（应用数学专业论文）两类具异号非线性源项的发展方程.pdf

哈尔滨t 程大学硕士学位论文 摘要 研究非线性波动方程和非线性反映扩散方程的初边值问题，通过对非线 性项加以增长性，连续性和有界性假设，讨论了其解的相关性质。 首先引入一族位势井以及相应的井外集合，并且给出和 的一系列性质特别是得到了位势井族深度函数的具体分析性质利用和 我们证明一些集合在在问题流之下的不变性和解的真空隔离然后，我们 获得解的整体存在性和不存在性的门槛结果，最后我们讨论了带有临界初始 条 f e e l ( u 。) 0 ，e ( o ) = d ( 或者，( ) = d ) 的解的整体存在性的问题和能量 币定的情况 关键词：非线性发展方程；位势井；整体解；门槛结果 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ei n i t i a lb o u n d a r yp r o b l e m so ft h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o na n dn o n l i n e a r r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o na r es t u d i e d b ya s s u m i n gt h ei n c r e a s i n gc o n d i t i o n , t h e c o n t i n u i t ya n dt h eb o u n d ，t h ep r o p e r t i e so f t h es o l u t i o n sa l ed i s c u s s e d f i r s t l yt h ef a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l s a n dt h eo u t s i d es e t s a l e i n t r o d u c e dt h e nt h e i r p r o p e r t i e sa r eg i v e n e s p e c i a l l yt h ea n a l y s i sp r o p e r t i e so f t h e d e p t hf u n c t i o no ft h ep o t e n t i a lw e l l sf a m i l ya r eo b t a i n e d b yu s i n g a n d w ep r o v ei n v a r i a n c eo fs o m es e t si nf l o wo ft h ep r o b l e m sa n dt h ei s o l a t eo f s o l u t i o n s t h e nw e g e tt h et h r e s h o l dr e s u l to fg l o b a le x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s f i n a l l yt h ec r i t i c a l i n i t i a lc o n d i t i o n so fl ( u o ) 0 ，e ( o ) = d ( o r j ( u o ) = d ) a n dp o s t i v ee n e r g yp r o b l e m a l ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ；p o t e n t i a lw e l l ；g l o b a le x i s t e n c e ； t h r e s h o l dr e s u l t 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在本文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人的或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人或集体，均已在文中以明确方式表明。本文完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：矽碑 f 哈尔滨掣人学硕十学位论文 1 1 概述 第1 章绪论 非线性发展方程是非线性学科中一个重要分支，是非线性学科的前沿领 域和研究热点，也是非线性偏微分方程的一个重要的研究领域随着现代自 然科学与工程技术的发展，出现了大量的非线性问题，而许多非线性问题在 数学上表现为一些高阶非线性发展方程 在研究非线性弹性中纵向车t 形变传播及弱线性作用下空间变换离子声波 传播问题时，分别得到主部含有“。一u 。一“工盯；川4 ”1 但非线性项各不相同的一 些非线性发展方程，考虑到实际背景中粘性耗散不可避免，则可得到一些主 部为“。一“。一“。一“。，的非线性波动方程 1 2 研究背景 和 众所周知，半线性波动方程最重要的模型是 u u - a u = 一 暂 - a u = ” 能够被上述两方程中的某一个所描述的任意物理系统都有一个唯一解第一 哈尔滨l ：程大学硕十学位论文 个方程中源项的符号和“是不相同的，而在第二个方程中源项的符号和u 是 相同的关于上述方程的解的整体存在性和不存在性以及它们的推广形式在 【1 】- 【1 4 】中已经有很多结果最近，在【1o 】中通过引入一族位势井，使得上述 第二个方程的初边值问题问题得到了研究，并且得到了关于整体解的存在性 和不变集合的一些新结果特别的，在 1 0 】中发现了解的真空隔离性质 如果在一个物理系统中有两个带有不同符号的非线性源项，那么我们就 必须考虑如下的带有两个不同符号非线性源的波动方程 “，一6 u = f ( u ) = - a l u l 9 一“一6 i “l ”一“，石q ， o ( 1 - 1 ) 这罩p g ，p 1 ，q l ，口, t l b 是正常数我们知道，方程( 1 - 1 ) 不包含在我们 己知的任何结果中例如，在 1 4 】中t s u t s u m i 对下述半线性双曲方程解的整 体存在性以及解的有限时间爆破进行了研究 u t t + a u = ( “) 在这罩，t s u t s u m i 要求 ) 关于p 2 齐次，即 f ( 2 u ) = a ”厂( “) ，v 五 0 很显然方程( 1 - 1 ) 中的厂( “) 并不满足这个假设 在【4 】中g l a s s c y 研究了半线性双曲方程解的有限时间爆破问题 u 。- a u = i ( u ) 一；兰窒塑塑：! 鍪兰至：兰篁篁奎；一一；一 这里的厂( “) 必须满足如下条件：存在一个凸函数g ( “) 满足厂( “) g ( “) 当 因此方程( 1 1 ) 中的，( “) 并不适用这个条件在 1 1 】中p a y n e 和s a t t i n g e r 用位势井方法也研究了上述半线性双曲方程解的有限时间爆破问题，这里的 厂( “) 必须满足下述条件： a ) ，“) 单调且是凸的( 当“ o ) ；单调且是凹的( 当“ o ) ， 或者 b ) ，0 ) 是凸的当o o o u ( x ，0 ) = ( x ) ，l l t ( x ，o ) = i d l ( x ) ，x q u ( x ，t 1 = o , x 弛，f 0 ( 1 - 2 ) ( 1 3 ) 一一；堕尘鎏三堡奎茎堡圭兰堡丝兰 ；一； 蚱一a u = f ( “) = 日 一“一6 “，x q ，f 0 ( 1 - - 4 ) 并且 u ( x ，o ) = “o ( x ) ，工q ( 1 - 5 ) 在( 1 - 3 ) 中q c r ”，：并j t a 0 ，b 0 ，p 和q 满足 ( h ) 当栉：l ，2 时l 口 p 。；当行3 时1 q p 詈曼 首先我引入一族位势井以及相应的井外集合，并且给出和 吆的一系列性质然后利用和我们证明一些集合在问题( 1 - 1 ) _ ( 1 - 3 ) 流之下的稳定性和解的真空隔离然后，我们将获得解的整体存在性和不存 在性的门槛结果，最后我们讨论了带有临界初始条件，( ) 0 ，e ( o ) = d ( 或 者，( ) = d ) 的解的整体存在性的问题这里的d 是指位势井矿= 噬的深度 ( 查看定义2 1 ) 在本论文中我们用| | | | ，表示| h | 扩( 。) ，m 1 1 = 1 1 u , v ) = p 吡 4 哈尔滨i + 程人学硕十学位论文 第2 章位势井的性质 2 1 位势井的泛函 在本论文中我们总是假设g 和p 满足( ) 对于问题( i - i ) 一( 1 - 3 ) 和 问题( 1 - 4 ) ，( 1 5 ) ，( 1 3 ) 我们定义 m ) = 扣卜者而b ；： 并且 ，( “) = l l v “0 2 一口l f “：+ 6 l l “0 ： 。( “) = 8 1 1 v “旷一口 辟l e ：+ 6 i k 蛭：，艿o 2 2 位势并的泛函性质 引理2 1 若i j v “忙o 那么 ( i ) 烛，( 砌) = 0 ，。1 + i m 。j ( 、2 ”) = 一； ( 峨当o z o 当0 a 互时，l ( a u ) o 当五 兄 。 等价于 今 。删：一6 刀：= l r v “1 1 2 厅以) = “：一b 2 q 。： = 2 q - ia 2 一：一b l f u 暇) ( 2 1 ) 那么当0 z 厶时。 以) 0 当2 0 厶时 矗以) 是单调增加的因此对任意的i i v “0 o 存在唯一的万 厶使得式( 2 1 ) 6 产 燮榔 砧 哈尔滨一i 程人学硕士学位论文 成立 ( i i i ) ，我们注意到 丢，汹) = 五阳以) ) 通过( i i ) 的证明我们可以得到当时o 五 厶，矗以) 0 ；当厶 五 五时 o h ( 五) i i v , 1 1 2 ：当页 丑 f i v “n 因此我们有当o z 。；当页 五 。时，面d ，以“) 0 ，当0 0 特别地，当0 0 这里 州寿r巾卜l 匆厂 证明 由0 0 0 ，当l 0 ) r p ) 特别地，当x ( u ) r ( 1 ) 证明由，。0 ) 0 可知 , + f l y “0 2 r p ) 或者j j v “8 = 0 特别地，当 ，0 ) = 0 时，j f v “i i r o ) 或者l l v u l i = 0 证明当i i v u l l = o 时，l 0 ) = 0 当厶0 ) = o 并且l l v “8 0 时，我们由 子j v “0 2 = 口i b 8 ：一b l l u l e + l ，p ) 哈尔滨：稃大学硕十学位论文 2 3 位势井深度及其性质 定义2 1 对于万0 ，我们定义 d p ) = i n f j ( u ) 满足“圩：q ) ，0 ) = 0 ，j i v u l l 0 并f r d = a o ) 引理2 5 关于万的函数d p ) 具有下列特性 ( i ) 当川 口防2 p ) ，口p ) = j 1 一寿 ( i i ) 烛d p ) = d ( 0 ) o 并且当o 0 ； ( i i i ) d p ) 在o j 1 上单调递增，在1 j 民上单调递减并且在j = 1 上 取得最大值d = d ( 1 ) ( i v ) d p ) 是在o 扣卜寿争制 9 哈尔滨 程大学硕十学位论文 = 陪寿卜圹+ 击嘶) 却剿 料! p ) ( i i ) 首先由厶0 ) = o 可得口：= 6 ：，且 j o ) = 扣“卜寿雨b ： = 扣0 2 + a 丽p - q 删： = 扣“j | 2 + b 面p w - q 叫 峨： 因此我们有d ( 0 ) 0 如果d ( o ) = 0 ，则存在函。) 圳 ) 使得i l v | 0 ， m = 1 , 2 且 牌陬。0 = 舰= 慨b = 0 口l ：= 啪撒： 然而由忙。k ，= d 啦。k ，) 可知，上面的式子是不成立的例如对任意的 甜h ：心) ，j f v “l j 0 和厶专0 ，脚。我们有 舰i l v 饥“= 嬲慨叱，= 熙帆叱，= 0 但口l “i ：二：= b 1 五o “嵫：对于充分大的腕是不成立的 下面对任意的“碣，i i v , , t l 0 和占 0 ，我们定义五= a ) 使得 o ；丝：篓! ：堡奎兰至圭耋堡! 鎏； 8 1 v ( 砌) q 1 2 = 口恻瞄- b l t 兄呱： ( 2 _ 3 ) 那么l m ) = o 且 8 1 1 v ( z “2 = 。1 ：- b 3 y “：( 2 - 4 ) 由引理2 1 ( i i ) 的证明可得对任意的占 o 存在唯一的五= 五p ) 满足( 2 3 ) 和( 2 4 ) 由引理2 1 的证明，我们还可以得到。l i r a 。旯p ) = 佃因此由引理2 1 的( i ) 我们得到 i m ，汹) = j i m ，d “) = 一。 d + ” 由这此和引理2 1 ( i ) 可知存在唯一的磊 丁p + l ，当o 万 0 ( i i i ) 我们证明对任意的o 占+ 1 或者1 艿” 万 磊都有d p ) d p “) 显然能够证明对任意的0 j 艿。 i 或1 占 j 0 满足 ，( v ) i | l l v 1 1 2 = ( 1 8 ) 1 1 l v 1 1 2 取v = a + k ，则，。) = o 且l l v “i i * o 如果0 6 艿” 1 - 8 。) y 2 ( 艿。) a ( 艿。) ( 1 一五( j ) ) ；s ( j ，艿。) 如果i j “ j ( j 1 1 ) y 2 ( 占。) a ( j 。) ( 兄( 占) 一1 ) 兰占( j + ，占。) ( i v ) 很明显我们能够证明对任意的磊( o ，1 ) 和占：( 1 ，磊) ，d ) 在眵，1 】和 d ，8 ：】分别一致连续首先我们证明对任意的4 ( 0 ，i ) ，d p ) 在b ，l 】上一致 连续对任意给定的o e d , 1 1 万陋，1 ) 取扁( 妫使得，；- 。) = o ， m 。忙。且 o ，0 ；) 一d p ) 要 由引理2 i 的证明我们知道对万b ，1 ) 存在唯一的五= 以p ) 使得 2 哈尔滨r f + 稃大学硕十学位论文 万i i v 。1 1 2 = 口忱暇一a h 恻 c z 这意味着 以及 艿= 厶( 乃p - 。) = o ，以p ) = 1 1 m | ：= ：一矿川：= 阮 警以) l a 五。( 1 ) ( 2 7 ) 再一次由引理2 1 的证明我们知道妒。，以) 在 1 ，以( 1 ) 上是连续增函数，因此 它的反函数z = 以p ) 是在p ，1 j 上连续递增的当j 占1 时，令 g 。= ，恤) = 以( 乃p k ) 那么如本引理( i i i ) 那样我们可以得到 面dg 。( z ) = ( 1 一删h 胯o ，8 l s 8 l 因此对占s 万l 和五= 以p ) 我们有 由 。小) 一小，) = 醣( a ) 嘞( ) = ( - 一啪阢1 1 2 ( 川) ( 1 4 ) 0 v 弘( 五一1 ) ， 占台1 ，1 五五 ( 争寿) h 吼 斋) 陬n 1 - - - s ( “，) 3 哈尔滨t 稃人学硕十学位论文 s ，( “。一) d ( 占) + 三 2 d 我们可知 | i v 2 1 ，使得 因此由 4 ( 1 一磊) 岩职“一1 ) = 吾 口一lz 俐5 击( ( 川) 矿2 玳犯扣帅一吼喇) 积齑( 帆眨地假批( 川) 点 则对所有的d 6 l 我们有 o 亿( ) 一纥( 1 ) ( p 一1 ) 西( 一1 ) = a 幽r 因此当占。扮，l j 和o s 艿一占 。时我们有 o 乃( j 。) 一1 一l 1 4 哈尔滨r 程大学硕士学位论文 且 因此我们得到 0 - ，( 以p ”) - ) 一j ( ) 詈 o d ( 纠一d ( ，( 以( 占) ) 一d ( j ) = j ( 乞，( 6 ”) ) 一，( ) + ，( ，) 一d ( 艿) 三+ 詈 o 和占。【1 ，最】取咯( 习e 线( q ) 使得，。0 。) = o ，i i v u , | i o 并且满 足( 2 5 ) 再一次由引理2 1 的证明，对任意的j i , 8 。j 存在唯一的五= 以p ) 满足( 2 6 ) ，以艿p ) z ，占) = o 和以( 。_ j = 1 再一次用( 五) 来表示( 2 7 ) 中 的函数：当乃( 1 ) 五s 1 时，纷( 五) 在k j ( 1 ) , l j 和a ap ) 在【l ，万j 上分别为连续增 函数我们再次定义当j 0 ，8 j 和五= 以p ) 时( 五) = ，( k ) ，那么我们有 且 丢跖( a ) = ( 1 一驯阮忙o ，1 万万 o ，( 五。) 一，( “，) = 邑( 丑) 一邑( 1 ) = p 一1 ) 互l j v , 1 1 2 ( 1 一五) - ( 8 2 1 ) i f v i f 2 ( 1 一五) ，艿舌万+ ，五互1 现在我们证明当1 6 - o 我们可以得到当l s j 以时l l v 匕0 是有界的令咿“；8 2 - m ，于是我们有 0 _ j ( a u ，) 一j o f ) 兰( 5 ：一1 ) m o 一五) ，乃( 1 ) z s l 取旯2 使得0 五2 1 且 如上我们可以得到 ( 6 2 一1 ) m o 一五) = 要 虻以) 0 一l 弦p - 1 且对所有的1 j 8 2 o 筇( 1 ) 一面。) 20 1 x 1 一如) 筌v ： 因此当1 1 ，占+ j ，o 万。一j v ：时，我们有 o s l 一旯艿p “) l 一如 且 6 哈尔滨i 样大学硕十学位论文 o s ，( 乃( 明) 一，( ) 主 最后我们有 o d ( 占) 一d ( j ) s j ( 乃( j ”) “；) 一d ( 万。) = ，( 乃( 卅吆一) 一m 一) + ，( 一一( 万) 差+ 主 s 引理2 6 令o 艿 o ，则 叭i i v , 1 1 2 鬻 特别地，如果j ( u ) 0 ，那么 o j m 2 訾d 证明这个引理可由下式得到 口“n 六厶o ) ，o ) d p ) ( 2 _ 8 ) 再次由( 2 8 ) 我们可以得到如下的引理2 7 与引理2 8 油z ，令川 譬假设刷娜) 驯v 洲22 鬻 则有 砸) 。删的射悱圳删2 掣d 删删 。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 悃2 8 令 譬，假设荆删且帕) - 0 撇j r w , i j 2 0 ，( “) 0 ，( “) d ( j ) u o 瓦= u a = 函日：q 】厶0 ) o ，0 ) d p ) ) u 0 k0 j 8 0 另外我们定义 矿= 缸何：( q l ，0 ) o ，0 ) d 8 哈尔滨】：程大学硕士学位论文 = * ：( q l ，。0 ) o ，j 0 ) d ( 占) ，0 万 民 b s = 函h o ( q ) f l l v ”i f ，p ) o 万 磊 万= b s c 3 b 。= 函何：陋】i | v “1 1 - r p ) ，0 8 r p ) ，o 艿 民 z 3 1 理_ 2 9 令o 万 掣则 其中 吃( 卅c c b ( j ) ，c b ； b 协，= 甚日j 湘v “i i m i n ，2 p ) ，右p ) ) 矫卜帅巾枷c 粥 这罩r o p ) 是下述方程唯一的实数根 1 2 r z + 击c 州：d p ) ， 口+ l 9 、 证明首先l l v “0 0 另外我们有 ，。) s 扣卜寿l l l v 1 1 2 + 而b c 川v ” 并且j l v ”8 2 寺p ) ，从而，0 ) d ( 艿) 因此我们有色( ，) c 引理剩余的部 1 9 啦m器 = q 哈尔滨一i ：程大学硕士学位论文 分可由引理2 3 和引理2 6 得到 从，的定义和引理2 ，5 我们可以得到 引理2 1 0 ( i ) 如果o 6 ( 1 ，那么c ( i i ) 如果l - 8 。 占磊，那么c 引理2 1 1 对于”捌( q ) + 4 0 ) ，0 ) d ，4 岛是方程d ) = ，0 ) 的 两根那么l a 0 ) 的符号在4 艿 o 说明j i v i i 0 如果当4 j 最i t r j i 。0 ) 的符号改变，则 存在否e 慨，疋) 使得厶0 ) = 0 因此由d p ) 的定义我们有j 0 ) d p ) 这和下 面矛盾 4 u ) = d ) = d 慨) d p ) 引理2 1 2 对于“磁( q ) 令o ，0 ) 4 0 ) ，疋是方程j p ) = ，0 ) 唯一的 实数根那么，。0 ) 的符号在0 j 0 说明0 v “0 如果当0 8 d ( 岛) 当o d 瓴) 当l 否 最 这与，0 ) = d 慨) 相矛盾 2 5 本章小结 本小结是文章的准备部分在这一部分里，我们引入了位势井和位势井 族首先，我们给出了几个主要泛函的定义这些泛函并非是脱离方程随意 给出的，而是基于对方程能量特征的考量和能量正定性的控制显然，这些 泛函的给出具有先验性其后，我们分了了这些泛函的性质和关系，特别是， 构造了泛函的几何性质，更形象地描述了泛函系统的内在结构接着，我们 定义了位势井的深度，并研究了深度函数的性质及其与泛函的关系，进一步 完善了这个几何关系最后，在对位势并泛函及其深度研究的基础上，我们 绘出了位势井与位势井族集合的定义，并研究了它们与特殊球状空间的关 系本节的结论，将为后续的讨论提供充分的技术保证 2 哈尔滨t = 程大学硕士学位论文 第3 章不变集合与解的真空隔离 3 1 不变集合 在这一部分我们讨论问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 中某些集合的不变性和问题 ( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 解的真空隔离性质首先，我们定义能量 e ( ，) = 扣n 三1 i v 8 2 两a 两b 扣m 。) 定理3 1 令g ) 叫( q ) ，“，g ) e r ( q ) 假定d ( 0 ) sp d ，4 磊是方 程d p ) = e 的两个根，那么 ( i ) 问题( 1 1 ) 一( 1 - 3 ) 满足e ( o ) = p 中所有解属于当磊 j o 或刮j v “。0 = 0 ( i i ) 问题( 1 - 1 ) 一( 1 3 ) 满足e ( o ) = p 中所有解属于当4 j 疋，若 ，) 0 或者0 v “。l j - 0 的解，是“( ，) 的存在时间如果i v 0 = 0 ，那么当0 万 0 ，则由d p ) 的定义和 昙慨if 2 + ，o 。) = ( 0 ) = d ( 4 ) = d ( 岛) d p ) 4 万 o 且，0 。) a ( a ) ，即对于戈 j 蟊有g ) 下面我们证明当4 ( 万 磊r o f 丁时“( f ) 如果此结论不成立， 则必有“( o ，t ) 使得“) a 对一些万慨疋) ，即l 0 ( ，。) ) = 0 ， l i v u ( t o ) | j 0 ，0 ( ，0 ) ) = d p ) 从能量等式 三i 汪，i j 2 + ，o ) = e ( o ) d p l 点 j 如，o r 0 的所有解，t 是“( ，) 的存在时间首先由( 3 1 ) 我们能得到，。“) o 和j ( ) d ( j ) ，即 对于4 j 疋，u o g ) e 接下来我们证明当4 j 岛且0 t r 时 “( f ) 如果此结论不成立，令t 。( 0 ，t ) 是第一个满足当0 s f ，0 且 “( ，o ) a 时l 0 ( r 。) ) = o 或者对一些万b 以) ，0 “) ) = a ( a ) ( 3 2 ) 式表 明，0 “) ) = d p ) 是不可能的如果，0 “) ) = 0 ，则当0 t ，0 时，。0 ( r ) ) o 和 引理2 3 推出i i v “( f r p ) 和i i v o 。r ( a ) 因此由a ( a ) 的定义我们有 ，0 “) ) 2d p ) 这与( 3 2 ) 相矛盾 从定理3 1 和引理2 5 我们能得到下述结论 哈尔滨i ：程大学硕士学位论文 推论3 2 如果在定理3 1 中用a ( o ) e ( o ) e 代替e ( o ) = e ，则定理3 1 的结论依然成立 定理3 3 令 o g ) 日；心) ，。g ) l 2 ( q ) 假设0 e d ( 0 ) ，如是方程 a ( 8 ) - - - j 0 ) 唯一的实数根，d p ) = e ，则 ( i ) 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 满足( o ) = e 中所有解对于0 占 o 或者l 】v “。0 = 0 ： ( i i ) 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 满足e ( o ) = e 中所有解对于0 6 疋属于，只 要，( “。) 0 证明这个定理的证明和定理3 1 的证明类似，用0 代替4 用( 3 1 。) 和 ( 3 2 ) 分别代替( 3 - 1 ) 和( 3 - 2 ) ；17 u , 1 1 2 + j ( u 。) = ( 0 ) d p l4 j 疋 ( 3 f ) 扣n j ( u 。) = ( o ) 矗p ) ，磊 占 艿：o f r ( 3 2 ) 推论3 4 如果用0 e ( o ) p 取代定理3 3 中的假设e ( o ) = p ，则定理3 3 的结论依然成立 推论3 5 如果用0 ( o ) e 取代推论3 2 中的假设d ( o ) ( 0 ) e ，那么 哈尔滨： 程大学硕士学位论文 推论3 2 结论依然成立 定理3 6 令虬g x f = 1 , 2 ) ，b 和巧( f = 1 ，2 ) 与定理3 3 中的相同，则对任意的 j p 5 ：) 集合和是不变的，因此集合 屯2 4 旦屯，和屯2 4 旦如 在( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 下是分别不变的，只要0 e ( o ) e 定理3 7 ，( x x i = 1 ，2 ) ，e 矛1 1 6 2 与定理3 3 中的相同，则则对任意的万b 岛) 集合和k 时不变的，因此集合 2 。如，茅f l v o w 2 = 。地 在( 卜1 ) 一( 卜3 ) 下是不变的，只要0 e ( o ) p 3 2 真空隔离 从定理3 1 和定理3 3 的证明我们看到当0 e ( o ) d ，则，0 。) = o 和 l i v 。0 0 是不可能的因此推论3 2 和推论3 4 的结果表明问题( i 1 ) 一( 卜3 ) 满足0 e ( o ) e 的解有一个真空地带 哈尔滨j + 科人学硕十学位论文 或者 u ，= 每日：心圳v “l l * o ，l 0 ) = 0 ，4 j 正 若d ( 0 ) e d u ，= 0 h ：( q 圳v “o ，厶0 ) = 0 ，0 8 6 2 0 e d ( o ) 减小这个真空带玑越来越大，在极限处我们得到 砜= 0 n a ( n ) | l l v 忙o ，l 0 ) = 0 0 8 6 0 定理3 8 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 满足e ( 0 1 = 0 的所有在存在区间上的非平 儿解“o ) 属于 耻i 删叫l ( 茄) 击 证明设“( ，) 是问题( 卜i ) 一( 卜3 ) 满足e ( 0 ) = 0 的解，t 是“o ) 的存在时 ；i l u , 1 1 2 + ，“) s e ( o ) = o 我们得到当0 r t 时，0 ) 0 因此 三l l v u l l 2 者磬两b 磬寿： 毛c ? “f l y “0 ”一f l y ”1 1 2 ，o s f r p + 1 。” 哈尔滨二r ：程大学硕十学位论文 我们注意到对于i l 审“j i = 0 或者i i v 忙r o 必然有且只有一个成立如果 i f v 0 = 0 ，则i f v ；o 当o - t r 或者存在，0 ( o ，r ) 使得o i i v ( t 。 屹通 过类似的讨论我们可以证明若满足i v 忙r o ，则i j 审“忙r o 当0 r ， 定理3 9 令。g ) 卅) ，“。g ) l 2 ( q ) 假设( 0 ) 0 或者e ( o ) - - 0 ， i ( v u o i o ，则问题( 1 一1 ) 一( 1 3 ) 的对于o 占 旦 的所有解属于圪 证明设“( r ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 满足( o ) 0 或e ( o ) = 0 ，l i v u 。t 0 的 解，t 是“( r ) 的存在时间由能量等式可得 圭l t , i t 2 + 辞怫甜n 六l g ) 扣i t z + j 。) = ( o ) ，o 占 譬( 3 - 。) 由( 3 3 ) 可知若e ( o ) o ，则当o 6 卫 时厶o ) o ，o ) o t o 当o f 7 时由( 3 3 ) 我们得到当o 占 旦芸时，o ) o ，o ) o d ) 因此我们有当 o j 譬，o 纵mz ，( f ) 推论3 1 0 在定理3 9 的条件下问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 中所有解属于百：， ；i 坠玺垄；! ；堡堑堡圭兰堡丝圣；i ； 证明设“( f ) 是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 满足e ( o ) 0 或e ( o ) = 0 ，i f v u 。忙0 的 解，t 是( ，) 的存在时间那么由定理3 9 给出 “( f ) ，当o 占 旦毒! ，o f r 由此和引理2 3 我们得到当o j 旦 ，o f r o 令占一p r + l 我们得到当o t t 时，删f ，( 孚 3 3 本章小结 本节重点研究了两个内容：问题在其解的流之下的不变集合和解的真空 隔离性质我们需要指出的事，这两个内容是紧密相关而非孤立存在的本 节的讨论从解的不变集合展开，指出了在两个彼此不相交的条件下，解存在 于两个彼此不相交的集合中，而且在这两个集合中具有不变性这种不变性， 我们也可以理解成封闭性，即如果解的初始值属于这个集合，则解在任何时 刻都属于这个集合而这两个不相交的条件就造成了必然在其中夹着一个没 有解的区域，而这个区域就反映了解的真空隔离现象所以，我们可以说， 解的真空隔离现象是对不变集合的自然延伸，是对不变集合的深入理解 哈尔滨j ：程大学硕士学位论文 第4 章解的整体存在性与b io wu p 4 1 解的整体存在性 在这一部分我们将利用上述引入的位势井理论研究问题( 1 1 ) 一( i - 3 ) 解的整体存在性 定理4 1 令g ) ；) ，矾g ) l 2 ) 假设o e ( o ) 0 或 者i f v l f = 0 则问题( 1 - 1 ) 一( 1 3 ) 存在整体弱解“( ，) p ( o ，0 0 ；剜( q ) ) 且 “，( ，) ”( o ，。d ，三2 ( q ) ) 且当0 f o o 时z ，( r ) w 证明：按照【1 0 】中的方法我们构造问题( 1 - 1 ) 一( 1 3 ) 的近似解则同 1 0 】中 证明定理3 2 的讨论一样我们可以得到 ；i i o , 1 1 2 + s ( u 。) = 吃( o ) d ，o ， m ( 4 m 且对于足够大的m ，z ，。( ，) w ，0 t 0 0 时由( 4 1 ) 和 ，。) 扣。1 1 2 一六陬暇砒i i 彤：) = ( 六扣。1 1 2 + 币1m 班赫忙u o l l 2 对于足够大的m 我们有 哈尔滨上程人学硕士学位论文 三i l v u , 1 1 2 + 至丽p - 1 陬n d ，o _ t o o ( 。- 2 ) 式( 4 2 ) 说明 i l v u u 2 等d ，o s t o o ：+ ( 4 3 ) 谚m 1 2 c ；等m 唱窖，o _ t c o ( 4 - 4 ) h i l 2 2 d 0 t o o ( 4 5 ) 由( 4 3 ) 一( 4 5 ) 和紧致性方法可得问题( 1 - 1 ) 一( 1 3 ) 存在整体弱解 “o ) r ( 0 ，c 。，叫( q ) ) 且o ) l o ( 0 ，。，r ( q ”最后由定理3 1 和定理3 3 我 f 门有当0 ， o 。时“o ) w 推论4 2 在定理4 1 的条件下我们可以迸一步得到当点 占 最，0 ， 0 0 时“) 倘若d ( o ) e ( o ) d ，其中玩 6 ：是方程d p ) = ( o ) 的两个根 推论4 3 在定理4 1 的条件下我们可以进一步得到当0 占 蟊，0 t 0 0 时( f ) 倘若o 0 ，推论 4 2 和推论4 3 的结论仍然成立 3 0 哈尔滨i ：程大学硕+ 学付论文 定理4 5 令( x ) h o ) ，g ) l 2 ) 假设o e ( o ) d ，l i v 4 - cr ( a 2 ) ， 这里杰是方程d p ) = e ( 0 ) 较大的实数根( 若d ( o ) ( o ) d ) 或者唯一实数 根( 若0 e ( o ) d ( 0 ) ) 则问题( 1 - i ) ( 1 - 3 ) 存在整体弱解 娴f h ；( q ) ) 且拍) r 且瓠 占 m t n 扛两1 ) c 若 d ( o ) s 引r o ) d ) 时8 v “( f 矿 司4 万8 ) ，或者当0 8 m i n # 2 ，两1 ( 若 。 荆 荆) 酬v u ( f 】1 2 粥砘删2 蜘 o ， o 或者l l w , o l l = o 因 此由推论4 4 得到问题( 1 - 1 ) 一( 1 3 ) 存在整体弱解“( f ) r ( o ，0 0 ，剜 ” 且虬( f ) r ( 0 ，0 0 ，三2 ) ) 且”( ，) 当4 万 疋( 如果d ( o ) e ( o ) d ) 或 0 艿 疋( 如果o e ( o ) d ( 0 ) ) 时最后可由引理2 9 和( 3 2 ) 完成证 明 推论4 6 在定理4 5 的条件下我们可以进一步得到当d ( o ) ( o ) d 时 眦旷裂或者瓠荆 荆圳v 删鬻划( 0 ) 3 1 哈尔滨j ：程大学硕士学位论文 4 2 解的有限时间b io wu o 定理4 7 令g ) ：( q ) ，u g ) l 2 ( q ) 假定e ( o ) d 和，( 。) 0 使得 ! 蜊肛佃 ( 4 6 ) 证明令“( ，) 为问题( 1 1 ) 一( 1 - 3 ) 满足e ( 0 ) d 和，0 。) 0 是特征问题v 妒+ 见妒= 0 ，妒k = 0 的特征值 ( i ) 如果e ( o ) 0 ，那么( 4 8 ) 给出 f o ) 0 + 3 帆j 1 2 ( 4 9 ) ( i i ) 如果0 e ( o ) d ，贝, i t l l i 理3 1 和定理3 3 可以得到当1 艿 0 时，( ，) ，这里的疋与定理3 i 和定理3 3 中定义的一样因此 ，。0 ) 0 ( 由引理2 3 可知) 和当l r p ) 因此我们 得到当f o 时k 0 ) s o 且 i v ”8 r ( ) 由( 4 7 ) 我们得到 确) 2 一1 1 刚f 2 2 1 。：0 ) 2 ( 6 2 1 ) r2 慨) 0 r ( o - 2 ( 8 2 1 p 2 慨，+ f ( 0 ) ( 4 1 0 ) 这说明存在t 。0 使得f ( o ) 0 且f ( f ) ，( f x ，一t o ) + f ( 0 ) ，t 。因此对足 够大的f 我们有 ( p 1 ) f ( ，) 2 ( p + 1 ) e ( 0 ) 和( 4 9 ) 成立最终由( 4 9 ) 得到对某些r 0 ( 见【5 】，p 2 9 3 ) f 鲫( f ) 一字( 确) ) 2 + s 蜘t 州i 一) 2 ) 。 沪坩= 一南刖坼，) ( f ( ，卅= 孚 以及( 4 - 6