 三 口